71
1 '5 2 5, 5
본문 368쪽
개념 Check
본문 370~381쪽
유제
862 ⑴ (x+1)Û`+(y-5)Û`=13 ⑵ xÛ +(y-5)Û =25 ⑶ xÛ`+(y-2)Û`=5 863 xÛ`+yÛ`+x+3y=0 864 k<-4 또는 k>2
865 ⑴ (x+3)Û`+(y-5)Û =25 또는 (x-1)Û`+(y-1)Û`=1
⑵ (x+6)Û`+(y-5)Û`=25 또는 (x+2)Û`+(y-1)Û`=1
⑶ (x+2)Û`+(y-2)Û =4 또는 (x+10)Û`+(y-10)Û`=100
⑷ (x-2)Û`+(y-2)Û`=4 또는 (x-4)Û`+(y+4)Û`=16 866 xÛ`+(y+5)Û`=20
867 ⑴ -4<k<4 ⑵ -4 또는 4
⑶ k<-4 또는 k>4
868 3 869 10p 870 6 871 4'11 872 '14 873 11255'152 874 5 875 26 876 1 877 y=xÑ6
878 y=3x-17 또는 y=3x+3 879 2 880 25
881 2x+y-10=0 또는 x-2y-10=0 882 y=-4 또는 12x+5y+8=0
862
⑴ 원의 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x+1)Û +(y-5)Û =rÛ
이 원이 점 (1, 8)을 지나므로 (1+1)Û +(8-5)Û =rÛ`
∴ rÛ`=13
∴ (x+1)Û +(y-5)Û =13
⑵ 원의 중심이 y축 위에 있으므로 중심의 좌표를 (0, a), 반
지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
xÛ +(y-a)Û =rÛ yy ㉠ Ú ㉠이 원점을 지나므로
aÛ =rÛ yy ㉡ Û ㉠이 점 (4, 2)를 지나므로
16+(2-a)Û =rÛ yy ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=5, rÛ =25
따라서 구하는 원의 방정식은 xÛ +(y-5)Û =25
⑶ 원의 중심이 직선 y=2x+2 위에 있으므로 중심의 좌표를 (a, 2a+2), 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x-a)Û` +(y-2a-2)Û =rÛ yy ㉠ Ú ㉠이 점 (2, 3)을 지나므로
(2-a)Û +(3-2a-2)Û =rÛ
∴ 5aÛ -8a+5=rÛ yy ㉡ Û ㉠이 점 (-1, 4)를 지나므로
(-1-a)Û +(4-2a-2)Û =rÛ ∴ 5aÛ -6a+5=rÛ yy ㉢
㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=0, rÛ =5 따라서 구하는 원의 방정식은
xÛ +(y-2)Û =5
863
구하는 외접원의 방정식을 xÛ +yÛ +Ax+By+C=0이라 하면 외접원은 삼각형 OAB의 세 꼭짓점 O(0, 0), A(-1, -3), B(1, -1)을 지나므로
C=0 yy ㉠
1+9-A-3B+C=0 yy ㉡ 1+1+A-B+C=0 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 A=1, B=3, C=0 따라서 구하는 외접원의 방정식은
xÛ`+yÛ`+x+3y=0
864
xÛ +yÛ -2kx+2ky-4k+16=0에서
(xÛ -2kx+kÛ )+(yÛ +2ky+kÛ )-2kÛ -4k+16=0 (x-k)Û +(y+k)Û =2kÛ +4k-16
이 방정식이 원을 나타내려면 2kÛ +4k-16>0, kÛ +2k-8>0
(k+4)(k-2)>0 ∴ k<-4 또는 k>2
865
⑴ 원의 중심의 좌표를 (a, b)라 하면 x축에 접하므로 반지름
의 길이는 |b|이다.
즉, 원의 방정식은
(x-a)Û +(y-b)Û =bÛ
이 원이 두 점 (0, 1), (1, 2)를 지나므로 (0-a)Û +(1-b)Û =bÛ 에서
aÛ -2b+1=0 yy ㉠
13
rÛ -12r+20=0, (r-2)(r-10)=0 ∴ r=2 또는 r=10 8aÛ -48a+64=0, (a-2)(a-4)=0
∴ a=2 또는 a=4
2"Ã(x-1)Û`+(y+3)Û`="Ã(x-4)Û`+(y-3)Û`
양변을 제곱하면
4{(x-1)Û +(y+3)Û`}=(x-4)Û`+(y-3)Û`
4(xÛ -2x+1+yÛ +6y+9)=xÛ -8x+16+yÛ -6y+9`
3xÛ`+3yÛ`+30y+15=0 xÛ`+yÛ`+10y+5=0`
867
원 xÛ +yÛ =8의 중심 (0, 0)과 직선 y=x+k, 즉 x-y+k=0 사이의 거리를 d라 하면
d= |k|
1111125
"Ã1Û +(-1)Û =|k|
12'2 또 원 xÛ +yÛ =8의 반지름의 길이가 2'2이므로
x y
O
⑴
⑵⑶
2Â2
-2Â2 -2Â2
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나
2Â2
려면|k|
12'2<2'2, |k|<4 ∴ -4<k<4
⑵ 접하려면 |k|
12'2=2'2, |k|=4 ∴ k=Ñ4
⑶ 만나지 않으려면 |k|
12'2>2'2, |k|>4 ∴ k<-4 또는 k>4
다른 해설
y=x+k를 xÛ +yÛ =8에 대입하면 xÛ +(x+k)Û =8
∴ 2xÛ +2kx+kÛ -8=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
13D4 =kÛ -2(kÛ -8)=-kÛ +16
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면 13D4 >0이어야 하므로 -kÛ +16>0, kÛ -16<0
(k+4)(k-4)<0 ∴ -4<k<4
⑵ 접하려면 13D4 =0이어야 하므로 -kÛ +16=0, kÛ =16 ∴ k=Ñ4
⑶ 만나지 않으려면 13D4 <0이어야 하므로 -kÛ +16<0, kÛ -16>0
(k+4)(k-4)>0 ∴ k<-4 또는 k>4
868
원의 중심 (2, 1)과 직선 x-2y+k=0 사이의 거리는
11111235|2-2+k|
"Ã1Û +(-2)Û =|k|12'5
원의 반지름의 길이가 1이므로 원과 직선이 만나지 않으려면 |k|12'5>1, |k|>'5
∴ k<-'5 또는 k>'5 따라서 자연수 k의 최솟값은 3이다.
869
두 원 xÛ`+yÛ`+4x-6y-3=0, xÛ`+yÛ`-2x-12y+24=0의 교점을 지나는 원의 방정식은
(xÛ`+yÛ`+4x-6y-3)+k(xÛ`+yÛ`-2x-12y+24)=0
(단, k+-1) yy ㉠
이때 이 원의 중심이 y축 위에 있으므로 구하는 원의 중심의 x좌표는 0이다.
즉, x의 계수가 0이므로 4-2k=0 ∴ k=2 k=2를 ㉠에 대입하여 정리하면
(xÛ`+yÛ`+4x-6y-3)+2(xÛ`+yÛ`-2x-12y+24)=0 3xÛ +3yÛ -30y+45=0
xÛ`+yÛ`-10y+15=0 ∴ xÛ`+(y-5)Û`=10
따라서 원의 반지름의 길이가 '10이므로 구하는 원의 넓이는 p_('10)Û` =10p
870
두 원 xÛ`+yÛ`-4x+ky-3=0, xÛ`+yÛ`-2x+8y+7=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은
(xÛ`+yÛ`-4x+ky-3)-(xÛ`+yÛ`-2x+8y+7)=0 ∴ -2x+(k-8)y-10=0 yy ㉠
직선 ㉠이 직선 y=x+2, 즉 x-y+2=0과 수직이므로 -2´1+(k-8)´(-1)=0
-k+6=0 ∴ k=6
참고
두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 서로 수직
aa'+bb'=0
13
xÛ +yÛ -4-(xÛ +yÛ -4x-4y)=0 ∴ x+y-1=0 yy ㉠ ABÓ=2AHÓ=2_¾;2&;='14
873
M=ACÓ+r=13+4=17m=ACÓ-r=13-4=9
d=|3-1+2|
111123
```"Ã1Û +1Û =2'2
원의 반지름의 길이가 r(r>0)이므로 원 위의 점 P와 직선 사이의 거리의 최댓값과 최솟값은
(최댓값)=2'2+r, (최솟값)=2'2-r 이때 최댓값과 최솟값의 곱이 7이므로 (2'2+r)(2'2-r)=7, 8-rÛ =7 rÛ =1 ∴ r=1`(∵ r>0)
877
접선의 기울기를 m이라 하면 m=tan`45ù=1
원 xÛ`+yÛ`=18의 반지름의 길이가 3'2이므로 구하는 접선의 방정식은
y=xÑ3'2"Ã1Û`+1 ∴ y=xÑ6
다른 해설 1
접선의 방정식을 y=x+b라 하면 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-y+b=0 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 3'2와 같으 므로
|b|
1111134
"Ã1Û +(-1)Û =3'2, |b|=6 ∴ b=Ñ6 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=xÑ6
다른 해설 2
접선의 방정식을 y=x+b라 하고, 이 방정식을 원의 방정식 xÛ +yÛ =18에 대입하면
xÛ +(x+b)Û =18, 2xÛ +2bx+bÛ -18=0 yy ㉠
㉠의 판별식을 D라 하면 D=0이어야 하므로
13D4 =bÛ -2(bÛ -18)=-bÛ +36=0 ∴ b=Ñ6 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=xÑ6
878
직선 x+3y-4=0의 기울기가 -;3!;이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 3이다.
따라서 기울기가 3인 접선의 방정식을 y=3x+b라 하면 원의 중심 (3, 2)와 직선 y=3x+b, 즉 3x-y+b=0 사이 의 거리가 원의 반지름의 길이 '10과 같으므로
|9-2+b|
1111134
`"Ã3Û +(-1)Û ='10, |7+b|=10 7+b=Ñ10 ∴ b=-17 또는 b=3
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=3x-17 또는 y=3x+3
다른 해설
기울기가 3인 접선의 방정식을 y=3x+b라 하고, 이 방정식 을 원의 방정식에 대입하면
(x-3)Û +(3x+b-2)Û =10
∴ 10xÛ +6(b-3)x+bÛ -4b+3=0 yy ㉠
㉠의 판별식을 D라 하면 D=0이어야 하므로 13D4 =9(b-3)Û -10(bÛ -4b+3)=0 bÛ +14b-51=0, (b+17)(b-3)=0 ∴ b=-17 또는 b=3
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=3x-17 또는 y=3x+3
879
원 xÛ +yÛ =20 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by=20
이 접선의 x절편이 -5이므로 위의 식에 x=-5, y=0을 대 입하면
-5a=20 ∴ a=-4
점 (-4, b)는 원 xÛ +yÛ =20 위의 점이므로 16+bÛ =20
bÛ =4 ∴ b=2 (∵ b>0)
880
원의 중심 (4, 2)와 점 (2, 6)을 지나는 직선의 기울기는 6-2
1132-4=-2
이때 이 직선은 원 (x-4)Û +(y-2)Û =20 위의 점 (2, 6)에 서의 접선과 수직이므로 접선의 기울기는 ;2!;이다.
즉, 기울기가 ;2!;이고 점 (2, 6)을 지나는 직선의 방정식은 y-6=;2!;(x-2) ∴ y=;2!;x+5
{-r,`r} {r,`r}
{-r,`-r} {r,`-r}
x y
O
13
따라서 이 직선의 x절편과 y절편은 각각 -10, 5이므로 구하 는 삼각형의 넓이는
;2!;_10_5=25
참고
원 (x-a)Û +(y-b)Û =rÛ 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
(xÁ-a)(x-a)+(yÁ-b)(y-b)=rÛ 위의 공식을 이용하여 접선의 방정식을 구하면 (2-4)(x-4)+(6-2)(y-2)=20 x-2y+10=0 ∴ y=;2!;x+5
881
점 C(6, -2)에서 원에 그은 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은 y+2=m(x-6)
∴ mx-y-6m-2=0 yy`㉠
x y
mx-y-6m-2=0 x@+y@=20
O C
6 -2
이때 원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리가 원의 반지름 의 길이 2'5와 같으므로
|-6m-2|
1111113
"ÃmÛ +(-1)Û =2'5, |-6m-2|=2'5"ÃmÛ`+1 |3m+1|='5"ÃmÛ`+1
양변을 제곱하여 정리하면 9mÛ +6m+1=5mÛ +5
4mÛ +6m-4=0, 2mÛ +3m-2=0 (m+2)(2m-1)=0
∴ m=-2 또는 m=;2!; yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 2x+y-10=0 또는 x-2y-10=0
다른 해설
접점의 좌표를 P(xÁ, yÁ)이라 하면 접선의 방정식은 xÁx+yÁy=20
점 C(6, -2)는 접선 위의 점이므로
6xÁ-2yÁ=20
∴ yÁ=3xÁ-10 yy`㉢
이때 점 P는 원 위의 점이므로
xÁÛ +yÁÛ =20 yy`㉣
㉢을 ㉣에 대입하면
xÁÛ +(3xÁ-10)Û =20, 10xÁÛ -60xÁ+80=0 xÁÛ -6xÁ+8=0, (xÁ-2)(xÁ-4)=0 ∴ xÁ=2 또는 xÁ=4
∴ P(2, -4) 또는 P(4, 2) 따라서 구하는 접선의 방정식은
x-2y-10=0 또는 2x+y-10=0
882
점 (1, -4)에서 원에 그은 접선의 기울기를 m이라 하면 접 선의 방정식은
y+4=m(x-1)
∴ mx-y-m-4=0 yy`㉠
x
mx-y-m-4=0
{x+2}@+{y+2}@=4 y
O1 -2
-2
-4
이 직선과 원이 접하려면 원의 중심 (-2, -2)와 직선 ㉠ 사 이의 거리가 원의 반지름의 길이인 2와 같아야 하므로 |-2m+2-m-4|
111111112"ÃmÛ +(-1)Û =2 |-3m-2|=2"ÃmÛ`+1 양변을 제곱하면
9mÛ +12m+4=4mÛ +4 5mÛ +12m=0, m(5m+12)=0
∴ m=0 또는 m=-:Á5ª: yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=-4 또는 12x+5y+8=0
본문 382쪽
Review Quiz
883 ⑴ xÛ`+yÛ`=r, (a, b), R
⑵ {-A 132 , -B
132 }, 1111113"ÃAÛ`+BÛ`-4C2
⑶ 반지름, 판별식 ⑷ r"ÃmÛ`+1 884 ⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 참 ⑷ 거짓
884
⑴ 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0에 지나는 세 점 의 좌표를 대입하면 A, B, C에 대한 연립일차방정식이 세워진다.
이때 A, B, C는 각각 하나의 값으로 결정되므로 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 원은 오직 하나뿐이다.
또한 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 삼각형을 이루고, 삼각형의 외심은 오직 하나임을 알고 있다.
이때 외접원 또한 오직 하나임을 떠올린다면 한 직선 위 에 있지 않은 세 점을 지나는 원은 오직 하나뿐임을 이해 할 수 있다. (참)
⑵ xÛ +yÛ +2x-4y+5=0에서 (x+1)Û +(y-2)Û =0
따라서 주어진 이차방정식이 나타내는 도형은 점 (-1, 2)이다. (거짓)
⑶ 원은 원의 중심에 대하여 대칭인 도형이다.
따라서 기울기가 m인 접선을 원의 중심을 기준으로 양쪽 에 하나씩 총 2개를 그릴 수 있다. (참)
⑷ 중심이 (a, b)인 원 위의 한 점 (xÁ, yÁ)에서 원에 그은 접 선의 방정식은
(xÁ-a)(x-a)+(yÁ-b)(y-b)=rÛ`
의 꼴이다. (거짓)
참고
중심이 (a, b)인 원을 중심이 원점인 원으로 평행이동하 여 생각하면 점 (xÁ, yÁ)은 점 (xÁ-a, yÁ-b)가 되고, 이 점에서의 접선의 방정식은
(xÁ-a)x+(yÁ-b)y=rÛ`
이다.
이것을 다시 평행이동하면 처음 원의 접선의 방정식이 되 므로
(xÁ-a)(x-a)+(yÁ-b)(y-b)=rÛ`
이다.
본문 383~385쪽
중단원 연습문제 A
885 10 886 6 887 3<k<4 888 234p 889 ④ 890 ⑤ 891 -12 892 ⑤ 893 3'3 894 m<-;1°2; 895 ③ 896 8 897 20 898 y=-;3%;x+:Á3£:
899 ④ 900 72
901 2x+y-9=0 또는 x-2y-2=0 902 2'5
885
선분 AB의 중점이 원의 중심이므로 a=2+8
1132 =5, b=-4+4 11132 =0 또 선분 AB가 원의 지름이므로 r=;2!;ABÓ=;2!;"Ã(8-2)Û`+(4+4)Û`
=;2!;´10=5 ∴ a+b+r=10
886
xÛ +yÛ +4x-6y+kÛ -k-2=0에서
(xÛ +4x+4)+(yÛ -6y+9)+kÛ -k-15=0 (x+2)Û +(y-3)Û =-kÛ +k+15
이 방정식이 나타내는 도형이 반지름의 길이가 3 이상인 원 이 되려면
"Ã-kÛ +k+15 ¾3 양변을 제곱하여 정리하면
-kÛ +k+15¾9, kÛ -k-6É0 (k+2)(k-3)É0
∴ -2ÉkÉ3
따라서 구하는 정수 k의 개수는 -2, -1, 0, y, 3의 6이다.
887
xÛ`+yÛ`-2x+6y+k+6=0에서 (x-1)Û`+(y+3)Û`=4-k 이 방정식이 원을 나타내려면
4-k>0 ∴ k<4 yy ㉠ 이 원이 제4사분면 위에 있으려면 'Ä4-k<1
양변을 제곱하면 4-k<1 ∴ k>3
13
(-3+r)Û`+(6-r)Û`=rÛ`, rÛ`-18r+45=0 (r-3)(r-15)=0 ∴ r=3 또는 r=15
따라서 두 원의 반지름의 길이는 각각 3, 15이므로 두 원의 넓이의 합은
9p+225p=234p
889
PÕA Ó: PBÓ=3 : 2에서 2PAÓ=3PBÓ이므로 2"Ã(x+6)Û +yÛ =3"Ã(x-4)Û +yÛ 양변을 제곱하면
4{(x+6)Û`+yÛ`}=9{(x-4)Û`+yÛ`}
4(xÛ +12x+36+yÛ )=9(xÛ -8x+16+yÛ ) 5xÛ +5yÛ -120x=0
∴ xÛ`+yÛ`-24x=0
(1+4+4-36+26)+k(1+4-8-28+32)=0 -1+k=0 ∴ k=1
k=1을 ㉠에 대입하면
(xÛ`+yÛ`+4x-18y+26)+(xÛ`+yÛ`-8x-14y+32)=0 2xÛ +2yÛ -4x-32y+58=0
xÛ`+yÛ`-2x-16y+29=0 ∴ (x-1)Û`+(y-8)Û`=36
(xÛ`+yÛ`+ax+2y-2)-(xÛ`+yÛ`-2x+by+2)=0 ∴ (a+2)x+(2-b)y-4=0
이때 ;2!;´PAÓ´CAÓ=;2!;´CPÓ´AÕMÓ에서 ;2!;´3'3´3=;2!;´6´AÕMÓ
∴ AÕMÓ=113'32
∴ ABÓ=2AÕMÓ=2´113'32 =3'3
894
중심의 좌표가 (2, 0)이고 y축에 접하는 원의 방정식은 (x-2)Û +yÛ =2Û , 즉
xÛ +yÛ -4x=0
y=mx+3을 xÛ +yÛ -4x=0에 대입하면 xÛ +(mx+3)Û -4x=0
∴ (1+mÛ )xÛ +2(3m-2)x+9=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 13D4 =(3m-2)Û`-9(1+mÛ`)>0 9mÛ`-12m+4-9-9mÛ`>0 -12m-5>0
∴ m<-;1°2;
895
원의 중심 (5, -2)와 직선 2x+5y+k=0 사이의 거리가 원 의 반지름의 길이 '29와 같아야 하므로
|10-10+k|
111112
"Ã2Û +5Û ='29 |k|
124'29='29, |k|=29 ∴ k=29 (∵ k>0)
896
x+my-3=0에서
y
O
x
-5-5 5
3 5 PB
A Q
M (x-3)+my=0 yy ㉠
즉, 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 점 (3, 0)을 지난다.
오른쪽 그림에서 직선 ㉠이 y축과 평 행할 때, 즉 직선 PQ일 때 ABÓ의 길 이는 최소가 된다.
이때 직선 PQ와 x축의 교점을 M이라 하면 삼각형 OPM에서 PÕMÓ="Ã5Û -3Û =4 ∴ PQÓ=2PÕMÓ=8
따라서 ABÓ의 최솟값은 8이다.
897
원의 중심 (0, 0)과 직선 3x+4y+k=0 사이의 거리는 |k|
11124"Ã3Û +4Û =|k|
1245 yy ❶
이때 원의 반지름의 길이는 3이므로 원 위의 점과 직선 사이 의 거리의 최댓값이 7이 되려면
|k|
1245 +3=7, |k|=20
∴ k=20 (∵ k>0) yy ❷