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1 -3, 1, -3, -5, 1, -1, -5, -1
본문 224쪽
개념 Check
본문 225쪽
개념 익히기
512 ⑴ [ x=1
y=2 또는 [ x=2 y=1
⑵ [ x=1
y=3 또는 [ x=3
y=2 또는 [ x=5 y=1
⑶ [ x=1
y=8 또는 [ x=2
y=4 또는 [ x=4
y=2 또는 [ x=8 y=1
⑷ [ x=1
y=3 또는 [ x=3 y=2 513 ⑴ [ x=-3
y=2 또는 [ x=-2 y=1 또는
[ x=0
y=5 또는 [ x=1 y=4
⑵ [ x=-3
y=-1 또는 [ x=-1
y=0 또는 [ x=0 y=2 또는
[ x=2
y=-6 또는 [ x=3
y=-4 또는 [ x=5 y=-3
⑶ [ x=-5
y=-4 또는 [ x=-1 y=-8 또는
[ x=1
y=2 또는 [ x=5 y=-2
514 ⑴ x=-2, y=1 ⑵ x=3, y=4
⑶ x=2, y=-2 ⑷ x=2, y=4 515 ⑴ x=0, y=-1 ⑵ x=-2, y=0
⑶ x=1, y=-3
512
⑴ 합이 3이 되는 자연수 x, y의 값은 다음과 같다.
x 1 2
y 2 `1
따라서 구하는 해는 [ x=1
y=2 또는 [ x=2 y=1
8
⑵ 2xÛ`+8x+8+3yÛ`=0 HjK 2(x+2)Û`+3yÛ`=0 x, y가 실수이므로 x+2=0, y=0
xÛ -2x+1+yÛ +6y+9=0 ∴ (x-1)Û +(y+3)Û =0
x, y가 실수이므로 x-1=0, y+3=0 ∴ x=1, y=-3
다른 해설
⑶ 주어진 방정식의 좌변을 x에 대한 내림차순으로 정리하면 xÛ -2x+yÛ +6y+10=0 yy ㉠
x가 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 ;4;D=(-1)Û -(yÛ +6y+10)¾0 ∴ (y+3)Û É0 y가 실수이므로 y+3=0 y=-3
y=-3을 ㉠에 대입하여 풀면 x=1 ∴ x=1, y=-3
본문 226~235쪽
유제
516 ⑴ x=2, y=-2, z=3 ⑵ x=6, y=1, z=-4 517 a=2, b=1, c=1 518 ⑴ 4 ⑵ 1 519 해가 무수히 많다. 520 3 521 ;2%;
522 -8 523 5 524 [ x=-3
y=1 또는 [ x=-2 y=3 또는 [ x=1
y=-3또는 [ x=3 y=-2 525 2 526 0 527 ;4&;
528 46 또는 64 529 4`m 530 k=-;2!;, 공통근 : x=1
531 -1 532 [ x=-1
y=0 또는 [ x=0
y=1 또는 [ x=2
y=-3 또는 [ x=3 y=-2 533 [ x=3
y=6 또는 [ x=4
y=4 또는 [ x=6 y=3
534 x=2, y=;3@; 535 x=-2, y=-3
516
⑴
( x+y+3z=9 ⋯⋯ ㉠
{ 2x+2y+z=3 ⋯⋯ ㉡
9 3x-y-2z=2 ⋯⋯ ㉢ ㉠_2-㉡을 하면 5z=15 ∴ z=3 ㉠+㉢을 하면 4x+z=11 ⋯⋯ ㉣
z=3을 ㉣에 대입하면 4x+3=11 ∴ x=2
x=2, z=3을 ㉠에 대입하면 2+y+9=9 ∴ y=-2 ∴ x=2, y=-2, z=3
⑵
( x+y=7 ⋯⋯ ㉠
{ y+z=-3 ⋯⋯ ㉡
9 z+x=2 ⋯⋯ ㉢
㉠+㉡+㉢을 하면 2(x+y+z)=6 ∴ x+y+z=3 …… ㉣ ㉣-㉠을 하면 z=-4
㉣-㉡을 하면 x=6 ㉣-㉢을 하면 y=1 ∴ x=6, y=1, z=-4
517
연립방정식에 x=-1, y=1, z=2를 대입하면
( -a+b+2c=1 ⋯⋯ ㉠
{ a+2b-c=3 ⋯⋯ ㉡
9 2a-b+c=4 ⋯⋯ ㉢
㉠+㉡을 하면 3b+c=4 …… ㉣
㉡_2-㉢을 하면 5b-3c=2 …… ㉤
㉣, ㉤을 연립하여 풀면 b=1, c=1 이것을 ㉢에 대입하면 2a=4 ∴ a=2 ∴ a=2, b=1, c=1
518
⑴ 해가 무수히 많으려면 2
112a-2=a-3 1121 =;1!;
a-3=1 ∴ a=4
⑵ 해가 없으려면 2
112a-2=a-3 1121 +;1!;
(a-2)(a-3)=2, aÛ`-5a+4=0 (a-1)(a-4)=0 ∴ a=1 또는 a=4
8
2xÛ`+x{x+;2!;}-2{x+;2!;}2 =-1 xÛ -;2#;x+;2!;=0, 2xÛ -3x+1=0
(2x-1)(x-1)=0 ∴ x=;2!; 또는 x=1 y=x+;2!;이므로
x=;2!;, y=1 또는 x=1, y=;2#;
Ú, Û에서 구하는 해는
[ x=-1
y=1 또는
[
x=;2!;y=1 또는 [ x=1
y=-1 또는
[
x=1y=;2#;
따라서 a+b의 최댓값은 1+;2#;=;2%;이다.
522
[ 3xÛ -2x+5y=8 ⋯⋯ ㉠ xÛ -x+2y=2 ⋯⋯ ㉡
㉠-㉡_3을 하면 x-y=2 ∴ y=x-2 ⋯⋯ ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
xÛ -x+2(x-2)=2, xÛ +x-6=0
(x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2 Ú x=-3을 ㉢에 대입하면 y=-5
Û x=2를 ㉢에 대입하면 y=0 Ú, Û에서 구하는 해는 [ x=-3
y=-5 또는 [ x=2 y=0 이때 a, b가 음수이므로 a=-3, b=-5 ∴ a+b=-8
523
[ 2xÛ +3xy+yÛ =3 ⋯⋯ ㉠ xÛ +5xy+4yÛ =-2 ⋯⋯ ㉡
㉠_2+㉡_3을 하면
7xÛ +21xy+14yÛ =0, xÛ +3xy+2yÛ =0
(x+2y)(x+y)=0 ∴ x=-2y 또는 x=-y Ú x=-2y를 ㉡에 대입하면
4yÛ -10yÛ +4yÛ =-2, yÛ =1 ∴ y=Ñ1 x=-2y이므로 x=Ñ2, y=Ð1 (복부호 동순) Û x=-y를 ㉡에 대입하면
yÛ -5yÛ +4yÛ =-2, 0´yÛ =-2 이므로 해가 없다.
그런데 a=4이면 조건을 만족시키지 않는다.
∴ a=1
519
( x+4y+2z=-6 ⋯⋯ ㉠
{ 5x-2y+2z=2 ⋯⋯ ㉡
9 3x+y+2z=-2 ⋯⋯ ㉢
㉠-㉡을 하면 -4x+6y=-8
∴ 2x-3y=4 ⋯⋯ ㉣
㉡-㉢을 하면 2x-3y=4 ⋯⋯ ㉤
㉣-㉤을 하면 0´x+0´y=0
따라서 주어진 연립방정식은 해가 무수히 많다.
520
[ xÛ -5xy+6yÛ =0 ⋯⋯ ㉠ xÛ +xy-3yÛ =9 ⋯⋯ ㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면
(x-3y)(x-2y)=0 ∴ x=3y 또는 x=2y Ú x=3y를 ㉡에 대입하면
9yÛ +3yÛ -3yÛ =9 yÛ =1 ∴ y=Ñ1
x=3y이므로 x=Ñ3, y=Ñ1 (복부호 동순) Û x=2y를 ㉡에 대입하면
4yÛ +2yÛ -3yÛ =9 yÛ =3 ∴ y=Ñ'3
x=2y이므로 x=Ñ2'3, y=Ñ'3 (복부호 동순) Ú, Û에서 구하는 정수 해는 [ x=-3
y=-1 또는 [ x=3 y=1 ∴ ab=3
521
[ 2xÛ -2yÛ`+x+y=0 ⋯⋯ ㉠ 2xÛ +xy-2yÛ =-1 ⋯⋯ ㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면 (x+y)(2x-2y+1)=0 ∴ y=-x 또는 y=x+;2!;
Ú y=-x를 ㉡에 대입하면 2xÛ`-xÛ`-2xÛ`=-1 xÛ`=1 ∴ x=Ñ1
y=-x이므로 x=Ñ1, y=Ð1 (복부호 동순) Û y=x+;2!;을 ㉡에 대입하면
Ú, Û에서 구하는 해는 [ x=-2
y=1 또는 [ x=2 y=-1이므로 aÛ +bÛ =5
524
[ xy+x+y=-5
xÛ +xy+yÛ =7 에서 [ xy+x+y=-5 (x+y)Û -xy=7 x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 연립방정식은 [ a+b=-5 ⋯⋯ ㉠
aÛ -b=7 ⋯⋯ ㉡
㉠에서 b=-a-5 ⋯⋯ ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 aÛ -(-a-5)=7 aÛ +a-2=0, (a+2)(a-1)=0 ∴ a=-2 또는 a=1
이것을 ㉢에 대입하면
a=-2, b=-3 또는 a=1, b=-6
Ú x+y=-2, xy=-3일 때 x, y는 이차방정식 tÛ +2t-3=0의 두 근이므로
(t+3)(t-1)=0 ∴ t=-3 또는 t=1 ∴ [ x=-3
y=1 또는 [ x=1 y=-3
Û x+y=1, xy=-6일 때 x, y는 이차방정식 tÛ -t-6=0 의 두 근이므로
(t+2)(t-3)=0 ∴ t=-2 또는 t=3 ∴ [ x=-2
y=3 또는 [ x=3 y=-2 Ú, Û에서 구하는 해는
[ x=-3
y=1 또는 [ x=-2
y=3 또는 [ x=1
y=-3 또는 [ x=3 y=-2
525
[ xÛ`+yÛ`+x+y=2
xÛ`+xy+yÛ`=1 에서 [ (x+y)Û`+x+y-2xy=2 (x+y)Û`-xy=1
x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 연립방정식은 [ aÛ`+a-2b=2 ⋯⋯ ㉠
aÛ`-b=1 ⋯⋯ ㉡
㉡에서 b=aÛ`-1 ⋯⋯ ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면 aÛ +a-2(aÛ`-1)=2 aÛ -a=0, a(a-1)=0 ∴ a=0 또는 a=1 이것을 ㉢에 대입하면
a=0, b=-1 또는 a=1, b=0
Ú x+y=0, xy=-1일 때 x, y는 이차방정식 tÛ -1=0의 두 근이므로
(t+1)(t-1)=0 ∴ t=-1 또는 t=1 ∴ [ x=-1
y=1 또는 [ x=1 y=-1
Û x+y=1, xy=0일 때 x, y는 이차방정식 tÛ -t=0의 두 근이므로
t(t-1)=0 ∴ t=0 또는 t=1 ∴ [ x=0
y=1 또는 [ x=1 y=0 Ú, Û에서 구하는 해는 [ x=-1
y=1 또는 [ x=0
y=1 또는 [ x=1
y=-1 또는 [ x=1 y=0 따라서 |x-y|의 최댓값은
x=-1, y=1 또는 x=1, y=-1 일 때의 2이다.
526
[ 2x+y=k ⋯⋯ ㉠ xÛ`+yÛ`=5 ⋯⋯ ㉡
㉠에서 y=-2x+k를 ㉡에 대입하면
xÛ +(-2x+k)Û =5, 5xÛ`-4kx+kÛ`-5=0
이 이차방정식의 해가 오직 한 개 존재해야 하므로 이차방정 식의 판별식을 D라 하면
D
134 =(-2k)Û`-5(kÛ`-5)=0, kÛ`=25 ∴ k=Ñ5 따라서 모든 실수 k의 값의 합은 5+(-5)=0
527
[ x+y=2a+1
xy=aÛ +2 의 해 x, y를 두 근으로 하는 t에 대한 이차방 정식은
tÛ -(2a+1)t+aÛ +2=0 ⋯⋯ ㉠ x, y는 실수이므로 ㉠은 실근을 갖는다.
따라서 ㉠의 판별식을 D라 하면
D={-(2a+1)}Û -4´1´(aÛ +2)=4a-7¾0 ∴ a¾;4&;
그러므로 a의 최솟값은 ;4&;이다.
528
두 자리 자연수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자
8
2-(2k+1)+4k=0, 2k+1=0
∴ k=-;2!;
Ú, Û에서 k=-;2!;이고 그때의 공통근은 x=1이다.
531
두 이차방정식의 공통근을 a라 하면 [ aÛ +aa+b=0 ⋯⋯ ㉠
aÛ +ba+a=0 ⋯⋯ ㉡
㉠-㉡을 하면 (a-b)a+b-a=0, (a-b)(a-1)=0 ∴ a=b 또는 a=1
Ú a=b일 때 두 이차방정식은 xÛ +ax+a=0로 일치하므로 공통근은 2개이다.
Û a=1일 때 이것을 ㉠에 대입하면 1+a+b=0 Ú, Û에서 a+b=-1
532
xy+x-y+1=0에서 x(y+1)-(y+1)+2=0 ∴ (x-1)(y+1)=-2
x, y가 정수이므로 x-1, y+1도 정수이고 그 값은 다음과 같다.
x-1 -2 -1 1 2
y+1 1 2 -2 -1`
Ú x-1=-2, y+1=1일 때 x=-1, y=0 Û x-1=-1, y+1=2일 때 x=0, y=1 Ü x-1=1, y+1=-2일 때 x=2, y=-3 Ý x-1=2, y+1=-1일 때 x=3, y=-2 Ú~Ý에서 구하는 해는
[ x=-1
y=0 또는 [ x=0
y=1 또는 [ x=2
y=-3 또는 [ x=3 y=-2
533
;[!;+;]!;=;2!;에서 x+y
112xy =;2!;, 2(x+y)=xy xy-2x-2y=0, x(y-2)-2(y-2)=4 ∴ (x-2)(y-2)=4
x, y가 자연수이므로 x-2, y-2는 x-2¾-1, y-2¾-1 인 정수이고 그 값은 다음과 같다.
x-2 1 2 4
y-2 4 2 1
를 y라 하면
[ xÛ +yÛ =52 ⋯⋯ ㉠ (10y+x)+(10x+y)=110 ⋯⋯ ㉡
㉡에서 y=10-x ⋯⋯ ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
xÛ +(10-x)Û =52, xÛ -10x+24=0 (x-4)(x-6)=0 ∴ x=4 또는 x=6 x=4를 ㉢에 대입하면 y=6
x=6을 ㉢에 대입하면 y=4 따라서 처음 자연수는 46 또는 64이다.
529
처음 꽃밭의 가로와 세로의 길이를 각