문제 풀이

문제 풀이

y =4xÛ`-8x+a

(1, a-4)

=4(xÛ`-2x+1)+a-4

=4(x-1)Û`+a-4

따라서 오른쪽 그림과 같이 y¾a-4이므로 a-4=3 ∴ a=7

이차항의 계수가 -1이고, 꼭짓점의 좌표가 (2, 2)이 므로

y =-(x-2)Û`+2=-xÛ`+4x-2 이 이차함수의 그래프를 그리면 오른

x y

O 2

2

-2

쪽 그림과 같다.

ㄱ. 그래프는 제2사분면을 지나지 않 는다.

ㄷ. a=4, b=-2이므로 a+b=2 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

꼭짓점의 좌표, 축의 방정식, x축과의 두 교점 중 어떤 조건이 주어 졌느냐에 따라 이차함수의 식을 놓는 방법이 달라진다. 이 문제에서는 이 차함수의 그래프의 축의 방정식이 x=2이므로 이차함수의 식을

x축과의 교점의 좌표가 (-5, 0), (-1, 0)이고, 이 차항의 계수가 a이므로

y=a(x+5)(x+1)=axÛ`+6ax+5a 에서 b=6a, c=5a

또 y =axÛ`+6ax+5a=a(x+3)Û`-4a

꼭짓점의 좌표는 (-3, -4a)이고, yÉ8이므로 -4a=8 ∴ a=-2

따라서 a=-2, b=-12, c=-10이므로 abc=-240

y =-xÛ`-4x+5=-(x+2)Û`+9 이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, 9)이다.

이때 꼭짓점의 x좌표가 -1ÉxÉ3의 범위 안에 있지 않으 므로

`f(-1)=-1+4+5=8 f(3)=-9-12+5=-16

따라서 y의 값의 범위는 -16ÉyÉ8

ㄱ. x축과 접하므로 한 점에서 만난다.

ㄴ. x축과 만나지 않는다.

ㄷ. D4 =2Û`-(-1)_0>0

이므로 x축과 두 점에서 만난다.

ㄹ. D4 =(-2)Û`-1_4=0

이므로 x축과 한 점에서 만난다.

ㅁ. D=0Û`-4_{-;2!;}_(-1)<0 이므로 x축과 만나지 않는다.

ㅂ. D4 =1Û`-1_(-1)>0

이므로 x축과 두 점에서 만난다.

xÛ`-2x-1=2x+m에서 xÛ`-4x-m-1=0이므로

D4 =(-2)Û`-(-m-1)=m+5

⑴ D4 >0에서 m+5>0

∴ m>-5

⑵ D4 =0에서 m+5=0

∴ m=-5

⑶ D4 <0에서 m+5<0

∴ m<-5

x축과의 교점이 없으므로 2xÛ`-8x+1-k=0의 판별식 D4 <0이다.

D4 =(-4)Û`-2(1-k)<0 ∴ k<-7

다른 풀이

y=2xÛ`-8x+1-k=2(x-2)Û`-7-k 이므로 꼭짓점의 좌표는 (2, -k-7)

따라서 그래프가 x축보다 위쪽에만 그려지므로 -k-7>0 ∴ k<-7

2xÛ`=3x+5에서 xÛ`=;2#;x+;2%;

따라서 y=xÛ`외에 필요한 다른 일차함수의 식은 y=;2#;x+;2%;

주어진 이차함수의 그래프는 축 x=-1에 대하여 대 칭이므로 x축과의 두 교점은 (-3, 0), (1, 0)이다.

따라서 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 -3, 1이므로 두 근의 합은 -3+1=-2

y=-xÛ`-4x+c

x y

PO B

A -2

=-(x+2)Û`+4+c

이므로 꼭짓점의 x좌표가 -2이고, ABÓ=6이므로 축의 대칭성에 의해 PAÓ=PBÓ=3

∴ A(-5, 0), B(1, 0)

y=-xÛ`-4x+c에 점 B(1, 0)을 대입하면 -1-4+c=0 ∴ c=5

따라서 y=-xÛ`-4x+5=-(x+2)Û`+9에 대하여 대응하는 y의 값이 범위는 yÉ9

다른 풀이

이차항의 계수가 -1이고, x축과의 교점의 x좌표가 -5, 1이므로

y =-(x+5)(x-1)

=-xÛ`-4x+5

=-(x+2)Û`+9

따라서 y의 값이 범위는 yÉ9

y=xÛ`, y=ax+b의 두 그래프의 교점의 x좌표인 -3, 1은 xÛ`=ax+b의 두 근이다.

따라서 xÛ`-ax-b=0의 두 근은 -3, 1이므로 두 근의 곱은 -3이다.

이차항의 계수가 a이고, 두 근이 -1, 2이므로 a(x+1)(x-2)=0, axÛ`-ax-2a=0

∴ b=-a, c=-2a 즉 y =cxÛ`+bx+a

=-2axÛ`-ax+a

=-a(2xÛ`+x-1) yy`㉠

따라서 ㉠과 x축과의 교점의 x좌표는 이차방정식 2xÛ`+x-1=-a(x+1)(2x-1)=0의 두 근인

`x=-1 또는` x=;2!;이다.

또 주어진 조건에서 a>0이므로 c=-2a<0

따라서 구하는 이차함수의 그래프는

x y

O ;2!;

-1

오른쪽 그림과 같다.

f(x)=xÛ`+ax+b

x y

O

f(x)=xÛ +axæ+b

={x+;2A;}Û`- aÛ`4 +b 의 그래프와 x축이 x축의 양의 부 분에서 만나므로 오른쪽 그림과 같이 축은 y축의 오른쪽에 있고,

(y절편)>0, (꼭짓점의 y좌표)<0이어야 한다.

-;2A;>0, b>0, - aÛ`4 +b<0

∴ a<0, b>0, aÛ`-4b>0

다른 풀이

이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 실근을 각각 a, b라 하면 서로 다른 두 양의 근을 가질 조건은

D=aÛ`-4b>0, a+b=-a>0, ab=b>0

∴ a<0, b>0, aÛ`-4b>0

y=3-;2#;x이므로 점 P의 x좌

x y

P¦a, 3-;2#;a¥

O 3

H 2

표를 a(0ÉaÉ2)라 하면 P{a, 3-;2#;a}, H(a, 0)이므로

△OPH=;2!;_a_{3-;2#;a}

=-;4#;aÛ`+;2#;a

=-;4#;(a-1)Û`+;4#;

따라서 △OPHÉ;4#;이므로

구하는 △OPH의 최대의 넓이는 ;4#;이다.

오른쪽 그림과 같이 ABÓ를 y축,

x y

O(B)

P(0, 20-x)

Q(2x, 0) 20A

24 D

C

BCÓ를 x축, 점 B를 원점에 대응시키 면 A(0, 20), B(0, 0), C(24, 0)이 고, x초 후의 점 P, Q의 좌표는 P(0, 20-x), Q(2x, 0)이다.

PQÓ ="Ã(2x)Û`+(20-x)Û`

="Ã5xÛ`-40x+400

="Ã5(x-4)Û`+320

이므로 두 점 P, Q 사이의 거리는 PQÓ¾'¶320이므로 PQÓ의 최소 거리는 '¶320=8'5`(cm)이다.

좌표평면 위에 나타내

x y

P¦a, -;16;aÛ +1001 ¥

O(A) 40

100 D

B

면 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 C

점이 C(0, 100)이고, 점 B(40, 0)을 지나는 포물선 이 된다.

이때 포물선의 식은

3 a=5, b=-5 a=-2, b=-4, c=6 a+b¾-;4%; -4É2x+yÛ`É5

a>;1#2&; B(2, 4) 1 -13 -4 k<:ª8°:

2<b<3 2, 8, 18 a=2, b=-4, c=-7 2

2 y=x+4 b=3, c=2 5일

b+c2

128~132쪽

실력 높이기

STEP

문제 풀이

꼭짓점의 좌표가 (1, 3)이고, 이차항의 계수가 1이므로 y =xÛ`+2ax+b

=(x-1)Û`+3

=xÛ`-2x+4

따라서 2a=-2, b=4이므로 a=-1, b=4

∴ a+b=3

y=xÛ`-4x-1=(x-2)Û`-5 이므로 y¾-5이다.

오른쪽 그림과 같이 주어진 조건에 의

x y

O 4

1 2 a

-5 -1

해 f(a)=4이므로

aÛ`-4a-1=4, aÛ`-4a-5=0

∴ a=5 (∵ a>2)

따라서 x의 값의 범위는 1ÉxÉ5이

고, y의 값의 범위는 -5ÉyÉ4이다.

∴ a=5, b=-5

x축과 두 점 (-3, 0), (1, 0)에서 만나므로 y=a(x+3)(x-1)

이고, 축의 대칭성에 의해 축의 방정식은 x=-1이다.

또한 yÉ8이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, 8)이다.

즉 8=a_2_(-2) ∴ a=-2

따라서 y=-2(x+3)(x-1)=-2xÛ`-4x+6

∴ a=-2, b=-4, c=6

점 P(a, b)는 y=xÛ`-4x+1의 그래프 위의 점이므로 b=aÛ`-4a+1

y=-;1Á6;xÛ`+100 (0<x<40)

이고, 점 P의 x좌표를 a라 하면 P{a, -;1Á6;aÛ`+100}

이므로 상가 밑면의 둘레의 길이 l은 l=2{a-;1Á6;aÛ`+100}

=-;8!;aÛ`+2a+200

=-;8!;(aÛ`-16a)+200

=-;8!;(a-8)Û`+208

따라서 lÉ208이므로 구하는 l의 최대 길이는 208`m이다.

가격을 x원 올렸다고 하면 2x개가 덜 팔리므로 총 판 매 금액 P는

P =(50+x)(300-2x)

=-2xÛ`+200x+15000

=-2(x-50)Û`+20000

따라서 PÉ20000이므로 구하는 최대 매출액은 20000원이 다.

가격을 500x원 내리면 20x개가 더 팔리므로 이익 S는 S=(20000-500x)(100+20x)-15000(100+20x)

=-10000xÛ`+50000x+500000

=-10000(xÛ`-5x)+500000

=-10000{x-;2%;}Û`+562500

따라서 SÉ562500이므로 최대 이익은 562500원이다.

∴ a+b=aÛ`-3a+1

={a-;2#;}Û`-;4%;

따라서 a+b¾-;4%;이다.

yÛ`=4-xÛ`이고 4-xÛ`¾0이므로

54

-2

-4 O 1 2 x

y

xÛ`-4É0 ∴ -2ÉxÉ2 2x+yÛ` =2x+4-xÛ`

=-xÛ`+2x+4

=-(x-1)Û`+5 (-2ÉxÉ2) 오른쪽 그림에서 -4É2+yÛ`É5

이차함수 y=3xÛ`-5x+a-1의 그래프가 x축과 만나 지 않으므로 x절편이 존재하지 않는다.

따라서 3xÛ`-5x+a-1=0에서

D=(-5)Û`-4_3(a-1)<0이므로 37-12a<0

∴ a>;1#2&;

표현 단계 점 A(-1, a)는 y=xÛ`의 그래프 위의 점이므로 대입하면 a=1

∴ A(-1, 1)

변형 단계 또한 점 A(-1, 1)은 직선 y=x+k 위의 점이므 로 대입하면 1=-1+k에서 k=2

풀이 단계 따라서 y=xÛ`의 그래프와 직선 y=x+2의 교점의 x좌표는

xÛ`=x+2, xÛ`-x-2=0

(x-2)(x+1)=0 ∴ x=2 또는 x=-1 즉 x=2를 y=xÛ`에 대입하면 y=4

확인 단계 ∴ B(2, 4)

xÛ`-2ax+a=0의 두 근을 a, b라 하면 x축과 만나는 두 점은 (a, 0), (b, 0)이고 a+b=2a, ab=a

|a-b| ="Ã(a+b)Û`-4ab

="Ã4aÛ`-4a='5

∴ 4aÛ`-4a-5=0

따라서 근과 계수의 관계에 의해 a의 값들의 합은 - -44 =1

서술형

표현 단계 축의 방정식이 x=-1이고,

x y

x=-1 O

-5 3

x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 8이므로 주어진 이차 함수의 그래프는 오른쪽 그 림과 같이 x축과 두 점 (-5, 0), (3, 0)에서 만난다.

변형 단계 즉 두 점 (-5, 0), (3, 0)은 y=xÛ`+ax+b의 그 래프 위의 점이므로 각각 대입하면

[ -5a+b+25=0 3a+b+9=0

풀이 단계 위의 연립방정식을 풀면 a=2, b=-15

확인 단계 ∴ a+b=-13

다른 풀이

변형 단계 이차항의 계수가 1이고, x축과 두 점`(-5, 0), (3, 0)에서 만나므로

y=(x+5)(x-3)=xÛ`+2x-15 yy`㉠

풀이 단계 ㉠과 y=xÛ`+ax+b를 비교해 보면 a=2, b=-15

확인 단계 ∴ a+b=-13

y=axÛ`, y=-bx-c의 그래프의 교점의 x좌표는 이 차방정식 axÛ`+bx+c=0의 근이므로 두 근은 2, -1이다.

따라서 a(x-2)(x+1)=0에서 axÛ`-ax-2a=0 b=-a, c=-2a

이때 y=axÛ`, y=ax+2a의 교점의 좌표가 (-1, 2)이므 로 y=axÛ`에 x=-1, y=2를 대입하면 a=2

∴ b=-2, c=-4

∴ a+b+c=-4

교점이 2개이므로 2xÛ`-6x+3=x-k 즉 2xÛ`-7x+3+k=0의 근이 2개이다.

따라서 D=(-7)Û`-4_2(3+k)>0이므로 49-24-8k>0

∴ k<:ª8°:

y =axÛ`-2ax+b

=a(xÛ`-2x)+b

=a(x-1)Û`-a+b

x y

x=1 O -1a 2b 3

이므로 축의 방정식은 x=1이다.

따라서 -1<a<0이므로 축의 대칭 성에 의해 2<b<3이다.

서술형

x축과의 교점의 x좌표를 구하면

;2!;xÛ`-k=0에서

xÛ`=2k ∴ x=Ñ'2Œk 따라서 x축과의 교점의 좌표는 ('2Œk, 0), (-'2Œk, 0)이므로 ABÓ='2Œk-(-'2Œk)=2'2Œk

이고 k는 자연수이므로 '2Œk가 정수가 되면 된다.

따라서 2k는 제곱수가 되어야 하고 k는 20보다 작은 자연 수이므로 k=2, 8, 18

y=axÛ`+bx+c

=a{x+ b2a }Û`- bÛ`4a +c

에서 축의 방정식이 x=- b2a =1이므로` b=-2a

포물선 y=axÛ`-2ax+c와 직선 y=2x+1의 교점의 x좌 표가 4, -1이므로 axÛ`-2ax+c=2x+1, 즉

axÛ`-2(a+1)x+c-1=0의 두 근이 -1, 4이다.

Ú (두 근의 합)= 2(a+1)a =3이므로 3a=2a+2 ∴ a=2, b=-4 Û (두 근의 곱)= c-1a =-4이므로

c-1=-4a, c-1=-8 ∴ c=-7

∴ a=2, b=-4, c=-7

이차항의 계수가 1이므로 f(x)=(x-a)(x-b) g(x)=(x-a)(x-c) 로 놓으면

f(x)+g(x)=(x-a)(2x-b-c) 이므로 방정식 f(x)+g(x)=0의 두 근은

`x=a 또는 x= b+c2

따라서 a 이외의 근은 b+c2 이다.

두 식을 연립하면 xÛ`+ax=-xÛ`+b

∴ 2xÛ`+ax-b=0 yy`㉠

이 방정식의 한 근이 -1+'3이고, a, b가 유리수이므로 대입하여 무리수가 서로 같을 조건을 이용한다.

2(-1+'3)Û`+a(-1+'3)-b=0 (8-a-b)+(a-4)'3=0 에서 8-a-b=0, a-4=0이므로

a=4, b=4 따라서 ㉠에서

2xÛ`+4x-4=0, xÛ`+2x-2=0

∴ x=-1Ñ'3

y=-xÛ`+b=-xÛ`+4이므로

P(-1+'3, 2'3), Q(-1-'3, -2'3)

∴ ( PQê의 기울기)= 2'3-(-2'3) (-1+'3)-(-1-'3)

=4'3 2'3

=2

다른 풀이

㉠에서 이차방정식의 한 근이 -1+'3이고 a, b가 유리수 이므로 다른 한 근은 켤레근인 -1-'3이다.

근과 계수의 관계에서

(두 근의 합)=(-1+'3)+(-1-'3)=-;2A;

이므로 -2=-;2A; ∴ a=4

(두 근의 곱)=(-1+'3)_(-1-'3)=-;2B;

이므로 -2=-;2B; ∴ b=4

△CAD：△CDB=1：2에서 ACÓ`:`CBÓ=1`:`2이므로

y=xÛ`과 y=ax+8의 교점의 x좌표를 -k, 2k(k>0)라 하 면 xÛ`=ax+8, 즉 xÛ`-ax-8=0의 두 근이 -k, 2k이므로 Ú (두 근의 합)=-k+2k=a에서 k=a

Û (두 근의 곱)=-k_2k=-8에서 kÛ`=4

∴ k=2`(∵ k>0) Ú, Û에서 a=2

표현 단계 y =-xÛ`-2x+8

=-(xÛ`+2x+1-1)+8

=-(x+1)Û`+9

이므로 꼭짓점은 A(-1, 9)

x축과의 교점인 점 B와 C의 좌표는 y=0을 대입 하면

-xÛ`-2x+8=0에서 xÛ`+2x-8=0 (x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2

∴ B(-4, 0), C(2, 0)

변형 단계 직선 l이 △ABC의 넓이를 이등분하려면 ACÓ의 중점 { -1+22 , 9+02 }={;2!;, ;2(;}를 지나면 된다.

서술형

yÉ3 (a-b)Û`¾7 f(m)É-3 150원, 4500원 B{;3@;, ;9!;} y=x+1

P(2, 6) 2 2'5

최고 실력 완성하기

STEP

133~134쪽

문제 풀이

a에 관한 이차방정식이 중근을 가지므로 D4 =4(x-1)Û`-4(2x-y)=0

(x-1)Û`-(2x-y)=0 xÛ`-2x+1-2x+y=0

∴ y =-xÛ`+4x-1

=-(x-2)Û`+3 따라서 yÉ3이다.

이차방정식 xÛ`-2ax+a-2=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=2a, ab=a-2

(a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab

=(2a)Û`-4(a-2)

=4aÛ`-4a+8

=4{a-;2!;}Û`+7 따라서 (a-b)Û`¾7이다.

y =xÛ`-2mx-8m-19

=(xÛ`-2mx+mÛ`-mÛ`)-8m-19

=(x-m)Û`-mÛ`-8m-19 따라서 y¾-mÛ`-8m-19이므로

풀이 단계 두 점 (-4, 0), {;2!;, ;2(;}를 지나는 직선을 그래프 로 하는 일차함수의 식을 구하면

(기울기)= ;2(;-0

;2!;-(-4)=1

즉 y=x+k가 점 (-4, 0)을 지나므로 0=-4+k ∴ k=4

확인 단계 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=x+4이다.

y=x-1과 y=-xÛ`+bx+c의 그래프의 교점의 x좌 표가 -1, 3이므로 x-1=-xÛ`+bx+c, 즉

xÛ`+(1-b)x-1-c=0의 두 근이 -1, 3이다.

따라서 근과 계수의 관계에서

(두 근의 합)=-1+3=-(1-b) ∴ b=3 (두 근의 곱)=-1_3=-1-c ∴ c=2

다른 풀이

그래프를 그려 보면 오른쪽 그림과

x

y y=x-1

y=-xÛ +bx+c O

A

B

-1 3

같고 y=x-1에서 A(-1, -2), B(3, 2)이다.

y=-xÛ`+bx+c에 점 A, B의 좌 표를 각각 대입하면

-b+c=-1, 3b+c=11

∴ b=3, c=2

현재의 사과의 양과 가격을 각각 m, p라 할 때, x일 후의 사과의 양과 가격은 각각 m{1+;1Á0;x}, p{1-;2Á0;x}이다.

이때 x일 후의 수입을 y원이라 하면 y=mp{1+;1Á0;x}{1-;2Á0;x}

=mp{1+;2Á0;x-;20!0;xÛ`}

=-mp

200 (xÛ`-10x-200)

=-mp

200 (x-5)Û`+;8(;mp

따라서 yÉ;8(;mp이고, 그때의 x의 값은 5이므로 5일 후에 팔면 최대의 수입을 얻을 수 있다.

f(m) =-mÛ`-8m-19

=-(mÛ`+8m+16-16)-19

=-(m+4)Û`-3 따라서 f(m)É-3이다.

주어진 조건에 의해 상품 한 개당 판매 가격을 (100+x)원으로 정하면 판매 개수는 (400-2x)개가 된다.

총 판매 금액을 f(x)라 하면 f(x) =(100+x)(400-2x)

=-2xÛ`+200x+40000

=-2(xÛ`-100x+2500-2500)+40000

=-2(x-50)Û`+45000

이므로 x=50일 때, 총 판매 금액은 최대 금액 45000이다.

따라서 총 판매 금액을 최대로 하는 상품 한 개당 판매 가격 은 100+50=150(원)이고, 총 판매 금액은 45000원이다.

점 A의 좌표를 (a, aÛ`)(a>0)이라 하면 점 D의 좌표는 (a, 4aÛ`)이므로

점 C의 y좌표는 4aÛ`이 되고 점 C는 y=xÛ` 위의 점이므로 4aÛ`=xÛ`에서 x=2a`(∵ a>0)

따라서 점 C의 좌표는 (2a, 4aÛ`)이 된다.

 ABCD는 정사각형이므로 ADÓ=CDÓ이고 ADÓ=4aÛ`-aÛ`=3aÛ`, CDÓ=2a-a=a이므로 3aÛ`=a ∴ a=;3!;

따라서 점 B(2a, aÛ`)이므로 B {;3@;, ;9!;}이다.

직선 PQ의 기울기를 m이라 하면 점 (1, 2)를 지나므로

y-2=m(x-1) ∴ y=mx-m+2

포물선 y=xÛ`, 직선 y=mx-m+2의 교점의 x좌표를 a, b라 할 때, a, b는 방정식

xÛ`=mx-m+2, 즉 xÛ`-mx+m-2=0 yy`㉠

의 두 근이다.

점 P(a, aÛ`), Q(b, bÛ`)이고 직선 PO와 QO의 기울기는 각 각 aÛ`a =a, bÛ`

b =b이고, POÓ⊥QOÓ이므로

ab=-1 yy`㉡

㉠, ㉡에서 ab=m-2=-1 ∴ m=1 따라서 구하는 직선의 방정식은

y=x+1

△ABP는 밑변을 ABÓ로 갖는 삼각

x y

O

A P

B

형이므로 높이가 최대가 되는 경우를 찾 는다.

즉 오른쪽 그림과 같이 직선 AB에 평행 하고 포물선에 접하는 직선이 있을 때, 그 접점 P와 직선 AB 사이의 거리가 최 대가 되므로 이 경우에 △ABP의 넓이 가 최대가 된다.

따라서 두 함수 y=-3x+m, y=-3xÛ`+9x의 그래프가 접하므로 연립하면 중근을 갖는다.

-3x+m=-3xÛ`+9x에서 3xÛ`-12x+m=0

이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 D4 =36-3m=0 ∴ m=12

그러므로 점 P의 x좌표는 3xÛ`-12x+12=0에서 xÛ`-4x+4=0, (x-2)Û`=0 ∴ x=2 x=2를 y=-3xÛ`+9x에 대입하면 y=6이므로 P(2, 6)

이차함수의 그래프와 x축과의 교점의 x좌표는 xÛ`+(a-4)x-1=0의 두 근이다.

xÛ`+(a-4)x-1=0의 두 근을 a, b라 하면 a+b=-a+4, ab=-1

두 교점 사이의 거리는

|a-b| ="Ã(a+b)Û`-4ab

="Ã(-a+4)Û`+4="Ã(a-4)Û`+4`

따라서 구하는 최소거리는 '4=2이다.

오른쪽 그림과 같이

10-x

A B

O

C D

P Q

10 2x-10

10-x

x

OPÓ=x라 하면 CDÓ=PQÓ=10-x, BCÓ =x-(10-x)

=2x-10

△BCD에서 피타고라스 정리에 의해 BDÓ ="Ã(2x-10)Û`+(10-x)Û`

="Ã5xÛ`-60x+200

="Ã5(x-6)Û`+20 (0<x<10) 따라서 BDÓ¾'2Œ0=2'5이다.

④ 5 y=;2!;xÛ`-2x+3 x>-3 -4 또는 3 ③

제4사분면 제3사분면 풀이 참조 y=1 (-1, 0) 3

k<0, 0<k<;3!; Q(3-3'2, 0) B(4, 16) -2, 2 ;3@;<a<;2#; y=-;2#;x+2

-3 y=-xÛ`+4x+5 a+b¾2 P(2, -2) 15 2750

1시간 24분

단원 종합 문제 ^135~138쪽

ⅠV

문제 풀이

이차항의 계수의 절댓값이 클수록 포물선의 폭은 좁 아진다.

따라서 이차항의 계수의 절댓값이 가장 작은 것은 ④이다.

y=-xÛ`+2x=-(x-1)Û`+1 이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, 1)

y=-xÛ`-4x+5=-(x+2)Û`+9이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, 9)

따라서 점 (1, 1)을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으 로 n만큼 평행이동한 점의 좌표가 (-2, 9)이므로

m=-3, n=8 ∴ m+n=5

다른 풀이

y=-(x-1)Û`+1의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축 의 방향으로 n만큼 평행이동하면

y=-(x-m-1)Û`+1+n

y=-xÛ`+2(m+1)x-(m+1)Û`+1+n 이 식이 y=-xÛ`-4x+5와 같으므로 2(m+1)=-4, -(m+1)Û`+1+n=5

∴ m=-3, n=8 ∴ m+n=5

x축에 대하여 대칭이므로 y 대신 -y를 대입한다.

-y=-;2!;xÛ`+2x-3 ∴ y=;2!;xÛ`-2x+3

y=-;3@;xÛ`-4x-7=-;3@;(xÛ`+6x)-7

=-;3@;(x+3)Û`-1

따라서 꼭짓점의 좌표가 (-3, -1)이고, 위로 볼록한 포 물선이므로 x의 값이 증가할 때 y의 값이 감소하는 x의 값 의 범위는 x>-3이다.

주어진 이차함수는 꼭짓점의 y의 값이 12이므로 y =-xÛ`+2kx+k=-(xÛ`-2kx+kÛ`-kÛ`)+k

=-(x-k)Û`+kÛ`+k

따라서 kÛ`+k=12, kÛ`+k-12=0이므로 (k+4)(k-3)=0

∴ k=-4 또는 k=3

주어진 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로

ab<0 ∴ b<0

또 y절편이 음수이므로 c<0

① ab<0 ② bc>0 ③ ac<0

④ f(1)=a+b+c<0

⑤ f(2)=4a+2b+c>0

a>0이므로 아래로 볼록하고, a, b의 부호가 다르므 로 축은 y축의 오른쪽에 있으며 y절편은 0이다.

따라서 이차함수 y=axÛ`+bx의 그래

x y

O

프를 그리면 오른쪽 그림과 같으므로 꼭짓점은 제4사분면 위에 위치한다.

주어진 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로

ab<0 ∴ b<0

또, y절편이 음수이므로 c<0

∴ ;aB;<0, ;bC;>0

x y

O

따라서 직선 y=;aB;x+;bC;는 오른쪽 그림 과 같으므로 제3사분면을 지나지 않는다.

주어진 일차함수의 그래프에서 a>0, b>0이다.

따라서 y=axÛ`+2abx+abÛ`=a(x+b)Û`에서 이차항의 계 수 a>0이므로 아래로 볼록하고 꼭짓점의 좌표는

(-b, 0)이다.

x y

-b O

이때 -b<0이므로 주어진 이차함수 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

y=xÛ`-4x+5=(x-2)Û`+1 이므로 꼭짓점의 좌표는 (2, 1)이다.

따라서 두 점 (2, 1), (3, 1)을 지나는 직선의 방정식은 y=1이다.

y=-xÛ`+2x+a에 점 (3, 0)을 대입하면 0=-9+6+a ∴ a=3

즉, y=-xÛ`+2x+3의 그래프와 x축과의 교점의 x좌표는 -xÛ`+2x+3=0에서

xÛ`-2x-3=0, (x-3)(x+1)=0

∴ x=3 또는 x=-1

따라서 다른 한 점의 좌표는 (-1, 0)이다.

y=xÛ`+2x-3=(x+1)Û`-4 이므로 꼭짓점 C(-1, -4)

x축과의 교점의 x좌표는 xÛ`+2x-3=0에서 (x+3)(x-1)=0

∴ x=1 또는 x=-3 즉, A(-3, 0)

y절편이 -3이므로 B(0, -3)

△ABC=3_4-{;2!;_3_3+;2!;_1_1+;2!;_4_2}

=12-9=3

다른 풀이

△^ABC=;2!;|^-3₀  0 -3  -1

-4  -3 0|

=;2!;|9-15|=3

참고

세 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª), (x£, y£)로 이루어진 삼각형의 넓 이 S는

S=;2!;|^xÁ_yÁ^xª_yª^x£_y£^xÁ_yÁ|

=;2!;|(xÁyÁ+xªy£+x£yÁ)-(xªyÁ+x£yª+xÁy£)|

점선 부분의 곱의 합 실선 부분의 곱의 합

kxÛ`-2(k-1)x+k+1=0 이 서로 다른 두 근을 가지려면

D4 =(k-1)Û`-k(k+1)>0

-3k+1>0 ∴ k<;3!;

그런데 y=kxÛ`-2(k-1)x+k+1은 이차함수이므로 k+0

∴ k<0, 0<k<;3!;

y=;3!;xÛ`-2x+3=;3!;(x-3)Û`

이므로 꼭짓점 P(3, 0) y절편이 3이므로 A(0, 3)

따라서 APÓ="Ã3Û`+3Û`='1Œ8=3'2이므로 Q(3-3'2, 0)

두 식을 연립하면 xÛ`=ax+8이고, 이 방정식의 한 근 이 -2이므로 `대입하면

4=-2a+8 ∴ a=2

xÛ`=2x+8에서 xÛ`-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0

∴ x=-2 또는` x=4

따라서 점 B의 x좌표는 4이고 y=xÛ`에 x=4를 대입하면 y=16이므로 B(4, 16)이다.

두 함수 y=xÛ`과 y=ax의 그래프의 교점의 x좌표를 구하면

xÛ`=ax에서 xÛ`-ax=0, x(x-a)=0

∴ x=0 또는` x=a

따라서 두 교점의 좌표는 (0, 0), (a, aÛ`)이므로 ABÓ="ÃaÛ`+aÝ`=2'5에서

aÝ`+aÛ`-20=0, (aÛ`-4)(aÛ`+5)=0 aÛ`=4 (∵ aÛ`>0) ∴ a=Ñ2

y=xÛ`+4x+3과 y=-x-3의 그래프의 두 교점의 x 좌표는 xÛ`+4x+3=-x-3에서

xÛ`+5x+6=0, (x+2)(x+3)=0

∴ x=-2 또는` x=-3 즉 두 교점의 좌표는

x y

O -1 2

㉡

㉠

-3-2

(-2, -1),(-3, 0)이고, 직선 y=ax+2는 y절편이 2이므로 오 른쪽 그림과 같이 두 직선 ㉠과 ㉡ 사이에 있다.

Ú (-3, 0), (0, 2)를 지날 때 (직선 ㉠의 기울기)= 0-2-3-0 =;3@;

Û (-2, -1), (0, 2)를 지날 때 (직선 ㉡의 기울기)= -1-2-2-0 =;2#;

따라서 Ú, Û에서 직선 y=ax+2의 기울기인 a의 값의 범위는 ;3@;<a<;2#;

-2xÛ`=3x-4에서 양변을 -2로 나누면 xÛ`=-;2#;x+2이므로

y=xÛ`, y=-;2#;x+2의 그래프가 필요하다.

따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-;2#;x+2

두 교점은 세 그래프를 모두 지나므로 y=-xÛ`+9와 y=-2x+6의 교점을 구하면

-xÛ`+9=-2x+6에서

xÛ`-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=3

즉, 두 교점은 (-1, 8), (3, 0)이므로 y=axÛ`+bx+3에 각각 대입하면 a-b+3=8, 9a+3b+3=0 즉, a-b=5, 3a+b=-1이므로 두 식을 연립하여 풀면

a=1, b=-4

∴ a+b=-3

x축과 두 점 (-1, 0), (5, 0)에서 만나므로

y=a(x+1)(x-5)로 놓으면 대칭축은 x=2이므로 꼭짓 점의 좌표는 (2, 9)이다.

y=a(xÛ`-4x-5)=a(x-2)Û`-9a

따라서 -9a=9에서 a=-1이므로 구하는 포물선의 방정 식은 y=-xÛ`+4x+5

점 P(a, b)가 y=2xÛ`+3x+4의 그래프 위의 점이므 로 x=a, y=b를 각각 대입하면 b=2aÛ`+3a+4

∴ a+b =a+(2aÛ`+3a+4)=2aÛ`+4a+4

=2(aÛ`+2a+1-1)+4=2(a+1)Û`+2

∴ a+b¾2

오른쪽 그림과 같이 직선

x y y=xÛ -2x-2

y=2x+m

y=2x-8

O 1 4

-2-3 P

-8

y=2x-8에 평행하고 포물선 y=xÛ`-2x-2=(x-1)Û`-3에 접하는 직선의 방정식을 y=2x+m이라고 하면 xÛ`-2x-2=2x+m

즉, xÛ`-4x-m-2=0에서 판별식 D=0이므로 D4 =4-(-m-2)=0 ∴ m=-6

따라서 y=xÛ`-2x-2와 y=2x-6의 그래프의 교점의 좌 표를 구하면

xÛ`-2x-2=2x-6에서 xÛ`-4x+4=0 (x-2)Û`=0 ∴ x=2

x=2를 y=2x-6에 대입하면 y=-2

∴ P(2, -2)

물건의 처음 가격을 a원, 판매량을 b개라 하면 x일 후 의 가격은 a{1+;10%0;x}원, 판매량은 b{1-;10@0;x}개이므로 (판매 수입)=(가격)_(판매량)

=ab{1+;10%0;x}{1-;10@0;x}

=;10A0B0;(20+x)(50-x)

=;10A0B0;(-xÛ`+30x+1000)

=-;10A0B0;(x-15)Û`+;4$0(;ab(원)

따라서 yÉ;4$0(;ab에서 판매 수입의 최대는 ;4$0(;ab이고 그때 의 x의 값은 15이므로 x=15일 때, 판매 수입은 최대이다.

가격이 (3000+10x)원이면 판매량은 (100-2x)kg 이므로 판매 금액은 (3000+10x)(100-2x)원이고, 원가 는 2000(100-2x)원이다.

따라서 하루의 이익 P는

P=(3000+10x)(100-2x)-2000(100-2x)

=(1000+10x)(100-2x)

=-20(x+100)(x-50)

=-20(xÛ`+50x-5000)

=-20(x+25)Û`+112500

따라서 x=-25일 때 P는 최대가 되므로

a=3000+10_(-25)=2750(원)씩 판매할 때 최대 이익 을 낸다.

교차점의 좌표를 O(0, 0)

x y

A(-5+4t, 0) B(0, -4+2t) O

-4 -5

으로 하면

A(-5, 0), B(0, -4) 이므로 t시간 후의 점 A, B의 좌표는

A(-5+4t, 0), B(0, -4+2t)이다.

ABÓ="Ã(4t-5)Û`+(2t-4)Û`

="Ã20tÛ`-56t+41

=¾¨20{t-;5&;}Û`+;5(;

따라서 대응하는 ABÓ의 값의 범위는 ABÓ¾®;5(;이므로 ABÓ가 최소인 ®;5(;일 때의 t의 값은 ;5&;이다.

즉 t=;5&;=1.4(시간)=(1시간 24분)일 때, A와 B의 거리 가 가장 짧아진다.