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2009학년도 논술고사 예시문제(자연계열) 해설
[문제 1-1] 반지름 𝑟인 원에 내접하는 정 𝑛-각형과 외접하는 정 𝑛-각형의 넓이를 각각 구하라.
원에 내접하는 정 𝑛-각형은 원의 중심에서 만나는 𝑛 개의 합동인 삼각형들로 붂해할 수 있다.
삼각형의 두 변은 반지름과 같고 두 변이 이루는 각은 2𝜋𝑛 이므로 삼각형의 넓이에 관한 공식 을 이용하여 한 삼각형의 넓이 12𝑟2sin2𝜋𝑛 를 얻는다. 따라서 내접하는 정 𝑛 -각형의 넓이는
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2𝑛𝑟2sin2𝜋𝑛이다.
원에 외접하는 정 𝑛-각형은 원의 중심에서 만나는 𝑛 개의 합동인 삼각형들로 붂해할 수 있다.
삼각형의 높이는 반지름과 같고 밑변의 길이는 2𝑟 tan𝜋𝑛 이므로 삼각형의 넓이에 관한 공식을 이용하여 한 삼각형의 넓이 𝑟2tan𝜋𝑛를 얻는다. 따라서 원에 외접하는 정 𝑛 -각형의 넓이는 𝑛𝑟2tan𝜋𝑛이다.
[문제 1-2] 제시문의 내용을 이용하여 다음 식이 성립함을 보여라.
lim
𝑛→∞ 𝑛 sin𝜋 𝑛= lim
𝑛→∞ 𝑛 tan𝜋 𝑛= 𝜋
반지름 1인 원에 내접하는 정 𝑛-각형의 둘레는 2𝑛 sin𝜋𝑛이다. 𝑛이 점점 커짐에 따라 정 𝑛-각형의 둘레는 원의 둘레에 한없이 가까워지고 원의 둘레는 2𝜋이므로 아래 식이 성립한다.
𝑛→∞lim 𝑛 sin𝜋 𝑛= 𝜋 반지름 1인 원에 외접하는 정 𝑛-각형의 둘레는 2𝑛 tan 𝜋
𝑛이다. 𝑛이 점점 커짐에 따라 정 𝑛-각형의 둘레는 원의 둘레에 한없이 가까워지고 원의 둘레는 2𝜋이므로 아래 식이 성립한다.
𝑛→∞lim 𝑛 tan 𝜋 𝑛= 𝜋
[문제 1-3] 제시문의 밑줄 친 ㉠, ㉡ 부붂을 갂략히 설명하라.
㉠ 피타고라스 정리에 의하여 아래 식이 성립한다.
𝑡 cos 𝑞 2+ 𝑡 sin 𝑞 − 𝑟 2= 𝑟2
삼각함수의 제곱공식을 이용하여 이 식을 정리한 후 𝑡에 관하여 풀면 𝑡 = 2𝑟 sin 𝑞를 얻는다.
㉡ 일반적으로 원주각의 크기는 중심각의 크기의 반이므로 각 𝑞의 변화량 ∆𝑞에 대응하는 중심각 의 크기는 2∆𝑞이다.
2 [문제 1-4] 다음 영역의 넓이를 구하라.
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∶ 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2= 42, −2 ≤ 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 ≤ 4
평면 H1 과 H2 를 각각 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 4 = 0 , 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 2 = 0 라고 하자. 주어진 영역은
원점을 중심으로 한 반지름 4 인 구면의 두 평면 H1 과 H2 사이에 놓인 부붂이다. 구의
중심으로부터 평면 H1, H2에 이르는 거리는 각각 −4
12+22+22=43, 2
12+22+22=23이다.
제시문에 의하면, 평면 H1 의 위쪽 부붂과 평면 H2 의 아래쪽 부붂의 넓이는 각각 아래와
같다.
𝜋 42− 43 2+ 83 2 =64𝜋3 , 𝜋 42− 23 2+ 103 2 =80𝜋3
따라서, 주어진 영역의 넓이는 64𝜋 −64𝜋
3 −80𝜋3 = 16𝜋 이다.
H2
H1
3
h
a r
B
A T O
t
[문제 1-5] 반지름 𝑟인 구면의 북극으로부터 높이 ℎ 인 곳에서 구면을 바라보면 보이는 부붂의 넓 이는 얼마인가?
오른쪽 측면도에서 ∆𝑂𝐴𝑇와 ∆𝑂𝑇𝐵는 닮은 삼각형이므로 다음 관계식이 성립한다.
∗ 𝑟 + ℎ 𝑟 =𝑟
𝑎
피타고라스 정리에 의하여 다음 식을 얻고
𝑟2− 𝑎2= 𝑡2− 𝑟 − 𝑎 2 여기에 식 (*)를 적용하면 아래 식을 얻는다.
𝑡2= 𝑟2− 𝑎2+ 𝑟 − 𝑎 2= 2𝑟2− 2𝑎𝑟
= 2𝑟2 1 −𝑎
𝑟 = 2𝑟2 ℎ ℎ + 𝑟
제시문의 내용에 의하면, 구하는 영역의 넓이 𝑆는 반지름 𝑡인 원의 넓이와 일치하므로
𝑆 = 𝜋𝑡2=2𝜋𝑟2ℎ ℎ + 𝑟 을 얻는다.
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[자연계열 문제 2]
출제의도 및 문제해설
아주대학교 자연계 논술은 수리논술이다. 제시된 글을 읽고 글에서 제시된 개념들을 근거 로 해서 주어진 문제를 풀게 된다. 단순히 암기된 지식을 묻는 문제는 지양하고, 논리적으 로 단계적으로 주어진 과제를 풀어나갈 수 있는 능력을 측정할 수 있는 문제를 다룬다.
첫 번째 제시문은 원의 넓이와 구면의 넓이에 관한 글이다. 제시문 1-1에서는 동기를 유 발하고 다루게 될 내용을 소개한다. 제시문 1-2에서는 원의 넓이를 구분구적법을 통하여 근사하는 과정을 원의 넓이와 원의 둘레 사이의 관계를 바탕으로 설명하고 있다. 제시문 1-3에서는 구면을 평면으로 잘라 얻어진 영역의 넓이를 변화율을 이용하여 구하는 방법을 다루고 있다. 문제 1-1, 1-2에서는 원의 넓이를 구하기 위한 구분구적법의 원리를 파악하 는 것이 주요 내용이다. 문제 1-3은 초보적인 기하학적인 성질을 적용하는 능력을 다소 생 소한 지문을 통해 확인하려는 의도로 출제되었다. 문제 1-4, 1-5는 제시문의 중요한 결과 를 정확히 이해하고 이를 적용하려는 능력을 평가하고 있다.
두 번째 제시문은 타원에 관한 글이다. 도입문단은 행성과 위성의 궤도가 타원임을 이야 기하고 있고, 중심문단에서는 타원의 정의, 타원에 관한 용어들, 그리고 타원의 방정식과 타 원 위의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 보여주고 있다. 그리고는 타원의 한 초점에서 나 간 빛이 타원에서 반사되면 다른 초점을 지나게 된다는 광학적인 특성을 증명하고 있다. 마 지막 문단에서는 이런 특성이 음향학적으로 이용된 건물인 런던의 성 바오로 성당을 이야기 하고 있다.
제시문과 관련하여 4개의 문제가 출제되어 있다. 문제 2-1은 원을 한 방향으로 일정비율 로 축소하면 타원이 된다는 것을 보이는 문제이다. 문제 2-2는 타원과 두 점에서 내접하는 원의 중심은 타원의 초점일 수 없음을 보이는 문제로, 타원의 정의를 적용하여 푸는 문제이 다. 즉, 타원 위의 점에서 두 초점에 이르는 거리의 합은 일정하다는 것을 적용하여 풀면 된다. 문제 2-3은 타원과 두 점에서 내접하는 원의 반지름을 줄여 가면 중심이 어디에 접 근하는지를 묻는 문제이다. 제시된 단계에 따라, 접점의 좌표에 의해 원의 중심을 구하고 극한값을 계산한 다음 원의 중심이 어디에 접근하는지를 판단하면 된다. 문제 2-4는 타원 의 광학적 성질을 이용하는 문제이다. 타원 밖에서 타원의 한 초점을 향해 진행한 빛은 타 원에서 반사되면 타원의 다른 초점에서 나온 빛처럼 진행한다는 성질을 이용하여 풀면 된 다.
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M R
F P
Q
N O
문제 2 풀이
[문제 2-1 풀이] 을 원의 방정식에 대입하여 풀면 ±
이므로 점 의 좌 표는
이고,
이다. 을 타원의 방정식에 대입하여 풀면 ±
이므로 점 의 좌표는
이고,
이다. 따라서
÷
이고 이것은 에 관계없이 일정하다.
[문제 2-2 풀이] 원의 중심 가 타원의 초 점이라 가정하자. 그림과 같이 타원의 다른 초점을 라 하고, 원에 대해 와 반대쪽으 로 타원 위에 한 점 를 잡는다. 선분
와 원이 만나는 점을 라 하고, 선분 가 원과 만나는 점 중에서 점 에 가까운 점을
이라 하자. 그러면, 이고,
이므로
이다. 그런데 와 은 둘 다 타원 위에 있는 점이기 때문에 이것은
가 초점이라는 데에 모순이다. 따라서 원의 중심 는 타원의 초점이 될 수 없다.
[문제 2-3 풀이] (1) 타원
위의 점 에서 그은 접선의 방정식이
이므로 접선의 기울기는
이다. 에서 그은 타원의 접선은 원에도 접
하기 때문에 반지름 는 이 접선에 수직이다. 따라서, 직선 의 기울기는
이고,
이 직선의 방정식은
이다. 원의 중심 는 -축 위에 있기 때문에 -
좌표는 이다. 을 직선 의 방정식에 대입하여 에 대하여 풀면
이다. 따
라서 원의 중심 의 -좌표는
이다.
(2)
lim
→
(3) 이 꼭지점에 접근하면 은 에 접근하므로, (2)의 결과에 의해 원의 중심 는 점
에 접근한다.
≠± 이므로 원의 중심 는 타원의 초점과는 다른 점에 접근한 다.
6 [문제 2-4 풀이]
F' F
A P
Q
그림에서처럼, 타원의 광학적 성질에 의해 초점 ′을 향해 진행한 빛은 타원에서 반사되면 초점 에서 나온 빛처럼 진행한다. 따라서 가 직선 위에서 가장 위쪽에 위치하게 되는 경우는 가 위에서 가장 위쪽에 위치하게 되는 점
에 있을 때이다. 이때 직선 ′의 방정식은
이므로 타원의 방정식과 연립하여 풀어서 교점 의 좌표를 구하면
이다. 그러므로직선 의 방정식을 구하면
이고, 이것을 직선 의 방정식과 연립하여 풀면
이다. 따라서 의 최대값은
이고
대칭성에 의해 의 최소값은
이다. 즉,
≦ ≦
이다.
