1 12
2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지
수학 영역 (나형) 1
제 2 교시
5지선다형 1.
의 값은?
1)[2점]
① ② ③ ④ ⑤
2. 두 집합
, 에 대하여 의 값은?
2)[2점]
① ② ③ ④ ⑤
3. lim
→ ∞
의 값은?
3)[2점]
① ②
③ ④
⑤
4. 수열
이 모든 자연수 에 대하여
을 만족시킨다.
일 때,
의 값은?
4)[3점]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (나형)
2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5. 수열
에 대하여
∞
일 때,
→ ∞lim
의
값은?
5)[3점]
①
② ③
④ ⑤
6. 함수
의 그래프는 함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프와 일치한다. 의 값은? (단, 은 상수이다.)
6)[3점]
① ② ③ ④ ⑤
7. 함수 에 대하여
일 때, 의 값은?
(단, 는 상수이다.)
7)[3점]
① ② ③ ④ ⑤
8. log , log 라 할 때, log
를 , 로 나타낸 것은?
8)
[3점]
① ② ③
④ ⑤
수학 영역 (나형)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3
3 12
9. 수열
이 모든 자연수 에 대하여
,
를 만족시킬 때,
이 되도록 하는 상수 의 값은?
9)[3점]
① ② ③ ④ ⑤
10. 실수 , 에 대한 두 조건
≥ 이고 ≥ ,
에 대하여 가 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 의 최댓값은?
10)[3점]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (나형)
4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11. 첫째항이 양수인 등비수열
이
,
를 만족시킬 때,
의 값은?
11)[3점]
① ② ③ ④ ⑤
12. 실수 에 대한 조건
‘모든 실수 에 대하여
≥ 이다.’
가 참인 명제가 되도록 하는 상수 의 최댓값을 , 최솟값을
이라 하자. 의 값은?
12)[3점]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (나형)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5
5 12
13. 집합 에 대하여 일대일 대응인 함수
→ 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
(나)
의 값은?
13)[3점]
① ② ③ ④ ⑤
14. 그림과 같이 자연수 에 대하여 직선
과 원
의 두 교점을 각각 A
, B
이라 하자. 선분 A
B
의 길이를
이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
14)[4점]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (나형)
6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
15. 그림과 같이 좌표평면에 두 함수
,
의 그래프가 있다. 곡선 위의 한 점 P
( ) 에서 축에 내린 수선의 발을 Q
이라 하자. 선분 OQ
을 한 변으로 하는 정사각형 OQ
AB 의 한 변 AB 가 곡선 와 만나는 점을 P
, 점 P
에서 축에 내린 수선의 발을 Q
라 하자. 선분 OQ
를 한 변으로 하는 정사각형 OQ
CD 의 한 변 CD 가 곡선 와 만나는 점을 P
, 점 P
에서 축에 내린 수선의 발을 Q
이라 하자. 두 점 Q
, Q
의 좌표를 각각
, 라 할 때, 가 되도록 하는 점 P
의 좌표의 값은?
(단, O 는 원점이고, 두 점 A , C 는 제 사분면에 있다.)
15)[4점]
① ② ③ ④ ⑤
16. 두 함수 , 가
,
가 정수인 경우
가 정수가 아닌 경우
일 때, 방정식 ∘ 을 만족시키는 모든 자연수 의 개수는?
16)[4점]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (나형)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7
7 12
17. 함수
≥
의 역함수 에 대하여 부등식 ≤
의 해가
≤ ≤ 일 때, 의 값은?
17)[4점]
① ② ③ ④ ⑤
18. 다음은 이상의 자연수 에 대하여 함수 의 그래프와 축 및 직선
으로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수
을 구하는 과정이다.
일 때, 곡선 , 축 및 직선 로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서
좌표와 좌표가 모두 정수인 점은
, 이므로
가
이다.
이상의 자연수 에 대하여
을 구하여 보자.
위의 그림과 같이 ≤ ≤ 인 정수 에 대하여 주어진 도형의 내부에 있는 점 중에서 좌표가 정수이고,
좌표가 인 점은
⋯ 나
이므로 이 점의 개수를
라 하면
나
이다. 따라서
다
이다.
위의 (가)에 알맞은 수를 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은?
18)[4점]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (나형)
8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
19. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 가 있다.
이 정사각형에 내접하는 원을
이라 하자. 원
이 변 BC , CD 와 접하는 점을 각각 E , F 라 하고, 점 F 를 중심으로 하고 점 E 를 지나는 원을
라 하자. 원
의 내부와 원
의 외부의 공통부분인 모양의 도형과, 원
의 외부와 원
의 내부 및 정사각형 ABCD 의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을
이라 하자.
그림
에서 두 꼭짓점이 변 CD 위에 있고 나머지 두
꼭짓점이 정사각형 ABCD 의 외부에 있으면서 원
위에 있는 정사각형 PQRS 를 그리고, 이 정사각형 안에 그림
을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양과 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을
라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림
에 색칠되어 있는 부분의 넓이를
이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
19)[4점]
…
…
①
②
③
④
⑤
20. 실수 에 대한 두 조건
,
≥
이 모두 참이 되도록 하는 정수 가 오직 하나 존재할 때, 모든 정수 의 값의 합은?
20)[4점]
① ② ③ ④ ⑤
수학 영역 (나형)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9
9 12
21. 자연수 에 대하여 집합
을
는 자연수
라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
21)[4점]
< 보 기 >
ㄱ.
ㄴ. 자연수 에 대하여
이면
이다.
ㄷ.
이 되도록 하는 두 자리 자연수 의 개수는
이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
단답형 22.
×log
의 값을 구하시오.
22)[3점]
23. 등차수열
에 대하여
,
일 때,
의 값을
구하시오.
23)[3점]
수학 영역 (나형)
10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
24. 두 수열
,
이 lim
→ ∞
, lim
→ ∞
를 만족시킬 때, lim
→ ∞
의 값을 구하시오.
24)[3점]
25. ≤ ≤ 일 때, 함수 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 하자. 일 때, 상수 의 값을 구하시오.
25)[3점]
26. 수열
이 모든 자연수 에 대하여
,
을 만족시킬 때,
∞
이다. 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
26)[4점]
수학 영역 (나형)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11
11 12
27. 함수
에 대하여 부등식
( ⋯ ) 을 만족시키는 정수 의 값을
이라 하자.
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
27)[4점]
28. 어느 날 개의 놀이 기구 A , B 가 있는 놀이공원에 다녀온
명의 학생을 대상으로 그날 어떤 놀이 기구를 이용했는지 조사하였더니 놀이 기구 A 를 이용한 학생은 명, 놀이 기구 B 를 이용한 학생은 명이었다. 놀이 기구 A , B 를 모두 이용한 학생 수의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때,
의 값을 구하시오.
28)[4점]
수학 영역 (나형)
12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
29. 이상의 자연수 에 대하여
log
( 은 ≤ ≤ 인 자연수)
가 자연수인 의 개수를 라 하자. 예를 들어, ,
이다.
집합 의 공집합이 아닌 부분집합 에 대하여 집합 에서 집합 로의 대응 를
( ∈ )
로 정의하면 어떤 대응 는 함수가 된다. 함수 가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 의 개수를 구하시오.
29)[4점]
30. 자연수 전체의 집합의 부분집합 가 상수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) (나) ∈ 일 때,
가 홀수이면
∈ , 가 짝수이면
∈ 이다.
∈ 일 때, 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오.
30)[4점]
수학 영역 (나형)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 13
13 12
1) 1. [출제의도] 지수의 연산을 이용하여 간단한 지수를 계산한다.
2) [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 집합의 원소의 개수를 계산한다.
, 에서
이므로
집합 의 원소의 개수는 이다.
따라서
3) [출제의도] 수열의 극한을 계산한다.
lim
→ ∞
lim
→ ∞
4) [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 주어진 항의 값을 구한다.
모든 자연수 에 대하여
즉,
이므로 수열 은 공비가 인 등비수열이다.
따라서 × ×
5) [출제의도] 무한급수와 일반항의 관계를 이해하고 이를 활용하여 극한값을 구 한다.
∞
가 수렴하므로 lim
→ ∞ 따라서 lim
→ ∞
6) [출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이해하여 미지수의 값을 구한다.
유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행 이동하면
두 함수
과
가 일치하므로
, ,
따라서
7) [출제의도] 역함수의 성질을 이해하여 함숫값을 구한다.
이므로
, 그러므로 따라서 ×
8) [출제의도] 로그의 연산법칙을 이해하고 이를 활용하여 로그의 값을 문자식으 로 나타낸다.
log , log 라 하자.
log
log
log log
log log ×
log log 따라서 log
9) [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 미지수의 값을 추론한다.
…… ㉠
㉠의 양변에 을 대입하면
이고
㉠의 양변에 를 대입하면
이므로
×
따라서
10) [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 명제의 조건을 만족시키는 값을 구 하는 문제를 해결한다.
부등식 ≥ 이고 ≥ 의 영역과 부등식 의 영역을 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.
조건 의 진리집합을 , 조건 의 진리집합을 라 하면
는 가 되기 위한 필요조건이므로
⊃ 이고,
직선 가 점 에서 원 에 접할 때
는 최댓값을 갖는다.
따라서 의 최댓값은 이다.
11) [출제의도] 등비수열의 성질을 이해하여 주어진 항의 값을 구한다.
등비수열 의 첫째항을 , 공비를 라 하면
…… ㉠ 이고, 첫째항이 양수이므로
에서
이고,
,
(∵ )
㉠에
을 대입하면
따라서 ×
12) [출제의도] 절대부등식을 이해하여 미지수의 값의 범위를 구한다.
모든 실수 에 대하여
부등식 ≥ 이 참인 명제가 되려면
이라 할 때, 함수 의 그래프가 축에 접하거나 만나지 않아야 한다.
수학 영역 (나형)
14 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
이차방정식 이 중근 또는 서로 다른 두 허근을 가져야 하므로 이차방정식 의 판별식을
라 하면
≤
≤ ≤ 이므로
의 최댓값 , 최솟값
따라서
13) [출제의도] 일대일 대응의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 함숫값을 구한다.
함수 가 에서 로의 일대일 대응이므로
,,,,
조건 (가)의
에서
이므로
, 이고 조건 (나)에서
이므로
이다.
따라서 ≥ 이고,
이므로 ≤ 이다.
따라서 ≤
그러므로 또는 ⅰ) 인 경우
, , , 가 이 순서대로 증가하는 개의 자연수이므로
, , , 이다.
그런데 ,
이므로 모순이다.
ⅱ) 인 경우
이고
이 , , , , 의 중앙값이므로
즉, , , ,
,
CB , CM
이므로
피타고라스 정리에 의해
BM CB CM
따라서 lim
→ ∞
15) [출제의도] 다항함수와 지수의 성질을 이용하여 미지수의 값을 구하는 문제 를 해결한다.
점 P의 좌표는
정사각형 OQAB의 한 변의 길이가 이므로
점 P의 좌표는
정사각형 OQCD의 한 변의 길이가 이므로
수학 영역 (나형)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 15
15 12
은 의 약수이어야 한다.
가 자연수이므로 은 자연수이고,
은 의 양의 약수이다.
, , ,
, , ,
따라서 서로 다른 자연수 의 개수는 이다.
17) [출제의도] 역함수와 무리함수의 성질을 활용하여 부등식의 해를 구하는 문 제를 해결한다.
≥ 이므로 함수 의 역함수를 라 하면
≥
i) ≥ 인 경우
≤
≤
≤
≤
≤ ≤
≥ 이므로 ≤ ≤ ii) 인 경우
≤
≤
≤
≤
≤
≤ ≤
이므로 ≤
i), ii)에서 부등식의 해는 ≤ ≤ 따라서
18) [출제의도] 수열의 합의 성질을 이용하여 수열의 일반항을 구하는 과정을 증명한다.
일 때 주어진 도형의 내부에 있는 점 중에서
좌표와 좌표가 모두 정수인 점은
, 이므로
따라서 가 는 이다.
≥ 일 때,
≤ ≤ 인 정수 에 대하여 주어진 도형의 내부에 있는 점 중
좌표가 인 점은
, , ⋯,
이므로
이 점의 개수를 라 하면
따라서 나 는 이다.
따라서 다 는
이다.
그러므로 , ,
따라서
19) [출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 등비급수의 합을 구하는 문제를 해결한 다.
그림 에서 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 하면 은 그림과 같이 정사 각형 ABCD의 내부와 원 의 외부의 공통부분의 넓이와 같다.
직각삼각형 FCE가 FC CE 이므로
FE
따라서 선분 AD의 중점을 G라 하면
(직사각형 ABEG의 넓이) {(부채꼴 EFG의 넓이)
-(직각삼각형 EFG의 넓이)}
×
×× ×
에서 정사각형 PQRS의 한 변의 길이 QR는
FR FE이므로
직각삼각형 FQR에서 피타고라스 정리에 의하여
QR
QR
이므로QR
에서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이가 이고 QR
이므로
에서 추가로 색칠되는 도형의 넓이 는
×
×
같은 방법으로 에서 추가로 색칠되는 도형의 넓이는 에서 추가로 색칠된 도형의 넓이의
배이다.
따라서
lim
→ ∞
20) [출제의도] 연립부등식을 활용하여 조건이 참이 되도록 하는 문제를 해결한 다.
이므로 조건 의 진리집합 는
수학 영역 (나형)
16 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
이므로
조건 ≥ 의
진리집합 는 의 범위에 따라 각각 다음과 같다.
ⅰ) 일 때 즉, 일 때,
≤ 또는 ≥ ⅱ) 일 때 즉, 일 때,
≠ 인 모든 실수
ⅲ) 일 때 즉, 일 때,
≤ 또는 ≥
ⅰ), ⅱ)에서 ≤ 일 때
∩ 이므로
두 조건 , 를 모두 참이 되도록 하는 정수 는
, , , 의 개이다.
ⅲ)에서 일 때
두 조건 , 를 모두 참이 되도록 하는 정수 가 오직 하나 존재하려면
≤ 이거나 ≤ 이다.
따라서
≤ 또는 ≤ 이므로 가능한 정수 는 또는 이다.
따라서 모든 정수 의 값의 합은 이다.
21) [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 명제의 참과 거짓을 추론한다.
ㄱ. 는
에서 × 인
자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이므로
×, ×
(참) ㄴ. 일 때,
은
에서
× 인
자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이므로
⋯ 이다.
따라서 (참) ㄷ. 은
에서
×인 자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이다.
이 되기 위해서는
이 자연수가 되도록 하는 자연수 가 오직 하나만 존재하므로
이어야 한다.
따라서 ×홀수이어야 한다.
두 자리 자연수 중에서 ×홀수인 자연수는
×, ×, ×, ⋯ , ×
이다.
따라서 이 되도록 하는 두 자리 자연수 의 개수는 , , , ⋯ ,
의 개수와 같다.
, , , ⋯ , 는 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열의 첫째항부터 제
항을 나타낸 것이므로 조건을 만족시키는 두 자리 자연수 의 개수는 이
, 따라서
×
24) [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 수열의 극한값을 구한다.
이라 하면
이고, lim
→ ∞
에서 lim
→ ∞
이므로 lim
→ ∞
lim
→ ∞
이라 하면
이고 lim
→ ∞
에서 lim
→ ∞
이므로 lim
→ ∞
lim
→ ∞
따라서 lim
→ ∞
×
25) [출제의도] 무리함수의 그래프를 이해하여 함수의 최댓값과 최솟값을 구한 다.
로 놓으면
함수 의 그래프는 다음과 같다.
≤ ≤ 에서 의 최댓값은 이고 최솟값은 이므로
,
에서
따라서
26) [출제의도] 등비급수의 성질을 이해하여 등비급수의 합을 구한다.
수열 이 이고,
모든 자연수 에 대하여
이므로 수열 은
첫째항이 이고 공비가 인 등비수열이다.
수학 영역 (나형)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 17
17 12
따라서
27) [출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 여러 가지 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.
부등식 ( ⋯)은
…… ㉠
부등식 ㉠을 만족시키는 자연수 는 이므로
⋯
따라서
28) [출제의도] 집합의 연산을 활용하여 실생활 문제를 해결한다.
전체 학생의 집합을 ,
놀이 기구 A를 이용한 학생의 집합을 , 놀이 기구 B를 이용한 학생의 집합을 라 하면
이고, , 이므로
∪ ∩
∩
∩
이때 ≤ ∪ ≤ 이므로
≤ ∪ ≤
≤ ∩ ≤
≤ ∩ ≤
∩ 의 최댓값은 , 최솟값은
따라서
29) [출제의도] 함수와 로그의 성질을 이용하여 집합의 개수를 구하는 문제를 해결한다.
log이 자연수가 되려면
은 의 거듭제곱이어야 하므로
의 값은 부터 사이의 자연수 중
의 거듭제곱으로 나타내어지는 수의 개수이다.
이므로
이와 같은 방법으로 이상의 자연수 에 대하여
의 값을 구하면
, , , , ,
, , ⋯이므로
전체집합 의 공집합이 아닌 부분집합 에 대하여
집합 에서 집합 로의 대응 가 일대일 대응이 되려면 집합 는 집합
의 부분집합이어야 한다.
함수 가 일대일 대응이므로 임의의 ∈에 대하여
∈, 를 만족시키는 집합 는
, , , , ,
, 이다.
따라서 함수 →가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 의 개수는 이다.
30) [출제의도] 집합의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 값을 추론 한다.
자연수 전체의 집합의 부분집합 가
이고 ∈이므로 대응 →를
∈가 홀수이면
∈가 짝수이면
로 정의하면 는 함수이다.
가 자연수가 되어야 하므로 는 홀수이다.
ⅰ) , 즉 일 때
, , 인 경우를 각각 생각할 수 있다.
일 때, 가 짝수이면
,
이때 가 홀수이면 이고,
가 짝수이면
따라서 가능한 경우는
,
따라서 이고 가 짝수인 경우 가능한 집합 가 존재하므로
일 때, 가 홀수인 경우와
, 인 경우는 다루지 않는다.
ⅱ) 일 때
≠이므로 ≠
그런데 인 홀수인 경우에는 인 경우가 존재하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다.
따라서 인 경우만 생각하면 된다.
이면 이다.
이때 가능한 경우로 또는 또는 를 생각해 볼 수 있다.
ⅱ-1) , 일 때
가 짝수이면
, 이고,
이므로
가능한 의 값은 와 이 있다.
ⅱ-2) 일 때
≠이면 ≠ 이므로
≠,
≠
따라서 이 경우는 존재하지 않는다.
ⅱ-3) , 일 때
수학 영역 (나형)
18 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
또는 또는 의 경우를 생각해 볼 수 있다.
ⅱ-3-a) 일 때, ⅱ-3-a-ㄱ) 가 짝수이면
이때 가 짝수이면
, 이고,
이므로
이때
가 홀수이면
에서
이고, 이때
ⅱ-3-a-ㄴ) 이면 , , ,
의 대소 관계는 다음 그림과 같다.
가 홀수이면
가 홀수이면
이므로
≥ 가 되어 모순이 생긴다.
가 짝수이면
, 즉 일 때,
이므로 모순이다.
따라서 가능한 경우가 없다.
ⅱ-3-b) 일 때,
ⅱ-3-b-ㄱ) 가 짝수이고 가 짝수이면
이므로
이 되어 모순이다.
ⅱ-3-b-ㄴ) 가 짝수이고 가 홀수이면
이므로
이고
가 되어 모순이다.
ⅱ-3-b-ㄷ) 가 홀수이면 는 짝수이고 이 경우
가 된다.
, 이 되어 모순이다.
ⅱ-3-c) 일 때,
