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(1)

이홍섭 지음

1 -1

수학

정답과 풀이

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(2)

정답과 풀이

소인수분해

1 . 소인수분해

1 ⑴ 2¤ _5‹ ⑵ 2¤ _3‹ _7 2 ②, ④

3 4개 4 ③

5 1, 3, 5, 15, 3, 5 6 ⑴ 2‹ _3¤ , 소인수:2, 3

⑵ 2_3¤ _5, 소인수:2, 3, 5

⑶ 2‹ _3_7, 소인수:2, 3, 7

⑷ 2¤ _5_17, 소인수:2, 5, 17 7 풀이 참조

8 ⑴ 20개 ⑵ 18개 ⑶ 7개 ⑷ 16개

본문 6~7쪽

01

필수유형

1 ⑴ 2_2_5_5_5=2¤ _5‹

⑵ 2_3_3_7_3_2=2¤ _3‹ _7

4 ① 1은 소수가 아니다.

② (반례) 15는 합성수이지만 홀수이다.

④ 1과 20 사이에는 소수가 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19의 8개 있다.

⑤ (반례) 1은 약수의 개수가 1개이지만 소수 가 아니다.

따라서 옳은 것은 ③이다.

7

약수:1, 2, 4, 5, 10, 20 약수의 개수:6개

약수:1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

약수의 개수:12개

8 ⑴ (4+1)_(3+1)=20(개)

⑵ (2+1)_(1+1)_(2+1)=18(개)

⑶ 64=2fl ∴ 6+1=7(개)

⑷ 378=2_3‹ _7

∴ (1+1)_(3+1)_(1+1)=16(개)

∴ 72=2‹ _3¤ , 소인수:2, 3

[방법 1] [방법 2]

∴ 90=2_3¤ _5, 소인수:2, 3, 5

[방법 1] [방법 2]

∴ 168=2‹ _3_7, 소인수:2, 3, 7

[방법 1] [방법 2]

∴ 340=2¤ _5_17, 소인수:2, 5, 17 340

2 170

2 85

5 17 2>¯340

2>¯170 5>¯785 3>¯717

168 2 84

2 42

2 21

3 7 2>¯168

2>¯784 2>¯742 3>¯721 3>¯777

90 2 45

3 15

3 5 2>¯90

3>¯45 3>¯15 3>¯75

3 9의 약수는 1, 3, 9이고, 14의 약수는 1, 2, 7, 14이므로 소수가 아니다.

따라서 소수인 것은 5, 13, 17, 23의 4개 이다.

2 ;5!;_;5!;_;5!;= {또는 {;5!;} }

④ 7_7_11_11_11=7¤ _11‹

15‹1

5 15=1_15=3_5이므로 15의 인수는 1, 3, 5, 15이고, 그 중 소인수는 3, 5이다.

6 [방법 1] [방법 2]

72 2 36

2 18

2 9

3 3 2>¯72

2>¯36 2>¯18 3>¯79 3>¯73

약수의 개수를 구할 때에 는 가로, 세로의 칸 수가 2와 5의 지수보다 한 칸 씩 더 생긴다는 점에 착안 한다.

A=a¬ _bμ _c« (a, b, c 는 서로 다른 소수, l, m, n은 자연수)으로 소인수 분해될 때, A의 약수의 개수

⇨ (l+1)_(m+1) _(n+1)개

_ 1 2 2¤

1 1 2 2¤

5 5 5_2 5_2¤

_ 1 2 2¤ 2‹

1 1 2 2¤ 2‹

3 3 3_2 3_2¤ 3_2‹

3¤ 3¤ 3¤ _2 3¤ _2¤ 3¤ _2‹

소인수는 인수들 중에서 소수인 수이다.

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(3)

1. 소인수분해

3

시험에

나오는 문제

1 2 3 ③, ⑤ 4

5 85 6 7 8

9 10 11 12

13 ③, ⑤ 14 30 15 1 16 6

본문 8~9쪽

9 840을 소인수분해하면 840=2‹ _3_5_7

④ 2› _3_7은 840의 약수가 아 니다.

2>¯840 2>¯420 2>¯210 3>¯105 5>¯735 3>¯777 10약수 중 가장 큰 수는 자기 자신이고, 두 번

째로 큰 수는 자기 자신을 가장 작은 소인수 로 나눈 것이므로 ④ 2¤ _5¤ _7이다.

11① (1+1)_(1+1)_(2+1)=12(개)

② (3+1)_(2+1)=12(개)

③ 96=2fi _3이므로 (5+1)_(1+1)=12(개)

④ 132=2¤ _3_11이므로

(2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개)

⑤ 405=3› _5이므로 (4+1)_(1+1)=10(개)

따라서 약수의 개수가 다른 하나는 ⑤이다.

122› _5«의 약수의 개수는 (4+1)_(n+1)개 이므로

5_(n+1)=20, n+1=4 ∴ n=3 1318을 소인수분해하면 18=2_3¤ 이므로

① 2_3¤ _12=2_3¤ _2¤ _3=2‹ _3‹ 의 약 수의 개수는

(3+1)_(3+1)=16(개)

② 2_3¤ _15=2_3¤ _3_5=2_3‹ _5의 약수의 개수는

(1+1)_(3+1)_(1+1)=16(개)

③ 2_3¤ _18=2_3¤ _2_3¤ =2¤ _3› 의 약 수의 개수는

(2+1)_(4+1)=15(개)

④ 2_3¤ _21=2_3¤ _3_7=2_3‹ _7의 약수의 개수는

(1+1)_(3+1)_(1+1)=16(개) 2 42의 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42이고

이 중 소수는 2, 3, 7이다.

따라서 42의 약수 중 소수가 아닌 것은 1, 6, 14, 21, 42의 5개이다.

3 ① 1은 소수도 합성수도 아니다.

② (반례) 2는 짝수인 소수이다.

③ 2, 3, 5, 7의 4개이다.

④ 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있다.

따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다.

4 ① 2_2_2=2‹

② 2_3_2_3_3=2¤ _3‹

④ a_a_a_a_a=afi

⑤ a_a_b_b_a=a‹ _b¤

따라서 옳은 것은 ③이다.

6 108을 소인수분해하면

108=2¤ _3‹이므로 108의 소인 수는 2, 3의 2개이다.

2>¯108 2>¯ 54 3>¯ 27 3>¯ 9 3> 3

7 ① 45=3¤ _5 ③ 80=2› _5

④ 128=2‡ ⑤ 200=2‹ _5¤

따라서 소인수분해가 바르게 된 것은 ②이다.

8 어떤 자연수의 제곱인 수는 소인수분해했을 때, 지수가 모두 짝수이므로

75_a=3_5¤ _a=(자연수)¤ 에서 a=3_n¤ (n은 자연수)의 꼴이어야 한다.

② a=2¤ 이면 75_a=2¤ _3_5¤ 은 3의 지수 가 홀수이므로 어떤 자연수의 제곱이 될 수 없다.

5 16=2_2_2_2=2› 이므로 a=4 yy ① 3› =3_3_3_3=81이므로 b=81 yy ②

∴ a+b=4+81=85 yy③

채점 요소 배점

① a의 값 구하기 40%

② b의 값 구하기 40%

③ a+b의 값 구하기 20%

1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수는 합성수 이다.

A=aμ _b« (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연 수)으로 소인수분해될 때, A의 약수의 개수

⇨ (m+1)_(n+1)개

1 ③ 57의 약수는 1, 3, 19, 57이므로 소수가 아니다.

소수는 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약 수로 가지는 수이다.

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(4)

채점 요소 배점

① a의 값 구하기 40%

② b의 값 구하기 40%

③ a+b의 값 구하기 20%

2 두 자연수 A, B의 공약수는 최대공약수인 18의 약수이므로 1, 2, 3, 6, 9, 18이다.

따라서 A, B의 공약수가 아닌 것은 ④이다.

4 18을 소인수분해하면 18=2_3¤ 이므로 10보 다 크고 30보다 작은 수 중에서 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수를 찾는다.

따라서 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29이다.

5

∴ (최대공약수)

=2_3=6

∴ (최대공약수)

=3_5=15

∴ (최대공약수)=3

∴ (최대공약수)

=3_5=15 3 >≥15 ≥45 75

5 >≥25 ≥15 25 3 >≥21 23 25 3 >≥12 ≥27 63 3 >≥24 29 21 3 >≥45 60 5 >≥15 20 3 >23 24 2 >≥42 78 3 >≥21 39 3 >27 13

7 32, 40, 72의 최대공약수를 구하면 된다.

∴ (최대공약수)

=2_2_2=8 따라서 8개의 상자에 나누어 담을 수 있다.

2 >≥32 ≥40 72 2 >≥16 ≥20 36 2 >≥18 ≥10 18 3 24 25 29 최대공약수와 그 활용

1 풀이 참조 2 ④

3 ③ 4 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29 5 ⑴ 6 ⑵ 15 ⑶ 3 ⑷ 15

6 ⑴ 36 ⑵ 20 ⑶ 30 ⑷ 15 7 8개 8 10명

본문 10~11쪽 필수유형

6 ⑴ 2¤ _3¤ =36

⑵ 2¤ _5=20

⑶ 2_3_5=30

⑷ 3_5=15 153, 3¤ , 3‹ , 3› , 3fi , 3fl , y의 일의 자리의 숫

자를 구하면 3, 9, 7, 1, 3, 9, y이므로 3, 9, 7, 1의 4개의 숫자가 차례로 반복된다.

따라서 100=4_25이므로 3⁄ ‚ ‚ 의 일의 자리의 숫자는 3› 의 일의 자리의 숫자와 같은 1이다.

16540=2¤ _3‹ _5이므로

[540]=(2+1)_(3+1)_(1+1)=24 따라서 [n]_24=96에서 [n]=4이므로 약수 의 개수가 4개인 자연수를 구하면 2‹ , 2_3, 2_5, y이다.

따라서 구하는 가장 작은 자연수 n은 2_3=6이다.

약수의 개수가 4개인 자 연수는 a‹ (a는 소수) 또는 a_b(a, b는 서로 다른 소수)의 꼴이다.

거듭제곱에서의 규칙성을 찾는다.

02

1496_a=b¤에서 2fi _3_a=b¤

∴ a=2_3=6 yy①

(2fi _3)_(2_3)=2fl _3¤ =(2‹ _3)¤ =24¤

∴ b=24 yy②

∴ a+b=6+24=30 yy③

어떤 자연수의 제곱이 되 려면 소인수분해하여 소 인수의 지수가 모두 짝수 가 되도록 한다.

3 두 수의 최대공약수를 구하면 다음과 같다.

① 2 ② 3 ③ 1 ④ 17 ⑤ 7 따라서 두 수가 서로소인 것은 ③이다.

최대공약수가 1인 두 자 연수를 서로소라 한다.

⑤ 2_3¤ _24=2_3¤ _2‹ _3=2› _3‹ 의 약 수의 개수는

(4+1)_(3+1)=20(개)

따라서 안에 들어갈 수 없는 수는 ③, ⑤ 이다.

두 개 이상의 자연수의 공 약수는 최대공약수의 약 수이다.

1 ⑴ 24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이다.

⑵ 36의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 이다.

⑶ 24와 36의 공약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다.

⑷ 24와 36의 최대공약수는 12이다.

2 >≤ 24 36 2 >≤ 12 18 3 >≤ 6 9 2 3

∴ (최대공약수)

=2_2_3=12

8 구하는 수는

67-7=60, 112-2=110 의 최대공약수이다.

∴ (최대공약수)

=2_5=10

따라서 10명의 학생들에게 나누어 줄 수 있다.

2 >≥60 110 5 >≥30 355 3 >26 311

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(5)

1. 소인수분해

5

3 두 자연수 A, B의 공약수는 최대공약수 45 의 약수이므로 1, 3, 5, 9, 15, 45이다.

따라서 A, B의 공약수가 아닌 것은 ④이다.

4 두 수 2¤ _3‹ _5, 2¤ _3_7의 최대공약수는 2¤ _3이므로 2¤ _3의 약수가 아닌 것을 찾으 면 ④이다.

2 54를 소인수분해하면 54=2_3‹ 이므로 54, 2› _3_5의 최대공약수는 2_3이다.

5 두 수 2¤ _3¤ , 2_3¤ _5의 최대공약수는 2_3¤이고, 공약수는 최대공약수의 약수이므 로 두 수의 공약수의 개수는

(1+1)_(2+1)=6(개)

6 공약수는 최대공약수의 약수이고, 16, 48, 56의 최대공약수는

2_2_2=2‹이므로 구 하는 공약수의 개수는 3+1=4(개)

2 >≥16 ≥48 56 2 >≥28 ≥24 28 2 >≥24 ≥12 14 3 >≥22 26 27 시험에

나오는 문제

1 2 3 4

5 6 7 5 8

9 10 11 12

13 11 14 15 16 13

본문 12~13쪽

1 ⑤ 35와 56의 최대공약수는 7이므로 두 수는 서로소가 아니다.

따라서 서로소가 아닌 것은 ⑤이다.

두 개 이상의 자연수의 공 약수는 최대공약수의 약 수이다.

A=am_bn(a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연 수)으로 소인수분해될 때, A의 약수의 개수

⇨ (m+1)_(n+1)개

1012를 소인수분해하면 12=2¤ _3이므로 30보 다 크고 45보다 작은 수 중에서 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수를 찾는다.

따라서 31, 35, 37, 41, 43이므로 모두 5개 이다.

12어떤 자연수는 50-2=48, 90-2=88, 114-2=112의 공약수이다.

이때 48, 88, 112의 최대공약수는 2_2_2=8이므로 구하는 수는 4, 8의 2 개이다.

2 >≥48 ≥88 112 2 >≥24 ≥44 256 2 >≥12 ≥22 228 3 >≥26 11 214 11두 분수 , 이 자연수가 되려면 n은 42

와 90의 공약수이어야 한다.

이때 42와 90의 최대공약수 는 2_3=6이므로 자연수 n 의 값은 1, 2, 3, 6이다.

따라서 구하는 합은 1+2+3+6=12 2 >≥42 90 3 >≥21 45 3 27 15 32290n

32242n

8 60=2¤ _3_5이고 4=2¤ 이므로 A는 2¤ 이 외에는 60과 공통인 소인수가 없다.

① 8=2‹ ② 16=2› ③ 20=2¤ _5

④ 28=2¤ _7 ⑤ 44=2¤ _11

따라서 A의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.

나머지가 2이므로 나누는 수는 2보다 큰 수이어야 한다.

9 ④ 6과 18의 공약수는 1, 2, 3, 6으로 4개이다.

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

7 두 수 2_3å _5‹ , 3› _5∫ _7‹ 의 최대공약수가 3‹ _5¤이므로

3å =3‹ ∴ a=3 yy①

5∫ =5¤ ∴ b=2 yy②

∴ a+b=3+2=5 yy③

채점 요소 배점

① a의 값 구하기 40%

② b의 값 구하기 40%

③ a+b의 값 구하기 20%

1335와 42의 최대공약수를 구 하면 7이므로 최대 7개의 모

둠으로 나눌 수 있다. yy①

이때 한 모둠의 여학생 수는 35÷7=5(명)

이므로 a=5 yy②

남학생 수는 42÷7=6(명)이므로

b=6 yy③

∴ a+b=5+6=11 yy④

7 >≥35 42 5 >35 16

채점 요소 배점

① 35와 42의 최대공약수 구하기 40%

② a의 값 구하기 20%

③ b의 값 구하기 20%

④ a+b의 값 구하기 20%

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(6)

1536=2¤ _3¤ , 108=2¤ _3‹이고, 최대공약수는 18=2_3¤이므로 N=2_3¤ _n이고, 이때 n은 2를 인수로 갖지 않는 자연수이다.

① 18=2_3¤ ② 54=2_3‹

③ 72=2‹ _3¤ ④ 90=2_3¤ _5

⑤ 126=2_3¤ _7

따라서 적당하지 않은 것은 ③이다.

1652, 39, 78의 최대공약 수를 구하면 13이므로

학생 13명에게 나누어 줄 수 있다.

따라서 한 학생이

무궁화:52÷13=4(그루), 장미:39÷13=3(그루), 진달래:78÷13=6(그루)

를 심어야 하므로 x=4, y=3, z=6

∴ x+y+z=4+3+6=13

13>≥52 39 78 13>≥54 33 76

최소공배수와 그 활용

1 풀이 참조 2 ③

3 ⑴ 216 ⑵ 360 ⑶ 336 ⑷ 288 4 ⑴ 180 ⑵ 840 ⑶ 4410 ⑷ 6300 5 900 cm¤ 6 123 7 2 8 54

본문 14~15쪽 필수유형

1 ⑴ 8의 배수는 8, 16, 24, 32, 40, 48, y이다.

⑵ 12의 배수는 12, 24, 36, 48, 60, y이다.

⑶ 8과 12의 공배수는 24, 48, 72, y이다.

⑷ 8과 12의 최소공배수는 24이다.

03

14가능한 한 큰 정사각형 모양의 타일을 빈틈없 이 붙이므로 정사각형 모양의 타일의 한 변 의 길이는 140과 120의 최대공약수이다.

140과 120의 최대공약수는 2_2_5=20이므로 타일 의 한 변의 길이는 20 cm 이다.

가로:140÷20=7(장), 세로:120÷20=6(장)

이므로 필요한 타일의 수는 7_6=42(장) 2 >≥140 120 2 >≥270 60 5 >≥235 30 3 227 6

2 두 자연수 A, B의 공배수는 최소공배수 16 의 배수이므로 16, 32, 48, 64, 80, y이다.

따라서 A, B의 공배수가 아닌 것은 ③이다.

4 ⑴ 2¤ _3¤ _5=180

⑵ 2‹ _3_5_7=840

⑶ 2_3¤ _5_7¤ =4410

⑷ 2¤ _3¤ _5¤ _7=6300 3

∴ (최소공배수)=2_3_4_9=216

∴ (최소공배수)=2_2_3_5_6=360

∴ (최소공배수)

=2_2_3_2_1_2_7=336

∴ (최소공배수)

=2_2_2_3_2_1_3_2=288 2 >≥48 ≥72 96

2 >≥24 ≥36 48 2 >≥12 ≥18 24 3 >≥ 6 ≥ 9 12 2 >≥ 2 ≥ 3 4 1 3 2 2 >≥24 ≥48 84 2 >≥12 ≥24 42 3 >≥ 6 ≥12 21 2 >≥ 2 ≥ 4 7 1 2 7 2 >≥60 72 2 >≥30 36 3 >≥15 18

5 6 2 >≥24 54 3 >≥12 27 4 9

세 수의 최소공배수를 구 할 때 세 수의 공약수가 없으면 두 수의 공약수로 나누고 공약수가 없는 수 는 그대로 내려 쓴다.

5 6과 10의 최소공배수는 2_3_5=30이므로 가장 작

은 정사각형의 한 변의 길이는 30 cm이다.

따라서 구하는 정사각형의 넓이는 30_30=900(cm¤ )

2 >≥6 10 3 5

6 5, 6, 8 중 어느 것으로 나누어도 3이 남는 수는 (5, 6, 8의 공배수)+3이다.

5, 6, 8의 최소공배수는 2_5_3_4=120이므로 구하는 수는

120+3=123

2 >≥5 6 8 5 3 4

7 구하는 최대공약수를 G라 하면 20_G=40 ∴ G=2

2 >≤ 8 12 2 >≤ 4 6 2 3

∴ (최소공배수)

=2_2_2_3=24

5, 6, 8로 나누었을 때 3이 남는다는 것은 5, 6, 8의 공배수보다 3만큼 크다는 뜻이다.

두 자연수의 곱은 최대공 약수와 최소공배수의 곱 과 같다.

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(7)

1. 소인수분해

7

8 A=18_a라 하면

90=18_5, 270=18_3_5이므로

가장 작은 자연수 A의 값은 a=3일 때이다.

∴ A=18_3=54

a=3일 때 A=18_3=54

¤a=3_5일 때 A=18_3_5=270 의 2가지 경우가 나온다.

2

∴ (최소공배수)=2_3_3_1_5_3=270 2 >≥18 ≥30 54

3 >≥ 9 ≥15 27 3 >≥ 3 ≥ 5 9

1 5 3

3 최대공약수가 2¤ _3이므로 2å =2¤ ∴ a=2

최소공배수가 2‹ _3‹ _5이므로 3∫ =3‹ ∴ b=3

∴ a+b=2+3=5 시험에

나오는 문제

1 2 3 4

5 6 7

8 40, 60, 80 9 10

11 12 13 오전 10시 12분 14 15 56 16 118

본문 16~17쪽

1 294=2_3_7¤이므로 2_3‹ _5와 294의 최 소공배수는 2_3‹ _5_7¤ 이다.

7 구하는 수를 x라 하면 x-3은 6과 15로 나 누어떨어진다.

6과 15의 공배수는 최소공배 수인 3_2_5=30의 배수이

고, 공배수 중에서 가장 작은 세 자리의 자연 수는 120이므로

x-3=120 ∴ x=123

3 >≥ 6 15 2 5

8 세 자연수를 2_x, 3_x, 4_x라 하면 yy ①

∴ (최소공배수)=x_2_1_3_2=12_x 12_x=240이므로 x=20 yy ② 따라서 세 자연수는 40, 60, 80이다.

yy ③ x >≥ 2_x ≥3_x ≥4_x

2 >≥ 2 ≥3 ≥4

1 3 2

채점 요소 배점

① 세 자연수를 x에 관한 식으로 나타내기 30%

② x의 값 구하기 50%

③ 세 자연수 구하기 20%

4 16=2› , 18=2_3¤ 이므로 세 수 16, 18, 2‹ _3의 최소공배수는 2› _3¤ =144 공배수는 최소공배수 144의 배수이므로 1000=144_6+136에서

1000 이하의 공배수의 개수는 6개이다.

6 14=2_7, 35=5_7이고, 최소공배수 140=2¤ _5_7이므로 a=2¤ , 2¤ _5, 2¤ _7, 2¤ _5_7 따라서 a의 값이 될 수 있는 수는 ⑤이다.

5 공배수는 2‹ _3¤ _7¤ _ 꼴이어야 한다.

② 2‹ _3¤ _7¤ =2‹ _3¤ _7¤ _

③ 2‹ _3¤ _7‹ =2‹ _3¤ _7¤ _

④ 2‹ _3‹ _7¤ =2‹ _3¤ _7¤ _

⑤ 2› _3¤ _7‹ =2‹ _3¤ _7¤ _ 따라서 공배수가 아닌 것은 ①이다.

2_7 3 7 1

어떤 자연수 x를 6으로 나누어 2가 남았다.

⇨ x=6_(몫)+2

⇨ x-2=6_(몫)

9 ;2@5$;_ =(자연수), ;1!5^;_ =(자연수)가 되면서 가 가장 작은 수가 되기 위해서는

= 이어야 한다.

따라서 24와 16의 최대공약수는 8, 25와 15의 최소공배수는 75이므로 =:¶8∞:

322BA (25와 15의 최소공배수) (24와 16의 최대공약수) 322BA

322BA

322AB 322BA

10봉사 활동을 함께 한 후 다시 봉사 활동을 함 께 할 때까지 걸리는 날 수는 8과 12의 최소 공배수인 24일이다.

따라서 처음으로 다시 봉사 활동을 함께 하 는 날은 5월 7일의 24일 후이므로 5월 31일 이다.

11벽돌을 빈틈없이 쌓아서 가능한 한 작은 정 육면체를 만들어야 하므로 정육면체의 한 모 서리의 길이는 18, 12, 8의 최소공배수이다.

∴ (최소공배수)

=2_2_3_3_1_2

=72

정육면체의 한 모서리의 길이는 72 cm이므로 가로:72÷18=4(장)

세로:72÷12=6(장) 2 >≥18 12 8 2 >≥29 36 4 3 >≥29 03 2 3 1 2

곱하는 수를 가장 작게 하 려면 분자에는 분모들의 최소공배수를, 분모에는 분자들의 최대공약수를 넣어야 한다.

‘처음으로 다시’,‘가능한 한 작은’등의 표현이 있 으면 최소공배수의 활용 문제이다.

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(8)

12두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물릴 때까지 움직인 톱니의 수는 30, 42의 최소공배수이다.

∴ (최소공배수)

=2_3_5_7=210 따라서 B가 210÷42=5(바퀴)를 돈 후에 A 와 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물린다.

2 >≥30 42 3 >≥15 21

5 7

(톱니바퀴의 회전 수)

⇨ (두 톱니의 수의 최소공 배수)÷(B의 톱니 수)

13세 방면으로 고속버스가 동시에 출발한 후 처음으로 다시 동시에 출발할 때까지 걸리는 시간은 12, 8, 18의 최소공배수이다.

∴ (최소공배수)

=2_2_3_1_2_3

=72 yy①

따라서 처음으로 다시 동시에 출발할 때까지 걸리는 시간은 72분이므로 구하는 시각은 오 전 9시의 72분 후인 오전 10시 12분이다.

yy② 2 >≥12 8 18

2 >≥56 4 79 3 >≥53 2 79 1 2 3

채점 요소 배점

① 12, 8, 18의 최소공배수 구하기 50%

② 동시에 출발하는 시각 구하기 50%

1430_A=6_180 ∴ A=36

15A=8_a, B=8_b(a, b는 서로소, a<b) 라 하면

80=8_a_b ∴ a_b=10

a=1, b=10이면 A=8, B=80

그런데 A, B가 두 자리의 자연수라는 조 건에 맞지 않는다.

¤a=2, b=5이면 A=16, B=40

⁄, ¤에서 A+B=16+40=56

16구하는 수는 4, 5, 6의 공배수보다 2만큼 작 은 수이다.

4, 5, 6의 최소공배수는 2_2_5_3=60이므로 공 배수는 60, 120, 180, y이다.

따라서 구하는 세 자리의 자연수 중 가장 작 은 수는 120-2=118

2 >≥ 4 5 6 2 5 3

2 . 정수와 유리수

4 음수는-;3!;, -3, -2.15, -153의 4개이다.

5 A:-3, B:-1;2!;=-;2#;

C:;3!;, D:2;3@;=;3*;, E:4 정수와 유리수

1 ⑴ +200원, -100원 ⑵ +4, -5 2 양의 정수:+15, 6, 음의 정수:-10 3 ⑴ +8,;2$; ⑵ -2.5, -7, -;4%;

3 ⑶ -2.5, 3.19, -;4%;

4 4개

5 A:-3, B:-;2#;, C:;3!;, D:;3*;, E:4 6 0, -2, -;;¡7∞;;, ;3*;, 3

7 ⑴ > ⑵ < ⑶ < ⑷ >

8 ⑴ a…-2 ⑵ -4…a…1

본문 18~19쪽 필수유형

2 양의 정수는 자연수에 +가 붙은 수이므로 +15, 6이고, 음의 정수는 자연수에 -가 붙 은 수이므로 -10이다.

3 ;2$;=2이므로 양의 정수는 +8, ;2$;이다.

⑵ 음의 유리수는 -2.5, -7, -;4%;이다.

⑶ 정수가 아닌 유리수는 -2.5, 3.19, -;4%;

⑶이다.

04

6 |3|=3, |-:¡7∞:|=:¡7∞:, |0|=0,

|-2|=2, |;3*;|=;3*;

절댓값이 작은 수부터 차례로 나열하면 0, -2, -:¡7∞:, ;3*;, 3

7 ⑴ 음수는 0보다 작으므로 0 -3

⑵ 양수는 음수보다 크므로 -;5*; < 1.25

>

높이:72÷8=9(장) 따라서 필요한 벽돌은 모두 4_6_9=216(장)

두 자연수 A, B에 대하여 A=a_G, B=b_G (a, b는 서로소)일 때, L=a_b_G이므로 A_B=L_G

-7=-;1&;, +8=+;1*;과 같이 나타낼 수 있으므로 모든 정수는 유리수이다.

원점에서 멀어질수록 절 댓값이 커진다.

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(9)

2. 정수와 유리수

9

⑶ 양수끼리는 절댓값이 클수록 크므로

⑴;2#;=;6(;, ;3%;=:¡6º:에서 ;2#; ;3%;

⑷ 음수끼리는 절댓값이 클수록 작으므로

⑴-;3$;=-;6*;에서 -;6&; > -;3$;

<

8 ⑵ (크지 않다)=(작거나 같다)

∴ -4…a…1

시험에

나오는 문제

1 2 3 4

5 6 ②, ④ 7 8 9 10 11 12 -;4&;

13 11 14 ;2&; 15 4개 16 6개

본문 20~21쪽

1 ⑤ -2 kg

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

3 ⑤ 점 E가 나타내는 수는 2;3!;=;3&;이다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

5 ③ 유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 이루어져 있다.

4 원점에서 가장 멀리 떨어져 있는 수는 절댓 값이 가장 큰 수이다.

① |+4|=4

② |0|=0

③|-;2(;|=;2(;

④ |-7|=7

⑤|+:™3º:|=:™3º:

따라서 절댓값이 가장 큰 수는 ④이다.

2 정수는 1, ;;¡9•;;=2, +5, -14의 4개이므로 a=4

또, 정수가 아닌 유리수는 -3.2, -;;¡2¡;;, ;8#;

의 3개이므로 b=3

∴ a-b=4-3=1

6 ② |+5|=5, |-7|=7이므로

|+5|<|-7|

7 ④ -5…x<3

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

8

따라서 -4와 10을 나타내는 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점이 나타내는 수는 3이다.

10 3

7 7

14

-4

12두 수는 원점으로부터의 거리가 같고 반대 방향에 있다. 그런데 두 수를 나타내는 두 점 사이의 거리가;2&;이므로 두 수는 원점으로부 터의 거리가 각각;2&;_;2!;=;4&;인 수이다.

따라서 두 수는;4&;, -;4&;이므로 구하는 수는 -;4&;이다.

9 ⑤ -5와;3%; 사이의 정수는 -4, -3, -2,

-1, 0, 1의 6개이다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

11절댓값이 ;;¡5™;;보다 작은 정수는 원점으로부 터의 거리가;;¡5™;;보다 작은 정수이다.

따라서 구하는 정수는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이다.

10작은 수부터 차례로 나열하면 -4, -2.7, 0, +;5@;, ;3&;, +3

따라서 2번째에 오는 수는 -2.7, 5번째에 오 는 수는;3&;이다.

④ -;2#;=-;6(;, -;3$;=-;6*;이므로

-;2#;<-;3$;

따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.

13-;2#;보다 작지 않고 ;2&;보다 작은 정수는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이므로

a=5 yy①

음수끼리는 절댓값이 클수 록 작다.

•(음수)<0<(양수)

•양수끼리는 절댓값이 클수록 크다.

•음수끼리는 절댓값이 클수록 작다.

•(작지 않다)

=(크거나 같다)

•(크지 않다)

=(작거나 같다)

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(10)

-4.5보다 크고 1.2보다 작은 정수는 -4, -3, -2, -1, 0, 1의 6개이므로

b=6 yy②

∴ a+b=5+6=11 yy③

채점 요소 배점

① a의 값 구하기 40%

② b의 값 구하기 40%

③ a+b의 값 구하기 20%

14|-;3%;|=;3%;, |0.5|=0.5

|-2|=2, |;4(;|=;4(;

|;2&;|=;2&;, |0|=0 yy① 절댓값이 가장 큰 수는;2&;이므로

a=;2&; yy②

절댓값이 가장 작은 수는 0이므로

b=0 yy③

∴ |a|+|b|=|;2&;|+|0|=;2&; yy④

채점 요소 배점

① 각 수의 절댓값 구하기 30%

② a의 값 구하기 30%

③ b의 값 구하기 30%

④ |a|+|b|의 값 구하기 10%

15;5#;=;1§0;이므로 -;1¶0;과 ;1§0; 사이에 있는 분모가 10인 분수는 -;1§0;, -;1∞0;, -;1¢0;, y, ;1¢0;, ;1∞0;이다.

따라서 이 중에서 기약분수는 -;1£0;, -;1¡0;, ;1¡0;, ;1£0;의 4개이다.

16두 정수 a, b에 대하여 |a|+|b|=3인 경우 는 다음과 같다.

각 경우에 대해 a>b인 두 정수 a, b를 찾으 면 다음과 같다.

따라서 (a, b)의 개수는

(0, -3), (1, -2), (-1, -2), (2, 1), (2, -1), (3, 0)의 6개이다.

|a| 0 1 2 3

|b| 3 2 1 0

a 0 1 -1 2 2 3

b -3 -2 -2 1 -1 0

덧셈과 뺄셈

1 ⑴ +10 ⑵ +8 ⑶ -;8&;

1 ⑷ +1.2 ⑸ -;1!5&; ⑹ +0.4 2 ㉠ 교환법칙 ㉡ 결합법칙 3 ⑴ -6 ⑵ -;2(;

4 ⑴ -2 ⑵ -4 ⑶ +10.8 4 ⑷ -;1@5^; ⑸ +;4(; ⑹ +;6%;

5 ⑴ +6 ⑵ -5 ⑶ +1 ⑷ 10 6 5

본문 22~23쪽 필수유형

1 ⑴ (+6)+(+4)=+(6+4)=+10

⑵ (+12)+(-4)=+(12-4)=+8

⑶{-;8!;}+{-;4#;}={-;8!;}+{-;8^;}

⑴{-;8!;}+{-;4#;}=-{;8!;+;8^;}=-;8&;

⑷ (-2.4)+(+3.6)=+(3.6-2.4)=+1.2

⑸{-;3$;}+{+;5!;}={-;1@5);}+{+;1£5;}

⑸{-;4#;}+{+;5!;}=-{;1@5);-;1£5;}=-;1!5&;

⑹ (+3.1)+(-2.7)=+(3.1-2.7)=+0.4

3 . 정수와 유리수의 계산

3 ⑴ (-4)+(+3)+(-5)

=(+3)+(-4)+(-5)

=(+3)+{(-4)+(-5)}

=(+3)+(-9)=-6

⑵{+;2#;}+(-8)+(+2)

=(-8)+{+;2#;}+(+2)

=(-8)+[{+;2#;}+(+2)]

⑵=(-8)+[{+;2#;}+{+;2$;}]

=(-8)+{+;2&;}

⑵={-;;¡2§;;}+{+;2&;}=-;2(;

05

결합법칙 교환법칙

교환법칙

결합법칙 기약분수는 더 이상 약분

되지 않는 분수이다.

즉, ;bA;가 기약분수이면 a와 b는 서로소이다.

덧셈의 계산 법칙을 이용 하여 양수는 양수끼리, 음 수는 음수끼리 모아서 계 산하면 편리하다.

4 ⑴ (+4)-(+6)=(+4)+(-6)

=-(6-4)=-2

⑵ (-8)-(-4)=(-8)+(+4)

=-(8-4)=-4

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(11)

3. 정수와 유리수의 계산

11

5 ⑴ (-5)+(+3)-(-8)

=(-5)+(+3)+(+8)

=(-5)+{(+3)+(+8)}

=(-5)+(+11)=+6

⑵ -7+5+10-13

=(-7)+(+5)+(+10)-(+13)

=(-7)+(+5)+(+10)+(-13)

=(-7)+(-13)+(+5)+(+10)

={(-7)+(-13)}+{(+5)+(+10)}

=(-20)+(+15)=-5

⑶{+;2%;}+{-;3$;}-{-;2!;}-{+;3@;}

⑷={+;2%;}+{-;3$;}+{+;2!;}+{-;3@;}

⑷=[{+;2%;}+{+;2!;}]+[{-;3$;}+{-;3@;}]

⑷=(+3)+(-2)=+1

⑷ 8-4.5+2+4.5

=(+8)-(+4.5)+(+2)+(+4.5)

=(+8)+(-4.5)+(+2)+(+4.5)

={(+8)+(+2)}+{(-4.5)+(+4.5)}

=(+10)+0=10

⑶ (+8.2)-(-2.6)=(+8.2)+(+2.6)

=+(8.2+2.6)

=+10.8

⑷{-;3$;}-{+;5@;}={-;3$;}+{-;5@;}

⑷{-;3$;}-{+;5@;}={-;1@5);}+{-;1§5;}

⑷{-;3$;}-{+;5@;}=-{;1@5);+;1§5;}=-;1@5^;

{-;4#;}-(-3)={-;4#;}+(+3)

{-;4#;}-(-3)={-;4#;}+{+:¡4™:}

{-;4#;}-(-3)=+{;;¡4™;;-;4#;}=+;4(;

⑹ (+2.5)-{+;3%;}=(+2.5)+{-;3%;}

⑹ (+2.5)-{+;3%;}={+;2%;}+{-;3%;}

⑹ (+2.5)-{+;3%;}={+;;¡6∞;;}+{-;;¡6º;;}

⑹ (+2.5)-{+;3%;}=+{;;¡6∞;;-;;¡6º;;}=+;6%;

6 -13-{-10+(-15+7)}

=(-13)-{(-10)+(-8)}

=(-13)-(-18)

=(-13)+(+18)=5

양수는 양수끼리, 음수는 음수끼리 모아서 계산한다.

시험에

나오는 문제

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 ;2!; 12 +, - 13 -10 14 15 10 16 -1점

본문 24~25쪽

2 ①, ③, ④, ⑤ -3

② +3

따라서 계산 결과가 다른 하나는 ②이다.

3 오늘 새벽의 기온은 -1 æ이고 오늘 낮의 기 온은 이보다 10 æ가 올라갔으므로 오늘 낮 의 기온은 -1+10=9(æ)

4 (-4)-(-7)+(-5)-(+3)

=(-4)+(+7)+(-5)+(-3)

=(+7)+(-4)+(-5)+(-3)

=(+7)+{(-4)+(-5)+(-3)}

=(+7)+(-12)

=-5

뺄셈을 모두 덧셈으로 고 쳐서 계산한다.

5 ⑤ -;4%;+;8!;-;2!;

={-;4%;}+{+;8!;}-{+;2!;}

={-;;¡8º;;}+{+;8!;}+{-;8$;}

={+;8!;}+[{-;;¡8º;;}+{-;8$;}]

={+;8!;}+{-:¡8¢:}

=-;;¡8£;;

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

6 ;5@;-3.3-;5&;-0.8

={+;5@;}-(+3.3)-{+;5&;}-(+0.8)

={+;5@;}+(-3.3)+{-;5&;}+(-0.8)

=[{+;5@;}+{-;5&;}]+{(-3.3)+(-0.8)}

=(-1)+(-4.1)

=-5.1

7 ;3@;-[-{;6%;-;2!;}-1]

={+;3@;}-∞-[{+;6%;}-{+;2!;}]-1§

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(12)

8 a=3+(-4)=-1

b={-;2%;}-{-;3!;}={-:¡6∞:}+{+;6@;}

b=-;;¡6£;;

∴ a+b=(-1)+{-;;¡6£;;}

∴ a+b={-;6^;}+{-;;¡6£;;}=-;;¡6ª;;

9 -;;¡4£;;에 가장 가까운 정수는 -3이므로 a=-3

;3*;에 가장 가까운 정수는 3이므로 b=3

∴ a+b=(-3)+3=0

10{-;2%;}-{-;;¡4∞;;}+ =-2에서

{-;;¡4º;;}+{+;;¡4∞;;}+ =-2 {+;4%;}+ =-2

∴ =(-2)-{+;4%;}

={-;4*;}+{-;4%;}=-;;¡4£;;

=-2+;2%;-;;¡4∞;;로 구해도 된다.

11어떤 유리수를 라 하면

+{-;3@;}=-;6%; yy①

∴ =-;6%;-{-;3@;}={-;6%;}+{+;6$;}

∴ =-;6!; yy②

따라서 바르게 계산하면

-;6!;-{-;3@;}={-;6!;}+{+;6$;}

-;6!;-{-;3@;}=;2!; yy③

채점 요소 배점

① 어떤 유리수를 로 놓고 식 세우기 30%

② 어떤 유리수 구하기 40%

③ 바르게 계산한 답 구하기 30%

13한 변에 놓인 네 수의 합은

1+(-5)+7+0=3 yy①

0+(-2)+(-3)+B=3이므로

(-5)+B=3 ∴ B=8 yy② 1+(-4)+A+8=3이므로

5+A=3 ∴ A=-2 yy③

∴ A-B=(-2)-8=-10 yy④ 12(-7)+(+5)-(-3)=1

14;2!; ;3!;=;2!;-;3!;=;6#;-;6@;=;6!;

;3!; ◎ ;4!;=;4!;-;3!;=;1£2;-;1¢2;=-;1¡2;

∴[{;2!; ;3!;} ◎ ;4!;]+[;2!; {;3!; ◎ ;4!;}]

={;6!; ◎;4!;}+[;2!; {-;1¡2;}]

={;4!;-;6!;}+[;2!;-{-;1¡2;}]

={;1£2;-;1™2;}+[;1§2;+{+;1¡2;}]

=;1¡2;+;1¶2;

=;3@;

15|a|=3이므로 a=3 또는 a=-3

|b|=2이므로 b=2 또는 b=-2

⁄`a=3, b=2일 때, a-b=1

¤`a=3, b=-2일 때, a-b=5

‹`a=-3, b=2일 때, a-b=-5

›`a=-3, b=-2일 때, a-b=-1

⁄~›에서 a-b의 최댓값 M=5, 최솟값 m=-5이다.

∴ M-m=5-(-5)=10

16한 번의 게임을 마쳤을 때, 세 사람의 점수의 합은 3+2-3=2(점)

따라서 4번의 게임을 마친 후에는 세 사람의 점수의 합이 8점이 되어야 한다.

즉, 4+5+(여원이의 점수)=8

∴ (여원이의 점수)=8-4-5=-1(점)

2_4=8(점)

a만큼 큰 수:+a a만큼 작은 수:-a

채점 요소 배점

① 한 변에 놓인 네 수의 합 구하기 30%

② B의 값 구하기 30%

③ A의 값 구하기 30%

④ A-B의 값 구하기 10%

절댓값이 a(a>0)인 수

⇨ +a, -a

={+;3@;}-∞-[{+;6%;}+{-;6#;}]-1§

={+;3@;}-[-{+;3!;}-{+;3#;}]

={+;3@;}-[{-;3!;}+{-;3#;}]

={+;3@;}-{-;3$;}

={+;3@;}+{+;3$;}

=2

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(13)

3. 정수와 유리수의 계산

13

곱셈과 나눗셈

1 ⑴ +18 ⑵ -32 ⑶ +;4#;

1 ⑷ -;8!; ⑸ +70 ⑹ -;2!;

2 ⑴ -1 ⑵ -1 ⑶ +1 2 ⑷ +81 ⑸ +;4!; ⑹ +;;™8¶;;

3 ⑴ -44 ⑵ -120 ⑶ -7 ⑷ -314 4 3

5 ⑴;4%; ⑵ -;3!; ⑶ -;7*; ⑷ 4 6 ⑴ +6 ⑵ -16 ⑶ +;3@;

1 ⑷ -;9@; ⑸ -8 ⑹ +;;¡7§;;

7 ⑴ 1 ⑵ 25 8 ⑴;8(; ⑵;;™4∞;;

본문 26~27쪽 필수유형

1 ⑴ (+3)_(+6)=+(3_6)=+18

⑵ (+4)_(-8)=-(4_8)=-32

⑶{-;7@;}_{-:™8¡:}=+{;7@;_:™8¡:}=+;4#;

⑷{-;1¶2;}_{+;1£4;}=-{;1¶2;_;1£4;}

⑷{-;1¶2;}_{+;1£4;}=-;8!;

⑸ (-2)_(+7)_(-5)

=+(2_7_5)

=+70

⑹ (-4)_{-;1£0;}_{-;1∞2;}

⑷=-{4_;1£0;_;1∞2;}=-;2!;

06

3 ⑴ (-2)_(30-8)

=(-2)_30+(-2)_(-8)

=(-60)+(+16)

=-44

⑵ (-12)_15+(-12)_(-5)

=(-12)_{15+(-5)}

=(-12)_10

=-120

⑶[;3%;+{-;2!;}]_(-6)

⑷=;3%;_(-6)+{-;2!;}_(-6)

⑷=-10+3=-7

⑷ 3.14_(-86)+3.14_(-14)

⑷=3.14_{(-86)+(-14)}

⑷=3.14_(-100)=-314

4 a_c+b_c=(a+b)_c=6_c=18

∴ c=3

5 ⑷ 0.25=;4!;이므로 0.25의 역수는 4이다.

6 ⑴ (-42)÷(-7)=(-42)_{-;7!;}

⑴ (-42)÷(-7)=+{42_;7!;}=+6

⑵ (+64)÷(-4)=(+64)_{-;4!;}

⑴ (-42)÷(-7)=-{64_;4!;}=-16

⑶{+;9$;}÷{+;3@;}={+;9$;}_{+;2#;}

⑴{+;9$;}÷{+;3@;}=+{;9$;_;2#;}=+;3@;

⑷{-;2•7;}÷{+;3$;}={-;2•7;}_{+;4#;}

⑵{-;2•7;}÷{+;3$;}=-{;2•7;_;4#;}=-;9@;

⑸{+;5#;}÷{-;1¡0;}÷{+;4#;}

⑵={+;5#;}_(-10)_{+;3$;}

=-{;5#;_10_;3$;}=-8

⑹{-;3@;}÷{+;1∞2;}÷{-;1¶0;}

⑷={-;3@;}_{+:¡5™:}_{-:¡7º:}

⑷=+{;3@;_:¡5™:_:¡7º:}

⑷=+:¡7§:

곱셈과 나눗셈의 부호 결정

⇨ 음수의 개수가 짝수 개 이면‘+’부호를, 홀수 개이면‘-’부호를 붙 인다.

소수는 분수로 바꾸어 역 수를 생각한다.

7 {-;2!;}¤

_{+;3$;}-{-;5#;}_{+:¡9º:}

⑷=;4!;_;3$;-{-;5#;}_:¡9º:

⑷=;3!;-{-;3@;}

⑷=;3!;+;3@;=1

⑵ (-40)÷[(-3)¤ _{-;1¡5;}-1]

⑷=(-40)÷[9_{-;1¡5;}-1]

⑷=(-40)÷[{-;5#;}-1]

⑷=(-40)÷{-;5*;}

⑷=(-40)_{-;8%;}=25

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(14)

시험에

나오는 문제

1 2 3 4

5 6 7 -;1@5@; 8 9 10 11 12 13 14 ;1@3#; 15 -2 16 9

본문 28~29쪽

1 {-;2!;}÷2={-;2!;}_;2!;=-;4!;

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

2 ① (-2)¤ =+4

② (-2)_(-2)¤ =(-2)_(+4) =-8

③ {-(-1)¤ }_2=(-1)_2=-2

④ -(-2)› =-16

⑤ {-(-1)‹ }_(-2)‹ ={-(-1)}_(-8)

=-8

따라서 계산 결과가 가장 큰 것은 ①이다.

3 421_0.25+421_0.75=421_(0.25+0.75)

=421_1=421 따라서 분배법칙, 즉 ⑤를 이용하면 가장 편 리하다.

(-2)¤ =(-2)_(-2)

(어떤 수)_0=0이다.

6 ;3$;의 역수는 ;4#;이므로 a=;4#;

-2의 역수는-;2!;이므로 b=-;2!;

∴ a_b=;4#;_{-;2!;}=-;8#;

7 x=;3%;-(-2)=;3%;+2=:¡3¡: yy① y=-;2#;+(-1)=-;2%; yy②

z=3-2=1 yy③

∴ x÷y_z=:¡3¡:÷{-;2%;}_1

∴ x÷y_z=:¡3¡:_{-;5@;}_1

∴ x÷y_z=-;1@5@; yy④

채점 요소 배점

① x의 값 구하기 20%

② y의 값 구하기 20%

③ z의 값 구하기 20%

④ x÷y_z의 값 구하기 40%

9 :¡5•:÷(-6)_15=:¡5•:_{-;6!;}_15

:¡5•:÷(-6)_15=-{:¡5•:_;6!;_15}

:¡5•:÷(-6)_15=-9

8 {-;2&;}÷{-;4(;}_ =-;3&;에서

{-;2&;}_{-;9$;}_ =-;3&;

:¡9¢:_ =-;3&;

∴ ={-;3&;}÷:¡9¢:

∴ ={-;3&;}_;1ª4;

∴ =-;2#;

유리수의 나눗셈은 역수를 이용하여 곱셈으로 바꾸어 서 계산한다. 이때 부호의 결정은 음수의 개수가 짝 수 개이면‘+’이고, 홀수 개이면‘-’이다.

;aB;의 역수는 ;bA;이다.

(단, a+0, b+0)

8 ⑴ 2_[3-{-;2!;}‹ ÷{;7%;-1}]-4

⑷=2_[3-{-;8!;}÷{-;7@;}]-4

⑷=2_[3-{-;8!;}_{-;2&;}]-4

⑷=2_{3-;1¶6;}-4

⑷=2_;1$6!;-4 =:¢8¡:-4=;8(;

⑵;2%;-∞[{-;3!;}¤ +;2¡7;]÷;9*;-1§_;2(;

⑷=;2%;-[{;9!;+;2¡7;}÷;9*;-1]_;2(;

⑷=;2%;-{;2¢7;_;8(;-1}_;2(;

⑷=;2%;-{;6!;-1}_;2(;

=;2%;-{-;6%;}_;2(;

⑷=;2%;-{-:¡4∞:}

=;2%;+:¡4∞:=:™4∞:

4 가장 큰 수는;;™3º;;이고 가장 작은 수는 -2.4 이므로

;;™3º;;_(-2.4)=;;™3º;;_{-;1@0$;}=-16

5 (소괄호) → {중괄호} → [대괄호] 순으로 계 산하고, 곱셈과 나눗셈을 차례로 계산한 후 덧셈과 뺄셈을 차례로 계산한다.

따라서 계산 순서는 ⑤이다.

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(15)

3. 정수와 유리수의 계산

15

{-;7#;}_7÷;3!;={-;7#;}_7_3

{-;7#;}_7÷;3!;=-{;7#;_7_3}

{-;7#;}_7÷;3!;=-9

③ (+3)_(-27)÷{-;2(;}_(-2) =(+3)_(-27)_{-;9@;}_(-2) =-{3_27_;9@;_2}

=-36

④ (-3› )_{-;3!;}¤ =(-81)_;9!;=-9

⑤{-:¡2∞:}+{-;2%;}÷;3%;

={-:¡2∞:}+{-;2%;}_;5#;

=-:¡2∞:-;2#;

=-9

따라서 계산 결과가 다른 하나는 ③이다.

10A=(-24)_{-;3!;}_{-;4!;}

A=-{24_;3!;_;4!;}

A=-2

B=25_{-;5&;}_{-;5&;}

B=+{25_;5&;_;5&;}

A=49

∴ A-B=-2-49=-51

11a_b+a_c=a_(b+c)이므로 6+a_c=-15

∴ a_c=-21

147△5=(7+5)÷(7-5)

=12÷2=6 yy①

(-6)△{-;2#;}

=[(-6)+{-;2#;}]÷[(-6)-{-;2#;}]

={-:¡2∞:}÷{-;2(;}

={-:¡2∞:}_{-;9@;}

=;3%; yy②

∴ (7△5)△[(-6)△{-;2#;}]

=6△;3%;

={6+;3%;}÷{6-;3%;}

=:™3£:÷:¡3£:

=:™3£:_;1£3;=;1@3#; yy③ 13a_c<0에서 a와 c는 서로 다른 부호이고,

a<c이므로 a<0, c>0

또, b_c>0에서 b와 c는 서로 같은 부호이 고, c>0이므로 b>0

∴ a<0, b>0, c>0

12(주어진 식)

=;2!;-1÷∞;4(;-[2-{-;2!;}]§÷(-4)

=;2!;-1÷{;4(;-;2%;}÷(-4)

=;2!;-1÷{-;4!;}÷(-4)

=;2!;-1_(-4)_{-;4!;}

=;2!;-1

=-;2!;

거듭제곱 → 괄호(소괄호, 중괄호, 대괄호 순) → 곱 셈, 나눗셈 → 덧셈, 뺄셈 순으로 계산한다.

채점 요소 배점

① 7△5의 값 구하기 30%

② (-6)△{-;2#;}의 값 구하기 30%

③ 답 구하기 40%

16세 수를 곱할 때 가장 큰 값은 세 수 중 두 개 는 절댓값이 큰 음수, 나머지 하나는 ;4&;일 때 이므로

a={-;3@;}_(-6)_;4&;=7

세 수를 곱할 때 가장 작은 값은 음수 세 개 를 모두 곱할 때이므로

b={-;3@;}_{-;2!;}_(-6)=-2

∴ a-b=7-(-2)=9

15n이 짝수이면 2_n은 짝수, 2_n-1은 홀 수, n+1은 홀수이므로

-12_n-(-1)2_n-1_(-1)« ±⁄

=-1-(-1)_(-1)

=-1-1

=-2

음수를 2개 곱하면 곱은 양수, 음수를 3개 곱하면 곱은 음수가 된다.

(양수)_(양수)=(양수) (음수)_(음수)=(양수) (양수)_(음수)=(음수) (음수)_(양수)=(음수)

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(16)

문자의 사용과 식의 값

1 ⑴ -5a ⑵ -xy

⑶ 7(a-b) ⑷ z¤ -6(x+y) 2 -5x¤ y‹

3 ⑴ -;bA; ⑵ ⑶ ⑷;4{;-;5};

4 ⑴ 1+:ÅbÇ: ⑵ -;3”];

4 ⑶ -5a¤ +;9B; ⑷ - 5 ⑴ 3x km;5$;a원 5 ⑶ 점 ⑷;1¡0¶0;x g 6 (5000-8x)원

7 ⑴ 12 ⑵ 14 ⑶ -;6%; ⑷ -;6!; 8 ① a+b

2

xy x+y

b a+1 x-y

3

본문 30~31쪽 필수유형

2 (-5)_x_y_x_y_y

=(-5)_x_x_y_y_y

=-5x¤ y‹

3 ⑴ a÷(-b)=a_{-;b!;}=-;bA;

⑵ (x-y)÷3=(x-y)_;3!;=

⑶ b÷(a+1)=b_ =

⑷ x÷4-y÷5=x_;4!;-y_;5!;=;4{;-;5};

112a+1b 112a+11

112x-y3

4 ⑴ 1+a÷b_c=1+a_;b!;_c=1+:ÅbÇ:

⑵ x_{-;3!;}÷y=x_{-;3!;}_;]!;=-;3”];

⑶ a_a_(-5)+b÷9

=a_a_(-5)+b_;9!;=-5a¤ +;9B;

⑷ (-1)_x_y÷(x+y)

=(-1)_x_y_ =- xy 112x+y 112x+y1

⑶ (평균)=(총점)÷(횟수)

⑶ (평균)=(a+b)÷2= (점)

⑷ (소금의 양)

⑷= _(소금물의 양)

=;1¡0¶0;_x=;1¡0¶0;x(g) (소금물의 농도) 1111111100

112a+b2

6 한 켤레에 x원 하는 양말 8켤레를 사는 데 필 요한 돈은 8_x=8x(원)이므로 거스름돈은 (5000-8x)원이다.

7 ⑴ 3a-2b=3_2-2_(-3)

⑴ 3a-2b=6-(-6)=12

⑵ a‹ -2b=2‹ -2_(-3)

⑵ a‹ -2b=8-(-6)=14

;aB;-;bA;= - =-;2#;+;3@;

;aB;-;bA;=-;6(;+;6$;=-;6%;

⑷ =

⑷ = 4-3 =-;6!;

111-6 (-2)¤ +(-3) 11111122_(-3) (-a)¤ +b

11112ab

11-32 11-32

8 ① -(-x)=x=-5

② -x=-(-5)=5

③ x¤ =(-5)¤ =25

④ 5+x=5+(-5)=0

⑤ (-x)¤ =x¤ =25

따라서 그 값이 가장 작은 것은 ①이다.

4 . 문자와 식

시험에

나오는 문제

1 2 ①, ③ 3 4

5 6 7 8

9 10 ①, ④ 11 12 4x+8y

13

14 ⑴ S=2(ab+bc+ca) ⑵ 166 cm¤

15 -:™9º: 16-;3*;

본문 32~33쪽 x=-2일 때

-x¤ =-(-2)¤ =-4, (-x)¤ ={-(-2)}¤ =4

07

5 ⑴ (거리)=(속력)_(시간)

=3_x=3x(km)

⑵ (구매가격)=(정가)-(할인 금액)

⑶ (구매가격)=a-a_;1™0º0;=;5$;a(원)

-1을 생략하는 대신 - 부호를 맨 앞으로 꺼내어 쓴다.

1 ② 5÷3÷b=5_;3!;_;b!;=;3∞b;

2 ① x_(-0.1)+y=-0.1x+y

② x÷y÷4=x_;]!;_;4!;=;4”];

③ x÷y_;z!;=x_;]!;_;z!;=;]”z;

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(17)

4. 문자와 식

17

11(a-1000)÷4=a-1000(원) 11114 10② 10a+b

③ (구매가격)=(정가)-(할인 금액)

③ (구매가격)=x-x_;1£0º0;=;1¶0;x(원)

⑤ (소금의 양)

= _(소금물의 양)

=;1£0º0;_x=0.3x(g) 따라서 옳은 것은 ①, ④이다.

(소금물의 농도) 100 9 ;2!;_(a+b)_h=

(a+b)h 11112

12(넓이)

=(직각삼각형의 넓이)+(직사각형의 넓이)

=;2!;_8_x+8_y yy ①

=4x+8y yy ②

채점 요소 배점

① 도형의 넓이를 구하는 식 구하기 50%

② 식을 간단히 하기 50%

13(시간)= 이고, 20분을 쉬었으므로 걸린 시간은

;2”0;+;6@0);=;2”0;+;3!;(시간) 1113(거리)(속력)

3 x÷y_z=x_;]!;_z=:”]¸:

① x÷y÷z=x_;]!;_;z!;=;]”z;

② x_y÷z=x_y_;z!;=:”z’:

③ x_(y÷z)=x_;z};=:”z’:

④ x÷(y÷z)=x÷;z};=x_;]Z;=:”]¸:

⑤ x÷(y_z)=x_;]¡z;=;]”z;

따라서 x÷y_z와 같은 것은 ④이다.

4 -a¤ +5b=-(-2)¤ +5_(-1)

=-4-5=-9

5 a‹ -a¤ -a=(-3)‹ -(-3)¤ -(-3)

=-27-9+3=-33

6 ① -2a-5b=(-2)_1-5_(-4)

=-2+20=18

② 4a+b=4_1+(-4)=4-4=0

③ a¤ -ab=1¤ -1_(-4)=1+4=5

④ a¤ -b¤ =1¤ -(-4)¤ =1-16=-15

⑤ a+b¤ -b=1+(-4)¤ -(-4)

⑤ a+b¤ -b=1+16+4=21

따라서 식의 값이 가장 큰 것은 ⑤이다.

7 = =1

② -a=-(-1)=1

③ = =1

④ (-a)‹ ={-(-1)}‹ =1

⑤ -a¤ =-(-1)¤ =-1

따라서 식의 값이 다른 하나는 ⑤이다.

11111{-(-1)}fi1 1112(-a)fi1

1112(-1)¤1 12a¤1

14⑴ 직육면체에는 넓이가 같은 면이 2개씩 있 으므로

S=ab+ab+bc+bc+ca+ca

=2(ab+bc+ca) yy①

⑵ a=7, b=4, c=5일 때

S=2_(7_4+4_5+5_7)

=166(cm¤ ) yy②

채점 요소 배점

① S를 a, b, c를 사용한 식으로 나타내기 50%

② a=7, b=4, c=5일 때, 겉넓이 구하기 50%

음수를 대입할 때는 괄호 를 사용한다.

주어진 식에서 생략된 곱 셈 기호 _를 다시 쓴다.

④ 3÷(x+y)=3_ =

⑤ (-1)_x÷y_a=(-1)_x_;]!;_a

⑤ (-1)_x÷y_a=-:Å]”:

따라서 옳지 않은 것은 ①, ③이다.

112x+y3 112x+y1

나눗셈 기호를 사용하여 나타낼 때, 분모에 덧셈 또는 뺄셈 기호가 있으면 분모를 반드시 괄호를 사 용하여 묶어 준다.

y분=;6’0;시간

8 =(-2xy¤ )÷(a-b)

=(-2_x_y_y)÷(a-b)

=(-2)_x_y_y÷(a-b) -2xy¤

111a-b

151;4!;=;4%;의 역수는 ;5$;이므로 x=;5$;

-0.6=-;5#;의 역수는 -;3%;이므로 y=-;3%;

∴ -xy¤ ={-;5$;}_{-;3%;}¤

-xy¤={-;5$;}_:™9∞:=-:™9º:

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(18)

16-;a$;+;b!;+

=(-4)÷;3@;+1÷{-;2#;}+1÷{-;2!;}¤

=(-4)_;2#;+1_{-;3@;}+1_4

=(-6)+{-;3@;}+4=-;3*;

15c¤1

3 ⑴ 7_6a=42a

⑵ (-8)_4x=-32x

⑶ (-6y)_(-5)=30y

⑷ 8x_(-3)=-24x 일차식의 계산

1 ⑴ -4x, 5y¤ , 6 ⑵ 6 ⑶ -4 ⑷ 2 2 4-3a, 7m-2, 0.2x+5

3 ⑴ 42a ⑵ -32x ⑶ 30y ⑷ -24x 4 ⑴ 3x ⑵;9!;x ⑶ -4y ⑷ -4y 5 ⑴ 20x-12 ⑵ -5x+5 5 ⑶ -2x+1 ⑷ -6x+16 6 ⑴ 3x-2 ⑵ -6+;3@;x 5 ⑶ 5x+15 ⑷ ;3*;x-;2%;

7 8x, -4x

8 ⑴ -5a+1 ⑵ -5x+23 8 ⑶ -3b+5 ⑷;3%;x-3

본문 34~35쪽 필수유형

2 일차식은 차수가 1인 다항식이므로 4-3a, 7m-2, 0.2x+5이다.

4 ⑴ 12x÷4=12x_;4!;=3x

⑵ (-3x)÷(-27)=(-3x)_{-;2¡7;}=;9!;x

⑶ 5y÷{-;4%;}=5y_{-;5$;}=-4y

{-;2#;y}÷;8#;={-;2#;y}_;3*;=-4y

-;[!;은 분모에 문자 x가 있으므로 일차식이 아니다.

08

5 ⑴ 4(5x-3)=4_5x+4_(-3)

⑴ 4(5x-3)=20x-12

⑵ -5(x-1)=(-5)_x+(-5)_(-1)

⑵ -5(x-1)=-5x+5

⑶ (4x-2)_{-;2!;}

=4x_{-;2!;}+(-2)_{-;2!;}

=-2x+1

{;4#;x-2}_(-8)

=;4#;x_(-8)+(-2)_(-8)

=-6x+16

6 ⑴ (6x-4)÷2=(6x-4)_;2!;

⑴ (6x-4)÷2=6x_;2!;+(-4)_;2!;

⑴ (6x-4)÷2=3x-2

{12-;3$;x}÷(-2)

={12-;3$;x}_{-;2!;}

=12_{-;2!;}+{-;3$;x}_{-;2!;}

=-6+;3@;x

⑶ (3x+9)÷;5#;=(3x+9)_;3%;

⑶ (3x+9)÷;5#;=3x_;3%;+9_;3%;

⑶ (3x+9)÷;5#;=5x+15

{;9*;x-;6%;}÷;3!;={;9*;x-;6%;}_3

{;9*;x-;6%;}÷;3!;=;9*;x_3+{-;6%;}_3

{;9*;x-;6%;}÷;3!;=;3*;x-;2%;

7 2x와 문자와 차수가 같은 항을 찾으면 8x, -4x이다.

8 ⑴ 4-7a-3+2a=-7a+2a+4-3

=(-7+2)a+4-3

=-5a+1

⑵ (-2x+8)-3(x-5)

=-2x+8-3x+15

=-2x-3x+8+15

=(-2-3)x+8+15=-5x+23

⑶ -5b+8+ =-5b+8+2b-3

⑶ -5b+8+ =-5b+2b+8-3

=(-5+2)b+8-3

=-3b+5

⑷ 4{;2{;-6}-3{;9{;-7}

=2x-24-;3{;+21=2x-;3{;-24+21

={2-;3!;}x-24+21=;3%;x-3 8b-12

4

문자와 차수가 같아야 덧 셈과 뺄셈을 할 수 있다.

동류항은 문자와 차수가 각각 같은 항이다.

분배법칙을 이용한다.

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(19)

4. 문자와 식

19

시험에

나오는 문제

1 2 3 4

5 ④, ⑤ 6 7 -7 8 9 10 -4 11 12

13 14 15 3x-11

16 (2a+12) cm¤

본문 36~37쪽

1 ③ x의 계수는 -5이다.

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

2 ③ 3(x-y)는 다항식이다.

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

3 x의 계수는-;4!;이고, 상수항은 -2이므로 구하는 합은 -;4!;-2=-;4(;

4 ④ 6-;[!;은 분모에 문자 x가 있으므로 일차

③식이 아니다.

따라서 일차식이 아닌 것은 ④이다.

5 ④ (x+20)÷5=(x+20)_;5!;=;5!;x+4

⑤ (8x-4)_{-;4#;}=-6x+3 따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤이다.

6 ① 차수는 1로 같으나 문자가 a, b로 다르므 로 동류항이 아니다.

②, ④ 문자는 같으나 차수가 다르므로 동류 항이 아니다.

⑤ 각 문자에 대한 차수가 다르므로 동류항 이 아니다.

따라서 동류항끼리 짝지어진 것은 ③이다.

8 ① (5x-3)+(5x+3)

=5x-3+5x+3

=10x

② (2x-3)+2(3x+2)

=2x-3+6x+4

=8x+1

③ (3x-7)-;2!;(4-2x)

=3x-7-2+x

=4x-9

④ (-x-1)-(6-4x)

=-x-1-6+4x

=3x-7

⑤ 2(-x+3)-3(4x-1)

=-2x+6-12x+3

=-14x+9

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

9 =3(x-5)-(4x-17)

=3x-15-4x+17

=3x-4x-15+17

=-x+2

A- =B이면

=A-B

104x¤ -x+7+ax¤ +6x-13

=4x¤ +ax¤ -x+6x+7-13

=(4+a)x¤ +5x-6 yy① 따라서 이 다항식이 x에 관한 일차식이 되려 면 x¤ 의 계수는 0이어야 한다.

즉, 4+a=0이므로 a=-4 yy②

채점 요소 배점

① 주어진 식을 간단히 하기 50%

② a의 값 구하기 50%

다항식은 하나의 항이나 여러 개의 항의 합으로 이 루어진 식이다.

7 -3(x-1)-2(5-2x)

=-3x+3-10+4x

=-3x+4x+3-10

=x-7 yy①

따라서 x의 계수는 1, 상수항은 -7이므로 구하는 곱은

1_(-7)=-7 yy②

채점 요소 배점

① 식을 간단히 하기 50%

② x의 계수와 상수항의 곱 구하기 50%

동류항은 문자와 차수가 각각 같은 항이다.

일차식에 음수를 곱하면 각 항의 부호가 바뀐다.

11(주어진 식)=(7a-3)-(2a-3+2)

=(7a-3)-(2a-1)

=7a-3-2a+1

=7a-2a-3+1

=5a-2

122A-B=2(-x+y)-(-4x+3y)

=-2x+2y+4x-3y

=-2x+4x+2y-3y

=2x-y

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(20)

14(주어진 식)=

14(주어진 식)=

14(주어진 식)=

14(주어진 식)= -7x+116 -3x-4x+3+8

6 -3x+3-4x+8

6

3(-x+1)-2(2x-4) 6

15어떤 다항식을 라 하면 -(2x-3)=-x-5

=-x-5+(2x-3)

=-x-5+2x-3

=-x+2x-5-3

=x-8

따라서 바르게 계산한 식은 x-8+(2x-3)=x-8+2x-3

=x+2x-8-3

=3x-11

계수가 분수인 일차식은 먼저 분모의 최소공배수로 통분한 다음 식을 간단히 한다.

16

(직사각형의 넓이)=(a+4)_6

=6a+24(cm¤ ) (삼각형 ①의 넓이)=;2!;_a_6 (삼각형 ③의 넓이)=3a(cm¤ ) (삼각형 ②의 넓이)=;2!;_4_4 (삼각형 ③의 넓이)=8(cm¤ ) (삼각형 ③의 넓이)=;2!;_(a+4)_2 (삼각형 ③의 넓이)=a+4(cm¤ )

∴ (색칠한 부분의 넓이)

∴=(직사각형의 넓이)-(①+②+③)

=(6a+24)-{3a+8+(a+4)}

=6a+24-(4a+12)

=6a+24-4a-12

=6a-4a+24-12

=2a+12(cm¤ ) 2 cm

4 cm 4 cm a cm

① ②

-A=B이면

=B+A

13(주어진 식)=x-{5y-3x-(2y-x+y)}

=x-{5y-3x-(-x+3y)}

=x-(5y-3x+x-3y)

=x-(-2x+2y)

=x+2x-2y=3x-2y

등식의 성질

5 . 일차방정식

1 ⑴ 50-3x=17 ⑵ 5x-6=2x 2 ②, ③

3 ⑴ 방정식 ⑵ 방정식 ⑶ 항등식 ⑷ 항등식 4 ⑤ 5 ⑴ 3 ⑵ 5 6 ⑤ 7 5, 5, 8, 2, ㈎ ㄴ, ㈏ ㄹ

8 ⑴ x=4 ⑵ x=25

본문 38~39쪽 필수유형

1 ⑴ 50-3_x=17이므로 50-3x=17

⑵ x_5-6=x_2이므로 5x-6=2x 2 등호를 사용하여 두 수 또는 두 식이 같음을

나타낸 것은 ②, ③이다.

4 각 방정식에 x=2를 대입하였을 때 등식이 성립하는 것을 찾는다.

① 2+2+0 ② 2-6+-2

③ 2_2-2+1 ④ 4_2+2-5_2 따라서 해가 x=2인 것은 ⑤이다.

3 ⑴ 3x-8=7은 x=5일 때만 참이므로 방정 식이다.

⑵ 4x-x=2x는 x=0일 때만 참이므로 방 정식이다.

⑶, ⑷ (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수를 대입하여도 항상 등식이 성립한다.

따라서 항등식이다.

5 ⑴ x+3=4x의 양변에서 3을 빼면

x+3- =4x-3

;5@;x=6의 양변에 5를 곱하면

;5@;x_5=6_ 5 3

6 ;3A;=;2B;의 양변에 6을 곱하면 2a=3b이다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

09

7 4x+5=13

4x+5- =13- 4x=

∴ x=

따라서 ㈎, ㈏에 이용된 등식의 성질은 각각 ㄴ, ㄹ이다.

2 8

5 5

㈎ 등식의 양변에서 5를 뺀다.

㈏ 등식의 양변을 4로 나눈다.

참, 거짓에 관계없이 등호 를 사용하여 나타낸 식은 모두 등식이다.

미지수를 포함한 등식에 서 좌변과 우변이 같으면 항등식이다.

x의 값을 방정식에 대입 하여 등식이 성립하면 해 이다.

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참조

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