Ⅶ 입체도형

(1)

세계 각국의 건축물에서 다양한 모양의 입체도형을 볼 수 있다.

Ⅶ ^입체도형 ¹

^다면체

²

^회전체

³

기둥의 겉넓이와 부피

4

뿔의 겉넓이와 부피

5

구의 겉넓이와 부피

기둥의 겉넓이와 부피 구의 겉넓이와 부피

(2)

되짚어 보기

각기둥과 각뿔 초 5~6

1

^다음 안에 알맞은 것을 보기에서 찾아 써넣으시오.

⑴ 두 밑면이 서로 평행하고 합동인 다각형으로 이루어진 기둥 모양의 입체도 형은 이다.

⑵ 밑면이 다각형이고 옆면이 모두 삼각형인 입체도형은 이다.

입체도형의 이름 초 5~6

2

다음 입체도형의 이름을 말하시오.

⑴ ⑵ ⑶

입체도형의 겉넓이와 부피

초 5~6

▶ 직육면체의 겉넓이는

(합동인 세 면의 넓이의 합)

_2

▶ 직육면체의 부피는

(가로의 길이)_(세로의 길이)

_(높이)

4

오른쪽 그림과 같은 직육면체의 겉넓이와 부피를 구하 시오.

4 cm 3 cm

5 cm

각기둥, 원기둥, 각뿔

보기

입체도형의 전개도 초 5~6

3

다음은 어떤 입체도형의 전개도인지 말하시오.

⑴ ⑵

이전에 배운 내용의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

218

^{Ⅶ. 입체도형}

217248중등수학류희찬교과서-07.indd 218 2017-04-26 오후 3:27:28

(3)

단원을 시작하며

입체도형, 세상을 바꾸다!

아프리카 어느 지역에 사는 사람들은 깨끗한 식수를 구하기 위해 하루에 4~8시간씩 물동이를 옮겨 야 하는 힘든 생활을 하였다. 이를 돕기 위해 개발된 큐 드럼(Q drum)은 도넛과 원기둥 모양의 입 체도형을 결합한 형태의 물통이다. 큐 드럼을 이용하면 물통을 들지 않고 굴리면서 운반할 수 있기 때 문에 누구든지 쉽고 빠르게 물을 나를 수 있으며, 기존의 물통보다 약 3배 정도의 물을 한 번에 옮길 수 있다고 한다.

이 단원에서는 큐 드럼과 같은 입체도형의 성질을 알아보고, 그 겉넓이와 부피를 구하는 방법을 공부한다.

(한국교육방송공사, 2013년)

단원을 시작하며

219

(4)

다면체의 성질을 이해한다.

피라미드는 밑면이 사각형이고 옆면은 삼각형인 사각뿔 모양이다.

다면체

탐구 학습

다면체는 무엇인가요?

키우기

열기 오른쪽 전개도를 접어서 만들 수 있 는 입체도형의 이름을 각각 말하여 보자.

다지기 주어진 전개도를 접으면 오른쪽 그림과 같은 와(과) 이(가) 만들어진다.

삼각기둥과 사각뿔의 공통된 성질은 무엇일까?

삼각기둥, 사각뿔과 같이 다각형인 면으로만 둘러싸 인 입체도형을 다면체라고 한다. 이때 다면체를 둘러 싸고 있는 다각형을 다면체의 면, 다각형의 변을 다면 체의 모서리, 다각형의 꼭짓점을 다면체의 꼭짓점이 라고 한다.

다면체는 둘러싸인 면의 개수에 따라 사면체, 오면체, 육면체, …라고 한다.

꼭짓점

면

모서리 원기둥과 원뿔도 다면체인

가요?

Q

원기둥과 원뿔은 다각형 이외의 면으로 둘러싸여 있으므로 다면체가 아닙 니다.

A

다면체

개념 확인 면이 6개이므로 육면체

이고 모서리는 12개, 꼭짓점은 8개야.

사각기둥 모양의 어항은 모든 면이 사각형이므로

다면체야.

220

(5)

다음 다면체는 몇 면체인지 말하고, 모서리의 개수와 꼭짓점의 개수를 구하시오.

⑴ ⑵

1

문제

다음 그림과 같은 각뿔대의 이름을 말하시오. 또, 몇 면체인지 말하시오.

⑴ ⑵

2

문제

각뿔대 각뿔

높이

밑면 옆면

밑면

각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자를 때 생기는 두 다면체 중에서 각뿔이 아닌 쪽의 다면체를 각뿔대라고 한다. 이때 각뿔대에서 서로 평행한 두 면을 밑면, 밑 면이 아닌 면을 옆면이라 하고, 각뿔대의 두 밑면에 수직인 선분의 길이를 각뿔대 의 높이라고 한다. 각뿔대의 옆면은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이므로 모두 사 다리꼴이다.

각뿔대는 밑면의 모양에 따라 삼각뿔대, 사각뿔대, 오각뿔대, …라고 한다.

각뿔대

사면체, 오면체, 육면체, … 는 다면체를 면의 개수에 따 라 분류한 것이고, 각기둥, 각뿔, 각뿔대는 다면체를 그 모양에 따라 분류한 것 이다.

삼각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자르면 두 입체도형으로 나누어져.

개념 확인

1. 다면체

221

(6)

각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 모두 같은 다 면체를 정다면체라고 한다. 정다면체는 다음과 같이 정사면체, 정육면체, 정팔면 체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 가지뿐이다.

➊ 면이 정삼각형인 경우

다음 표를 완성하시오.

3

문제

➋ 면이 정사각형인 경우 ➌ 면이 정오각형인 경우

정사면체 정팔면체 정이십면체

정육면체 정십이면체

정다면체는 무엇인가요?

개념 확인

정다면체 정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체

면의 모양 정삼각형 한 꼭짓점에 모인

면의 개수 3

정다면체의 이름은 면의 개수와 관련이 있어!

정다면체

222

(7)

오른쪽 입체도형은 합동인 정삼각형 6개로 이루어진 다면체이다. 이 다 면체가 정다면체가 아닌 이유를 설명하여 보자.

추론

1

다음 보기 중에서 조건을 만족하는 다면체를 모두 찾으 시오.

3

다음 조건을 모두 만족하는 다면체의 이름을 말하시오.

2

모서리의 개수가 18인 각뿔대의 면의 개수와 꼭짓점의 개 수를 구하시오.

⑴ 면의 개수가 7인 다면체

⑵ 옆면이 직사각형이 아닌 사다리꼴로 이루어진 다 면체

㈎ 각 면이 모두 합동인 정다각형이다.

㈏ 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 5이다.

정답 및 풀이 307쪽

스스로 확인하기

ㄱ. 삼각기둥 ㄴ. 삼각뿔대 ㄷ. 사각뿔 ㄹ. 사각기둥 ㅁ. 오각뿔대 ㅂ. 육각뿔

보기

4

^창의^•^융합

어느 날 서로 다른 궤도에서 돌고 있는 네 개의 인공위 성을 관찰하였더니 각 인공위성은 다른 세 인

공위성과 같은 거리에 있었다. 네 개의 인공 위성의 위치를 꼭짓점으로 하는 다면체 의 이름을 말하시오.

(단, 인공위성의 크기는 생각하지 않는다.)

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100 1. 다면체

223

(8)

다면체와 전개도 관찰하기

컴퓨터 프로그램을 이용하여 여러 가지 다면체의 모양과 전개도를 관찰하여 보자.

➊ 프로그램을 실행한 후 메뉴 창에서 관찰하고자 하는 입체도형을 선택한다.

➋ 입체도형 위에 마우스 포인터를 놓은 다음, 마우스의 왼쪽 버튼을 누른 채로 마우스를 움직여 입

체도형을 회전시키면서 여러 각도에서 관찰한다.

➌ 메뉴 창의 막대를 움직여 입체도형의 전개도와 입체도형이 만들어지는 과정을 관찰한다.

정팔면체 정다면체 정팔면체

정팔면체 정팔면체 정팔면체 정팔면체

정보 처리 컴퓨터 프로그램을 이용하여 여러 가지 정다면체를 만들고, 그 성질을 말하여 보자.

정팔면체 정팔면체 정팔면체 정팔면체

컴퓨터

& 수학

224

(9)

아이고 어지러워!

평면도형을 한 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형을 회전체 라 하고, 이때 축으로 사용한 직선 l을 회전축, 회전하면서 옆면을 만드는 선분을 그 회전체의 모선이라고 한다.

직사각형, 직각삼각형, 반 원을 한 직선을 축으로 하 여 1회전 시키면 각각 원기 둥, 원뿔, 구가 만들어진다.

회전체

옆면 모선

l l

l

밑면 밑면

회전축

탐구 학습

회전체는 무엇인가요?

키우기

열기 오른쪽 그림과 같이 두꺼운 종이로 직사각형을 만들어 빨대 에 붙인 다음, 빨대를 축으로 하여 1회전 시키면 어떤 입체 도형이 생기는지 말하여 보자.

다지기 직사각형을 빨대를 축으로 하여 1회전 시키면 이(가) 생긴다.

다른 평면도형을 한 직선을 축으로 하여 1회전 시키면 어떤 입체도형이 생길까?

l

➡

회전체의 성질을 이해한다.

물레가 회전하면서 빚어지는 도자기는 그 모양이 다양하지만 여러 가지 공통적인 성질을 가지고 있다.

회전체

아이고

어지러워!

개념 확인

구는 옆면이 없으니까 모선을 생각할 수 없어.

모선은 회전체에서 옆면을 만드는 선분이야.

2. 회전체

225

(10)

다음 평면도형을 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체를 그리시오.

⑴ ⑵ ⑶

1

문제

l l l

원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자를 때 생기는 두 입체도형 중에서 원뿔이 아 닌 쪽의 입체도형을 원뿔대라고 한다. 이때 원뿔대에서 서로 평행한 두 면을 밑면, 밑면이 아닌 곡면을 옆면이라 하고, 원뿔대의 두 밑면에 수직인 선분의 길이를 원 뿔대의 높이라고 한다.

원뿔대

밑면 높이 옆면 밑면 원뿔

원뿔대

오른쪽 사다리꼴 ABCD를 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기 는 회전체를 그리고, 이 회전체의 높이를 말하시오.

2

문제

A D

B C

l

개념 확인

사다리꼴을 오른쪽 그림과 같이 직선

l을 축으로 하여

1회전 시키면 원뿔대가 생겨.

이 경우에는 원뿔대가 아닌 회전체가 생겨.

226

(11)

입체도형을 평면으로 자를 때 생기는 면을 단면이라고 한다.

이때 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면의 경계는 다음 그림과 같이 모두 원이다.

회전체는 어떤 성질이 있나요?

또, 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 모두 합동이고 다음 그 림과 같이 회전축에 대하여 선대칭도형이다.

원기둥 원뿔 구

회전체

l l l

회전축을 포함하는 평면

으로 자른 단면의 모양 직사각형 이등변삼각형 원

선대칭도형은 어떤 직선으 로 접어서 완전히 겹쳐지는 도형이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

회전체의 성질

➊ 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면의 경계는 항상 원이다.

➋ 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 모두 합동이고, 회전축에 대하

여 선대칭도형이다.

원기둥 원뿔 구

회전체

l l l

회전축에 수직인 평면

으로 자른 단면의 경계 원 원 원

회전체의 성질

2. 회전체

227

(12)

개념 확인

다면체와 회전체는 모두 입체도형이지만 서로 다른 특징을 가지고 있다. 회전체를 다면체 의 한 종류로 볼 수 없는 이유를 모둠별로 설명하여 보자.

의사소통

다음 회전체를 회전축에 수직인 평면과 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면을 각각 그 리시오.

3

문제

회전축에 수직인 평면으로 자른 단면

회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면

회전체 다면체

구를 한 평면으로 자른 단면을 그리고, 그 면의 넓이를 가장 크게 하려면 어떻게 잘라야 하는지 설명하시오.

4

문제

원뿔대를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면의 모양은

사다리꼴이야.

원뿔대를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면의 경계는 원이야.

228

(13)

1

다음 보기 중에서 회전체를 모두 찾으시오.

4

다음 보기 중에서 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 나타날 수 있는 단면의 모양을 모두 찾으시오.

2

다음 평면도형을 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생 기는 회전체를 그리시오.

⑴

_l

⑵

_l

3

오른쪽 그림과 같은 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면을 그리시 오.

5

오른쪽 그림과 같은 직사각형을 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체를 회전축에 수 직인 평면으로 자른 단면의 넓이 를 구하시오.

7 cm

4 cm2 cm

l

6

^창의^•^융합

오른쪽 그림과 같은 원뿔대의 옆면 에 페인트칠을 한 후, 옆면이 평면에 닿도록 놓고 굴리려고 한다. 페인트 가 바닥에 묻어나기 시작한 부분과 다시 만날 때까지 원뿔대를 굴렸을 때, 페인트가 묻은 부분의 모양을 그리시오.

스스로 확인하기

ㄱ. 삼각뿔 ㄴ. 원기둥

ㄷ. 구 ㄹ. 정팔면체

ㅁ. 육각뿔대 ㅂ. 원뿔

보기

ㄱ. ㄴ.

ㄷ. ㄹ.

보기

0 50 100 2. 회전체

229

(14)

탐구 학습

기둥의 겉넓이는 어떻게 구하나요?

키우기

열기 삼각기둥의 전개도를 이용하여 삼각기둥의 겉넓이를 구하는 과정을 설명하여 보자.

다지기 삼각기둥의 전개도는 서로 합동인 삼각형 모양의 두 밑면과 직사각형 모양의 옆면으로 이 루어져 있다.

따라서 삼각기둥의 겉넓이는 삼각형의 넓이의 배와 직사각형의 넓이를 더하여 구한다.

여러 가지 기둥의 겉넓이는 어떻게 구할까?

기둥의 겉넓이를 구할 때에는 그 전개도를 이용하면 편리하다.

각기둥과 원기둥의 전개도는 다음 그림과 같이 서로 합동인 두 밑면과 직사각형 모양의 옆면으로 이루어져 있다.

따라서 각기둥과 원기둥의 겉넓이는 두 밑넓이와 옆넓이의 합으로 구할 수 있다.

입체도형에서 한 밑면의 넓 이를 밑넓이, 옆면 전체의 넓이를 옆넓이, 겉면 전체의 넓이를 겉넓이라고 한다.

밑면 옆면

밑면

밑면 옆면 기둥의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.

선조들은 곡물의 양을 재기 위하여 여러 가지 기둥 모양의 계량용 그릇을 사용하였다.

기둥의 겉넓이와 부피

기둥의 겉넓이

230

(15)

다음 기둥의 겉넓이를 구하시오.

⑴ ⑵

1

문제

7 cm

4 cm 8 cm

5 cm

2 cm 5 cm 원기둥의 전개도에서 옆면

인 직사각형의 가로의 길이 는 밑면인 원의 둘레의 길 이와 같다.



⑴ 84`cmÛ` ⑵ 60p`cmÛ`

예제 다음 기둥의 겉넓이를 구하시오.

⑴ ⑵

1 | 기둥의 겉넓이 구하기

6 cm 3 cm 4 cm

5 cm

3 cm

7 cm

풀이 ⑴ (밑넓이)=;2!;_3_4=6`(cmÛ`) (옆넓이)=(3+5+4)_6=72`(cmÛ`) (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)

=6_2+72

=84`(cmÛ`)

⑵ (밑넓이)=p_3Û`=9p`(cmÛ`) (옆넓이)=(2p_3)_7=42p`(cmÛ`) (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)

=9p_2+42p

=60p`(cmÛ`)

6 cm 4 cm 3 cm 4 cm

3 cm 5 cm

3 cm

(2p^3) cm 7 cm

h

2pr h r

➞

r

기둥의 겉넓이

(기둥의 겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이)

3. 기둥의 겉넓이와 부피

231

(16)

기둥의 부피는 어떻게 구하나요?

(직육면체의 부피)

=(밑넓이)_(높이)

기둥의 부피

(기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이)

직육면체를 오른쪽 그림과 같이 반으로 잘라 두 개의 삼각기둥 을 만들었다. 이때 삼각기둥의 부피는 직육면체의 부피의 ;2!;이고, 삼각기둥의 밑넓이는 직육면체의 밑넓이의 ;2!;이다.

이를 이용하면 오른쪽 그림에서 삼 각기둥의 부피는 직육면체의 부피의

;2!;이고, 삼각기둥의 밑넓이는 직육면

체의 밑넓이의 ;2!;임을 알 수 있다.

따라서 삼각기둥의 부피는 다음과 같이 구할 수 있다.

(삼각기둥의 부피)=;2!;_(직육면체의 부피)

=;2!;_{(직육면체의 밑넓이)_(높이)}

=[;2!;_(직육면체의 밑넓이)]_(높이)

=(삼각기둥의 밑넓이)_(높이)

삼각기둥이 아닌 각기둥은 여러 개의 삼각기둥으로 나눌 수 있 으므로 각기둥의 부피는 나누어진 삼각기둥의 부피의 합으로 구 할 수 있다. 따라서 각기둥의 부피는 다음과 같다.

(각기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이)

한편, 원기둥 안에 꼭 맞는 밑면이 정다각형인 각기둥에서 밑면 의 변의 개수를 늘려감에 따라 각기둥은 원기둥에 가까워진다. 따 라서 원기둥의 부피도 다음과 같이 구할 수 있다.

(원기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이) 기둥의 부피

232

(17)

다음 기둥의 부피를 구하시오.

⑴ ⑵

2

문제

5 cm 3 cm 9 cm

6 cm

4 cm 10 cm 예제 다음 기둥의 부피를 구하시오.

⑴ ⑵

2 | 기둥의 부피 구하기



⑴ 120`cmÜ` ⑵ 160p`cmÜ`

풀이 ⑴ (밑넓이)=;2!;_5_8=20`(cmÛ`)

(부피)=(밑넓이)_(높이)=20_6=120`(cmÜ`)

⑵ (밑넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`)

(부피)=(밑넓이)_(높이)=16p_10=160p`(cmÜ`)

4 cm

10 cm 8 cm

5 cm 6 cm

추론

다음 그림은 컴퓨터 프로그램을 이용하여 넓이가 30`cmÛ`인 삼각형, 사각형, 원을 그리고, 각각의 둘레의 길이를 소수 첫째 자리에서 반올림하여 나타낸 것이다. 물음에 답하여 보자.

A

△ABC=30`cm¤

△ABC의 둘레=25`cm

B C

DEFG=30`cm¤

DEFG의 둘레=22`cm

D

E

G

F

HI=30`cm¤

HI의 둘레=19`cm

H I

⑴ 밑넓이가 30`cmÛ`인 삼각형, 사각형, 원을 각각 밑면으로 하고 높이가 10`cm인 세 기둥의 부피와 겉넓이를 구하여 보자.

⑵ 위의 ⑴의 결과를 통해 캔의 모양이 대부분 원기둥인 이유를 말하여 보자.

3. 기둥의 겉넓이와 부피

233

(18)

1

다음 그림의 안에 알맞은 수를 써넣고, 삼각기둥의 겉 넓이와 부피를 구하시오.

5

^창의^•^융합

다음 그림과 같이 아랫부분이 원기둥 모양인 병이 있다.

이 병에 물의 높이가 10`cm가 되도록 물을 넣은 다음 병 을 뒤집었을 때, 물이 없는 부분의 높이는 5`cm가 되었 다. 이때 병의 부피를 구하시오.

(단, 병의 두께는 생각하지 않는다.)

10 cm 10 cm

6 cm

cm

8 cm 8 cm

cm cm

2

다음 그림의 안에 알맞은 수를 써넣고, 원기둥의 겉 넓이와 부피를 구하시오.

5 cm

12 cm

cm

cm cm

4

다음 그림과 같은 두 원기둥 A, B의 부피가 같을 때, h의 값을 구하시오.

4 cm

h cm

6 cm 8 cm

A B

스스로 확인하기

3

다음 기둥의 겉넓이와 부피를 구하시오.

⑴ ⑵

10 cm

8 cm

4 cm 5 cm

5 cm 6 cm

3 cm 120$

0 50 100

234

(19)

124`m나 높이가 되네.

뿔의 겉넓이와 부피

뿔의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.

브라질의 파라나에 있는 마링가 성당은 인공위성의 발사체 모양에서 영감을 얻어 원뿔 모양으로 만들어졌다.

탐구 학습

뿔의 겉넓이는 어떻게 구하나요?

키우기

다지기 사각뿔의 전개도는 사각형 모양의 한 밑면과 삼각형 모양의 4개의 옆면으로 이루어져 있다. 따라서 사각뿔의 겉넓이는 사각형 한 개의 넓이와 삼각형 개의 넓이를 더하여 구한다.

여러 가지 뿔의 겉넓이는 어떻게 구할까?

기둥과 마찬가지로 뿔의 겉넓이도 전개도를 이용하여 구할 수 있다.

다음 그림과 같이 각뿔의 전개도는 한 개의 밑면과 삼각형 모양의 옆면들로 이 루어져 있고, 원뿔의 전개도는 원 모양의 밑면과 부채꼴 모양의 옆면으로 이루어 져 있다.

따라서 각뿔과 원뿔의 겉넓이는 밑넓이와 옆넓이의 합으로 구할 수 있다.

밑면 밑면

옆면

옆면 옆면

열기 사각뿔의 전개도를 이용하여 사각뿔의 겉넓이를 구하는 과정을 설명하여 보자.

뿔의 겉넓이

(마링가 시, 2016년)

4. 뿔의 겉넓이와 부피

235

(20)

뿔의 겉넓이

(뿔의 겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이)



⑴ 105`cmÛ` ⑵ 64p`cmÛ`

풀이 ⑴ (밑넓이)=5_5=25`(cmÛ`)

(옆넓이)=4_{;2!;_5_8}=80`(cmÛ`) (겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)

=25+80=105`(cmÛ`)

⑵ (밑넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`) (옆넓이)=;2!;_12_(2p_4)

=48p`(cmÛ`)

(겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)

=16p+48p=64p`(cmÛ`)

8 cm

5 cm 5 cm

12 cm

(2p^4)cm

4 cm 원뿔의 전개도에서 부채꼴

의 반지름의 길이는 원뿔의 모선의 길이와 같고, 부채 꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같다.

(부채꼴의 넓이)

=

;2!;_l_2pr

=prl

l l

r

2pr

➞

r

예제 다음 뿔의 겉넓이를 구하시오. (단, 사각뿔의 옆면은 모두 합동이다.)

⑴ ⑵

1 | 뿔의 겉넓이 구하기

5 cm 8 cm 5 cm

4 cm 12 cm

다음 뿔의 겉넓이를 구하시오. (단, 사각뿔의 옆면은 모두 합동이다.)

⑴ ⑵

1

문제

10 cm

10 cm 13 cm

9 cm

6 cm

236

(21)

다음 그림과 같이 사각뿔 모양의 그릇에 서로 다른 색 모래를 가득 담아 이 사 각뿔과 밑면이 합동이고 높이가 같은 사각기둥 모양의 그릇에 세 번 부으면 가득 채워진다.

즉, 사각뿔의 부피는 밑면이 합동이고 높이가 같은 사각기둥의 부피의 ;3!;

이다.

일반적으로 각뿔의 부피는 밑면이 합동이고 높이가 같은 각기둥의 부피의 ;3!;임 을 알 수 있다.

마찬가지로 다음 그림과 같이 원뿔 모양의 그릇에 서로 다른 색 모래를 가득 담 아 이 원뿔과 밑면이 합동이고 높이가 같은 원기둥 모양의 그릇에 세 번 부으면 가 득 채워진다.

뿔의 부피는 어떻게 구하나요?

즉, 원뿔의 부피는 밑면이 합동이고 높이가 같은 원기둥의 부피의 ;3!;이다.

뿔의 부피

(뿔의 부피)=;3!;_(밑넓이)_(높이) 뿔의 부피

4. 뿔의 겉넓이와 부피

237

(22)

다음 뿔의 부피를 구하시오.

⑴ ⑵

2

문제

8 cm 7 cm

12 cm 9 cm

5 cm



⑴ 70`cmÜ` ⑵ 32p`cmÜ`

예제 다음 뿔의 부피를 구하시오.

⑴ ⑵

2 | 뿔의 부피 구하기

풀이 ⑴ (밑넓이)=5_6=30`(cmÛ`)

(부피)=;3!;_(밑넓이)_(높이)=;3!;_30_7=70`(cmÜ`)

⑵ (밑넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`)

(부피)=;3!;_(밑넓이)_(높이)=;3!;_16p_6=32p`(cmÜ`)

5 cm

6 cm 7 cm

4 cm 6 cm

어느 음료수 가게에서 밑면의 반지름의 길이가 16`cm이고 높이가 50`cm 인 원기둥 모양의 통에 가득 담긴 음료수를 오른쪽 그림과 같은 원뿔 모 양의 유리잔에 가득 담아 판매하고 있다. 1잔에 4000원씩 판매한다고

할 때, 1통당 예상되는 판매액을 구하여 보자.

(단, 통과 유리잔의 두께는 생각하지 않는다.)

문제 해결

8 cm

12 cm

238

(23)

1

오른쪽 그림은 원뿔의 전개도이다. 이 전개도 로 만들어지는 원뿔의 겉넓이를 구하시오.

2 cm 5 cm

2

다음 뿔의 겉넓이와 부피를 구하시오.

(단, 사각뿔의 옆면은 모두 합동이다.)

⑴ ⑵

6 cm

6 cm 5 cm 4 cm

5 cm 13 cm 12 cm

3

오른쪽 그림과 같은 원뿔대의 겉넓이를 구하시오.

3 cm

6 cm 8 cm

8 cm

5

^{발전 문제}

다음 그림과 같이 밑면이 한 변의 길이가 9`cm인 정사각 형이고 높이가 x`cm인 사각뿔 모양의 그릇에 물을 가득 담은 후 이 사각뿔과 밑면이 합동인 사각기둥 모양의 그릇 에 물을 부었더니 높이가 5`cm만큼 채워졌다. 이때 x의 값을 구하시오. (단, 그릇의 두께는 생각하지 않는다.)

9 cm

5 cm 9 cm 9 cm

9 cm

x cm

4

오른쪽 그림과 같은 우주선은 지구 로 다시 돌아올 때, 아랫부분에 있는 원기둥 모양의 추진체를 버리고 윗 부분에 있는 원뿔대 모양의 비행체 만 착륙하게 된다. 이때 원뿔대 모양 의 비행체의 부피를 구하시오.

2 m

4 m

10 m 3 m 3 m

스스로 확인하기

0 50 100 4. 뿔의 겉넓이와 부피

239

(24)

구의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.

돔(dome) 모양의 건축물은 부피가 일정할 때 가장 작은 겉넓이를 갖기 때문에 적은 재료를 사용해 훨씬 큰 공간을 만들 수 있다.

구의 겉넓이와 부피

돔은 구의 일부분이야.

탐구 학습

구의 겉넓이는 어떻게 구하나요?

열기 다음 그림과 같이 모둠별로 반구와 끈을 이용하여 구의 겉넓이를 알아보는 실험을 해 보자.

다지기 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 ➌에서 만든 원의 반지름의 길이는 구의 반지름의 길이의 배임을 알 수 있다.

⑵ 반구에 감았던 끈의 길이의 2배가 되는 끈으로 원을 만들었으 므로 구의 겉넓이는 ➌에서 만든 원의 넓이와 .

탐구 학습에서 반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이는 반지름의 길이가 2r인 원의 넓이와 같음을 알 수 있다.

따라서 반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이는 다음과 같다.

(구의 겉넓이)=p_(2r)Û`=4prÛ`

➊ 반구의 표면에 끈을 감는

다.

➋ 반구에 감았던 끈과 길이가

같은 끈을 2개 준비한다.

➌ 평면 위에 2개의 끈을 감아

원을 만든다.

키우기 반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이는 어떻게 구할까?

⑴

➌에서 만든 원의 반지름의 길이는 구의 반지름의 길이의 몇 배인지 알아보자.

⑵ 구의 겉넓이와 ➌에서 만든 원의 넓이 사이의 관계를 말하여 보자.

반지름의 길이가 r인 원의 넓이는 prÛ`이다.

구의 겉넓이

(교육부 외, 2014년)

240

(25)

다음 그림과 같은 구와 반구의 겉넓이를 구하시오.

⑴ ⑵

1

문제

5 cm

4 cm 구의 겉넓이

반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이 S는 S=4prÛ`

즉, 반구의 부피는 밑면의 지름의 길이와 높이가 반구의 지름의 길이와 같은 원 기둥의 부피의 ;3!;이므로 구의 부피는 원기둥의 부피의 ;3@;이다.

일반적으로 반지름의 길이가 r인 구의 부피는 밑면의 반지름의 길이가 r이고 높 이가 2r인 원기둥의 부피의 ;3@;임을 알 수 있다.

개념 확인

반지름의 길이가 2`cm 인 구의 겉넓이는?

다음 그림과 같이 반구 모양의 그릇에 서로 다른 색 모래를 가득 담아 밑면의 지 름의 길이와 높이가 반구의 지름의 길이와 같은 원기둥 모양의 그릇에 세 번 부으 면 가득 채워진다.

구의 부피는 어떻게 구하나요?

구의 부피

5. 구의 겉넓이와 부피

241

(26)

r 2r

구의 부피

반지름의 길이가 r인 구의 부피 V는 V=;3$;prÜ`

다음 그림과 같은 구와 반구의 부피를 구하시오.

⑴ ⑵

2

문제

9 cm

6 cm 밑면의 반지름의 길이가 r

이고 높이가 h인 원기둥의 부피는 prÛ`h이다.

나리와 지호는 크기가 같은 원 모양의 땅에 채소를 재배하려고 한다. 다음 그림과 같이 나리는 평면인 원 모양의 땅에, 지호는 반구 모양으로 흙을 쌓아 올린 땅에 채소를 재배하려고 할 때, 나리와 지호가 채소를 재배하려는 땅의 넓이를 비교하여 보자.

의사소통

따라서 반지름의 길이가 r인 구의 부피는 다음과 같다.

(구의 부피)=;3@;_(prÛ`_2r)=;3$;prÜ`

개념 확인

반지름의 길이가 3`cm 인 구의 부피는?

242

(27)

1

다음 그림과 같은 구와 반구의 겉넓이와 부피를 구하시오.

⑴ ⑵

3

겉넓이가 324p`cmÛ`인 구의 반지름의 길이와 부피를 구 하시오.

14 cm

10 cm

4

오른쪽 그림은 반지름의 길이가 8`cm인 구의 일부분이다. 이

입체도형의 부피를 구하시오. _{8 cm}

5

오른쪽 그림은 원뿔 모양의 과자 안에 아이스크림을 가득 채우고 그 위에 반구 모양의 아이스크림 을 올린 것이다. 전체 아이스크림 의 부피를 구하시오. (단, 원뿔 모 양의 과자의 두께는 무시한다.)

4 cm

12 cm

2

오른쪽 그림은 지름의 길이가 20`cm인 구의 일부분이다. 이 입체도형의 겉넓이를 구하시오.

20 cm

맨틀

핵 9 cm 11 cm

6

^창의^•^융합

다음 그림은 반지름의 길이가 20`cm인 구 모양의 행성 모형을 자른 것이다. 모형의 중심에서부터 11`cm까지 있 는 층인 핵을 제외한 나머지 부분을 맨틀이라고 할 때, 구 모양의 행성 모형에서 맨틀의 부피를 구하시오.

스스로 확인하기

0 50 100 5. 구의 겉넓이와 부피

243

(28)

아르키메데스의 위대한 발견

고대 그리스의 수학자 아르키메데스(Archimedes, B.C. 287 ?~B.C. 212)는 구의 겉넓이와 부피 를 구하는 공식을 발견하는 등 기하학에 관한 많은 업적을 남겼다.

그는 고향인 시라쿠스가 로마와 전쟁을 하고 있을 때, 모래밭 위에 그려 놓은 도형을 연구하는 데 너무 열중한 나머지 로마군의 명령에 귀를 기울이지 않아 창에 찔려 죽었다.

문제 해결 수행 과제

아르키메데스의 묘비에 새겨진 그림을 보고, 물음에 답하여 보자.

1

원기둥의 밑면의 반지름의 길이와 구의 반지름의 길이를 모두 r, 원기둥의 높이를 2r라고 할 때, 구, 원기둥의 겉넓이와 부피를 각각 구하여 보자.

2

1

에서 구한 구, 원기둥의 겉넓이의 비와 부피의 비를 각각 구하여 보자.

이 사실을 알게 된 로마군의 대장은 그의 죽음을 슬퍼하며 아르키메데스가 생전에 자랑스럽게 여긴 구와 원기둥에 관한 연구 내용이 적힌 묘비를 세워 주었다.

아르키메데스의 묘비에는 원기둥 안에 구가 꼭 맞게 들어 있는 그림이 새겨져 있다고 한다. (박경미, “박경미의 수학N”)

수학

역사

^속으로

수학

역사 역사

244

(29)

개념 콕콕개념콕콕

01

다면체에 대한 다음 설명 중에서 옳은 것은?

① 사각뿔은 면의 개수가 4이다.

② 오각뿔대의 옆면은 사다리꼴이다.

③ 삼각기둥은 모든 면이 삼각형이다.

④ 정십이면체는 모든 면이 정삼각형이다.

⑤ 사각뿔대의 모서리의 개수는 8이다.

(1) 다면체: 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형 (2) 정다면체: 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭

짓점에 모인 면의 개수가 모두 같은 다면체

(3) 회전체: 평면도형을 한 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형

(4) 회전체의 성질

① 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면의 경계는 항상 원이다.

② 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 모두 합동이고, 회전축에 대하여 선대칭도형이다.

다면체와 회전체

1

02

꼭짓점의 개수가 12인 각기둥의 모서리의 개수를 a, 면의 개수를 b라고 할 때, a+b의 값은?

① 25 ② 26 ③ 27

④ 28 ⑤ 29

03

다음 조건을 모두 만족하는 다면체의 이름을 말하 시오.

㈎ 각 면이 모두 합동인 정삼각형이다.

㈏ 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3이다.

Ⅶ. 입체도형

스스로 마무리하기

(겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이) (부피)=;3!;_(밑넓이)_(높이)

뿔의 겉넓이와 부피

3

반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이 S와 부피 V는

S=4pr², V=;3$;pr³

구의 겉넓이와 부피

4

(겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) (부피)=(밑넓이)_(높이)

기둥의 겉넓이와 부피

2

스스로 마무리하기

245

(30)

04

다음 중에서 회전체와 그 회전체를 회전축에 수직 인 평면으로 자른 단면의 모양이 바르게 짝 지어진 것은?

① 원기둥`-`사다리꼴

② 원뿔`-`이등변삼각형

③ 원뿔대`-`직사각형

④ 반구`-`반원

⑤ 구`-`원

05

다음 중에서 오른쪽 그림과 같은 삼각 형을 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체는?

① ②

③ ④ ⑤

l

06

오른쪽 그림과 같은 입체 도형의 겉넓이를 구하시오.

10 cm

6 cm 270$

07

오른쪽 그림은 한 모 서리의 길이가 10`cm인 정육면체 에서 밑면의 반지름 의 길이가 2`cm이

고 높이가 10`cm인 원기둥 모양을 뚫은 것이다.

이 입체도형의 부피를 구하시오.

10 cm 10 cm

10 cm 2 cm

08

오른쪽 그림은 한 모서리의 길이가 6`cm인 정육면체를 세 꼭짓점 A, C, F를 지나 는 평면으로 잘라 내고 남은 부분이다. 이 입체도형의 부 피를 구하시오.

A 6 cm

B

D

H

G F

C E

09

오른쪽 그림과 같은 입체도 형의 겉넓이를 구하시오.

2 cm

5 cm

246

(31)

10

오른쪽 그림과 같은 사다리꼴 을 직선 l을 축으로 하여 1회 전 시킬 때 생기는 회전체의

겉넓이와 부피를 구하시오. ^{3 cm}

10 cm

5 cm 4 cm

8 cm 9 cm

l

11

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 3`cm인 공 3개가 원기둥 모양의 통에 꼭 맞게 들어 있다.

이 통 속의 빈 공간의 부피를 구하 시오. (단, 통의 두께는 생각하지 않는다.)

3 cm

12

오른쪽 그림과 같이 밑면 인 원의 반지름의 길이가 4`cm인 원뿔을 꼭짓점 O 를 중심으로 굴렸더니 2바 퀴 돌고 원래의 자리로 돌

아왔다. 이 원뿔의 겉넓이를 구하시오.

O

4 cm

13

다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 12`cm 인 원기둥 모양의 그릇에 물의 높이가 15`cm가 되도록 물을 부었다. 이 그릇에 반지름의 길이가 6`cm인 구 모양의 쇠공을 넣었을 때, 더 올라간 물 의 높이를 구하시오.

(단, 그릇의 두께는 생각하지 않는다.)

12 cm

15 cm 6 cm 정답 및 풀이 310쪽

서술형

이 단원을 배우고 나서 새롭게 알게 된 점이나 부족한 점을 적어 보세요.

학습 내용 점검 나의 학습 일기

학습 태도 점검

흥미도 집중도 참여도 협동심

1. 다면체 ▶01, 02, 03번 2. 회전체 ▶04, 05번 3. 기둥의 겉넓이와 부피 ▶06, 07번 4. 뿔의 겉넓이와 부피 ▶08, 10, 12번 5. 구의 겉넓이와 부피 ▶09, 11, 13번

사고력 높이기

247

(32)

함께하는

프로젝트 입체도형의 단면 관찰하기

1

정육면체를 평면으로 자른 단면이 오각형인 경우와 육각형인 경우가 있는지 찾아보자.

탐구 과제

2

다음 그림은 사각뿔을 평면으로 자른 단면이 삼각형인 경우를 찾은 것이다. 사각뿔을 평면으로 자른 단면의 모양으로 가능한 다각형을 찾아보고 자르는 방법을 설명하여 보자.

컴퓨터 프로그램을 이용하면 여러 가지 입체도형을 그릴 수 있고 주어진 입체도형을 평면으로 자른 단면을 쉽게 찾을 수 있다.

다음 그림은 컴퓨터 프로그램을 이용하여 정육면체를 평면으로 자른 단면이 삼각형과 사각형이 되 는 경우를 찾은 것이다.

Ⅶ 입체도형