< 연구결과 요약 >
과 제 명
정다면체 중심 분할과 다면체 조합을 이용한 맥 폴리헤드론 만들기연구목표
§ 정다면체의 중심 분할과 다면체 조합을 이용한 공간 테셀레이션의 개념 을 적용하여 자기력을 이용한 다면체 입체퍼즐을 제작할 수 있다.
§ 3D 모델링 기법을 이용하여 Rhino 프로그램으로 다면체를 설계를 하고 3D 프린터로 출력하여 다면체 퍼즐을 만들 수 있다.
연구방법
§ ‘Ball of Whacks’와 같은 다면체 중심 분할의 아이디어를 적용하여 정다면체를 중심 분할하여 마그네틱 퍼즐을 만든다.
§ 정다면체, 아르키메데스 다면체, 케플러-푸행소 다면체 등을 다면체와 관련된 성질에 대해 문헌연구를 한 뒤 공간테셀레이션이 가능한 다면체 를 조사한다.
§ 다면체 퍼즐 조각을 조합하기 위한 자기력의 이용 방안을 조사한다.
§ 다면체를 조합하기 위한 가장 효율적인 마그네틱 배열을 찾아 다면체 퍼즐을 만든다.
§ 다면체 퍼즐을 만드는데 있어 효율적인 작업을 위하여 Rhino프로그램을 이용하여 설계 도면을 작성하여 3D 프린터로 출력하여 대량생산을 한다.
§ 기존에 만들어져 있는 Ball of Whacks, 트리코, 맥포머스 등 다른 장난감 및 교구와 우리가 만들고자 하는 다면체 퍼즐과의 차별화 된 점을 고안한다.
§ 수학적인 부분에만 국한되지 않고, 물리에서의 자기력 등을 이용해 융합 적인 연구를 한다.
연구성과
§ 본 연구에 참여한 학생들은 본교 1학년으로서 Rhino 프로그램, 3D프린 터 등을 새롭게 배워 선진기자재를 익히는 계기가 되었다.
§ 3D 모델링 기법을 통하여 다면체 퍼즐인 ‘맥 폴리헤드론(Magnetic Polyhedron)’을 발명하여 실제 장남감 및 퍼즐로 구현하였다.
§ 다면체라는 어려운 수학적 개념을 퍼즐 장난감을 통해 쉽게 접근할 수 있도록 하였다.
§ 본 연구 과정에서 만든 논문‘정다면체의 중심 분할과 다면체 조합을 이용한 맥 폴리헤드론(Magnetic Polyhedron) 만들기’으로 부산미래 과학자 대회, 삼성휴먼테크 논문대회에 현재 참가 중이다.
주요어 (Key words)
다면체(Polyhedron), 3D 프린터(3-Dimension Printer), 마그네틱 (Magnetic), 분할․조합(Partition․Combination), 라이노(Rhino) 프로그 램, 퍼즐(Puzzle)
1. 개요
□ 연구 동기 및 목적
○ Ball of Whacks라는 공 모양의 다면체(Polyhedron) 장난감이 있다. 이 다면체 장난감은 동일한 모양과 크기를 갖는 30
개의 작은 플라스틱 사각뿔이 합쳐져서 하나의 큰 다면체로 만들어 진다. 그런데 30개 조각의 사면체들은 각각 자석이 내 장되어 있어 풀을 붙이거나 테이프를 붙 이지 않아도 사면체끼리 스스로 달라붙 는다. 처음에는 루빅큐브나 벨큐브 등 지 금까지 즐겨하던 장난감 정도로 생각하
였다. 사실 별로 관심이 없었다. 사각뿔 안에 자석이 내장되어 있어 탁탁 달라붙는 느낌이 좋아 조금 가지고 노는 정도였다. 안에 자석이 들어있어 조작이 조금 미숙해도 스스로 달라붙어 아주 어린 아이가 가지고 놀아도 재미있게 놀 수 있고 여러 가지 패턴을 생각하며 만들 수 있어 고등학생이 가지고 놀아도 그럭저럭 놀만하다. 한참을 가지고 놀다 지겨워질 쯤 조금씩 원리가 궁금해졌다. 왜 이런 모양으로 만들었을까? 왜 우리가 알고 있는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 이런 모양으로 만들 지 않았을까? 공 모양으로 만들고자 했다면 축구공이나 다른 모양으로 만들 면 될 텐데 라는 생각에 Ball of Whacks를 분해하여 분석하기 시작했다.
처음에는 Ball of Whacks의 사면체 조각 안이 궁금해 칼을 이용해 플라스틱 을 잘라보았다. 플라스틱 안은 비어 있었으며 안쪽 양 끝에 자석이 붙어 있어 사각뿔 조각끼리 닿는 부분이 정해져 있었다. 동일한 형태의 다면체를 조합하여 더 큰 다면체를 만드는 일 이것은 단순한 작업인 것 같지만 그렇게 쉬운 일은 아니었다. 아무 모양이나 같다 붙여도 다면체가 될 것 같지만 그러지도 않았다. 조금 더 깊게 공부하면 할수록 단순해 보이는 장난감 안에 황금비, 다면체의 분할등 기하학적인 요소와 수학적 아이디어가 들어있는 것에 감탄할 수밖에 없었다. 그래서 연구를 시작했다. 우리도 Ball of Whacks 보다 더 대단한 수학교구를 만들어 보고자 이 연구를 시작하게 되었다.
○ 이 연구는 다면체의 종류와 성질을 이해하고 등분할 개념을 적용하여 다면체를 다양한 모양으로 자르고 자기력을 이용하여 조합할 수 있는 입체 퍼즐을 만드는 데 초점을 두었다.
○ 우리나라에서 중고등학교의 기하교육은 주로 평면기하를 다루고 있으 며 3차원 입체기하의 경우 중학교 때 정다면체의 성질, 고등학교에서는 공간도형에서 정사영과 관련된 도형의 성질을 주로 다룬다. 따라서 교과서에서 배우지 못 했던 아르키메데스 다면체, 케플러-푸앵소 다면 체 등 여러 가지 대칭 다면체들을 공부하고 이를 분할 및 조합하는 방법을 익혀 입체퍼즐을 만들고자 한다.
□ 연구 목적
○ 본 연구의 목적은 다면체의 성질과 입체의 분할·조합의 개념을 적용하 여 자기력을 이용한 다면체 입체퍼즐을 만드는 것이다. 이 때, 다면체들 을 기본 조각으로 하여 자기력을 이용하여 다면체를 조합하였을 때 공간테셀레이션이 가능한 조합을 찾아 이를 3D 모델링 기법으로 구체 화 시키려 한다. 다면체 퍼즐을 만들 때 재질의 다양성과 모양의 변형을 어떻게 할 것인가, 다면체 조합을 위하여 마그네틱 배열을 어떻게 효율 적으로 할 것인가가 연구의 주된 과제이다.
□ 연구범위
○ 본 연구는 정다면체, 준정다면체, 케플러 다면체 등 대칭인 다면체의 특성을 연구하여 다면체 입체 테셀레이션이 가능한 조합을 찾고자 한다.
○ 일차적으로 Ball of Whacks와 동일한 아이디어로 중학교에서 배우는 정다면체를 중심 분할하여 다면체의 면에 자석을 배열할 것이다.
○ 정다면체를 넘어서 공간 테셀레이션이 가능한 일반적인 대칭 다면체의 면에 자석을 매립하여 자기력을 지닌 다면체를 면 대 면으로 결합하여 3차원 구조물이나 사물을 만드는 것을 최종 목적으로 하며 이를 위해 Rhino 프로그 램을 이용하여 다면체 설계도를 작성하고 3D 프린터를 통해 출력하려 한다.
○ 본 연구의 연구 범위는 문헌연구를 넘어서 다면체에 관한 수학의 이미지 를 실제 데이터화시키고 이를 3D 모델링을 통하여 출력물로 구현하여 최종적으로 이를 산업현장에 장난감이나 수학교구로 생산하는 것을 목표로 하고 있다.
2. 연구 수행 내용
□ 이론적 배경 및 선행 연구
○ 우선 본 연구를 위한 사전연구로 현재 시판 중인 기하관련 수학교구와 장난감 완구의 특성을 분석하였다. 또한 다면체와 관련된 연구 논문을 찾아 주제별로 분석 해 보았다. 현재 시판되고 있는 수학시간에 적용할 수 있는 기하교구는 종이를 이용한 다면체 만들기 세트나 목재를 이용 한 칠교놀이, 소마큐브, 다면체 블록이 대다수를 이루고 있으며 이는 사용자가 창의적인 아이디어로 새로운 구조물이나 형태를 만들어가는 것이 아니라 제한적인 조작에 초점이 맞춰져 있다. 입체기하에서 가장 널리 이용되는 다면체 교구는 4D프레임이나 조노돔 시스템이 있다.
이는 둘 다 연결체와 연결봉 혹은 연결빨대로 구성되어 있는데 이를 이용해 다양한 입체도형을 직접 만들며 이론과 원리를 실체적으로 확인 해 볼 수 있도록 만들어져 있다. 조노돔이나 4D프레임의 경우 분자의 구조와 같이 자연의 구조를 다루는 화학, 생명공학, 결정학, 돔의 구조 등에서 쓰임새가 크다. 물론 이 두 교구는 기하 다면체를 만들 수 있는 확장가능성이 크지만 복잡한 다면체를 만들고자 할 때 미리 만들어 놓은 설계도나 구조도가 없으면 정다면체 이외의 다면체를 만들기 어렵 다. 실제로 조노돔 기하세트를 구입하면 하이퍼스페이스와 같은 설계도 를 제공하고 있다. 또한 현재 시판중인 차원 입체 자석 완구는 맥포머 스(짐보리), 트리코(Triqo-네덜란드)등이 있다. 이들 제품은 평면 다각 형을 기본 피스로 하여 이들을 조합하여 입체를 만드는 완구로서 입체 를 평면으로 나누어 정리할 수 있고 혹은 평면 다각형을 조합하여 입체 를 만들 수 있는 장점이 있는 반면에 입체 구조물을 만들어도 그 모양을 유지하기 힘들며 만들 수 있는 모양이 제한적이라는 단점이 있다.
○ 본 연구와 관련하여 팀원들끼리 역할분담을 하여 사전연구 및 문헌연구 를 하였다.
- 첫 번째는 우리가 연구하고자 하는 다면체는 3차원 입체공간에서 이루어 지는 도형에 관한 연구이다. 따라서 디자인이나 건축, 그래픽 등에서 다루고 있는 입체 도형에 관해 선행연구 및 관련서적을 연구하였다.
이와 관련된 서적은 원근법이 쉬워지는 입체 스케치 기법, 입체 스케치
연습 노트, 입체 조형 연구, 입체 디자인 원론, 입체 공간 커뮤니케이션 등이 있으며 이 중 다면체 구조에 관한 정보를 입체공간 커뮤니케이션에 서 주로 얻었다.
- 둘째 현재 교육과정에서는 다면체와 관련된 지식은 정다면체 정도에 한정되어 있다. 따라서 본 연구를 진행하는 연구자인 학생들은 정다면체 이외의 다면체에 대하여 인지하는 수준이나 이해의 정도가 미흡하여 다면체와 관련된 서적과 관련 논문을 분석하고 있다. 플라톤과 아르키메 데스 입체, 수리 물리학의 기하학적 방법, 자연의 기하학, 입체도형 속에 들어 있는 패턴을 활용하는 방법 등을 읽으며 본 연구와 관련된 내용을 숙지하고 있다. 본 연구에서 활용도가 가장 높은 책은 플라톤과 아르키 메데스 입체이다.
- 마지막으로 본 연구는 다면체의 성질과 도형의 분할․조합을 이용하여 입체 마그네틱 다면체 퍼즐을 만드는 것이 최종 도달 목표이므로 이와 관련하여 기존에 만들어진 Ball of Whacks이외에 조노돔 시스템, 포디프 레임, 기타 다면체와 관련된 장난감 및 교구를 조작해보았다. 또한 3차원 도면을 그리기 위하여 다면체 종이접기, 종이접기 건축 3D 입체조형 , 꿈돌이의 Rhino5와 같은 서적을 토대로 작업을 하였다.
□ 연구주제의 선정
○ 주제 선정 과정은 처음에는 자기력을 지닌 장난감인 Ball of Whacks를 좀 더 다양한 모양으로 만들 수 있을까? 그리고 레고처럼 같은 조각을 조합하여 다양한 모양으로 만들 수 있을까? 라는 의문점에서 본 연구를 시작하였다.
○ 본 연구와 관련하여 사용될 심화기자재는 레이저커팅기, 3D스캐너, 3D프린트 CNC 조각기 등을 사용할 계획이었으나 실제 레이저커팅기와 CNC 조각기 교육을 받은 결과 본 연구와 연관성이 부족하여 실제 연구에서는 사용하지 않았으며 위 기자재는 모두 본교 무한상상실을 이용하였다.
○ 팀원 중 한 학생은 이전에 3D스캐너와 3D프린터를 초보수준으로 사용한 경험이 있으며 본 연구를 위해서 CNC 조각기, Rhino 프로그램, 3D프린터 사용방법에 관하여 교육을 받았고 이와 관련하여 부산소재 너트 앤 볼트 3D 프린터 교육회사에 전문가 자문을 받았다.
□ 연구 방법
○ 기본적인 다면체에 대한 지식을 습득하여 다면체 교구를 만들 계획이며 먼저 교구 제작을 위한 자료수집 차원에서 현재 상용화 되어있는 입체도 형과 관련된 교구, 장난감, 큐브 등을 실제 구입하고 조작해 보고 이들의 장단점을 찾고 우리가 만들어야 하는 마그네틱 다면체 퍼즐을 만들 때 기본 자료로 참고하여 레고와 같이 영유아들에게 친숙하게 다가올 수 있으며 수학적 개념을 쌓을 수 있는 다면체 퍼즐을 만들고자 한다.
○ 우리가 만들 교구가 다면체 입체 퍼즐이므로 다면체에 관한 문헌 연구를 진행하였으며 이와 관련된 논문 및 서적을 구입하여 분석하였다.
○ 마그네틱 다면체 입체 퍼즐을 만들기 위해 3D 프린터를 이용해 모델을 실제로 만들고자 하는 것이 최종 목적이므로 이와 관련된 서적을 읽고 3D 프린터 및 Rhino 프로그램의 기본적인 사용법을 학생들이 교육을 받아 실행하였다.
특히 3D 프린터와 Rhino 프로그램에 관한 전문가의 자문을 구하였다.
○ 마그네틱 다면체 입체 퍼즐이 마그네틱의 단순한 조합에 의한 다면체를 만드는 것을 넘어서 가장 효율적인 배열에 의해 조합될 수 있는 경우를 고려하여 수학적 내용이나 원리를 접목시키려 한다. 또한 이와 관련된 수학적 사항을 메뉴얼화 시킬 것이다.
○ 3D 프린터 출력에 있어 가장 효율적인 필라멘트를 선정하여 사용하고자 하며 입체 퍼즐에 부착될 자석 또한 본 연구에 가장 적합한 재질, 모양, 크기를 구하고자 한다.
□ 연구 활동 및 과정
○ 정다면체 중심분할
○ 논문 작성 및 세미나
○ 중간발표 및 피드백
○ 3D 모델링 전문가 자문
○ 3D 모델링 및 라이노 프로그래밍
○ 3D 프린팅 출력 및 후가공
- 필라멘트와 필라멘트는 프린터에 들어가는 가장 대표적 인 재료들이다. 인쇄해야 될 다면체에 맞는 재료는 무엇인지 알아보기 위해 2가지 모든 재료로 전부 인쇄해 보았다. 필라멘트는 인쇄 속 도가 굉장히 빨랐다. 필라멘트의 의 녹는점과는 달리
필라멘트 가열온도가 로서 상대적으로 낮은 온도에도 잘 녹아 더 빨리 식어 인쇄 속도가 굉장히 빨랐다. 또한 필라멘트는 필 라멘트와는 달리 인쇄 중에 코를 찌르는 악취가 나지 않았다. 따라서 방을 자주 환기시켜줄 필요가 없어 더 편리하게 작업할 수 있었다. 하 지만 필라멘트의 이런 과정적 장점에도 불구하고 인쇄된 결과물 은 굉장히 부실하고 힘이 없으며 제대로 녹아 붙지 않아 결이 그대로 보이는 상태였다. 따라서 굉장히 강도가 약했으며 자석을 박아 넣기 위 해서 망치질을 하면 그대로 깨져버리고 말았다. 하지만 필라멘트 는 이와 달리 높은 온도에서 가열하기 때문에 식는데 많은 시간이 걸 리고 이로 인해 서로 더 단단하게 붙게 되어 경도가 강해진다. 또한 같 은 이유로 인쇄물을 더 깨끗하고 각진 다면체로 만들어 낼 수 있었다.
○ 마그네틱 배열
- 네오디뮴 자석은 힘이 매우 강한 초강력 자석으로, 영구 자석 중에서 는 가장 센 자력을 갖고 있다. 성분은 네오디뮴, 철, 붕소() 등으 로 이루어져 있으며 용도는 스피커, 멀티미디어기계, 센서, 자동차, 모터, 의료용, 건강용, 악서세리 등으로 이용되고 특징은 강한 자력에 비해 가 격이 저렴하여 공업용, 의료용, 산업용 등 다양한 용도로 사용 가능한 것이다. 또한 이는 부피가 작아도 가공성이 뛰어나 여러 가지 특수 목적 으로 이용된다. 일반적으로 은빛을 띄는 니켈 도금으로 제작되고 상용 영구 자석 중 최대 에너지적이 가장 높으며 월등한 보자력을 가진다. 하 지만 네오디뮴 자석은 ~℃도 이상을 넘어가면 자력을 잃게 되고 자 력은 강하나 열에 약해 높은 온도에 장시간 노출 시 자력이 빠질 수 있 으며 수분에 약하여 수분에 닿으면 부식될 수 있으며 기계적 강도가 약 하여 강한 외부충격을 받으면 깨질 수 있다.영구자석별로 비교하자면 자 력은 네오디뮴＞사마륨코발트＞페라이트＞알니코＞고무 순이고 온도별 로 버티는 순서는 알니코＞페라이트＞사마륨코발트＞고무＞네오디뮴이 고 강도는 알니코＞페라이트＞네오디뮴＞사마륨코발트＞고무이다.
3. 연구 결과 및 시사점
□ 정다면체 중심 분할의 마그네틱 배열
○ 정다면체 중심 분할의 마그네틱 배열은 중심 분할 된 조각 다면체인 뿔이 면대 면으로 자기력에 의해서 조합될 때 극과 극이 쉽게 만날 수 있도록 배열하는 것이 목적이다. 자기력에 의한 조합의 경우 정육면체는 분할된 뿔의 옆면의 개수가 짝수 개라 대칭성을 이루지만 그 외의 정다면체의 경우 분할된 뿔의 옆면의 개수가 홀수 개이므로 조합 시 자석의 배열이 중요한 변수가 될 수 있다. 또한 다면체 조합에서 많은 경우의 수가 발생하 므로 조합하는 방법 자체가 하나의 퍼즐적인 요소가 된다.
○ 정사면체를 중심 분할하면 개의 삼각뿔로 나누어진다. 중심 분할된 합동인 개의 삼각뿔을 하나의 기본 피스로 하여 각 면에 자석을 부착하 여 자기력에 의하여 하나의 정사면체로 조합되기 위해서 아래와 같이 각 면에 자석을 배열하고자 한다. 우선 다면체 조합의 확장성을 위하여 정사면체의 중심 분할로 생성된 삼각뿔 기본 피스의 각 면에 극과
극을 동일하게 개씩 자석을 배분한 다. 중심 분할된 삼각뿔은 정사면체가 아니므로 바닥면에 들어가는 극이 극 인 경우와 극인 경우를 기본으로 두 개의 기본 피스를 구성할 수 있다.
○ 정육면체 중심 분할 같은 경우에는 정육면체의 개의 면을 밑면으로 하는 사각뿔 개로 분할 될 수 있다. 개의 사각뿔은 정육면체의 대각선의 교점을 중심으로 하나의 정육면체로 조합될 수 있다. 우선 다면체 조합의 확장성을 위하여 정육면체의 중심 분할로 생성된 사각뿔 기본 피스의 각 면에 극과 극을 각각 개, 개
씩 자석을 배분한다. 중심 분할된 사 각뿔은 바닥면에 들어가는 극이 극 인 경우와 극인 경우를 기본으로 두 개의 기본 피스를 구성할 수 있다.
○ 정팔면체를 중심 분할하면 개의 삼각뿔로 나누어진다. 중심 분할된 합동인
개의 삼각뿔을 하나의 기본 피스로 하여 각 면에 자석을 부착하여 자기력
[그림1] 정사면체 마그네틱 배열 전개도
[그림2] 정육면체 마그네틱 배열 전개도
에 의하여 하나의 정팔면체로 조합되기 위해서 아래와 같이 각 면에 자석을 배열하고자 한다. 우선 다면체 조합의 확장성을 위하여 정팔면체의 중심 분할로 생성된 삼각뿔 기본 피스의 각 면에 극과 극을 동일하게 개씩 자석을 배분한다. 중심 분할된 삼각뿔은 정
사면체가 아니므로 정사면체의 중심 분할 과 동일하게 바닥면에 들어가는 극이 극 인 경우와 극인 경우를 기본으로 두 개의 기본 피스를 구성할 수 있다.
○ 정십이면체를 중심 분할하면 개의 오각뿔로 나누어진다. 중심 분 할된 합동인 개의 오각뿔을 하나의 기본 피스로 하여 각 면에 자 석을 부착하여 자기력에 의하여 하나의 정십이면체로 조합되기 위해 서 아래와 같이 각 면에 자석을 배열하고자 한다. 우선 다면체 조합 의 확장성을 위하여 정십이면체의 중심 분할로 생성된 오각뿔 기본 피스의 각 면에 극과 극을
각각 개씩 자석을 배분한다.
중심 분할된 오각뿔은 바닥면에 들어가는 극이 극인 경우와 극인 경우를 기본으로 두 개의 기본 피스를 구성할 수 있다.
○ 정이십면체를 중심 분할하면 개의 삼각뿔로 나누어지며 분할 된 삼각뿔은 정사면체가 아니다. 중심 분할된 합동인 개의 삼각뿔을 하나의 기본 피스 로 하여 각 면에 자석을 부착하여 자기력에 의하여 하나의 정이십면체로 조합되기 위해서 아래와 같이 각 면에 자석을 배열하고자 한다. 우선 다면체 조합의 확장성을 위하여 정이십면체의 중심 분할로 생성된 삼각뿔 기본 피스의 각 면에 극과 극을 동일하게 개씩 자석을 배분한다. 중심 분할된 삼각뿔은 정이십면체가 아니므로 정사면체
의 중심 분할과 동일하게 바닥면에 들어가 는 극이 극인 경우와 극인 경우를 기본으 로 두 개의 기본 피스를 구성할 수 있다.
[그림4] 정십이면체 마그네틱 배열 전개도
[그림5] 정이십면체 마그네틱 배열 전개도
[그림3] 정팔면체 마그네틱 배열 전개도
□ Rhino 프로그램을 이용한 정다면체 중심 분할 설계
○ 중심 분할 시 임의의 한 꼭짓점에서 가장 멀리 떨어진 다른 꼭짓점과 선을 연결하여 만든 선분들의 교점을 중심 분할의 기준으로 잡았다. 하지 만 정사면체는 각 면의 무게중심을 잡은 다음 가장 멀리 떨어진 꼭짓점과 연결하였다. 자석이 들어가는 구멍의 크기는 자석에 크기( × × )에 맞추어 구멍을 뚫었으며 깊이는 넉넉하게 혹은 (깊이 차이는 다면체의 모양에 의해 결정됨)로 설정하였다. 각 다면체의 값 수치는
채움으로 설정했는데 이렇게 한 이유는 네오디뮴 자석의 자력이 견딜 수 있는 무게를 맞춰주는 수치가 이다. 또한 의 채우기 비율 도 상당히 가벼운 무게를 자랑하여 교구로 적합하지만 수공업으로 자석 을 박아 넣기에는 강도가 너무 약하여 쉽게 부스러졌다. 따라서 플라스틱 의 강도를 단단하게 해 줄 수 있는 수치가 얼마인지 찾아보는 수많은 시도를 통해 의 수치가 가장 적당하다는 것을 알게 되었다.
○ 정사면체 분할에 들어가는 자석의 구멍은 모든 면에 있고 깊이는, 반지름은
으로 설계했다. 자석이 들어가는 개수는옆면개+ 바닥면개로 총개이다.
[그림6] Rhino 프로그램으로 만든 정사면체 중심 분할 설계도
○ 정육면체 분할에 들어가는 자석의 구멍은 모든 면에 있고 깊이는, 반지름은
으로 설계했다. 자석이 들어가는 개수는 옆면개 + 바닥면개로 총개다.
[그림7] Rhino 프로그램으로 만든 정육면체 중심 분할 설계도
○ 정팔면체 분할에 들어가는 자석의 구멍은 모든 면에 있고 깊이는, 반지름은
으로 설계했다. 자석이 들어가는 개수는 옆면개 + 바닥면개로 총개다.
[그림8] Rhino 프로그램으로 만든 정팔면체 중심 분할 설계도
○ 정십이면체분할에들어가는자석의구멍은모든면에있고깊이는, 반지름은
으로 설계했다. 자석이 들어가는 개수는 옆면개 + 바닥면개로 총개다.
[그림9] Rhino 프로그램으로 만든 정십이면체 중심 분할 설계도
○ 정이십면체 분할에 들어가는 자석의 구멍은 모든 면에 있고 깊이는
, 반지름은 으로 설계했다. 자석이 들어가는 개수는 옆면
개 + 바닥면 개로 총 개다. 정이십면체의 분할결과 정사면체처럼 보이지만 실제로 Rhino로 측정해보면 삼각형의 밑 모선의 길이는
이고 옆 모선 길이는 로 정사면체가 아닌 삼각뿔이다.
[그림10] Rhino 프로그램으로 만든 정십이면체 중심 분할 설계도
○ 정다면체 중심 분할 및 조합 결과물
□ 다면체 조합을 위한 마그네틱 배열
○ 마름모-사다리꼴 십이면체는 하나를 조합해서 공간을 빈틈없이 매울 수 있다. 마름모-사다리꼴 십이면체의 마그네틱 배열은 다면체 모양의 대 칭성을 고려하여 마그네틱 배열을 하고자 한다. 우선 마름모 개가 붙 어있는 면 중에서 하나를 모두 극으로 배치하고 반대편에 있는 면을 모두 극으로 배치한다. 그리고 옆면에서 사다리꼴에는 극 ,극을 번 갈아서 배열한다. 이렇게 마그네틱을 배열하면 하나의 피스로 공간 테 셀레이션이 가능하다. 즉, 극을 윗 방
향으로 고정시켜서 옆면 중 극과 또 하나의 다면체의 옆면 극과 결합시키 면 처음 기준으로 한 다면체의 옆면 극과 맞붙게 할 수 있는 면은 같은 또 하나의 다면체의 극 옆면밖에 없다.
○ 깎은 정팔면체는 그 자체로 여러 번 반복하여 공간을 빈틈없이 매울 수 있다. 깎은 정팔면체의 자석 배치는 개의 모든 면에 자석을 배열할 경 우 자석의 극을 고려하여 조합해야하는 어려움 때문에 정육각형에만 자 석을 배열할 것인데 정사각형에 자석을 배치하지 않아도 깍은 정팔면체 끼리 공간 테셀레이션이 가능하다. 깍은 정팔면체의 정육각형에만 자석을 배열하는 것은 정팔면체의 각각의 면에 자석을 배열하는 것과 동일하다.
깍은 정팔면체의 조합을 고려하여 극과 극 은 각각 개씩 배열한다. 우선 정육각형 한 면에 극을 배치한 뒤 극과 극을 정육각 형의 각 면에 번갈아 배치하면 다음과 같은 조합을 얻을 수 있다. 그러면 깎은 정팔면체는 하나의 피스로 조합하여 공간을 테셀레이션 할 수 있다.
○ 마름모 십이면체의 마그네틱 배열은 마름모 십이면체의 대칭성을 고려하여 마주보는 면의 자석을 다른 극으로 배열하고자 한다. 또
[그림11] 마름모-사다리꼴 십이면체의 마그네틱 배열 전개도
[그림12] 깍은 정팔면체의 마그네틱 배열 전개도
한 마름모 십이면체의 자석배열은 세 가지 방법으로 실시하였다. 첫 번째 자 석배치 방법은 자석을 배열할 때 앞면 에는 모두 극을 배치하고 대칭적으로 마주보는 면인 뒷면에는 모두 극을 배치한다. 그리고 사이에는 극을 윗 면과 우측면에 배치하고 극은 아랫면 과 좌측면에 배치한다. 두 번째 자석배 치 방법은 개의 면이 모이는 모든 꼭 짓점에 같은 극끼리 배치되지 않게 하 는 것이 원리이다. 먼저 극을 한 면 에 배치하고 개의 면이 있는 꼭짓점
은 기준으로 극 두 개나 극과 극을 하나씩 배치한다. 그 원리 로 계속 면을 아래와 같이 마그네틱 배열을 할 수 있다. 또 다른 방법으로 효율적인 자석배치를 할 수 있다. 이번에는 아래 그림처 럼 마름모 십이면체를 개의 면이 보이게 두고 자석배치를 한다.
한 쪽 개의 면을 윗면이라고 하고 반대쪽 개의 면을 아랫면, 남 은 개의 면을 옆면이라고 한다. 윗면 개에는 모두 극을 배치 한다. 아랫면 개에는 모두 극을 배치한다. 그리고 옆면 개에는
극과 극을 하나씩 배치한다. 그러면 대칭성에 의해서 계속 같 은 방향으로 공간에 배열하면 공간을 효율적으로 채울 수 있다.
○ 정사면체와 정팔면체 개로 공간을 빈틈없이 매울 수 있다. 그 이 유는 정팔면체와 정사면체를 조합하면 다시 정팔면체와 정사면체 를 만들 수 있기 때문이다. 그래
서 계속 정사면체와 정팔면체를 크게 만들어 가면 귀납적으로 결 국 공간이 채워질 수 있다. 정 사 면체의 자석배치는 극 두 개와
극 두개로 자유롭게 배치하면
될 것이다. 정팔면체의 자석배치는 먼저 한 면에 극을 배치하고
[그림13] 마름모 십이면체의 마그네틱 배열 전개도
[그림14] 정사면체와 정팔면체의 마그네틱 배열 전개도
주변의 변에는 극을 배치한다. 그리고 이어서 같은 규칙으로 자 석을 배치한다. 또, 개의 다면체로 공간을 매울 수 있다.
○ 마름모 육팔면체와 정육면체, 정사면체 개로 공간을 매울 수 있 다. 먼저 마름모 육팔면체를 기준으로 한다. 마름모 육팔면체의 자 석배열을 할 때, 윗방향 한가운데 극을 배치하고 그 주변 개의 사각형에 극을 배치한다. 정반대의 면에 극을 극과 같이 중앙 사각형과 주변 개의 사각형에 배열한
다. 그리고 윗면의 개의 사각형에는 마주보게 극 개와 극 개를 배치한 다. 그리고 윗면의 삼각형에서 옆면을 따라서 내려가며 만나는 사각형과 아 랫면 삼각형 모두 따라 내려오기 전 삼각형과 같은 극을 배열한다. 그리고 남은 개의 옆면에는 마주보게 극과
극을 각각 배치한다. 정육면체를 배열 할 때는 극 개를 이어 배열하고 극
개를 이어서 배열한다. 정사면체는 자 유롭게 극과 극을 개씩 배치하면 된다.
□ Rhino 프로그램을 이용한 맥 폴리헤드론(Magnetic Polyhedron) 설계
○다면체 조합에 사용되는 다면체 역시 값은 으로 설정하였다. 깎은 정팔면체에 들어갈 자석 구멍은 깎은 정팔면체에 있는 정육면체에 있고 자석 구멍의 깊이는 , 반지름은 으로 설계했다. 자석이 들어가는 개수는 깎은 정팔면체의 총 면 개 – 깎은 정팔면체의 정사각형 면 개로 총 개다. 육각형 면에만 자석을 넣은 이유는 깎은 정팔면체를 인쇄하여 직접 조합해본 결과 사각형 면에 자석이 들어가게 되면 한 모서리를 기준하 여 모이는 면이 개가 되어 마름모 십이면체와 마찬가지로 자석배열이
[그림15]_마름모 육팔면체의 마그네틱 배열 전개도
어긋나는 경우가 많이 생기기 때문에 더 효율적인 자석배치를 위해 육각형 면에 만 구멍을 뚫어 자석을 삽입하였다. 아래의 모든 그림은 차례대로 기울어진 방향, , , , 위쪽, 앞쪽 방향에서 바라본 순서이다.
[그림16] Rhino 프로그램으로 만든 깍은 정팔면체 조합 설계도
○ 마름모 십이면체에 들어가는 자석의 구멍은 모든 면에 있고 깊이는
, 반지름은 으로 설계했다. 마름모 십이면체는 깎은 정팔면체 와 달리 모든 면에 자석을 삽입할 수 있도록 하였는데 이 경우는 모든 면체 자석이 배치되어야 자기력에 의하여 공간을 채울 수 있기 때문이다 마름모 십이면체의 모든 면에 자석이 들어가는 개수는 총 개이다.
[그림17] 라이노 프로그램으로 만든 정팔면체 조합 설계도
○ 정팔면체에 들어가는 자석의 구멍은 모든 면에 있고 깊이는 , 반지름은
으로 설계했다. 정팔면체는 정사면체와 개로 쌍을 이루어 공간을 채울 수 있기 때문에 정사면체와의 호환성을 위해 모든 면에 구멍을 뚫어 자석이 들어갈 수 있도록 하였다. 자석이 들어가는 개수는 정팔면체의 면의 개수로 총개이다.
[그림18] Rhino 프로그램으로 만든 정팔면체 조합 설계도
○ 정사면체에 들어가는 자석의 구멍은 모든 면에 있고 깊이는 , 반지름은
으로 설계했다. 자석이 들어가는 개수는 옆면개 + 바닥면개로 총개이다.
[그림19] Rhino 프로그램으로 만든 부풀린 정사면체 조합 설계도
○ 마름모 육팔면체는 총 가지 종류의 자석배치로 설계하였는데 그 이유 는 모든 면에 자석을 채워 넣어 사면체와 팔면체와의 조합을 완벽하게 보여줄 수 있는 형태와 개의 사각형에만 자석을 배열하여 마름모 육팔면체 만으로 결합시켜 사면체와 팔면체를 공간으로 비워두는 방법 으로 설계하였다. 가지 마름모 육팔면체를 각각 Ⅰ형(구멍 개), Ⅱ형 (구멍 개)으로 나누어서 제작해보았다.
○ 마름모 육팔면체(Ⅰ형)에 들어가는 자석의 구멍은 마름모 육팔면체의 정사 각형에 있고 깊이는 , 반지름은 으로 설계했다. 자석이 들어가는 개수는 삼각형 면 개, 사각형 면 개로 총 개의 자석이 소요된다.
[그림20] Rhino 프로그램으로 만든 마름모 육팔면체(I형) 조합 설계도
○ 마름모 육팔면체(Ⅱ형)에 들어가는 자석의 구멍은 마름모 육팔면체의 정삼각형 면에 인접한 정사각형 면에 있고 깊이는 , 반지름은
으로 설계했다. 자석이 들어가는 개수는 윗면과 중간면 사이의
면 개 + 중간면 개 + 바닥면과 중간면 사이의 면 개로 총 개이다.
[그림21] Rhino 프로그램으로 만든 마름모 육팔면체(II형) 조합 설계도
○ 마름모 사다리꼴 십이면체에 들어가는 자석의 구멍은 모든 면에 있으며 깊이는 , 반지름은 으로 설계했다. 자석이 들어 가는 개수는 마름모면 개 + 사다리꼴면 개로 총 개다.
[그림22] Rhino 프로그램으로 만든 마름모 사다리꼴 십이면체 조합 설계도
□ 프린팅을 이용한 맥 폴리헤드론(Magnetic Polyhedron) 만들기
○ 프린팅의 제작 과정은 단계로 세분할 수 있다. 첫째, 모델링은 일반적 으로 를 이용해서 차원 파일을 생성하는 과정으로서 스캐너를 이용해 차원 데이터를 얻을 수도 있다. 본 과제에서는 프로그램 을 활용하여 다면체 도면을 작성하였다. 둘째 프린팅은 기계가 차원 도면을 이용해 물체를 만들어내는 과정이다. 파일 을 읽어 들여 가상 적인 단면을 만들어내고 이를 바탕으로 액체나 분말 등을 연속적으로 분사하여 층을 형성한다. 인쇄 과정은 사용 방법과 크기 및 복잡성에 따라 다양한 시간이 소요된다. 마지막으로 마무리 단계는 어떤 결과물에 대해서는 필요할 경우 마무리가 추가되기도 한다. 매끄럽지 않은 경우는 사포로 연마하고, 도색이 필요한 경우는 색칠하거나 매우 큰 완성물의 경우 인쇄된 파트들을 조립하는 공정이 추가될 수 있다.
○ 맥 폴리헤드론(Magnetic Polyhedron) 작품
□ 시사점
○ 본 연구 결과 중 정다면체 중심 분할 마그네틱 퍼즐 조합의 경우 기하 학습에서 실제 적용이 가능한 수학교구로 활용이 가능하며 특히 정사면 체와 정팔면체의 조합으로 공간 테셀레이션이 가능하다는 것은 다면체 학습에 있어 동기유발이 가능한 훌륭한 주제가 될 수 있다.
○ 다면체 조합을 이용한 맥 폴리헤드론(Magnetic Polyhedron)은 유아나 아동들의 장난감으로서 매력이 있으며 기존의 자기력을 이용한 맥포머 스나 트리코가 가지지 못 한 다양한 구조물을 만들 수 있는 장점이 있어 충분히 시장가치와 매력이 있다.
4. 홍보 및 사후 활용
○ 본 연구를 통하여 제작된 교구의 활용성을 높이기 위해 정다면체나 대칭인 다면체뿐만 아니라 다른 모양으로도 제작할 수 있는지 더 연구해 본다. 현재 맥 폴리헤드론에 곡선을 가미하기 위하여 헤미스피어, 스피 어 형태에로 발전가능성에 대해 연구 중이다. 뿐만 아니라 더 경제적이 고 견고한 재료를 조사해보고 더 나은 교구로 발전시킨다.
○ 마그네틱 다면체 교구를 자석이 아닌 다른 방법을 이용하여 다면체끼리 결합시킬 수 있는지도 살펴본다. 또한 다면체가 아니더라도 자석과 입체를 이용해서 수학적인 의미가 있는 어떠한 형태를 만들어 확장할 수 있는가를 알아본다. 또한 다면체를 중심 분할이 아닌 다른 형태의 분할을 고려하여 조합하는 형태, 즉 조합하면 다면체가 되는 분할을 자석을 매립하여 만들고자 한다.
○ 마그네틱 다면체 교구에서 기하학 관련 내용과 황금비, 닮음 등의 내용을 메뉴얼에 만들고 특히 다면체 조합의 경우의 수를 직접 구하여 관련 문제나 예제를 많이 찾아 메뉴얼을 보완할 계획이다.
○ 마그네틱 다면체 교구를 수학체험전에 출품하여 체험부스를 통해 수학에 관심 있는 학생들에게 다면체를 직접 조작할 수 있는 기회를 제공한다.
○ 가능하다면 제작된 교구를 더욱 발전시켜 교구제작 회사에서 생산하여 판매하는 것을 목표로 한다.
○ 현재 본 연구 결과 “정다면체의 중심 분할과 다면체 조합을 이용한
맥 폴리헤드론(Magnetic Polyhedron) 만들기”라는 제목으로 논문을 작성하였으며 부산미래과학자 대회 및 삼성휴먼테그 논문대회에 출품 하였다.
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