2021 숨마쿰라우데 개념기본서 중1-2 답지 정답

Ⅷ. 통계

₀₅₃

개념 BOOK ⑵ 도수가 가장 큰 계급은 70점 이상 80점 미만이므로 이 계급의 도수는 60_0.35=21(명) ⑶ 사회 성적이 80점 이상인 계급의 상대도수의 합이 0.15+0.1=0.25이므로 0.25_100=25(%)

4

-3 ⑴ 수학 성적이 40점 이상 50점 미만인 계급의 상대도수 가 0.2이고 도수가 12명이므로 전체 학생 수는 12÷0.2=60(명) ⑵ 상대도수의 합은 1이므로 수학 성적이 70점 이상 80점 미만인 계급의 상대도수는 1-(0.1+0.2+0.1+0.3+0.1+0.05)=0.15 따라서 구하는 학생 수는 60_0.15=9(명) ④ 시간이 빠를수록 기록이 좋다. A반의 그래프가 시간 이 빠른 쪽에 더 많이 분포되어 있으므로 A반 기록이 B반에 비해 상대적으로 좋은 편이다. ⑤ A반에서 도수가 가장 큰 계급은 18초 이상 20초 미만 으로 상대도수는 0.35이다. 따라서 이 계급의 도수는 20_0.35=7(명)

5

-3 20점 미만인 계급의 상대도수는 3반이 0.3, 4반이 0.2이므로 20점 미만인 학생은 3반에 30_0.3=9(명), 4반에 40_0.2=8(명) 있다. 따라서 20점 미만인 학생 수의 차는 9-8=1(명) 유형`` 수학 성적이 70점 이상인 계급의 상대도수는 1반이 0.3+0.02=0.32, 2반이 0.36+0.3=0.66 따라서 수학 성적이 70점 이상인 학생은 1반에 50_0.32=16(명), 2반에 50_0.66=33(명) 따라서 1반보다 2반에 33-16=17(명) 더 많다.

5

-1 ⑵ 도수가 가장 큰 계급은 상대도수가 가장 큰 계급이므 로 12시간 이상 15시간 미만인 계급의 상대도수는 0.35이다. ⑶ 인터넷 사용 시간이 6시간 이상 9시간 미만인 계급의 상대도수는 A학교가 0.2, B학교가 0.15이므로 인터 넷 사용 시간이 6시간 이상 9시간 미만인 학생의 비율 은 A학교가 더 높다.

5

-2 ① A반에서 달리기 기록이 20초 이상 22초 미만인 계급 의 상대도수는 0.2이므로 이 계급의 학생 수는 20_0.2=4(명) ② B반에서 달리기 기록이 20초 이상 22초 미만인 계급 의 상대도수는 0.3이므로 이 계급의 학생 수는 30_0.3=9(명) ③ 달리기 기록이 18초 미만인 계급에서 A반의 그래프 가 B반의 그래프보다 위쪽에 있으므로 A반의 비율이 더 높다.

5

0

1

줄기가 7인 잎에서 5 이상인 수만 세고, 줄기가 8인 잎에서 8 이하인 수만 센다. Δ3+8=11(명)

0

2

전체 31명을 성적순으로 세울 때, 한가운데에 서는 학생은 16번째 학생으로 점수는 75점이다.

0

3

⑤ 계급의 개수가 너무 적으면 자료의 분포 상태를 파악하 기가 힘들다.

0

4

A+B=50-(2+8+6+4)=30이고 A : B=2 : 1이므로 A=30_;3@;=20, B=30-20=10 따라서 성적이 좋은 쪽에서 20번째인 학생이 속하는 계급 은 85점 이상 90점 미만으로 도수는 10명이다. 0111명 0275점 03⑤ 0410명 05105 06④ 07ㄱ, ㄹ 08A=13, B=0.26 099 : 5 1052 % 1191점 1245 % 13180 1414명 15① 16② 1716명 180.34 19ㄱ, ㄷ 2020

중단원

EXERCISES

272~275쪽

05

a=2+5+9+12+8+4=40 b=10 c= =75 ∴ a-b+c=40-10+75=105

06

① 4+6+14+8+6+2=40(명) ④ 표보다는 히스토그램이나 도수분포다각형이 자료의 분 포 상태를 한눈에 알아보기 쉽다. ⑤ 도수가 가장 큰 계급은 80점 이상 85점 미만이므로 ⑤이 계급의 계급값은 =82.5(점)

07

ㄴ. 도수가 커지면 상대도수도 커진다. 즉, 상대도수는 그 계급의 도수에 정비례한다. ㄷ. 각 계급의 도수를 전체 도수로 나눈 값을 상대도수라고 한다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.

08

A=50-(2+10+25)=13 B=;5!0#;=0.26

09

전체 도수를 각각 2x, 3x, 어떤 계급의 도수를 각각 6y, 5y 라고 하면 이 계급의 상대도수의 비는 : =3 : =9 : 5

10

155 cm 이상 160 cm 미만` : 0.26 160 cm 이상 165 cm 미만 : 0.2 165 cm 이상 170 cm 미만 : 0.06 따라서 키가 155 cm 이상 170 cm 미만인 여학생은 0.52_100=52(%)

11

전체 학생 수는 12+12=24(명) 성적이 상위 25 % 이내에 속하는 학생 수는 24_;1™0∞0;=6(명) 이때 반에서 6등인 학생의 성적이 91점이므로 예진이의 성 적은 최소 91점 이상이다.

12

a+b=40-(4+2+4)=30 이때 a : b=2 : 3이므로 a=30_;5@;=12, b=30-12=18 5 1₃ 5y 13_3x 6y 13_2x 80+85 44444444444454₂ 70+80 44444444444454₂ 따라서80점미만인학생수가4+2+12=18(명)이므로 ;4!0*;_100=45(%)

13

히스토그램에서 각 직사각형의 넓이는 도수의 크기에 정비 례하고, 80점 이상 90점 미만인 계급의 도수가 18명으로 가장 크다. ∴ (직사각형의 넓이)=(계급의 크기)_(도수) =10_18=180

14

통학 시간이 5분 이상 10분 미만인 학생 수는 2명이고 전체 의 5 %에 해당하므로 전체 학생 수는 2÷0.05=40(명) 통학 시간이 20분 미만인 학생 수와 20분 이상인 학생 수가 같으므로 통학 시간이 20분 미만인 학생 수는 40÷2=20(명) 따라서 통학 시간이 15분 이상 20분 미만인 계급의 도수는 20-(2+4)=14(명)

15

① (남학생 수)=5+7+6+6+4+1=29(명) (여학생 수)=2+4+6+9+7+2=30(명) ⑤ 15초 이상 16초 미만인 여학생 수는 9명이므로 여학생 전체의 ;3ª0;_100=30(%)

16

상대도수는 도수에 정비례하므로 도수가 b인 계급의 상대 도수를 x라고 하면 a : p=b : x, ax=bp ∴ x=

17

60점 이상 70점 미만인 계급의 상대도수가 0.32이므로 이 계급의 학생 수는 50_0.32=16(명)

18

80점 이상인 계급의 상대도수가 ;5¶0;=0.14이므로 70점 이상 80점 미만인 계급의 상대도수는 1-(0.02+0.18+0.32+0.14)=0.34

19

ㄴ. 점수가 높은 쪽에서는 B학교의 그래프가 더 위에 분포 하므로 B학교의 과학 성적이 더 좋다. ㄹ. 과학 성적이 70점 미만인 학생의 비율은 A학교가 더 높지만 전체 학생 수를 모르므로 학생 수는 비교할 수 없다. bp 13_a 합이 0.52

Ⅷ. 통계

₀₅₅

개념 BOOK

20

(각 그래프와 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이) =(계급의 크기)_(상대도수의 합) =(계급의 크기)=10 으로 같으므로 구하는 넓이의 합은 20이다. 016명 0273점 03④ 0440명 0511 0610…x<250726명 0811명 0912.5 % 10ㄴ, ㄹ 11A=15, B=5 1260 1316명 1440 % 1518명 16③ 17⑤ 1810명 19A=0.25, B=0.125 2015명 21500명 2290명 23③ 243 251111222a+15b₃₇

대단원

EXERCISES

278~281쪽

0

1

65점 이상 75점 이하인 점수를 찾으면 65, 66, 70, 71, 73, 74이므로 6명이다.

0

2

80점 이상인 선수가 6명이므로 10번째 선수는 70점대에서 4번째로 득점이 많은 선수로 득점은 73점이다.

0

3

① 남학생이 9명, 여학생이 11명이므로 조사한 학생은 모 두 20명이다. ② 줄기가 3인 잎은 남학생이 4명, 여학생이 2명이므로 남 학생이 여학생보다 많다. ③ 횟수가 45회 이상인 남학생은 3명이다. ④ 횟수가 55회 이상인 경우는 57회, 58회, 59회로 모두 여 학생이다. ⑤ 횟수가 40회인 학생은 적은 순으로 7번째이므로 적게 넘은 편이다.

0

4

통학 시간이 10분 이상 20분 미만인 학생 8명이 전체의 20 %에 해당하므로 전체 학생 수는 8÷0.2=40(명)

0

5

A=40-(7+8+7+5+2)=11

0

6

계급의 크기가 15이고, 계급값이 17.5이므로 변량 x의 값의 범위는 17.5- …x<17.5+ ∴ 10…x<25 15 13₂ 15 13₂

0

7

80점 이상인 학생이 전체의 52 %이므로 80점 미만인 학생 은 전체의 48 %이다. 이 중 60점 이상 80점 미만인 학생이 전체의 38 %이므로 60점 미만인 학생은 전체의 48-38=10(%)이다. 즉, 5명이 전체의 10 %에 해당하므로 전체 학생 수는 5÷0.1=50(명) 따라서 80점 이상인 학생 수는 50_0.52=26(명)

0

8

전체 학생 수가 40명이므로 18회 이상 20회 미만인 학생 수는 40-(2+4+5+8+5+3+2)=11(명)

0

9

기록이 22회 이상인 학생은 3+2=5(명)이므로 ;4∞0;_100=12.5(%)

10

ㄱ. 도수가 가장 큰 계급은 50 kg 이상 55 kg 미만이다. ㄴ. 3+8+13+9+2=35(명) ㄷ. (계급의 크기)=(직사각형의 가로의 길이)=5 kg ㄹ. (계급의 개수)=(직사각형의 개수)=5

11

A가 B의 3배이므로 A=3B 1+B+8+A+9+2=40, A+B=20 A=3B이므로 3B+B=4B=20 ∴ B=5

12

가장 큰 직사각형의 넓이는 도수가 가장 큰 직사각형의 넓 이이므로 4_15=60

13

30 m 미만인 학생이 40_;1¢0∞0;=18(명)이고 35 m 이상 40 m 미만인 학생이 6명이므로 30 m 이상 35 m 미만인 학생 수는 40-(18+6)=16(명) ■ 다른 풀이 ■ 기록이 30 m 미만인 학생이 전체의 45 %이므로 기록이 30 m 이상인 학생은 전체의 55 %이다. 즉, 30 m 이상인 학생이 40_0.55=22(명)이므로 30 m 이상 35 m 미만인 학생 수는 22-6=16(명)

14

8권 이상 16권 미만인 계급의 도수는 20명이므로 ;5@0);_100=40(%)

15

계급값이 18권인 계급은 16권 이상 20권 미만이다. 전체 도수는 50명이므로 이 계급의 도수는 50-(6+8+12+4+2)=18(명)

16

③ 도수분포다각형은 도수분포표와 같이 계급에 대한 자료 의 수를 조사하여 나타낸 것이므로 각각의 변량의 값을 알 수는 없다.

17

전체 학생 수의 비가 5 : 4이므로 두 학교의 학생 수를 5x, 4x로 놓고, 80점 이상 90점 미만인 계급의 상대도수의 비 가 2 : 3이므로 각각의 상대도수를 2a, 3a라고 놓으면 이 계급의 도수의 비는

(5x_2a) : (4x_3a)=10ax : 12ax =10 : 12 =5 : 6

18

2시간 이상 3시간 미만인 계급의 도수가 4명이고, 상대도 수가 0.1이므로 전체 도수는 4÷0.1=40(명)이다. 4시간 이상 5시간 미만인 계급의 상대도수가 0.25이므로 이 계급의 도수는 40_0.25=10(명)

19

상대도수의 합이 1이므로 A+B=1-(0.1+0.375+0.15)=0.375 A의 값이 B의 값의 2배이므로 A=2B 즉, 3B=0.375 ∴ B=0.125 ∴ A=0.125_2=0.25

20

상대도수가 가장 큰 계급은 60분 이상 90분 미만으로 상대 도수는 0.375이다. 전체 학생 수가 40명이므로 이 계급의 도수는 40_0.375=15(명)

21

20분 미만을 기다린 학생 40명에 대한 상대도수가 0.08이 므로 조사한 전체 학생 수는 40÷0.08=500(명)

22

50분 이상 60분 미만인 계급의 상대도수가 0.18이므로 기 다린 시간이 50분 이상인 학생 수는 500_0.18=90(명)

23

① 55 kg 이상 60 kg 미만인 학생 수는 ①A중학교의 경우 : 60_0.1=6(명) ①B중학교의 경우 : 40_0.15=6(명) ② 각각의 그래프와 가로축으로 이루어진 다각형의 넓이는 (계급의 크기)_(상대도수의 합)과 같다. 이때 상대도수의 합은 항상 1이므로 계급의 크기가 같으 면 넓이도 같게 된다. 따라서 두 그래프의 계급의 크기 가 같으므로 넓이도 같다. ③ 50 kg 이상에서 B중학교의 그래프가 더 오른쪽에 분포 하므로 B중학교의 비율이 더 높다. ④ B중학교에서 50 kg 이상인 학생의 상대도수의 합은 0.35+0.15=0.5이므로 0.5_100=50(%) ⑤ B중학교의 경우 50 kg 이상인 계급의 상대도수가 0.35+0.15=0.5이므로 50 kg 미만인 계급의 상대도 수도 1-0.5=0.5이다. 따라서 50 kg 이상인 학생 수와 50 kg 미만인 학생 수 가 같다.

24

B가 A의 2배이므로 B=2A 따라서 도수의 합은 1+A+8+2A+2=11+3A(명) ……❶ 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 80 이므로 4(11+3A)=80 ……❷ 11+3A=20 ∴ A=3 ……❸

25

90점 이상을 받은 남학생과 여학생의 상대도수가 각각 a, b 이므로 90점 이상인 남학생 수는 220a명, 90점 이상인 여학생 수는 150b명이다. ……❶ 전체 370명 중 90점 이상인 학생은 모두 (220a+150b)명 이므로 90점 이상인 계급의 상대도수는 ……❷ =13441341422a+15b ……❸ 37 220a+150b 13443443443443444₃₇₀ ❶도수의 합을 A를 사용하여 나타내기 ❷넓이를 이용하여 식 세우기 ❸A의 값 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점 ❶90점 이상인 남학생과 여학생 수를 a, b로 나타내기 ❷90점 이상인 학생 수를 a, b로 나타내기 ❸상대도수를 a, b로 나타내기 30 % 30 % 40 % 채점 기준 배점

Ⅴ. 기본 도형

₀₅₇

테스트 BOOK

기본 도형

1. 기본 도형

V

01②, ⑤ 02③, ④ 03② 0414 0520 0636 07② 08③ 0930 cm 1012 cm 1136 cm 126 cm 132 cm

유형

TEST

01. 점, 선, 면 002~003쪽

0

1

② 두 반직선의 방향은 같지만 시작점이 다르므로 AC≥+BC≥ ⑤ 선분과 직선은 같지 않다.

0

2

DC≥와 시작점과 뻗은 방향이 같은 것은 DA≥, DB≥의 2개 이다.

0

3

AC≥, CA≥의 2개이다.

0

4

점 E를 시작점으로 하는 반직선의 개수：4 점 A를 시작점으로 하는 반직선의 개수：2 점 B를 시작점으로 하는 반직선의 개수：3 점 C를 시작점으로 하는 반직선의 개수：3 점 D를 시작점으로 하는 반직선의 개수：2 따라서 5개의 점 중에서 두 점을 이어서 만들 수 있는 반직 선의 개수는 4+2+3+3+2=14

0

5

정사각형의 꼭짓점 A, B, C, D 중 두 점을 지나는 직선： 6개 네 변의 중점 E, F, G, H 중 두 점을 지나는 직선은 HEÍ, EFÍ, FGÍ, GHÍ, HFÍ, EGÍ로 6개

각 변의 중점과 이웃하지 않는 꼭짓점을 지나는 직선은 HBÍ, HCÍ, ECÍ, EDÍ, FDÍ, FAÍ, GAÍ, GBÍ로 8개 따라서 서로 다른 직선의 개수는 6+6+8=20 S U M M A C U M L A U D E 정 답 및 풀 이

>

>

>

>

테스트

_BOOK

0

6

⁄ 세 점을 지나는 직선은 1개 두 점을 지나는 직선은

⁄EDÍ, ECÍ, EBÍ, EAÍ, DCÍ, DBÍ, DAÍ로 7개 ⁄∴ a=1+7=8

¤ 세 점을 지나는 반직선은 AC≥, CA≥로 2개 두 점을 지나는 반직선은

⁄AE≥, AD≥, BA≥, BE≥, BD≥, BC≥, CD≥, CE≥, DA≥, DB≥, DC≥, DE≥, EA≥, EB≥, EC≥, ED≥로 16개

⁄∴ b=2+16=18

‹ 두 점을 지나는 직선에서 선분이 결정되는 경우는 ⁄ED”, EC”, EB”, EA”, DC”, DB”, DA”로 7개 ⁄세 점을 지나는 직선에서 선분이 결정되는 경우는 ⁄AB”, BC”, AC”로 3개 ∴ c=7+3=10 ∴ a+b+c=8+18+10=36

0

7

② NB”=NM”+MB”=NM”+2NM”=3NM” ⑤ NB”=NM”+MB”=3NM”이므로 NM”=;3!; NB” ∴ AB”=4NM”=;3$; NB”

0

8

① AN”=2MN”=4MP” ② AB”=3MN”=6PN”

④ AP”=AM”+MP”=;3!; AB”+;6!; AB”=;2!; AB” ⑤ AM”=;2!; MB”

0

9

AM”=BM”, BN”=NC”이므로 AC”=AB”+BC”=2MB”+2BN”=2MN”=30(cm)

10

AM”=MN”=NB”이므로 AN”=;3@; AB”=;3@;_18=12(cm)

11

AB”, BC”의 중점이 각각 M, N이므로 MN”=MB”+BN”=;2!; AB”+;2!; BC”=;2!; AC” 즉, AC”=2MN”=2_24=48(cm)

01

2∠x-15˘+∠x=90˘, 3∠x-15˘=90˘ 3∠x=105˘ ∴ ∠x=35˘

02

∠y+36˘=90˘ ∴ ∠y=54˘ ∠x+∠y=∠x+54˘=90˘ ∴ ∠x=36˘ ∴ ∠y-∠x=54˘-36˘=18˘

03

∠AOB+∠BOC=90˘, ∠BOC+∠COD=90˘이므로 ∠AOB=∠COD 이때 ∠AOB+∠COD=30˘이므로 ∠AOB=∠COD=15˘ ∴ ∠BOC=90˘-15˘=75˘

04

2∠x+13˘+∠x+50˘=180˘ 3∠x=117˘ ∴ ∠x=39˘

05

6∠x+4∠x+2∠x=180˘, 12∠x=180˘ ∴ ∠x=15˘

06

2∠x-5˘+∠x+35˘+3∠x=180˘ 6∠x+30˘=180˘, 6∠x=150˘ ∴ ∠x=25˘ ∴ ∠AOB=2∠x-5˘=45˘

07

∠y=180˘_ =60˘

08

∠BOC=∠x, ∠DOE=∠y라 하면 80˘+2∠x+2∠y=180˘ ∴ ∠x+∠y=50˘ ∴ ∠COE=∠x+∠y=50˘

09

∠BOC=∠x라 하면 90˘+∠x=4∠x ∴ ∠x=30˘ 따라서 ∠COE=90˘-30˘=60˘이므로 ∠COD=;4!;∠COE=15˘ ∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD=30˘+15˘=45˘

10

∠BOC=∠x, ∠COD=∠y라고 하면 ∠AOB=3∠x, ∠DOE=3∠y이므로 ∠AOC+∠COE=180˘에서 4∠x+4∠y=180˘ ∴ ∠x+∠y=45˘ ∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD =∠x+∠y=45˘

11

6∠x-40˘=3∠x+50˘이므로 3∠x=90˘ ∴ ∠x=30˘

12

∠x=25˘이므로 45˘+25˘+∠y=180˘ ∴ ∠y=110˘ ∴ ∠y-∠x=110˘-25˘=85˘

13

3∠x+20˘+64˘=180˘에서 3∠x=96˘ ∴ ∠x=32˘

4∠y-20˘=64˘, 4∠y=84˘ ∴ ∠y=21˘ ∴ ∠x+∠y=32˘+21˘=53˘

14

오른쪽 그림에서 삼각형의 세 각의 크기 의 합은 180˘이므로 ∠x+50˘+70˘=180˘ ∴ ∠x=60˘ l m x 70æ 40æ 40æ 50æ 5 111244₄₊₅₊₆ 01③ 02④ 0375˘ 04② 05④ 0645˘ 0760˘ 0850˘ 0945˘ 1045˘ 1130˘ 1285˘ 1353˘ 1460˘ 1530˘ 1625˘ 1775˘ 18∠x=30˘, ∠y=40˘ 19④ 20③ 214 cm

유형

TEST

02. 각_{03. 맞꼭지각} 004~006쪽 ∴ AB”=;4#; AC”=;4#;_48=36(cm)

12

AC”=CB”이므로 AB”=2AC” ∴ AC”=;2!; AB”=18 cm

2AB”=3AD”이므로 AD”=;3@; AB”=;3@;_36=24(cm) ∴ CD”=AD”-AC”=24-18=6(cm)

13

2QB”=AQ”이므로 AQ” : QB”=2 : 1 ∴ AQ”=;3@; AB”=;3@;_12=8(cm) 이때 AP”=3PQ”이므로 AP” : PQ”=3 : 1 ∴ PQ”=;4!; AQ”=;4!;_8=2(cm)

Ⅴ. 기본 도형

₀₅₉

테스트 BOOK

15

72˘+∠x+3∠x-12˘=180˘ 4∠x+60˘=180˘, 4∠x=120˘ ∴ ∠x=30˘

16

4∠x-15˘+∠x+2∠x+20˘=180˘ 7∠x+5˘=180˘, 7∠x=175˘ ∴ ∠x=25˘

17

∠x-15˘+55˘+∠x+40˘=180˘ 2∠x=100˘ ∴ ∠x=50˘ ∠y+20˘=55˘+90˘ ∴ ∠y=125˘ ∴ ∠y-∠x=75˘ ■ 다른 풀이 ■ ∠y+20˘=55˘+∠x+40˘에서 ∠y-∠x=75˘

18

2∠x-10˘+90˘=4∠x+20˘ 2∠x=60˘ ∴ ∠x=30˘ 4∠x+20˘+∠y=140˘+∠y=180˘ ∴ ∠y=40˘

19

④ 점 B와 직선 CD 사이의 거리는 BH”의 길이와 같다.

20

③ 점 B와 `CDÍ 사이의 거리는 점 B에서 CDÍ에 내린 수선 의 발까지의 거리이다.

21

BC”의 길이와 같으므로 4 cm이다.

01

AB”, AC”, BD”, CD”는 AD”와 한 점에서 만나고, BC”는 AD”와 평행하다.

02

③ ABÍ와` CDÍ는 한 점에서 만난다.

03

AFÍ와 평행한 직선은 CDÍ로 1개이므로 a=1 01③ 02③ 035 04③ 05⑴ 1 ⑵ 4 ⑶ 7 06③ 07⑴ DF” ⑵ CD”, ED”, CF”, EF” 083 09BC”, BF” 10② 114 12⑤ 13④ 14⑴ 4 cm ⑵ 3 cm ⑶ 8 cm 15⑤ 164 17④ 186

19⑴ 면 ADF, 면 BCE, 면 CEFD ⑵ 면 ADF 20②

유형

TEST

04. 위치 관계 007~009쪽

AFÍ와 한 점에서 만나는 직선은 ABÍ, BCÍ, DEÍ, EFÍ로 4개이므로 b=4 ∴ a+b=1+4=5

0

4

③ 모서리 FG와 모서리 DH는 꼬인 위치에 있으므로 만나 지 않는다.

0

5

⑴ FJÍ로 1개이다. ⑵ BCÍ, GHÍ, CDÍ, HIÍ로 4개이다.

⑶ AFÍ, EJÍ, DIÍ, GFÍ, FJÍ, IJÍ, HIÍ로 7개이다.

0

6

① 서로 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위치에 있다. ② 두 직선은 한 점에서 만나거나 일치하거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다. ④ 한 직선에 수직인 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나거 나 평행하거나 꼬인 위치에 있을 수 있다. ⑤ 한 직선과 꼬인 위치에 있는 두 직선은 만나거나 평행한 경우도 있다.

0

8

모서리 AE와 만나는 모서리는

AB”, AC”, AD”, BE”, ED”로 5개이므로 a=5 모서리 AE와 꼬인 위치에 있는 모서리는 BC”, CD”로 2개이므로 b=2 ∴ a-b=5-2=3

0

9

AG”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 BC”, CD”, BF”, DH”, EH”, EF” GH”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AD”, BC”, AE”, BF” 따라서 AG”, GH”와 동시에 꼬인 위치에 있는 모서리는 BC”, BF”이다.

10

전개도로 직육면체를 만들면 오른 쪽 그림과 같다. ① 평행하다. ③ 평행하다. ④ 한 점에서 만나다. ⑤ 한 점에서 만나다.

11

모서리 BH와 평행한 면은 면 AGLF, 면 FLKE, 면 EKJD, 면 CIJD로 4개이다.

12

⑤ 면 BFHD와 평행한 모서리는 AE”, CG”의 2개이다. A{M,I} B{D,H} C F L{J} K E{G} N ① ④ ③ ② ⑤

13

전개도로 직육면체를 만들면 오른 쪽 그림과 같으므로

④ NC”는 면 EDKJ와 평행하다. ①①①①①①①①①①①①①①

15

① 면 DEF와 수직인 면은 면 ADEB, 면 BEFC, 면 ADFC로 3개이다.

② 면 ABC와 평행한 면은 면 DEF로 1개이다. ③ 면 ADFC와 평행한 면은 없다.

④ 면 ADEB와 수직인 면은 면 ABC, 면 DEF, 면 BEFC로 3개이다.

16

면 AEGC와 평행한 모서리는 BF”, DH”의 2개이므로 a=2

면 AEGC와 수직인 면은 면 ABCD, 면 EFGH의 2개이 므로 b=2 ∴ a+b=2+2=4

17

④ P∥l, P∥m이면 l과 m은 평행하거나 만 나거나 꼬인 위치에 있다. ①①①①①①①①①①①①①①

18

모서리 CD와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AB”, AE”, BF”, EH”, EF”, FG”로 모두 6개이다.

20

② EF”와 평행한 면은 면 ABJI, 면 JGHI로 2개이다.

l m™ m¡ m£ P A{M,I} B{H} C{G} D{F} L{J} K E N ④ _⑤ ② ③ ①

01

② ∠e의 동위각은 ∠i, ∠b이다. ③ ∠h의 엇각은 ∠c, ∠j이다. ④ ∠i의 엇각은 ∠a, ∠g이다. 01⑤ 02① 03② 04∠x=75˘, ∠y=115˘ 0560˘ 06① 07∠x=60˘, ∠y=62˘ 08③ 09p∥r 10⑤ 1177˘ 1220˘ 1340˘ 14② 1555˘ 16235˘ 17③ 18④ 1965˘ 20∠x=60˘, ∠y=30˘ 2160˘

유형

TEST

05. 평행선의 성질 010~012쪽

02

① ∠a의 동위각은 ∠d이고 ∠d=55˘ (맞꼭지각)

03

∠x의 엇각은 ∠a와 ∠b이다. ∠a=135˘(맞꼭지각), ∠b=180˘-55˘=125˘ ∴ 135˘+125˘=260˘

04

∠y=180˘-65˘=115˘

05

∠x+50˘=180˘-70˘ ∴ ∠x=60˘

06

∠x+80˘+50˘=180 ∴ ∠x=50˘

07

l∥n이므로 ∠x=180˘-120˘=60˘ m∥k이므로 ∠y=180˘-118˘=62˘ ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

08

③ ∠x=180˘-75˘=105˘ ⑤동위각의 크기가 같지 않으므로 ⑤두 직선 l, m은 평행하지 않다.

09

동위각의 크기가 같으므로 p∥r

10

⑤ ∠f=120˘이면 ∠g=60˘ ⑤즉, 엇각의 크기가 다르므로 평행이 아니다.

11

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 보조선을 그으면 ∠x=32˘+45˘=77˘ ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

12

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 보조선을 그으면 3∠x+2∠x=100˘ 5∠x=100˘ ∴ ∠x=20˘

13

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 보조선을 그으면 ∠x+30˘=70˘ ∴ ∠x=40˘ 30æ 70æ l x m x 2x 3x l 2x 3x m l 32æ 32æ 45æ 135æ m l m 115æ 75æ x x y l m n x y k 132æ 130æ 118æ 120æ 50æ 135æ 55æ x a b

Ⅴ. 기본 도형

₀₆₁

테스트 BOOK

14

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 보조선을 긋고 ∠CBD=∠x라고 하면 ∠ABC=4∠x이므로 4∠x+∠x=25˘+65˘ 5∠x=90˘ ∴ ∠x=18˘

15

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 보조선을 2개 그으면 ∠x=55˘ ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

16

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 보조선을 2개 그으면 동측내각의 크기의 합은 180˘이 므로 ∠x-15˘+∠y-40˘=180˘ ∴ ∠x+∠y=235˘

17

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 보조선을 2개 그으면 ∠x=50˘+35˘=85˘ ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

18

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 보조선을 3개 그으면 ∠a+∠b+∠c+∠d =180˘-25˘=155˘

19

오른쪽 그림에서 50˘+∠x+∠x=180˘ ∴ ∠x=65˘

20

∠x+15˘_2=90˘ ∴ ∠x=60˘ 오른쪽 그림과 같이 직선 AD와 직선 BC에 평행한 보조선을 그으면 ∠x+∠y=90˘ ∴ ∠y=30˘ 15æ A B C D E F x y y x 50æ C B A 50æ xx B a c d b 25æ l m a a a+b a+b+c 20æ 30æ 35æ l m 20æ 35æ 50æ l 15æ 15æ 40æ 40æ _m x y 40æ 55æ 40æ l x m 40æ 40æ l 25æ 25æ 65æ 65æx _m D C A B

21

오른쪽 그림에서 접은 각의 크기는 같으므로 ∠DEF=∠FEJ ∠DEF+∠FEJ =35˘_2+50˘=120˘ ∴ ∠FEJ=60˘ 35æ 50æ A G H J I C B E F D 35æ 016 0224 cm 0312쌍 04171˘ 0520˘ 0660˘ 0745˘ 08360˘ 098 10HF”, FD”

실력

TEST

013~015쪽

0

1

직선 중 5개의 점만을 포함하는 경우는 2개 2개의 점만을 포함하는 경우는 4_4=16(개) ∴ a=18 반직선 중 5개의 점만을 포함하는 경우는 4개 4개의 점만을 포함하는 경우는 4개 3개의 점만을 포함하는 경우는 4개 2개의 점만을 포함하는 경우는 36개 ∴ b=4+4+4+36=48 선분 중 5개의 점만을 포함하는 경우는 2개 4개의 점만을 포함하는 경우는 4개 3개의 점만을 포함하는 경우는 6개 2개의 점만을 포함하는 경우는 24개 ∴ c=2+4+6+24=36 ∴ a-b+c=18-48+36=6 ■ 다른 풀이 ■ 선분은 두 점으로 결정되므로 선분의 개수는 9개의 점 중 2 개의 점을 선택하는 방법의 수로 구할 수 있다. ` Δ 9_8÷2=36

0

2

EM”=MF”이므로 EF”=2EM” EF”=DE””이므로

2EM”+EM”=6 cm, EM”=2 cm ∴ DE”=6-2=4(cm) ……❶ 그런데 DE”=;4!; BC”이므로 BC”=4DE”=16 cm ……❷ 또한, BC”=;3@;AB”이므로 AB”=;2#; BC”=;2#;_16=24(cm) ……❸

03

서로 다른 네 직선을 a, b, c, d라고 하면

직선 a와` b, a와` c, a와` d, b와` c, b와` d, c와` d로 만들어 지는 맞꼭지각이 각각 2쌍이므로 2_6=12(쌍) ■ 다른 풀이 ■ 서로 다른 n개의 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞꼭지 각은 모두 n(n-1)쌍이므로 네 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞꼭지각은 4_(4-1)=12(쌍)

04

시침은 1시간에 360˘÷12=30˘씩 움직이므로 1분에 30˘÷60=0.5˘씩 움직이고, 분침은 1분에 360˘÷60=6˘씩 움직인다. 숫자 12시를 기준으로 (시침이 움직인 각도)=2_30˘+42_0.5˘=81˘ (분침이 움직인 각도)=42_6˘=252˘ 따라서 작은 쪽의 각의 크기는 252˘-81˘=171˘

05

DE”를 연장하면 삼각형의 세 각의 크기의 합은 180˘이므로 ∠x+130˘+30˘=180˘ ∴ ∠x=20˘

06

오른쪽 그림과 같이 접기 전 의 종이의 모양을 그려 보면 ∠x+20˘+20˘=100˘ ∴ ∠x=60˘

07

다음 그림과 같이 두 직선 l, m과 평행한 직선을 긋고 ∠DAB=∠a, ∠BCE=∠b라고 하면 20æ 20æ 20æ 100æ x A B D E F C 50æ 50æ 30æ 130æ x ❶DE”의 길이 구하기 ❷BC”의 길이 구하기 ❸AB”의 길이 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 ∠BAC=3∠a, ∠ACB=3∠b ……❶ △ABC에서 4∠a+4∠b=180˘ ∴ ∠a+∠b=45˘ ……❷ ∴ ∠ABC=∠a+∠b=45˘ ……❸

08

∠BFG=∠a (동위각) △BFG에서 ∠a+∠b+∠BGF=180˘ ∴ ∠BGF=∠HGE=180˘-(∠a+∠b) △CDH에서 ∠c+∠d+∠CHD=180˘ ∴ ∠CHD=∠GHE=180˘-(∠c+∠d) ∠GEH=180˘-∠e이므로 △GHE에서 180˘-(∠a+∠b)+180˘-(∠c+∠d) +180˘-∠e=180˘ ∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=360˘

09

모서리 AB와 수직인 모서리는 AD”, BC”로 2개이므로 a=2 모서리 AB와 평행한 모서리는 DC”로 1개이므로 b=1 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 DH”, CG”, EH”, HG”, FG”로 5개이므로 c=5 ∴ a+b+c=8

10

전개도를 접으면 다음 그림과 같이 네 점 A, C, E, G가 한 꼭짓점에 모인 입체도형이 만들어진다. 따라서 AB”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 HF”, FD”이다. H D B F {C,`E,`G}A l m D E B C A a a b b 3a 3b

❶∠DAB=∠a, ∠BCE=∠b로 놓고 다른 각을 ∠a,` ∠b로 나타내기 ❷∠a+∠b의 크기 구하기 ❸∠ABC의 크기 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점

Ⅴ. 기본 도형

₀₆₃

테스트 BOOK

2. 작도와 합동

01ㄱ, ㄴ 02풀이 참조 03AB”, BC” 04① 05④ 06②, ⑤ 07② 08② 091가지 10②, ④ 11㉣, ㉤ 122가지 13⑤ 14④ 15∠B 16ㄱ, ㄴ, ㄹ 17ㄹ 18②, ⑤

유형

TEST

01. 삼각형의 작도 016~018쪽

02

다음 그림과 같이 0에서 2까지의 거리를 반지름으로 하여 원을 그리면 -2, -4에 대응하는 점을 차례로 찾을 수 있 다.

04

① OA”+AB”

07

삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 커 야 한다. ① 3+2=5 ② 3+2>4 ③ 3+1=4 ④ 4+3=7 ⑤ 3+3<8

08

⁄ 가장 긴 변의 길이가 a cm일 때 a<10+6 ∴ a<16 ¤ 가장 긴 변의 길이가 10 cm일 때 10<a+6 ∴ 4<a ⁄, ¤에서 4<a<16이므로 자연수 a는 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15의 11개이다.

09

합하여 8이 되는 세 자연수는 (1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3)으로 5가지이다. 이 중 삼각형이 될 수 있는 경우는 (2, 3, 3)으 로 1가지뿐이다.

10

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어지면 ‘각 → 변 → 변’또는‘변 → 각 → 각’의 순서로 작도한다. 따라서 AB”(BC”) → ∠B → BC”(AB”) → AC”

또는 ∠B → BC”(AB”) → AB”(BC”) → AC”의 순서로 작 도하면 된다. -4 -2 0 2 ③ ② ①

11

작도 순서는 ㉢ → ㉣ → ㉤ → ㉠ → ㉡ 또는 ㉢ → ㉤ → ㉣ → ㉠ → ㉡이다. 따라서 세 번째 단계가 될 수 있는 것은 ㉣, ㉤이다.

12

AB”=10 cm, BC”=8 cm, ∠A=45˘이면 오른쪽 그림과 같이 삼각형이 2가지로 작도된다. ①①①①①①①

13

① 양 끝 각의 크기의 합이 195˘이므로 삼각형이 그려지지 않는다.

② ∠B는 AB”, AC”의 끼인각이 아니므로 △ABC가 하나 로 정해지지 않는다. ③ 세 각의 크기가 주어지면 무수히 많은 삼각형이 그려진 다. ④ 주어진 변에 대한 양 끝 각이 정확히 주어지지 않았으므 로 △ABC가 하나로 정해지지 않는다.

14

ㄱ. 12>4+5이므로 삼각형이 그려지지 않는다. ㄴ. AB”, BC”의 길이와 그 끼인각인 ∠B의 크기가 주어졌 으므로 △ABC가 하나로 정해진다. ㄷ. 세 각의 크기만 주어지면 무수히 많은 삼각형이 그려진다. ㄹ. ∠C=180˘-(50˘+70˘)=60˘ ㄹ.즉, AC”의 길이와 그 양 끝 각 ∠A, ∠C의 크기를 알 수 있으므로 △ABC가 하나로 정해진다.

15

AB”와 BC”의 길이가 주어졌으므로 그 끼인각인 ∠B의 크 기가 주어지면 △ABC가 하나로 정해진다.

16

ㄱ. ∠A=60˘가 주어지면 ∠C=180˘-(60˘+45˘)=75˘ 이므로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 것 과 같다. 따라서 △ABC가 하나로 정해진다. ㄴ. ∠C=70˘가 주어지면 ㄱ과 마찬가지로 △ABC가 하 나로 정해진다. ㄷ. ∠C=135˘가 주어지면 ∠B+∠C=45˘+135˘=180˘ 이므로 삼각형이 그려지지 않는다. ㄹ. AB”=8 cm가 주어지면 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우이므로 △ABC가 하나로 정해진다. A B C C' 10`cm 8`cm 8`cm 45æ

ㅁ. AC”=7 cm가 주어지면 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 다른 한 각의 크기가 주어진 경우이므로 △ABC 가 하나로 정해지지 않는다.

17

ㄱ. 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우 ㄴ. 세 변의 길이가 주어진 경우 ㄷ. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우 따라서 삼각형이 하나로 정해지지 않는 것은 ㄹ뿐이다.

18

① ∠A, ∠B의 크기를 알면 ∠C의 크기도 알 수 있으므로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우이다. ② 세 각의 크기가 주어지면 무수히 많은 삼각형이 그려진다. ③, ④ ∠A, ∠C의 크기를 알면 ∠B의 크기도 알 수 있으 므로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우 이다.

⑤ ∠A는 AC”, BC”의 끼인각이 아니므로 △ABC가 하나 로 정해지지 않는다.

04

보기의 삼각형에서 나머지 한 각의 크기는 180˘-(80˘+60˘)=40˘ ③ 두 변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로 SAS 합동이다.

06

① SSS 합동 ② SAS 합동 ④ ASA 합동 ⑤ ∠A=∠P, ∠C=∠R이므로 ∠B=∠Q이다. ∴ ASA 합동

07

① AC”=DF”이면 SAS 합동 ④ ∠B=∠E이면 ASA 합동

08

① ∠B=∠E, ∠C=∠F이면 ∠A=∠D 즉, ∠B=∠E, ∠A=∠D, AB”=DE”이므로 ASA 합동

09

ㄱ. AB”=DE”이면 SSS 합동 ㄷ. ∠C=∠F이면 SAS 합동

11

△ABD와 △CBD에서 AB”=CB”, AD”=CD”, BD”는 공통이므로 △ABD≡△CBD (`SSS 합동) ① AB”=CB”

12

①, ② △ACD와 △ABE에서

AC”=AB”, AD”=AE”, ∠A는 공통이므로 △ACD≡△ABE (SAS 합동) ∴ BE”=CD” ③ △BDF와 △CEF에서 BD”=CE” △ACD≡△ABE이므로 ∠D=∠E ∠DFB=∠EFC (맞꼭지각)이므로 ∠DBF=∠ECF ∴ △BDF≡△CEF (ASA 합동) ⑤ △ABF와 △ACF에서 AB”=AC” △BDF≡△CEF이므로 BF”=CF” AF”는 공통 ∴ △ABF≡△ACF (SSS 합동) 016 cm, 35˘ 02④ 03①, ③ 04③ 05ㄱ과 ㅂ, SAS 합동/ㄷ과 ㅇ, SSS 합동 06③ 07①, ④ 08①, ② 09ㄱ, ㄷ 10BC”, SAS 11① 12④ 13△ADF, ASA 합동 14△CGD, SAS 합동 1511개 1625˘ 1790˘ 18⑴ △CBP, SAS 합동 ⑵ 60˘

유형

TEST

02. 삼각형의 합동 019~021쪽

01

AC”의 대응변은 DF”이므로 AC”=DF”=6 cm ∠E의 대응각은 ∠B이므로 ∠E=∠B=35˘

02

BC”의 대응변은 FG”이므로 BC”=FG”=5 cm ∴ x=5 ∠G의 대응각은 ∠C이므로 ∠G=∠C=65˘ 즉, ∠H=360˘-(90˘+65˘+80˘)=125˘이므로 y=125 ∴ x+y=130

03

① BC”의 대응변은 EF”이므로 길이를 알 수 없다. ③ ∠B의 대응각은 ∠E이므로 ∠B=∠E=30˘

Ⅴ. 기본 도형

₀₆₅

테스트 BOOK

13

△ABE와 △ADF에서 사각형 ABCD가 정사각형이므로 AB”=AD”, ∠ABE=∠ADF=90˘ ∠BAE=∠DAF ∴ △ABE≡△ADF (ASA 합동)

14

△AED와 △CGD에서 `∠ADE=∠ADC+∠CDE =90˘+∠CDE =∠GDE+∠CDE=∠CDG 사각형 ABCD가 정사각형이므로 AD”=CD” 사각형 DEFG가 정사각형이므로 DE”=DG” ∴ △AED≡△CGD (SAS 합동)

15

∠BAH=∠BAD+∠DAH=90˘+60˘=150˘ `∠EAH=360˘-150˘-60˘=150˘ 따라서 △ABH와 합동인 삼각형은

△DCH, △DAG, △CBG, △CDF, △BAF, △BCE, △ADE, △AEH, △DGH, △CFG, △BFE로 모두 11개 그릴 수 있다.

16

△ABE와 △DCF에서 AB”=DC”, BE”=CF”, ∠B=∠C이므로 △ABE≡△DCF (SAS 합동) ∠AEB=∠DFC=70˘이므로 ∠BAE=90˘-70˘=20˘ 이때 ∠BAC=45˘이므로 ∠x=45˘-20˘=25˘

17

△ABC≡△BDE이므로 ∠ACB=∠BED=60˘ ∠DBE=∠BAC=30˘ △BGC에서 ∠BGC=180˘-(30˘+60˘)=90˘ ∴ ∠x=∠BGC=90˘

18

⑴ △ABP와 △CBP에서 AB”=CB”, BP”는 공통, ∠ABP=∠CBP=45˘ ∴ △ABP≡△CBP (SAS 합동) ⑵ △ABQ에서 ∠BAQ=50˘이고 ∠BCP=∠BAP이므로 ∠BCP=50˘, ∠PCQ=130˘ △PCQ에서 ∠CPQ+40˘+130˘=180˘ ∠CPQ=10˘ ∴ ∠BCP+∠CPQ=60˘ 0110가지 02(2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) 039 04①, ③ 05④, ⑤ 06③ 0711 cm 08풀이 참조 0915˘ 1060˘ 11100˘ 1290˘ 1365˘

실력

TEST

022~025쪽

0

1

⁄ 가장 긴 변의 길이가 8 cm인 경우 (4, 5, 8), (4, 6, 8), (4, 7, 8) (5, 6, 8), (5, 7, 8), (6, 7, 8) ¤ 가장 긴 변의 길이가 7 cm인 경우 (4, 5, 7), (4, 6, 7), (5, 6, 7) ‹ 가장 긴 변의 길이가 6 cm인 경우 (4, 5, 6) 따라서 삼각형이 만들어지는 경우는 모두 10가지이다.

0

2

a<b<6에서 a, b는 삼각형의 두 변의 길이이면서 자연수 이므로 a는 1, 2, 3, 4 중 하나이다. 가장 긴 변의 길이가 6이므로 삼각형이 될 조건은 6<a+b ⁄a=1일 때 6<1+b ∴ b>5 그런데 5<b<6인 자연수이므로 b는 존재하지 않는다. ¤a=2일 때 6<2+b ∴ b>4 그런데 4<b<6인 자연수이므로 b=5 ‹a=3일 때 6<3+b ∴ b>3 그런데 3<b<6인 자연수이므로 b=4, 5 ›a=4일 때 6<4+b ∴ b>2 그런데 4<b<6인 자연수이므로 b=5 따라서 구하는 순서쌍 (a, b)는 (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)이다.

0

3

삼각형의 세 변이 될 수 있는 경우는 (5, 5, 5), (5, 5, 4), (5, 5, 3), (5, 5, 2), (5, 5, 1), (5, 4, 4), (5, 4, 3), (5, 4, 2), (5, 3, 3) 따라서 만들 수 있는 삼각형은 9개이다.

04

① 세 각의 크기가 주어지면 무수히 많은 삼각형이 그려진 다.

③ ∠A는 AB”, BC”의 끼인각이 아니므로 △ABC가 하나로 정해지지 않는다.

05

④ ∠C+∠B=190˘이므로 삼각형이 그려지지 않는다. ⑤ ∠B는 AB”, AC”의 끼인각이 아니므로 △ABC가 하나로

정해지지 않는다.

06

③ 마름모는 한 변의 길이가 같아도 모양이 다를 수 있으므 로 항상 합동은 아니다.

07

△ABD와 △ACE에서 AB”=AC” (△ABC가 정삼각형) AD”=AE” (△ADE가 정삼각형) ∠BAD=60˘+∠CAD=∠CAE ∴ △ABD≡△ACE (SAS 합동) ……❶ ∴ CE”=BD”=5+6=11(cm) ……❷

08

△AMN과 △BMC에서 `AM”=BM”, NM”=CM” ∠AMN=∠BMC (맞꼭지각) ∴ △AMN≡△BMC (SAS 합동) ……❶ 따라서 ∠ANM=∠BCM으로 엇각의 크기가 같으므로 ND”∥`BC”이다. ……❷

09

△FAB와 △CAD에서

FA”=CA”, AB”=AD”, ∠FAB=∠CAD ∴ △FAB≡△CAD (SAS 합동) ∠ADC=∠ABF=30˘이므로 ∠x=∠ADB-∠ADC=45˘-30˘=15˘

10

△ABF, △BCD, △CAE에서 AB”=BC”=CA”, AF”=BD”=CE” ∠A=∠B=∠C ∴ △ABF≡△BCD≡△CAE (SAS 합동) △BDQ, △CER, △AFP에서 DB”=EC”=FA” ∠BDQ=∠CER=∠AFP ∠DBQ=∠ECR=∠FAP ∴ △BDQ≡△CER≡△AFP (ASA 합동) ∴ BQ”=CR”=AP”, QD”=RE”=PF” 또한 BF”=CD”=AE”이므로 PQ”=QR”=RP” 따라서 △PQR는 정삼각형이므로 ∠PQR=60˘

11

△BEC와 △BDA에서

BE”=BD”, BC”=BA”, ∠CBE=60˘=∠ABD이므로 △BEC≡△BDA (SAS 합동) ∴ ∠ADC=180˘-∠ADB=180˘-∠CEB =180˘-(60˘+20˘)=100˘

12

△ADC와 △ABG에서 AD”=AB”, AC”=AG”, ∠DAC=90˘+∠BAC =∠BAG 이므로 △ADC≡△ABG`(`SAS 합동) ∴ ∠ADC=∠ABG ∠DHA=∠BHP(맞꼭지각)이므로 △BHP에서 ∠BPH=180˘-(∠ABG+∠BHP) =180˘-(∠ADC+∠DHA) =90˘ ∴ ∠BPC=180˘-∠BPH=90˘

13

오른쪽 그림과 같이 QM”의 연장선 위에 점 R를 MR”=MQ”가 되도록 잡으면 △AMR와 △BMQ에서 AM”=BM”, MR”=MQ” ∠AMR=∠BMQ`(맞꼭지각) 이므로 △AMR≡△BMQ`(`SAS 합동) ∴ AR”=AP” 즉, △APR는 이등변삼각형이므로 ❶△ABD와 △ACE가 합동임을 보이기 ❷CE”의 길이 구하기 70 % 30 % 채점 기준 배점 ❶△AMN과 △BMC가 합동임을 보이기 ❷ND”∥`BC”임을 설명하기 60 % 40 % 채점 기준 배점 P 80æ 45æ A B R Q M A D G B C P F E H

Ⅴ. 기본 도형

₀₆₇

테스트 BOOK

0

1

교선은 8개이므로 a=8 교점은 5개이므로 b=5 ∴ a+b=8+5=13

0

2

③ BC”=2AB”, AB”=2AM”이므로 BC”=2AB”=2_2AM”=4AM” ⑤ 두 반직선의 시작점은 같으나 방향이 다르므로 MÚA≥+MÚB≥

0

3

AC”=2CB”이고 AM”=MC”이므로 AM”=MC”=CB” MN”=MC”+CN”=2CN”+CN” MN”=3CN” 즉, 6 cm=3CN”이므로 CN”=2 cm ∴ AC”=2AM”=2_2CN”=4CN” =4_2=8(cm)

0

4

∠x+(3∠x-12˘)=120˘ 4∠x=132˘ ∴ ∠x=33˘

0

5

∠x=2∠x-30˘에서 ∠x=30˘ ……❶ ∠y+∠x+(4∠x-10˘)=180˘이므로 ∠y=190˘-5∠x ∴ ∠y=190˘-5_30˘=40˘ ……❷ 01③ 02③, ⑤ 03① 0433˘ 05∠x=30˘, ∠y=40˘ 06②, ③ 075 08③ 09∠a=75˘, ∠b=85˘ 1065˘ 1148˘ 12① 13①, ⑤ 14①, ④ 15풀이 참조 16② 17④ 183쌍 19△ABD™△ACD, SSS 합동 2030˘

대단원

TEST

026~028쪽 ∠APR=∠ARP 이때 ∠BQM=180˘-(100˘+45˘)=35˘이므로 ∠APM=∠BQM=35˘ ∴ ∠PAB=180˘-80˘-35˘=65˘

0

6

② 공간에서 직선 l과 m이 만나지 않으면 평행할 수도 있 고 꼬인 위치에 있을 수도 있다. ③ 공간에서 평행한 두 평면 P,` Q에 각각 포함된 두 직선 l, m은 평행할 수도 있고 꼬인 위치에 있을 수도 있다.

0

7

모서리 JG와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AI”, AB”, AE”,

EF”, EH”로 5개이다.

10

오른쪽 그림과 같이 점 B와 점 C 를 각각 지나고 두 직선 l, m과 평행한 직선을 2개 그으면 ∠x=40˘+25˘=65˘

11

오른쪽 그림과 같이 접은 각과 엇각 의 크기는 각각 같으므로 ∠x=24˘+24˘=48˘ ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

12

① ∠A의 대변은 BC”이다.

13

① 2+4=6 ② 6<4+6 ③ 8<4+6 ④ 9<4+6 ⑤ 10=4+6

14

① ∠A와 ∠C의 크기가 주어지면 ∠B의 크기를 알 수 있 으므로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경 우가 된다. ④ AC”의 길이와 ∠A의 크기가 주어지면 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우가 된다.

15

삼각형의 한 변의 길이가 10 cm, 두 각의 크기가 40˘, 50˘ 로 주어진 경우 삼각형의 세 각의 크기의 합이 180˘이므로 나머지 한 각의 크기는 90˘이다. ……❶ 가능한 삼각형은 ⁄10 cm인 변의 양 끝 각의 크기가 40˘, 50˘인 경우 ¤10 cm인 변의 양 끝 각의 크기가 40˘, 90˘인 경우 ‹10 cm인 변의 양 끝 각의 크기가 50˘, 90˘인 경우 로 세 가지 모양으로 그려진다. 24æ 24æ 24æ_x l m 40æ 40æ 25æ 65æ 65æ 25æ A B C D ❶∠x의 크기 구하기 ❷∠y의 크기 구하기 40 % 60 % 채점 기준 배점

따라서 삼각형에서‘한 변과 양 끝 각’대신에‘한 변과 두 각’이라는 조건만으로는 삼각형이 하나로 정해지지 않는 다. ……❷

16

② 세 각의 크기가 주어지면 무수히 많은 삼각형이 그려진다.

17

④ AD”는 공통, BD”=CD”, ∠ADB=∠ADC ∴ △ABD≡△ACD (SAS 합동)

18

AB”=AD”, BE”=DF”, ∠B=∠D=90˘ ∴ △ABE≡△ADF (SAS 합동) …… ㉠ AB”=AD”, BC”=DC”, AC”는 공통 ∴ △ABC≡△ADC (SSS 합동) …… ㉡ AE”=AF” (△ABE≡△ADF) EC”=FC” (BE”=DF”, BC”=DC”) AC”는 공통 ∴ △AEC≡△AFC (SSS 합동) …… ㉢ 따라서 ㉠, ㉡, ㉢에 의해 합동인 삼각형은 3쌍이다.

19

△ABD와 △ACD에서 AB”=AC”, BD”=CD”, AD”는 공통 ∴ △ABD≡△ACD (SSS 합동)

20

△AGB와 △CEB에서 사각형 ABCD와 사각형 GBEF는 정사각형이므로 GB”=EB”, AB”=CB” ∠ABG=90˘-∠ABE=∠CBE ∴ △AGB≡△CEB (SAS 합동) ……❶ ∠AGB=∠CEB ∠AGB=360˘-(90˘+150˘)=120˘ ……❷ ∴ ∠AGF=∠AGB-∠FGB =120˘-90˘=30˘ ……❸ ❶△AGB≡△CEB임을 보이기 ❷∠AGB의 크기 구하기 ❸∠AGF의 크기 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 ❶나머지 한 각의 크기가 정해짐을 설명하기 ❷가능한 삼각형이 3개임을 설명하기 50 % 50 % 채점 기준 배점

01

조건 ㈏에서 세 점 C, E, F의 위치를 다음과 같이 2가지로 알 수 있다. 조건 ㈎와 위의 2가지 경우에서 네 점 D, E, F, G의 위치 는 다음과 같다.

02

오른쪽 그림과 같이 BG”를 그으면 △BCG와 △DCE에서 BC”=DC”, CG”=CE” ∠BCG=90˘-∠DCG =∠DCE ∴ △BCG≡△DCE (SAS 합동) ∴ (△DCE의 넓이)=(△BCG의 넓이) ∴ (△DCE의 넓이)=;2!;_BC”_AB”=;2!;_4_4 ∴ (△DCE의 넓이)=8(cm¤ )

03

오른쪽 그림과 같이 CD”를 점 D쪽으로 연장하여 BE”=DP”가 되도록 점 P를 잡으면 AB”=AD”, BE”=DP” ∠ABE=∠ADP이므로 △ABE≡△ADP (SAS 합동) △AEF와 △APF에서 ∠PAF=∠PAD+∠DAF =∠EAB+∠DAF =90˘-∠FAE=45˘ =∠FAE AE”=AP”, AF”는 공통이므로 △AEF≡△APF`(SAS 합동) ∴ ∠AFD=∠AFE=180˘-(45˘+65˘)=70˘ B C E P D F A 65æ 45æ B D G E F C A B E F C A B F E C A 01풀이 참조 028 cm¤ 0370˘

창의 사고력

TEST

029쪽 F E H G B C D A 4`cm 5`cm

Ⅵ. 평면도형

₀₆₉

테스트 BOOK

평면도형

1. 다각형의 성질

VI

01ㄴ, ㄹ 02128˘ 03225˘ 04④ 05③ 06십삼각형 07정팔각형 0817 09187 1077 1154 128 1322˘ 1430˘ 15128˘ 16360˘ 1755˘ 1850˘ 19130˘ 2085˘ 2134˘ 2230˘ 2382˘ 2445˘ 258 261800˘ 2755˘ 28③ 2945˘ 30540˘ 3195˘ 32110˘ 3390˘ 3420 35② 366 37150˘ 3872˘ 39105˘ 4018˘

유형

TEST

01. 다각형의 내각, 외각과 대각선 030~034쪽 02. 다각형의 내각과 외각의 크기

01

다각형은 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형이므로 보기 중 다각형인 것은 ㄴ, ㄹ이다.

02

(외각의 크기)=180˘-52˘=128˘

03

∠x=180˘-70˘=110˘ ∠y=180˘-65˘=115˘ ∴ ∠x+∠y=110˘+115˘=225˘

04

④ 정다각형은 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 같은 다각형이다. 정사각형만 한 꼭짓점에서 한 내각의 크기와 한 외각의 크기가 90˘로 서로 같고 나머지 정다각 형에서는 한 내각의 크기와 한 외각의 크기가 같지 않다.

05

9-3=6

06

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n-3=10 ∴ n=13 따라서 구하는 다각형은 십삼각형이다.

07

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 조건 ㈎에서 구하는 다 각형은 정다각형이다. 조건 ㈏에서 n-3=5 ∴ n=8 따라서 구하는 다각형은 정팔각형이다.

0

8

십일각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 a=11-3=8 이때 생기는 삼각형의 개수는 b=11-2=9 ∴ a+b=8+9=17

0

9

이십각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 a=20-3=17 이십각형의 대각선의 개수는 b= =170 ∴ a+b=17+170=187

10

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n-3=11 ∴ n=14 따라서 십사각형의 대각선의 개수는 =77

11

육각형의 대각선의 개수는 =9 구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n-3=9 ∴ n=12 따라서 십이각형의 대각선의 개수는 =54

12

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 =35, n(n-3)=70 n(n-3)=10_7 ∴ n=10 따라서 십각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그었을 때 생기 는 삼각형의 개수는 10-2=8

13

(4∠x-8˘)+2∠x+(3∠x-10˘)=180˘ 9∠x=198˘ ∴ ∠x=22˘

14

∠A+∠B+∠C=180˘이므로 (∠B+30˘)+∠B+3∠B=180˘ 5∠B=150˘ ∴ ∠B=30˘

15

△ABC에서 ∠ABC+∠ACB=180˘-76˘=104˘ n(n-3) 14551455442₂ 12_(12-3) 14551455145522₂ 6_(6-3) 14554145512₂ 14_(14-3) 14551455145522₂ 20_(20-3) 1114551224₂

∴ ∠IBC+∠ICB=;2!;(∠ABC+∠ACB) ∴ ∠IBC+∠ICB=;2!;_104˘=52˘ 따라서 △IBC에서 ∠x=180˘-(∠IBC+∠ICB) =180˘-52˘=128˘

16

△ACE에서 ∠a+∠c+∠e=180˘ △BDF에서 ∠b+∠d+∠f=180˘ ∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e +∠f =180˘+180˘=360˘

17

2∠x-10˘=∠x+45˘ ∴ ∠x=55˘

18

∠x=50˘+∠y ∴ ∠x-∠y=50˘

19

△ABD에서 70˘+∠ABD=100˘ ∴ ∠ABD=30˘ 따라서 ∠ABC=2_30˘=60˘이므로 △ABC에서 ∠x=∠A+∠ABC=70˘+60˘=130˘

20

△DEC에서 ∠EDC+40˘=150˘ ∴ ∠EDC=110˘ △ABD에서 ∠x+25˘=∠EDC=110˘ ∴ ∠x=85˘

21

△DBC는 이등변삼각형이므로 ∠DCB=∠x이고, △BCD에서 ∠ADC=2∠x 이때 △ADC도 이등변삼각형이므로 ∠DAC=2∠x △ABC에서 2∠x+∠x=102˘ ∴ ∠x=34˘

22

△ABC에서 ∠PCE=;2!;∠ACE=;2!;(60˘+∠ABC) ∠PCE=30˘+;2!;∠ABC=30˘+∠PBC …… ㉠ a b e f c d A F E D C B △PBC에서 ∠PCE=∠x+∠PBC …… ㉡ ㉠, ㉡에서 30˘+∠PBC=∠x+∠PBC ∴ ∠x=30˘

23

(∠y+23˘)+∠x+75˘=180˘ ∴ ∠x+∠y=82˘ ㉠㉠

24

△FCE에서 ∠x=50˘+30˘=80˘ △GBD에서 ∠AGF=45˘+20˘=65˘ △AFG에서 80˘+∠y+65˘=180˘이므로 ∠y=35˘ ∴ ∠x-∠y=80˘-35˘=45˘

25

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 180˘_(n-2)=1080˘, n-2=6 ∴ n=8 따라서 팔각형의 꼭짓점의 개수는 8이다.

26

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 =54, n(n-3)=108 n(n-3)=12_9 ∴ n=12 따라서 십이각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(12-2)=1800˘

27

오각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(5-2)=540˘이므로 2∠x+120˘+2∠x+145˘+∠x=540˘ 5∠x=275˘ ∴ ∠x=55˘

28

오각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(5-2)=540˘이므로 ∠BCD+∠EDC=540˘-(130˘+110˘+120˘)=180˘ ∴ ∠ICD+∠IDC=;2!;(∠BCD+∠EDC) =;2!;_180˘=90˘ 따라서 △ICD에서 ∠x=180˘-(∠ICD+∠IDC) =180˘-90˘=90˘ n(n-3) 1455155242₂ x y 45æ 50æ 20æ 30æ 65æ A F G B E C D x y 25æ 50æ 75æ 23æ y+23æ

Ⅵ. 평면도형

₀₇₁

테스트 BOOK

29

△CDE와 △CBF에서 ∠ECD=∠BCF (맞꼭지각) 이므로 ∠CBF+∠CFB=30˘+∠x 사각형 ABFG의 내각의 크기의 합은 360˘이므로 60˘+80˘+(30˘+∠x)+75˘+70˘=360˘ 315˘+∠x=360˘ ∴ ∠x=360˘-315˘=45˘

30

오른쪽 그림과 같이 선분을 그으면 ∠f+∠g=•+× 오각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(5-2)=540˘ ∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e +∠f+∠g =∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+•+× =540˘

31

다각형의 외각의 크기의 합은 360˘이므로 100˘+(180˘-∠x)+95˘+80˘=360˘ 455˘-∠x=360˘ ∴ ∠x=95˘

32

다각형의 외각의 크기의 합은 360˘이므로 60˘+70˘+30˘+(180˘-∠x)+30˘+100˘=360˘ 470˘-∠x=360˘ ∴ ∠x=110˘

33

정팔각형의 한 내각의 크기는 =135˘ 정팔각형의 한 외각의 크기는 =45˘ 따라서 정팔각형의 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 차는 135˘-45˘=90˘

34

구하는 정다각형을 정n각형이라고 하면 =162˘ 180˘_n-360˘=162˘_n, 18˘_n=360˘ ∴ n=20 따라서 한 내각의 크기가 162˘인 정다각형은 정이십각형이 므로 꼭짓점의 개수는 20이다. ■ 다른 풀이 ■ 한 내각의 크기가 162˘이므로 한 외각의 크기는 180˘_(n-2) 144444455145544522_n 360˘ 14452₈ 180˘_(8-2) 144444455145544522₈ f g a b e c d x 60æ 70æ 75æ 80æ 30æ A B C _F G E D 180˘-162˘=18˘이다. 구하는 정다각형을 정n각형이라고 하면 =18˘ ∴ n=20 따라서 정이십각형이므로 꼭짓점의 개수는 20이다.

35

ㄱ. 정십오각형의 대각선의 개수는 =90 (거짓) ㄴ. 정십오각형의 한 내각의 크기는 =156˘ (참) ㄷ. 정십오각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그었을 때 만들 어지는 삼각형의 개수는 15-2=13이다. (참) ㄹ. 정십오각형의 한 외각의 크기는 =24˘ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

36

다각형의 한 외각의 크기와 한 내각의 크기의 합은 180˘이 므로 (한 외각의 크기)=180˘_ =40˘ 다각형의 외각의 크기의 합은 항상 360˘이므로 =9 따라서 정구각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 9-3=6

37

∠ABP=∠ABC-∠PBC=90˘-60˘=30˘ △ABP는 BA”=BP”인 이등변삼각형이므로 ∠APB=;2!;_(180˘-30˘)=75˘ 같은 방법으로 하면 ∠DPC=75˘ ∴ ∠x=360˘-(75˘+60˘+75˘)=150˘

38

정오각형의 한 내각의 크기는 =108˘ △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠BAC=;2!;_(180˘-108˘)=36˘ △ABE도 이등변삼각형이므로 ∠ABE=;2!;_(180˘-108˘)=36˘ 180˘_(5-2) 14444445514554522₅ 360˘ 14442_40˘ 2 144442₇₊₂ 360˘ 14452₁₅ 180˘_(15-2) 144444455145514522₁₅ 15_(15-3) 14551455145522₂ 360˘ 14452_n

따라서 △ABF에서 ∠x=∠BAF+∠ABF=36˘+36˘=72˘

39

∠x의 크기는 정육각형의 한 외각의 크기와 정팔각형의 한 외각의 크기의 합이므로 ∠x= + =60˘+45˘=105˘

40

정오각형의 한 내각의 크기는 =108˘ l∥n∥m이 되도록 점 E를 지 나는 직선 n을 그으면 3∠x+(72˘-∠x)=108˘, 2∠x=36˘ ∴ ∠x=18˘ 180˘_(5-2) 1111113₅ E D C B A x 72æ-x 3x m l n 3x 72æ-x 108æ 360˘ 14442₈ 360˘ 14442₆ 0115 0220 03120˘ 0480˘ 0580˘ 0658˘ 0770˘ 08정오각형, 정십각형 0955˘ 10540˘

실력

TEST

035~037쪽

01

6개의 도시를 서로 직통으로 연결하는 회선 수는 육각형의 변의 개수와 대각선의 개수의 합과 같으므로 6+ =6+9=15

02

꼭짓점의 개수가 a인 다각형은 a각형이므로 b=a-3, c=a-2 이때 a+b-c=7이므로 a+(a-3)-(a-2)=7, a-1=7 ∴ a=8 따라서 팔각형의 대각선의 개수는 =20

03

오른쪽 그림과 같이 선분 BC를 그으면 △ABC에서 ∠DBC+∠DCB =180˘-(70˘+30˘+20˘)=60˘ 따라서 △DBC에서 x A C B D 70æ 30æ 20æ 8_(8-3) 144442222224₂ 6_(6-3) 144442222224₂ ∠x=180˘-(∠DBC+∠DCB) =180˘-60˘=120˘

04

△BAC는 이등변삼각형이므로 ∠BCA=∠BAC=20˘ △BAC에서 ∠CBD=20˘+20˘=40˘ △CBD는 이등변삼각형이므로 ∠CDB=∠CBD=40˘ △ACD에서 ∠DCE=∠DAC+∠ADC=20˘+40˘=60˘ △DCE는 이등변삼각형이므로 ∠DEC=∠DCE=60˘ 따라서 △DAE에서 ∠x=20˘+60˘=80˘

05

다각형의 외각의크기의합은항상 360˘이므로 2∠x+3∠x+4∠x=360˘ 9∠x=360˘ ∴ ∠x=40˘ 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기 의 합과 같으므로 ∠y+∠z=2∠x=2_40˘=80˘

06

∠ABD=∠a, ∠ACD=∠b라고 하면 ……❶ ∠ACE는 △ABC의 한 외각이므로 3∠b=87˘+3∠a, ∠b=29˘+∠a … ㉠ ……❷ ∠DCE는 △DBC의 한 외각이므로 2∠b=∠x+2∠a, ∠b=;2!;∠x+∠a … ㉡ ……❸ ㉠, ㉡에서 29˘+∠a=;2!;∠x+∠a 29˘=;2!;∠x ∴ ∠x=2_29˘=58˘ ……❹

07

∠BAC=∠a, ∠BCA=∠b라고 하면 △ABC에서 ∠a+∠b=180˘-40˘=140˘ △DAC에서 ∠x=180˘-[;2!;(180˘-∠a)+;2!;(180˘-∠b)] =180˘-{90˘-;2!;∠a+90˘-;2!;∠b} ❶∠ABD=∠a, ∠ACD=∠b로 놓기 ❷∠ACE를 ∠a, ∠b를 사용하여 나타내고 간단히 하 기 ❸∠DCE를 ∠x, ∠a, ∠b를 사용하여 나타내고 간단 히 하기 ❹∠x의 크기 구하기 20 % 20 % 20 % 40 % 채점 기준 배점

Ⅵ. 평면도형

₀₇₃

테스트 BOOK =180˘-180˘+;2!;(∠a+∠b) =;2!;_140˘=70˘

08

구하는 두 정다각형을 각각 정n각형, 정2n각형이라고 하 면 한 내각의 크기는 각각 , 이므로 : =3 : 4 = 3_(2n-2)=8_(n-2), 6n-6=8n-16 2n=10 ∴ n=5 따라서 구하는 두 정다각형은 정오각형과 정십각형이다.

09

BA”가 점 B를 중심으로 50˘만큼 회전하여 BA”'이 되었으 므로 ∠A'BA=50˘ △A'BA는 BA”'=BA”인 이등변삼각형이고 ∠A'BA=50˘이므로 ∠BA'A=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ ∴ ∠BAC=∠BA'A=65˘ ……❶ △ABC에서 ∠ABC=180˘-(65˘+60˘)=55˘ ……❷

10

오른쪽 그림과 같이 보조선 EG, CD를 그으면 ∠HEG+∠HGE =∠HCD+∠HDC 사각형 ABCD에서 내각의 크기의 합은 360˘이므로 ∠A+∠B+∠BCH+∠HCD+∠HDC+∠ADH =360˘ ∴ ∠A+∠B+∠BCH+∠ADH+∠HEG+∠HGE =360˘ … ㉠ ……❶ △EFG에서 내각의 크기의 합은 180˘이므로 ∠EFG+∠FGE+∠FEG=180˘ … ㉡ ……❷ 두 식 ㉠, ㉡을 변변 더하면 ∠A+∠B+∠BCH+∠ADH+∠EFG +(∠HEG+∠FEG)+(∠HGE+∠FGE)=540˘ A F B C D E G H 4_180˘_(n-2) 1444422222444444244424_n 3_180˘_(2n-2) 14444222224442444244424_2n 180˘_(2n-2) 1444422222444555424_2n 180˘_(n-2) 1444422222444424_n 180˘_(2n-2) 1444422222444555424_2n 180˘_(n-2) 1444422222444424_n ❶∠BAC의 크기 구하기 ❷∠ABC의 크기 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점 ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540˘ ……❸ ■ 다른 풀이 ■ 사각형 AFGD에서 내각의 크기의 합은 360˘이므로 ∠a+∠x+∠f +∠g+∠d=360˘ … ㉠ 또한 사각형 FBCE에서 내각의 크기의 합은 360˘이므로 ∠f+∠y+∠b+∠c+∠e=360˘ … ㉡ 두 식 ㉠, ㉡을 변변 더하면 ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g +∠f+∠x+∠y=720˘ 그런데 ∠f+∠x+∠y=180˘이므로 ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g =720˘-180˘=540˘ A F B C D E G H b c d y e g f xa ❶사각형 ABCD의 내각의 크기의 합을 식으로 나타내기 ❷△EFG의 내각의 크기의 합을 식으로 나타내기 ❸∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G의 크기 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점

2. 부채꼴의 성질

0

1

호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 3 : x=30˘ : 120˘, 3 : x=1 : 4 ∴ x=12 30˘ : y˘=3 : 6, 30 : y=1 : 2 ∴ y=60

01x=12, y=60 0225 0380˘ 0412 cm 0512 cm 0620 cm 07④ 086 cm 0950˘ 1018 cm¤ 116 cm¤ 121 : 2 1375˘ 1416 cm 156 cm 16②

유형

TEST

01. 부채꼴의 뜻과 성질 038~039쪽

02

호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 (x+1) : (2x+7)=20˘ : 50˘ (x+1) : (2x+7)=2 : 5 5(x+1)=2(2x+7), 5x+5=4x+14 ∴ x=9 ∴

μ

AB=2_9+7=25

03

∠BOC는 μ BC의 중심각이고, 한 원에서 부채꼴의 중심각 의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 ∠BOC=360˘_ =80˘

04

AC”=CO”=AO”이므로 △AOB는 정삼각형이다. 즉, ∠AOC=60˘이다. 따라서 60˘ : 80˘=9 :

μ

BD`이므로 3 : 4=9 :

μ

BD` ∴

μ

BD=12(cm)

05

CO”∥AB”이므로 ∠COA=∠OAB=36˘ (엇각) △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 ∠OBA=∠OAB=36˘ ∴ ∠AOB=180˘-(∠OAB+∠OBA) =180˘-(36˘+36˘)=108˘ 두 부채꼴 COA, AOB에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 4 : μAB=36˘ : 108˘, 4 : μAB=1 : 3 ∴ μAB=12(cm)

06

AE”∥CD”이므로 ∠EAO=∠DOB=40˘ (동위각) 오른쪽 그림과 같이 EO”를 그으면 △OAE는 OA”=OE”인 이등변 삼각형이므로 ∠OEA=∠OAE=40˘이고, ∠EOD=∠AEO=40˘ (엇각) ∴ ∠AOE=180˘-(∠AEO+∠EAO) =180˘-(40˘+40˘)=100˘ μ AE :μ ED=∠AOE : ∠EOD이므로 μAE : 8=100˘ : 40˘, μAE : 8=5 : 2 ∴

μ

AE=20(cm)

07

오른쪽 그림과 같이 OC”를 그으면 ∠AOC=180˘-(25˘+25˘) =130˘ C B A O 25æ 25æ 40æ 40æ A C E D B O 8`cm 40æ40æ 2 4224224224₁₊₂₊₆ ∠BOC=180˘-130˘=50˘ ∴ μAC : μ BC=∠AOC : ∠BOC

=130˘ : 50˘ =13 : 5

08

CP”=CO”이므로 ∠COP=∠CPO=20˘ △COP에서 ∠OCD=20˘+20˘=40˘ OC”=OD”이므로 ∠ODC=∠OCD=40˘ △OPD에서 ∠BOD=20˘+40˘=60˘ 이때 μAC：μ BD=20˘ : 60˘이므로 μAC : 18=1 : 3 ∴ μAC=6(cm)

09

한 원에서 부채꼴의 중심각의 크기는 넓이에 정비례하므로 20˘ : ∠x=30p : 75p, 20˘ : ∠x=2 : 5 2∠x=100˘ ∴ ∠x=50˘

10

부채꼴 COD의 넓이를 x cm¤ 라고 하면 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 54 : x=90˘ : 30˘, 54 : x=3 : 1 3x=54 ∴ x=18 따라서 부채꼴 COD의 넓이는 18 cm¤ 이다.

11

∠AOC=180˘-30˘=150˘ 부채꼴 BOC의 넓이를 x cm¤ 라고 하면 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 150˘ : 30˘=30 : x, 5 : 1=30 : x 5x=30 ∴ x=6 따라서 부채꼴 BOC의 넓이는 6 cm¤ 이다.

12

∠AOE=∠x라고 하면 ∠BOC=4∠x이고, ∠AOD=∠BOC(맞꼭지각)이므로 90˘+∠x=4∠x, 3∠x=90˘ ∴ ∠x=30˘ ∠AOB=90˘-30˘=60˘, ∠BOC=4_30˘=120˘ 이고, 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 S¡ : S™=60˘ : 120˘=1 : 2

13

AB”=CD”=DE”=EF”이므로 ∠AOB=∠COD=∠DOE=∠EOF=25˘ ∴ ∠COF=75˘

14

μPQ`=μ PR이므로 ∠POQ=∠POR ∴ PR”=PQ”=5 cm, OR”=OQ”=3 cm

Ⅵ. 평면도형

₀₇₅

테스트 BOOK 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 PQ”+PR”+OR”+OQ”=5+5+3+3=16(cm)

15

BC”∥OD”이므로 ∠CBO=∠AOD (동위각) 오른쪽 그림과 같이 OC”를 그으면 △OBC에서 OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB 또한 BC”∥OD””이므로 ∠OCB=∠COD (엇각) 따라서 ∠AOD=∠COD이므로 AD”=CD”=6(cm)

16

② 현은 원을 가로질러 긋기 때문에 호의 길이가 2배이면 현의 길이는 2배보다 짧다. 6 cm O A B D C (색칠한 부분의 넓이) =p_7¤ -p_5¤ -p_2¤ =49p-25p-4p=20p(cm¤ )

0

3

(색칠한 부분의 둘레의 길이) =;2!;_2p_6+;2!;_2p_4+;2!;_2p_2 =6p+4p+2p=12p(cm)

0

4

AB”=;3!;AD”=;3!;_12=4(cm) 주어진 도형을 변형하면 오른쪽 그림 과 같으므로 (색칠한 부분의 넓이) =p_4¤ -p_2¤ =16p-4p=12p(cm¤ )

0

5

(호의 길이)=2p_10_ =6p(cm) (넓이)=p_10¤ _ =30p(cm¤ )

0

6

∠AOB=x˘라고 하면 부채꼴 AOB의 호의 길이가 8p cm이므로 2p_20_ =8p, =8 ∴ x=72 따라서 부채꼴 AOB의 중심각의 크기는 72˘이다.

0

7

부채꼴의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 2pr_ _{=10p, ;3@;r=10} ∴ r=15 따라서 반지름의 길이는 15 cm이다.

0

8

부채꼴의 호의 길이를 l cm라고 하면 ;2!;_6_l=24p, 3l=24p ∴ l=8p 따라서 부채꼴의 호의 길이는 8p cm이다.

0

9

중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 ∠AOB : ∠BOC : ∠COA=μAB : μ BC : μ CA ∠AOB : ∠BOC : ∠COA=3 : 4 : 5 따라서 부채꼴 AOB의 중심각의 크기는 ∠AOB=360˘_422444444444443 =90˘ 3+4+5 120 422444₃₆₀ x 1₉ x 422444₃₆₀ 108 422444₃₆₀ 108 422444₃₆₀ D B C A 0124p cm, 48p cm¤` 0228p cm, 20p cm¤` 0312p cm 0412p cm¤ 056p cm, 30p cm¤` 0672˘ 0715 cm 088p cm 099p cm¤` 1030p cm¤` 1118p cm¤ 1221p cm¤ 13(6p+10) cm 14(6p+6) cm 15(4p+8) cm 1620p cm 1732 cm¤ 1850 cm¤ 1932 cm¤ 20(18p-36) cm¤ 21(8p-16) cm¤ 226 cm¤

유형

TEST

02. 부채꼴의 호의 길이와 넓이 040~042쪽

01

(색칠한 부분의 둘레의 길이) =(큰 원의 둘레의 길이)+(작은 원의 둘레의 길이) =2p_8+2p_4 =16p+8p=24p(cm) (색칠한 부분의 넓이) =(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이) =p_8¤ -p_4¤ =64p-16p=48p(cm¤ )

02

(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2p_7+2p_5+2p_2 =14p+10p+4p=28p(cm)

따라서 부채꼴 AOB의 넓이는 p_6¤ _ =9p(cm¤ )

10

(정오각형의 한 내각의 크기) = =108˘ ∴ (부채꼴의 넓이)=p_10¤ _ =30p`(cm¤ )

11

(색칠한 부분의 넓이) =p_(4+4)¤ _ _{-p_4¤ _} =24p-6p=18p(cm¤ )

12

작은 부채꼴 AOB의 중심각의 크기를 ∠AOB=x˘라고 하면 넓이가 12p cm¤ 이므로 p_6¤ _ =12p =12 ∴ x=120 이때 다음 그림에서 각각의 넓이를 ①, ②, ③이라고 하면 (색칠한 부분의 넓이) =①+②-③ =p_3¤ _ +p_6¤ _ -p_3¤ _ =3p+24p-6p=21p(cm¤ )

13

(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2p_(5+2)_ +2p_2_ +5_2 =14p_;3!;+4p_;3!;+10 =6p+10(cm)

14

(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2p_6_;4!;+2p_3_;2!;+6 =6p+6(cm) 120 422444₃₆₀ 120 422444₃₆₀ 240 422444₃₆₀ 240 422444₃₆₀ 120 422444₃₆₀ 3`cm 3`cm O A B C D ③ 3`cm 3`cm O A B C D ② 3`cm 3`cm O A B C D ① x 42444₁₀ x 422444₃₆₀ 135 422444₃₆₀ 135 422444₃₆₀ 108 422444₃₆₀ 180˘_(5-2) 1111112₅ 90 422444₃₆₀

15

오른쪽 그림에서 μ BD=μCD이므로 구하는 둘레의 길이는 μAD+μ BD+AB” =μAD+μ CD+AB” =μAC+AB” =2p_8_;4!;+8=4(p+2)(cm)

16

(색칠한 부분의 둘레의 길이) =μAB'`+μAB`+μ BB' =2μAB`+μ BB' =2_{2p_8_;2!;}+2p_16_ =16p+4p=20p(cm)

17

색칠된 부분 중 오른쪽 그림과 같 이 반원 부분을 오른쪽으로 옮기 면 가로의 길이가 4 cm, 세로의 길이가 8 cm인 직사각형이 된다. ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(직사각형의 ABCD의 넓이) =4_8=32(cm¤ )

18

오른쪽 그림과 같이 도형을 이동하 면 색칠한 부분의 넓이는 밑변의 길이, 높이가 각각 10 cm인 직각 이등변삼각형의 넓이와 같다. ∴ (색칠한 부분의 넓이) =;2!;_10_10=50(cm¤ )

19

오른쪽 그림과 같이 반원 부분을 이동하면 구하는 넓이는 한 변의 길이가 4 cm인 두 정사각형의 넓 이의 합과 같다. ∴ (색칠한 부분의 넓이)`=2_(4_4) =32(cm¤ )

20

(색칠한 부분의 넓이) ={p_3¤ _ -;2!;_3_3}_8 =18p-36(cm¤ ) 90 422444₃₆₀ 10`cm 10`cm 4`cm 8`cm A C B D 45 422444₃₆₀ 8`cm 60æ 30æ A D B C 8`cm 8`cm