수학 (상)
Ⅰ
.
다항식1
⑴ -3xÜ`+3xÛ`+(-2y+zÛ`)x+4yÛ`z ⑵ 3xÛ`+xzÛ`-3xÜ`-2xy+4zyÛ`2
⑴ A+2B =-xÜ`+2xÛ`+4x-5+2(2xÜ`-5xÛ`+6x-1) =-xÜ`+2xÛ`+4x-5+4xÜ`-10xÛ`+12x-2 =3xÜ`-8xÛ`+16x-7 ⑵ B-2A =2xÜ`-5xÛ`+6x-1-2(-xÜ`+2xÛ`+4x-5) =2xÜ`-5xÛ`+6x-1+2xÜ`-4xÛ`-8x+10 =4xÜ`-9xÛ`-2x+9 ⑶ A+B+2(A-3B) =A+B+2A-6B =3A-5B = 3(-xÜ`+2xÛ`+4x-5)-5(2xÜ`-5xÛ`+6x-1) =-3xÜ`+6xÛ`+12x-15 -10xÜ`+25xÛ`-30x+5 =-13xÜ`+31xÛ`-18x-10 ⑷ 2B-3A-3(A+2B) =2B-3A-3A-6B =-6A-4B =-6(-xÜ`+2xÛ`+4x-5) -4(2xÜ`-5xÛ`+6x-1) =6xÜ`-12xÛ`-24x+30-8xÜ`+20xÛ`-24x+4 =-2xÜ`+8xÛ`-48x+34 풀이참조3
㈎ 결합법칙, ㈏ 교환법칙, ㈐ 결합법칙4
7A-3{B+(2A-C)}-4C =7A-3(B+2A-C)-4C =7A-3B-6A+3C-4C =A-3B-C =(x+3xÛ`+4-7xÝ`)-3(-6xÛ`+8xÜ`+1) -(9xÝ`-3xÜ`-1+4x) = x+3xÛ`+4-7xÝ`+18xÛ`-24xÜ`-3 -9xÝ`+3xÜ`+1-4x =-16xÝ`-21xÜ`+21xÛ`-3x+2 -16xÝ`-21xÜ`+21xÛ`-3x+25
2A-X=3(A-B)에서 2A-X=3A-3B ∴ X =-A+3B =-(xÛ`-2xy+3yÛ`)+3(2xÛ`-yÛ`) =-xÛ`+2xy-3yÛ`+6xÛ`-3yÛ` =5xÛ`+2xy-6yÛ` 5xÛ`+2xy-6yÛ`6
A-B=2xÛ`+3x-4 yy ㉠ A+2B=5xÛ`-6x+2 yy ㉡ ㉡-㉠을 하면 3B=3xÛ`-9x+6 ∴ B=xÛ`-3x+2 ㉠에서 A =B+(2xÛ`+3x-4) =xÛ`-3x+2+2xÛ`+3x-4=3xÛ`-2 ∴ 3A-2B =3(3xÛ`-2)-2(xÛ`-3x+2) =9xÛ`-6-2xÛ`+6x-4 =7xÛ`+6x-10 7xÛ`+6x-107
⑴ (2abÛ`)Û`_(-aÛ`b) =4aÛ`bÝ`_(-aÛ`b) =-4aÝ`bÞ` ⑵ (4xÜ`yÛ`)Ü`Ö(2xyÜ`)Û` =64xá`yß`Ö4xÛ`yß`=16xà`확인체크 익히기
9
(1+x-3xÛ`+xÜ`)Û` =(1+x-3xÛ`+xÜ`)(1+x-3xÛ`+xÜ`) 이 식의 전개식에서 xÝ` 항은 x_xÜ`+(-3xÛ`)_(-3xÛ`)+xÜ`_x =xÝ`+9xÝ`+xÝ`=11xÝ` xÞ` 항은 -3xÛ`_xÜ`+xÜ`_(-3xÛ`) =-3xÞ`-3xÞ`=-6xÞ` 따라서 a=11, b=-6이므로 a-b=11-(-6)=17 1710
(xÜ`+axÛ`+b)(2xÛ`-3bx+4)의 전개식에서 xÝ` 항은 xÜ`_(-3bx)+axÛ`_2xÛ`=(2a-3b)xÝ` xÛ` 항은 axÛ`_4+b_2xÛ`=(4a+2b)xÛ` 이때 xÝ`의 계수와 xÛ`의 계수가 모두 8이므로 2a-3b=8, 4a+2b=8 두 식을 연립하여 풀면 a=;2%;, b=-1 ∴ a+b=;2#; ;2#;11
(3x-1)(xÛ`-kx-4k)=a¼+aÁx+aªxÛ`+a£xÜ` 이라 하면 계수들의 총합은 a¼+aÁ+aª+a£ 즉, 주어진 식에 x=1을 대입했을 때의 값이므로 (3-1)(1-k-4k)=2(1-5k) 이때 계수들의 총합이 -18이므로 2(1-5k)=-18 ∴ k=2 212
⑴ (x+1)(x+3)(x+5) =xÜ`+(1+3+5)xÛ` +(1_3+3_5+5_1)x+1_3_5 =xÜ`+9xÛ`+23x+15 ⑶ (aÛ`bÜ`c)Ü`_(bcÛ`)Ü`Ö(ac)Ý` =aß`bá`cÜ`_bÜ`cß`ÖaÝ`cÝ` =aß`bÚ`Û`cá`ÖaÝ`cÝ` =aÛ`bÚ`Û`cÞ` ⑷ 16xÜ`_(-2yz)Û`Ö(xy)Û` =16xÜ`_4yÛ`zÛ`ÖxÛ`yÛ` =64xÜ`yÛ`zÛ`ÖxÛ`yÛ` =64xzÛ` ⑸ 4xÜ`yÛ`Ö(2xÛ`y)Û`_(-2xÜ`yÛ`)Ü` =4xÜ`yÛ`Ö4xÝ`yÛ`_(-8xá`yß`) =;[!;_(-8xá`yß`) =-8x¡`yß` ⑹ {;3@;aÛ`b}Ü`Ö(aÜ`b)Û`_{-;2!;bÛ`}Ü` =;2¥7;aß`bÜ`Öaß`bÛ`_{-;8!;bß`} =;2¥7;b_{-;8!;bß`} =-;2Á7;bà` ⑴ -4aÝ`bÞ` ⑵ 16xà` ⑶ aÛ`bÚ`Û`cÞ` ⑷ 64xzÛ` ⑸ -8x¡`yß` ⑹ -27 bà`18
⑴ 2xy(xÛ`-xy+3yÛ`)=2xÜ`y-2xÛ`yÛ`+6xyÜ` ⑵ (x+1)(2x-5) =2xÛ`-5x+2x-5 =2xÛ`-3x-5 ⑶ (x-2)(xÛ`+x+4) =xÜ`+xÛ`+4x-2xÛ`-2x-8 =xÜ`-xÛ`+2x-8 ⑷ (xÛ`-2xy+3y)(x-2y) =xÜ`-2xÛ`y-2xÛ`y+4xyÛ`+3xy-6yÛ` =xÜ`-4xÛ`y+4xyÛ`+3xy-6yÛ` ⑸ (2xÛ`-x+3)(3xÛ`-2) =6xÝ`-4xÛ`-3xÜ`+2x+9xÛ`-6 =6xÝ`-3xÜ`+5xÛ`+2x-6 ⑹ (2x-3y+1)(x+y-2) =2xÛ`+2xy-4x-3xy-3yÛ`+6y+x+y-2 =2xÛ`-xy-3x-3yÛ`+7y-2 풀이참조15
⑴ (주어진 식)=xÜ`+1 ⑵ (주어진 식) =xÜ`+3Ü`=xÜ`+27 ⑶ (주어진 식)=xÜ`-2Ü`=xÜ`-8 ⑷ (주어진 식)=(2a)Ü`-bÜ`=8aÜ`-bÜ` ⑴ xÜ`+1 ⑵ xÜ`+27 ⑶ xÜ`-8 ⑷ 8aÜ`-bÜ`16
⑴ (주어진 식) =aÜ`+bÜ`+(-c)Ü`-3_a_b_(-c) =aÜ`+bÜ`-cÜ`+3abc ⑵ (주어진 식) =aÜ`+(-2b)Ü`+(3c)Ü`-3_a_(-2b)_3c =aÜ`-8bÜ`+27cÜ`+18abc ⑴ aÜ`+bÜ`-cÜ`+3abc ⑵ aÜ`-8bÜ`+27cÜ`+18abc17
⑴ (주어진 식)=xÝ`+xÛ`+1 ⑵ (주어진 식) ={xÛ`+x_4y+(4y)Û`}{xÛ`-x_4y+(4y)Û`} =xÝ`+xÛ`_(4y)Û`+(4y)Ý` =xÝ`+16xÛ`yÛ`+256yÝ` ⑴ xÝ`+xÛ`+1 ⑵ xÝ`+16xÛ`yÛ`+256yÝ`18
⑴ (aÛ`-5bc)(aÛ`+5bc) =(aÛ`)Û`-(5bc)Û` =aÝ`-25bÛ`cÛ` ⑵ (5x+3y)Ü` =(5x)Ü`+3_(5x)Û`_3y+3_5x_(3y)Û`+(3y)Ü` =125xÜ`+225xÛ`y+135xyÛ`+27yÜ` ⑶ (-x+2y+3z)Û` =(-x)Û`+(2y)Û`+(3z)Û`+2_(-x)_2y = +2_2y_3z+2_3z_(-x) =xÛ`+4yÛ`+9zÛ`-4xy+12yz-6zx ⑵ (x-2)(x-4)(x-3) =xÜ`-(2+4+3)xÛ` +(2_4+4_3+3_2)x-2_4_3 =xÜ`-9xÛ`+26x-24 ⑶ (x-4)(x-2)(x+5) =xÜ`+(-4-2+5)xÛ` +{(-4)_(-2)+(-2)_5+5_(-4)}x +(-4)_(-2)_5 =xÜ`-xÛ`-22x+40 풀이참조13
⑴ (x+y-z)Û` =xÛ`+yÛ`+(-z)Û` +2xy+2y_(-z)+2_(-z)_x =xÛ`+yÛ`+zÛ`+2xy-2yz-2zx ⑵ (x-3y-2z)Û` =xÛ`+(-3y)Û`+(-2z)Û`+2x_(-3y) +2_(-3y)_(-2z)+2_(-2z)_x =xÛ`+9yÛ`+4zÛ`-6xy+12yz-4zx ⑴ xÛ`+yÛ`+zÛ`+2xy-2yz-2zx ⑵ xÛ`+9yÛ`+4zÛ`-6xy+12yz-4zx14
⑴ (3x+1)Ü` =(3x)Ü`+3_(3x)Û`_1+3_3x_1Û`+1Ü` =27xÜ`+27xÛ`+9x+1 ⑵ (2x+3)Ü` =(2x)Ü`+3_(2x)Û`_3+3_2x_3Û`+3Ü` =8xÜ`+36xÛ`+54x+27 ⑶ (3x-2)Ü` =(3x)Ü`-3_(3x)Û`_2+3_3x_2Û`-2Ü` =27xÜ`-54xÛ`+36x-8 ⑷ (x-4y)Ü` =xÜ`-3_xÛ`_4y+3_x_(4y)Û`-(4y)Ü` =xÜ`-12xÛ`y+48xyÛ`-64yÜ` 풀이참조확인체크 익히기 ⑷ 상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지으면 (x+2)(x+5)(x-2)(x+9) ={(x+2)(x+5)}{(x-2)(x+9)} =(xÛ`+7x+10)(xÛ`+7x-18) =(X+10)(X-18) Û xÛ`+7x=X로 치환 =XÛ`-8X-180 =(xÛ`+7x)Û`-8(xÛ`+7x)-180 =xÝ`+14xÜ`+49xÛ`-8xÛ`-56x-180 =xÝ`+14xÜ`+41xÛ`-56x-180 ⑸ 상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지으면 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)} =(xÛ`-5x+4)(xÛ`-5x+6) =(X+4)(X+6) Û xÛ`-5x=X로 치환 =XÛ`+10X+24 =(xÛ`-5x)Û`+10(xÛ`-5x)+24 =xÝ`-10xÜ`+25xÛ`+10xÛ`-50x+24 =xÝ`-10xÜ`+35xÛ`-50x+24 풀이참조
20
⑴ xÛ`+yÛ`=(x-y)Û`+2xy=4Û`+2×3=22 ⑵ (x-y)Û`=(x+y)Û`-4xy=(-3)Û`-4×1=5 ⑶ xÜ`-yÜ` =(x-y)Ü`+3xy(x-y) =4Ü`+3×(-2)×4=40 ⑷ aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) =1Û`-2_(-2)=5 ⑴ 22 ⑵ 5 ⑶ 40 ⑷ 521
⑴ aÛ`+bÛ`=(a-b)Û`+2ab=3Û`+2×(-1)=7 ⑵ aÜ`-bÜ` =(a-b)Ü`+3ab(a-b) =3Ü`+3×(-1)×3=18 ⑶ (a+b)Û` =(a-b)Û`+4ab =3Û`+4×(-1)=5 ⑴ 7 ⑵ 18 ⑶ 5 ⑷ (2x-3y)(4xÛ`+6xy+9yÛ`) =(2x-3y){(2x)Û`+2x_3y+(3y)Û`} =(2x)Ü`-(3y)Ü`=8xÜ`-27yÜ` ⑸ (x-4)(x+2)(x+5) =xÜ`+(-4+2+5)xÛ` +{-4_2+2_5+5_(-4)}x +(-4)_2_5 =xÜ`+3xÛ`-18x-40 ⑹ (xÛ`+3xy+9yÛ`)(xÛ`-3xy+9yÛ`) ={xÛ`+x_3y+(3y)Û`}{xÛ`-x_3y+(3y)Û`} =xÝ`+xÛ`_(3y)Û`+(3y)Ý` =xÝ`+9xÛ`yÛ`+81yÝ` ⑺ (2a+b-c)(4aÛ`+bÛ`+cÛ`-2ab+bc+2ca) =(2a)Ü`+bÜ`+(-c)Ü`-3_2a_b_(-c) =8aÜ`+bÜ`-cÜ`+6abc ⑻ (a-b)(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`)(aÛ`+ab+bÛ`) ={(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`)}{(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`)} =(aÜ`-bÜ`)(aÜ`+bÜ`)=aß`-bß` 풀이참조19
⑴ (xÛ`+5x-2)(xÛ`+5x-3) =(X-2)(X-3) Û xÛ`+5x=X로 치환 =XÛ`-5X+6 =(xÛ`+5x)Û`-5(xÛ`+5x)+6머지 =xÝ`+10xÜ`+25xÛ`-5xÛ`-25x+6 =xÝ`+10xÜ`+20xÛ`-25x+6 ⑵ (a+b-c)(a-b+c) ={a+(b-c)}{a-(b-c)} =(a+X)(a-X) Û b-c=X로 치환 =aÛ`-XÛ`=aÛ`-(b-c)Û` =aÛ`-bÛ`-cÛ`+2bc ⑶ (xÛ`-3x+1)(xÛ`-3x-4)+2 =(X+1)(X-4)+2 Û xÛ`-3x=X로 치환 =XÛ`-3X-2 =(xÛ`-3x)Û`-3(xÛ`-3x)-2 =xÝ`-6xÜ`+9xÛ`-3xÛ`+9x-2 =xÝ`-6xÜ`+6xÛ`+9x-2∴ xÜ`-xÜ`1 ={x-;[!;}3`+3{x-;[!;} =(2'3)Ü`+3_2'3=30'3 30'3
27
xÛ`-'5x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면 x-'5+;[!;=0 ∴ x+;[!;='5 ∴ xÜ`+xÜ`1 ={x+;[!;}3`-3{x+;[!;} =('5)Ü`-3'5=2'5 2'528
(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 2Û`=8+2(ab+bc+ca) ∴ ab+bc+ca=-2∴ ;a!;+;b!;+;c!;=ab+bc+caabc
= -22 =-1 -1
29
x-y=2+'3, y-z=2-'3을 변끼리 더하면 x-z=4 ∴ z-x=-4 ∴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-xy-yz-zx = 12 {(x-y)Û`+(y-z)Û`+(z-x)Û`} = 12 {(2+'3)Û`+(2-'3)Û`+(-4)Û`} =15 1530
aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) =2Û`-2_(-1)=6 (ab+bc+ca)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2abc(a+b+c) 에서 (-1)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2_(-2)_2 ∴ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`=9 ∴ aÝ`+bÝ`+cÝ` =(aÛ`+bÛ`+cÛ`)Û`-2(aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`) =6Û`-2_9=18 1822
⑴ xÛ`+xÛ`1={\x+;[!;}Û`-2=5Û`-2=23 ⑵ xÜ`+xÜ`1 ={\x+;[!;}Ü`-3{\x+;[!;} =5Ü`-3×5=110 ⑶ {\x-;[!;}Û`={\x+;[!;}Û`-4=5Û`-4=21 ⑴ 23 ⑵ 110 ⑶ 2123
⑴ xÛ`+xÛ`1={\x-;[!;}Û`+2=2Û`+2=6 ⑵ xÜ`-xÜ`1 ={\x-;[!;}Ü`+3{\x-;[!;} =2Ü`+3_2=14 ⑶ {\x+;[!;}Û`={\x-;[!;}Û`+4=2Û`+4=8 ⑴ 6 ⑵ 14 ⑶ 824
aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab에서 32=6Û`-2ab ∴ ab=2 (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab=6Û`-4_2=28이므로 a-b=Ñ2'7 Ñ2'725
x='2+1, y='2-1이므로 x+y=2'2, xy=1∴ yÛ`x +xÛ`y =xÜ`+yÜ`xy =(x+y)Ü`-3xy(x+y)xy
=(2'2)Ü`-3_1_2'21
=10'2 10'2
26
xÛ`- 1xÛ`={x+;[!;}{x-;[!;}에서 8'3=4_{x-;[!;} ∴ x-;[!;=2'3
확인체크 익히기 ⑴ -2ab-3cÛ` ⑵ 2yzÜ`-xÛ`yÝ`z ⑶ -5aÛ`cÞ`+bÜ`a-2aÝ`bÛ`c¡`
34
⑴ xÛ` + 2x - 8 x+1`)
` xÜ` +3xÛ` - 6x + 1 xÜ` + xÛ` 2xÛ` - 6x 2xÛ + 2x -8x + 1 - 8x - 8 9 ∴ 몫 : xÛ`+2x-8, 나머지 : 9 ⑵ 2x - 1 2xÛ`-1`)
`4xÜ`- 2xÛ` + 3x - 4 4xÜ` - 2x - 2xÛ` + 5x - 4 -2xÛ` + 1 5x - 5 ∴ 몫 : 2x-1, 나머지 : 5x-5 ⑴ 풀이참조, 몫 : xÛ`+2x-8, 나머지 : 9 ⑵ 풀이참조, 몫 : 2x-1, 나머지 : 5x-535
⑴ 2 3 -4 -2 6 6 4 4 3 2 2 10 ∴ 몫 : 3xÛ`+2x+2, 나머지 : 10 ⑵ -2 1 0 -5 1 -2 4 2 1 -2 -1 3 ∴ 몫 : xÛ`-2x-1, 나머지 : 3 ⑴ 풀이참조, 몫 : 3xÛ`+2x+2, 나머지 : 10 ⑵ 풀이참조, 몫 : xÛ`-2x-1, 나머지 : 331
주어진 식에 ;4!;(5-1)을 곱하면 (5+1)(5Û`+1)(5Ý`+1)(5¡`+1) =;4!;(5-1)(5+1)(5Û`+1)(5Ý`+1)(5¡`+1) =;4!;(5Û`-1)(5Û`+1)(5Ý`+1)(5¡`+1) =;4!;(5Ý`-1)(5Ý`+1)(5¡`+1) =;4!;(5¡`-1)(5¡`+1) =;4!;(516-1) ;4!;(516-1)32
직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 a, b, c라 하면 (겉넓이) =2(ab+bc+ca)=36 ∴ ab+bc+ca=18 (모든 모서리의 길이의 합)=4(a+b+c)=28 ∴ a+b+c=7 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) =7Û`-2_18=13 따라서 직육면체의 대각선의 길이는 "ÃaÛ`+bÛ`+cÛ`='13 '1333
⑴ (6aÛ`bÜ`c+9abÛ`cÜ`)Ö(-3abÛ`c) = 6aÛ`bÜ`c-3abÛ`c+ 9abÛ`cÜ`-3abÛ`c =-2ab-3cÛ` ⑵ (4xyÝ`zÞ`-2xÜ`yà`zÜ`)Ö2xyÜ`zÛ`
= 4xyÝ`z2xyÜ`zÛ`Þ`- 2xÜ`yà`zÜ`2xyÜ`zÛ`=2yzÜ`-xÛ`yÝ`z ⑶ (25aÝ`bÞ`cß`-5aÜ`bÛ`c+10aß`bà`cá`)Ö(-5aÛ`bÞ`c)
= 25aÝ`b-5aÛ`bÞ`cÞ`cß`- 5aÜ`bÛ`c-5aÛ`bÞ`c+ 10aß`bà`cá`-5aÛ`bÞ`c
=-5aÛ`cÞ`+ a
bÜ`-2aÝ`bÛ`c¡`
c b a
39
다항식 f(x)를 2x+4로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R이므로 f(x) =(2x+4)Q(x)+R =2(x+2)Q(x)+R =(x+2)_2Q(x)+R 따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 몫은 2Q(x), 나머지는 R이다. 몫 : 2Q(x), 나머지 : R40
3 2 -5 -4 6 6 3 -3 2 1 -1 3 따라서 a=3, b=1, R=3이므로 a+b+R=7 741
⑴ ;3!; 3 -7 11 1 1 -2 3 3 -6 9 4 3xÜ`-7xÛ`+11x+1 ={x- 13 }(3xÛ`-6x+9)+4 ={x- 13 }_3(xÛ`-2x+3)+4 =(3x-1)(xÛ`-2x+3)+4 ∴ 몫: xÛ`-2x+3, 나머지: 4 ⑵ -1 1 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 ∴ 몫: xÝ`-xÜ`+xÛ`-x+1, 나머지: 0 ⑴ 몫 : xÛ`-2x+3, 나머지 : 4 ⑵ 몫 : xÝ`-xÜ`+xÛ`-x+1, 나머지 : 042
ㄱ. 주어진 등식의 우변을 전개하면 x+1=-3x-336
xÛ`+ x -3 2xÛ`-x+1`)
`2xÝ`+ xÜ`-6xÛ`+7x-5 2xÝ`- xÜ`+ xÛ` 2xÜ`-7xÛ`+7x 2xÜ`- xÛ`+ x -6xÛ`+6x-5 -6xÛ`+3x-3 3x-2 따라서 다항식 2xÝ`+xÜ`-6xÛ`+7x-5를 2xÛ`-x+1 로 나누었을 때의 몫은 xÛ`+x-3, 나머지는 3x-2이 므로 a=1, b=-3, c=3 ∴ a+b+c=1 137
x -1 xÛ`+x+1`)
`xÜ` -2x+1 xÜ`+xÛ`+ x -xÛ`-3x+1 -xÛ`- x-1 -2x+2 따라서 Q(x)=x-1, R(x)=-2x+2이므로 Q(3)+R(-1) =(3-1)+{-2×(-1)+2} =2+4=6 638
6xÝ`-xÜ`-16xÛ`+5x=A(3xÛ`-2x-4)+5x-8 A(3xÛ`-2x-4)=6xÝ`-xÜ`-16xÛ`+8 ∴ A=(6xÝ`-xÜ`-16xÛ`+8)Ö(3xÛ`-2x-4) 2xÛ`+x-2 3xÛ`-2x-4`)
`6xÝ`- xÜ`-16xÛ` +8 6xÝ`-4xÜ`- 8xÛ` 3xÜ`- 8xÛ` 3xÜ`- 2xÛ`-4x - 6xÛ`+4x+8 - 6xÛ`+4x+8 0 ∴ A=2xÛ`+x-2 2xÛ`+x-2확인체크 익히기
44
⑴ ① 계수비교법 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면 (a+b)x+a-2b=x-8 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+b=1, a-2b=-8 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=3 ② 수치대입법 양변에 x=-1을 대입하면 -3b=-9 ∴ b=3 양변에 x=2를 대입하면 3a=-6 ∴ a=-2 ⑵ ① 계수비교법 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면 (-2a-b)x-3a+b=3x+7 양변의 동류항의 계수를 비교하면 -2a-b=3, -3a+b=7 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=1 ② 수치대입법 양변에 x=- 32 을 대입하면 5 2 b=;2%; ∴ b=1 양변에 x=1을 대입하면 -5a=10 ∴ a=-2 풀이 참조45
주어진 등식의 우변을 전개한 후 x에 대하여 내림차순 으로 정리하면 xÜ`-2x+1=axÜ`+(b-a)xÛ`+(c-b)x-c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 1=a, 0=b-a, -2=c-b, 1=-c ∴ a=1, b=1, c=-1 a=1, b=1, c=-1 이 등식은 x=-1일 때에만 성립하므로 항등식이 아니다. ㄴ. 주어진 등식의 좌변을 전개하면 xÛ`-2x+1=xÛ`-2x+1 이 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하 므로 항등식이다. ㄷ. 주어진 등식의 우변을 전개하면 2x+5=2x+2+3 ∴ 2x+5=2x+5 이 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하 므로 항등식이다. ㄹ. 주어진 등식은 x=2일 때에만 성립하므로 항등식 이 아니다. ㅁ. 주어진 등식은 x=23 일 때에만 성립하므로 항등식 이 아니다. ㅂ. 주어진 등식의 좌변을 전개하면 xÛ`-3x+2=xÛ`-3x+2 이 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하 므로 항등식이다. 따라서 항등식인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅂ이다. ㄴ, ㄷ, ㅂ43
⑴ (a+1)x+b+2=0에서 a+1=0, b+2=0 ∴ a=-1, b=-2 ⑵ (a-1)xÛ`+(b+1)x+c=0에서 a-1=0, b+1=0, c=0 ∴ a=1, b=-1, c=0 ⑶ 2ax+3b=4x+9에서 2a=4, 3b=9 ∴ a=2, b=3 ⑷ (a+2)xÛ`+(b-3)x+4c=3xÛ`-2x+8에서 a+2=3, b-3=-2, 4c=8 ∴ a=1, b=1, c=2 ⑴ a=-1, b=-2 ⑵ a=1, b=-1, c=0 ⑶ a=2, b=3 ⑷ a=1, b=1, c=249
주어진 등식의 좌변을 x, y에 대하여 정리하면 (a+b)x+(a-b)y+2=3x-5y+c 이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 a+b=3, a-b=-5, 2=c ∴ a=-1, b=4, c=2 ∴ abc=-8 -850
xÜ`+axÛ`+bx-2를 xÛ`+2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 -3x+1이므로 xÜ`+axÛ`+bx-2 =(xÛ`+2x-3)Q(x)-3x+1 =(x+3)(x-1)Q(x)-3x+1 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-3을 대입하면 -27+9a-3b-2=10 ∴ 3a-b=13 yy ㉠ 양변에 x=1을 대입하면 1+a+b-2=-2 ∴ a+b=-1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-4 a=3, b=-451
xÜ`+ax-8을 xÛ`+4x+b로 나누었을 때의 몫을 x+q`(q는 상수)라 하면 나머지가 0이므로 xÜ`+ax-8 =(xÛ`+4x+b)(x+q) 우변을 전개하여 정리하면 xÜ`+ax-8=xÜ`+(q+4)xÛ`+(4q+b)x+bq 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계 수를 비교하면 0=q+4, a=4q+b, -8=bq ∴ q=-4, a=-14, b=2 a=-14, b=252
x-1로 나누는 조립제법을 몫에 대하여 연속으로 이 용하면 다음과 같다.46
xÜ`= a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2) +c(x-1)+d 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=1을 대입하면 1=d 양변에 x=2를 대입하면 8=c+d ∴ c=7 (∵ d=1 ) 양변에 x=3을 대입하면 27=2b+2c+d 2b=12 (∵ c=7, d=1 ) ∴ b=6 양변에 x=4를 대입하면 64=6a+6b+3c+d 6a=6 (∵ b=6, c=7, d=1 ) ∴ a=1 a=1, b=6, c=7, d=147
(x+1)(xÛ`-2)f(x)=xÝ`+axÛ`-b 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면 0=1+a-b yy ㉠ 양변에 xÛ`=2를 대입하면 0=4+2a-b yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-3, b=-2 ∴ a+b=-5 -548
주어진 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면 (x+y)k+(-2x-y)=4k+1 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 x+y=4, -2x-y=1 두 식을 연립하여 풀면 x=-5, y=9 x=-5, y=9확인체크 익히기
54
나머지정리에 의하여 구하는 나머지는 ⑴ f(1)=2_1Ü`-1Û`+1+1=3 ⑵ f(-2) =2_(-2)Ü`-(-2)Û`+(-2)+1 =-21 ⑶ f(3)=2_3Ü`-3Û`+3+1=49 ⑷ f(-3) =2_(-3)Ü`-(-3)Û`+(-3)+1 =-65 ⑴ 3 ⑵ -21 ⑶ 49 ⑷ -6555
나머지정리에 의하여 구하는 나머지는 ⑴ f {;2!;}=3_{;2!;}Û`-8_;2!;+1=-;4(; ⑵ f {-;3@;}=3_{-;3@;}Û`-8_{-;3@;}+1=:ª3£: ⑶ f {-;2#;}=3_{-;2#;}Û`-8_{-;2#;}+1=:¦4»: ⑷ f {;3$;}=3_{;3$;}Û`-8_;3$;+1=-:Á3£: ⑴ -;4(; ⑵ :ª3£: ⑶ :¦4»: ⑷ -:Á3£:56
⑴ f(-1)=0이므로 f(-1)=-2-3-k-4=0 ∴ k=-9 ⑵ f(2)=0이므로 f(2)=16-12+2k-4=0, 2k=0 ∴ k=0 ⑴ -9 ⑵ 057
나머지정리에 의하여 f(-3)=-36이므로 f(-3)=81-54+9a+3+6=-36 9a=-72 ∴ a=-8 따라서 f(x)=xÝ`+2xÜ`-8xÛ`-x+6을 x-2로 나누 었을 때의 나머지는 f(2)=16+16-32-2+6=4 4 1 1 0 2 4 1 1 3 1 1 1 3 7 1 2 1 1 2 5 1 1 3 ∴ xÜ`+2x+4 =(x-1)(xÛ`+x+3)+7 =(x-1){(x-1)(x+2)+5}+7 =(x-1)Û`(x+2)+5(x-1)+7 =(x-1)Û`{(x-1)_1+3}+5(x-1)+7 =(x-1)Ü`+3(x-1)Û`+5(x-1)+7 ∴ a=1, b=3, c=5, d=7 a=1, b=3, c=5, d=753
x-2로 나누는 조립제법을 몫에 대하여 연속으로 이 용하면 다음과 같다. 2 1 -4 3 -5 2 -4 -2 2 1 -2 -1 -7 2 0 2 1 0 -1 2 1 2 ∴ xÜ`-4xÛ`+3x-5 =(x-2)(xÛ`-2x-1)-7 =(x-2){(x-2)_x-1}-7 =(x-2)Û`_x-(x-2)-7 =(x-2)Û`{(x-2)_1+2}-(x-2)-7 =(x-2)Ü`+2(x-2)Û`-(x-2)-7 따라서 a=1, b=2, c=-1, d=-7이므로 a+b+c+d=-5 -5 다른풀이 주어진 등식의 양변에 x=3을 대입하면 3Ü`-4_3Û`+3_3-5 =a(3-2)Ü`+b(3-2)Û`+c(3-2)+d ∴ a+b+c+d=-53 f(1)=9 ∴ f(1)=3 (2x+1) f(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 5이 므로 -1_f(-1)=5 ∴ f(-1)=-5 f(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x) =(xÛ`-1)Q(x)+ax+b =(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면 f(1)=a+b=3 yy ㉠ f(-1)=-a+b=-5 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=-1 따라서 R(x)=4x-1이므로 R(-2)=4_(-2)-1=-9 -9
62
f(x)를 (x+1)Û`(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 f(x)=(x+1)Û`(x-3)Q(x)+axÛ`+bx+c f(x)를 (x+1)Û`으로 나누었을 때의 나머지가 2이므 로 axÛ`+bx+c를 (x+1)Û`으로 나누었을 때의 나머지 도 2이다. 즉, axÛ`+bx+c=a(x+1)Û`+2 yy ㉠ ∴ f(x)=(x+1)Û`(x-3)Q(x)+a(x+1)Û`+2 한편, f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 -14 이므로 `f(3)=16a+2=-14 ∴ a=-1 따라서 구하는 나머지는 ㉠에서 -1_(x+1)Û`+2=-xÛ`-2x+1 -xÛ`-2x+163
f(x)를 (xÛ`+1)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 `f(x)=(xÛ`+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c58
f(x)=3xÜ`+axÛ`+bx-1이라 하면 나머지정리에 의 하여 f { 23 }=1, f(-1)=-19 f {;3@;}=1에서 ;9*;+;9$;a+;3@;b-1=1 ∴ 2a+3b=5 yy ㉠ f(-1)=-19에서 -3+a-b-1=-19 ∴ a-b=-15 yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-8, b=7 a=-8, b=759
나머지정리에 의하여 f(-1)=2, g(-1)=-1 따라서 다항식 2 f(x)-3g(x)를 x+1로 나누었을 때 의 나머지는 2 f(-1)-3g(-1) =2_2-3_(-1) =7 760
다항식 f(x)를 xÛ`-4x-12로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면 f(x) =(xÛ`-4x-12)Q(x)+ax+b =(x+2)(x-6)Q(x)+ax+b yy ㉠ f(x)를 x+2, x-6으로 나누었을 때의 나머지가 각 각 6, -10이므로 나머지정리에 의하여 f(-2)=6, f(6)=-10 x=-2를 ㉠에 대입하면 f(-2)=-2a+b=6 yy ㉡ x=6을 ㉠에 대입하면 f(6)=6a+b=-10 yy ㉢ ㉡, ㉢ 을 연립하여 풀면 a=-2, b=2 따라서 구하는 나머지는 -2x+2이다. -2x+261
(x+2)f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 9이 므로확인체크 익히기
66
f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지 가 4이므로 f(x)=(x-3)Q(x)+4 yy ㉠ Q(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지가 2이므로 Q(x)=(x-2)Q'(x)+2 yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 `f(x) =(x-3){(x-2)Q'(x)+2}+4 =(x-3)(x-2)Q'(x)+2x-2 따라서 `xf(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 2 f(2)=2(2_2-2)=4 467
f(x)=2xÜ`-5xÛ`+ax+b라 하면 f(x)가 2x+1, x-1로 각각 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 f {-;2!;}=0, f(1)=0 f {-;2!;}=0에서 -;4!;-;4%;-;2!;a+b=0 ∴ a-2b=-3 yy ㉠ f(1)=0에서 2-5+a+b=0 ∴ a+b=3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2 ∴ a-b=-1 -168
f(x)=-xÝ`+axÛ`-2x+b라 하면 f(x)가 xÛ`-x-2, 즉 (x+1)(x-2)로 나누어떨어 지므로 f(x)는 x+1, x-2로 각각 나누어떨어진다. 따라서 인수정리에 의하여 f(-1)=0, f(2)=0 f(-1)=0에서 -1+a+2+b=0 ∴ a+b=-1 yy ㉠ f(2)=0에서 -16+4a-4+b=0 ∴ 4a+b=20 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=-8 f(x)를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지가 x+1이므로 axÛ`+bx+c를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지도 x+1 이다. 즉, R(x)=axÛ`+bx+c=a(xÛ`+1)+x+1 ∴ f(x)=(xÛ`+1)(x-1)Q(x)+a(xÛ`+1)+x+1 한편, f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 `f(1)=2a+2=4 ∴ a=1 따라서 R(x)=(xÛ`+1)+x+1=xÛ`+x+2이므로 R(-2)=4-2+2=4 464
f(3x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 f(3_1)=f(3) f(x)를 2xÛ`-5x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 4x-1이므로 f(x) =(2xÛ`-5x-3)Q(x)+4x-1 =(2x+1)(x-3)Q(x)+4x-1 yy ㉠ ㉠의 양변에 x=3을 대입하면 f(3)=4_3-1=11 11 다른풀이 ㉠에 x 대신 3x를 대입하면 f(3x) =(6x+1)(3x-3)Q(3x)+12x-1 =3(6x+1)(x-1)Q(3x)+12(x-1)+11 =(x-1){3(6x+1)Q(3x)+12}+11 따라서 f(3x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 11 이다.65
f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 나 머지정리에 의하여 f(2)=4 한편, xf(x-3)을 x-5로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면 xf(x-3)=(x-5)Q(x)+R 양변에 x=5를 대입하면 R=5f(2)=5_4=20 따라서 구하는 나머지는 20이다. 20⑹ 8aÜ`+bÜ`-1+6ab =(2a)Ü`+bÜ`+(-1)Ü`-3_2a_b_(-1) =(2a+b-1){(2a)Û`+bÛ`+(-1)Û`-2a_b -b_(-1)-(-1)_2a} =(2a+b-1)(4aÛ`+bÛ`-2ab+2a+b+1) ⑺ xÝ`+4xÛ`yÛ`+16yÝ` =xÝ`+xÛ`_(2y)Û`+(2y)Ý` ={xÛ`+x_2y+(2y)Û`}{xÛ`-x_2y+(2y)Û`} =(xÛ`+2xy+4yÛ`)(xÛ`-2xy+4yÛ`) 풀이참조
71
⑴ xÝ`+x =x(xÜ`+1) =x(x+1)(xÛ`-x+1) ⑵ xÝ`-yÝ` =(xÛ`)Û`-(yÛ`)Û` =(xÛ`+yÛ`)(xÛ`-yÛ`) =(xÛ`+yÛ`)(x+y)(x-y) ⑶ 3(4x-1)Û`-12 =3{(4x-1)Û`-4} =3{(4x-1)+2}{(4x-1)-2} =3(4x+1)(4x-3) ⑷ 9(a+b)Û`-cÛ` ={3(a+b)}Û`-cÛ` ={3(a+b)+c}{3(a+b)-c} =(3a+3b+c)(3a+3b-c) ⑸ xÜ`+64yÜ` =xÜ`+(4y)Ü` =(x+4y)(xÛ`-4xy+16yÛ`) ⑹ (a+b)Ü`-(a-b)Ü` = {(a+b)-(a-b)} _{ (a+b)Û`+(a+b)(a-b)+(a-b)Û`} =2b(3aÛ`+bÛ`) 풀이 참조72
⑴ (x+y)Û`-2(x+y)z+zÛ` ={(x+y)-z}Û` =(x+y-z)Û` 따라서 f(x)=-xÝ`+7xÛ`-2x-8을 x+3으로 나누 었을 때의 나머지는 f(-3)=-81+63+6-8=-20 -2069
⑴ 8xy+4xÛ`y=4xy(2+x) ⑵ (2a+b)Û`+6a+3b =(2a+b)Û`+3(2a+b) =(2a+b){(2a+b)+3} =(2a+b)(2a+b+3) ⑶ 4xÛ`+12xy+9yÛ` =(2x)Û`+2_2x_3y+(3y)Û` =(2x+3y)Û` ⑷ 9xÛ`-30xy+25yÛ` =(3x)Û`-2_3x_5y+(5y)Û` =(3x-5y)Û` ⑸ 16aÛ`-81bÛ` =(4a)Û`-(9b)Û` =(4a+9b)(4a-9b) ⑹ xÛ`+4x+3=(x+3)(x+1) ⑺ 3aÛ`-5ab-2bÛ`=(3a+b)(a-2b) 풀이참조70
⑴ xÜ`+6xÛ`+12x+8 =xÜ`+3_xÛ`_2+3_x_2Û`+2Ü` =(x+2)Ü` ⑵ 8xÜ`-12xÛ`y+6xyÛ`-yÜ` =(2x)Ü`-3_(2x)Û`_y+3_2x_yÛ`-yÜ` =(2x-y)Ü` ⑶ aÜ`+27bÜ` =aÜ`+(3b)Ü` =(a+3b){aÛ`-a_3b+(3b)Û`} =(a+3b)(aÛ`-3ab+9bÛ`) ⑷ 8xÜ`-yÜ` =(2x)Ü`-yÜ` =(2x-y){(2x)Û`+2x_y+yÛ`} =(2x-y)(4xÛ`+2xy+yÛ`) ⑸ aÛ`+4bÛ`+9cÛ`-4ab-12bc+6ca =aÛ`+(-2b)Û`+(3c)Û`+2_a_(-2b) +2_(-2b)_3c+2_3c_a =(a-2b+3c)Û`확인체크 익히기 ⑵ 상수항의 합이 같아지도록 식을 두 개씩 짝지으면 x(x+1)(x+2)(x+3)-15 ={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-15 =(xÛ`+3x)(xÛ`+3x+2)-15 =X(X+2)-15 Û xÛ`+3x=X로 치환 =XÛ`+2X-15 =(X+5)(X-3) =(xÛ`+3x+5)(xÛ`+3x-3) ⑶ (1-2x-xÛ`)(1-2x+3xÛ`)+4xÝ` =(X-xÛ`)(X+3xÛ`)+4xÝ` Û 1-2x=X로 치환 =XÛ`+2xÛ`X-3xÝ`+4xÝ` =XÛ`+2xÛ`X+xÝ` =(X+xÛ`)Û`=(1-2x+xÛ`)Û` ={(x-1)Û`}Û` =(x-1)Ý` ⑷ (xÛ`+4x+3)(xÛ`+12x+35)+15 =(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 ={(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15 =(xÛ`+8x+7)(xÛ`+8x+15)+15 =(X+7)(X+15)+15 Û xÛ`+8x=X로 치환 =XÛ`+22X+120 =(X+12)(X+10) =(xÛ`+8x+12)(xÛ`+8x+10) =(x+2)(x+6)(xÛ`+8x+10) 풀이 참조
75
⑴ xÛ`=X로 놓으면 xÝ`+xÛ`-6 =XÛ`+X-6 =(X+3)(X-2) =(xÛ`+3)(xÛ`-2) ⑵ xÛ`=X로 놓으면 xÝ`-13xÛ`+36 =XÛ`-13X+36 =(X-4)(X-9) =(xÛ`-4)(xÛ`-9) =(x+2)(x-2)(x+3)(x-3) ⑵ xÛ`+8x -(a-3)(a+5) 1` 111Ú 111Ú -(a-3) Ú -a+3 1 a+5 Ú a+5 8 ={x-(a-3)}{x+(a+5)} =(x-a+3)(x+a+5) ⑴ (x+y-z)Û` ⑵ (x-a+3)(x+a+5)73
⑴ aÜ`-abÛ`-bÛ`c+aÛ`c =(aÜ`-abÛ`)+(-bÛ`c+aÛ`c) =a(aÛ`-bÛ`)+c(aÛ`-bÛ`) =(aÛ`-bÛ`)(a+c) =(a+b)(a-b)(a+c) ⑵ xÜ`-2axÛ`+2x-4a =(xÜ`-2axÛ`)+(2x-4a) =xÛ`(x-2a)+2(x-2a) =(x-2a)(xÛ`+2) ⑶ 4xÛ`+4x+1-yÛ` =(2x+1)Û`-yÛ` =(2x+1+y)(2x+1-y) ⑷ 4ab+1-4aÛ`-bÛ` =1-(4aÛ`-4ab+bÛ`) =1-(2a-b)Û` =(1+2a-b)(1-2a+b) ⑸ aÜ`+9aÛ`+27a+27 =aÜ`+3_aÛ`_3+3_a_3Û`+3Ü` =(a+3)Ü` ⑹ 8xÜ`-36xÛ`y+54xyÛ`-27yÜ` =(2x)Ü`-3_(2x)Û`_3y+3_2x_(3y)Û`-(3y)Ü` =(2x-3y)Ü` 풀이 참조74
⑴ (xÛ`+x)Û`-13(xÛ`+x)+36 =XÛ`-13X+36 Û xÛ`+x=X로 치환 =(X-4)(X-9) =(xÛ`+x-4)(xÛ`+x-9)⑶ x에 대하여 내림차순으로 정리하면 3xÛ`+4xy+yÛ`-10x-4y+3 =3xÛ`+(4y-10)x+(yÛ`-4y+3) =3xÛ`+(4y-10)x+(y-1)(y-3) 3` 111112Ú 111112Ú y-1 Ú y-1 1 y-3 Ú 3y-9` 4y-10 =(3x+y-1)(x+y-3) ⑷ z에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÛ`-yÛ`+2yz+2xz+4x+2y+2z+3 =(2y+2x+2)z+xÛ`+4x-yÛ`+2y+3 =2(x+y+1)z+xÛ`+4x-(yÛ`-2y-3) = 2(x+y+1)z +{xÛ`+4x-(y+1)(y-3)} 1` 111Ú 111Ú y+1 Ú y+1 1 -(y-3) Ú -y+3 4 =2(x+y+1)z+(x+y+1)(x-y+3) =(x+y+1)(x-y+2z+3) 풀이 참조
78
⑴ f(x)=3xÜ`+7xÛ`-4라 하면 `f(-1)=0이므로 `f(x)는 x+1을 인수로 갖는다. 따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 -1 3 7 0 -4 -3 -4 4 3 4 -4 0 ∴ 3xÜ`+7xÛ`-4 =(x+1)(3xÛ`+4x-4) =(x+1)(x+2)(3x-2) ⑵ f(x)=xÝ`-3xÜ`+3x-1이라 하면 `f(1)=0, f(-1)=0이므로 f(x)는 x-1, x+1을 인수로 갖는다. ⑶ xÝ`+4 =(xÝ`+4xÛ`+4)-4xÛ` =(xÛ`+2)Û`-(2x)Û` =(xÛ`+2x+2)(xÛ`-2x+2) ⑷ xÝ`+5xÛ`+9 =(xÝ`+6xÛ`+9)-xÛ` =(xÛ`+3)Û`-xÛ` =(xÛ`+x+3)(xÛ`-x+3) 풀이참조 다른풀이 ⑵ 이차항을 분리하여 인수분해할 수도 있 다. 즉, xÝ`-13xÛ`+36 =(xÝ`-12xÛ`+36)-xÛ` =(xÛ`-6)Û`-xÛ` =(xÛ`+x-6)(xÛ`-x-6) =(x+3)(x-2)(x-3)(x+2)76
xÝ`+yÝ`-6xÛ`yÛ` =(xÝ`-2xÛ`yÛ`+yÝ`)-4xÛ`yÛ` =(xÛ`-yÛ`)Û`-(2xy)Û` =(xÛ`+2xy-yÛ`)(xÛ`-2xy-yÛ`) 따라서 a=2, b=-1, c=-1이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`=2Û`+(-1)Û`+(-1)Û`=6 677
⑴ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc = aÛ`b+abÛ`+bÛ`c+bcÛ`+cÛ`a+caÛ`+2abc = (b+c)aÛ`+(bÛ`+2bc+cÛ`)a+bÛ`c+bcÛ` =(b+c)aÛ`+(b+c)Û`a+bc(b+c) =(b+c){aÛ`+(b+c)a+bc} =(b+c)(a+b)(a+c) =(a+b)(b+c)(c+a) ⑵ x에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÛ`+xy-6yÛ`+x+13y-6 =xÛ`+(y+1)x-(6yÛ`-13y+6) =xÛ`+(y+1)x-(3y-2)(2y-3) 1` 111Ú 111Ú 3y-2 Ú 3y-2 1 -(2y-3) Ú -2y+3 y+1 ={x+(3y-2)}{x-(2y-3)} =(x+3y-2)(x-2y+3)확인체크 익히기 ⑶ 10Û`-12Û`+14Û`-16Û`+18Û`-20Û` =(10Û`-12Û`)+(14Û`-16Û`)+(18Û`-20Û`) =(10-12)(10+12)+(14-16)(14+16) +(18-20)(18+20) =-2_(22+30+38) =-2_90=-180 ⑴ ;7&7*; ⑵ 207 ⑶ -180
81
주어진 식을 인수분해하면 2xÛ`y-xÛ`+2xyÛ`+yÛ` =2xy(x+y)-(xÛ`-yÛ`) =2xy(x+y)-(x+y)(x-y) =(x+y){2xy-(x-y)} 이때 x+y=('3+1)+('3-1)=2'3 x-y=('3+1)-('3-1)=2 xy=('3+1)('3-1)=2 이므로 인수분해한 식에 각 값을 대입하면 (x+y){2xy-(x-y)} =2'3_(2_2-2) =4'3 4'382
aÛ`+ac-bÛ`-bc=0에서 aÛ`-bÛ`+ac-bc=0 (a+b)(a-b)+(a-b)c=0 (a-b)(a+b+c)=0 이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b+c>0 ∴ a=b 따라서 a=b인 이등변삼각형이다. ②83
aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0에서 (a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=0 ;2!;(a+b+c){(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0 따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 1 1 -3 0 3 -1 1 -2 -2 1 -1 1 -2 -2 1 0 -1 3 -1 1 -3 1 0 ∴ xÝ`-3xÜ`+3x-1 =(x-1)(x+1)(xÛ`-3x+1) ⑴ (x+1)(x+2)(3x-2) ⑵ (x-1)(x+1)(xÛ`-3x+1)79
f(x)=xÜ`-6xÛ`-ax-6이라 하면 f(x)가 x-2를 인수로 가지므로 f(2)=8-24-2a-6=0 ∴ a=-11 ∴ f(x)=xÜ`-6xÛ`+11x-6 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 2 1 -6 11 -6 2 -8 6 1 -4 3 0 ∴ f(x) =(x-2)(xÛ`-4x+3) =(x-1)(x-2)(x-3) (x-1)(x-2)(x-3)80
⑴ 78=x로 놓으면 78_79 78Û`-1 = x(x+1) xÛ`-1 = x(x+1) (x-1)(x+1) = xx-1 =78-1 =;7&7*;78 ⑵ 205=x로 놓으면 205Ü`+8 205_203+4 =x(x-2)+4xÜ`+8 =(x+2)(xÛ`-2x+4) xÛ`-2x+4 =x+2=205+2=207이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b+c>0 즉, (a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=0이므로 a-b=0, b-c=0, c-a=0 ∴ a=b=c 따라서 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 정삼각형 이다. 정삼각형의 둘레의 길이가 18이므로 a+b+c=3a=18 ∴ a=6 ∴ (삼각형의 넓이)= '4 _6Û`=9'3 3 9'3 KEY Point 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 ⇨ '34 aÛ`
확인체크 익히기
Ⅱ
.
방정식과 부등식84
⑴ 2-3i의 실수부분은 2, 허수부분은 -3이다. ⑵ 5i=0+5i이므로 5i의 실수부분은 0, 허수부분은 5이다. ⑶ '3-1=('3-1)+0i이므로 '3-1의 실수부분은 '3-1, 허수부분은 0이다. ⑷ i+4=4+1_i이므로 i+4의 실수부분은 4, 허수 부분은 1이다.⑸ 1+i3 =;3!;+;3!;i이므로 1+i3 의 실수부분은 ;3!;, 허 수부분은 ;3!;이다. ⑴ 실수부분 : 2, 허수부분 : -3 ⑵ 실수부분 : 0, 허수부분 : 5 ⑶ 실수부분 : '3-1, 허수부분 : 0 ⑷ 실수부분 : 4, 허수부분 : 1 ⑸ 실수부분 : 13 , 허수부분 : ;3!;
85
복소수가 서로 같으려면 실수부분과 허수부분이 각각 같아야 한다. ⑴ x=2, 2y=-4 ∴ x=2, y=-2 ⑵ 2x=4, y+3=5 ∴ x=2, y=2 ⑶ x-1=3, 2y-1=-1 ∴ x=4, y=0 ⑷ 2x+1=9, y-3=0 ∴ x=4, y=3 ⑸ x+y=-1, 2x-3y=8 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=-2 ⑴ x=2, y=-2 ⑵ x=2, y=2 ⑶ x=4, y=0 ⑷ x=4, y=3 ⑸ x=1, y=-286
⑴ Ä3-4i=3+4i ⑵ -5i=0-5i이므로 Ä-5i=5i ⑶ Ã-3+'2i=-3-'2i ⑷ 1+'5=(1+'5)+0i이므로 Ã1+'5=1+'5 ⑸ É;3@; i+;2!;=É;2!;+;3@;i=;2!;-;3@;i ⑴ 3+4i ⑵ 5i ⑶ -3-'2i ⑷ 1+'5 ⑸ ;2!;-;3@;i87
① i Û`=-1<0 ② 7=7+0i이므로 7의 허수부분은 0이다. ③ -4i=0-4i는 실수부분이 0, 허수부분이 -4이 므로 순허수이다. ④ 1+i는 실수부분이 1, 허수부분이 1이므로 순허수 가 아닌 허수이다. ⑤ a+(b-3)i에서 a=i, b=3이면 a+(b-3)i=i 즉, b=3이어도 실수가 아닐 수 있다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤88
순허수는 복소수 a+bi`(a, b는 실수)에서a=0, b+0인 꼴이므로 순허수인 것은 -9i, '3i이
다. -9i, '3i
89
⑴ 3i+(1-4i)=(0+1)+(3-4)i=1-i ⑵ (5-3i)+(2-7i) =(5+2)+(-3-7)i =7-10i ⑶ (4+3i)-(2-5i)=(4-2)+(3+5)i=2+8i ⑷ (-9-3i)-(5-2i) =(-9-5)+(-3+2)i =-14-i ⑴ 1-i ⑵ 7-10i ⑶ 2+8i ⑷ -14-i⑶ 1-i3 -(1-i)Û`1+i =1-i3 --2i1+i = 3(1+i)+2i(1-i)(1-i)(1+i) = 3+3i+2i-2i Û`
1-i Û` = 5+5i2 =;2%;+;2%; i ⑷ 1-3i2-i +(1+3i)Û`
=(1-3i)(2+i) (2-i)(2+i) +(1+6i+9i Û`) = 2+i-6i-3i Û` 4-i Û` +1+6i-9 = 5-5i5 -8+6i =1-i-8+6i=-7+5i ⑴ 13+7i ⑵ 4-6i ⑶ 52 +;2%; i ⑷ -7+5i
93
(1+i)xÛ`-3x+2-4i=(xÛ`-3x+2)+(xÛ`-4)i 이 복소수가 실수이려면 xÛ`-4=0 ∴ x=Ñ2 따라서 모든 실수 x의 값의 합은 2+(-2)=0 094
z =2(k+1)-k(1-i)Û` =2(k+1)-k(-2i) =2(k+1)+2ki yy ㉠ z가 순허수이므로 2(k+1)=0, 2k+0 2(k+1)=0에서 k=-1 2k+0에서 k+0 ∴ k=-1 따라서 ㉠에 k=-1을 대입하면 z=-2i -2i90
⑴ (1-i)(2+3i) =2+3i-2i-3i Û` =2+3i-2i+3=5+i ⑵ (-2+3i)(5-6i) =-10+12i+15i-18i Û` =-10+12i+15i+18 =8+27i ⑶ ('3-2i)('3+2i) =('3)Û`-(2i)Û` =3-4i Û`=3+4=7 ⑷ (1+2i)Û`=1+4i+4i Û`=1+4i-4=-3+4i ⑴ 5+i ⑵ 8+27i ⑶ 7 ⑷ -3+4i91
⑴ 2+3i1 =(2+3i)(2-3i)2-3i =4-9i Û`2-3i
= 2-3i13 =;1ª3;-;1£3; i
⑵ 4-5i1 =(4-5i)(4+5i)4+5i =16-25i Û`4+5i
= 4+5i41 =;4¢1;+;4°1; i
⑶ 1+i2-i =(1+i)(2+i)(2-i)(2+i)=2+i+2i+i Û`4-i Û`
= 1+3i5 =;5!;+;5#; i
⑷ 1+4i =8i (1+4i)(1-4i)8i(1-4i) =8i-32i Û`1-16i Û`
= 32+8i17 =;1#7@;+;1¥7; i
⑴ 213 -;1£3; i ⑵ ;4¢1;+;4°1; i
⑶ 15 +;5#; i ⑷ ;1#7@;+;1¥7; i
92
⑴ (7+5i)+Ä6-2i =(7+5i)+(6+2i) =7+5i+6+2i =13+7i
⑵ (2-i)Û`-i(2+i) =(4-4i+i Û`)-(2i+i Û`) =4-4i-1-2i+1 =4-6i
확인체크
익히기
⑶ x1+3i +1-3i =y 2+i 에서9 x(1-3i)+y(1+3i) (1+3i)(1-3i) = 9(2-i) (2+i)(2-i) x-3xi+y+3yi10 = 18-9i5 x+y10 +-3x+3y10 i= 185 -95 i 이때 x+y10 , -3x+3y10 는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x+y10 =185 , -3x+3y10 =- 95 두 식을 연립하여 풀면 x=21, y=15 ⑷ (4+i)x+(2-3i)yÓ=2-3i에서 (4x+2y)+(x-3y)iÓ=2-3i (4x+2y)-(x-3y)i=2-3i 이때 4x+2y, -(x-3y)는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 4x+2y=2, x-3y=3 두 식을 연립하여 풀면 x=;7^;, y=-;7%; ⑴ x=-1, y=-1 ⑵ x=4, y=-2 ⑶ x=21, y=15 ⑷ x=;7^;, y=-;7%;`
97
z=3+2'7i에서 2z=3+'7i ∴ 2z-3='7i 양변을 제곱하면 4zÛ`-12z+9=-7, 4zÛ`-12z+16=0 ∴ zÛ`-3z+4=0 ∴ zÜ`-2zÛ`+z-2 =z(zÛ`-3z+4)+zÛ`-3z-2 =z(zÛ`-3z+4)+(zÛ`-3z+4)-6 =z_0+0-6=-6 -695
z =(1+i)aÛ`-(1+3i)a+2(i-1) =(aÛ`-a-2)+(aÛ`-3a+2)i 이때 zÛ`<0이면 z는 순허수이므로 aÛ`-a-2=0, aÛ`-3a+2+0 Ú aÛ`-a-2=0에서 (a+1)(a-2)=0 ∴ a=-1 또는 a=2 Û aÛ`-3a+2+0에서 (a-1)(a-2)+0 ∴ a+1, a+2 Ú, Û에서 a=-1 -196
⑴ (2x+i)(3+2i)=-8+yi에서 6x+4xi+3i-2=-8+yi (6x-2)+(4x+3)i=-8+yi 이때 6x-2, 4x+3은 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 6x-2=-8, 4x+3=y ∴ x=-1, y=-1⑵ 1+ix +1-iy =1-3i에서 좌변을 통분하면 x 1+i+ y 1-i = x(1-i)+y(1+i) (1+i)(1-i) =x-xi+y+yi2 =x+y2 +-x+y2 i 이므로 주어진 등식은 x+y 2 +-x+y2 i=1-3i 이때 x+y2 , -x+y2 는 실수이므로 복소수가 서 로 같을 조건에 의하여 x+y2 =1, -x+y2 =-3 두 식을 연립하여 풀면 x=4, y=-2
102
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 z®=a-bi 이것을 iz+(1-i)z®=2i에 대입하면 i(a+bi)+(1-i)(a-bi)=2i ai-b+a-bi-ai-b=2i (a-2b)-bi=2i 이때 a-2b, -b는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a-2b=0, -b=2 ∴ a=-4, b=-2 따라서 z=-4-2i, z®=-4+2i이므로 z+z® =(-4-2i)+(-4+2i)=-8 -8
103
⑴ i ß`=i Ý`_i Û`=i Û`=-1
⑵ (-i)11=-i 11=-(i Ý`)Û`_i Ü`=-i Ü`=-(-i)=i ⑶ i 41=(i Ý`)10_i=i ⑷ (-i)800=i 800=(i Ý`)200=1 ⑸ i 100+i 200=(i 4)25+(i 4)50=1+1=2 ⑹ 1i +1 i Û`+ 1i Ü`+ 1i Ý` = 1i +-1 +1 -i1 +;1!; = 1i -1-1i +1=0 ⑴ -1 ⑵ i ⑶ i ⑷ 1 ⑸ 2 ⑹ 0
104
⑴ Ñ'¶-5=Ñ'5i ⑵ Ñ'Ä-10=Ñ'10i ⑶ Ñ'Ä-20=Ñ'20i=Ñ2'5i ⑷ Ñ'Ä-36=Ñ'36i=Ñ6i ⑴ Ñ'5i ⑵ Ñ'10i ⑶ Ñ2'5i ⑷ Ñ6i105
⑴ -5<0, -9<0이므로 '¶-5'¶-9=-"Ã(-5)_(-9)=-'45=-3'598
z=1-i에서 z-1=-i 양변을 제곱하면 zÛ`-2z+1=-1 ∴ zÛ`-2z+2=0 ∴ zÝ`-2zÜ`+3zÛ`-2z+1 =zÛ`(zÛ`-2z+2)+zÛ`-2z+1 =zÛ`(zÛ`-2z+2)+(zÛ`-2z+2)-1 =zÛ`_0+0-1=-1 -199
x+y= 1+'3i2 + 1-'3i2 =1 xy= 1+'3i2 _ 1-'3i2 =;4$;=1 ∴ x +y xy =xÛ`+yÛ`xy =(x+y)Û`-2xyxy = 1Û`-2_11 =-1 -1
100
aa®-ab®-a®b+bb® =a(a®-b®)-b(a®-b®) =(a-b)(a®-b®) =(a-b)(a-bÓ) =(4+'5i)(4-'5i) =16+5=21 21101
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 z®=a-bi z+z®=4에서 (a+bi)+(a-bi)=4 2a=4 ∴ a=2 yy ㉠ zz®=20에서 (a+bi)(a-bi)=20 aÛ`+bÛ`=20 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 4+bÛ`=20 bÛ`=16 ∴ b=Ñ4 따라서 구하는 복소수 z는 2+4i, 2-4i이다. 2+4i, 2-4i
확인체크 익히기
108
1 i +i Û`2+ 3i Ü`+ 4i Ý`+ y + 50i Þ`â` ={ 1i +2 i Û`+ 3i Ü`+ 4i Ý` }+{ 5i Þ`+ 6i ß`+ 7i à`+ 8i ¡` } + y +{ 45i 45+ 46i 46+ 47i 47+ 48i 48}+ 49i 49+ 50i 50 ={ 1i +-1 +2 -i +;1$;}+{3 5i +-1 +6 -i +;1*;}7 + y +{ 45i +-1 +46 -i +47 481 }+49i +-150 ={2- 2i}+{2-2i }+ y +{2- 2i }+49i -50 =12{2- 2i}+49i -50 =12(2+2i)-49i-50 =24+24i-49i-50 =-26-25i 따라서 a=-26, b=-25이므로 b-a=-25-(-26)=1 1109
⑴ (1-i)Û`=1-2i-1=-2i이므로 (1-i)Þ`ß` ={(1-i)Û`}Û`¡`=(-2i)Û`¡`=2Û`¡`i Û`¡` =2Û`¡`_(i Ý`)à`=2Û`¡`⑵ 1-i1+i=(1+i)(1-i)(1-i)Û` =-2i2 =-i이므로 { 1-i1+i }2018=(-i)2018=i Û2018
=(i Ý`)504_i Û`=i Û`
=-1 ⑶ {1+i
'2 }2`=2i2 =i, {1-i'2 }2`=-2i2 =-i이므로 {1+i'2 }100+{1-i'2 }100 =[{ 1+i'2 }2`]50+[{ 1-i'2 }2`]50 =i 50+(-i)50=i 50+i 50 =2i 50=2_(i Ý`)12_i Û` =2i Û`=-2 ⑴ 228 ⑵ -1 ⑶ -2 ⑵ '3'¶-6='3'6i='18i=3'2i ⑶ 12>0, -4<0이므로 '12'¶-4=-®É 12-4 =-'¶-3=-'3i ⑷ '¶-4 '¶-2= ''2i4i='2 ⑴ -3'5 ⑵ 3'2i ⑶ -'3i ⑷ '2 다른풀이 ⑴ '¶-5'¶-9 ='5i_'9i=-'45 =-3'5 ⑶ '12 '¶-4= ''4i12=22i'3= ' 3 i =-'3i
106
⑴ i+i Û`+i Ü`+i Ý`=i-1-i+1=0이므로 1+i+i Û`+i Ü`+ y +i 144
=1+(i+i Û`+i Ü`+i Ý`)+i Ý`(i+i Û`+i Ü`+i Ý`) + y +i 140(i+i Û`+i Ü`+i Ý`)
=1 ⑵ 1i +i Û`1+ 1i Ü`+ 1i Ý`= 1i -1-1i +1=0이므로 1 i +i Û`1+ 1i Ü`+ 1i Ý`+ y + 1i 2021 ={ 1i +i Û`1+ 1i Ü`+ 1i Ý` }+i Ý` {1 1i +i Û`1+ 1i Ü`+ 1i Ý` } + y + 1i 2016{ 1i +i Û`1+ 1i Ü`+ 1i Ý` }+ 1i 2021 = 1i 2021=(i Ý`)1505_i= 1i =-i ⑴ 1 ⑵ -i
107
i+2i Û`+3i Ü`+4i Ý`+ y +10i Ú`â`
=i-2-3i+4+5i-6-7i+8+9i-10 =(-2+4-6+8-10)+(1-3+5-7+9)i
|a|+"Ã(a-b)Û`-"bÛ` =a+(a-b)-(-b)
=2a 2a
114
'Äa-4'Ä1-a=-"Ã(a-4)(1-a)이므로 a-4<0, 1-a<0 또는 a-4=0 또는 1-a=0 Ú a-4<0, 1-a<0인 경우 a-1>0이므로 "Ã(a-4)Û`+|a-1| =-(a-4)+(a-1)=3 Û a-4=0, 즉 a=4인 경우 "Ã(a-4)Û`+|a-1|=0+3=3 Ü 1-a=0, 즉 a=1인 경우 "Ã(a-4)Û`+|a-1|=3 Ú ~ Ü 에서 "Ã(a-4)Û`+|a-1|=3 3 KEY Point
"ÅaÛ`=|a|=[ a¾0이면 aa<0이면 -a
115
⑴ 2xÛ`-6x=0에서 2x(x-3)=0 ∴ x=0 또는 x=3 ⑵ xÛ`-5x+6=0에서 (x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3 ⑶ 2xÛ`-x-3=0에서 (x+1)(2x-3)=0 ∴ x=-1 또는x=;2#; ⑷ 3xÛ`+5x-2=0에서 (x+2)(3x-1)=0 ∴ x=-2 또는x=;3!; ⑸ 4xÛ`-4x+1=0에서 (2x-1)Û`=0 ∴ x=;2!; (중근) ⑹ ;2!;xÛ`-;2#;x+1=0에서 xÛ`-3x+2=0 (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는x=2 풀이 참조110
zÛ`={ '21+i }2`=2i =2 1i =-i이므로 zÛ`+zÝ`+zß`+z¡`+zÚ`â` =zÛ`+(zÛ`)Û`+(zÛ`)Ü`+(zÛ`)Ý`+(zÛ`)Þ` =-i+(-i)Û`+(-i)Ü`+(-i)Ý`+(-i)Þ` =-i-1+i+1-i=-i -i111
1-i 1+i= (1-i)Û`(1+i)(1-i)= -2i2 =-i이므로 { 1-i1+i }2`=(-i)Û`=i Û`=-1
{ 1-i1+i }4`=[{ 1-i1+i }2`]2`=(-1)Û`=1 따라서 { 1-i 1+i }n`=1을 만족시키는 자연수 n의 값 중 가장 작은 값은 4이다. 4
112
⑴ '¶-4'¶-8+'3'¶-3+ '8 '¶-2 =-'32+'¶-9-®É 8-2 =-4'2+'9i-'¶-4 =-4'2+3i-2i=-4'2+i ⑵ 'Ä-20 '¶-5 +'¶-9'¶-4+ '81'¶-9 =®É -20-5 -'36-®É-981 ='4-6-'¶-9 =2-6-3i=-4-3i ⑴ -4'2+i ⑵ -4-3i113
0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 'a'b=-®;bA;이므로 a>0, b<0 ∴ a-b>0 따라서 |a|=a, "Ã(a-b)Û`=|a-b|=a-b, "bÛ`=|b|=-b이므로확인체크 익히기
118
주어진 방정식의 양변에 2-'3을 곱하면 (2-'3)(2+'3)xÛ`-(2-'3)(3+'3)x +2-'3=0 xÛ`-(3-'3)x+2-'3=0 (x-1){x-(2-'3)}=0 ∴ x=1 또는 x=2-'3 x=1 또는 x=2-'3119
x=1을 xÛ`+ax-3a+5=0에 대입하면 1+a-3a+5=0 ∴ a=3 a=3을 xÛ`+ax-3a+5=0에 대입하면 xÛ`+3x-4=0, (x+4)(x-1)=0 ∴ x=-4 또는 x=1 따라서 다른 한 근은 -4이므로 b=-4 ∴ a+b=3+(-4)=-1 -1120
x=3을 xÛ`-(a+2)x+2a=0에 대입하면 9-3(a+2)+2a=0 ∴ a=3 a=3을 xÛ`+ax-aÛ`-1=0에 대입하면 xÛ`+3x-10=0, (x+5)(x-2)=0 ∴ x=-5 또는 x=2 x=-5 또는 x=2121
⑴ xÛ`-2|x|-8=0에서 Ú x<0일 때, |x|=-x이므로 xÛ`+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2 그런데 x<0이므로 x=-4 Û x¾0일 때, |x|=x이므로 xÛ`-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=4 그런데 x¾0이므로 x=4 Ú, Û에서 x=-4 또는x=4116
⑴ 2xÛ`-7x+4=0에서 x=-(-7)Ñ"Ã(-7)Û`-4_2_42_2 =7Ñ4'17 ⑵ xÛ`-3x+4=0에서 x =-(-3)Ñ"Ã(-3)Û`-4_1_42_1 =3Ñ'¶-72 =3Ñ2'7i ⑶ 2xÛ`+x+1=0에서 x =-1Ñ"Ã1Û`-4_2_12_2 =-1Ñ4'¶-7 =-1Ñ4'7i ⑷ 3xÛ`+4x-2=0에서 x =-2Ñ"Ã2Û`-3_(-2)3 =-2Ñ3'10 ⑸ 3xÛ`-2x+1=0에서 x =-(-1)Ñ"Ã(-1)Û`-3_13 =1Ñ'¶-23 =1Ñ3'2i ⑹ 4xÛ`-2'3x-1=0에서 x =-(-'3)Ñ"Ã(-'3)Û`-4_(-1)4 = '3Ñ4'7 풀이 참조117
⑴ 3(x+1)Û`=x(x+2)에서 3xÛ`+6x+3=xÛ`+2x, 2xÛ`+4x+3=0 ∴ x=-2Ñ"Ã2Û`-2_32 =-2Ñ2'2i ⑵ 3xÛ`+25 -x= xÛ`-x2 에서 2(3xÛ`+2)-10x=5(xÛ`-x) 6xÛ`-10x+4=5xÛ`-5x xÛ`-5x+4=0, (x-1)(x-4)=0 ∴ x=1 또는 x=4 ⑴ x=-2Ñ2'2i ⑵ x=1 또는 x=4Ü x¾2일 때, |x-2|=x-2, |x|=x이므로 (x-2)+1=xÛ`-x xÛ`-2x+1=0, (x-1)Û`=0 ∴ x=1 (중근) 그런데 x¾2이므로 x=1은 해가 아니다. Ú ~ Ü에서 x=-3 또는 x='3 x=-3 또는 x='3
123
오른쪽 그림과 같이 처음 직각 Y Y 이등변삼각형의 밑변의 길이와 높이를 x라 하면 처음 직각이등 변삼각형의 넓이는 12 xÛ`이고 새 로 만든 삼각형의 넓이는 12 (x+3)(x+2)이다. 새로 만든 삼각형의 넓이가 처음 직각이등변삼각형의 넓이의 2배이므로 ;2!;(x+3)(x+2)=2_;2!;xÛ` xÛ`-5x-6=0, (x+1)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>0) 따라서 처음 직각이등변삼각형의 넓이는 ;2!;xÛ`=;2!;_6Û`=18 18124
길의 폭을 x m라 하면 길을 제외한 잔디밭의 넓이는 다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같다. N N YN YN YN YN YN YN 길을 제외한 잔디밭의 넓이가 144`mÛ`이므로 (20-x)(10-x)=144 xÛ`-30x+56=0, (x-2)(x-28)=0 ∴ x=2 (∵ 0<x<10) 따라서 길의 폭은 2`m이다. 2`m ⑵ xÛ`+|2x-1|=3에서 Ú x< 12일 때, |2x-1|=-(2x-1)이므로 xÛ`-(2x-1)=3, xÛ`-2x-2=0 ∴ x=1Ñ'3 그런데 x< 12 이므로 x=1-'3 Û x¾ 12일 때, |2x-1|=2x-1이므로 xÛ`+2x-1=3, xÛ`+2x-4=0 ∴ x=-1Ñ'5 그런데 x¾ 12 이므로 x=-1+'5` Ú, Û에서 x=1-'3 또는x=-1+'5 ⑶ xÛ`-3x-1=|x-2|에서 Ú x<2일 때, |x-2|=-(x-2)이므로 xÛ`-3x-1=-(x-2) xÛ`-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 그런데 x<2이므로 x=-1 Û x¾2일 때, |x-2|=x-2이므로 xÛ`-3x-1=x-2, xÛ`-4x+1=0 ∴ x=2Ñ'3 그런데 x¾2이므로 x=2+'3 Ú, Û에서 x=-1 또는x=2+'3 풀이참조122
|x-2|+1=xÛ`-"ÅxÛ` 에서 |x-2|+1=xÛ`-|x| Ú x<0일 때, |x-2|=-(x-2), |x|=-x이므로 -(x-2)+1=xÛ`+x xÛ`+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 그런데 x<0이므로 x=-3 Û 0Éx<2일 때, |x-2|=-(x-2), |x|=x이므로 -(x-2)+1=xÛ`-x xÛ`=3 ∴ x=Ñ'3 그런데 0Éx<2이므로 x='3확인체크 익히기
127
보기에 주어진 각 이차방정식의 판별식을 D라 하면 ㄱ. ;;4;D;=(-1)Û`-1_4=-3<0 ㄴ. ;;4;D;=(-2)Û`-1_(-5)=9>0 ㄷ. D=3Û`-4_2_4=-23<0 ㄹ. ;;4;D;=3Û`-9_1=0 ㅁ. D=(-1)Û`-4_;4!;_1=0 ㅂ. D=(-1)Û`-4_;3@;_;3!;=;9!;>0 ⑴ 실근을 가지면 D¾0이므로 ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ ⑵ 서로 다른 두 허근을 가지면 D<0이므로 ㄱ, ㄷ ⑴ ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ ⑵ ㄱ, ㄷ128
이차방정식 xÛ`+4x+a-3=0의 판별식을 D라 하면 ;;4;D;=2Û`-(a-3)=7-a ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로 ;;4;D;=7-a>0 ∴ a<7 ⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로 ;;4;D;=7-a=0 ∴ a=7 ⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로 ;;4;D;=7-a<0 ∴ a>7⑴ a<7 ⑵ a=7 ⑶ a>7
129
이차방정식 xÛ`+(2k-1)x+kÛ`-3=0의 판별식을 D라 하면 D=(2k-1)Û`-4(kÛ`-3)=-4k+13 ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로 D=-4k+13>0 ∴ k<:Á4£:125
⑴ [x]Û`-12[x]+32=0에서 ([x]-4)([x]-8)=0 ∴ [x]=4 또는 [x]=8 [x]=4에서 4Éx<5 [x]=8에서 8Éx<9 ∴ 4Éx<5 또는 8Éx<9 ⑵ Ú 1<x<2일 때, [x]=1이므로 xÛ`-1-3=0, xÛ`=4 ∴ x=Ñ2 그런데 1<x<2이므로 해가 없다. Û 2Éx<3일 때, [x]=2이므로 xÛ`-2-3=0, xÛ`=5 ∴ x=Ñ'5 그런데 2Éx<3이므로 x='5 Ú, Û에서 x='5 ⑴ 4Éx<5 또는 8Éx<9 ⑵ x='5126
주어진 각 이차방정식의 판별식을 D라 하면 ⑴ D=3Û`-4_1_(-2)=17>0 따라서 서로 다른 두 실근을 갖는다. ⑵ ;;4;D;=(-2)Û`-1_7=-3<0 따라서 서로 다른 두 허근을 갖는다. ⑶ ;;4;D;=6Û`-4_9=0 따라서 중근을 갖는다. ⑷ ;;4;D;=(-'3)Û`-1_3=0 따라서 중근을 갖는다. ⑸ 3xÛ`-4x-2=0이므로 ;;4;D;=(-2)Û`-3_(-2)=10>0 따라서 서로 다른 두 실근을 갖는다. ⑹ 2xÛ`+3x+5=0이므로 D=3Û`-4_2_5=-31<0 따라서 서로 다른 두 허근을 갖는다. 풀이참조주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 (k-2)xÛ`+2(2k-4)x+3k-2=0이 중근을 가져 야 하므로 판별식을 D라 할 때, ;;4;D;=(2k-4)Û`-(k-2)(3k-2)=0 kÛ`-8k+12=0, (k-2)(k-6)=0 ∴ k=2 또는 k=6 그런데 k+2이므로 k=6 6
134
⑴ a+b=-3 ⑵ ab=-2 ⑶ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab =(-3)Û`-2_(-2)=13 ⑷ 1a +b =1 a+bab =-3-2 =;2#; ⑴ -3 ⑵ -2 ⑶ 13 ⑷ ;2#;135
⑴ a+b=- -63 =2 ⑵ ab=;3@; ⑶ aÛ`-ab+bÛ` =(a+b)Û`-3ab =2Û`-3_ 23 =2 ⑷ ba +ab =aÛ`+bÛ`ab =(a+b)Û`-2abab =2Û`-2_;3@; ;3@; = ;3*; ;3@;=4 ⑴ 2 ⑵ 23 ⑶ 2 ⑷ 4136
⑴ xÛ`-(4+6)x+4_6=0 ∴ xÛ`-10x+24=0 ⑵ xÛ`-{5+(-2)}x+5_(-2)=0 ∴ xÛ`-3x-10=0 ⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로 D=-4k+13=0 ∴ k=:Á4£: ⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로 D=-4k+13<0 ∴ k>:Á4£: ⑴ k<:Á4£: ⑵ k=:Á4£: ⑶ k>:Á4£:130
이차방정식 xÛ`-2(k-1)x+kÛ`-5k+4=0이 실근 을 가지므로 판별식을 D라 하면 ;;4;D;=(k-1)Û`-(kÛ`-5k+4)¾0 3k-3¾0 ∴ k¾1 k¾1131
(k-1)xÛ`+2kx+k-1=0이 이차방정식이므로 k-1+0 ∴ k+1 yy ㉠ 이차방정식 (k-1)xÛ`+2kx+k-1=0이 서로 다른 두 실근을 가지므로 판별식을 D라 하면 ;;4;D;=kÛ`-(k-1)Û`>0 2k-1>0 ∴ k>;2!; yy ㉡ ㉠, ㉡에서 ;2!;<k<1 또는 k>1 ;2!;<k<1 또는 k>1132
이차방정식 xÛ`+2(k+a)x+kÛ`+6k+b=0이 중근 을 가지므로 판별식을 D라 하면 ;;4;D;=(k+a)Û`-(kÛ`+6k+b)=0 ∴ (2a-6)k+aÛ`-b=0 이 식이 k에 대한 항등식이므로2a-6=0, aÛ`-b=0 ∴ a=3, b=9
∴ a+b=12 12
133
주어진 식이 이차식이므로 k-2+0 ∴ k+2
확인체크 익히기 ⑷ a-1 +b b-1 =a b(b-1)+a(a-1) (a-1)(b-1) = aÛ`+bÛ`-a-bab-a-b+1 =(a+b)Û`-2ab-(a+b)ab-(a+b)+1 = 3Û`-2_4-34-3+1 =-22 =-1
⑸ aÛ` +b bÛ` =a aÜ`+bÜ`aÛ`bÛ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)(ab)Û` = 3Ü`-3_4_34Û` =-;1»6; ⑴ 12 ⑵ 5 ⑶ 11 ⑷ -1 ⑸ -169
140
이차방정식 xÛ`+4x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 a+b=-4, ab=-2 또한, 이차방정식에 두 근 a, b를 대입하면 aÛ`+4a-2=0, bÛ`+4b-2=0이므로 aÛ`=-4a+2, bÛ`=-4b+2 ∴ (aÛ`+a-1)(bÛ`+b-1) =(-4a+2+a-1)(-4b+2+b-1) =(-3a+1)(-3b+1) =9ab-3(a+b)+1 =9_(-2)-3_(-4)+1 =-5 -5141
이차방정식 axÛ`+2x+b=0의 두 근이 -1, 13 이므 로 근과 계수의 관계에 의하여 -1+;3!;=-;a@;, -1_;3!;=;aB; ∴ a=3, b=-1 따라서 이차방정식 bxÛ`+ax+a-b=0의 두 근의 곱은 a-b b =3-(-1)-1 =-4 -4 ⑶ xÛ`-(1-'5+1+'5)x+(1-'5)(1+'5)=0 ∴ xÛ`-2x-4=0 ⑷ xÛ`-(3+i+3-i)x+(3+i)(3-i)=0 ∴ xÛ`-6x+10=0 ⑴ xÛ`-10x+24=0 ⑵ xÛ`-3x-10=0 ⑶ xÛ`-2x-4=0 `⑷ xÛ`-6x+10=0137
두 근이 -7, -2이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 xÛ`-{(-7)+(-2)}x+(-7)_(-2)=0 ∴ xÛ`+9x+14=0 이때 xÛ`의 계수가 3이므로 각 항에 3을 곱하면 구하는 이차방정식은 3xÛ`+27x+42=0 3xÛ`+27x+42=0138
⑴ xÛ`-x-3=0에서 근의 공식에 의하여 x= 1Ñ'132 ∴ xÛ`-x-3={x- 1+'132 }{x- 1-'132 } ⑵ xÛ`+9=0에서 xÛ`=-9 ∴ x=Ñ3i ∴ xÛ`+9=(x-3i)(x+3i) ⑴ {x- 1+'132 }{x- 1-'132 } ⑵ (x-3i)(x+3i)139
이차방정식 xÛ`-3x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=4 ⑴ aÛ`b+abÛ`=ab(a+b)=4_3=12 ⑵ aÛ`+ab+bÛ`=(a+b)Û`-ab=3Û`-4=5 ⑶ (2a-1)(2b-1) =4ab-2(a+b)+1 =4_4-2_3+1=11다른풀이 xÛ`-(a+1)x+a=0에서 (x-1)(x-a)=0 ∴ x=1 또는 x=a 한 근이 다른 근의 3배이므로 1_3=a 또는 a_3=1 ∴ a=3 또는 a=;3!;
145
두 근의 비가 2`:`5이므로 두 근을 2a, 5a`(a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 2a+5a=7, 2a_5a=k ∴ a=1, k=10 따라서 이차방정식 xÛ`+kx-2k+3=0의 두 근의 곱은 -2k+3=-2_10+3=-17 -17146
이차방정식 2xÛ`-5x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 a+b=;2%;, ab=2 두 근 a+1, b+1의 합과 곱을 구하면 (a+1)+(b+1)=a+b+2=;2%;+2=;2(; (a+1)(b+1) =ab+a+b+1 =2+;2%;+1= 112 따라서 a+1, b+1을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 2 인 이차방정식은 2 {xÛ`-;2(;x+;;Á2Á;;}=0 ∴ 2xÛ`-9x+11=0 2xÛ`-9x+11=0147
이차방정식 xÛ`+5x+2=0의 두 근이 a, b이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 a+b=-5, ab=2 두 근 aÛ` , 1 bÛ` 의 합과 곱을 구하면1 1aÛ`+ 1bÛ` =aÛ`+bÛ`aÛ`bÛ` =(a+b)Û`-2ab(ab)Û` =(-5)Û`-2_2 2Û` =:ª4Á:
142
이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 a+b=-a, ab=b yy ㉠ 또, 이차방정식 xÛ`-ax-b=0의 두 근이 a-1, b-1 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 (a-1)+(b-1)=a, (a-1)(b-1)=-b ∴ a+b-2=a, ab-(a+b)+1=-b yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 -a-2=a, b+a+1=-b ∴ a=-1, b=0 a=-1, b=0143
두 근의 차가 4이므로 두 근을 a, a+4라 하면 근과 계 수의 관계에 의하여 a+(a+4)=k-2 yy ㉠ a(a+4)=k+2 yy ㉡ ㉠에서 a=;2K;-3을 ㉡에 대입하면 {;2K;-3}{;2K;+1}=k+2, (k-6)(k+2)=4(k+2) kÛ`-8k-20=0, (k+2)(k-10)=0 ∴ k=-2 또는 k=10 따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -2+10=8 8144
한 근이 다른 근의 3배이므로 두 근을 a, 3a`(a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+3a=a+1 yy ㉠, a_3a=a yy ㉡ ㉠에서 a= a+14 을 ㉡에 대입하면 a+1 4 _ 3(a+1) 4 =a 3(a+1)Û` 16 =a, 3(aÛ`+2a+1)=16a 3aÛ`-10a+3=0, (3a-1)(a-3)=0 ∴ a=;3!; 또는 a=3 ;3!;, 3확인체크 익히기 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 (1+'2)+(1-'2)=-a ∴ a=-2 (1+'2)(1-'2)=-b ∴ b=1 ∴ ab=-2 -2
151
이차방정식 xÛ`+6x+a=0에서 a, b가 실수이고 한 근이 b+'3i이므로 다른 한 근은 b-'3i이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 (b+'3i)+(b-'3i)=-6 ∴ b=-3 (b+'3i)(b-'3i)=a ∴ a=12 ∴ a+b=9 9152
11+2i =(1+2i)(1-2i)1-2i = 1-2i 5 =;5!;-;5@; i 이차방정식 5xÛ`+ax+b=0에서 a, b가 실수이고 한 근이 ;5!;-;5@; i이므로 다른 한 근은 15 +;5@; i이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 {;5!;-;5@; i}+{;5!;+;5@; i}=-;5A; yy ㉠ {;5!;-;5@; i}{;5!;+;5@; i}=;5B; yy ㉡ ㉠에서 ;5@;=-;5A; ∴ a=-2 ㉡에서 {;5!;}Û`-{;5@; i}Û`=;5B; ∴ b=1 a=-2, b=1을 이차방정식 axÛ`-5x-b=0에 대입 하면 -2xÛ`-5x-1=0 2xÛ`+5x+1=0 ∴ x= -5Ñ'174 x= -5Ñ'174
153
y =-3xÛ`+6kx-kÛ`-k-5 =-3(x-k)Û`+2kÛ`-k-5 이므로 이 함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (k, 2kÛ`-k-5) 1 aÛ` _bÛ` =1 (ab)Û`1 =;4!; 따라서 aÛ` , 1 bÛ` 을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 4인 1 이차방정식은 4{xÛ`-:ª4Á:x+;4!;}=0 ∴ 4xÛ`-21x+1=0 4xÛ`-21x+1=0148
⑴ 이차방정식 xÛ`+6x+4=0에서 근의 공식에 의하여 x=-3Ñ'5 ∴ xÛ`+6x+4 ={x-(-3+'5)}{x-(-3-'5)} =(x+3-'5)(x+3+'5) ⑵ 이차방정식 3xÛ`-2x+2=0에서 근의 공식에 의하여 x=1Ñ3'5i ∴ 3xÛ`-2x+2 = 3{x- 1+'5i3 }{x- 1-'5i3 } 풀이참조149
이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로 이차방정 식 f(2x-1)=0의 두 근은 2x-1=a 또는 2x-1=b ∴ x=a+12 또는 x=b+12 따라서 이차방정식 f(2x-1)=0의 두 근의 곱은 a+1 2 _b+12 =ab+(a+b)+14 = 4+3+14 =2 2150
이차방정식 xÛ`+ax-b=0에서 a, b가 유리수이고 한 근이 '2+1, 즉 1+'2이므로 다른 한 근은 1-'2이다.따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 -4, 2이다. ⑶ 이차방정식 -xÛ`+8x-16=0에서 xÛ`-8x+16=0, (x-4)Û`=0 ∴ x=4 (중근) 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 4이다. ⑴ -2, 0 ⑵ -4, 2 ⑶ 4
