1. 순 열 Ⅰ 순열과 조합
1 경우의 수
합의 법칙과 곱의 법칙 01
1.1.집합 , , 은 다음과 같다.
, ,
집합 에서 한 개의 원소를 선택하여 백의 자리의 수, 집합 에서 한 개의 원소를 선택하여 십의 자리의 수,
집합 에서 한 개의 원소를 선택하여 일의 자리의 수로 하는 세 자리 의 수를 만들 때, 각 자리의 수가 모두 다른 세 자리의 수의 개수는?
[3점][2005(나) 9월/평가원 8]
① ② ③
④ ⑤
2.2.그림은 어떤 학생이 작성한 수행평가 보고서의 표지이다.
머리말, 제목, 인적사항의 글꼴을 표에서 각각 한 개씩 선택하여 바꾸 려고 할 때, 글꼴이 모두 다른 경우의 수를 구하시오.
[3점][2006(가) 4월/교육청 23]
구분 글꼴
머리말 중고딕, 견고딕, 굴림체
제 목 중고딕, 견고딕, 굴림체, 신명조, 견명조, 바탕체 인적사항 신명조, 견명조, 바탕체
3.3.장미 송이, 카네이션 송이, 백합 송이가 있다. 이 중 송이를 골라 꽃병 A 에 꽂고, 이 꽃과는 다른 종류의 꽃들 중 꽃병 B 에 꽂을 꽃 송이를 고르는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의 꽃은 서로 구분하지 않는다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 26]
꽃병 A
꽃병 B
4.4.다항식 를 전개하였을 때 항의 개수는?
[3점][2005(나) 7월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
5.5.집합 에서 선택한 세 개의 원소 , , 이
을 만족시키는 경우의 수는? (단, ＜＜이다.) [3점][2006(나) 6월/평가원 9]
① ② ③
④ ⑤
6.6., , 으로 만들 수 있는 세 자리의 자연수는 개가 있다. 이 중 에서 다음 규칙을 만족시키는 세 자리의 자연수의 개수를 구하시오.
[3점][2005(가) 4월/교육청 19]
(가) 바로 다음에는 이다.
(나) 바로 다음에는 또는 이다.
(다) 바로 다음에는 , 또는 이다.
확률과 통계 1. 순 열
7.7.다음과 같이 액정의 고장으로 가로 선만 표시되는 전자계산기가 있 다.
수
정상 액정 고장난액정
<그림 >과 같이 액정에 표시된 두 자리 자연수 에 대하여 , , 의 버튼을 순서대로 눌렀더니 <그림 >와 같은 세 자릿수가 액정에 표시되었다.
<그림 >
<그림 >
이때, 가 될 수 있는 모든 수들의 합을 구하시오.
[4점][2007(가) 4월/교육청 20]
8.8.한 개의 주사위를 두 번 던져서 첫 번째 나온 눈의 수를 , 두 번째 나온 눈의 수를 라 하자.
,
라 할 때, 합성함수 ∘ 의 그래프가 축과 만나지 않는 경 우의 수는?
[3점][2006(가) 4월/교육청 7]
① ② ③
④ ⑤
2 순열
순열의 수 01
9.9. 을 한 번씩만 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연 수 중에서 일의 자리의 수와 백의 자리의 수가 모두 의 배수인 자연수 의 개수를 구하시오.
[3점][2005(나) 6월/평가원 21]
10.10.어느 회사에서 사원 연수를 위하여 네 지역 서울, 부산, 광주, 대구 에서 각각 명씩 모두 명의 사원을 선발하였다. 같은 지역에서 선발 된 사원끼리는 같은 조에 속하지 않도록 각 지역에서 한 명씩 선택하여
명으로 구성된 개의 조로 나누는 방법의 수는?
[3점][2006(가) 6월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
1. 순 열 Ⅰ 순열과 조합 특정 조건이 있는 순열
02
11.11.여학생 명과 남학생 명이 순서를 정하여 차례로 뜀틀 넘기를 할 때, 여학생 명이 연이어 뜀틀 넘기를 하게 되는 경우의 수는?
[3점][2006(나) 9월/평가원 6]
① ② ③
④ ⑤
12.12.남자 명과 여자 명이 한 줄로 서서 등산을 할 때, 남자가 양끝 에 서는 경우의 수는?
[3점][2010(나) 7월/교육청 4]
① ② ③
④ ⑤
13.13.두 인형 A B 에게 색이 정해지지 않은 셔츠와 바지를 모두 입힌 후, 입힌 옷의 색을 정하는 컴퓨터 게임이 있다. 서로 다른 모양의 셔츠 와 바지가 각각 개씩 있고, 각 옷의 색은 빨강과 초록 중 하나를 정한 다. 한 인형에게 입힌 셔츠와 바지는 다른 인형에게 입히지 않는다. A 인형의 셔츠와 바지의 색은 서로 다르게 정하고, B 인형의 셔츠와 바지 의 색도 서로 다르게 정한다. 이 게임에서 두 인형 A B 에게 셔츠와 바지를 입히고 색을 정할 때, 그 결과로 나타날 수 있는 경우의 수는?
[4점][2010(나) /수능 14]
① ② ③
④ ⑤
3 여러 가지 순열
01 중복순열
14.14.서로 다른 종류의 연필 자루를 명의 학생 A B C D 에게 남 김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)
[3점][2015(B) 6월/평가원 9]
① ② ③
④ ⑤
15.15.서로 다른 과일 개를 개의 그릇 A , B , C 에 남김없이 담으려고 할 때, 그릇 A 에는 과일 개만 담는 경우의 수는? (단, 과일을 하나도 담지 않은 그릇이 있을 수 있다.)
[4점][2016(가) 9월/평가원 19]
① ② ③
④ ⑤
확률과 통계 1. 순 열 사전식 배열
02
16.16.자연수 , , 으로 중복을 허용해서 자리의 수를 만들어 작은 수부터 차례대로 배열하였다.
번째 수를 ,
× 번째 수를 ,
× 번째 수를 ,
⋮
× 번째 수를
라 할 때, , , , ⋯ , 중에서 의 배수인 것의 개수는?
[4점][2006(가) 4월/교육청 14]
① ② ③
④ ⑤
17.17. 를 일렬로 배열하여 여섯 자리 자연수를 만들 때,
보다 큰 자연수의 개수를 구하시오.
[4점][2005(나) /수능(홀) 30]
18.18.각 자리의 수가 서로 다른 세 자리 자연수를 작은 수부터 차례로 나열할 때, 번째에 나열되는 수를 구하시오.
[3점][2005(나) 10월/교육청 22]
두 집단을 배열하는 순열 03
19.19.다음 그림의 빈칸에 장의 사진 A B C D E F 를 하나씩 배치 하여 사진첩의 한 면을 완성할 때, A 와 B 가 이웃하는 경우의 수는?
(단, 옆으로 이웃하는 경우만 이웃하는 것으로 한다.)
[4점][2009(나) 9월/평가원 28]
① ② ③
④ ⑤
20.20.그림과 같이 경계가 구분된 개 지역의 인구조사를 조사원 명이 담당하려고 한다. 명 중에서 명은 서로 이웃한 개 지역을, 나머지 명은 남은 개 지역을 각각 개씩 담당한다. 이 조사원 명의 담당 지 역을 정하는 경우의 수는? (단, 경계가 일부라도 닿은 두 지역은 서로 이웃한 지역으로 본다.)
[3점][2010(가) 9월/평가원 7]
① ② ③
④ ⑤
1. 순 열 Ⅰ 순열과 조합
21.21.할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 가족이 있다.
이 가족 명이 그림과 같은 개의 좌석에 모두 앉을 때, 할아버지, 할 머니가 같은 열에 이웃하여 앉고, 아버지, 어머니도 같은 열에 이웃하여 앉는 경우의 수를 구하시오.
[4점][2008(가) 9월/평가원 23]
22.22.할머니, 할아버지, 어머니, 아버지, 영희, 철수 모두 명의 가족이 자동차를 타고 여행을 가려고 한다. 이 자동차에는 앉을 수 있는 좌석이 그림과 같이 앞줄에 개, 가운데 줄에 개, 뒷줄에 개가 있다. 운전석 에는 아버지나 어머니만 앉을 수 있고, 영희와 철수는 가운데 줄에만 앉 을 수 있을 때, 가족 명이 모두 자동차의 좌석에 앉는 경우의 수를 구 하시오.
[4점][2007(가) 6월/평가원 25]
원탁에 둘러앉는 방법의 수 04
평면도형에서 색칠하는 방법의 수 05
23.23.그림과 같이 합동인 정삼각형 개와 합동인 등변사다리꼴 개로 이루어진 팔면체가 있다. 팔면체의 각 면에는 한 가지의 색을 칠한다고 할 때, 서로 다른 개의 색을 모두 사용하여 팔면체의 각 면을 칠하는 경우의 수는? (단, 팔면체를 회전시켰을 때 색의 배열이 일치하면 같은 경우로 생각한다.)
[4점][2010(가) 3월/교육청 15]
① ② ③
④ ⑤
24.24.그림과 같이 서로 접하고 크기가 같은 원 개와 이 세원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정삼각형이 있다. 원의 내부 또는 정삼각형의 내부에 만들어지는 개의 영역에 서로 다른 가지 색을 모두 사용하여 칠하 려고 한다. 한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)
[4점][2011(가) 6월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
확률과 통계 1. 순 열 같은 것이 있는 순열의 수
06
25.25.철수는 국가대표팀의 축구 경기를 시청하고 있었다. 그런데 우리나 라 국가대표팀이 전반전 경기를 으로 이기고 난 후 중간 휴식 시 간에 갑자기 철수네 집이 정전이 되어 후반전 경기를 시청할 수 없었다.
다음날 친구들로부터 후반전 경기까지 마친 결과 으로 우리나라 국가대표팀이 승리하였다는 사실을 알게 되었지만, 두 팀이 골을 넣은 순서는 알 수 없었다. 철수는 <표1>과 같은 표를 만들어 후반전 경기에 서 두 팀이 골을 넣어 가는 상황 중 한 가지를 <표2>와 같이 적어 보았 다.
구 분 국가
대표팀 상대팀
전반전
후반전
최종 득점
결과
<표1>
구 분 국가
대표팀 상대팀
전반전
후반전
최종 득점
결과
<표2>
이와 같이 철수가 <표1>의 어두운 부분을 완성할 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오.
[4점][2005(가) 7월/교육청 25]
26.26. 개의 문자 를 일렬로 나열할 때, 양쪽 끝에 는 서로 다른 문자가 오는 경우의 수를 구하시오.
[3점][2004(나) 10월/교육청 20]
순서가 정해진 경우의 순열 07
27.27.어느 회사원이 처리해야 할 업무는 A B 를 포함하여 모두 가지 이다. 이 중에서 A B 를 포함한 가지 업무를 오늘 처리하려고 하는 데, A 를 B 보다 먼저 처리해야 한다. 오늘 처리할 업무를 택하고, 택한 업무의 처리 순서를 정하는 경우의 수는?
[3점][2010(가) /수능 6]
① ② ③
④ ⑤
28.28.부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 가 적혀 있는 카드 는 가 적혀 있는 카드보다 왼쪽에 나열하고 홀수가 적혀 있는 카드는 작은 수부터 크기 순서로 왼쪽부터 나열하는 경우의 수는?
[3점][2013(B) 6월/평가원 5]
① ② ③
④ ⑤
29.29.개의 본사와 개의 지사로 이루어진 어느 회사의 본사로부터 각 지사까지의 거리가 표와 같다.
지사 가 나 다 라 마
거리(km )
본사에서 각 지사에 A , B , C , D , E 를 지사장으로 각각 발령할 때, A 보다 B 가 본사로부터 거리가 먼 지사의 지사장이 되도록 명을 발령하는 경우의 수는?
[4점][2010(나) 6월/평가원 28]
① ② ③
④ ⑤
1. 순 열 Ⅰ 순열과 조합 같은 것이 있는 순열의 활용
08
30.30.어떤 사회봉사센터에서는 다음과 같은 가지 봉사활동 프로그램을 매일 운영하고 있다.
프로그램 A B C D
봉사활동 시간 시간 시간 시간 시간
철수는 이 사회봉사센터에서 일간 매일 하나씩의 프로그램에 참여하여 다섯 번의 봉사활동 시간 합계가 시간이 되도록 아래와 같은 봉사활동 계획서를 작성하려고 한다. 작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수 는?
[4점][2009(가) /수능 15]
봉사활동 계획서
성명 :
참여일 참여프로그램 봉사활동시간
봉사활동시간 합계 시간
① ② ③
④ ⑤
31.31.어느 행사장에는 현수막을 개씩 설치할 수 있는 장소가 곳이 있 다. 현수막은 A B C 세 종류가 있고, A 는 개, B 는 개, C 는 개가 있다. 다음 조건을 만족시키도록 현수막 개를 택하여 곳을 설치 할 때, 그 결과로 나타날 수 있는 경우의 수는? (단, 같은 종류의 현수 막끼리는 구분하지 않는다.)
[3점][2011(가) /수능 6]
(가) A 는 반드시 설치한다.
(나) B 는 곳 이상 설치한다.
< 보 기 >
① ② ③
④ ⑤
32.32.을 한 개 이하 사용하여 만든 세 자리 자연수 중에서 각 자리의 수의 합이 인 자연수는 , , , , 이다. 을 한 개 이 하 사용하여 만든 다섯 자리 자연수 중에서 각 자리의 수의 합이 인 자연수의 개수를 구하시오.
[4점][2010(나) 6월/평가원 30]
33.33.갑, 을 두 사람이 어떤 게임을 해서 다음과 같은 규칙에 따라 사탕 을 갖는다고 한다.
(가) 이긴 사람은 개, 진 사람은 개의 사탕을 갖는다.
(나) 비기면 두 사람이 각각 개씩 사탕을 갖는다.
갑, 을 두 사람이 이 게임을 다섯 번 해서 개의 사탕을 개씩 나누 어 갖게 되는 경우의 수를 구하시오. (단, 사탕은 서로 구별되지 않는 다.)
[3점][2008(가) 10월/교육청 23]
확률과 통계 1. 순 열 최단 경로의 수
09
34.34.다음과 같이 정사각형을 가로 방향으로 등분하여 [도형]을 만들 고, 세로 방향으로 등분하여 [도형]를 만든다.
[도형]과 [도형]를 번갈아가며 계속 붙여 아래와 같은 도형을 만든 다. 그림과 같이 첫 번째 붙여진 [도형]의 왼쪽 맨 위 꼭짓점을 A 라 하고, [도형]의 개수와 [도형]의 개수를 합하여 개 붙여 만든 도형 의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 B이라 하자.
꼭짓점 A 에서 꼭짓점 B까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를
이라 할 때, 의 값은?
[4점][2008(가) 수능(홀) 14]
① ② ③
④ ⑤
35.35.그림과 같은 모양의 도로망이 있다. 지점 A 에서 지점 B 까지 도로 를 따라 최단 거리로 가는 경우의 수는? (단, 가로 방향 도로와 세로 방 향 도로는 각각 서로 평행하다.)
[4점][2007(가) 9월/평가원 12]
① ② ③
④ ⑤
순열 조합을 이용한 함수의 개수
10
2. 조 합 Ⅰ 순열과 조합
1 조합
조합의 수 01
36.36.등식 ×C ×P를 만족시키는 자연수 의 값을 구하시오.
[3점][2011(나) /수능 18]
37.37.어느 학교 동아리 회원은 학년이 명, 학년이 명이다. 이 동아 리에서 명을 뽑을 때, 학년에서 명, 학년에서 명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.
[3점][2016(가) 6월/평가원 24]
38.38.부와 부로 나누어 진행하는 어느 음악회에서 독창 팀, 중창 팀, 합창 팀이 모두 공연할 때, 다음 두 조건에 따라 팀의 공연 순서 를 정하려고 한다.
(가) 부에는 독창, 중창, 합창 순으로 팀이 공연한다.
(나) 부에는 독창, 중창, 합창, 합창 순으로 팀이 공연한다.
이 음악회의 공연 순서를 정하는 방법의 수는?
[3점][2008(나) /수능(홀) 9]
① ② ③
④ ⑤
39.39.어느 동아리에 속한 여학생 수와 남학생 수가 같다. 이 동아리에서
명의 대표를 선출하려고 한다. 남녀 구분 없이 명의 대표를 선출하는 경우의 수가 여학생 중에서 명의 대표를 선출하는 경우의 수의 배 일 때, 이 동아리에 속한 여학생 수는?
[3점][2007(나) 6월/평가원 12]
① ② ③
④ ⑤
40.40.A 지역에는 세 곳, B 지역에는 네 곳, C 지역에는 다섯 곳, D 지역 에는 여섯 곳의 관광지가 있다. 이 중에서 세 곳을 선택하여 관광하려고 할 때, 선택한 세 곳이 모두 같은 지역이 되는 경우의 수는?
[3점][2005(나) 6월/평가원 9]
① ② ③
④ ⑤
41.41.어느 지역의 개 야구팀 , , , , 는 매년 각 팀이 서로 다른 팀들과 각각 번씩 경기를 하여 승리한 경기 수가 많은 순서로 순 위를 결정하는 대회를 한다. 년 대회의 최종결과에서는 위부터 위 팀까지의 승리한 경기 수가 등차수열을 이루었다. 위 팀이 승리한 경기 수가 일 때, 위 팀이 승리한 경기 수는? (단, 모든 경기에서 무승부는 없다고 한다.)
[3점][2013(A) 7월/교육청 13]
① ② ③
④ ⑤
확률과 통계 2. 조 합
42.42. 부터 까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 다 음은 이 카드 중에서 동시에 3장을 선택할 때, 카드에 적힌 어느 두 수 도 연속하지 않는 경우의 수를 구하는 과정이다.
두 자연수 ( ≤ ≤ )에 대하여 부터 까지 자연 수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드에서 동시에 장을 선택할 때, 카드에 적힌 어느 두 수도 연속하지 않는 경우의 수를
이라 하자.
장의 카드에서 3장의 카드를 선택할 때, 가 적힌 카드가 선택되는 경우와 선택되지 않는 경우로 나누면 에 대하 여 다음 관계식을 얻을 수 있다.
가 ,
에 8이 적힌 카드가 선택되는 경우와 선택하지 않는 경 우로 나누어 적용하면
가 ,
이다. 이와 같은 방법을 계속 적용하면
이다. 여기서
나
이므로
다 이다.
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
[4점][2009(가) 9월/평가원 10]
(가) (나) (다)
① C
② C
③ C
④ C
⑤ C
분류를 통한 조합의 계산 02
43.43.지수는 다음 규칙에 따라 월요일부터 금요일까지 일 동안 하루에 한 가지씩 운동을 하는 계획을 세우려 한다.
(가) 일 중 일을 선택하여 요가를 한다.
(나) 요가를 하지 않는 일 중 하루를 선택하여 수영, 줄넘기 중 한 가지를 하고, 남은 하루는 농구, 축구 중 한 가지를 한다.
지수가 세울 수 있는 계획의 가짓수는?
① ② ③
④ ⑤
[3점][2010(나) 9월/평가원 27]
44.44. 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 장의 카드 중에 서 동시에 장의 카드를 선택하려고 한다. 선택한 카드에 적혀 있는 수 의 합이 짝수인 경우의 수는?
[4점][2016(가) 3월/교육청 17]
① ② ③
④ ⑤
45.45.서로 다른 종류의 체험 프로그램을 운영하는 어느 수련원이 있다.
이 수련원의 프로그램에 참가한 A 와 B 가 각각 종류의 체험 프로그램 중에서 종류를 선택하려고 한다. A 와 B 가 선택하는 종류의 체험 프 로그램 중에서 한 종류만 같은 경우의 수를 구하시오.
[4점][2008(가) /수능(홀) 25]
2. 조 합 Ⅰ 순열과 조합
46.46.한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 시트지 장, 빗변의 길이가
인 직각이등변삼각형 모양의 시트지 장이 있다. 정사각형 모양의 시트지의 색은 모두 노란색이고, 직각이등변삼각형 모양의 시트지의 색 은 모두 서로 다르다.[그림 1]과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 창문 네 개가 있 는 집이 있다. [그림 2]는 이 집의 창문 네 개에 장의 시트지를 빈틈없 이 붙인 경우의 예이다.
이 집의 창문 네 개에 시트지 장을 빈틈없이 붙이는 경우의 수는? (단, 붙이는 순서는 구분하지 않으며, 집의 외부에서만 시트지를 붙일 수 있 다.)
[4점][2016(가) 3월/교육청 15]
[그림 1] [그림 2]
① ② ③
④ ⑤
47.47.A , B 두 사람이 서로 다른 개의 동아리 중에서 개씩 가입하려 고 한다. A 와 B 가 공통으로 가입하는 동아리가 개 이하가 되도록 하는 경우의 수를 구하시오. (단, 가입 순서는 고려하지 않는다.)
[4점][2010(나) 6월/평가원 23]
적어도 ~의 조건을 포함하는 조합의 수 03
48.48.어떤 스키장에서 개장을 앞두고 안전관리요원 모집 공고를 했더니 남자 명, 여자 명이 지원하였다. 이들 지원자 중에서 명을 선발하려 고 한다. 남자 명, 여자 명을 선발하는 경우의 수를 , 적어도 여자
명을 선발하는 경우의 수를 , 특정한 명을 반드시 선발하는 경우의 수를 라 할 때, 의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?
[3점][2004(가) 11월/교육청(고2) 7]
① ＜ ＜ ② ＜ ＜ ③ ＜ ＜
④ ＜ ＜ ⑤ ＜ ＜
49.49.부터 까지 개의 자연수 중에서 서로 다른 세 수를 일렬로 나열 하여 세 자리의 자연수를 만들 때, 그 중 각 자리의 수의 곱이 의 배 수인 자연수의 개수는?
[3점][2008(가) 3월/교육청 7]
① ② ③
④ ⑤
뽑아서 나열하기 04
50.50. 대학교에서는 수시 입학 전형을 위한 입학사정관을 선정하기 위 하여 공모한 결과 남자 명과 여자 명이 응모하였다. 남녀 혼성으로 명의 입학사정관을 선정하여 가지 업무를 한 가지씩 명에게 모두 배 정하는 경우의 수는?
[4점][2009(나) 7월/교육청 16]
① ② ③
④ ⑤
확률과 통계 2. 조 합 배수에 관한 경우의 수
05
순서가 정해진 조합(올림수와 내림수) 06
조합을 이용한 도형의 개수 07
51.51.그림과 같이 점 C 에서 만나는 두 선분 AF , C I 위에 개의 점이 있다. 이 중 세 점을 꼭짓점으로 하 는 삼각형의 개수를 구하시오.
[3점][2005(나) 7월/교육청 20]
52.52.양의 정수 , 에 대하여 부등식 ＜ 를 만족 시키는 좌표평면 위의 점에서 임의로 세 점을 선택할 때, 이 세 점을 꼭 짓점으로 하는 삼각형의 개수를 구하시오.
[3점][2005(가) 4월/교육청 22]
2 중복조합
01 중복조합
53.53.다음 조건을 만족시키는 세 자연수 , , 의 모든 순서쌍
의 개수는?
[4점][2016(가) 7월/교육청 18]
(가) 세 수 , , 의 합은 짝수이다.
(나) ≤ ≤ ≤
① ② ③
④ ⑤
54.54.축구공, 농구공, 배구공 중에서 개의 공을 선택하는 방법의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 공은 개 이상씩 있고, 같은 종류의 공은 서 로 구별하지 않는다.)
[3점][2011(나) 10월/교육청 27]
55.55.검은 바둑돌 과 흰 바둑돌 을 일렬로 나열하였을 때 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은
A 형 B 형 C 형 D 형
으로 가지이다.
예를 들어, 개의 바둑돌을 A 형 번, B 형 번,
C 형 번, D 형 번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 아래와 같이 이다.
개의 바둑돌을 A 형 번, B 형 번, C 형 번, D 형
번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는? (단, 검은 바둑 돌과 흰 바둑돌은 각각 개 이상씩 있다.)
[4점][2015(B) 7월/교육청 21]
① ② ③
④ ⑤
2. 조 합 Ⅰ 순열과 조합 정수해의 개수
02
56.56.다음 조건을 만족시키는 네 자리 자연수의 개수는?
[4점][2015(B) 10월/교육청 18]
(가) 각 자리의 수의 합은 이다.
(나) 각 자리의 수는 모두 홀수이다.
① ② ③
④ ⑤
57.57.방정식 를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 순서 쌍 의 개수를 구하시오.
[3점][2012(가) 6월/평가원 25]
58.58.다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍
의 개수는?
[4점][2015(A) 9월/평가원 19]
(가)
(나) ≤
① ② ③
④ ⑤
59.59.연립방정식
을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , 의 모든 순서쌍
의 개수는?
[4점][2015(A) /수능 18]
① ② ③
④ ⑤
60.60.세 정수 , , 에 대하여
≤ ≤ ≤ ≤
를 만족시키는 모든 순서쌍 의 개수는?
[4점][2016(B) /수능 14]
① ② ③
④ ⑤
61.61.네 개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택 할 때, 세 수의 곱이 이하가 되도록 선택하는 경우의 수는?
[4점][2014(A) 9월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
62.62.다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , , 의 모든 순 서쌍 의 개수는?
[4점][2016(A) /수능 17]
(가) , , , , 중에서 의 개수는 이다.
(나)
① ② ③
④ ⑤
63.63.사과, 감, 배, 귤 네 종류의 과일 중에서 개를 선택하려고 한다.
사과는 개 이하를 선택하고, 감, 배, 귤은 각각 개 이상을 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 과일은 개 이상씩 있다.)
[4점][2016(가) 6월/평가원 27]
확률과 통계 2. 조 합
64.64.다음 조건을 만족시키는 자연수 , , 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하시오.
[4점][2015(B) /수능 26]
(가) × × 는 홀수이다.
(나) ≤ ≤ ≤
65.65.방정식 를 만족시키는 양의 정수 의 모든 순서쌍 의 개수는?
[4점][2016(나) 6월/평가원 14]
① ② ③
④ ⑤
66.66.다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍
의 개수는?
[4점][2014(B) 6월/평가원 20]
(가)
(나) 좌표평면에서 세 점 가 직선 위에 있지 않다.
① ② ③
④ ⑤
67.67.다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서 쌍 의 개수를 구하시오.
(가) (나) ≠
[4점][2015(B) 6월/평가원 27]
68.68.방정식 을 만족시키는 음이 아닌 정수 에 대하여 순서쌍 의 개수를 구하시오.
[3점][2011(가) 6월/평가원 22]
69.69.자연수 에 대하여 을 만족시키는 1보다 큰 자연수 , ,
의 순서쌍 의 개수가 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2014(B) 9월/평가원 26]
70.70.다음 조건을 만족시키는 이상의 자연수 의 모든 순서 쌍 의 개수를 구하시오.
[4점][2015(B) 9월/평가원 27]
(가)
(나) 는 모두 의 배수이다.
71.71.다음 조건을 만족시키는 자연수 , , , 의 모든 순서쌍 ,
, , 의 개수는?
[4점][2016(나) 7월/교육청 17]
(가) , , , 중에서 홀수의 개수는 이다.
(나)
① ② ③
④ ⑤
2. 조 합 Ⅰ 순열과 조합 나누어 주는 방법
03
72.72.서로 구별되지 않는 공 개를 A B C 명에게 남김없이 나누 어 주려고 한다. A 가 공을 개만 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구 하시오. (단, 개의 공도 받지 못하는 사람이 있을 수 있다.)
[3점][2015(A) 10월/교육청 24]
73.73.고구마피자, 새우피자, 불고기피자 중에서 개를 주문하는 경우의 수가 일 때, 고구마피자, 새우피자, 불고기피자를 적어도 하나씩 포함 하여 개를 주문하는 경우의 수는?
[3점][2013(B) 6월/평가원 10]
① ② ③
④ ⑤
74.74.흰색 탁구공 개와 주황색 탁구공 개를 명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 각 학생이 흰색 탁구공과 주황색 탁구공을 각각 한 개 이상 갖도록 나누어 주는 경우의 수는?
[4점][2014(A) /수능 18]
① ② ③
④ ⑤
75.75.어느 지역의 개 야구팀 , , , , 는 매년 각 팀이 서로 다른 팀들과 각각 번씩 경기를 하여 승리한 경기 수가 많은 순서로 순 위를 결정하는 대회를 한다. 어느 야구전문가는 각 팀의 전력을 분석하 여 내년 대회의 최종결과 중 우선 , 두 팀이 승리할 것으로 예상되 는 경기 수를 발표하였다. 그 발표를 바탕으로 나머지 세 팀의 결과를 예상하여 최종결과를 다음과 같이 표로 완성할 때, 만들 수 있는 서로 다른 순서쌍 의 개수는? (단, 모든 경기에서 무승부는 없다고 하며, 는 모두 이상의 자연수이다.)
[4점][2013(A) 7월/교육청 14]
팀 명
승리할 것으로
예상되는 경기 수
① ② ③
④ ⑤
76.76. 명의 학생에게 자루의 연필 모두를 나누어 주는 방법 중에서 연 필을 한 자루도 받지 못하는 학생이 생기는 경우의 수를 구하시오. (단, 연필은 서로 구별하지 않는다.)
[3점][2011(가) 10월/교육청 24]
77.77.같은 종류의 선물 개를 명의 학생에게 남김없이 나누어 줄 때,
명의 학생만 선물을 받는 경우의 수는? (단, 선물끼리는 서로 구별하 지 않는다.)
[3점][2013(A) 10월/교육청 10]
① ② ③
④ ⑤
확률과 통계 2. 조 합 함수의 개수
04
78.78. ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 을 만족시키는 자연수 , , , 의 모 든 순서쌍 의 개수는?
[3점][2013(A) 9월/평가원 10]
① ② ③
④ ⑤
79.79.집합 에서 집합 로의 함수
중 다음 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하시오.
[3점][2011(가) 7월/교육청 27]
(가)
(나) 집합 의 임의의 두 원소 , 에 대하여
이면 ≤
3 분할
집합의 분할 01
80.80.집합의 분할의 수 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 7월/교육청 24]
분할 및 분배의 수 02
81.81.체력단련장에서 사용하는 운동기구에는 그림과 같이 운동 관련 정 보 안내 화면이 개 있다. 한 화면이 최소 가지, 최대 가지의 정보 를 동시에 보여줄 수 있다. 다섯 가지 정보인 속도, 거리, 시간, 심장박 동 수, 칼로리 소모량을 동시에 모두 보여줄 수 있는 방법의 수는? (단, 한 화면에서 두 정보의 위치는 고려하지 않는다.)
[3점][2010(나) 7월/교육청 26]
① ② ③
④ ⑤
82.82.서로 다른 개의 공을 두 바구니 A B 에 개씩 담을 때, 그 결과 로 나올 수 있는 경우의 수를 구하시오.
[3점][2011(나) /수능 20]
2. 조 합 Ⅰ 순열과 조합 자연수의 분할
03
83.83.자연수 을 세 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는?
[3점][2016(가) 4월/교육청 6]
① ② ③
④ ⑤
84.84.같은 종류의 접시 개에 같은 종류의 쿠키 개를 남김없이 나누 어 담을 때, 빈 접시가 없도록 담는 모든 방법의 수는?
[3점][2016(나) 7월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
85.85.자연수 을 짝수 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는?
[3점][2016(가) 6월/평가원 8]
① ② ③
④ ⑤
4 이항정리
의 전개식 01
86.86.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[3점][2016(가) 7월/교육청 22]
87.87.다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 계 수는? (단, 는 상수이다.)
[3점][2012(나) /수능 8]
① ② ③
④ ⑤
88.88.다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
[3점][2014(A) 7월/교육청 23]
89.89.다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
[3점][2016(가) 4월/교육청 22]
확률과 통계 2. 조 합
90.90.다항식 의 전개식에서 의 계수와 의 계수가 같을 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 양수이다.)
[4점][2011(나) 9월/평가원 27]
91.91. 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
[3점][2013(A) 7월/교육청 25]
92.92.다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 자연수 의 값을 구하시오.
[3점][2010(나) /수능 19]
93.93. 의 전개식에서 세 항 , , 의 계수가 이 순서로 등 비수열을 이룰 때, 상수 의 값은? (단, ≠ )
[3점][2010(가) 3월/교육청 26]
①
②
③
④
⑤
94.94.다항식 의 전개식에서 의 계수가 의 계수의 배일 때, 양의 상수 의 값을 구하시오.
[3점][2007(나) 9월/평가원 22]
95.95.다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2007(나) 6월/평가원 20]
96.96.다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 계수 를 구하시오. (단, 는 상수이다.)
[4점][2006(나) 9월/평가원 30]
97.97.다항식 의 전개식에서 의 계수와 상수항의 합이 일 때, 양의 상수 의 값은?
[3점][2007(나) /수능(홀) 7]
① ② ③
④ ⑤
2. 조 합 Ⅰ 순열과 조합
의 전개식
02
98.98.
의 전개식에서 의 계수는?[3점][2013(A) 10월/교육청 6]
① ② ③
④ ⑤
99.99.
의 전개식에서 상수항을 구하시오.[3점][2013(B) 7월/교육청 23]
100.100.
의 전개식에서 의 계수는?[3점][2016(가) 6월/평가원 6]
①
②
③
④
⑤
101.101.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[3점][2012(가) 7월/교육청 22]
102.102.
의 전개식에서 의 계수는?
[4점][2009(나) /수능 9]
① ② ③
④ ⑤
103.103.
의 전개식에서 상수항을 구하시오.[3점][2010(나) 6월/평가원 19]
104.104. 이 이상의 자연수일 때, 에 대한 다항식
의 전개식에서 의 계수를 이라 하자.
lim
→ ∞
의 값을 구하시오.
[4점][2013(A) 9월/평가원 26]
105.105.
C
의 값을 구하시오.[3점][2010(가) 4월/교육청 18]
확률과 통계 2. 조 합
106.106.
의 전개식에서 의 계수는?[3점][2008(나) /수능(홀) 7]
① ② ③
④ ⑤
107.107.
을 전개한 식에서 항의 계수는?
[4점][2006(나) 10월/교육청 12]
① ② ③
④ ⑤
108.108.
의 전개식에서 상수항이 존재하도록 하는 모든 자연 수 의 값의 합은?[3점][2008(나) 10월/교육청 7]
① ② ③
④ ⑤
109.109.
의 전개식에서 상수항을 구하시오.[3점][2010(나) 7월/교육청 20]
다항식끼리의 곱에서 항의 개수 03
110.110.다항식 의 전개식에서 의 계수는?
[3점][2005(나) 9월/평가원 6]
① ② ③
④ ⑤
111.111.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[3점][2008(가) 11월/교육청(고2) 24]
112.112.다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
[3점][2008(나) 9월/평가원 21]
2. 조 합 Ⅰ 순열과 조합
113.113.다음은 이 이상의 자연수일 때
C의 값을 구하는 과정이다.두 다항식의 곱
⋯ ⋯ 에서 의 계수는 ⋯ ⋯⋯ ＊ 이다.
등식 의 좌변에서 의 계 수는 (가) 이고, ＊ 을 이용하여 우변에서 의 계수를 구하면
C × (나) )이다.
따라서 (가)
C × (나) ) 이다.
한편 ≤ ≤ 일 때, ×C × C 이므로
C
× C × (나) )
×
C × (나) ) (다) 이다.
< 증 명 >
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
[4점][2009(가) 6월/평가원 15]
(가) (나) (다)
① C C
×C
② C C
×C
③ C C
×C
④ C C ×C
⑤ C C ×C
이항계수의 성질 04
114.114.자연수 에 대하여
CCC⋯C
일 때, 의 값을 구하시오.[4점][2005(가) 9월/평가원 25]
115.115.동주는 개의 서로 다른 알사탕과 개의 똑같은 박하사탕을 가 지고 있다. 이 중에서 개를 택하여 진서에게 주는 방법의 수를 구하시 오.
[3점][2007(가) 3월/교육청 21]
116.116.자연수 에 대하여
C
일 때, log 을 만족시키는 의 최솟값은? (단, log 로 계산한다.)[3점][2016(가) 3월/교육청 10]
① ② ③
④ ⑤
확률과 통계 1. 확률의 뜻과 활용
1 확률의 뜻
수학적 확률 01
117.117.부터 까지의 자연수가 하나씩 적힌 개의 구슬이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼내어 그 구슬에 적힌 수를 이라 할 때, 직선 과 포물선
이
만나도록 하는 수가 적힌 구슬을 꺼낼 확률은?
[4점][2007(가) 6월/평가원 10]
①
②
③
④
⑤
118.118.서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 두 눈의 수의 곱 이 짝수일 때, 나온 두 눈의 수의 합이 또는 일 확률은?
[3점][2008(나) 10월/교육청 5]
①
②
③
④
⑤
119.119.한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 라 하자. 이차함수 에 대하여 이 성립 할 확률은?
[4점][2016(가) 6월/평가원 14]
①
②
③
④
⑤
120.120.각 면에 의 숫자가 하나씩 적혀있는 정육면체 모양의 상자를 던져 윗면에 적힌 수를 읽기로 한다. 이 상자를 번 던 질 때, 첫 번째와 두 번째 나온 수의 합이 이고 세 번째 나온 수가 홀 수일 확률은?
[4점][2010(나) /수능 29]
①
②
③
④
⑤
순열을 이용한 확률 02
121.121.키가 서로 다른 네 사람이 있다. 이들을 일렬로 세울 때, 앞에서 세 번째 사람이 자신과 이웃한 두 사람보다 키가 작을 확률은?
[3점][2005(가) /수능(홀) 9]
①
②
③
④
⑤
122.122.BANANA 의 개의 문자 B A N A N A 를 일렬로 나열할 때, 두 개의 N 이 서로 이웃할 확률은?
[3점][2007(가) 3월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
123.123.어느 여객선의 좌석이 구역에 개, B 구역에 개, C 구역에 개 남아 있다. 남아 있는 좌석을 남자 승객 명과 여자 승객 명에게 임의로 배정할 때, 남자 승객 명이 모두 구역에 배정될 확률을 라 하자. 의 값을 구하시오.
[3점][2010(나) 9월/평가원 22]
1. 확률의 뜻과 활용 Ⅱ 확률
124.124.각 면에 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 던져서 밑 면에 적힌 숫자가 이면 오른쪽 그림의 영역 A 에, 숫자가 이면 영역 B 에 색을 칠하기로 하였다. 두 영역에 색이 모두 칠해질 때까지 이 상자를 계속 던 질 때, 번째에 마칠 확률을
라 하자.
의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2006(가) /수능(홀) 23]
125.125.그림과 같이 개의 자리가 있는 일자형의 놀이기구에 명이 타 려고 할 때, 명이 어느 누구와도 서로 이웃하지 않게 탈 확률은?
[4점][2013(B) 7월/교육청 17]
①
②
③
④
⑤
수형도를 이용한 확률 03
조합을 이용한 확률 04
126.126.주머니 속에 개의 흰 바둑돌과 개의 검은 바둑돌이 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 바둑돌을 동시에 꺼낼 때, 개 모두 검은 바 둑돌일 확률이
이다. 이때, 자연수 의 값은?
[3점][2011(나) 10월/교육청 8]
① ② ③
④ ⑤
127.127.흰 공 개, 노란 공 개, 파란 공 개가 들어 있는 주머니가 있 다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공의 색깔이 모 두 다를 확률은? (단, 모든 공의 크기와 모양은 같다.)
[3점][2007(나) 9월/평가원 27]
①
②
③
④
⑤
128.128.두 주머니 A 와 B 에는 숫자 가 하나씩 적혀 있는 장 의 카드가 각각 들어 있다. 갑은 주머니 A 에서, 을은 주머니 B 에서 각 자 임의로 두 장의 카드를 꺼내어 가진다. 갑이 가진 두 장의 카드에 적 힌 수의 합과 을이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 같을 확률은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.) [4점][2017(가) /수능 26]
확률과 통계 1. 확률의 뜻과 활용
129.129.주머니 속에 ‘대’, ‘한’, ‘민’, ‘국’의 글자가 각각 하나씩 적힌 장 의 카드가 있다. 이 중에서 임의로 장의 카드를 꺼낼 때, 카드에 적힌 글자가 ‘한’과 ‘국’일 확률은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[3점][2013(A) 10월/교육청 25]
130.130.주머니 안에 , , , 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 장의 카드 가 있다. 주머니에서 갑이 장의 카드를 임의로 뽑고 을이 남은 장의 카드 중에서 장의 카드를 임의로 뽑을 때, 갑이 뽑은 장의 카드에 적 힌 수의 곱이 을이 뽑은 카드에 적힌 수보다 작을 확률은?
[3점][2012(나) 9월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
131.131.다음 조건을 만족하는 상자가 ( ≥ )개 있다.
[상자] 흰 구슬 개, 검은 구슬 개 [상자] 흰 구슬 개, 검은 구슬 개 [상자] 흰 구슬 개, 검은 구슬 개 ⋮
[상자] 흰 구슬 개, 검은 구슬 개
개의 상자에서 임의로 한 상자를 택하여 개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 모두 흰 구슬이 나올 확률을 P이라 하자. P의 값은?
[4점][2009(가) 7월/교육청 12]
①
②
③
④
⑤
132.132.대표 명, 부대표 명, 부원 명인 어느 모임에서 대표 명은 각자 나머지 명과 모두 악수를 하였다. 그리고 부대표 명은 각자 나 머지 명의 부원과 모두 악수를 하였다.
이 모임의 명 중 임의로 명을 택했을 때, 명이 모두 서로 악 수를 나눈 사람일 확률은?
[3점][2006(가) 3월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
133.133.주머니에 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어 임의로 일 렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에 적혀있는 수를 라 할 때, ≤ ≤ ≤ 일 확률은?
[4점][2015(B) 9월/평가원 15]
①
②
③
④
⑤
1. 확률의 뜻과 활용 Ⅱ 확률
134.134. 개의 수 ⋯ 이 오른쪽 표 와 같이 배열되어 있다. 각 행에서 한 개씩 임의 로 선택한 세 수의 곱을 으로 나눈 나머지가 이 될 확률은?
[4점][2006(가) 9월/평가원 17]
①
②
③
④
⑤
135.135.남자 탁구 선수 명과 여자 탁구 선수 명이 참가한 탁구 시합에 서 임의로 명씩 개의 조를 만들 때, 남자 명과 여자 명으로 이루 어진 조가 개일 확률은?
[3점][2011(가) /수능 32]
①
②
③
④
⑤
도형의 조합을 이용한 확률 05
136.136.좌표평면에서 원 위에 있는 개의 점 P , P
, P
, P ,P
, P , P
에서 임의로 세 점을 선택할 때, 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 직각삼각형일 확률은?
[4점][2004(가) 9월/평가원 13]
①
②
③
④
⑤
137.137.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사 각형 개를 붙여놓은 도형이 있다. 개의 꼭짓점 중에서 임의의 두 점을 연결한 선분의 길이가 무리수일 확률이
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수 이다.)
[3점][2006(가) 10월/교육청 19]
138.138.밑면이 정오각형인 오각기둥 ABCD E FG HIJ 의 개의 꼭짓 점 중 임의로 개를 택하여 삼각형을 만들 때, 이 삼각형의 어떤 변도 오각기둥 ABCD E FG HIJ 의 모서리가 아닐 확률은?
[4점][2016(가) 10월/교육청 17]
①
②
③
④
⑤
