2013학년도(2012년 실시) 수학Ⅰ 수능완성

(1)

(2)

차 . 례

이 책의

C

o n t e n t s

01 행렬과 그 연산 임미선, 심성아 4 02 역행렬과 연립일차방정식 임미선, 심성아 11 03 그래프와 행렬 임미선, 심성아 18 대단원 마무리 임미선, 심성아 23 04 지수 김용경, 심성아 27 05 지수함수 한명주, 심성아 34 06 로그 한명주, 심성아 41 07 로그함수 한명주, 심성아 48 대단원 마무리 한명주, 심성아 55 08 등차수열과 등비수열 선미향, 심성아 59 09 여러 가지 수열 선미향, 심성아 66 10 수학적 귀납법과 순서도 선미향, 심성아 73 대단원 마무리 선미향, 심성아 82 11 무한수열의 극한 김용경, 심성아 86 12 무한급수 김용경, 심성아 93 대단원 마무리 김용경, 심성아 100 단원명 집필자 페이지

(3)

구 . 성 . 및 . 활 . 용 . 법

이 책의

S

t r u c t u r e

●EBSi홈페이지(www.ebsi.co.kr)로 들어오셔서 회원으로 등록하세요. ●본 교재의 방송 내용은 EBSi 홈페이지를 통해 다시 보실 수 있습니다. (VOD 무료 서비스 실시) 1. 개념 설명 단원별로 주요 개념과 공식을 정리하여 확인할 수 있도록 구성하였다. 2. 출제유형 및 출제유형잡기 수능에서 자주 출제되는 유형을 설명하고, 이에 따른 출제유형잡기를 제시하여 수능에 대비할 수 있도 록 하였다. 3. 필수유형 출제유형에 제시된 유형의 대표 기출문제와 유제들로 유형별 학습을 할 수 있도록 하였다. 4. 신유형 새로운 유형의 문제를 통해 기본 개념과 응용력을 키울 수 있도록 하였다. 5. 대단원 마무리 대단원별 수능 실전 문항을 난이도별로 나누어 구성하여 다양한 실전 유형을 충분히 연습할 수 있도록 하였다. 계획을 세워 자신의 실력에 따라 적절하게 강의를 활용한다. 교재를 통한 예습은 절대적이고 필수적이다. 강의하시는 선생님들이 중요하다고 하신 부분은 별도로 표시하고 복습한다. 인터넷 방송을 활용하여 자신이 취약한 부분은 반복 학습한다.

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구성

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활용법

(4)

1

행렬과 그 연산

01

행렬

행렬 A가 m개의 행과 n개의 열로 이루어질 때, 행렬 A를 m_n행렬이라 한다.

이때, 행렬 A에서 제 i행과 제 j열이 만나는 위치에 있는 성분을 (i, j)성분이라 하고 a‘Δ로 나타내며, A=(a‘Δ)로 나타낸다.

2 서로 같은 행렬

{ }={ }일 때, a¡¡=b¡¡, a¡™=b¡™, a™¡=b™¡, a™™=b™™ b¡¡ b¡™ b™¡ b™™ a¡¡ a¡™ a™¡ a™™ 3 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배 ⑴ 행렬의 덧셈과 뺄셈 { }—{ }={ } (복부호동순) ⑵ 행렬의 실수배 k{ }={ } (단, k는 실수) ka¡¡ ka¡™ ka™¡ ka™™ a¡¡ a¡™ a™¡ a™™ a¡¡—b¡¡ a¡™—b¡™ a™¡—b™¡ a™™—b™™ b¡¡ b¡™ b™¡ b™™ a¡¡ a¡™ a™¡ a™™ 4 행렬의 곱셈 { } { }={ } ap+br aq+bs cp+dr cq+ds p q r s a b c d 6 행렬의 거듭제곱 정사각행렬 A와 단위행렬 E에 대하여

⑴ A¤ =AA, A‹ =A¤ A, y, A« ±⁄ =A« A (단, n은 자연수) ⑵ Aμ A« =Aμ ±« , (Aμ )« =(A« )μ =Aμ « (단, m, n은 자연수)

5 행렬의 연산에 대한 성질 ⑴ 합과 곱이 정의되는 세 행렬 A, B, C와 영행렬 O에 대하여 다음 성질이 성립한다. ① 교환법칙 : A+B=B+A ② 결합법칙 : (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC) ③ 덧셈에 대한 항등원 : A+O=O+A=A ④ 덧셈에 대한 역원 : A+(-A)=(-A)+A=O ⑤ 분배법칙 : A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC ⑵ k, l이 실수일 때, 합과 곱이 정의되는 두 행렬 A, B와 영행렬 O에 대하여 ① (kl)A=k(lA)=l(kA), k(AB)=(kA)B=A(kB) ② (k+l)A=kA+lA, k(A+B)=kA+kB ③ 1¥A=A, (-1)¥A=-A ④ 0¥A=O, k¥O=O

(5)

01 행렬과 그 연산

₅

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 3쪽 유형 행렬의 정의

1

출제유형주어진 조건을 만족시키는 행렬을 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기행렬의 성분을 주어진 규칙에 따라 계산하여 구한다. 행렬 A={ }에서 제1행의 모든 성분의 합이 3, 제2행의 모든 성분의 합이 6일 때, 행렬 A의 (2, 1)성분은? ① 10 ② 11 ③ 12 ④ 13 ⑤ 14 x+4 x+y 2x+y x-y

0

1

행렬 A=(a_‘Δ)={ }에 대하여 이차정사각 행렬 B의 (i, j)성분 b‘Δ를 b‘Δ=g (단, i=1, 2, j=1, 2) 로 정의한다. 이때, b¡¡b™™+b¡™b™¡=0을 만족시키는 모 든 실수 x의 값의 합은? ① -2 ② - ③ 0 ④ 1₃ ⑤ 2 1 3 a‘Δ+1 (i=j) aΔ‘-1 (i+j) x¤ -x x+1 x 6

0

3

이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ는

a‘Δ=sin¤ p+cos¤ p (단, i=1, 2, j=1, 2) 이다. 행렬 A의 모든 성분의 합은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 j 3 i 3

0

2

필수유형

이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ가

a‘Δ=g (단, i=1, 2, j=1, 2) 이고, 행렬 B={ }이다. A=B를 만족시키 는 실수 x, y, z, w에 대하여 의 값은? ① ② ③ ④ 7₅ ⑤ 2 7 6 8 7 2 3 xz yw z-2w z+3w x+2y x-y i+j (iæj) -aΔ‘ (i<j) |출제의도| 행렬의 정의를 이해하고 서로 같은 행렬을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 이차정사각행렬 A는 { }이므로 ⁄ iæj일 때, a¡¡=2, a™¡=3, a™™=4

¤ i<j일 때, a¡™=-a™¡=-3 ∴ A={ } 따라서 A=B를 만족시키려면 x+2y=2 yy`㉠ z-2w=-3 yy`㉡ x-y=3 yy`㉢ z+3w=4 yy`㉣ ㉠, ㉢에서 x= , y=-㉡, ㉣에서 z=- , w= ∴ = = ② 8 7 -;1•5; -;1¶5; xz yw 7 5 1 5 1 3 8 3 2 -3 3 4 a¡¡ a¡™ a™¡ a™™

(6)

유형 행렬의 연산

2

출제유형행렬의 연산에 대한 문제가 출제된다. 출제유형잡기행렬의 덧셈과 뺄셈의 경우는 실수의 연산의 성질과 같지만, 곱셈의 경우는 교환법칙이 성립하지 않으 므로 유의하도록 한다. 필수유형 행렬 A={ }와 이차정사각행렬 B가 다음 조건을 만족시 킬 때, 행렬 A+B의 (1, 2)성분과 (2, 1)성분의 합은? ~4점₩ 1 1 a a |출제의도| 행렬의 연산을 할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| B={ }라 하면 ㈎`에서 { } { }={ }={ } ∴ p=q, r=s ∴ B={ } 이때, ㈏`에서 AB={ }=2{ } 이므로 p+r=2이다. 또, BA={ }=4{ } 이므로 1+a=4, 즉 a=3이다. (∵ 1+a+4이면 p=0, r=0이므로 p+r=2에 모순이다.) 따라서 A+B={ }의 (1, 2)성분과 (2, 1)성분의 합은 1+p+a+r=1+a+(p+r)=1+3+2=6 ③ 1+p 1+p a+r a+r p p r r p(1+a) r(1+a) p(1+a) r(1+a) 1 1 a a p+r a(p+r) p+r a(p+r) p p r r 0 0 p-q r-s 1 -1 p q r s p q r s ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10 [2011년 9월 평가원] ㈎ B{ }={ }이다. ㈏ AB=2A이고, BA=4B이다. 0 0 1 -1 A={ }일 때,

(A+B)¤ =A¤ +B¤ , (A-B)¤ =A¤ +B+{ }

를 만족시키는 이차정사각행렬 B={ }에 대하여 b+d의 값은? ① -3 ② -2 ③ 0 ④ 2 ⑤ 3 a b c d 6 0 0 12 0 1 1 0

0

5

이차정사각행렬 A가 다음 두 조건을 만족시킨다.

0

6

이차정사각행렬 A가 A¤ =2A+4E를 만족시킨다. 행렬 (A-3E)(A-2E)(A+E)의 모든 성분의 합 이 6일 때, 행렬 A의 모든 성분의 합은? (단, E는 단위행렬이다.) ① 7 ② 8 ③ 9 ④ 10 ⑤ 11

0

4

A{ }+A{ }={ }일 때, a-b의 값은? (단, E는 단위행렬, O는 영행렬이다.) ① 30 ② 31 ③ 32 ④ 33 ⑤ 34 a b 9 -6 -2 -10 ㈎ A¤ -3A+2E=O ㈏ A{ }={ } 1 5 3 -2

(7)

₇

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 3쪽 유형 행렬의 거듭제곱

3

출제유형행렬의 거듭제곱의 규칙성을 찾아 계산하는 문제 가 출제된다. 출제유형잡기행렬을 제곱, 세제곱, 네제곱한 결과를 이용하 여 거듭제곱의 규칙을 찾아본다. 필수유형 행렬 { }n 의 (1, 2)성분은 2› -2fi +2fl -2‡ +2° 이고 (1, 1)성분은 a이다. a+n의 값을 구하시오. (단, n은 자연수이다.) ~4점₩ ~2010년 9월 평가원₩ 2 1 0 -4 |출제의도| 행렬의 곱셈을 이용하여 거듭제곱을 계산할 수 있는 지를 묻는 문제이다. |풀이| { }2 ={ } { }={ } { }3 ={ } { }={ } { }4 ={ } { } ={ } 따라서 (1, 2)성분이 2› -2fi +2fl -2‡ +2° 이 되는 행렬은 { }5 이고 그때의 (1, 1)성분은 2fi =32이다. ∴ a+n=32+5=37 37 2 1 0 -4 2‹ -2› +2fi -2fl 2° 2› 0 2 1 0 -4 2¤ -2‹ +2› -2fl 2‹ 0 2 1 0 -4 2¤ -2‹ +2› -2fl 2‹ 0 2 1 0 -4 2-2¤ 2› 2¤ 0 2 1 0 -4 2-2¤ 2› 2¤ 0 2 1 0 -4 2 1 0 -4 2 1 0 -4 행렬 A={ }에 대하여 행렬 A⁄ ‚ 의 모든 성분의

합이 52일 때, 행렬 A‹ +Aﬂ +A· 의 모든 성분의 합은?

① 72 ② 78 ③ 84

④ 90 ⑤ 96

1 a 0 1

0

7

A¤ -A-3E=O를 만족시키는 이차정사각행렬 A에 대하여 Aﬁ -19A=pE가 성립할 때, 실수 p의 값은? (단, E는 단위행렬, O는 영행렬이다.) ① 19 ② 20 ③ 21 ④ 22 ⑤ 23

0

9

행렬 A={ }에 대하여 행렬 A« 의 모든 성분의 합이 100일 때, 자연수 n의 값을 구하시오. 1 0 2 1

0

8

(8)

두 행렬 A={ }, B={ }에 대하여 행렬 A¤ +AB-BA-B¤ 의 모든 성분의 합은? ① -7 ② -4 ③ -1 ④ 2 ⑤ 5 4 2 1 3 1 2 3 4

10

이차정사각행렬 A와 B에 대하여 A+B={ }, A-B={ }

이 성립할 때, 행렬 A‹ -3A¤ B+3AB¤ -B‹ 의 모든 성 분의 합은? ① 10 ② 15 ③ 20 ④ 25 ⑤ 30 1 2 2 -1 1 0 0 1

11

유형 행렬의 곱셈에 대한 성질

4

출제유형행렬의 곱셈의 성질을 이해하는지를 묻는 문제가 출제된다. 출제유형잡기 행렬의 곱셈에서 교환법칙은 일반적으로 성 립하지 않고 결합법칙은 항상 성립함을 알고 문제를 해결 한다. 필수유형 이차정사각행렬 A와 B에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, O는 영행렬이고, E는 단위행렬이다.) ~4점₩ |출제의도| 행렬의 곱셈에 대한 성질을 이해하고 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| ㄱ. (A+B)¤ =(A-B)¤

HjK A¤ +AB+BA+B¤ =A¤ -AB-BA+B¤ HjK 2AB+2BA=O

HjK AB=-BA

이때, A={ }, B={ }이면 AB=-BA이지만

AB={ }이므로 AB+O이다. (거짓) ㄴ. (ABA)¤ =(ABA)(ABA)=ABAABA

=ABA¤ BA=ABEBA (∵ A¤ =E) =AB¤ A=ABA (∵ B¤ =B) (참)

ㄷ. A(A+E)=E에서 A¤ +A=E이고 양변의 오른쪽에 B를 곱 하면

A¤ B+AB=B AB=-E이므로

-A-E=B, B¤ =A¤ +2A+E

이때, A¤ +A=E에서 A¤ =E-A이므로

B¤ =A¤ +2A+E=E-A+2A+E=A+2E (참) 0 1 1 0 0 1 -1 0 1 0 0 -1

ㄱ. (A+B)¤ =(A-B)¤ 이면 AB=O이다. ㄴ. A¤ =E, B¤ =B이면 (ABA)¤ =ABA이다. ㄷ. A(A+E)=E, AB=-E이면 B¤ =A+2E이다.

보기

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

(9)

₉

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 4쪽 이차정사각행렬 A와 B에 대하여 옳은 것만을보기에 서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬, O는 영행렬이다.)

12

이차정사각행렬 A, B, C에 대하여 옳은 것만을보기 에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬, O는 영행렬이다.)

13

유형 새롭게 정의된 식

5

출제유형행렬과 관련하여 새로운 식이나 조건을 만족시키 는 행렬을 정의하고 그 식을 이용하여 계산하는 문제나 성 질을 증명하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기행렬의 성분으로 식이 정의되는 경우는 행렬 을 계산하고 주어진 정의에 따라 실제로 그 값을 계산하여 본다. 필수유형 이차정사각행렬 X={ }에 대하여 D(X)=ad-bc라 하자. 이차정사각행렬 A={ }에 대하여 D(A¤ )=D(5A) 를 만족시키는 모든 상수 p의 값의 합을 구하시오. ~4점₩ ~2007학년도 대수능₩ 1 1 0 p a b c d |출제의도| 행렬에 대하여 주어진 새로운 식이나 조건을 이해하 고 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이|

A={ }에서 A¤ ={ } , 5A={ }이므로

D(A¤ )=p¤ , D(5A)=25p 이때, D(A¤ )=D(5A)이므로 p¤ =25p, p(p-25)=0 ∴ p=0 또는 p=25 따라서 모든 상수 p의 값의 합은 0+25=25 25 5 5 0 5p 1+p p¤ 1 0 1 1 0 p ㄱ. A-B=3E, AB=O이면 BA=O이다.

ㄴ. AB+BA=O이면 A=O 또는 B=O이다. ㄷ. (A+B)¤ =(A-B)¤ 이면 (AB)¤ =-A¤ B¤ 이다.

보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ ㄱ. AB=B이면 A¤ B¤ =B¤ 이다. ㄴ. A(A-E)=(A-E)B이면 A¤ (A-E)=(A-E)B¤ 이다. ㄷ. A+B+C=O, AB=BC=CA이면 BA=CB=AC이다. 보기 ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(10)

두 행렬 A={ }, B={ }에 대하여 A¡=A, A«≠¡=A«B (n=1, 2, 3, y) 라 하자. A∞A¡º=A˚를 만족시키는 두 자리의 자연수 k 의 최솟값을 구하시오. 0 1 1 0 1 0 1 0

14

행렬 A={ }에 대하여 B¡=A¤ , B«≠¡=A¤ « B« (n=1, 2, 3, y) 이라 하자. 행렬 B¡º의 (2, 2)성분이 m일 때, log£ m 의 값은? ① 23 ② 34 ③ 46 ④ 57 ⑤ 68 2 1 -1 -2

15

임의의 이차정사각행렬 A, B에 대하여 연산 A≠B를 A≠B=AB-BA 라 하자. 이차정사각행렬 X와 Y에 대하여 X≠Y={ }일 때, (X-Y)≠(X+Y)={ } 이다. ad+bc의 값은? ① 330 ② 332 ③ 334 ④ 336 ⑤ 338 a b c d 5 12 9 -5

16

집합 S=[{ }|a, b, c, d는 자연수]의 원소인 행렬 A={ }에 대하여 T(A)={ } 라 하자. 이때, T(A+B)=T(A)+T(B)를 만족시 키는 S의 두 원소 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수는? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 log a log b log c log d a b c d a b c d

17

이차정사각행렬 A와 B에 대하여 연산 AΩB를 AΩB=AB-BA+A 로 정의할 때, 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것 은? (단, E는 단위행렬이다.)

18

ㄱ. 모든 이차정사각행렬 A에 대하여 AΩB=A가 성립하면 B=E이다. ㄴ. A=-E이면 AΩB=-E를 만족시키는 B가 존재한다. ㄷ. A={ }이면 AΩB=BΩA를 만족시키는 B는 B=A뿐이다. 1 1 0 1 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ 신유형 고난도

(11)

02 역행렬과 연립일차방정식

₁₁

1

역행렬과 연립일차방정식

02

역행렬의 뜻

정사각행렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX=XA=E를 만족시키는 행렬 X가 존재할 때, X를 행렬 A의 역행 렬이라 하고, 기호 A—⁄ 로 나타낸다. 즉,

AA—⁄ =A—⁄ A=E

2 이차정사각행렬의 역행렬 이차정사각행렬 A={ }에서 ⑴ ad-bc+0이면 A—⁄ = { } ⑵ ad-bc=0이면 A의 역행렬은 존재하지 않는다. d -b -c a 1 ad-bc a b c d 3 역행렬의 성질 같은 차수의 두 정사각행렬 A, B의 역행렬이 존재할 때, 그 역행렬에 대하여 다음 성질이 성립한다.

⑴ (A—⁄ )—⁄ =A ⑵ (AB)—⁄ =B—⁄ A—⁄

⑶ (kA)—⁄ = A—⁄ (단, k는 0이 아닌 실수) ⑷ (A« )—⁄ =(A—⁄ )« (단, n은 자연수)

⑸ AX=B HjK X=A—⁄ B ⑹ XA=B HjK X=BA—⁄

1 k 4 역행렬과 연립일차방정식 ⑴ x, y에 대한 연립일차방정식 [ 를 행렬을 이용하여 나타내면 { } { }={ } ⑵ 연립일차방정식 { } { }={ }의 해 ① ad-bc+0일 때 오직 한 쌍의 해를 갖고 그 해는 { }={ }—⁄{ } ② ad-bc=0일 때 a : c=b : d=p : q이면 해가 무수히 많다. a : c=b : d+p : q이면 해가 없다. p q a b c d x y p q x y a b c d p q x y a b c d ax+by=p cx+dy=q 5 연립일차방정식 { } { }={ }의 해 ⑴ ad-bc+0이면 { }={ }—⁄{ }={ }이므로 해는 x=0, y=0뿐이다. ⑵ ad-bc=0이면 해가 무수히 많다. 0 0 0 0 a b c d x y 0 0 x y a b c d

(12)

유형 역행렬의 정의

1

출제유형역행렬의 정의를 이용하여 역행렬을 구하는 문제 가 출제된다. 출제유형잡기AB=BA=E일 때, B는 A의 역행렬임 을 이용한다. 필수유형 이차정사각행렬 A와 B에 대하여 AB+A=E, AB+BA=A+B 가 성립할 때, 행렬 B의 역행렬과 항상 같은 것은? (단, E는 단위행렬이다.)

① 2E-A ② 2E+A ③ 3A-E

④ E+A ⑤ 3A+E

|출제의도| 역행렬의 정의를 이해하고 역행렬을 구할 수 있는지 를 묻는 문제이다.

|풀이|

AB+A=E에서 A=E-AB yy`㉠

AB+BA=A+B yy`㉡㉠, ㉡에 의하여 AB+BA=E-AB+B 2AB+BA-B=E 한편, A(B+E)=E=(B+E)A이므로 AB=BA 따라서 3AB-B=E, 즉 (3A-E)B=E이므로 B의 역행렬은 3A-E이다. ③

이차정사각행렬 A가 A-A¤ =E를 만족시킬 때, 다 음 중 행렬 A의 역행렬과 항상 같은 것은?

(단, E는 단위행렬이다.)

① E+A ② E-A ③ 2A-E

④ -A ⑤ A¤

0

1

이차정사각행렬 A가 A¤ +3A+E=O를 만족시킬 때, 행렬 A¤ +(A—⁄ )¤ 과 같은 것은? (단, E는 단위행렬, O는 영행렬이다.) ① -3E ② O ③ 3E ④ 5E ⑤ 7E

0

2

이차정사각행렬 A와 B에 대하여 A¤ =E, AB+3B¤ =E

가 성립할 때, 행렬 2A-3B의 역행렬과 항상 같은 것 은? (단, E는 단위행렬이다.)

① A+B ② A+2B ③ 2A+B

④ A+3B ⑤ 3A+B

(13)

₁₃

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 6쪽 두 행렬 A={ }, B={ }에 대하여 행렬 A—⁄ (A+B)의 (2, 1)성분은? ① -4 ② -2 ③ 0 ④ 2 ⑤ 4 1 1 2 -1 1 0 -2 -1

0

4

a>b>0인 실수 a, b에 대하여 { } { }={ } 일 때, 행렬 { }의 역행렬은? ① { } ② { } ③ { } ④ { } ⑤ { } 3 -1 -1 3 1 8 4 -3 -3 4 1 7 2 -1 -1 2 1 5 3 -2 -2 3 1 5 2 -1 -1 2 1 3 a b b a 10 6 6 10 a b b a a b b a

0

5

행렬 P={ }에 대하여 행렬 A={ }가

등식 AP‹ A—⁄ =A+A—⁄ 를 만족시킬 때, 모든 실수 x 의 값의 곱은? (단, x+0) ① -2 ② -1 ③ 1 ④ 2 ⑤ 3 x 0 0 -x 3 0 0 -3

0

6

유형 역행렬의 계산

2

출제유형 이차정사각행렬의 역행렬을 구하는 문제가 주로 출제된다. 출제유형잡기_{이차정사각행렬 A={} _}에서 ad-bc+0이면 A—⁄ = { } d -b -c a 1 ad-bc a b c d 필수유형 행렬 A={ }과 역행렬이 존재하는 행렬 B에 대하 여 (A—⁄ B)—⁄ ={ }이 성립할 때, 행렬 B—⁄ 의 모든 성 분의 합은? ① -14 ② -12 ③ -10 ④ 10 ⑤ 12 2 -2 0 3 1 4 -1 -3 |출제의도| 주어진 행렬의 역행렬을 구할 수 있는지를 묻는 문 제이다. |풀이|

(A—⁄ B)—⁄ =B—⁄ A={ }이므로 양변의 오른쪽에 A—⁄ 를 곱하면

B—⁄ ={ } { }—⁄ ={ } { } ={ } 따라서 행렬 B—⁄ 의 모든 성분의 합은 -12이다. ② -8 -10 3 3 -3 -4 1 1 2 -2 0 3 1 4 -1 -3 2 -2 0 3 2 -2 0 3 신유형

(14)

유형 역행렬의 성질

3

출제유형 역행렬이 존재하는 이차정사각행렬의 성질을 이 용하여 계산하거나 이해하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기이차정사각행렬 A, B의 역행렬이 모두 존 재할 때, 다음을 이용한다.

⑴ (A—⁄ )—⁄ =A ⑵ (AB)—⁄ =B—⁄ A—⁄

⑶ (kA)—⁄ = A—⁄ (단, k는 0이 아닌 실수) ⑷ (A« )—⁄ =(A—⁄ )« (단, n은 자연수) ⑸ AX=B HjK X=A—⁄ B 1 k 필수유형 이차정사각행렬 A, B, C에 대하여 ABC=E이고 ACB=E일 때, 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이다.) ~4점₩ |출제의도| 역행렬의 성질을 이해하고 활용할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| ㄱ. (반례) A={ }, B={ }, C={ }이라고 하면 A=E, ABC=E, ACB=E이지만 B+E이다. (거짓) ㄴ. ABC=E에서 C=(AB)—⁄ =B—⁄ A—⁄ 이므로

ACB=AB—⁄ A—⁄ B=E B—⁄ A—⁄ =A—⁄ B—⁄ (B—⁄ A—⁄ )—⁄ =(A—⁄ B—⁄ )—⁄ ∴ AB=BA (참) ㄷ. ⁄ n=1일 때 ABC=E이므로 성립한다. ¤ n=k일 때 A˚ B˚ C˚ =E가 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때

A˚ ±⁄ B˚ ±⁄ C˚ ±⁄ =A˚ AB˚ BC˚ C

=A˚ B˚ ABC˚ C (∵ AB=BA)

=A˚ B˚ C˚ ABC (∵ BC=CB, AC=CA) =E (∵ A˚ B˚ C˚ =E, ABC=E)

-1 0 0 -1 -1 0 0 -1 1 0 0 1 ㄱ. A=E이면 B=E이다. ㄴ. AB=BA ㄷ. 모든 자연수 n에 대하여 A« B« C« =E이다. 보기 ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ ~2010년 9월 평가원₩ 이차정사각행렬 A, B가 모두 역행렬을 가질 때, 옳 은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이다.)

0

7

두 행렬 A={ }, B={ }에 대하여 옳 은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, ad-bc+0) d -b -c a a b c d

0

8

ㄱ. AB=BA

ㄴ. a+d+0이면 (A+B)—⁄ =A—⁄ +B—⁄ 이다. ㄷ. ad-bc=1이면 A—⁄ +B—⁄ =A+B이다.

보기

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

ㄱ. A¤ B=E이면 B—⁄ A—⁄ =A이다.

ㄴ. A¤ =E이고 ABA=B이면 AB=BA이다. ㄷ. B¤ +BA=A—⁄ 이면 (A+B)—⁄ B—⁄ =A이다.

보기

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

(15)

₁₅

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 6쪽 유형 역행렬이 존재하거나 또는 존재하지 않을 조건

4

출제유형역행렬이 존재하거나 또는 존재하지 않을 조건을 이용하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기_{이차정사각행렬 A={} _}에서 ⑴ ad-bc+0이면 A의 역행렬이 존재한다. ⑵ ad-bc=0이면 A의 역행렬은 존재하지 않는다. a b c d 필수유형 좌표평면에서 두 점 A(1, '3), B(1, -'3)에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 점 P(x, y)가 나타내는 도형 전체의 길이는? ~4점₩ |출제의도| 역행렬을 갖기 위한 조건을 알고 이를 활용할 수 있 는지를 묻는 문제이다. |풀이| 점 P(x, y)가 x¤ +y¤ =4를 만족시키므로 점 P는 반지름의 길이가 2인 원 위의 점이다. 조건 ㈏`에서 행렬 { }가 역행렬을 가지므로 ax-y+0 ∴ y+ax 그런데 점 (1, a)가 선분 AB 위의 임의의 점이므로, 점 P(x, y) 는 원점을 지나고 기울기가 a(-'3…a…'3)인 직선 y=ax 위에 있지 않은 점이다. 즉, 점 P(x, y)는 오른쪽 그림과 같 이 반지름의 길이가 2, 중심각의 크 기가 인 2개의 호 위에 존재한다. 따라서 점 P(x, y)가 나타내는 도형 전체의 길이는 2_2_ = p ④ 4 3 p 3 p 3 y x O A(1, '3) B(1, -'3) 2 2 y='3x y=-'3x p ;:;₃ p ;:;₃ x y 1 a ① p ② p ③ p ④ p ⑤ p ~2006학년도 대수능₩ 3 2 4 3 1 2 1 3 ㈎ x¤ +y¤ =4 ㈏ 선분 AB 위의 임의의 점 (1, a)에 대하여 행렬 { }는 역행렬을 갖는다. x y 1 a 행렬 A={ }의 역행렬이 존재하지 않도 록 하는 실수 x에 대하여 x<0일 때, 행렬 A¤ 의 모든 성분의 합은? ① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 16 2 x-4 x+1 3

0

9

임의의 실수 t에 대하여 행렬 { }의 역행렬이 존재하도록 실수 a, b의 값을 정할 때, 좌표평 면에서 점 (a, b)가 나타내는 영역의 넓이는? (단, b+6) ① p ② 4p ③ 6p ④ 8p ⑤ 9p t-1 3t+a+1 2t bt+b

10

다음 두 조건을 만족시키는 좌표평면 위의 점 (a, b) 가 나타내는 영역의 넓이는?

11

고난도 ① 7 ② 9 ③ 11 ④ 13 ⑤ 15 ㈎ -3…a…3, -3…b…3 ㈏ 모든 실수 h에 대하여 행렬 { }는 역행렬을 갖는다. sin¤ h-ab b-cos h a-cos h -1

(16)

유형 연립일차방정식과 행렬

5

출제유형 행렬로 나타내어진 연립일차방정식의 해에 관한 문제가 출제된다. 출제유형잡기_{⑴ {} _{} {} _}={ _{}가 오직 한 쌍의 해를} 가질 조건은 ad-bc+0이다. ⑵ { } { }={ }이 x=0, y=0 이외의 해를 가질 조건은 ad-bc=0이다. 0 0 x y a b c d p q x y a b c d 필수유형 x, y에 대한 연립방정식 { } { }={ }가 x=y=0 이외의 해를 가질 때, a¤ +b¤ 의 값은? (단, a, b는 실수이다.) ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 2x+y x-2y x y a b -b a |출제의도| 연립일차방정식의 해가 존재하기 위한 조건을 알고 활용할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| { } { }={ }에서 { } { }={ } { } { } { }-{ } { }={ } { } { }={ } x=y=0 이외의 해를 가지므로 행렬 { }의 역행렬이 존재하지 않는다. 따라서 (a-2)(a+2)+(b-1)(b+1)=0에서 a¤ -4+b¤ -1=0 ∴ a¤ +b¤ =5 ③ a-2 b-1 -b-1 a+2 0 0 x y a-2 b-1 -b-1 a+2 0 0 x y 2 1 1 -2 x y a b -b a x y 2 1 1 -2 x y a b -b a 2x+y x-2y x y a b -b a x, y에 대한 연립방정식 { } { }={ } 이 x=y=0 이외의 해를 가질 때, a¤ 의 값은? (단, a는 실수이다.) ① 29 ② 30 ③ 31 ④ 32 ⑤ 33 0 0 x y 4 -(a+3) a-3 -5

12

a¤ +(b+1)¤ =1을 만족시키는 실수 a, b에 대하여 행렬 A={ }가 있다. x, y에 대한 연립 방정식 A{ }={ }가 x=y=0 이외의 해를 가질 때, a+b의 값은? ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2 x-y x+y x y 2b+1 a 2a+1 -b

13

좌표평면에서 두 직선 ax+by=p, cx+dy=q가 점 (2, 3)에서만 만날 때, 등식 { }{ }=6{ } 를 만족시키는 실수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하 시오. p q a b 2a b 2c d

14

(17)

₁₇

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 7쪽 유형 행렬을 원소로 갖는 집합

6

출제유형 행렬을 원소로 갖는 집합에서 행렬의 성질을 이 용하여 참, 거짓을 알아보는 문제가 출제된다. 출제유형잡기주어진 집합의 임의의 두 원소에 대하여 행렬 의 성질을 이용하여 해결한다. 필수유형 1_2행렬을 원소로 갖는 집합 S와 2_1행렬을 원소로 갖는 집합 T가 다음과 같다. S={(a b)|a+b+0}, T=[{ }|pq+0] 집합 S의 원소 A에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은? ~4점₩ p q |출제의도| 행렬이 원소로 주어진 집합에서 행렬의 성질을 이용 하여 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 집합 T의 원소 P={ }와 집합 S의 원소 A=(a b)에 대하여 ㄱ. PA={ }(a b)={ }이므로 (pa)(qb)-(pb)(qa)=0이다. 즉, PA는 역행렬을 갖지 않는다. (참) ㄴ. 집합 S의 원소 B=(c d)에 대하여 PB={ }(c d)={ }이고 PA=PB이므로 pa=pc, pb=pd, qa=qc, qb=qd(p+0, q+0)이다. 따라서 a=c, b=d, 즉 A=B이다. (참) ㄷ. PA{ }={ } { }={ }={ }

p(a+b)=1, q(a+b)=1에서 a+b+0이므로 p=_a+b1 , q=_a+b1 이다. 1 1 pa+pb qa+qb 1 1 pa pb qa qb 1 1 pc pd qc qd p q pa pb qa qb p q p q 즉, T의 원소 P={ }=· ‚이 존재한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤ 1 a+b 1 a+b p q ㄱ. 집합 T의 원소 P에 대하여 PA는 역행렬을 갖지 않는다. ㄴ. 집합 S의 원소 B와 집합 T의 원소 P에 대하여 PA=PB이면 A=B이다. ㄷ. 집합 T의 원소 중에는 PA{ }={ }을 만족시키는 P 가 있다. 1 1 1 1 보기 ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ~2011학년도 대수능₩ 집합 X=[{ }|a, b는 실수]에 대하여 세 행 렬 A, B, C가 집합 X의 원소일 때, 옳은 것만을보기 에서 있는 대로 고른 것은? (단, O는 영행렬이다.) a -b b a

15

ㄱ. (AB)¤ =A¤ B¤

ㄴ. A¤ =O이면 A=O이다.

ㄷ. A+O이고 A(B-C)=O이면 B=C이다. 보기 ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 집합 X=[{ }|{ }2 ={ }, a, b, c, d는 실수] 의 두 원소 A={ }, B={ }에 대하여 옳은 것 만을보기에서 있는 대로 고른 것은? p q r s a b c d a¤ b¤ c¤ d¤ a b c d a b c d

16

ㄱ. b+c=q+r이다. ㄴ. (ad-bc)¤ =(ad)¤ -(bc)¤ 이다. ㄷ. b+0이면 a+d+0이다. 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ 고난도

(18)

1

그래프와 행렬

03

그래프의 뜻 ⑴ 점과 선으로 이루어진 그림을 그래프라고 하며, 이때 점을 꼭짓점, 두 꼭짓점을 연결한 선을 변 이라고 한다. ⑵ 오른쪽 그래프에서 꼭짓점은 A, B, C, D와 같이 나타내고, 변은 양 끝의 꼭짓점을 이용하여 AB, AC, AD, CD와 같이 나타낸다.

한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 한 쌍의 꼭짓점 사이에 많아야 한 개의 변이 있는 그래프를 주로 다 룬다. A B C D 2 서로 같은 그래프 그래프에서 꼭짓점의 위치를 바꾸거나, 변을 구부리거나 늘이거나 줄여서 두 그래프가 같은 그림으로 그려질 수 있으 면 두 그래프는 서로 같은 그래프라고 한다. A B C D A B C D B D C A 3 경로 그래프의 한 꼭짓점에서 연결된 변을 따라 한 번 지난 변을 다시 지나지 않으면서 다른 꼭짓점으로 이동할 때, 이동한 순서대로 꼭짓점을 나열한 것을 경로라고 한다. 4 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬 n개의 꼭짓점을 갖는 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타낸 것을 그래프의 연결 관계를 나타내는 행 렬이라 한다. n개의 점 P¡, P™, P£, y, P«을 꼭짓점으로 하는 그래프의 연결 관계를 n_n행렬 M으로 나타낼 때, 행렬 M의 (i, j)성분 a‘Δ는 다음과 같다. (단, i=1, 2, y, n, j=1, 2, y, n)

a‘Δ=g1 `(두 꼭짓점 P‘, PΔ가 연결되어 있을 때) 0 `(두 꼭짓점 P‘, PΔ가 연결되어 있지 않을 때) 5 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질 n개의 점 P¡, P™, P£, y, P«을 꼭짓점으로 하는 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬 M에 대하여 a‘Δ를 행렬 M 의 (i, j)성분이라 할 때, 다음이 성립한다. (단, i=1, 2, y, n, j=1, 2, y, n) ⑴ 행렬 M의 각 행의 성분의 합은 그 행에 대응하는 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다. ⑵ 행렬 M의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 2배이다. ⑶ 임의의 i, j에 대하여 각 성분은 다음을 만족시킨다. a‘‘=0, a‘Δ=aΔ‘ 참고

(19)

03 그래프와 행렬

₁₉

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 8쪽 유형 그래프의 성질과 경로의 수 구하기

1

출제유형 그래프의 변의 개수와 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수 사이의 관계를 묻거나 두 꼭짓점 사이의 경로의 수를 구하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기각 꼭짓점에 연결된 변의 개수의 총합은 그래 프의 변의 개수의 2배이다. 필수유형 꼭짓점의 개수가 6, 변의 개수가 8인 그래프가 있다. 이 그래 프의 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수가 2, 3, 3, 4, a, b이고 a<b일 때, 10a-b의 값은? (단, a, b는 자연수이다.) ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8 |출제의도| 그래프의 변의 개수와 각 꼭짓점에 연결된 변의 개 수 사이의 관계를 알고 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수의 총합은 그래프의 변의 개수의 2배이 므로 2+3+3+4+a+b=2_8=16 a+b=4 그런데 a, b는 자연수이고 a<b이므로 a=1, b=3 ∴ 10a-b=10-3=7 ④ 꼭짓점의 집합이 {A, B, C, D, E}이고 변의 집합 이 {AB, AC, AD, AE, BC, BD, CE}인 그래프 가 있다. 이 그래프의 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수의 총 합을 구하시오.

0

1

오른쪽 그래프에서 꼭짓점 A에 서 출발하여 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나지 않고 꼭짓점 E로 가는 경로 중 변을 4개 지나는 경로의 수 는? ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5 ⑤ 6

0

3

A B E D C 꼭짓점의 집합이 {A, B, C, D, E}이고 변의 집합 이 {AB, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE}인 그 래프가 있다. 꼭짓점 A에서 꼭짓점 E로 가는 경로 중 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나지 않는 경로의 수는?

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

(20)

유형 행렬과 그래프의 관계

2

출제유형 그래프의 연결 관계를 나타낸 행렬을 그래프로 나타내거나, 그래프의 연결 관계를 행렬로 나타내는 문제 가 출제된다. 출제유형잡기각 행의 성분의 합은 그 행에 대응하는 꼭짓점 에 연결된 변의 개수와 같다. 또한 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 2배이다. 필수유형 오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계 를 나타내는 행렬의 성분 중 1의 개수는? ~3점₩ ① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 16 ~2011년 6월 평가원₩ |출제의도| 그래프의 연결 관계를 행렬로 나타내고 이를 활용할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| 주어진 그래프의 꼭짓점에 A, B, C, D, E를 그림과 같이 정하고, 각 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로의 연결 관계를 확인하여 행렬로 나타 내면 이 된다. 따라서 1의 개수는 10이다. ②

‚

0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0

·

A B C D E A B C D E A B C E D 다음은 그래프와 그 그래프의 연결 관계를 행렬로 나타 낸 것인데 행렬의 성분의 일부가 보이지 않는다. 네 실수 a, b, c, d에 대하여 a+b+c+d의 값은? ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 ⑤ 4

‚

0 1 0 0 a 1 0 1 1 0 b 0 1 0 1 1 0 c 1 d 0

·

A B C D E A B C D E

0

4

오른쪽 행렬은 꼭짓점을 A, B, C, D, E로 하는 어떤 그 래프의 연결 관계를 나타낸 것 이다. 이 그래프에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고 른 것은?

0

5

B C D E A

‚

0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0

·

A B C D E A B C D E ㄱ. 변의 개수는 9이다. ㄴ. 3개의 변이 연결된 꼭짓점은 2개이다. ㄷ. 꼭짓점 A에서 2개의 변을 지나 꼭짓점 C로 가는 경로는 2개이다. 보기 ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(21)

03 그래프와 행렬

₂₁

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 8쪽 유형 그래프의 활용

3

출제유형 경로의 수와 그래프의 연결 관계에 대한 문제가 출제된다. 출제유형잡기그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬 A에 대 하여 행렬 A¤ 의 (i, j)성분은 꼭짓점 v‘에서 출발하여 다른 한 꼭짓점을 지나 꼭짓점 vΔ로 가는 방법의 수이다. 필수유형 6개의 꼭짓점 A, B, C, D, E, F로 이루어져 있고, 한 꼭짓 점에서 자기 자신으로 가는 변이 없으며, 두 꼭짓점 사이에 많 아야 한 개의 변이 존재하는 그래프 G의 연결 관계를 나타내 는 행렬을 M이라 할 때, 다음은 M¤ 을 나타낸 것이다. 이 그래프에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것 은?

‚

3 3 0 3 1 1 3 3 0 3 1 1 0 0 3 0 3 3 3 3 0 3 1 1 1 1 3 1 4 3 1 1 3 1 3 4

·

A B C D E F A B C D E F |출제의도| 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬 M에 대하여 M¤ 의 성분이 의미하는 것을 이해하고 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| ㄱ. 행렬 M¤ 의 (5, 6)성분이 3이므로 꼭지점 E에서 출발하여 다른 한 꼭짓점을 지나 꼭짓점 F로 가는 방법의 수가 3이다. 따라서 꼭 짓점 E에서 2개의 변을 지나 꼭짓점 F로 가는 경로는 3개임을 알 수 있다. (참) ㄴ. 행렬 M¤ 에서 (i, i)성분은 3, 3, 3, 3, 4, 4이므로 여섯 꼭짓점 에 연결된 변의 개수는 각각 3, 3, 3, 3, 4, 4이다. 따라서 모든 꼭짓점에는 3개 이상의 변이 연결되어 있다. (참) ㄷ. 행렬 M¤ 의 (i, i)성분의 합은 행렬 M이 나타내는 그래프의 변 의 개수의 2배이므로 그래프 G의 변의 개수는 10이다. 따라서 행 렬 M의 성분 중 1의 개수는 20이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤ 다음보기의 그래프 중 연결 관 계를 나타내는 행렬이 오른쪽 행 렬과 같은 것만을 있는 대로 고른 것은?

0

6

ㄱ. ㄴ. ㄷ. 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ ㄱ. 꼭짓점 E에서 2개의 변을 지나 꼭짓점 F로 가는 경로는 3개이다. ㄴ. 모든 꼭짓점에는 3개 이상의 변이 연결되어 있다. ㄷ. 행렬 M의 성분 중 1의 개수는 20이다. 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

‚

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0

·

어떤 그래프의 연결 관계를 나 타내는 행렬이 오른쪽과 같다. 이 그래프의 꼭짓점의 개수를 a, 변 의 개수를 b라 할 때, 2a+b의 값은? ① 4 ② 8 ③ 12 ④ 16 ⑤ 20

0

7 ‚

0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0

·

(22)

오른쪽 그래프의 연결 관계를 꼭짓점 A, B, C, D, E의 순서 로 행과 열을 정하여 나타낸 행렬 을 M이라 하자. M¤ = 일 때, 세 실수 a, b, c에 대하여 a-b+c의 값을 구하 시오.

‚

4 3 3 2 2 3 a 3 2 2 3 3 4 b 2 2 2 2 3 3 2 2 2 c 3

·

0

8

A B C D E 한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 두 꼭짓점 사이 에 많아야 한 개의 변이 존재하 는 어떤 그래프 G의 연결 관계 를 나타내는 행렬 M에 대하여 M¤ 은 위와 같다. 이 그래프 G와 행렬 M에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

0

9

ㄱ. 그래프 G의 변의 개수는 4이다. ㄴ. 행렬 M의 성분 중 0의 개수는 8이다. ㄷ. 모든 변을 빠짐없이 지나는 경로가 존재한다. 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 한 꼭짓점에서 자기 자신 으로 가는 변이 없고 두 꼭짓 점 사이에 많아야 한 개의 변 이 존재하는 그래프 G의 연 결 관계를 나타내는 행렬 A 가 있다. 행렬 A¤ 의 (i, j)성분을 a‘Δ (i=1, 2, 3, 4, 5, j=1, 2, 3, 4, 5) 라 할 때, 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

10

ㄱ. a+b+c+d+e+f=5 ㄴ. a¡¡+a™™+a££+a¢¢+a∞∞=14 ㄷ. 행렬 A¤ 의 성분 중 최댓값은 4이다. 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ A=

‚

0 1 0 a 1 b 0 c 1 1 0 1 0 1 d 1 1 e 0 1 1 f 0 1 0

·

M¤ =· ‚ 1 0 1 1 0 3 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 한 꼭짓점에서 자기 자신으 로 가는 변이 없고, 두 꼭짓점 사이에 많아야 한 개의 변이 존 재하는 5개의 꼭짓점을 가지 는 그래프 G의 연결 관계를 나타내는 행렬이 오른쪽과 같 다. 꼭짓점 v£에서 다른 한 꼭짓점을 거쳐 꼭짓점 v¢로 가는 방법은 두 가지이고, 꼭짓점 v¢에서 다른 한 꼭짓점 을 거쳐 꼭짓점 v∞로 가는 방법은 한 가지뿐일 때, G의 꼭짓점 v¡, v™, v£, v¢, v∞ 각각에 연결된 변의 개수를 차례대로 나열한 것은? ① 1, 2, 1, 2, 2 ② 1, 3, 3, 3, 2 ③ 1, 2, 2, 2, 3 ④ 1, 2, 3, 3, 3 ⑤ 1, 3, 3, 2, 3

11 ‚

0 0 1 0 0 0 0 a 1 1 1 b 0 c d 0 1 e 0 1 0 1 f 1 0

·

v¡ v™ v£ v¢ v∞ v¡ v™ v£ v¢ v∞ 신유형

(23)

대단원 마무리

₂₃

이차정사각행렬 A가 A{ }={ }을 만족시킬 때, XA¤ ={ }을 만족시키는 행렬 X의 모든 성 분의 합은? ① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12 1 0 0 1 1 0 0 1 3 -1 0 2

0

1

두 실수 a, b에 대하여 행렬 A={ }가 (bA)¤ =E를 만족시킬 때, 의 값은?

(단, E는 단위행렬이다.) ① 4₅ ② 5₄ ③ 4 ④ 5 ⑤ 20 a¤ b¤ a -1 -1 2

0

2

행렬 A={ }에 대하여 이차정사각행렬 B가 (A+3E)B=E를 만족시킬 때, 행렬 A+B의

(1, 2)성분과 (2, 2)성분의 합은? (단, E는 단위행렬이다.) ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5 ⑤ 6 -5 3 1 -4

0

3

A={ }일 때, 세 조건 A=B+C, B={ }={ }, C={ }=-{ } 를 모두 만족시키는 행렬 B와 C에 대하여 b™™+c™¡의 값은? ① -5₂ ② -1₂ ③ 2 ④ 7₂ ⑤ 5 c¡¡ c™¡ c¡™ c™™ c¡¡ c¡™ c™¡ c™™ b¡¡ b™¡ b¡™ b™™ b¡¡ b¡™ b™¡ b™™ 0 1 -2 5

0

4 대단원

마무리

L

evel

- 1

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 10쪽

(24)

이차정사각행렬 A에 대하여 역행렬 A—⁄ 가 존재하고 A—⁄ -A=E일 때, (A‹ )—⁄ -A‹ 과 같은 행렬은? (단, E는 단위행렬이다.)

① A+2E ② 2A+E ③ 3E ④ 4E ⑤ 5E

0

5

역행렬을 갖는 두 이차정사각행렬 A와 B에 대하여 AB¤ ={ }, (AB)—⁄ ={ }일 때, 행렬 A

의 모든 성분의 곱을 구하시오. -5 4 9 -7 11 4 14 5

0

6

양의 정수 a, b, c, d에 대하여 행렬 A를 A={ }라 하자. 행렬 A의 역행렬이 존재할 때, 이차정사각

행렬 B는 A={ }B, B—⁄ =A{ }을 만족시킨다. b+d의 값은? ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5 ⑤ 6 3 -4 -1 1 3 -5 4 -7 a b c d

0

7

한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 두 꼭짓점 사이에 많아야 한 개의 변이 존재하는 그래프 G가 모 두 5개의 꼭짓점을 갖는다. 이 중 세 꼭짓점에 연결된 변의 개수가 각각 1, 2, 3이고, 나머지 두 꼭짓점에 연 결된 변의 개수를 각각 x, y라 할 때, x+y의 최댓값은? ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8

0

8

(25)

대단원

마무리

L

evel

- 2

대단원 마무리

₂₅

이차정사각행렬 A가 다음 조건을 만족시킨다.

0

1

행렬 X={ }에 대하여 <X>=xw-yz라고 할 때, 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? x y z w

0

2

A= { }과 자연수 n에 대하여 A« ={ }이라 할 때, … + 을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은? ① 7 ② 8 ③ 9 ④ 10 ⑤ 11 1 2⁄ ‚ 1 4 a«+d« b«+c« a« b« c« d« 2 4 0 1 1 4

0

3

A의 역행렬 A—⁄ 에 대하여 행렬 A—⁄ +(A—⁄ )¤ +(A—⁄ )‹ 의 모든 성분의 합은?

(단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.) ① 190 ② 192 ③ 194 ④ 196 ⑤ 198 ㈎ A¤ +3A-E=O ㈏ 행렬 A의 모든 성분의 합이 7이다. ㄱ. <AB>=<A><B> ㄴ. <A>+0이면 <A—⁄ >= ㄷ. <AB>+0이면 두 행렬 A, B 모두 역행렬이 존재한다. 1 <A> 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ www.ebsi.co.kr 정답과풀이 11쪽

(26)

x, y에 대한 연립방정식 g 와 p, q에 대한 연립방정식 g 에 대하여 세 행렬 A, B, C를 A={ }, B={ }, C={ }이라 하자. 다음 중 행렬 { }와 같은 행렬은?

① 2ABC ② 2(AB)—⁄ C ③ 2(BA)—⁄ C

④ 1₂(AB)—⁄ C ⑤ 1₂(BA)—⁄ C x y 1 -1 3 2 -1 1 2 -1 3 2 3p+2q=1 -p+q=-1 2x-y=2p 3x+2y=2q

0

4

행렬 A={ }과 직선 3x+y=5 위의 점 (p, q)에 대하여 A{ }=k{ }가 성립할 때, k(p-q)의 값을 구하시오. (단, k는 상수이다.) p q p q 2 -4 1 6

0

5

|k|<1일 때, 행렬 A={ }에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은? k¤ +1 2 2k¤ 2

0

6

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ ㄱ. A의 역행렬이 존재한다. ㄴ. A-{ }의 역행렬이 항상 존재한다. ㄷ. 방정식 A{ }=r{ }가 { }+{ }인 해를 갖도록 하는 실수 r의 값은 음수 1개와 양수 1개가 존재한다.0 0 x y x y x y k 0 0 -1 보기

(27)

04 지수

₂₇

1

지수

04

거듭제곱근의 뜻

⑴ a가 실수이고 n이 2 이상의 자연수일 때, 방정식 x« =a를 만족시키는 x를 a의 n제곱근이라 한다. ⑵ a의 n제곱근은 n차 방정식의 근이므로 복소수 범위에서 n개가 존재한다.

2 실수인 거듭제곱근

⑴ n이 짝수이고 a가 양수이면, [그림 1]에서 a의 n제곱근 중 실수인 것은 두 개가 있다. 이 중 양수인 것을 « 'a, 음 수인 것을 -« 'a로 나타내고 각각을 a의 양의 n제곱근, a의 음의 n제곱근이라 한다.

⑵ n이 짝수이고 a가 음수이면 a의 n제곱근 중 실수인 것은 존재하지 않는다. ⑶ n이 홀수이면 [그림 2]와 [그림 3]에서 a의 n제곱근 중 실수인 것은 한 개가 있다. 이것을 « 'a로 나타낸다. ⑷ a의 n제곱근 중 실수인 것은 다음과 같다. 3 지수의 확장 ⑴ 지수가 0 또는 음의 정수인 경우 a+0이고 n이 자연수일 때 ① a‚ =1로 정의한다. ② a—« = 로 정의한다. ⑵ 지수가 유리수인 경우 a>0이고, m, n(næ2)이 정수일 때, a:n M: =« "çaμ 으로 정의한다. 특히, a;n!; =« 'a이다. ⑶ 지수가 실수인 경우 a>0이고 x가 무리수일 때, 무리수 x에 한없이 가까워지는 유리수 p에 대하여 aπ 의 값은 어떤 일정한 값에 한없 이 가까워지는데, 그 값을 a≈ 이라 한다. 예를 들면 '2=1.41421356y이므로 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, y과 같이 '2에 한없이 가까워 지는 유리수를 지수로 갖는 수 2⁄ , 21.4_{, 2}1.41_{, 2}1.414_{, 2}1.4142_{, 2}1.41421 , y은 어떤 일정한 수에 한없이 가까워진다. 이 때, 그 수를 2'2이라 정의한다. 1 a« 4 지수법칙 a>0, b>0이고 x, y가 실수일 때, 다음이 성립한다.

⑴ a≈ a¥ =a≈ ±¥ ⑵ a≈ ÷a¥ =a≈ —¥ ⑶ (a≈ )¥ =a≈ ¥

⑷ (ab)≈ =a≈ b≈ ⑸ {a_b }≈ = a≈_b≈

y x [n이 짝수이고 a가 양수인 경우] O y=a y=x« [그림 1] -'an 'a n y x [n이 홀수이고 a가 양수인 경우] O y=x« [그림 2] y=a 'a n n이 짝수 « 'a, -« 'a 0 없다

a>0 a=0 a<0

n이 홀수 « 'a 0 « 'a y x [n이 홀수이고 a가 음수인 경우] O y=x« [그림 3] y=a n 'a

(28)

유형 거듭제곱근의 뜻

1

출제유형 거듭제곱근의 정의에 관한 참, 거짓을 판별하는 문제가 출제된다. 출제유형잡기n이 짝수일 때와 홀수일 때, a가 양수일 때와 음수일 때에 방정식 x« =a의 근 중 실수인 것은 무엇이 며 또 이를 표현하는 기호는 무엇인지 정확히 알고 있어야 한다. 거듭제곱근에 대한 설명 중 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

0

1

필수유형

실수 a에 대하여 -« "≈a« =« "√(-a)« 이 성립하는 경우를보기 에서 있는 대로 고른 것은? (단, n은 2 이상의 자연수이다.)

|출제의도| 거듭제곱근의 정의를 알고 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

ㄱ. n=4, a=-3이면

-« "≈a« =-›"√(-3)› =-›"≈3› =-3이고

« "√(-a)« =›"≈3› =3이므로 -« "≈a« +« "√(-a)« (거짓)

ㄴ, ㄷ. n이 홀수이면, «"≈a« 은 방정식 x« =a« 의 근 중 단 하나의 실근 이다. n이 홀수이므로 방정식 x« =a« 의 실근은 x=a뿐이다. 따라서 « "≈a« =a이다.

또, « "√(-a)« 은 방정식 x« =(-a)« 의 근 중 단 하나의 실근이다.

n이 홀수이므로 방정식 x« =(-a)« , 즉 x« =-a« 의 실근은 x=-a뿐이다. 따라서 « "√(-a)« =-a이다.

따라서 n이 홀수이면 a의 부호에 관계없이 -« "ça« =« "√(-a)« 이 성립한다. (참) 그러므로 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ⑤ 실수 a에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, n은 2 이상의 자연수이다.)

0

2

거듭제곱근에 대한 설명 중 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

0

3

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ ㄱ. n은 짝수이고 a<0일 때 ㄴ. n은 홀수이고 a>0일 때 ㄷ. n은 홀수이고 a<0일 때 보기 ㄱ. ‹"√(-5)fl 은 방정식 x‹ -5fl =0의 실근이다. ㄴ. ›"√(-5)° 은 (-5)° 의 음의 네제곱근이다. ㄷ. fi"√(-5)⁄ ‚ 은 -5의 5제곱근 중 실수인 것을 10제 곱한 것과 같다. 보기 ㄱ. a의 n제곱근 중 실수인 것이 4개인 n이 존재한다. ㄴ. a+0이고 n이 홀수이면 a « 'a>0이다. ㄷ. n이 짝수이면 « "≈a¤ =;2N; "ç|a|이다. 보기 ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ ㄱ. 8의 세제곱근은 64의 6제곱근이다. ㄴ. 64의 6제곱근 중 실수인 것은 8의 세제곱근 중 실수인 것과 같다. ㄷ. 512의 9제곱근 중 실수인 것은 8의 세제곱근 중 실수인 것과 같다. 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(29)

04 지수

₂₉

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 12쪽 유형 지수법칙을 이용한 지수의 계산

2

출제유형 지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 할 수 있는지를 묻는 계산 문제가 출제된다. 출제유형잡기지수가 자연수에서 정수로, 정수에서 유리수 로, 유리수에서 실수로 확장되면서 a≈ 이 어떻게 정의되는 지 정확히 알고 있어야 하며, 이를 이용한 지수법칙을 명 확히 알고 있어야 한다. 필수유형 실수 a가 =-2를 만족시킬 때, 4å +4—å 의 값은? ~3점₩ ① ② ③ ④ ⑤ ~2009년 6월 평가원₩ 37 6 26 5 17 4 10 3 5 2 2å +2—å 2å -2—å |출제의도| 지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 할 수 있 는지를 묻는 문제이다. |풀이| (2å +2—å )¤ =(2å )¤ +2_2å _2—å +(2—å )¤ =(2¤ )å +2+(2¤ )—å =4å +2+4—å (2å -2—å )¤ =(2å )¤ -2_2å _2—å +(2—å )¤ =(2¤ )å -2+(2¤ )—å =4å -2+4—å 이므로 =-2의 양변을 제곱하면 =4 4å +4—å =x로 놓으면 =4 x+2=4x-8, 3x=10 ∴ x= ② 10 3 x+2 x-2 4å +2+4—å 4å -2+4—å 2å +2—å 2å -2—å ›"ç‹'a_ 를 간단히 하면? (단, a>0)

① ‹'a ② ›'a ③ ﬂ'a

④ °'a ⑤ ·'a ‹'a ›'a

0

4

x=fl'4일 때, (x¤ -1)(xfl +x° +x⁄ ‚ +x⁄ ¤ +x⁄ › +x⁄ fl )의 값은? ① 36 ② 48 ③ 60 ④ 72 ⑤ 84

0

5

1¥2 '8_ 2¥3 '8_ 3¥4 '8_y_ 9¥10 '8=μ "≈2« 일 때, m+n 의 값은? (단, m, n은 서로소인 자연수이다.) ① 37 ② 36 ③ 35 ④ 34 ⑤ 33

0

6

그림과 같이 AB”=AC”이고 BC”=ﬂ'∂128인 삼각형 ABC가 BC”를 지름으로 하는 원에 내접하고 있다. 선분 BC 위의 BD”=‹'4인 점 D에 대하여 선분 AD의 연장선 이 원과 만나는 점을 E라 하자. 이때, 의 값은? ① '2-1 ② ‹'2-1 ③ '3-1 ④ ‹'3-1 ⑤ '5-1 D A B E C '4 3 6₁₂₈ EC” EB”

0

7

고난도

(30)

유형 지수 구하기

3

출제유형주어진 방정식의 지수를 묻는 문제가 출제된다. 출제유형잡기주어진 식을 변형하여 간단히 한 후 지수의 확 장과 지수법칙을 이용한다. 필수유형 자연수 a, b에 대하여 두 수 ‹æ≠ 과 ﬁæ≠ 이 모두 유리 수일 때, a+b의 최솟값은? ① 12 ② 14 ③ 16 ④ 18 ⑤ 20 3∫ ±⁄ 2å 3∫ 2å ±⁄ |출제의도| 거듭제곱근이 유리수가 되기 위한 지수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| ‹æ≠ 이 유리수이려면 a+1, b가 3의 배수이어야 하고, ﬁæ≠ 이 유리수이려면 a, b+1이 5의 배수이어야 한다.

a는 5의 배수, a+1은 3의 배수이므로 a의 최솟값은 5이다. b는 3의 배수, b+1은 5의 배수이므로 b의 최솟값은 9이다. 따라서 a+b의 최솟값은 5+9=14이다. ② 3∫ ±⁄ 2å 3∫ 2å ±⁄ 실수 x에 대하여 8≈ —⁄ =27일 때, { };[!; +2≈ 의 값은? ① ② ③ ④ 11₂ ⑤ 13₂ 9 2 7 2 5 2 1 6

0

8

두 실수 a, b에 대하여 18a =4, 144b =8일 때, - 의 값은? ① 3 ② 2 ③ -1 ④ -2 ⑤ -3 3 b 2 a

0

9

서로 다른 세 양수 x, y, z가 다음 조건을 만족시킬 때, _m1 +_n1-_k1의 값은? (단, m, n, k는 실수이다.)

10

xyz=6, xμ =(2y)« = 1 =216 (3z)˚ ① ② ③ ④ 5₄ ⑤ 4₃ 3 4 2 3 1 3

(31)

04 지수

₃₁

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 13쪽 유형 지수의 대소

4

출제유형 지수가 유리수인 수의 대소를 묻는 문제가 출제 된다. 출제유형잡기a≈ , a¥ 과 같이 밑이 같도록 통일시킨 다음, 지 수의 확장과 지수법칙을 이용하여 지수의 대소를 비교한 후 주어진 식의 대소를 결정한다. 필수유형

a>1인 실수 a에 대하여 øπ"≈a‹ +‹"≈a› -2 ⁄ ¤"≈a⁄ ‡ 을 간단히 하면? ① ‹"≈a¤ -›"≈a‹ ② ›"≈a‹ -‹"≈a¤

③ ‹"≈a› -›"≈afi ④ ‹"≈afi -›"≈afi ⑤ fl"≈afi -fi"≈a›

|출제의도| 지수의 대소를 이용하여 이중근호를 간단히 할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

øπ"≈a‹ +‹"≈a› -2 ⁄ ¤"≈a⁄ ‡ =øπ"≈a‹ +‹"≈a› -2"√ﬂ"≈a⁄ ‡ 이고

ﬂ"ça⁄ ‡ =a:¡6¶:_=a;2#;+;3$;_=a;2#;_a;3$;

="≈a‹ ‹"≈a› 이다.

이때, a>1이므로 "≈a‹ =a;2#;_>a;3$;

=‹"≈a› 이다.

∴ øπ"≈a‹ +‹"≈a› -2⁄ ¤"≈a⁄ ‡ =ø∑"≈a‹ -ø∑‹"≈a› =›"≈a‹ -‹"≈a¤

② 다음 세 수의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

11

A=›'3+‹'4, B=‹'3å2, C=›'3+'2 ① A<B<C ② A<C<B ③ B<A<C ④ B<C<A ⑤ C<A<B 1보다 큰 두 실수 a, b에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

12

ㄱ. 'a<‹'b이면 a‹ <b¤ 이다. ㄴ. ‹"≈a¤ <›"≈b이면 a¤ <b이다. ㄷ. ›'a<‹"≈b¤ 이면 a<b‹ 이다. 보기 ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ a∫ <bå <1을 만족시키는 두 양수 a, b가 있다. 네 점 A(a∫ , b—å ), B(bå , b—å ), C(bå , a—∫ ), D(a∫ , a—∫ ) 에 대하여 사각형 ABCD의 넓이가 8이고, 긴 변의 길 이가 9일 때, a∫ 의 값은? ① ② ③ ④ -2+'5₂ ⑤ -3(2-'5)₅ -2(2-'6) 9 -2+'6 5 -2+'5 9

13

신유형

(32)

유형 지수의 활용

5

출제유형실생활과 관련된 지수의 수식을 수학적으로 재구 성한 문제, 이전 학년에서 학습한 내용을 연계하여 묻는 문제 등이 출제된다. 출제유형잡기실생활과 관련된 문제의 경우 주어진 문제에 서 제시된 기호의 정의를 정확히 파악한 후 지수법칙을 이 용하여 문제를 해결한다. 또한, 이전 학년에서 학습한 유 리함수, 삼각함수, 행렬의 기본 성질을 정확히 알고 있어 야 한다. 필수유형 양수기로 물을 끌어올릴 때, 펌프의 1분당 회전수 N, 양수량 Q, 양수할 높이 H와 양수기의 비교회전도 S 사이에는 다음 과 같은 관계가 있다고 한다. S=NQ;2!;_H-;4#; (단, N, Q, H의 단위는 각각 rpm, m‹ /분, m이다.) 펌프의 1분당 회전수가 일정한 양수기에 대하여 양수량이 24, 양수할 높이가 5일 때의 비교회전도를 S¡, 양수량이 12, 양수할 높이가 10일 때의 비교회전도를 S™라 하자. 의 값은? ~3점₩ ① 2;4#; _{② 2};8&; _{③ 2} ④ 2;8(; _{⑤ 2};4%; ~2010년 9월 평가원₩ S¡ S™ |출제의도| 지수법칙을 이용하여 실생활과 관련된 문제를 풀 수 있는지를 묻는 문제이다. |풀이| S=NQ;2!;_H-;4#; 에서 Q=24, H=5일 때, S¡=N_24;2!;_{_5}-;4#; Q=12, H=10일 때, S™=N_12;2!; _10-;4#; ∴ = = = =2;2!;-{-;4#;}₌₂;4%; ⑤ 2;2!; 2-;4#; N_2;2!;_{_12};2!;_{_5}-;4#; N_12;2!;_{_2}-;4#;_{_5}-;4#; N_24;2!;_{_5}-;4#; N_12;2!;_{_10}-;4#; S¡ S™ 실수 x에 대하여 { }≈ +{ }≈ ±⁄ 은 x=a일 때 최솟값 b를 갖는다. 이때, ab의 값은? ① - ② - ③ -④ 1₂ ⑤ '3₂ 1 2 '2 2 '3 2 3 4 4 3

15

이차함수 y=‹'4x¤ +2'3x+‹'1å6의 최솟값은? ① 2-;3$; _{② 2—⁄} _{③ 2}-;3@; ④ 2;3@; _{⑤ 2};3$;

16

당분을 소화시켜 알코올을 생산하는 효모는 생산된 알코올 때문에 죽는다. 200 g의 어떤 효모가 발효하기 시 작한 지 t시간 후의 효모의 양 A(t) g은 A(t)=100(1+r-;5 ˇ0;) (단, 1<r<100) 으로 나타난다고 한다. 발효를 시작한 지 10시간 후의 효모의 양이 5시간 후의 효모의 양의 배가 될 때, r 의 값은? ① { }⁄ ‚ ② { }⁄ ‚ ③ { }⁄ ‚ ④ { }⁄ ‚3₂ ⑤ { }¤ ‚6₅ 4 3 5 4 6 5 13 15

14

(33)

04 지수

₃₃

www.ebsi.co.kr 정답과풀이 14쪽 그림과 같이 AB”=‹'4, BC”=›'8, ∠ABC= 인 삼각형 ABC의 넓이는? ① ② ③ ④ ⑤ 1 ﬂ"≈2ﬁ 1 ›'8 1 ‹'4 1 ⁄ ¤"≈2‡ 1 '2 B C A p ;:;₆ '4 3 '8 4 p 6

18

1이 아닌 양의 실수 a에 대하여 이차정사각행렬 ¶ •의역행렬이존재하지않을때, 의 값은? (단, mæ2이고, m, n은 자연수이다.) ① ② ③ ④ 14₁₅ ⑤ 15₁₆ 13 14 12 13 11 12 n m 'a ‹"≈a¤ ›"≈a‹ μ "≈a«

20

3의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 a, -4의 5제곱근 중 실수인 것의 개수를 b라 할 때, 함수 y= 의 점 근선의 방정식은? ① x=-2, y=-1 ② x=-2, y=1 ③ x=-2, y=2 ④ x=-1, y=-1 ⑤ x=-1, y=1 x+b x+a

17

(40.2)ﬂ 이 a의 n제곱근이 되도록 하는 두 자연수 a, n의 순서쌍 (a, n)의 개수는? (단, 2…n…100) ① 5 ② 10 ③ 15 ④ 20 ⑤ 25

19

(34)

1

지수함수

05

지수함수 y=a≈ (a>0, a+1)

⑴ 실수 x에 대하여 a≈ (a>0, a+1)의 값을 대응시키면 각각의 x에 대하여 a≈ 의 값이 오직 하나로 정해진다. 이와 같은 함수 y=a≈ 을 a를 밑으로 하는 지수함수라 한다.

⑵ 지수함수 y=a≈ (a>0, a+1)의 성질

① 정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양의 실수 전체의 집합이다. ② 점 (0, 1)을 지나고 x축을 점근선으로 갖는다.

③ a>1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 0<a<1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

④ 지수함수 y=a≈ 과 y={ }≈ 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.

⑤ 지수함수 y=a≈ —μ +n의 그래프는 y=a≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이 동한 것이다. ⑥ y=af(x) 에서 a>1일 때, f(x)의 값이 최대이면 y=af(x) 의 값도 최대이고, f(x)의 값이 최소이면 y=af(x) 의 값도 최소이다. 0<a<1일 때, f(x)의 값이 최대이면 y=af(x) 의 값은 최소이고, f(x)의 값이 최소이면 y=af(x) 의 값은 최대 이다. 1 a y x a>1 O y=a≈ a 1 1 y x 0<a<1 O y=a≈ a 1 1 2 지수방정식 ⑴ 지수에 미지수를 포함하고 있는 방정식을 지수방정식이라 한다. ⑵ 지수방정식의 풀이：a>0, a+1일 때 ① ax¡ =ax™ HjK x¡=x™ ② af(x) =ag(x) _{HjK f(x)=g(x)} ③ a≈ 의 꼴이 반복되면 a≈ =t로 치환하여 t에 대한 방정식을 푼다. 이때, t>0임에 유의한다. 3 지수부등식 ⑴ 지수에 미지수를 포함하고 있는 부등식을 지수부등식이라 한다. ⑵ 지수부등식의 풀이 ① a>1일 때, ax¡_<ax™ 이면 x¡<x™ 0<a<1일 때, ax¡_<ax™ 이면 x¡>x™