1. 순 열
1 경우의 수
합의 법칙과 곱의 법칙
유형 11.1.다항식 를 전개하였을 때 항의 개수는?
[3점][2005(나) 7월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
2.2.그림과 같이 개의 섬이 다리로 연결되어 있다. 흰색, 노란색, 파란 색 깃발이 각각 개씩 총 개 있을 때, 이 개의 깃발을 섬에 한 개씩 세우고자 한다. 다리로 연결된 이웃한 두 섬에는 같은 색의 깃발을 세우 지 않는다고 할 때, 깃발을 세우는 경우의 수는? (단, 같은 색의 깃발끼 리는 서로 구별하지 않는다.)
[3점][2017(가) 10월/교육청 13]
① ② ③
④ ⑤
3.3.집합 에서 집합 으로의 함수 중 에서 가 의 배수가 되도록 하는 함수 의 개수는?
[3점][2017(가) 4월/교육청 12]
① ② ③
④ ⑤
4.4.장미 송이, 카네이션 송이, 백합 송이가 있다. 이 중 송이를 골라 꽃병 A 에 꽂고, 이 꽃과는 다른 종류의 꽃들 중 꽃병 B 에 꽂을 꽃 송이를 고르는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의 꽃은 서로 구분하지 않는다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 26]
꽃병 A
꽃병 B
5.5.그림은 어떤 학생이 작성한 수행평가 보고서의 표지이다.
머리말, 제목, 인적사항의 글꼴을 표에서 각각 한 개씩 선택하여 바꾸 려고 할 때, 글꼴이 모두 다른 경우의 수를 구하시오.
[3점][2006(가) 4월/교육청 23]
구분 글꼴
머리말 중고딕, 견고딕, 굴림체
제 목 중고딕, 견고딕, 굴림체, 신명조, 견명조, 바탕체 인적사항 신명조, 견명조, 바탕체
6.6.집합 , , 은 다음과 같다.
, ,
집합 에서 한 개의 원소를 선택하여 백의 자리의 수, 집합 에서 한 개의 원소를 선택하여 십의 자리의 수,
집합 에서 한 개의 원소를 선택하여 일의 자리의 수로 하는 세 자리 의 수를 만들 때, 각 자리의 수가 모두 다른 세 자리의 수의 개수는?
[3점][2005(나) 9월/평가원 8]
① ② ③
④ ⑤
7.7., , 으로 만들 수 있는 세 자리의 자연수는 개가 있다. 이 중 에서 다음 규칙을 만족시키는 세 자리의 자연수의 개수를 구하시오.
[3점][2005(가) 4월/교육청 19]
(가) 바로 다음에는 이다.
(나) 바로 다음에는 또는 이다.
(다) 바로 다음에는 , 또는 이다.
8.8.집합 에서 선택한 세 개의 원소 , , 이
을 만족시키는 경우의 수는? (단, ＜＜이다.) [3점][2006(나) 6월/평가원 9]
① ② ③
④ ⑤
2 순 열
순열의 수
유형 19.9.P의 값은?
[2점][2016(가) 6월/평가원 3]
① ② ③
④ ⑤
10.10.P 의 값을 구하시오.
[3점][2017(가) 9월/평가원 22]
11.11.P 을 만족시키는 자연수 의 값을 구하시오.
[3점][2017(나) 10월/교육청 22]
12.12.P 일 때, 자연수 의 값을 구하시오.
[3점][2016(나) 4월/교육청 22]
13.13.여학생 명이 먼저, 남학생 명이 나중에 한 명씩 차례로 놀이공 원에 입장하려고 한다. 이 학생 명이 놀이공원에 입장하는 방법의 수 는?
[3점][2007(나) 9월/평가원 7]
① ② ③
④ ⑤
14.14. 을 한 번씩만 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 자 연수 중에서 일의 자리의 수와 백의 자리의 수가 모두 의 배수인 자연 수의 개수를 구하시오.
[3점][2005(나) 6월/평가원 21]
특정 조건이 있는 순열
유형 215.15.여학생 명과 남학생 명이 순서를 정하여 차례로 뜀틀 넘기를 할 때, 여학생 명이 연이어 뜀틀 넘기를 하게 되는 경우의 수는?
[3점][2006(나) 9월/평가원 6]
① ② ③
④ ⑤
16.16.일렬로 나열된 개의 좌석에 세 쌍의 부부가 임의로 앉을 때, 부부 끼리 서로 이웃하여 앉을 확률은?
[3점][2017(가) 10월/교육청 9]
①
②
③
④
⑤
17.17.흰색 깃발 개, 파란색 깃발 개를 일렬로 모두 나열할 때, 양 끝 에 흰색 깃발이 놓이는 경우의 수는? (단, 같은 색 깃발끼리는 서로 구 별하지 않는다.)
[3점][2012(가) /수능 5]
① ② ③
④ ⑤
18.18.남자 명과 여자 명이 한 줄로 서서 등산을 할 때, 남자가 양끝 에 서는 경우의 수는?
[3점][2010(나) 7월/교육청 4]
① ② ③
④ ⑤
19.19.두 인형 A B에게 색이 정해지지 않은 셔츠와 바지를 모두 입힌 후, 입힌 옷의 색을 정하는 컴퓨터 게임이 있다. 서로 다른 모양의 셔츠 와 바지가 각각 개씩 있고, 각 옷의 색은 빨강과 초록 중 하나를 정한 다. 한 인형에게 입힌 셔츠와 바지는 다른 인형에게 입히지 않는다. A 인형의 셔츠와 바지의 색은 서로 다르게 정하고, B인형의 셔츠와 바지 의 색도 서로 다르게 정한다. 이 게임에서 두 인형 A B에게 셔츠와 바 지를 입히고 색을 정할 때, 그 결과로 나타날 수 있는 경우의 수는?
[4점][2010(나) /수능 14]
① ② ③
④ ⑤
3 여러 가지 순열
중복순열
유형 120.20.∏의 값을 구하시오.
[3점][2017(가) 4월/교육청 22]
21.21.서로 다른 종류의 연필 자루를 명의 학생 A B C D에게 남 김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)
[3점][2015(B) 6월/평가원 9]
① ② ③
④ ⑤
22.22.숫자 , , , , 중에서 중복을 허락하여 세 개를 택해 일렬 로 나열하여 만든 세 자리 자연수가 홀수인 경우의 수는?
[3점][2017(가) 7월/교육청 8]
① ② ③
④ ⑤
23.23.숫자 중에서 중복을 허락하여 네 개를 택해 일렬로 나열하여 만든 네 자리의 자연수가 의 배수인 경우의 수는?
[3점][2017(가) 수능 5]
① ② ③
④ ⑤
24.24.다섯 개의 숫자 , , , , 중에서 중복을 허용하여 개의 숫 자를 뽑아 세 자리의 자연수를 만들 때, 홀수의 개수를 구하시오.
[3점][2017(가) 10월/교육청 23]
25.25.서로 다른 과일 개를 개의 그릇 A , B, C에 남김없이 담으려고 할 때, 그릇 A 에는 과일 개만 담는 경우의 수는? (단, 과일을 하나도 담지 않은 그릇이 있을 수 있다.)
[4점][2016(가) 9월/평가원 19]
① ② ③
④ ⑤
사전식 배열
유형 2두 집단을 배열하는 순열
유형 326.26.다음 그림의 빈칸에 장의 사진 A B C D E F 를 하나씩 배치 하여 사진첩의 한 면을 완성할 때, A 와 B가 이웃하는 경우의 수는?
(단, 옆으로 이웃하는 경우만 이웃하는 것으로 한다.)
[4점][2009(나) 9월/평가원 28]
① ② ③
④ ⑤
27.27.그림과 같이 경계가 구분된 개 지역의 인구조사를 조사원 명이 담당하려고 한다. 명 중에서 명은 서로 이웃한 개 지역을, 나머지 명은 남은 개 지역을 각각 개씩 담당한다. 이 조사원 명의 담당 지 역을 정하는 경우의 수는? (단, 경계가 일부라도 닿은 두 지역은 서로 이웃한 지역으로 본다.)
[3점][2010(가) 9월/평가원 7]
① ② ③
④ ⑤
28.28.할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 명의 가족이 있다.
이 가족이 그림과 같이 번호가 적힌 개의 의자에 모두 앉을 때, 아버 지, 어머니가 모두 홀수 번호가 적힌 의자에 앉는 경우의 수는?
[3점][2016(나) 4월/교육청 10]
원탁에 둘러앉는 방법의 수
유형 429.29.서로 다른 개의 접시를 원 모양의 식탁에 일정한 간격을 두고 원 형으로 놓는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본 다.)
[3점][2017(나) 9월/평가원 6]
① ② ③
④ ⑤
30.30.그림과 같이 최대 6개의 용기를 넣을 수 있는 원형의 실험기구가 있다. 서로 다른 6개의 용기 A B C D E F 를 이 실험 기구에 모두 넣을 때, A 와 B가 이웃하게 되는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하 는 것은 같은 것으로 본다.)
[3점][2011(가) 9월/평가원 6]
① ② ③
④ ⑤
31.31.여학생 명과 남학생 명이 원탁에 같은 간격으로 둘러앉으려고 한다. 각각의 여학생 사이에는 명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학 생 사이에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다. 명의 학생이 모두 앉는 경우의 수가 × 일 때, 자연수 의 값은? (단, 회전하여 일치하는 것들은 같은 것으로 본다.)
[4점][2017(가) 3월/교육청 15]
① ② ③
④ ⑤
평면도형에서 색칠하는 방법의 수
유형 532.32.그림과 같이 합동인 정삼각형 개와 합동인 등변사다리꼴 개로 이루어진 팔면체가 있다. 팔면체의 각 면에는 한 가지의 색을 칠한다고 할 때, 서로 다른 개의 색을 모두 사용하여 팔면체의 각 면을 칠하는 경우의 수는? (단, 팔면체를 회전시켰을 때 색의 배열이 일치하면 같은 경우로 생각한다.)
[4점][2010(가) 3월/교육청 15]
① ② ③
④ ⑤
같은 것이 있는 순열의 수
유형 633.33.A A A B B C 의 문자가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있 다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝 모두에 A 가 적힌 카드가 나오게 나열될 확률은?
[3점][2017(가) 9월/평가원 10]
①
②
③
④
⑤
34.34.다음 조건을 만족시키는 네 자연수 , , , 로 이루어진 모든 순 서쌍 의 개수를 구하시오.
[4점][2017(가) 3월/교육청 26]
(가)
(나) × × × 는 의 배수이다.
35.35.그림과 같이 주머니에 숫자 이 적힌 흰 공과 검은 공이 각각 개, 숫자 가 적힌 흰 공과 검은 공이 각각 개가 들어 있고, 비어 있는 개의 칸에 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 진열장이 있다.
숫자가 적힌 개의 칸에 주머니 안의 공을 한 칸에 한 개씩 모두 넣을 때, 숫자 , , 이 적힌 칸에 넣는 세 개의 공이 적힌 수의 합이 이 고 모두 같은 색이 되도록 하는 경우의 수를 구하시오. (단, 모든 공은 크기와 모양이 같다.)
[4점][2017(가) 4월/교육청 28]
36.36.다음은 한 개의 주사위를 번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 이 상의 짝수인 경우의 수를 구하는 과정이다.
(ⅰ) 한 개의 주사위를 번 던져서 나오는 모든 경우의 수는
이다.
(ⅱ) 한 개의 주사위를 번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 홀수 인 경우는 , , 중에서 중복을 허락하여 개를 선택한 후 일렬로 배열하는 중복순열과 같으므로 이 경우의 수는
가 이다.
(ⅲ) 이하의 짝수는 , , 이므로 세 수의 곱이 인 경우는 , , 을 일렬로 배열하는 순열,
세 수의 곱이 인 경우는 , , 또는 , , 을 일렬로 배열하는 순열,
세 수의 곱이 인 경우는 , , 또는 , , 을 일렬로 배열하는 순열이다.
그러므로 한 개의 주사위를 번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 이하의 짝수인 경우의 수는 나 이다.
따라서 한 개의 주사위를 번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 이상의 짝수인 경우의 수는 다 이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 , , 라 할 때,
의 값은?
[4점][2017(나) 4월/교육청 20]
① ② ③
④ ⑤
순서가 정해진 경우의 순열
유형 737.37.어느 회사원이 처리해야 할 업무는 A B를 포함하여 모두 가지이 다. 이 중에서 A B를 포함한 가지 업무를 오늘 처리하려고 하는데, A 를 B보다 먼저 처리해야 한다. 오늘 처리할 업무를 택하고, 택한 업 무의 처리 순서를 정하는 경우의 수는?
[3점][2010(가) /수능 6]
① ② ③
④ ⑤
38.38.부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 가 적혀 있는 카드 는 가 적혀 있는 카드보다 왼쪽에 나열하고 홀수가 적혀 있는 카드는 작은 수부터 크기 순서로 왼쪽부터 나열하는 경우의 수는?
[3점][2013(B) 6월/평가원 5]
① ② ③
④ ⑤
39.39.개의 본사와 개의 지사로 이루어진 어느 회사의 본사로부터 각 지사까지의 거리가 표와 같다.
지사 가 나 다 라 마
거리(km )
본사에서 각 지사에 A , B , C , D , E 를 지사장으로 각각 발령할 때, A 보다 B 가 본사로부터 거리가 먼 지사의 지사장이 되도록 명을 발령하는 경우의 수는?
[4점][2010(나) 6월/평가원 28]
① ② ③
④ ⑤
같은 것이 있는 순열의 활용
유형 840.40.서로 다른 공 개를 남김없이 서로 다른 상자 개에 나누어 넣으려 고 할 때, 넣은 공의 개수가 인 상자가 있도록 넣는 경우의 수는? (단, 공을 하나도 넣지 않은 상자가 있을 수 있다.)
[4점][2018학년(가) 수능 18]
① ② ③
④ ⑤
41.41.어느 행사장에는 현수막을 개씩 설치할 수 있는 장소가 곳이 있 다. 현수막은 A B C 세 종류가 있고, A 는 개, B는 개, C는 개 가 있다. 다음 조건을 만족시키도록 현수막 개를 택하여 곳을 설치할 때, 그 결과로 나타날 수 있는 경우의 수는? (단, 같은 종류의 현수막끼 리는 구분하지 않는다.)
[3점][2011(가) /수능 6]
(가) A 는 반드시 설치한다.
(나) B는 곳 이상 설치한다.
< 보 기 >
① ② ③
④ ⑤
42.42.어떤 사회봉사센터에서는 다음과 같은 가지 봉사활동 프로그램을 매일 운영하고 있다.
프로그램 A B C D
봉사활동 시간 시간 시간 시간 시간
철수는 이 사회봉사센터에서 일간 매일 하나씩의 프로그램에 참여하여 다섯 번의 봉사활동 시간 합계가 시간이 되도록 아래와 같은 봉사활동 계획서를 작성하려고 한다. 작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수 는?
[4점][2009(가) /수능 15]
봉사활동 계획서
성명 :
참여일 참여프로그램 봉사활동시간
봉사활동시간 합계 시간
① ② ③
④ ⑤
최단 경로의 수
유형 943.43.그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다.
이 도로망을 따라 A 지점에서 출발하여 P 지점을 지나 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는?
[3점][2017(나) 6월/평가원 7]
① ② ③
④ ⑤
44.44.그림과 같은 모양의 도로망이 있다. 지점 A 에서 지점 B까지 도로 를 따라 최단 거리로 가는 경우의 수는? (단, 가로 방향 도로와 세로 방 향 도로는 각각 서로 평행하다.)
[4점][2007(가) 9월/평가원 12]
① ② ③
④ ⑤
45.45.그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다.
이 도로망을 따라 A 지점에서 출발하여 B 지점까지 최단거리로 가는 경 우의 수는?
[3점][2012(가) 9월/평가원 5]
① ② ③
④ ⑤
46.46.그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 A 지점에서 출발하여 C지점을 지나지 않고, D 지점도 지나지 않으 면서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는?
[3점][2013(가) /수능 5]
① ② ③
④ ⑤
47.47.다음과 같이 정사각형을 가로 방향으로 등분하여 [도형]을 만들 고, 세로 방향으로 등분하여 [도형]를 만든다.
[도형]과 [도형]를 번갈아가며 계속 붙여 아래와 같은 도형을 만든 다. 그림과 같이 첫 번째 붙여진 [도형]의 왼쪽 맨 위 꼭짓점을 A 라 하고, [도형]의 개수와 [도형]의 개수를 합하여 개 붙여 만든 도형 의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 B이라 하자.
꼭짓점 A 에서 꼭짓점 B까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를
이라 할 때, 의 값은?
[4점][2008(가) 수능(홀) 14]
① ② ③
④ ⑤
2. 조 합
1 조 합
조합의 수
유형 148.48.C의 값을 구하시오.
[3점][2018학년(가) 수능 22]
49.49.C의 값은 구하시오.
[3점][2017(가) 6월/평가원 22]
50.50.C의 값은?
[2점][2017(가) 3월/교육청 2]
① ② ③
④ ⑤
51.51.C의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 9월/평가원 22]
52.52.PC의 값을 구하시오.
[3점][2017(나) 7월/교육청 23]
53.53.PC의 값을 구하시오.
[3점][2017(나) 수능 22]
54.54.PC의 값은?
[2점][2016(가) 7월/교육청 1]
① ② ③
55.55.등식 PC 을 만족시키는 자연수 의 값은?
[3점][2016(나) 10월/교육청 4]
① ② ③
④ ⑤
56.56.등식 ×C ×P를 만족시키는 자연수 의 값을 구하시오.
[3점][2011(나) /수능 18]
57.57.등식 P ×C를 만족시키는 자연수 의 값을 구하시오.
[3점][2010(나) 9월/평가원 19]
58.58.이틀 동안 진행하는 어느 축제에 모두 다섯 개의 팀이 참가하여 공 연한다. 매일 두 팀 이상이 공연하도록 다섯 팀의 공연 날짜와 공연 순 서를 정하는 경우의 수는? (단, 공연은 한 팀씩 하고, 축제 기간 중 각 팀은 회만 공연한다.)
[3점][2017(가) 6월/평가원 13]
① ② ③
④ ⑤
59.59.어느 학교 동아리 회원은 학년이 명, 학년이 명이다. 이 동아 리에서 명을 뽑을 때, 학년에서 명, 학년에서 명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.
[3점][2016(가) 6월/평가원 24]
60.60.어느 동아리에 속한 여학생 수와 남학생 수가 같다. 이 동아리에서
명의 대표를 선출하려고 한다. 남녀 구분 없이 명의 대표를 선출하는 경우의 수가 여학생 중에서 명의 대표를 선출하는 경우의 수의 배 일 때, 이 동아리에 속한 여학생 수는?
[3점][2007(나) 6월/평가원 12]
① ② ③
④ ⑤
61.61.부와 부로 나누어 진행하는 어느 음악회에서 독창 팀, 중창 팀, 합창 팀이 모두 공연할 때, 다음 두 조건에 따라 팀의 공연 순서 를 정하려고 한다.
(가) 부에는 독창, 중창, 합창 순으로 팀이 공연한다.
(나) 부에는 독창, 중창, 합창, 합창 순으로 팀이 공연한다.
이 음악회의 공연 순서를 정하는 방법의 수는?
[3점][2008(나) /수능(홀) 9]
① ② ③
④ ⑤
62.62.A 지역에는 세 곳, B지역에는 네 곳, C지역에는 다섯 곳, D지역에 는 여섯 곳의 관광지가 있다. 이 중에서 세 곳을 선택하여 관광하려고 할 때, 선택한 세 곳이 모두 같은 지역이 되는 경우의 수는?
[3점][2005(나) 6월/평가원 9]
① ② ③
④ ⑤
63.63.어느 지역의 개 야구팀 , , , , 는 매년 각 팀이 서로 다른 팀들과 각각 번씩 경기를 하여 승리한 경기 수가 많은 순서로 순 위를 결정하는 대회를 한다. 년 대회의 최종결과에서는 위부터 위 팀까지의 승리한 경기 수가 등차수열을 이루었다. 위 팀이 승리한 경기 수가 일 때, 위 팀이 승리한 경기 수는? (단, 모든 경기에서 무승부는 없다고 한다.)
[3점][2013(A) 7월/교육청 13]
① ② ③
④ ⑤
64.64. 부터 까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 다 음은 이 카드 중에서 동시에 3장을 선택할 때, 카드에 적힌 어느 두 수 도 연속하지 않는 경우의 수를 구하는 과정이다.
두 자연수 ( ≤ ≤ )에 대하여 부터 까지 자연 수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드에서 동시에 장을 선택할 때, 카드에 적힌 어느 두 수도 연속하지 않는 경우의 수를
이라 하자.
장의 카드에서 3장의 카드를 선택할 때, 가 적힌 카드가 선택되는 경우와 선택되지 않는 경우로 나누면 에 대하 여 다음 관계식을 얻을 수 있다.
가 ,
에 8이 적힌 카드가 선택되는 경우와 선택하지 않는 경 우로 나누어 적용하면
가 ,
이다. 이와 같은 방법을 계속 적용하면
이다. 여기서
나
이므로
다 이다.
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
[4점][2009(가) 9월/평가원 10]
(가) (나) (다)
① C
② C
③ C
④ C
⑤ C
분류를 통한 조합의 계산
유형 265.65. 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 장의 카드 중에 서 동시에 장의 카드를 선택하려고 한다. 선택한 카드에 적혀 있는 수 의 합이 짝수인 경우의 수는?
[4점][2016(가) 3월/교육청 17]
① ② ③
④ ⑤
66.66.어느 김밥 가게에서는 기본재료만 포함된 김밥의 가격을 원으 로 하고, 기본재료 외에 선택재료가 추가될 경우 다음 표에 따라 가격을 정한다. 예를 들어 맛살과 참치가 추가된 김밥의 가격은 원이다.
선택재료 가격(원)
햄
맛살
김치
불고기
치즈
참치
선택재료를 추가하였을 때, 가격이 원 또는 원이 되는 김밥의 종류는 모두 몇 가지인가? (단, 선택재료의 양은 가격에 영향을 주지 않 는다.)
[4점][2009(나) 9월/평가원 8]
① ② ③
④ ⑤
67.67.지수는 다음 규칙에 따라 월요일부터 금요일까지 일 동안 하루에 한 가지씩 운동을 하는 계획을 세우려 한다.
(가) 일 중 일을 선택하여 요가를 한다.
(나) 요가를 하지 않는 일 중 하루를 선택하여 수영, 줄넘기 중 한 가지를 하고, 남은 하루는 농구, 축구 중 한 가지 를 한다.
지수가 세울 수 있는 계획의 가짓수는?
① ② ③
④ ⑤
[3점][2010(나) 9월/평가원 27]
68.68.서로 다른 종류의 체험 프로그램을 운영하는 어느 수련원이 있다.
이 수련원의 프로그램에 참가한 A 와 B가 각각 종류의 체험 프로그램 중에서 종류를 선택하려고 한다. A 와 B가 선택하는 종류의 체험 프 로그램 중에서 한 종류만 같은 경우의 수를 구하시오.
[4점][2008(가) /수능(홀) 25]
69.69.한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 시트지 장, 빗변의 길이가
인 직각이등변삼각형 모양의 시트지 장이 있다. 정사각형 모양의 시트지의 색은 모두 노란색이고, 직각이등변삼각형 모양의 시트지의 색 은 모두 서로 다르다.[그림 1]과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 창문 네 개가 있 는 집이 있다. [그림 2]는 이 집의 창문 네 개에 장의 시트지를 빈틈없 이 붙인 경우의 예이다.
이 집의 창문 네 개에 시트지 장을 빈틈없이 붙이는 경우의 수는? (단, 붙이는 순서는 구분하지 않으며, 집의 외부에서만 시트지를 붙일 수 있 다.)
[4점][2016(가) 3월/교육청 15]
[그림 1] [그림 2]
① ② ③
④ ⑤
적어도 ~의 조건을 포함하는 조합의 수
유형 370.70.어떤 스키장에서 개장을 앞두고 안전관리요원 모집 공고를 했더니 남자 명, 여자 명이 지원하였다. 이들 지원자 중에서 명을 선발하려 고 한다. 남자 명, 여자 명을 선발하는 경우의 수를 , 적어도 여자
명을 선발하는 경우의 수를 , 특정한 명을 반드시 선발하는 경우의 수를 라 할 때, 의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?
[3점][2004(가) 11월/교육청(고2) 7]
① ＜ ＜ ② ＜ ＜ ③ ＜ ＜
④ ＜ ＜ ⑤ ＜ ＜
뽑아서 나열하기
유형 471.71. 대학교에서는 수시 입학 전형을 위한 입학사정관을 선정하기 위 하여 공모한 결과 남자 명과 여자 명이 응모하였다. 남녀 혼성으로 명의 입학사정관을 선정하여 가지 업무를 한 가지씩 명에게 모두 배 정하는 경우의 수는?
[4점][2009(나) 7월/교육청 16]
① ② ③
④ ⑤
배수에 관한 경우의 수
유형 5순서가 정해진 조합(올림수와 내림수)
유형 672.72. 인 자연수 , , 에 대하여 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 각각 , , 인 세 자리의 자연수 중
보다 크고 보다 작은 모든 자연수의 개수는?
[3점][2017(가) 3월/교육청 12]
① ② ③
④ ⑤
조합을 이용한 도형의 개수
유형 773.73.그림과 같이 점 C 에서 만나는 두 선분 AF , C I 위에 개의 점이 있다. 이 중 세 점을 꼭짓점으로 하 는 삼각형의 개수를 구하시오.
[3점][2005(나) 7월/교육청 20]
2 중복조합
중복조합
유형 174.74.H의 값을 구하시오.
[3점][2017(가) /수능 22]
75.75.H 일 때, 자연수 의 값을 구하시오.
[3점][2017(가) 7월/교육청 23]
76.76.자연수 에 대하여 HC일 때, H의 값을 구하시오.
[3점][2012(가) /수능 22]
77.77.H의 값은?
[2점][2016(가) 10월/교육청 3]
① ② ③
④ ⑤
78.78.축구공, 농구공, 배구공 중에서 개의 공을 선택하는 방법의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 공은 개 이상씩 있고, 같은 종류의 공은 서 로 구별하지 않는다.)
[3점][2011(나) 10월/교육청 27]
79.79.다음 조건을 만족시키는 세 자연수 , , 의 모든 순서쌍
의 개수는?
[4점][2016(가) 7월/교육청 18]
(가) 세 수 , , 의 합은 짝수이다.
(나) ≤ ≤ ≤
① ② ③
④ ⑤
정수해의 개수
유형 280.80.방정식 를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 순서 쌍 의 개수를 구하시오.
[3점][2012(가) 6월/평가원 25]
81.81.각 자리의 수가 이 아닌 네 자리의 자연수 중 각 자리의 수의 합 이 인 모든 자연수의 개수는?
[4점][2016(가) 9월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
82.82.연립방정식
을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , 의 모든 순서쌍 의 개수는?
[4점][2015(A) /수능 18]
① ② ③
④ ⑤
83.83.방정식 를 만족시키는 이상의 정수 , , 의 모든 순서쌍 의 개수는?
[3점][2013(B) 9월/평가원 8]
① ② ③
④ ⑤
84.84.한 개의 주사위를 번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 라 하자. 방정식 을 만족시키는 해의 순서쌍 의 개수는?
[3점][2014(B) 7월/교육청 10]
① ② ③
④ ⑤
85.85.방정식 를 만족시키는 양의 정수 , , , 의 모든 순서쌍 의 개수는?
[4점][2016(나) 6월/평가원 14]
① ② ③
④ ⑤
86.86.다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍
의 개수는?
[4점][2014(B) 6월/평가원 20]
(가)
(나) 좌표평면에서 세 점 가 직선 위에 있지 않다.
① ② ③
④ ⑤
87.87.다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , , 의 모든 순 서쌍 의 개수는?
[4점][2016(A) /수능 17]
(가) , , , , 중에서 의 개수는 이다.
(나)
① ② ③
④ ⑤
88.88.사과, 감, 배, 귤 네 종류의 과일 중에서 개를 선택하려고 한다.
사과는 개 이하를 선택하고, 감, 배, 귤은 각각 개 이상을 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 과일은 개 이상씩 있다.)
[4점][2016(가) 6월/평가원 27]
89.89.다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍
의 개수는?
[4점][2017(나) 9월/평가원 16]
(가)
(나)
① ② ③
④ ⑤
90.90.다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍
의 개수는?
[4점][2015(A) 9월/평가원 19]
(가)
(나) ≤
① ② ③
④ ⑤
91.91.다음 조건을 만족시키는 자연수 , , 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하시오.
[4점][2015(B) /수능 26]
(가) × × 는 홀수이다.
(나) ≤ ≤ ≤
92.92.세 정수 , , 에 대하여
≤ ≤ ≤ ≤ 를 만족시키는 모든 순서쌍 의 개수는?
[4점][2016(B) /수능 14]
① ② ③
④ ⑤
93.93.다음 조건을 만족시키는 네 자리 자연수의 개수는?
[4점][2015(B) 10월/교육청 18]
(가) 각 자리의 수의 합은 이다.
(나) 각 자리의 수는 모두 홀수이다.
① ② ③
④ ⑤
94.94.네 개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택 할 때, 세 수의 곱이 이하가 되도록 선택하는 경우의 수는?
[4점][2014(A) 9월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
95.95.주머니 안에 , , , 가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 있다.
이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 넣 는 시행을 회 반복한다. 꺼낸 개의 공에 적힌 수를 모두 곱한 값으 로 가능한 서로 다른 정수의 개수는?
[4점][2014(B) 10월/교육청 14]
① ② ③
④ ⑤
96.96.네 개의 자연수 , , , 중에서 중복을 허락하여 개를 선택할 때, 선택된 개의 수의 곱이 의 배수가 되도록 하는 경우의 수를 구 하시오.
[4점][2017(가) 4월/교육청 26]
나누어 주는 방법
유형 397.97.서로 구별되지 않는 공 개를 A B C 명에게 남김없이 나누 어 주려고 한다. A 가 공을 개만 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구 하시오. (단, 개의 공도 받지 못하는 사람이 있을 수 있다.)
[3점][2015(A) 10월/교육청 24]
98.98.고구마피자, 새우피자, 불고기피자 중에서 개를 주문하는 경우의 수가 일 때, 고구마피자, 새우피자, 불고기피자를 적어도 하나씩 포함 하여 개를 주문하는 경우의 수는?
[3점][2013(B) 6월/평가원 10]
① ② ③
④ ⑤
99.99.흰색 탁구공 개와 주황색 탁구공 개를 명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 각 학생이 흰색 탁구공과 주황색 탁구공을 각각 한 개 이상 갖도록 나누어 주는 경우의 수는?
[4점][2014(A) /수능 18]
① ② ③
④ ⑤
100.100.같은 종류의 구슬 다섯 개를 서로 다른 세 개의 주머니에 나누어 넣으려고 한다. 각 주머니 안의 구슬이 세 개 이하가 되도록 넣는 방법 의 수는? (단, 구슬끼리는 서로 구별하지 않고 빈 주머니가 있을 수도 있다.)
[3점][2013(B) 10월/교육청 8]
① ② ③
④ ⑤
101.101.숫자 에서 중복을 허락하여 개를 택할 때, 숫자 가 한 개 이하가 되는 경우의 수는?
[3점][2014(B) /수능 9]
① ② ③
④ ⑤
102.102.어느 지역의 개 야구팀 , , , , 는 매년 각 팀이 서로 다른 팀들과 각각 번씩 경기를 하여 승리한 경기 수가 많은 순서로 순 위를 결정하는 대회를 한다. 어느 야구전문가는 각 팀의 전력을 분석하 여 내년 대회의 최종결과 중 우선 , 두 팀이 승리할 것으로 예상되 는 경기 수를 발표하였다. 그 발표를 바탕으로 나머지 세 팀의 결과를 예상하여 최종결과를 다음과 같이 표로 완성할 때, 만들 수 있는 서로 다른 순서쌍 의 개수는? (단, 모든 경기에서 무승부는 없다고 하며, 는 모두 이상의 자연수이다.)
[4점][2013(A) 7월/교육청 14]
팀 명
승리할 것으로
예상되는 경기 수
① ② ③
④ ⑤
함수의 개수
유형 4103.103.집합 에서 집합 로의 함수
중 다음 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하시오.
[3점][2011(가) 7월/교육청 27]
(가)
(나) 집합 의 임의의 두 원소 , 에 대하여
이면 ≤
104.104. ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 을 만족시키는 자연수 , , , 의 모든 순서쌍 의 개수는?
[3점][2013(A) 9월/평가원 10]
① ② ③
④ ⑤
3 분 할
집합의 분할
유형 1105.105.집합의 분할의 수 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 7월/교육청 24]
분할 및 분배의 수
유형 2106.106.서로 다른 개의 공을 두 바구니 A B에 개씩 담을 때, 그 결 과로 나올 수 있는 경우의 수를 구하시오.
[3점][2011(나) /수능 20]
107.107.체력단련장에서 사용하는 운동기구에는 그림과 같이 운동 관련 정 보 안내 화면이 개 있다. 한 화면이 최소 가지, 최대 가지의 정보 를 동시에 보여줄 수 있다. 다섯 가지 정보인 속도, 거리, 시간, 심장박 동 수, 칼로리 소모량을 동시에 모두 보여줄 수 있는 방법의 수는? (단, 한 화면에서 두 정보의 위치는 고려하지 않는다.)
[3점][2010(나) 7월/교육청 26]
① ② ③
④ ⑤
자연수의 분할
유형 3108.108.자연수 을 세 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는?
[3점][2016(가) 4월/교육청 6]
① ② ③
④ ⑤
109.109.자연수 을 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는?
[3점][2017(가) 6월/평가원 7]
① ② ③
④ ⑤
110.110.같은 종류의 컴퓨터용 사인펜 자루를 같은 종류의 필통 개에 나누어 넣을 때, 빈 필통이 없도록 넣는 경우의 수는?
[3점][2017(가) 4월/교육청 7]
① ② ③
④ ⑤
111.111.같은 종류의 접시 개에 같은 종류의 쿠키 개를 남김없이 나 누어 담을 때, 빈 접시가 없도록 담는 모든 방법의 수는?
[3점][2016(나) 7월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
112.112.자연수 을 짝수 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는?
[3점][2016(가) 6월/평가원 8]
① ② ③
④ ⑤
113.113.자연수 을 이상 이하의 자연수로 분할하는 방법의 수는?
[3점][2018학년(나) 수능 8]
① ② ③
④ ⑤
집합과 자연수의 분할의 구분
유형 4참고 문제
과일 6개를 3개의 접시에 나누어 담으려고 한다.
⑴ 서로 같은 종류의 과일을 서로 같은 종류의 접시에 빈 접시가 없도 록 나누어 담는 경우의 수는?
⑵ 서로 같은 종류의 과일을 서로 같은 종류의 접시에 담는 경우의 수 는? (단, 빈 접시가 있어도 된다.)
⑶ 서로 같은 종류의 과일을 서로 다른 종류의 접시에 빈 접시가 없도 록 담는 경우의 수는?
⑷ 서로 다른 종류의 과일을 서로 같은 종류의 접시에 빈 접시가 없도 록 담는 경우의 수는?
⑸ 서로 다른 종류의 과일을 서로 같은 종류의 접시에 담는 경우의 수 는? (단, 빈 접시가 있어도 된다.)
⑹ 서로 다른 종류의 과일을 서로 다른 종류의 접시에 빈 접시가 없도 록 담는 경우의 수는?
4 이항정리
의 전개식
유형 4114.114.다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
[3점][2014(A) 10월/교육청 22]
115.115. 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
[3점][2013(A) 7월/교육청 25]
116.116.다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
[3점][2014(A) 7월/교육청 23]
117.117.다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
[3점][2016(가) 4월/교육청 22]
118.118.다항식 의 전개식에서 의 계수는?
[3점][2015(A) 7월/교육청 9]
① ② ③
④ ⑤
119.119. 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
[3점][2016(가) 7월/교육청 22]
120.120.다항식 의 전개식에서 상수항이 일 때, 의 계수는?
[3점][2017(나) 4월/교육청 9]
① ② ③
④ ⑤
121.121.다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2007(나) 6월/평가원 20]
122.122.다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 자연수 의 값을 구하시오.
[3점][2010(나) /수능 19]
123.123.다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 양수 의 값은?
[3점][2015(A) /수능 7]
① ② ③
④ ⑤
124.124.다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 계수는? (단, 는 상수이다.)
[3점][2012(나) /수능 8]
① ② ③
④ ⑤
125.125.다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 양수 의 값을 구하시오.
[3점][2012(나) 9월/평가원 24]
126.126.다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 계 수를 구하시오. (단, 는 상수이다.)
[4점][2006(나) 9월/평가원 30]
127.127.다항식 의 전개식에서 의 계수와 의 계수가 같을 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 양수이다.)
[4점][2011(나) 9월/평가원 27]
128.128.다항식 의 전개식에서 의 계수가 의 계수의 배일 때, 양의 상수 의 값을 구하시오.
[3점][2007(나) 9월/평가원 22]
129.129. 의 전개식에서 세 항 , , 의 계수가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 상수 의 값은? (단, ≠ )
[3점][2010(가) 3월/교육청 26]
①
②
③
④
⑤
의 전개식
유형 2 130.130.
의 전개식에서 의 계수는?[3점][2018학년(가) 수능 6]
① ② ③
④ ⑤
131.131.
의 전개식에서 의 계수는?[3점][2008(나) /수능(홀) 7]
① ② ③
④ ⑤
132.132.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[3점][2012(가) 7월/교육청 22]
133.133.
의 전개식에서 의 계수는?[3점][2016(가) 6월/평가원 6]
①
②
③
④
⑤
134.134.
의 전개식에서 상수항을 구하시오.[3점][2013(B) 7월/교육청 23]
135.135.
의 전개식에서 의 계수는?[3점][2013(A) 10월/교육청 6]
① ② ③
136.136.
의 전개식에서 상수항을 구하시오.[3점][2010(나) 6월/평가원 19]
137.137.
의 전개식에서
의 계수는?
[4점][2009(나) /수능 9]
① ② ③
④ ⑤
138.138.
의 전개식에서 상수항이 일 때, 양수 의 값을 구 하시오.[3점][2014(B) 6월/평가원 23]
139.139.
C
의 값을 구하시오.[3점][2010(가) 4월/교육청 18]
140.140. 이 이상의 자연수일 때, 에 대한 다항식
의 전개식에서 의 계수를 이라 하자. lim
→ ∞
의 값을 구하시오.
[4점][2013(A) 9월/평가원 26]
141.141.
을 전개한 식에서 항의 계수는?
[4점][2006(나) 10월/교육청 12]
① ② ③
④ ⑤
다항식끼리의 곱에서 항의 계수
유형 3142.142.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[3점][2008(가) 11월/교육청(고2) 24]
143.143.다항식 의 전개식에서 의 계수는?
[3점][2005(나) 9월/평가원 6]
① ② ③
④ ⑤
144.144.다음은 에 대한 다항식 과 의 전개식 에서 의 계수가 같게 되는 두 자연수 와 ≥ 의 값을 구하 는 과정의 일부이다.
의 전개식에서 의 계수는 이다.
에서
을 전개하면 의 계수는 ㈎ × 이고,
을 전개하면 의 계수는 이다.
따라서 의 전개식에서 의 계수는
㈎ × 이다. 그러므로
㈎ ×
이고, 이 식을 정리하여 를 에 관한 식으로 나타내면
㈏
이다. 여기서 는 자연수이고 은 이상의 자연수이므로
㈐ 이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 하고, (다)에 알맞 은 수를 라 할 때, 의 값은?
[4점][2017(가) 6월/평가원 19]
① ② ③
④ ⑤
이항계수의 성질
유형 4145.145.CCCCCC의 값을 구하시오.
[3점][2013(B) 10월/교육청 22]
146.146.자연수 에 대하여
CCC⋯C 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2005(가) 9월/평가원 25]
147.147.다음은 자연수 에 대하여 부등식
×C
을 만족시키는 의 최댓값을 구하는 과정이다.
이항정리를 이용하여 을 전개하면
가 ×
⋯⋯ ㉠ 위 식의 양변에 을 대입하면CCC ⋯ C ⋯⋯ ㉡
㉠의 양변을 에서 까지 적분하여
C
C
C ⋯
C
⋯⋯ ㉢ 을 얻는다.
㉡과 ㉢에서
나
C
C
C ⋯
C
×C
이므로부등식
×C
을 만족시키는 의 최댓값은다 이다.
위의 과정에서 (가)에 알맞은 식에 대하여 일 때의 식을 , (나)에 알맞은 식을 , (다)에 알맞은 수를 라 할 때,
× 의 값은?
[4점][2017(가) 4월/교육청 18]
① ② ③
④ ⑤
파스칼의 삼각형(하키스틱)
유형 5등비수열의 합을 이용한 이항계수
유형 61. 확률의 뜻과 활용
1 확률의 뜻
수학적 확률
유형 1148.148.서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 두 눈의 수의 곱 이 짝수일 때, 나온 두 눈의 수의 합이 또는 일 확률은?
[3점][2008(나) 10월/교육청 5]
①
②
③
④
⑤
149.149.한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 라 하자. 이차함수 에 대하여 이 성립 할 확률은?
[4점][2016(가) 6월/평가원 14]
①
②
③
④
⑤
150.150.부터 까지의 자연수가 하나씩 적힌 개의 구슬이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼내어 그 구슬에 적힌 수를 이라 할 때, 직선 과 포물선
이
만나도록 하는 수가 적힌 구슬을 꺼낼 확률은?
[4점][2007(가) 6월/평가원 10]
①
②
③
④
⑤
순열을 이용한 확률
유형 2151.151.BANANA 의 개의 문자 B A N A N A 를 일렬로 나열할 때, 두 개의 N 이 서로 이웃할 확률은?
[3점][2007(가) 3월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
152.152.어느 여객선의 좌석이 구역에 개, B구역에 개, C구역에 개 남아 있다. 남아 있는 좌석을 남자 승객 명과 여자 승객 명에게 임의 로 배정할 때, 남자 승객 명이 모두 구역에 배정될 확률을 라 하 자. 의 값을 구하시오.
[3점][2010(나) 9월/평가원 22]
153.153.키가 서로 다른 네 사람이 있다. 이들을 일렬로 세울 때, 앞에서 세 번째 사람이 자신과 이웃한 두 사람보다 키가 작을 확률은?
[3점][2005(가) /수능(홀) 9]
①
②
③
④
⑤
154.154.각 면에 의 숫자가 하나씩 적혀 있 는 정사면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 던져 서 밑면에 적힌 숫자가 이면 오른쪽 그림의 영역 A 에, 숫자가 이면 영역 B 에 색을 칠하기로 하 였다. 두 영역에 색이 모두 칠해질 때까지 이 상자 를 계속 던질 때, 번째에 마칠 확률을
라 하자.
의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2006(가) /수능(홀) 23]
