분포하중의 단순화
(집중하중으로 변환 4.10절) 교육 목표 :분포하중에 대한 등가력을 구하는 법.
학습내용 :
•
예습 확인 퀴즈•
적용 예•
등가력•
개념확인 퀴즈•
집단문제 해결능력•
주의 환기퀴즈예습확인 퀴즈
1. 분포하중에 의한 합력(FR)은 분포하중선도, w = w(x)
아래의 _____에 상당한다.
A) 도심(centroid) B) 현 길이 C) 면적 D) 체적
x
w
F
R분포하중 선도
2. 분포하중의 등가력의 작용선은 분포하중의 ______ 을 통과한다.
A) 도심 B) 중간 점 C) 왼쪽 단 D) 오른쪽 단
응용 예
보에 걸리는 분포하중은 은 목재의 무게에
기인한다.
이러한 힘 계를 같은 외부 이러한 힘 계를 같은 외부 효과를 갖는 하나의 힘 (집중력)으로 단순화할 수 있을까?
가능하다면, 어떻게?
응용 예 ((계속 계속))
보 위의 모래주머니는 분포하중으로 작용한다.
어떻게 하면 단일 등가 합력의 크기와 그 작용위치를 구할 수 있을까?
분포하중
여러 가지 상황에서 물체의 표면은 분포하중을 받는다.
그러한 분포하중은 바람, 유체, 혹은 물체의 표면상 작용하는 무게에 의해 야기된다.
분포 압력 하중이 작용하는 가장 분포 압력 하중이 작용하는 가장 흔한 경우를 해석해 보자. 이
경우 평면사면체의 깊이 방향을 따라서 하중은 균일하다.
이 경우, w 는 x의 함수, w(x)이고, 단위길이당 힘의 차원을 갖는다.
합력의 크기
길이 dx인 미소요소를 생각해 보자.
그 요소에 작용하는 힘의 크기 dF는 다음과 같이 주어진다.
dF = w(x) dx
보에 작용하는 순 힘은
+ ↓ FR = ∫L dF = ∫L w(x) dx = A 여기서 A는 하중선도w(x) 아래의 면적이다.
합력의 작용위치
미소요소에 작용하는 힘 dF는 O점에 관하여 모멘트xdF를 발생시킨다.
O점에 관한 전체 모멘트는 아래와 같다.
여기서
dF=w(x)dx
.
+ MRO = ∫L x dF = ∫L x w(x) dx 합력 FR가 x 만큼 떨어진 거리에 작용한다면, O점에 관한 모멘트는
+ MRO = ( ) (FR) = ∫L w(x) dx
x
x
x
앞의 두 방정식으로부터 합력의 작용점까지의 위치를 구한다.
합력의 작용위치(계속)
나중에 합력 FR은 기하학적 중심 혹은 하중선도w(x) 아래 면적의 도심이라 불리는 점 “C,” 를
지난다는 것을 알게 된다.
개념 확인 퀴즈
1. 분포력의 합력 FR, 의 작용위치, 즉 거리 d는 얼마인가?
A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m E) 6 m
F
RA B
d A B
3 m 3 m
2. 만일 F1 = 1 N, x1 = 1 m, F2 = 2 N 그리고 x2 = 2 m이라면, 합력 FR의 작용위치, 즉 거리 x는 얼마인가?
A) 1 m B) 1.33 m C) 1.5 m D) 1.67 m E) 2 m
F R F 2 x
F 1
x 1
x 2
집단문제 해결능력 배양
주어진 값: 그림과 같이 보에 하중이 작용한다.
목 표: 등가력과 점 A로부터 작용위치를 구하라.
계획 (풀이):
1) 사다리꼴 하중을 두 개의 별도의 하중(하나의 직사각형과 하나의 삼각형)으로 나누어서 생각하라.
2) 이들 두 분포 하중에 대하여 합력 FR 과 작용위치 x를 구하라.
3) 전 합력 FR 과 세 개의 집중하중에 대한 작용위치를 구하라.
계획 (풀이):
높이 0.5 kN/m와 폭 3 m의 직사각형 하중에 대하여,
FR1 =0.5 kN/m ×3 m =1.5 kN
= 1.5 m from A
x 1
높이 2 kN/m과 폭 3 m의 삼각형 하중에 대하여,
집단문제 해결능력 배양(계속)
세 힘의 복합하중에 대하여,
FR = 1.5 kN + 3 kN + 1.5 kN = 6 kN
+ MRA = (1.5) (1.5) + 3 (1) + (1.5) 4 = 11.25 kN • m 따라서, FR = 11.25 kN • m
그래서, = (11.25) / (6) = 1.88 m from A.
x x
FR2 = (0.5) (2 kN/m) (3 m) = 3 kN 그 작용선은 A로부터
x 2
= 1 m예제 4.20
옆 그림과 같이 샤프트에 작용하는 분포력과 등가인 합력의 크기와 위치를 구하라
dA = w(x) dx=60x2 dx
↓ F = ∫ dF = ∫ w(x) dx = 160 N
↓ FR = ∫L dF = ∫L w(x) dx = 160 N
=1.5 m
교과서 뒤편 안쪽페이지에 있는 도표사용 가능
예제 4.21
옆 그림과 같이 보의 윗면에 p=800x Pa의 분포하중이 작용하고 있다. 등가합력의 크기와 작용위치를 구하라
w = (800x)(0.2)=160x N/m
강도는 보의 폭을 따라서 균일하므로 하중을 2차원적으로 표시할 수 있다.
w = (800x)(0.2)=160x N/m
↓ FR= ∫Lw(x)dx = 0.5(9)(1440)= 6.48 kN FR의 작용점은 삼각형의
도심C를 통과한다.
예제 4.22
옆 그림과 같이 보가 과립상의 재료에 의해 분포하중을 받고 있다. 등가인 합력의 크기와 작용위치를 구하라
하중선도가 사다리꼴이어서 삼각형과
직사각형으로 나누어서 계산한다. 해당하중 선도 면적의 도심을 구하여 합력을 나타낸다.
↓ FR= 675 N
FR의 작용점 위치를 구하면,
선도 면적의 도심을 구하여 합력을 나타낸다.
또 다른 방법으로 분포하중을 2개의 삼각형으로 나누어서 풀 수도 있다.
주의 환기 퀴즈
2. x = __________.
F R
100 N/m
12 m x
1. FR = ____________
A) 12 N B) 100 N C) 600 N D) 1200 N
2. x = __________.
A) 3 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m
