표본통계량의 분포

(1)

표본통계량의 분포

t 분포

자유도

(2)

( 관심의 대상 전체 )

모집단

표본통계량 (Sample Statistics)?

표본에서 구한 값

예 > 표본평균 , 표본분산 , 표본 비율

표본 � =´

∑

^��

�

∑ ⁽^{¿ ¿} ^{� − ´}^{� )}²

� − 1

�²=¿

�= � ^

� = 성공 횟 수 시 행횟 수

�₁, �₂,⋯, ��

확률변수 확률분포

(3)

표본평균의 분포 ?

중심극한정리에서 배운 것

표본평균은 정규분포에 근사 (n 이 30 이상 )

즉

그런데 σ 대신 S 를 사용하면 분포가 어떻게 변하는가

� =´

∑

^��

�

∑ ⁽^{¿ ¿} ^{� −} ^{� )}^´ ²

� − 1

�²=¿

) 1 , 0 / N (

n

X  





? /  어떤 분포

n S

X



(4)

σ 대신 s 를 사 용한

표준화 변수는

 t 분포를 따른다

 Student’s t distribution

 이 에서 뽑은 확률표본일 때



자유도

� −� ´

� / √ ^�

�(�−1)

d.f.

degree of freedom

(5)

위키백과의 t- 분포

The derivation of the t-distribution was first published at 1908 in Biometrika by William Sealy Gosset, while he worked at a Guinness Brewery in Dublin.

He was prohibited from publishing under his own name, so the paper was written under the pseudonym Student.

The t-test and the associated theory became well-known through the work of R.A. Fisher, who called the distribution

"Student's distribution".

(6)

t- 분포의 모양은 어떻게 생겼을까 ?

´� −�

� / √ ^� ^{� (0,1)}

� −� ´

� / √ ^� ^{�(�− 1)}

1

�

0 1 2 3

−3 −2 −1

상수

변수

표본의 개수에 따라 분포의 모양이 다르다

(7)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

자유도에 따른 t 분포

k=inf nity k=10 k=5 k=2 k=1

표본의 크기에 따라 어떻게 생겼을까 ?

k 는 자유도 (degree of freedom)

표준정규분포와 표본수가 커지면 비슷…

점점 같아지네

� −� ´

� / √ ^� ^{�(�− 1)}

� −� ´

� / √ ^� ^{� (0,1)}

(8)

자유도 (degree of freedom)

자유도 = 자유로운 표본의 개수

 이론적 정의 = 추정값을 구하는데 사용된 정보의 개수

σ² 를 추정하기 위해 에 사용된 정보의 개수

표본이 이면 자유로운 표본의 개수는 ?

 n? NO! n-1.

 계산식에 표본평균이 포함 . 표본평균을 맞춰주기 위해 자유도 하나 를 잃음

예 : 홍길동 4 과목 평균 =90, 국영수는 차례로 90,91,92 사회과목 점수는 ?

 87



(9)

요 약

표본평균을 S 로 표준화해준 변수가 t 분포를 따름

이때 t 분포의 자유도 (d.f.) 는 n-1

 표본이 이지만 표본평균을 맞춰주기 위해 자유로운 표본의 개수는 n-1.

어려운 표현

 른표현 1> 이므로 자유도 1 을 잃음

 다른표현 2> 표본의 개수에서 제약식의 수를 빼주므로 자유도는 n- 1.



� −� ´

� / √ ^� ^{�(�− 1)}

(10)

책 뒤의 t 분포

표 보는 법

 390 쪽

 자유도에 따라 표가 준비

 특정 확률에 대해서만 표시하기 때문에 백분위수만 구할 수 있 다

(11)

【예제 3.14 】

 교재의 부록에 있는 t 분포표를 이용 하여 , 변수 t 가 자유도 15 인 t 분포 를 따를 때 상위 2.5% 백분위수를 구 하시오 .

2.131

(12)

• 엑셀에서 t 분포의 확률계 산

 T.DIST 함수

 좌측 누적 확률

 T.DIST.RT

 우측 꼬리 확률

 T.DIST.2T

 양측 꼬리 확률

2.131

2.131 -2.131

t(15)

(13)

통계학교재의 분포표로는 일

부 확률만 구 할 수 있지만

엑셀에서는

모든 값에 대한 확률을 다 구할 수 있다 .

즉 Pr(T≥2)= 단 , T~t(10)

표에서는 못 구하지만 엑셀에서 는

=T.DIST.RT(2,10)

(14)

t 분포의 상위 백분위수



�(� ,�)

�

�(�)

t(0.025, 10):

= T.INV(0.975, 10)

(15)

표본분산의 분포 ?

�

∑^{(¿ ¿}^{� − ´}^{� )}²

� − 1

�²=¿

�

∑ ⁽^{¿ ¿} ^{� −} ^{� )}^´ ²

� ² � ²( � − 1) (� − 1 ) �²

� ² =¿

N(0,1) 에서 뽑은 확률표본일 때

�

₁²

+ �

₂²

+ ⋯+�

�2

�

²

(�)

�

∑ ^{(¿ ¿} ^{� − �)}²

� ² �²(�)

∴ ¿

교과과정외

(16)

표본비율의 분포 ?

�= �^

� =성공횟수 시행횟수

성공횟수의 분포는 ?

 즉 , 표본비율의 분

 또는

(17)

【예제 3.17 】

 어떤 정책의 지지도를 추정하기 위해 100 명의 유권자에게 찬반여부를 물 었다 . 그 결과 표본비율 ( 표본지지율 ) 은 0.6 이었다 . 실제로는 지지율 (p) 이 0.5 인데도 , 여론조사가 이와 같이 ‘ 60% 이상 지지’로 나올 확률 은 얼마인가 ?

Pr ( � ≥ 0.6 ^{^} | �=0.5 ¿ =¿

Pr ( � −� ≥ 0.6 −� ^{^} | �=0.5 ¿

� − �^

√

^{� (1 − �)}^� ^≥

0.6 −�

√

^{� ( 1− � )}^� ^|^{�= 0.5)}

¿ Pr ¿

¿ Pr

(

^{� ≥}

_√

^{.6 − .5}^{.5 × .5}100

)

⁼^{Pr (} � ≥ 2)=0.0228

(18)

그림으로 풀면

그러므로 표준정규분포에서 2 이상일 확률

0.5

0.05

0.6

(19)

수고하셨습니다

9 주차 이론 강의를 마칩니 다

표본통계량의 분포