제 8 장 이항분포, Poisson 분포

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제 8 장 이항분포, Poisson 분포

충북대학교 농업생명환경대학 지역건설공학과

실 험 통 계 학

맹 승 진

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8.1 이항분포

8.1-1 이항분포

- 어떤 일단가설을 기초로 하여 수학적인 이론으로 어떤 모수의 도수분포 를 유도한 것으로서 이항분포를 비롯하여 정규분포, 포아슨분포 등이 있 고 이들 분포를 기초로 하여 주로 소표본을 다루기 위한 목적으로 발전시 킨 분포로서 T분포, 분포 및 F분포 등이 있다.

• 이론분포

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- 일반가설을 기초로 하여 수학적 이론으로 임의 집단의 도수 분포를 유도한 것

- 이항분포, 정규분포, Poisson 분포 - T-분포, ℵ²-분포, F-분포 : 소표본

8.1 이항분포

• 이론분포 8.1-1 이항분포

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8.1-2 이항분포(Binornial Population)

• 단 두 개의 계급으로 그 요소가 분류되는 집단

• 예/아니오, 남자/여자, 성공/실패

• 성공확률 p, 실패확률 q ⇒ p+q = 1

• 어떤 크기의 표본을 n번 취하였을 때 그 중 x개의 표본이 성공으로

• 나타날 수 있는 확률

8.1 이항분포

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• x가 어느 범위를 초과하지 않는 경우나, 혹은 x가 어느 범위 내에 존재하는 확 률을 알 필요가 있을 때를 알기 위해서는 알고자 하는 집합을 구성하는 개개의 확률을 합한다.

• 이항분포의 평균과 표준편차 평균 :

표준편차 :

• 불연속변량(정순인 변량, 소수점이 없다)을 다루는 대표적 분포인 경우 항상 중심으로 대칭이 되나 p가 0에 접근하면 분포의 정점은 p(0) 쪽으로 그리고 p가 1에 접근하면 분포의 정점은 p(n) 쪽으로 기울며 대칭이 안 된다.

8.1 이항분포

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• 베르누이 시행 (Bernoulli trials)

- 표본공간이 두 개의 상호 배타적 원소로 구성된 실험의 시행 - 매 시행 시 두 원소 중 하나만 나타남

- 예/아니오, 남자/여자, 성공/실패 - 베르누이 분포 / 베르누이 변수

- 베르누이 시행 결과에 대한 확률분포 - 베르누이 분포를 따르는 변수

- 이항집단 / 이항분포

- 두 개의 계급으로 요소가 분류되는 집단 - n개의 임의표본 중 확률변수분포

8.1 이항분포

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• 베르누이 변수의 특성 - 확률변수 : X

- 표본공간 : 𝑆_𝑋 = 0.1

- 출현확률 : P(x) =nCr 𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥

p ; q = 두 요소의 확률 p=q = 1 ; q = 1-p

Ex) 10개의 동전을 던져 4개가 앞면이 나올 확률은?

Sol)

8.1 이항분포

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• 베르누이 변수의 특성 -

-

8.1 이항분포

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예제 8.1

• 황색완두와 녹색완두를 교배하여 얻은 F¹을 다시 자화수분하여 F²를 육성 한 후 300개체의 F² 종자를 파종하였다. 황색은 우성 그리고 녹색은 열성 유전인자에 의하여 지배되며, Mendel의 분리법칙을 따른다면 F²에서의 황 색완두의 평균 출현 수와 이의 표준편차는 각각 얼마인가?

8.1 이항분포

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F² 에서 분리되는 완두의 분포는 황색완두의 출현율을 p, 녹색완두의 출현율 을 q라 하면 p=3/4, q=1/4 그리고 표본의 수 n=300인 이항분포가 되므로 예제 8.1

8.1 이항분포

• 풀이

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8.2 Poisson 분포

8.2-1 포아슨 지수분포(Poisson Exponential Distribution)

• 1837년 Simeon Denis Poisson

• 단위시간, 단위구간, 단위면적에서 발생하는 사건 발생 수에 활용

- 오전 09:00 ~ 10:00에 은행창구에 도착하는 고객 수 (단위시간 1시간)

- 퇴근시간(18:00 ~ 20:00)에 학교 앞을 지나가는 자동차 수 (단위시간 2시간) - 카세트 테이프의 10cm 당 잡음 수 (단위구간 10cm)

- 국어 교과서 한 쪽당 오타 수 (단위면적 한 쪽)

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8.2 Poisson 분포

8.2-2 포아슨 분포(Poisson Exponential Distribution)

• Poisson 분포 적용 조건

- 단위구간은 소 구간으로 분할가능

- 2개 이상의 사건이 발생할 확률이 0에 가까운 전도의 짧은 구간 : 소 구간 - 단위시간(1시간)동안 은행창구 방문 고객 수

- 단위사간을 3600개 소 구간으로 분할 가능, 1초 내에 고객이 2명 이상 방문할 확률

- 단위구간은 독립적

- 한 단위 구간의 발생 사건 수는 다른 단위구간에 영향을 미치지 않음 - 사건이 대체로 무작위로 발생할 경우

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• Poisson 분포 적용 조건

- 각 소 구간에서 사건이 1회 발생할 확률은 구간길이에 비례, 전구간에서 동일

- 1초동안 고객 1명이 도착할 확률이 09:00 ~ 10:00 사이의 모든 구간에서 동일

8.2 Poisson 분포

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• 포아슨 분포 특성

- 확률분포

x=X가 발생 할 수 있는 가능한 값

- 𝜇 = 𝑛𝑝

𝜎²=npq = np(1-p) = np (∵ 1-p ≈ 1)

8.2 Poisson 분포

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- 시간구간이나 공간구간에서 일어나는 사상에 대한 확률 - 시간 혹은 공간 단위당 성공의 기대횟수가 나타내는 분포

8.2 Poisson 분포

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- 포아슨 분포는 정의방향 즉, 오른쪽으로 그 정점에 기우는 비대칭 분포인데 포아슨 분포에서 가 증가될수록 분포의 모양은 종 모양의 연속적인 곡선에 가까워진다.

8.2 Poisson 분포

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예제 8.2

• 어떤 교환대에 전화가 걸려오는 횟수가 1분 동안에 평균 3회이라면 그 교환대에 1분 동안 5회 이상 전화가 걸려올 확률은 얼마인가?

8.2 Poisson 분포

을 이용하여도 되나 이의 계산이 복잡하므로 각 와 x값에 대한 확률을 표로 정리하였다. 따라서 다음 표에서 가로의 값은 , 세로의 값은 x이므로 =3의 행에서 x=0,1,2,3,4의 값들을 찾아 정리하면 다음과 같다.

여기서 =3이므로 X ≥5 일 학률, 즉, P(X ≥5)을 구하여야 하는데 다음 식

• 풀이

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전화의 횟수(x) 확률 P(x) 누적확률 P(X≥x) 0 P(0) = 𝑒⁻³3⁰/0! = 0.0498 0.0498

1 P(1) = 𝑒⁻³3¹/1! = 0.1494 0.1992 2 P(2) = 𝑒⁻³3²/2! = 0.2242 0.4234 3 P(3) = 𝑒⁻³3³/3! = 0.2242 0.6476 4 P(4) = 𝑒⁻³3⁴/4! = 0.1681 0.8157

따라서 1분간 0~4회 전화가 걸려올 확률은 0.8157이므로 5회 이상 전화가 걸려올 확률은 P(X≥5) = 1-0.8157 = 0.1843이 된다.

예제 8.2

8.2 Poisson 분포

• 풀이

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