제9장 표본평균의 분포
표본평균의 분포에 대한 실험(1)
표본평균의 분포
모집단에서 일정한 크기의 표본을 반복하여 여러 번 추출하여 계산된 값의 분포
표본오류(sampling error)
모집단의 참값과 표본으로부터 얻은 통계량 의 차이
비표본오류(non-sampling error)
자료의 오류: 자료의 부정확한 기록이나 집계 분석에서 발생
X
표본평균의 분포에 대한 실험(2)
표본평균 의 분포
표본평균 의 분포는 표본크기에 관계없이 모집단 평균을 중심으로 퍼져 있다.
표본크기를 늘림에 따라 분포의 표준편차는 작아진다.
표본크기를 늘림에 따라 분포는 점점 대칭 에 가까워지고, 표본이 어느 정도 이상 커지 면 정규분포에 접근한다.
X
X
X
X
표본평균의 분포에 관한 이론(1)
의 표본분포
확률변수 와 관련된 확률분포를 의 표본분포 또는 평균의 표본분포라고 한다.
의 기대치
단순무작위표본의 경우 표본크기에 관계없이 의 기 대치는 항상 모집단평균과 같다.
X
X X
X
X
) 1 (
)}
( )
( )
( 1 {
) 1 (
) (
) (
) (
2 1
2 1
2 1
n n
X E X
E X
n E
X X
X n E
n
X X
E X X
E X E
n
n n
표본평균의 분포에 관한 이론(2)
의 분산:
의 표준편차는 로 나타나며 평균의 표준편 차 또는 평균의 표준오차(standard error of
mean)라고도 한다.
나 는 표본평균 분포의 퍼져 있는 정 도를 측정하는 것으로, 모집단의 분산 와 표본 크기 n에 따라 값이 결정된다.
분포의 분산 및 표준편차
X
X
) ( X
)
2
( X
) ( X
)
2
( X
X
2X n
X n
( ) ( )
2 2
X
표본평균의 분포에 관한 이론(3)
각 Xi가 독립적이라면,
의 분산은 표본크기에 반비례
의 표준편차는 표본크기의 제곱근에 반비례
결과적으로 표본크기가 클수록 의 값은 점점 더 모집단 평균인 μ의 값에 근접
그러나 의 표준편차는 표본크기의 제곱근에 반비례하기 때문에 를 절반으로 줄이기 위해서는 표본크기를 4배 로 늘려야 함
n n n
X X
n X
X X
n X n
X X
X X
n
n n
2 2
2
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 2 1
2
) 1 (
)}
( )
( )
( 1 {
) 1 (
) (
) (
X X
X X ( X )
표본평균의 분포에 관한 이론(4)
유한모집단일 때의 조정(비복원)
모집단이 유한하면서 표본의 크기 n이 모집단 크기 N 에 상당한 부분을 차지할 때는 모집단의 각 요소가 표 본에 포함될 확률이 서로 영향을 받기 때문에 분산은 유한모집단 수정계수(finite population correction factor)을 이용하여 수정된다.
1 ) (
) ( 1 )
( )
(
2 2
N
n N
X n N
n N
X n
중심극한 정리
중심극한정리(central limit theorem)
모집단의 분포와 관계없이 표본크기 n을 충분히 크게 하면 의 표본분포는 항상 정규분포에 접근하게 된 다.
충분한 표본크기
모집단이 정규분포일 때 의 분포는 표본크기에 관 계없이 정규분포
모집단이 정규분포는 아니지만 대칭에 가까울 때 표 본의 크기가 30개 정도만 되어도 정규분포에 근접
모집단의 분포가 아주 비대칭일 때 표본크기를 아주 크게 늘려야 정규분포에 접근
