제13장 편도함수

13.1 다변수함수 13.3 편도함수

13.4 접평면 13.5 연쇄법칙

13.6 방향도함수와 기울기 벡터

제13장 편도함수

편도함수

h

f a h f a

f a

h

( ) ( )

'( ) lim



  

일변수 함수 y = f(x)에서 x = a 에서 접선의 기울기 (미분계수)

g가 a에서 미분계수를 가지면, 그것을 (a, b)에서 x에 관한 f 의 편미분계수라고 하고, 기호 f_x(a, b)로 나타낸다. 즉 g(x) = f(x, b)인 경우, fx(a, b) = g’(x)

x h

f a h b f a b f a b

h



 



( , ) ( , ) ( , ) lim

이변수 함수 z = f(x, y)에서

y = b (b는 상수)로 y 를 고정하고 x 만 변한다고 가정

f(x, y) 는 일변수 x만의 함수인 g(x) = f(x, b)를 생각할 수 있다.

g가 b에서 미분계수를 가지면, 그것을 (a, b)에서 y에 관한 f 의 편미분계수라고 하고, 기호 f_y(a, b)로 나타낸다. 즉 f(a, y)인 경우, fy(a, b) = g’(y)

y h

f a b h f a b f a b

h



  

0

( , ) ( , ) ( , ) lim

이변수 함수 z = f(x, y)에서

x = a (a는 상수)로 x 를 고정하고 y 만 변한다고 가정

f(x, y) 는 일변수 y만의 함수인 g(y) = f(a, y)를 생각할 수 있다.

편도함수(partial derivative)

x h

y h

f x h y f x y f x y

h

f x b y f x y f x y

h





 



  

0

0

( , ) ( , ) ( , ) lim

( , ) ( , ) ( , ) lim

편도함수를 나타내는 여러 가지 방법

x x x

y y y

f z

f x y f f x y f D f D f

x x x

f z

f x y f f x y f D f D f

y y y

  

      

  

  

      

  

1 1

2 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

이변수함수 z = f(x, y)

1. f_x : y 를 상수로 보고 x 에 관해 f(x, y)를 미분 2. f_y : x 를 상수로 보고 y 에 관해 f(x, y)를 미분

f(x, y) = x³ + x²y³ - 2y² 일 때, f_x(2, 1), f_y(2, 1)을 구하라.

예제

z = f(x, y)라고 할 때, 편도함수를 구하는 방법

편미분계수의 해석

z = f(x, y)의 그래프인 곡면 S

이때 f(a, b) = c 이면 점 P(a, b, c)는 S에 놓여 있다.

y = b가 S와 만나는 곡선 C_{1 :} g(x) = f(x, b)의 그래프 P 에서 접선 T₁의 기울기는 g’(a) = f_x(a, b)

x = a가 S와 만나는 곡선 C_{2 :} g(y) = f(a, y)의 그래프 P 에서 접선 T₂의 기울기는 g’(b) = f_y(a, b)

편미분계수 f_x(a, b)와 f_y(a, b)는 기하학적으로 평면 y = b와 x = a 에서의 S의 자취 C₁과 C₂에 대한 P(a, b, c)에서 접선의 기울기

f_x(a, b) : 곡선 C₁ 의 점 P(a, b, c)에서 접선 T₁의 기울기

f_x : x 축방향, 즉 단위벡터 i=(1,0,0) 방향으로 f 의 변화율

f_y(a, b) : 곡선 C₂의 점 P(a, b, c) 에서 접선 T₂의 기울기

f_y : y 축 방향, 즉 단위벡터 j =(0,1,0) 방향으로 f 의 변화율

f(x, y) = 4 – x ² - 2y ² 일 때, f _x (1, 1), f _y (1, 1)을 구하라.

예제

(2) 곡선 C₂ 평면 x = 1이 포물면과 만나는 포물선 z = 3 - 2y²

(1,1, 1)에서 이 포물면에 대한 접선의 기울기는

f

(1, 1) = -4

일 때, 와 를 계산하라.

f x y x

y

 

      ( , ) sin

1

f x





f y





예제

방정식 에 위해 z 가 x 와 y 에 관해 음함수로 정의될 때, 와 를 구하라.

3 3 3

6 1

x  y   z xyz 

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦

f(x, y, z) = e^{x y} ln z 일 때, f_x, f_y, f_z를 구하라.

예제

고계 편도함수

f 가 이변수함수이면 편도함수 f_x와 f_y도 이변수함수이므로

이것을 f 의 2계 편도함수(second partial derivative)

 

 

 

 

x x xx

x y xy

y x yx

y y yy

f f z

f f f

x x x x

f f z

f f f

y x y x y x

f f z

f f f

x y x y x y

f f z

f f f

y y y y

 

   

            

 

   

              

   

 

              

   

 

            

2 2

11 2 2

2 2

12

2 2

21

2 2

22 2 2

(f

)

, (f

)

, (f

)

, (f

)

f(x, y) = x³ + x²y³ - 2y² 의 2계 편도함수를 구하라.

예제

점 (a, b)를 포함하는 원판 D에서 정의되는 함수를 f 라 하자. 함수 f_xy와 f_yx가 D에서 모두 연속이면 다음이 성립한다.

f_xy(a, b) = f_yx(a, b)

클레로의 정리

※ 3계 편도함수에서도 f_xyy = f_yxy= f_yyx ( 이런 함수들이 연속이면 )

f(x, y, z) = sin(3x + yz)일 때 f_xxyz 를 구하라.

예제

편미분방정식

라플라스 방정식(Laplace’s equation) ^{2 2}

2 2

0

u u

x y

   

 

파동방정식(wave equation) ² 2 ²

2 2

u a u

t x

 

  