9
고 3 － 2016 －
9 64－ 10월 － 정답 및 해설 1.
계산 능력 - 지수함수와 로그함수[2점]
정답②
lim
→
ln
lim
→
ln
×
lim
→
ln
2.
계산 능력 - 평면벡터[2점]
정답③
,
이므로
∙ × ×
3.
이해력 - 미분법[2점]
정답⑤
에서
′
∴
′
4.
이해력 - 공간도형[3점]
정답⑤
두 점
A ,
B 를
로 내분 하는 점의 좌표는
×
×
에서
,
∴
∴
5.
이해력 - 확률[3점]
정답①
P
∩
에서
P
∪
P
∪
P
∪
∴
P
P
∪
P
∩
6.
이해력 - 통계[3점]
정답④
이므로
합계
P
E
×
×
×
×
∴
E
E
×
7.
이해력 - 미분법[3점]
정답③
에서
을 대입하면
∴
의 양변을
에 대하여 미분하면
′ ′
을 대입하면
′ ′ 이다.
∴
′ ∴
′ × 8.
이해력 - 적분법[3점]
정답③
점
A에서
축에 내린 수선의 발을
H, 점
A 에 서
축에 내린 수선의 발을
H 이라 하면
∆OHA
∆OH A
× ×
× ×
ln
ln
∴
ln ln
ln
⋯ ln
ln ln
9.
이해력 - 평면 곡선[3점]
정답⑤
타원
에서 초점의 좌표는
이므로
F′ F 이고, 또한 장축의 길이는
× 이다.
이때, 점
을 점
A라 하면
∠F′PA ∠FPA
F′P FP F′A FA
FP
로 놓으면
∴
∴
F′P F′P
,
FP
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·㉠
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·㉡
㉠ - ㉡을 하면
∴
10.
이해력 - 공간도형[3점]
정답②
AB
의 중점을
M이라 하면
OM
이다.
평면
OMC의 단면에서 점
O에서
CM에 내린 수선 의 발을
O′, 점
C에서
OM에 내린 수선의 발을
C′이라 하면,
OO′ CC′
두 직선
OO′과
CC′의 교점을
P라 하면, 반지름의 길이를
라 하면
∆OPC′에서
∴
11.
추론 능력(증명) - 평면 곡선[3점]
정답① 쌍곡선
위의 점
P 에서의 접선의 방정식은
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·㉠
점근선의 방정식은
±
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·㉡
㉡을 제곱하여 정리하면
㉠에서
×
위의 식을
에 대입하면
×
즉,
× × × ·㉢
그런데 점
P 는 쌍곡선 위의 점이므로
에서
이므로
㉢은
이차방정식의 근과 계수의 관계에서 위 방정식의 두 근의 합은
로 일정하다.
따라서, 쌍곡선
위의 점
P 에서의 접선이 두 점근선과 점
Q R에서 각각 만날 때, 선 분
QR의 중점은 점
P가 된다.
PQ PR
∴
,
∴
×
12.
이해력 - 평면벡터[3점]
정답②
cos sin
,
sin cos
sin
,
sincos
sin cossincos
sincos sincos
sincos
sin cos ∵ sincos ≤
sincos
sin cos이때, sincos에서
sin
로 치환하면
cos
,
cos
일 때
이고,
일 때
이다.
sin cos
∴
sin cos sin cos
13.
수학 외적 문제 해결 능력 - 순열과 조합[3점]
정답①
A B C 세 고등학교에서 각각 명씩 대표로 참가한 모임에서 이 명
➊ , 의 대표들이 그림과 같은 개의 의자
,
가 놓인 원탁에 둘러 앉으려고 한다.
같은 학교 학생끼리는 서로 마주보면
➋ , , 를 각각 앉힌다.
서 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]
① ② ③ ④ ⑤
➊ A B C 세 고등학교의 학생들 중 같은 학교의 학생을 구분 한다.
A
,
B C세 고등학교 학생을 각각
X Y Z
라 하면
➋ X 를 먼저 앉히고, Y ,
Z 를 앉힌다.
그림과 같이 ①의 자리에
X가 앉으면 ④의 자리에
가 앉아야 한다.
①과 ④의 자리에 각각
X와
를 앉힌 후 ②의 자리 에 학생을 앉히는 방법의 수는
(가지),
②의 자리에
Y가 앉았다면 ⑤의 자리에는
가 앉아 야 한다.
마지막으로 ③과 ⑥의 자리에 두 사람을 앉히는 방 법의 수는
(가지)이다.
따라서, 구하는 경우의 수는
× (가지)이다.
같은 내용 다른 유형 문항
자녀 교육에 관한 토론을 위해 세 쌍의 부부 명을 초청하여 그 림과 같이 탁자 주변의 개의 의자에 앉히려고 한다. 붙어 있는 의자에는 남녀가 각각 명씩 앉도록 하되 부부는 같이 앉을 수 없을 때, 명을 자리에 앉히는 방법의 수를 구하시오.
부부 ′, ′, ′이 짝이 되지 않도록 세 팀으로 나누는 방법은 ′ ′ ′,
′ ′ ′의 가지이다.
이때, 세 팀이 세 곳에 앉는 방법의 수는 , 각 팀이 서로 자리 를 바꾸어 앉는 방법의 수는 이다.
따라서, 명을 자리에 앉히는 방법의 수는
× × (가지)
정답
14.
수학 외적 문제 해결 능력 - 통계[4점]
정답⑤ 크기가
인 표본을 임의추출하여 얻은 표본비율
은
신제품
K를 선호하는 비율
에 대한 신뢰도
%의 신뢰구간이
×
× ≤ ≤ ×
× 이므로
∴
× ×
×
× ×
15.
추론 능력(추측) - 지수함수와 로그함수[4점]
정답③ ㄱ. (참)
이므로
log log∴
log ㄴ. (참)
또한
이므로
∴
ㄷ. (거짓) 두 함수
log,
log의 그래프 를 그려보면
log log이다.
16.
이해력 - 삼각함수[4점]
정답④
그림과 같이 원 위의 제사분면에 있는 두
∠POP , 점 P , Q 에서 축에 내린 수
∠QOQ ➊ PP sin, 선의 발을 각각 PQ이라
QQ sin
하고, 두 점 P , Q 에서 축 에 내린 수선의 발을 각각
➋ PP cos, QQ cos
P Q라 하자. P P Q Q 일 때, P P Q Q의 최댓값
➌ sinsin ➍ coscos 은? [4점]
①
②
③ ④ ⑤
➊ 삼각비를 이용하여 PP, QQ, PP, QQ를 구한다.
두 선분
OP,
OQ가
축과 이루는 예각의 크기를 각 각
라 하면 원의 반지름의 길이가
이므로
PP sin
,
QQ sinPP cos
,
QQ cosPP QQ
에서
sin sin
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·㉠
cos cos
라 하면 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·㉡
➋ sin cos , 삼각함수의 덧셈정리를 이용한다.
㉠, ㉡을 각각 제곱하여 더하면
sin sin sinsin cos cos cos cos sin sin sinsin cos cos cos cos
coscos sinsin
∴
cos 따라서, 상수
의 최댓값은
일 때
이 다.
같은 내용 다른 유형 문항
그림과 같이 원 위의 제사분면 위의 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 H이라 할 때, 삼각형 OHP의 넓이는
이다.
11
고 3 － 2016 －
11 64－ 10월 － 정답 및 해설
점 P을 원점 O를 중심으로
만큼 회전이동시킨 점을 P라 하
고, 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 삼각형 OHP의 넓이는?
단 ∠POH
①
②
③
④
⑤
∠POH 라 하면
△OHP
OH⋅HP
cossin
sin
sin
에서 sin
이고
cos
∵
··· ㉠∴ △OHP
OH⋅HP
cos
sin
sin
cos
(∵ ㉠)
정답 ④
17.
수학 내적 문제 해결 능력 - 적분법[4점]
정답②
함수 의 도함수가 ′ sin
일 때, 함수
sin cos에 대하여 함수 를
,
′ 라 하자. 일 때,
의 값➊
′ ➋ 은? [4점]① ln ② ln ③ ln
④ ln ⑤ ln
➊ 부분적분법을 이용하여 의 식을 구한다.
′
′
′
sin cos sin sin
로 치환하면
cos
,
cos
sin cos sin
ln
(는 적분상수)
sin ln sin
➋ 을 이용해 적분상수 의 값을 구한다.
∴
∴
sin ln sin➌
의 값을 구한다.∴
sin ln
sin
ln
∵
18.
이해력 - 평면벡터[4점]
정답④
선분
CD의 중점을
M이라 하면
AP AQ
AD DP AC CQ
AD AC DP CQ
AMDP CQ
≤
AM
DP
CQ
(단, 등호는 두 벡터
DP,
CQ가 모두 벡터
AM과 평행할 때 성립한다.)
따라서, AP AQ 의 최댓값은
이다.
같은 내용 다른 유형 문항
그림과 같이 좌표평면 위에 반지름의 길이가 이고, 중심의 좌 표가 인 원 와 반지름의 길이가 이고, 중심의 좌표가
인 원 가 있다. 점 P는 원 의 원주를 따라 시계 방향으로 움직이고, 점 Q는 원 의 원주를 따라 시계 반대 방 향으로 움직인다. 두 점 P, Q가 원점 O 를 동시에 출발하여, 점 P가 움직인 거리가 항상 점 Q가 움직인 거리의 배가 되 도록 움직일 때, 두 벡터 OP OQ에 대하여 OP OQ의 최 댓값은?
①
②
③
④
⑤
원 의 중심을 X , 원 의 중심을 Y 라 하고, 점 P 가 출발한 지 초 후 ∠PXO 라 하면 ∠QYO 이므로 두 점 P, Q 가 출발한 지 초 후 두 점의 좌표는 각각
P cos, sin, Q cos, sin이다.
∴ OP OQ cos sin
OP OQ cos sin
cos cos sin
cos cos cos
cos cos
cos ≤ ≤ 라 하면
따라서, OP OQ의 최댓값은 cos
일 때,
이다.정답 ③
19.
수학 내적 문제 해결 능력 - 순열과 조합[4점]
정답②
일 때,
HC
일 때,
HC…
일 때,
HC이므로
CCC⋯C
C
CCCC⋯CCCC⋯C
CC⋯C
…
CCC
∴
C
20.
수학 내적 문제 해결 능력 - 확률[4점]
정답② 두 개의 수가 연속되는 경우의 수는
×
이고, 세 수가 연속되는 경우의 수는
이므로 두 개 이상의 수가 연속할 확률을
이라 하 면
C
×
×
∴
⋯
21.
수학 내적 문제 해결 능력 - 삼각함수[4점]
정답①
그림과 같이 한 변 의 길이가 인 정 사각형 ABCD 를 점 A를 중심으로 시계 반대 방향으 로 만큼 회전시킨 정사각형을 A B ′C ′D ′이라 하고, 두 변 B′ C′,
➊ ∠EAD , CD 의 교점을 E
라 하자. 사각형
AB ′E D 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때, tantan
lim
→
의 값은?
단
[4점]➋ →
일 때, → 이므로 lim
→
tan
tan
①
②
③ ④ ⑤
➊ ∠EAD 로 놓고 에 관한 식을 에 관한 식으로 나타낸 다.
∠EAD
라 하면
이고,
→
일 때,
→ 이다. 또한
라 하면
tan
tan tan
∴
tan
tan
➋ tan의 극한값을 이용하여 극한값을 구한다.
∴ lim
→
lim
→
tan
tan
lim
→ tan
tan
lim
→
tan× tan
× ×
같은 내용 다른 유형 문항
길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원의 호 AB 위의 한 점 P가 있다. 그림과 같이 서로 외접하고 합동인 두 원이 선분 PA와 선분 PB에 각각 접하면서 선분 AB에 동시에 접한다.
∠PAB 라 할 때, 원의 반지름의 길이를 라 하면
lim
→
의 값은?
①
②
③ ④ ⑤
그림과 같이 두 원의 중심을 각각 C D라 하고, 두 점 C D 에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 각각 C′, D′이라 하면
∠PAB 이므로
∠CAC′
∠DBD ′
AC′ tan
, BD′ tan
이므로
AB AC′ C′D′BD′에서
tan
tan
×
tan
tan
∴
tan
tan
tan
tan tan
tan tan
tan
∴
lim
→
lim
→
tan
tan tan
tan
tan
tan
lim
→
tan
×
tan
tan tan
tan tan
lim
→
×
tan
× tan
tan
정답 ①
22.
이해력 - 순열과 조합[3점]
정답
의 전개식의 일반항은
C
C× ×
,
따라서,
의 계수는
일 때이므로
C× ×
이다.
23.
이해력 - 삼각함수[3점]
정답 sin cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos
≤
주어진 함수는
cos
일 때 최댓값
을 갖 는다.
∴
24.
이해력 – 평면 곡선[3점]
정답 쌍곡선
의 두 꼭짓점의 좌표는
과
이고, 타원의 초점의 좌표가 쌍곡선의 꼭짓 점의 좌표와 같으므로 타원
에 대하여
∵
이다.
∴
25.
이해력 - 공간벡터[3점]
정답 (ⅰ) 크기가
인 벡터를 만드는 선분
개
AB EF HG DC
BF CG DH AE
BC FG EH AD
(ⅱ) 크기가
인 벡터를 만드는 선분
개
AC EG
,
BD FHAF DG
,
BE CHBG AH
,
CF DE(ⅲ) 크기가
인 벡터를 만드는 선분
개
AG BH CE DF
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 벡터를 만드는 서로 다른 선분 의 개수가
(개)이고, 시점과 종점을 반 대로 하는 벡터
(개)이므로 서로 다른 벡터의 개 수는
× (개)이다.
26.
이해력 - 통계[4점]
정답 한 개의 주사위를 한 번 던져
의 배수의 눈이 나올 확률은
이므로 한 개의 주사위를
번 던져
의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 라 하면
는 이항분포
B
을 따른다.
E
×
13
고 3 － 2016 －
13 64－ 10월 － 정답 및 해설
V
× ×
이므로 확률변수 는 근사적으로 정규분포
N 을 따른다.
P
≥ P ≤
≤ P
≥ 즉,
P
≤
≤
P
≥ P
≤
≤
표준정규분포표에서
P ≤
≤ 이므로
∴
27.
이해력 - 확률[4점]
정답 ≠
일 확률은 주사위를 세 번 던 질 때, 첫 번째 나온 눈과 두 번째 나온 눈이 다르고 두 번째 나온 눈과 세 번째 나온 눈이 다를 확률이므 로
× × 이다.
≠
일 확률은 주사위를 세 번 던질 때, 모든 눈이 서로 다르게 나올 확률이 므로
×
×
이다.
따라서, 구하는 확률은
이다.
∴
28.
이해력 - 지수함수와 로그함수[4점]
정답 (ⅰ)
가 정수일 때,
≥
× (단, 등호는
일 때 성립한다.) (ⅱ)
가 정수가 아닐 때,
라 하면
이므로
또는
일 때,
또는
일 때,
≤
또는
≥ 일 때,
(ⅰ), (ⅱ)에서 함수
의 최솟값은
이다.
[참고]
(ⅱ)에서
×
29.
수학 내적 문제 해결 능력 - 공간벡터[4점]
정답 평면 과 구
➋ 법선벡터 ➊ 중심 O
가 만나서 생기는 도형 위의 점을 T라 하자. 점
A 에 대하여 AT의 최솟값은 이다.
의 값을 구하시오. (단, 는 정수이다.) [4점]
➊ 평면 에 수선의 발 O′ A′을 이용해 OO′ , O′T의 값을 구한다.
구의 중심
O 과 점
A 에서 평면
에 내린 수선의 발을 각각
O′ A′이라 하면
AT의 값이 최소가 되는 점
T의 위치는 그림과 같다.
OO′
O′T
➋ 평면 의 법선벡터를 이용해 두 점 A와 A′을 지나는 직선의 방정식을 구한다.
평면
의 법선벡터가
이므로 점
A와 점
A′을 지나는 직선의 방정식은
이다.
라 하면
이므로 이 식을 평면
에 대입하면
∴
A′
이므로
OA′
,
O′A′
➌ TA′ 의 최솟값을 이용하여, AT의 최솟값을 구한다.
∴
TA′ O′A′ O′T
AA′
이므로
AT TA′ AA′
∴
∴
같은 내용 다른 유형 문항
좌표공간에서 구 와 평면 이 만나서 생기는 도형을 라 하자. 도형 위의 한 점 P와 평면
위의 점 A 에 대하여 선분 AP의 길 이의 최댓값과 최솟값을 각각 이라 할 때, 의 값을 구 하시오.
그림과 같이 원점 O에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 A 이 평면 위의 점이므로 직선 AH가 구와 만나는 점을 각각 P′ P′′이라 하면 선분 AP의 길이의 최댓값과 최솟값은 각각 AP′′ AP′이다.
OP′ 이고 OH
이므로 삼각형 OP′H
에서 HP′
또한, OA
이므로 삼각형 OAH에서HA
따라서, AP′ 이고, HP′′ HP′이므로
AP′′
∴
정답
30.
수학 내적 문제 해결 능력 - 미분법[4점]
정답 함수 과 자연수 에 대하여 함수 를
➊
≥➋ ′이라 하자. 함수 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하 ➌ (ⅰ) ≥일 때, lim
→
′ ′, (ⅱ) 일 때, lim
→
′ ′
는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. [4점]
➊ ≥ 일 때와 일 때의 의 범위를 구한다.
함수
이므로
≥
이면
≥
이면
∴
≥ ➋ 에서 가 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 좌우극한 값을 알아본다.
은
가 짝수이면
≥ 이므로
≥
이다.
가 홀수이면
≥ 에서
≥ 이므로
≥
이다.
에서
이므로
이다.
′
이므로
가 홀수이면
′
가 짝수이면
′ (ⅰ)
≥ 일 때,
⋯
′ ′
′ ′ ⋯ ′
이 홀수이면 lim
→ ′ ′
,
′ × ×
⋯
· · · · · ·㉠
이 짝수이면 lim
→ ′ ′
,
′ × ⋯
×
· · · · · ·㉡
(ⅱ)
일 때,
⋯
′ ′
′ ′ ′ ⋯
이 홀수이면 lim
→
′ ′
,
′ × ⋯
· · · · · ·㉢
이 짝수이면 lim
→
′ ′
,
′ × ⋯
×
· · ·㉣
➌ ≥일 때와 일 때의 극한값이 같을 때 미분가능하다.
(ⅰ), (ⅱ)에서
㉠
㉢이므로
× ⋯
× ⋯
× ⋯
이 홀수이므로
(
은 자연수)이라 하면
×
∴
∴
× ㉡
㉣이므로
× ⋯
× ⋯
× ⋯
이 짝수이므로
(
은 자연수)이라 하면 위에서와 같이
∴
× 따라서, 모든 자연수
의 값의 합은
이다.
1.
계산 능력 - 지수와 로그[2점]
정답②
log log log
log
log
2.
계산 능력 - 수열의 극한[2점]
정답① lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
3.
계산 능력 - 다항함수의 미분법[2점]
정답①
에서
′
∴
′ 4.
계산 능력 - 함수[3점]
정답②
∘
×
5.
이해력 - 순열과 조합[3점]
정답③
이므로
를 포함하는 분할의 수는
이다.
6.
이해력 - 지수와 로그[3점]
정답② 이차방정식
의 두 근이
이므로 근과 계수의 관계에 의하여
log log
log
log
log
log
log
7.
이해력 - 순열과 조합[3점]
정답⑤
의 전개식의 일반항은
C
C
∴
의 계수는
×C ×
8.
이해력 - 확률[3점]
정답①
P
이므로
P
P
두 사건 와 가 서로 독립이므로
P
∩
P
P
P
∴
P
∴
P
∩
P
P
×
9.
이해력 - 집합과 명제[3점]
정답④
≥ 에서
≥
≥
≤
또는
≥ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·㉠
에서
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·㉡
㉠, ㉡에서
∩
∅이 되기 위해서는
≥
따라서, 자연수
의 최솟값은
이다.
10.
이해력 - 함수[3점]
정답④
,
이고,
∘ 이므로
이면
이 되므로 모순이다.
∴
,
,
∴
× 11.
이해력 - 다항함수의 적분법[3점]
정답④ 곡선
과
축의 교점의
좌표는
,
∴
또는
곡선
과 직선
의 교점의
좌표는
,
∴
또는
따라서, 구하는 부분의 넓이 는
×
