"
Ê6 z º ß e ÆM z º ¤# aU À W ¥ ± q Ö ¨8 ý ± qT a yM { ¢ ¨ |
ö
¶ Bg ` @) o · ». > * > ∗
Õ
ü æz ´@ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , ì r [ O > ½ ¨G ' p' , " fÖ ¦ 156-743 (2003¸ 8 Z 4 7{ 9 ~ Ã Î6 £ §)
¸ ú
6 £ § s " Á @ / Ð l Ð Å Ò# Qt H â Ä º_ Random Deposition(RD) ¸4 S q` ¦ ½ ¨ % i . Ä ºo ¸4 S q
É
r ³ ð } 9 l W (t, L) íl \ H t
3/4Ü ¼ Ð 7 £ x t ∼ L
zs Ê ê\ H t
1/2Ü ¼ Ð 7 £ x H + þ AI \ ¦
Ð% i . # l " f L É r > _ ß ¼l , t H r ç ß , z H 1 l x% i < Æ t à º\ ¦ _ p ô Ç . W (t, L) t L
z % ò % i \
"
f ¸ > 5 Å q 7 £ x H ¸4 S qs # Q" f } 9 l t à º & ñ _ ÷ &t · ú §` ¦ כ ° ú Ü ¼ W (t, L) Family-Vicsek_
»
¡
¤' ' a > d ` ¦ Ø Ô ¦ e . ë ß , » ¡ ¤' < Êà º : £ ¤ s ô Ç & ³ © ` ¦ · p . Ä ºo ¸4 S q\ " f } 9 l t à º α ≈ 3/2, $ í © t à º β ≈ 3/4, 1 l x% i < Æ t à º z ≈ 2\ ¦ % 3 % 3 . W (t, L) í o÷ &t · ú §t ë ß } 9 l t à º
& ñ _ ÷ &% 3 .
PACS numbers: 05.40.-a, 68.35.ct, 64.60.ht
Keywords: ½ ¨¸ ú s Á ú ¢l ¸4 S q,³ ð } 9 l , } 9 l t à º,» ¡ ¤' ' a > d
I. " e  ] Ø
þ
j H t & ñ ³ ð _ } 9 l H 5 Å q~ ½ Ó& ñ d ` ¦ : x #
½ ¨÷ &# Q M ® o ¦, ª ô Ç $ í © ¸4 S q[ þ t s : £ ¤Z > ô Ç 5 Å q~ ½ Ó& ñ d
`
¦ ë ß 7 á ¤ r v H y y _ м # $ í  ÒÀ Ó Ð & ñ _ ÷ &% 3 [1–3].
$ í
© ¸4 S q\ e # Q" f ' a d e H ª × æ ô Çt H l Ä »
$ í
³ ð ½ ¨ ¸_ } 9 l s . ] jô Ç ) a ß ¼l _ $ í © ¸4 S q\ e
# Q" f ³ ð } 9 l W (t, L) H Z } s h_ ³ ðï r¼ # \ ¦ _ p
9 6 £ § õ ° ú s & ñ _ ÷ & ¦, W (t, L) = D
(h(t) − h(t)) 2 E 1/2
, (1)
»
¡
¤' ' a > d É r 6 £ § õ ° ú s Å Ò# Q [4,5].
W (t, L) ∼ L α g w (t/L z ). (2)
#
l " f α H } 9 l t à º, z H 1 l x% i < Æ t à ºs ¦, L É r > _ ß ¼l s . } 9 l t à º H ] jô Ç ) a ß ¼l _ $ í © ¸4 S q\
@
/ # Ø æì rô Ç r ç ß s t è ß Ê ê í o ) a ³ ð כ ¹1 l x_ : £ ¤$ í
`
¦ l Õ ü t H ª s . { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð » ¡ ¤' < ÊÃ º g w (x) H í l
\ H r ç ß \ $ í © ` ¦ Ø æì rô Ç r ç ß s t
8s © $ í © t 3 l w ¦ í o÷ &# Q { 9 & ñ ô Ç ° ú כ` ¦ Ä »t ô
Ç .
g w (x) ∼ x β ; x 1
∼ constant ; x 1. (3)
∗
E-mail: [email protected]
#
l " f β H $ í © t à ºs ¦, β = α/z_ ' a > \ ¦ ° ú H .
{ 9
ì ø Í& h ¸4 S q_ â Ä º @ /Â Òì r 0 Aü < ° ú É r » ¡ ¤' < ÊÃ º\ ¦ ë ß 7
á
¤ô Ç . Õ ª Q # Q " ¸4 S q\ " f H r ç ß s Á ºo f Ë Q ¸
³
ð } 9 l W (t, L) í o÷ &t · ú § ¦ > 5 Å q $ í © ô Ç . Õ ª
@
/³ ð& h \ V Ð" f Random Deposition(RD) ¸4 S q` ¦ [ þ t à º e
. RD ¸4 S q\ " f H © ' a o 0s # Q" f } 9 l t à º
& ñ _ ÷ &t · ú § H [2]. # l " f Ä ºo H " Á @ / Ð l Ð Å
Ò# Qt H ¸ ú 6 £ §` ¦ & h 6 xô Ç RD ¸4 S q` ¦ ¦ 9 % i . RD ¸ 4
S qõ ð ø Ít Ð s ¸4 S q É r r ç ß s Á ºo f Ë Q ¸ ³ ð
} 9 l W (t, L) í o÷ &t · ú § ¦ > 5 Å q $ í © H ¸4 S qs t
ë ß } 9 l t à º\ ¦ & ñ _ ½ + É Ã º e .
³
ð } 9 l W (t, L)ü < < Êa ' a d e H ª Ü ¼ Ð H Z } s
_ © ' a ' a > < ÊÃ º G(r, t, L) e Ü ¼ 9 6 £ § õ ° ú s & ñ _ ÷ & ¦ [6,7],
G(r, t, L) = D
(h(x, t) − h(x + r, t)) 2 E
, (4) s
< ÊÃ º_ » ¡ ¤' ' a > d É r 6 £ § õ ° ú s Å Ò# Q .
G(r, t, L) ∼ r 2α g G (r/ξ(t, L)). (5)
#
l " f ξ H © ' a ' a > o s ¦, íl \ H t 1/z \ q Y V
#
$ í © ` ¦ > _ ß ¼l ü < ° ú t í o÷ & H ª s
. { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð » ¡ ¤' < ÊÃ º g G (x) H 6 £ § õ ° ú [8].
g G (x) ∼ x −κ ; x 1
∼ x −2α ; x 1. (6)
-224-
{ 9
ì ø Í& h ¸4 S q_ â Ä º @ /> h κ = 0s # Q" f » ¡ ¤' < ÊÃ º H x 1 % ò % i \ " f H © Ã º ° ú כ` ¦ ° ú ¦, x 1 % ò % i \
"
f H power law \ y è H + þ AI \ ¦ Ð . RD ¸ 4
S q_ â Ä º\ H x 1 % ò % i \ " f ÷ rë ß m ¸ H % ò
%
i \ " f © à º ° ú כ` ¦ Ðs Ù ¼ Ð } 9 l t à º & ñ _ ÷ &t · ú §
H . Õ ª Q " Á @ / Ð l Ð Å Ò# Qt H ¸ ú 6 £ §` ¦ & h 6 xô Ç Ä º o
¸4 S q_ â Ä º H x 1 % ò % i \ " f κ 0s ª _
°
ú כÜ ¼ Ð 8 £ ¤& ñ ÷ & ¦, x 1 % ò % i \ " f ¸ 0 A_ » ¡ ¤' < ÊÃ º g G (x) \ α\ ¦ & ñ _ ½ + É Ã º e .
II. { ¢ ¨ | Ê Ý ¹ Å m S ó o Þ U ê s0 n É
{ 9
ì ø Í& h RD ¸4 S q É r > _ ß ¼l L> h_ [ þ t × æ ô Ç
\ ¦ Á º 0 A Ð × þ # Õ ª o \ ô Ç { 9 \ ¦ b # Qä ¼
2 ; . s ¸4 S q_ â Ä º 6 £ § õ ° ú s ¸ ú 6 £ § ½ Óë ß s > r F H d
Ü ¼ Ð ³ ð & ³| ¨ c à º e .
∂h(x, t)
∂t = η(x, t) (7) s
M : ¸ ú 6 £ § η(x, t) H A ü < ° ú s ³ ð & ³| ¨ c à º e [2].
hη(x, t)i = 0
hη(x, t)η(x 0 , t 0 ) i = 2Dδ d (x − x 0 )δ(t − t 0 ) (8) 0
A_ ' a > d É r x = x 0 s ¦ t = t 0 â Ä º\ ¦ ] jü @ ¦ H
½ Ó © ¨ î ç H° ú כ hη(x, t)η(x 0 t 0 ) is 0e ` ¦ _ p ¦, ¸ ú 6 £ § s r ç
ß õ / B Nç ß \ ÷ &# Q e t · ú § H כ ` ¦ _ p ô Ç .
Õ
ª Q ¸ ú 6 £ § s r ç ß õ / B Nç ß \ ÷ &# Q e H â Ä º, s
Qô Ç ¸ ú 6 £ § É r @ /> h $ í © ¸4 S q_ e > t à º[ þ t` ¦ or
. " f $ í © ¸4 S q_ м # $ í  ÒÀ Ó\ ¦ à º& ñ > ) a [9–13]. ë ß { 9 # Q " z ´+ « > © S ! \ " f 8 £ ¤& ñ ) a e > t à º[ þ t s
\ V © Ù þ ¡~ ° ú כõ s \ ¦ Ð , Õ ª s _ H" é ¶ Ü ¼ Ð r
·/ B Nç ß \ ) a ¸ ú 6 £ §` ¦ _ d K ^ ¦ Ã º e .
Ä
ºo H r ç ß õ / B Nç ß \ ) a ¸ ú 6 £ §_ ô Ç t Ð" f L" î _
walker[ þ t s * [ t m { 9 \ ¦ b # Qä ¼o H " Á @ /
Ð l Ð Å Ò# Qt H ¸ ú 6 £ §` ¦ & h 6 xô Ç RD ¸4 S q` ¦ ¦ 9 % i
. Ä ºo ¸4 S q\ @ /ô Ç $ í © ½ ©g Ë : É r 6 £ § õ ° ú .
— > _ ß ¼l Ls ¦, y i_ íl Z } s ¸¿ º h i = 0 ¨ î ¨ î ô Ç ³ ð ` ¦ ï r q ô Ç .
— y ô Ç" î m _ walker[ þ t` ¦ C u ô Ç .
— 1 Â Ò' L s _ ç H{ 9 ô Ç ì r í\ ¦ ° ú H & ñ Ã º+ þ A è ß Ã º\ ¦ µ 1 Ï Ò q
tr & e _ _ walker\ ¦ × þ ô Ç .
— × þ ) a walker 0 Au ô Ç _ ª \ P × æ ô ÇA á ¤` ¦ e
_ Ð × þ # walker\ ¦ Õ ª Ð s 1 l x r .
— s 1 l x ) a walker 0 Au ô Ç / B M \ ô Ç { 9 \ ¦ b # Qä ¼ 2 ; .
h(x, t) → h(x, t) + 1.
— 0 A_ õ & ñ ` ¦ > 5 Å q ì ø Í4 ¤ô Ç .
Ä
ºo ¸4 S q_ â Ä º 6 £ § õ ° ú s r ç ß õ / B Nç ß \ ) a
¸ ú
6 £ § ½ Óë ß s > r F H d Ü ¼ Ð ³ ð & ³| ¨ c à º e .
∂h(x, t)
∂t = η c (x, t) (9)
#
l " f A ' c H ¸ ú 6 £ § s r ç ß õ / B Nç ß \ ÷ &# Q e
H כ ` ¦ _ p ô Ç .
Ä
ºo H s ü < ° ú É r õ & ñ Ü ¼ Ð " Á @ / Ð l Ð Å Ò# Qt H
¸ ú
6 £ §` ¦ í < Êô Ç RD ¸4 S q` ¦ ½ ¨ % i . 6 £ § ] X \ " f s
¸4 S q\ @ /K 8 £ ¤& ñ ) a e > t à º[ þ t õ » ¡ ¤' ' a > \ ¦ ¶ ú ( R^ ¦
כ s .
III. ¹ Å m S ó o Þ + s ÇÊ Ý
í ß r Ð 3 x õ \ ¦ Ð { 9 ì ø Í& h RD ¸4 S q_ ³ ð } 9 l
W (t, L) t β Ü ¼ Ð > 5 Å q& h Ü ¼ Ð { 9 & ñ > 7 £ x H כ õ
H ² ú o , Ä ºo ¸4 S q_ â Ä º ³ ð } 9 l W (t, L) í l
\ H t β Ü ¼ Ð 7 £ x × æ \ H t β
0Ü ¼ Ð Ø Ô> 7 £ x
% i (Õ ªa Ë > 1). W (t, L) · ú ¡_ » ¡ ¤' ' a > d (2)\ ¦
Ø Ôt ë ß » ¡ ¤' < ÊÃ º (3)` ¦ Ø Ôt H · ú § H . Ä ºo ¸4 S q _
â Ä º » ¡ ¤' < ÊÃ º g w (x) H A _ + þ AI \ ¦ É r [14].
g w (x) ∼ x β ; x 1
∼ x β
0; x 1. (10)
#
l " f $ í © t à º H β = 0.75 ± 0.01s 8 £ ¤& ñ ÷ &% 3 Ü ¼ 9, r ç
ß s â ì É r Ê ê_ $ í © t à º Ð β 0 = 0.5 ± 0.01(d = 1 + 1)s 8
£
¤& ñ ÷ &% 3 . s â Ä º A ü < ° ú É r : £ ¤Z > ô Ç » ¡ ¤' ' a > d ` ¦
É r .
W (t, L) ∼ t β ; t L z
∼ t β
0L z(β −β
0) ; t L z . (11)
"
f Ð É r > _ ß ¼l L\ @ /K W 2 /L 2α \ ¦ t/L z _ < ÊÃ º
Ð Õ ª 9" f # Q « Ñ[ þ t` ¦ ô Ç Õ ªA á Ô Ð } 9 Ã º e % 3 ( Õ ªa Ë > 1_ ? /Â Ò). # l " f α = 1.5ü < z = 2\ ¦ s 6 x % i ¦, s
[ þ t É r α = zβ_ ' a > ü < » ¡ ¤' ' a > d (2)\ ¦ ¸ ú ë ß 7 á ¤ r
. Walker " Á @ / Ð l \ ¦ Ù ¼ Ð z = 2\ ¦ % 3 É r כ É r
{ © . ³ ð } 9 l W (t, L) t L z % ò % i \ " f ¸
>
5 Å q 7 £ x ¦ e t ë ß } 9 l t à º α ¸ ú & ñ _ ) a .
Ä
ºo H α 1 Ð H ° ú כ` ¦ % 3 % 3 Ü ¼Ù ¼ Ð © ' a ' a > < ÊÃ º
: £ ¤ s ô Ç & ³ © ` ¦ Ðs o \ V8 £ ¤ # © ' a ' a > < ÊÃ º[ þ t
Õ
ªa Ë > 1. W 2 (t, L)_ log − log Õ ªA á Ô. A \ " f Ò' L = 10, 20, 40, 80, 160, 1000. ? /Â Ò Õ ªa Ë > É r » ¡ ¤' ' a > d (2)ü <
α = 1.5, z = 2\ ¦ s 6 x # « Ñ u l \ ¦ ô Ç Õ ªA á Ô.
Õ
ªa Ë > 2. G(r, t, L)_ log − log Õ ªA á Ô. > _ ß ¼l L É r 1024, 1 ≤ r ≤ 512s ¦, A \ " f Ò' t = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536.
`
¦ > í ß % i (Õ ªa Ë > 2). s © ' a ' a > < ÊÃ º G(r, t, L) H
A ü < ° ú É r » ¡ ¤' ' a > d ` ¦ É r .
G(r, t, L) ∼ t 2β ; t r z
∼ r 2α −κ t κ/z ; r z t L z (12)
∼ r 2α −κ t 2β
0; t L z .
"
f Ð É r r ç ß \ @ /K G/r 2α \ ¦ r/t 1/z _ < ÊÃ º Ð Õ ª 9" f
#
Q « Ñ[ þ t` ¦ ô Ç Õ ªA á Ô Ð } 9 Ã º e % 3 (Õ ªa Ë > 3). s
Ð Â Ò' x 1 % ò % i \ " f_ l Ö ¦ l −2ü < x 1 % ò
%
i \ " f_ l Ö ¦ l −3` ¦ % 3 % 3 ¦, s \ ¦ » ¡ ¤' < ÊÃ º (6)õ q
§K α = 1.5ü < κ = 2\ ¦ % 3 % 3 .
r ξ â Ä º, t % i ³ ð } 9 l t à º(local wandering exponent) α loc ` ¦ & ñ _ # 6 £ § % ! 3 è q à º e [15].
G(r, t, L) ∼ r 2α
loc. (13) Õ
ªa Ë > 3. G(r, t, L)\ ¦ » ¡ ¤' ' a > d (5)ü < α = 1.5, z = 2\ ¦ s
6 x # « Ñ u l \ ¦ ô Ç Õ ªA á Ô.
Õ
ªa Ë > 4. S(t, L)_ log − log Õ ªA á Ô. A \ " f Ò' L = 10, 20, 40, 80, 160, 1000.
s
\ ¦ » ¡ ¤' ' a > d (12)ü < q §K α loc = α − κ/2 Ð ' a > t
` ¦ Ã º e ¦, Ä ºo _ ¸4 S q_ â Ä º α = 1.5, κ = 2s Ù ¼ Ð α loc = 0.5 Ð 8 £ ¤& ñ ÷ &% 3 .
© ' a ' a > < ÊÃ º G(r, t, L)\ " f r = 1 â Ä º\ @ /K , A
ü < ° ú s ¨ î ç H l Ö ¦ l S(t, L)\ ¦ & ñ _ ½ + É Ã º e .
S(t, L) = p
G(1, t, L). (14)
¨ î
ç H l Ö ¦ l S(t, L) H ] X ô Ç ç ß Z } s _ ¨ î ç H \ K
{ © ô Ç . { 9 ì ø Í& h ¸4 S q_ â Ä º, W (t, L) Ð% i ~ כ
%
! 3 Ø æì rô Ç r ç ß s â ìØ Ô S(t, L) í o÷ &# Q { 9 & ñ ô Ç
° ú
כ` ¦ Ä »t 9, A ü < ° ú É r » ¡ ¤' ' a > d s & h 6 x ) a .
S(t, L) ∼ t β
s; t L z
s∼ L α
s; t L z
s. (15)
#
l " f β s H ¨ î ç H l Ö ¦ l _ $ í © t à ºs . Õ ª Q Ä ºo
¸4 S q\ " f H W (t, L) Ð% i ~ כ % ! 3 r ç ß s Á ºo f Ë
Q ¸ S(t, L) í o÷ &t · ú § ¦ > 5 Å q $ í © ¦, ¸ H r ç ß
\
@ /K " f A ü < ° ú É r ' a > d s & h 6 x ) a (Õ ªa Ë > 4).
S(t, L) ∼ t β
s. (16)
Õ
ªa Ë > 5. W N (t, L)_ log − log Õ ªA á Ô. A \ " f Ò' L = 10, 20, 40, 80, 160, 1000. ? /Â Ò Õ ªa Ë > É r > _ ß ¼l L = 20, 40, 80, 160 \ É r W N (t, L)_ í o ) a ° ú כ` ¦ s 6 x #
½
¨ô Ç α N = 0.5.
#
l " f β s = 0.5 ± 0.01s 8 £ ¤& ñ ÷ &% 3 ¦, S(t, L) H > _ ß ¼ l
Lõ ' a > \ O 6 £ §` ¦ · ú Ã º e . ¢ ¸ô Ç d (12) Ð Â Ò' β s = κ/2z = 1/2e ` ¦ · ú Ã º e . 7 £ ¤ β s = β 0 s .
S(t, L) _ U ´s _ l ï r s | ¨ c à º e Ü ¼Ù ¼ Ð ³ ð
} 9 l W (t, L)\ ¦ ¨ î ç H l Ö ¦ l S(t, L) Ð ¾ º# Q" f A ü
< ° ú s D h Ðs ½ © o ) a ³ ð } 9 l W N (t, L)` ¦ & ñ _
½ +
É Ã º e [14].
W N (t, L) = W (t, L)
S(t, L) ∼ t β −β
sg w (t/L z ). (17)
½
© o ) a ³ ð } 9 l W N (t, L) É r ³ ð } 9 l W (t, L)
¨ î ç H l Ö ¦ l S(t, L) Ðs H כ õ H ² ú o t L z
% ò
% i \ " f í o ) a . " f ç ß é ß > ½ © o ) a ³ ð } 9
l t à º α N ` ¦ ½ ¨½ + É Ã º e (Õ ªa Ë > 5). " f Ð É r > _ ß ¼l L\ É r y y _ í o ) a ° ú כ` ¦ s 6 x # α N = 0.5 ± 0.01` ¦ % 3 % 3 ¦, β N = 0.25 ± 0.01 Ð 8 £ ¤& ñ ÷ &% 3 . # l
" f α N õ β N É r y y ½ © o ) a ³ ð _ } 9 l t à ºü <
$ í
© t à ºs . s [ þ t É r α N = zβ N _ ' a > d ` ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç .
"
f Ð É r > _ ß ¼l L\ @ /K W N /L α
N` ¦ t/L z _ < ÊÃ º
Ð Õ ª 9" f # 9 « Ñ[ þ t` ¦ ô Ç Õ ªA á Ô Ð } 9 Ã º e % 3 ( Õ ªa Ë > 6).
s
â Ä º ½ © o ) a ³ ð } 9 l W N (t, L) s A ü < ° ú É r
»
¡
¤' ' a > d ` ¦ ë ß 7 á ¤ r ( ` ¦ S X % i .
W N (t, L) ∼ t β
N; t L z
∼ L α
N; t L z . (18)
#
l " f β N = β − β s = 1/4 s ¦, d (12) Ð Â Ò' α N = z(β − β s ) = α − κ/2 = α loc = 1/2 _ ' a > e 6 £ §` ¦ · ú Ã
º e .
·
ú ¡\ " f ³ ð } 9 l W (t, L)\ ¦ : x # ½ ¨Ù þ ¡~ } 9 l t
à º α = 1.5ü < q § # t % i ³ ð } 9 l t à º α loc = Õ
ªa Ë > 6. (17)d \ É r W N (t, L)` ¦ α N = 1/2, z = 2\ ¦ s
6 x # « Ñ u l \ ¦ ô Ç Õ ªA á Ô.
0.5 " f Ð É r ° ú כ` ¦ Ðs H כ É r α 1 Ð H ¸4 S q\
"
f 7 á x7 á x µ 1 ÏÒ q t H & ³ © s . Ä ºo ¸4 S q É r W (t, L) í
o÷ &t · ú § ¦ 7 £ x H ¸4 S qs t ë ß } 9 l t à º α ¸ ú
&
ñ _ ÷ &% 3 .
IV. º8 ý õ m Í + s Ç Â ] Ø
Ä
ºo H ¸ ú 6 £ § s " Á @ / Ð l Ð Å Ò# Qt H â Ä º_ RD
¸4 S q` ¦ ½ ¨ % i . ³ ð } 9 l W (t, L) H íl \ H t 3/4 Ü ¼ Ð 7 £ x t ∼ L z s Ê ê\ H t 1/2 Ü ¼ Ð 7 £ x
H ¸4 S qs . W (t, L) t L z % ò % i \ " f ¸ > 5 Å q 7 £ x
H ¸4 S qs # Q" f } 9 l t à º α & ñ _ ÷ &t · ú §` ¦ כ
°
ú Ü ¼ W (t, L) Family-Vicsek_ » ¡ ¤' ' a > d ` ¦ Ø Ô
¦ e . ë ß , » ¡ ¤' < ÊÃ º : £ ¤ s ô Ç & ³ © ` ¦ · p . Õ ª o
¦ W (t, L) í o÷ &t · ú § ¸ } 9 l t à º α & ñ _
)
a . α 1 Ð ß ¼Ù ¼ Ð © ' a ' a > < ÊÃ º G(r, t, L) : £ ¤ s
ô Ç $ í | 9 ` ¦ ? / ¦ e . ¨ î ç H l Ö ¦ l S(t, L) r ç
ß \ 7 £ x ¦ e Ü ¼Ù ¼ Ð S(t, L)\ ¦ W (t, L)\ ¦ 8 £ ¤
&
ñ H U ´s _ l ï r Ü ¼ Ð ¸ ú Ü ¼ ½ © o ) a ³ ð } 9 l
W N (t, L)` ¦ & ñ _ ½ + É Ã º e ¦, s כ ` ¦ 8 £ ¤& ñ t % i
³
ð } 9 l t à º α loc ` ¦ f ] X 8 £ ¤& ñ ½ + É Ã º e . " Á @ /
Ð H { 9 [ þ t_ x 9 ¸\ ¦ ρ(x, t) ¦ & ñ _ ρ(x, t)
∂ρ(x,t)
∂t = ν ∇ 2 ρ+η c (x, t)_ Ð > r ÷ & H ¸ ú 6 £ §_ S X í ß ~ ½ Ó& ñ d Ü
¼ Ð l Õ ü t ) a . s d ` ¦ Û ¦ x 9 ¸_ o| ¾ Ó(fluctuation)
∆ρ(x, t) r ç ß \ t −1/4 Ð oô Ç . s x 9 ¸_
o| ¾ Ó` ¦ r ç ß Ü ¼ Ð & h ì r t 3/4 s ) a . 7 £ ¤, é ß í Hô Ç power\ ¦ > í ß Ä ºo ¸4 S q\ " f_ $ í © t à º β 3/4s H
d` ¦ \ V8 £ ¤½ + É Ã º e . Random walker\ ¦ s 6 x Ù ¼ Ð K $ 3
&
h Ü ¼ Ð > í ß s 0 p xô Ç\ ¦ ¦ 9 × æ s ¦, s Qô Ç " Á @ / Ð
l Ð Å Ò# Qt H ¸ ú 6 £ §` ¦ É r ¸4 S q(Family model, RSOS
model 1 p x) \ & h 6 x # > í ß ½ + É > S \ s .
P c
p 8 ý ò k >
: r ½ ¨ H Õ ü æz ´@ / < Æ § §? / ½ ¨q t " é ¶ Ü ¼ Ð s À Ò# Q& 6
£ §.
Y c
p w à U Ø ô
[1] F. Family and T. Vicsek, Dynamics of Fractal Sur- faces (World Scientific, 1991).
[2] A.-L. Barab´ asi and H. E. Stanley, Fractal concepts in surface growth (Cambridge Univ. Press, 1995).
[3] P. Meakin, Fractals, scaling and growth far from equilibrium (Cambridge Univ. Press, 1998).
[4] F. Family and T. Vicsek, J. Phys. A 18, L75 (1985).
[5] F. Family, Physica 168A, 561 (1990).
[6] J. M. Kim and J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. Lett 62, 2289 (1989).
[7] J. M. Kim and J. M Kosterlitz, and T. Ala-Nissila, J. Phys. A 24, 5569 (1991).
[8] S. Das Sarma, S. V. Ghaisas, and J. M. Kim, Phys.
Rev. E 49, 122 (1994).
[9] P. Meakin and R. Jullien, Phys. Rev. A 41, 983 (1990).
[10] J. G. Amar, P.-M. Lam and F. Family, Phys. Rev.
A 43, 4548 (1991).
[11] C.-K. Peng, S. Havlin, M. Schwartz and H. E. Stan- ley, Phys. Rev. A 44, R2239 (1991).
[12] P. M. Lam and F. Family, Phys. Rev. A 44, 4854 (1991).
[13] C.-H. Lam, L. M. Sander and D. E. Wolf, Phys. Rev.
A 46, R6128 (1992).
[14] H.-C. Jeong and J. M. Kim, Phys. Rev. E 68, 022601 (2003).
[15] J. M. L´ opez, M. A. Rodr´iguez and R. Cuerno, Phys.
Rev. E 56, 3993 (1997).
Random Deposition Model for Random Walkers
Hyun Suk Song and Jin Min Kim ∗
Department of Physics and Computer Aided Molecular Design Center, Soongsil University, Seoul, 156-743 (Received 7 August 2003)
We study a random deposition model for random walkers. In our model, the surface roughness, W (t,L), increases as t
3/4at early time and keeps increasing as t
1/2at later times t ∼ L
z, where L is the system size and z is the dynamic exponent. Even though W (t, L) is not saturated, it follows the Family-Vicsek scaling formula with a special scaling functional form. In our model, the roughness exponent is given by ± ' 3/2, the growth exponent by β ' 3/4, and the dynamic exponent by z ' 2 are obtained in our model.
PACS numbers: 05.40.-a, 68.35.ct, 64.60.ht
Keywords: Random deposition model, Surface roughness, Exponents, Scaling relation, Radnom noise
∗
