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(1)

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PACS numbers: 42.30.M

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P ⁰ & h Ü ¼ Ð ' H F g [ þ t î r X < 0 r] X F g s

-192-

(2)

Fig. 1. A self-imaging system with coherent illumination.

The light of wavelength λ, coming from a source point P , illuminates a line grating of period p. The coordinate system is referred to the surface of the grating, parallel to the x and y axes but normal to the z axis. The zero-order ray goes straight from the source point P to another point P ⁰ on the image plane and it also intersects the grating surface at the point V . The mth order ray passes from P to P ⁰ after being diffracted at some point Q in the aperture of the grating. The coordinates are denoted by (ξ, η, ζ) for P , (x 0 , y 0 , 0) for V , (x Q , y Q , 0) for Q, and (ξ ⁰ , η ⁰ , ζ ⁰ ) for P ⁰ .

õ ë ß H & h ` ¦ V , Õ ªo ¦ ¦ r] X F g s õ ë

ß H & h ` ¦ Q ¦ ¿ º ¦, y y _ ý a³ ð\ ¦ (x 0 , y 0 , 0) ü <

(x _Q , y _Q , 0) ¦ . s ý a³ ð ° ú כ_ ß ¼l H ζ x 9 ζ ⁰ _ ß ¼ l

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(1) s

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ñá Ô & h ì r / B Nd [7]\ " f Ä » ¸ ) a ^ © ` ¦ 0 Aô Ç ¸| É r

ª _ & ñ Ã º sü < 8Ô ¦ # Q 1 ζ ⁰ − 1

ζ = λ

2sp ² (2)

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9, F g F g < Æ& h ' a& h \ " f % 3 É r \ ¦ : x õ ô Ç m

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© F g _ â Ð ~ ½ Ó& ñ d É r

x Q = x 0 , y Q = y 0 − 2spm (3) s

H z ´s · ú 94 R e [3–6]. Õ ª Q 3 Ã º \ ¦ í

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g _ ; ¤ < ÊÃ º\ ¦ ý a³ ð_ 4 ½ Ó t í < Ê H á

ÔY U3 A q-v Ø Ôy ñá Ô & h ì rd Ü ¼ Ð ? / Ψ(P ⁰ ) ' C

Z Z

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i 2π

λ (P Q + QP ⁰ )

(4) s

) a . # l " f C H & h ì r Ã º\ Á º ' a ô Ç © Ã ºs ¦, A H _ ß ¼l (|x ^Q − x 0 | 5 x A , |y Q − y 0 | 5 y A )` ¦ _

p 9, ý a³ ð_ 4 ½ Ó t ¦ 9½ + É M :, P Qü <

QP ⁰ H y y

P Q ' −ζ − (x Q − ξ) ² + (y Q − η) ²

2ζ + [(x Q − ξ) ² + (y Q − η) ² ] ²

8ζ ³ (5)

QP ⁰ ' ζ ⁰ + (x _Q − ξ ⁰ ) ² + (y _Q − η ⁰ ) ²

2ζ ⁰ − [(x _Q − ξ ⁰ ) ² + (y _Q − η ⁰ ) ² ] ² 8ζ ⁰³

s

. s ] j ^ © ¸| d (2)ü < F g _ â Ð ~ ½ Ó& ñ d (3)` ¦ d (4)\ @ /{ 9 # > í ß ô Ç Ê ê & ñ o , 3 Ã º

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Ψ(P ⁰ ) ' C ⁰

m

_A

X

m=−m

_A

b _m exp

− i 2π

λ [W _S ^(m) + W _C ^(m) + W _A ^(m) ]

exp

i 2πm

M p [η ⁰ + (M − 1)η]

(6)

ü

< ° ú . # l " f C ⁰ É r Ã º m\ Á º ' a ô Ç s ¦, m A (=

y _A /2sp) H é ß Ã º (cut-off order) Ð" f _ ß ¼l

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ζ (7)

(3)

s

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^ © F g _ 3 Ã º H y y W _S ^(m) = 1

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M p ) ³ M (3 − 3M + M ² )m ⁴ W _C ^(m) = sp( λ

M p ) ² M (2 − M )m ³ U y (8) W _A ^(m) = 1

2 sp( λ

M p )M m ² (U _x ² + 3U _y ² ) ü

< ° ú s è q Ã º e H X < [3], # l " f 0 ^ © F g

_ ~ ½ Ó ¾ Ó ò ø ÍH $ à Ô (direction tangent) $ í ì r` ¦ y y U _x = ξ ⁰ − x ₀

ζ ⁰ , U _y = η ⁰ − y ₀

ζ ⁰ (9)

¦ ¿ º% 3 . @ /Â Òì r _ ^ © \ " f U ^x ü < U ^y _ ß ¼l

H 1 Ð B Ä º . d (8)\ Å Ò# Q Ã º W S ^(m) õ W _C ^(m) x 9 W _A ^(m) _ : £ ¤$ í ` ¦ { 9 ì ø Í& h E $ Ý ¼ © > [8]ü < q

§K Ð y y 3 ½ ¨ Ã º ü < ï Õ ªo ¦ q & h Ã º ü <

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» . W S ^(m) H Ã º m (7 £ ¤, y Q ) _ 45 p x \ q Y V ¦, W _C ^(m) H Ã º m (7 £ ¤, t Q ) _ 35 p x õ r > y U y _ Y L \ q Y V

9, W A ^(m) H Ã º m (7 £ ¤, y Q ) õ r > y (U x , U _y ) y y _ ]

jY L \ q Y Vô Ç . d (6)õ (8)` ¦ 7 á x ½ + ËK Ð , ½ ¨ Ã º \ l

H ; ¤ < ÊÃ º_ 0 A © < Ê É r (λ/p) _ ] jY L \ q Y V

¦, ï \ _ ô Ç ; ¤ < ÊÃ º_ 0 A © < Ê É r (λ/p) \ q Y V

9, q & h Ã º \ _ ô Ç ; ¤ < ÊÃ º_ 0 A © < Ê É r (λ/p) \

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l

x ô Ç â Ä º, d (8)\ Å Ò# Q 3 Ã º s ü @\ © 7 á x s 1

l

x Ã º [6]

W _L ^(m) ' sp( λ

M p )m ² ( δζ ⁰

ζ ⁰ ) (10)

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t

F K t 3 Ã º \ ¦ í < Ê H ^ © _ ; ¤ < ÊÃ º\

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/K " f 7 H _ % i . Õ ª Q ^ © z ´+ « >\ " f z ´] j Ð

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< ÊÃ º_ ] X @ /u _ ] jY L \ q Y V H [ jl ì r ís . P ⁰ & h

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ì r íô Ç ^ © _ [ jl H

I(P ⁰ ) = |Ψ(P ⁰ )| ² ' |C ⁰ | ² (11)

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2m

A

X

n=−2m

_A

B n exp

i 2πn

M p [η ⁰ + (M − 1)η]

ü

< ° ú s è q Ã º e . # l " f B n = X

l

b l b ^∗ _l−n exp

− i 2π

λ (W ^(l) − W ^(l−n) )

(12)

¦ ¿ º% 3 H X <, & ñ Ã º l_ # 3 0 A H n = 0\ @ /K " f −m A + n 5 l 5 m Â s ¦, n < 0\ @ /K " f −m Â 5 l 5 m Â + n s 9, Ã º < ÊÃ º H W ^(l) = W _S ^(l) + W _C (l) + W _A ^(l) + W _L ^(l) s

. ô Ç¼ # , ^ © _ [ jl H 0 Ð H ( ¢ ¸ H 0 õ ° ú É r) z ´ Ã

ºs # Q Ù ¼ Ð, / B NÓ o ' a >

B n = B ^∗ _−n (13)

$ í w n K ô Ç . (11)d ` ¦ ¶ ú ( R Ð , > Ã º B n É r / B N ç ß Å

Ò Ã º (n/Mp)\ @ /6 £ x H ^ © _ [ jl Û ¼& 7 à Ô! 3 e

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¦ · ú Ã º e . Ã º [ jl Û ¼& 7 à Ô! 3 \ p u H ´ ò õ

H ; ¤ Û ¼& 7 à Ô! 3 \ p u H % ò ¾ Ó% ! 3 Õ ªX O > é ß í H t

· ú § ¦ (12)d \ è ß כ % ! 3 B Ä º 4 ¤ ¸ ú > \ O ) e

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III. = k V ê s8 ý : gM Ä Z Ø º; c Q V À W ¥ 3

¤ 8 ý ÇÊ Ý

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] j d (8)õ (11) Õ ªo ¦ (12)` ¦ 6 x K " f 3 Ã º

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¦ í < Ê H ^ © _ [ jl ì r í\ ¦ Ã º \ O H â Ä º ü

< q §K Ð . ¼ # _ © _ ; ¤ È Òõ > Ã º H & ñ & ³ (sinusoidal-type) < ÊÃ ºü < f y (rectangular-type) < ÊÃ º

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º t + þ AI Ð ] jô Çô Ç . s â Ä º Fig. 2 (a)ü < ° ú s 0 5 τ 5 1 s \ " f 1 l x H & ñ & ³ < ÊÃ º\ @ /ô Ç É Òo \

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Ã º H

b _m =

0.5, m = 0 0.25, m = ±1

0, Õ ªs ü @

(14)

s

9, Fig. 2 (b)ü < ° ú s α 5 τ 5 1 s \ " f 1 l x H f

y < ÊÃ º\ @ /ô Ç É Òo \ > Ã º H b m =

α + ∆(1 − α), m = 0

(1 − α) sin(∆mπ)/(mπ), m 6= 0 (15) s

÷ & H X <, Ã ºu > í ß ` ¦ 0 AK " f È Òõ % ò % i _ q ∆ = 1/2 õ È Òõ > Ã º_ þ j è° ú כ α = 0.2 Ð ¿ º% 3 . ¢ ¸ô Ç ¨ î ' F

g s _ ¢ , aA á ¤ \ " f { 9 ô Ç ¦ & ñ ¦, F g " é ¶ _ 0

Au \ ¦ ζ = −∞ Ð Ñ ü t â Ä º, ^ © _ 0 Au H d (2) Ð Â

Ò' ζ ⁰ = 2sp ² /λ s ¦, C Ö ¦ É r d (7) ÐÂ Ò' M = 1s .

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Ç¼ # _ é ß Ã º H m a = 20 Õ ªo ¦ © _ Ã

º H s = 1 Ð ¿ º% 3 .

0 A\ " f / å L ô Ç ¸| \ " f $ Ã º \ O H â Ä º\

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/ô Ç ^ © _ [ jl ì r í Iü < [ jl Û ¼& 7 à Ô! 3 (B n /B 0 )` ¦

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í ß % i . Fig. 3 É r d (14)_ È Òõ > Ã º\ ¦ & ñ & ³

_ ^ © \ @ /ô Ç (a) [ jl ì r í Iü < (b) [ jl Û ¼& 7 à Ô

(4)

Fig. 2. Transmission coefficients of (a) a sinusoidal grat- ing and (b) a rectangular grating, which are plotted as a function of y _Q . α is a minimal value of the amplitude transmission.

Fig. 3. (a) The irradiance and (b) the corresponding spectra for the self-imaged sinusoidal grating, free from aberrations. We let M = 1, s = 1, and m _A = 20.

Fig. 4. (a) The irradiance and (b) the corresponding spectra for the self-imaged rectangular grating, free from aberrations. We let M = 1, s = 1, m A = 20, ∆ = 1/2 and α = 0.2.

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(B _n /B ₀ )` ¦ Ð# ï r . & ñ & ³ ^ © _ [ jl Û ¼& 7 à

Ô! 3 É r ¸¿ º z ´Ã ºs ¦, n = ±1{ 9 M : 2/3s 9, n = ±2{ 9 M

: 1/6e ` ¦ Ð# ï r . ð ø Ít Ð d (15)_ È Òõ > Ã º

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¦ f y _ ^ © \ @ /ô Ç [ jl ì r í Iü < [ jl Û

¼& 7 à Ô! 3 (B _n /B ₀ ) s Fig. 4 (a)ü < (b)\ Å Ò# Q . f y

^ © _ [ jl ì r í\ " f H É r כ ¹1 l x[ þ t É r

_ é ß Ã º\ _ > r H X <, é ß Ã º 7 £ x ½ + É Ã

º2 ¤ כ ¹1 l x _ > hÃ º H 7 £ x t ë ß כ ¹1 l x _ # 3 0 A × ¦ # Q[ þ t

" f f y < ÊÃ º\ ] X H ô Ç . [ jl Û ¼& 7 à Ô! 3 (B _n /B ₀ ) É r

Ã º n\ ' a > \ O s ¸¿ º z ´Ã ºs 9, f y < ÊÃ º © \ ß ¼

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l # H [ jl Û ¼& 7 à Ô! 3 _ Ã º H $ ½ Ó[ þ te ` ¦ Ð

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1. = k V ê s8 ý : gM ; c Q V À W ¥ ì Å ¤ ÇÊ Ý

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(6)õ (8)\ " f · ú Ã º e 1 p w s ½ ¨ Ã º W S ^(m) \ l

H ^ © _ ; ¤ < ÊÃ º_ 0 A © < Ê É r (λ/p) _ ] jY L

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q Y VK " f 7 £ x H ì ø Í \ r > y (U ^x , U y ) \ H % ò ¾ Ó

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¦ ~ Ã Ît · ú § H . " f ½ ¨ Ã º H _ Å Òl p F g _

© λ\ H] X H ¦x 9 ¸ _ ^ © \ H % ò

(5)

Fig. 5. The irradiance for the self-imaged sinusoidal grat- ing, suffering from spherical aberration. The period is chosen as p = λ (solid), 1.3λ (dashed), 1.5λ (dotted), 2λ (dash-dotted) and 10λ (dash-dot-dotted), respectively, and other conditions are the same as those in Fig.3.

Fig. 6. The irradiance for the self-imaged rectangular grating, suffering from spherical aberration. The param- eters are the same as those in Fig.4, except that the period is taken as (a) p = λ (solid), 2λ (dashed), 4λ (dot- ted) and (b) p = 10λ (solid), 20λ (dashed), 50λ (dotted).

¾ Ó` ¦ × ¦ כ Ü ¼ Ð \ V © ÷ & H X <, Fig. 5 H ½ ¨ Ã º \ ¦ í < Ê

H â Ä º d (14)_ È Òõ > Ã º\ ¦ & ñ & ³ \ @ / ô

Ç ^ © _ [ jl I\ ¦ Ð# ï r . # l " f z ´ É r p = λ,

W É r p = 1.3λ, & h É r p = 1.5λ, 1& h W É r p = 2λ, 2& h W É r p = 10λ â Ä ºs 9, É r ¸| É r Fig. 3 _

â

Ä ºü < 1 l x{ 9 . _ Å Òl F g _ © \ H] X ½ + ÉÃ º 2

¤ ½ ¨ Ã º M :ë H \ ^ © _ [ jl ì r í\ @ /ô Ç r ¸ (visibility) / å L y y è H X <, p = λ{ 9 M :, ^ © _

r ¸ H 0.3 s Ð b # Q . Fig. 3õ 5\ ¦ " f Ð q § K

Ð , _ Å Òl F g _ © _ \ P C s © s & ñ & ³

_ ^ © \ " f ½ ¨ Ã º _ % ò ¾ Ós f ` ¦ · ú Ã º e

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Fig. 6 É r ½ ¨ Ã º \ ¦ í < Ê H â Ä º d (15)_ È Òõ > Ã

º\ ¦ f y \ @ /ô Ç ^ © _ [ jl I\ ¦ Ð# ï r

. Fig. 6 (a)\ " f z ´ É r p = λ, W É r p = 2λ, & h É r p = 4λ â Ä ºs ¦, Fig. 6 (b)\ " f z ´ É r p = 10λ, W

É r p = 20λ, & h É r p = 40λ â Ä ºs 9, É r ¸| É r Fig. 4 _ â Ä ºü < 1 l x{ 9 . ½ ¨ Ã º M :ë H \ f y _

^ © _ [ jl ì r í\ " f כ ¹1 l x s & t " f ª A á ¤ â > Â Ò ì

r s @ /g A& h Ü ¼ Ð ¸ ñK t H & ³ © s ' a ¹ 1 Ï ) a . p = λ f

y _ ^ © É r ½ ¨ Ã º M :ë H \ ¢ - a y t

H ì ø Í \ , p = 2λ f y _ ^ © É r ½ ¨ Ã º _

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¾ Ó` ¦ _ ~ Ã Ît · ú §6 £ §` ¦ · ú Ã º e . d (6)õ (8)` ¦ [

jy ì r$ 3 K Ð , { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð _ Å Òl

p = 2λ M

p s(3 − 3M + M ² ) (16)

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§ H ì ø Í \ ,

p = λ M

p s(3 − 3M + M ² ) (17)

º u " î & h e ` ¦ µ 1 Ï| ½ + É Ã º e .

2. = k V ê s8 ý : gM ; c Q V À W ¥ Â ÇÊ Ý

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VK " f 7 £ x ô Ç . " f { 9 F g _ ~ ½ Ó ¾ Ós õ Ã

º \ ¦ í < Ê½ + É Ã ºµ 1 Ú\ \ O . Fig. 7 É r ï Ã º \ ¦ í < Ê

H â Ä º d (14)_ È Òõ > Ã º\ ¦ & ñ & ³ \ @ /ô Ç

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W É r (λU y /p) = +0.1, & h É r (λU y /p) = −0.1 â Ä º s

9, É r ¸| É r Fig. 3 _ â Ä ºü < 1 l x{ 9 . ï \ O

H z ´ ` ¦ l ï r Ü ¼ Ð ^ ¦ M :, W É r δη ⁰ ' +0.1p ë ß p u S Ü

¼ Ð s 1 l x ÷ & ¦, & h É r δη ⁰ ' −0.1p ë ß p u S Ü ¼ Ð s 1 l x ÷ &

% 3

6 £ §` ¦ · ú Ã º e . d (6)õ (8)` ¦ [ jy ¶ ú ( R Ð , { 9

(6)

Fig. 7. The irradiance for the self-imaged sinusoidal grat- ing, suffering from coma. The parameter is chosen as (λU _y /p) = 0 (solid), +0.1 (dashed), and −0.1 (dotted), and other conditions are the same as in Fig.3.

Fig. 8. The irradiance for the self-imaged rectangular grating, suffering from coma. The parameters are the same as those in Fig.4, except that (a) 100(λU _y /p) = 0.02 and (b) 100(λU _y /p) = −0.02.

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© 0 A\ " f

δη ⁰ ' sp λU y

p

(2 − M ) (18) ë

ß p u S Ü ¼ Ð 0 Ar H z ´` ¦ µ 1 Ï| ½ + É Ã º e . Fig.

8 É r ï Ã º \ ¦ í < Ê H â Ä º d (15)_ È Òõ > Ã º\ ¦

Fig. 9. The irradiance spectra which correspond to the ir- radiance distributions in Fig. 8, where (a) 100(λU y /p) + 0.02 and (b) 100(λU y /p) = −0.02. The imaginary part of (B n /B 0 ) is responsible for forming the asymmetrically blurred patterns in Fig. 8.

8 \ " f (a) 100(λU y /p) = +0.02 s ¦, (b) 100(λU y /p) =

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(7)

Fig. 10. The irradiance for the self-imaged sinusoidal grating, suffering from astigmatism. The field angle is of U y = 0.1 (solid), 0.3 (dashed), and 0.4 (dotted), and other conditions are the same as those in Fig. 3.

Fig. 11. The irradiance for the self-imaged rectangular grating, suffering from astigmatism. The parameters are the same as those in Fig.4, except that the field angles are chosen as U y = 0.04 (solid) and 0.1 (dashed).

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[1] H. F. Talbot, Philos. Mag. 9, 401 (1836).

[2] L. Rayleigh, Philos. Mag. 11, 196 (1881).

[3] S. Chang, Optik 116, 379 (2005).

[4] S. Chang, Optik 117, 287 (2006).

[5] S. Chang, Optik 117, 569 (2006).

[6] Soo Chang and Sang-il Lee SAEMULLI (New Phys.)

56, 124 (2008).

(8)

[7] M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Perga- mon, Oxford, 1980), p. 378-383.

[8] W. T. Welford, Aberrations of Optical Systems

(Adam Hilger, Bristol, 1986), p. 71-75, p. 93-98.

Irradiance Distribution of a Self-imaged Pattern with Third-order Aberrations

Soo Chang ^∗

Department of Physics, Hannam University, Taejon 306-791 (Received 12 August 2008)

We analyze the effects of third-order aberrations on the irradiance of an image that is observable in a coherent self-imaging system. Both spherical aberration and astigmatism degrade the visibility of the image of a sinusoidal-type grating and blur the outline of the image of a rectangular-type grating. Coma laterally shifts the image of a sinusoidal-type grating on the image plane and changes a rectangular-type pattern into an asymmetrically blurred pattern. In particular, the self-image of a high-density grating with a period of two times the optical wavelength is not at all affected by spherical aberration. We also show that astigmatism can be corrected by shifting the image plane in the direction of its normal.

PACS numbers: 42.30.M

Keywords: Aberrations, Self-image, Line grating, Talbot effect

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E-mail: [email protected]

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PACS numbers: 42.30.M

Keywords: Ã º ,  ^   © , f       , » 1 Ï Ð´ òõ 

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