½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 48, Number 1, 2004¸ 1 Z 4, pp. 37∼40

(1)

½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 48, Number 1, 2004¸ 1 Z 4, pp. 37∼40

¤õ t Ú< g X ¢ { ¢ ¨ | Ê Ý ± q Ö ¨T | º Ç X Ø3 û À W ¥ Ò ãT < g X ¢ { ¢ ¨ | 8 ý å ¾ Ë4 ì Å

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Restricted Curvature (RC) ¸4 S qõ Conserved Noise Restricted Solid On Solid (CNRSOS) ¸4 S q õ

_ ' a > \ ¦ ½ ¨ % i . 1 " é ¶ \ " f RC ¸4 S q_ ³ ð } 9 l W H } 9 l t Ã º α

^rc

∼ = 1.5,$ í © t Ã º β

rc

∼ = 0.375s ¦, 1 l x% i < Æ& h t Ã º z

rc

≈4e ` ¦ Ð# ï r . Ä ºo H ç ß é ß ô Ç ½ ©g Ë :` ¦ Ø Ô H CNRSOS ¸ 4

S q` ¦ ¸{ 9 % i . s ¸4 S q\ " f H ³ ð } 9 l W H } 9 l t Ã º α

cn

∼ = 0.49, $ í © t Ã º β

cn

∼ = 0.12s

¦, 1 l x% i < Æ& h t Ã º z

^cn

≈4e ` ¦ % 3 % 3 . RC ¸4 S q\ " f_ Z } s \ ¦ CNRSOS ¸4 S q\ " f_ Z } s Ð K

$ 3 ¿ º ¸4 S qs ° ú . " f RC ¸4 S qõ CNRSOS ¸4 S q_ ' a > H z

rc

= z

cn

, α

rc

-1=α

cn

, β

rc

-

_z¹

rc

=β

cn

e ` ¦ · ú Ã º e .

PACS numbers: 05.40.+j, 05.70.Ln, 68.35.Fx

Keywords: / B GÒ ¦ ] jô Ç ¸4 S q, ³ ð } 9 l , Z } s ] jô Ç ¸4 S q, } 9 l t Ã º, $ í © t Ã º, á ÔÏ þ » 1 Ï ³ ð

I. " e Â ] Ø

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j H \ q ç H{ 9 B | 9 \ " f { 9 _ @& h , f ¨ Ã ÌÜ ¼ Ð Ò q tl

H ³ ð s ] X 8 ú ¤ ` ¦ $ í © r v H ½ ¨ Ö ¸µ 1 Ïy '

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& ¦ e . ³ ð } 9 l H F g# 3 0 A > t è ß z # ¸ 1 l xî ß

½ ¨÷ &# Q4 R M ® o . s כ É r ç ß é ß ô Ç » ¡ ¤' & ³ © ` ¦ Ð . » ¡ ¤ '

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É Ã º e ¦ [1,2], Õ ª t Ã º[ þ t` ¦ : x K " f Ð¼ # $ í Â ÒÀ Ó[ þ t` ¦

&

ñ _ ½ + É Ã º e . â > _ } 9 l W H Z } s _ ³ ðï r¼ #

Ð & ñ _ ) a .

W ² (L, t) ≡ [ ¯ h ² (x, t) − ¯h(x, t) ² ] . (1)

#

l " f L É r system_ ß ¼l s ¦, ¯h H / B Nç ß & h ¨ î ç H h(t)= ¯ _L ¹

L

X

x=1

h(x, t) s ¦, <> H " f Ð É r ³ ð : r \ @ /ô Ç ¨ î ç

H s . r ç ß tü < ß ¼l L\ É r ³ ð _ } 9 l W H

6 £ § õ ° ú É r » ¡ ¤' & ³ © ` ¦ · p [3,4].

W ² (L, t) ∼ L ^2α g(t/L ^z ),

∼ t ^2β (t L ^z ), (2)

∼ L ^2α (t L ^z ).

#

l " f 1 l x§ 4 < Æ t Ã º z H 6 £ § õ ° ú É r ' a$ í ` ¦ t ¦ e

.

z = α

β . (3)

∗

E-mail: [email protected]

α H } 9 l t Ã ºs ¦, β H $ í © t Ã ºs . ¿ º > h_ t Ã º

\

¦ · ú É r _ t Ã º ° ú כ` ¦ 8 £ ¤& ñ ½ + É Ã º e .

II. Ä ] Ø Â ] Ø

: r ½ ¨\ " f H Restricted Curvature (RC) ¸4 S qõ Con- served Noise Restricted Solid on Solid (CNRSOS) ¸4 S q _

¦o \ ¦ ¹ 1 Ô t Ã ºü < » ¡ ¤' ' a > d [ þ t` ¦ 8 £ ¤& ñ ì r$ 3

9 ¦ ô Ç . Ä º RC ¸4 S q [5]\ " f_ $ í © ½ ©g Ë : É r % 6 £ §

\

¨ î ¨ î ô Ç ³ ð \ " f r # e _ _ & h x\ ¦ × þ

¦, × þ ) a x \ " f > á ¤° ú É r S X Ò ¦ 1/2 Ð ô Ç { 9 \ ¦ 8

N Sï r . ë ß × þ ) a _ Z } s o RC / B GÒ ¦ ] j ô

Ç (|∇ ² h | = |h(x + 1) + h(x − 1) − 2h(x)| ≤ N)` ¦ L :ä ¼o

Z } s o\ ¦ 2 [ è ¦ " é ¶ A © I Ð ÷ &[ t 2 ; . N É r ª _

& ñ Ã º Ð" f } 9 l \ ¦ l Õ ü t H t Ã º° ú כ\ o\ ¦ Å Òt

· ú

§ H ° ú כÜ ¼ Ð · ú 94 R e ¦, Ä ºo H N = 2\ ¦ Å Ò Ð 6 x

%

i . s ¸4 S q\ " f H / B GÒ ¦ë ß ] jô Ç l M :ë H \ © î

r \ P _ Z } s |h(x+1)−h(x)|\ @ /K " f H Á º ] j s

\ O . RC ¸4 S q\ " f 0 p xô Ç continuum Hamiltonian É r

6 £ § õ ° ú

H ∼ Z

d ^d ⁻¹ x |∇ ² h | ² , (4)

#

l " f d H ^ " é ¶( l ó ø Í " é ¶+1)` ¦ ´ ú ô Ç . s x 9 Ð m

î ß \ K { © H Langevin dynamical equation [6] ^∂h _∂t ∼

-37-

(2)

-38- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 48, Number 1, 2004¸ 1 Z 4

Fig. 1. The log(W (t)) − log(t) graph of the CNRSOS model for L = 10, 20, 40, 80, 10000. β = 0.12 ± 0.01(d = 1 + 1) is obtained from the data.

− ^δH _δh + η É r

∂h(x, t)

∂t = −ν 4 ∇ ⁴ h(x, t) + η(x, t). (5)

Ð Å Ò# Q 4 5 Å q + þ A ~ ½ Ó& ñ d s ) a . Õ ªA " f RC ¸ 4

S q É r 0 A_ ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ \ ¦ כ Ü ¼ Ð \ V © ) a . ∇ ⁴ ½ Ó É r / B G

` ¦ ¨ î o r v H 6 x` ¦ 9 ¸ ú 6 £ § ½ Ó É r 6 £ § õ ° ú s Å

Ò# Q .

< η(x, t)η(x ⁰ , t ⁰ ) >= 2Dδ ^d ⁻¹ (x − x ⁰ )δ(t − t ⁰ ). (6)

~

½ Ó& ñ d (5) H + þ A ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð" f & ñ S X y Û ¦ Ã º e Ü ¼ 9 6

£

§ t Ã º ° ú כ[ þ t` ¦ % 3 H [7,8].

α = 5 − d

2 , β = 5 − d

8 , z = 4. (7) RC ¸4 S q\ " f_ / B GÒ ¦ ] jô Ç É r

|∇ ² h | ≤ N (8) s

. N É r ª _ & ñ Ã ºs . d = 2 " é ¶ \ " f Å Òl & h ¸|

`

¦ Å Ò# Q" f N = 2 â Ä º\ ¦ í ß r Ð 3 x 6 £ § õ ° ú É r e

> t Ã º\ ¦ Ð# ï r [5,7,9].

α ≈ 3 2 , β ≈ 3

8 , z ≈ 4. (9)

#

l " f Ä ºo H D h Ðî r CNRSOS ¸4 S q` ¦ ¸{ 9 % i . s

¸4 S q\ " f xt & h _ Z } s H S(x, t) Ð ³ ðr % i . CNR- SOS ¸4 S q_ ½ ©g Ë : É r " f Ð ] X ô Ç ¿ º> h_ & h (x, x + 1)` ¦ × þ ¦ 1/2 S X Ò ¦ Ð xt & h _ Z } s \ ¦ ` ¦ o

¦ x + 1 t & h _ Z } s \ ¦ ? /o 1/2 S X Ò ¦ Ð xt

&

h _ Z } s \ ¦ ? /o ¦ x + 1 t & h _ Z } s \ ¦ ` ¦

2 ; . ë ß [ þ t_ Z } s o Restricted Solid On

Fig. 2. The saturated value W ² (L) of the CNRSOS model for L = 10, 20, 40, 80. α = 0.49 ± 0.01 is obtained from the data.

Solid(RSOS) Z } s ] jô Ç ¸| |∇S| ≤ N ( |S(x + 1) − S(x) | ≤ NÕ ªo ¦ |S(x) − S(x − 1)| ≤ N)` ¦ L :ä ¼o

Z } s o\ ¦ 2 [ èô Ç . s õ & ñ \ " f ¸ H Z } s _ ½ + Ë P

x S(x) H Ð > r ) a . Õ ª QÙ ¼ Ð ¸ ú 6 £ § s Ð > r ÷ & H > s .

CNRSOS ¸4 S q\ " f_ { 9 > hÃ º H RC ¸4 S qõ ² ú o t

· ú § H . í ß r Ð 3 x` ¦ : x K " f CNRSOS ¸4 S q_ ³ ð } 9

l _ e > t Ã º[ þ t` ¦ % 3 % 3 . Fig. 1\ " f β\ ¦ & ñ l 0 AK " f Ä ºo H > _ ß ¼l L = 10000 â Ä º W (t)\ ¦ 8

£

¤& ñ % i . íl r ç ß t L ^z { 9 M : W (t)∼ t ^β ' a > \ ¦ :

x # β° ú כ` ¦ % 3 % 3

β = 0.12 ± 0.01 (d = 1 + 1). (10) s

¸4 S q É r z = 4 H % _ ° ú כ` ¦ t Ù ¼ Ð í o % ò % i \ ¸

²

ú H r ç ß s B Ä º ¸A 2 ; . r Û ¼% 7 ß ¼l L = 10, 20, 40, 80 Ü ¼ Ð ] jô Ç # í ß r Ð 3 x` ¦ % i . Fig. 2\ ¦

Ð } 9 l t Ã º α\ ¦ Ðl 0 AK " f t L ^z % ò % i \ " f W ∼ L ^α ' a > \ ¦ 6 x % i .

α = 0.49 ± 0.01, z = α

β = 4.0 ± 0.1. (11) 0

A_ ° ú כ[ þ t É r α =1/2, β =1/8, z = 4 ü < B Ä º q 5 p w . » ¡ ¤ '

' a > d (2)\ ¦ s 6 x # « Ñ u l \ ¦ # Fig. 3\

? /% 3 . " f Ð É r ß ¼l _ « Ñ[ þ t s ô Ç / B G \ ¸ ú 5

gf ` ¦ · ú Ã º e .

RC ¸4 S q\ " f x P :\ ô Ç { 9 \ ¦ 8 H â Ä º (h x → h x + 1) \ Å Ò _ / B GÒ ¦ É r 6 £ § õ ° ú s ô Ç [10].

C x −1 → C x −1 + 1,

C x → C x − 2, (12)

C x+1 → C x+1 + 1.

(3)

½ ¨ 7 Hë H / B GÒ ¦ ] jô Ç ¸4 S qõ ¸ ú 6 £ § s Ð > r ÷ & H Z } s ] jô Ç ¸4 S q_ ' a > ½ ¨ – ^ ë H$ 3 · ^ -39-

Fig. 3. The scaling plot of the surface width with α = 0.5 and z = 4.

#

l " f / B GÒ ¦ É r C x = h x −1 + h x+1 − 2h x Ð & ñ _ ÷ &% 3 .

RC ¸4 S q\ " f_ Z } s \ ¦ B x ≡ h x − h x −1 ¦ & ñ _

, B _x → B x + 1, B _x ₋₁ → B x −1 − 1 Ð ¨ 8 ô Ç . (# l " f P B x H Ð > r ) a .) RC ¸4 S q\ " f { 9 \ ¦ ô Ç > h N S? / H

â

Ä º(h ^x → h x − 1) H B x → B x − 1, B x −1 → B x −1 + 1 \ K

{ © ô Ç . B ^x \ ¦ CNRSOS ¸4 S q\ " f_ Z } s S ^x Ð Z ~ Ü ¼

RC ¸4 S q_ ½ ©g Ë :s CNRSOS ¸4 S q_ 1 l x% i < Æ ½ ©g Ë :õ 1

l x{ 9 < Ê` ¦ Ð{ 9 Ã º e . / B GÒ ¦ s |C x | ≤ Ns , C _x = h x+1 + h x −1 − 2h x = B x − B x −1 , 7 £ ¤ |B x − B x −1 | ≤ Ns

. B ^x H restricted solid on solid ¸| ` ¦ Ø Ô> ) a . RC

¸4 S q\ " f P B x Ð > r ÷ & ¦, CNRSOS ¸4 S q\ " f P S x

Ð > r ) a . RC ¸4 S q\ " f_ Z } s B x \ ¦ CNRSOS ¸4 S q\

"

f_ Z } s S ^x Ð ^ ¦ Ã º e . # l " f RC ¸4 S q\ " f_ Z } s

H h x Ð ³ ðr ¦ CNRSOS ¸4 S q\ " f_ Z } s H S x Ð ³ ð r

ô Ç . CNRSOS ¸4 S q\ " f H P S x = 0 s . Õ ªA " f Ð

> r ¸ ú 6 £ § \ K { © ) a . CNRSOS ¸4 S q É r |∇S x | ≤ N Z } s

N s ? / Ð ] jô Ç ) a ¸4 S qs . # l " f ∇S ^x = S x − S x −1 Ð & ñ _ ) a . 7 £ ¤,

|∇ ² h | ≤ 2,

|∇h x+1 − ∇h x | ≤ 2, (13)

|S x+1 − S x | ≤ 2 s

. RC ¸4 S q\ " f_ Z } s h(x, t) H 4 5 Å q + þ A ~ ½ Ó& ñ d

(d (5))` ¦ Ø Ô H כ Ü ¼ Ð # [11,12].

d

(5)\ ∇` ¦ ª \ 2 [ ,

∂( ∇h)

∂t = −ν 4 ∇ ⁴ ( ∇h) + ∇η(x, t), (14)

÷ & ¦, ∇h\ ¦ S Ð u ¨ 8 ,

∂S

∂t = −ν 4 ∇ ⁴ S + ∇η, (15) s

. ∇η H Ð > r ¸ ú 6 £ § s . s Ð > r ¸ ú 6 £ § ½ Ó É r 6 £ § d ` ¦

Ø Ô> ) a

< ∇η(x, t)∇η(x ⁰ , t ⁰ ) >= −2D∇ ² δ ^d ⁻¹ (x − x ⁰ )δ(t − t ⁰ ).

(16) d

(15)` ¦ Û ¦ , α = 3 − d

2 , β = 3 − d

8 , z = 4 (17)

\

¦ % 3 H . d = 2\ " f α = 1/2, β = 0.125, z = 4s . Ä º o

_ CNRSOS ¸4 S q\ " f % 3 É r ° ú כ[ þ t (d (10)õ d (11)) É r 0

A_ ° ú כõ B Ä º ¸ ú { 9 u ¦ e . 7 £ ¤ CNRSOS ¸4 S q É r d

(15)` ¦ Ø Ô H ¸4 S qs ) a .

Õ

ª QÙ ¼ Ð RC ¸4 S q\ " f_ Z } s CNRSOS ¸4 S q\ " f

H Z } s Ð K $ 3 | ¨ c Ã º e . # l " f " é ¶ ì r$ 3 ` ¦ : x K " f RC ¸4 S qõ CNRSOS ¸4 S qõ _ e > t Ã º ' a > \ ¦ Ð ,

z rc = z cn , α _rc − 1 = α cn , α rc

z _rc − 1

z _rc = α cn

z _cn , (18) β _rc − 1

z _rc = β _cn

°

ú Ù ¼ Ð 1 l x% i < Æ& h t Ã º z ^rc H z cn õ ° ú ô Ç

. 7 £ ¤

z _rc = z _cn . (19) RC ¸4 S q\ " f ∇h\ ¦ S Ð K $ 3 K " f Ð CNRSOS ¸4 S q s

÷ &Ù ¼ Ð ∇h = S_ " é ¶ ì r$ 3 \ _ K α ^rc -1=α cn s # Q

ô Ç . α ü < z_ ' a > d s & ñ ÷ &% 3 Ü ¼Ù ¼ Ð β_ ' a > d

É r

β _rc = α _rc z rc

= α _cn + 1 z cn

= β _cn + 1 z cn

(20) s

. Ä ºo % 3 É r e > t Ã º[ þ t É r 0 A_ ' a > d ` ¦ ¸ ú ë ß 7 á ¤ ô

Ç .

III. + s Ç Â ] Ø

Ä

ºo H CNRSOS ¸4 S q` ¦ ë ß [ þ t # Q ½ ¨ % i . s ¸4 S q

É

¼ Ð [ O " î % i . RC ¸4 S qs d (5)\ ¦ Ø Ô H ¸4 S qs Ù ¼

Ð CNRSOS ¸4 S q É r d (15)\ ¦ Ø Ô H ¸4 S qs ) a . RC

(4)

-40- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 48, Number 1, 2004¸ 1 Z 4

Ø Ôt ë ß , 1 l x% i < Æ& h t Ã º ° ú 6 £ §` ¦ · ú Ã º e . ¿ º ¸ 4

S q\ " f_ t Ã º ' a > \ ¦ Ð , z rc = z cn , α rc - 1 = α cn , β _rc - _z ¹

rc

=β _cn e ` ¦ Ð# ï r . RC ¸4 S q\ " f_ Z } s

CNRSOS ¸4 S q_ Z } s ü < ° ú 6 £ §` ¦ · ú Ã º e % 3 . Õ ªo ¦ CNRSOS ¸4 S qs Ð > r ¸ ú 6 £ §_ 4 5 Å q + þ A ~ ½ Ó& ñ d ` ¦

¸

ú Ø Ô H כ Ü ¼ Ð · ú Ã º e .

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: r ½ ¨ H Õ ü æz ´@ / < Æ § §? / ½ ¨q t " é ¶ Ü ¼ Ð s À Ò# Q& 6

£ §.

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p w Ã U Ø ô

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[2] P. Meakin, Fractals, scaling and growth far from

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Relation between Restricted Curvature Model and Conserved Noise Restricted Solid-on-Solid Model

Moon-Suk Kim and Jin Min Kim

Department of Physics and Computer Aided Molecular Design Research Center, Soongsil University, Seoul 156-743 (Received 6 October 2003)

We study the relation between the restricted curvature (RC) model and the conserved noise restricted solid on solid (CNRSOS) model. The surface width W of the RC model shows a roughness exponent α

rc

∼ = 1.5, a growth exponent β

rc

∼ = 0.375, and a dynamic exponent z

rc

≈4 in one substrate dimension. The surface width W of the CNRSOS model shows a roughness exponent α

cn

∼ = 0.49, a growth exponent β

cn

∼ = 0.12, and a dynamic exponent z

cn

≈4. The height difference of the RC model can be interpreted as the height of the CNRSOS model. Therefore, there are some relations exist between the exponents for the RC model and the CNRSOS model: z

rc

= z

cn

, α

rc

-1=α

cn

, and β

rc

-

_z¹

rc

=β

cn

.

PACS numbers: 05.40.+j, 05.70.Ln, 68.35.Fx

Keywords: Restricted Curvature Model, Restricted Solid on Solid Model, Surface Roughness, Roughness

exponent, Growth exponent, Fractal Surface

 ½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 48, Number 1, 2004¸ 1 Z 4, pp. 37∼40

   ½ ¨ 7 Hë  H  Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 48, Number 1, 2004¸  1 Z 4, pp. 37∼40

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Restricted Curvature (RC)  ¸4 S qõ  Conserved Noise Restricted Solid On Solid (CNRSOS)  ¸4 S q õ

_   ' a > \  ¦   ½ ¨ % i  . 1 " é ¶ \ " f RC  ¸4 S q_  ³ ð   } 9 l  W  H  } 9 l  t Ã º α

∼ = 1.5,$ í  ©  t Ã º β

∼ = 0.375s  ¦, 1 l x% i  < Æ& h   t Ã º z

≈4e  `  ¦  Ð# ï  r . Ä ºo   H ç ß é ß ô  Ç ½ ©g Ë :`  ¦  Ø Ô  H CNRSOS  ¸ 4

S q`  ¦  ¸{ 9  % i  . s   ¸4 S q\ " f  H ³ ð   } 9 l  W  H  } 9 l  t Ã º α

∼ = 0.49, $ í  © t Ã º β

∼ = 0.12s 



¦, 1 l x% i  < Æ& h   t Ã º z

≈4e  `  ¦ % 3 % 3  . RC  ¸4 S q\ " f_  Z  } s  \  ¦ CNRSOS  ¸4 S q\ " f_  Z  } s  Ð K

$ 3   ¿ º  ¸4 S qs  ° ú    .   " f RC  ¸4 S qõ  CNRSOS  ¸4 S q_   ' a >   H z

= z

, α

-1=α

, β

-

=β

e  `  ¦ · ú  Ã º e   .

PACS numbers: 05.40.+j, 05.70.Ln, 68.35.Fx

Keywords: / B GÒ  ¦ ] jô  Ç  ¸4 S q, ³ ð   } 9 l , Z  } s   ] jô  Ç  ¸4 S q,  } 9 l  t Ã º, $ í  © t Ã º, á ÔÏ þ » 1 Ï ³ ð 

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W 2 (L, t) ≡ [ ¯ h 2 (x, t) − ¯h(x, t) 2 ] . (1)

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L

X

x=1

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6 £ § õ  ° ú  É r » ¡ ¤'   & ³ © `  ¦   · p  [3,4].

W 2 (L, t) ∼ L 2α g(t/L z ),

∼ t 2β (t  L z ), (2)

∼ L 2α (t  L z ).

#

l " f 1 l x§ 4  < Æ t Ã º z  H 6 £ § õ  ° ú  É r    ' a$ í `  ¦ t  ¦ e 

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z = α

β . (3)

E-mail: [email protected]

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II. Ä ] Ø Â ] Ø

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Ç (|∇ 2 h | = |h(x + 1) + h(x − 1) − 2h(x)| ≤ N)`  ¦ L :ä ¼o 

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½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 48, Number 1, 2004¸ 1 Z 4, pp. 37∼40

½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 48, Number 1, 2004¸ 1 Z 4, pp. 37∼40

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Restricted Curvature (RC) ¸4 S qõ Conserved Noise Restricted Solid On Solid (CNRSOS) ¸4 S q õ

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S q` ¦ ¸{ 9 % i . s ¸4 S q\ " f H ³ ð } 9 l W H } 9 l t Ã º α

∼ = 0.49, $ í © t Ã º β

∼ = 0.12s

¦, 1 l x% i < Æ& h t Ã º z

≈4e ` ¦ % 3 % 3 . RC ¸4 S q\ " f_ Z } s \ ¦ CNRSOS ¸4 S q\ " f_ Z } s Ð K

$ 3 ¿ º ¸4 S qs ° ú . " f RC ¸4 S qõ CNRSOS ¸4 S q_ ' a > H z

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Keywords: / B GÒ ¦ ] jô Ç ¸4 S q, ³ ð } 9 l , Z } s ] jô Ç ¸4 S q, } 9 l t Ã º, $ í © t Ã º, á ÔÏ þ » 1 Ï ³ ð

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W ² (L, t) ≡ [ ¯ h ² (x, t) − ¯h(x, t) ² ] . (1)

l " f L É r system_ ß ¼l s ¦, ¯h H / B Nç ß & h ¨ î ç H h(t)= ¯ _L ¹

h(x, t) s ¦, <> H " f Ð É r ³ ð : r \ @ /ô Ç ¨ î ç

H s . r ç ß tü < ß ¼l L\ É r ³ ð _ } 9 l W H

6 £ § õ ° ú É r » ¡ ¤' & ³ © ` ¦ · p [3,4].

W ² (L, t) ∼ L ^2α g(t/L ^z ),

∼ t ^2β (t L ^z ), (2)

∼ L ^2α (t L ^z ).

l " f 1 l x§ 4 < Æ t Ã º z H 6 £ § õ ° ú É r ' a$ í ` ¦ t ¦ e

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¦ · ú É r _ t Ã º ° ú כ` ¦ 8 £ ¤& ñ ½ + É Ã º e .

: r ½ ¨\ " f H Restricted Curvature (RC) ¸4 S qõ Con- served Noise Restricted Solid on Solid (CNRSOS) ¸4 S q _

¦o \ ¦ ¹ 1 Ô t Ã ºü < » ¡ ¤' ' a > d [ þ t` ¦ 8 £ ¤& ñ ì r$ 3

9 ¦ ô Ç . Ä º RC ¸4 S q [5]\ " f_ $ í © ½ ©g Ë : É r % 6 £ §

¨ î ¨ î ô Ç ³ ð \ " f r # e _ _ & h x\ ¦ × þ

¦, × þ ) a x \ " f > á ¤° ú É r S X Ò ¦ 1/2 Ð ô Ç { 9 \ ¦ 8

N Sï r . ë ß × þ ) a _ Z } s o RC / B GÒ ¦ ] j ô

Ç (|∇ ² h | = |h(x + 1) + h(x − 1) − 2h(x)| ≤ N)` ¦ L :ä ¼o

Z } s o\ ¦ 2 [ è ¦ " é ¶ A © I Ð ÷ &[ t 2 ; . N É r ª _

& ñ Ã º Ð" f } 9 l \ ¦ l Õ ü t H t Ã º° ú כ\ o\ ¦ Å Òt

§ H ° ú כÜ ¼ Ð · ú 94 R e ¦, Ä ºo H N = 2\ ¦ Å Ò Ð 6 x

i . s ¸4 S q\ " f H / B GÒ ¦ë ß ] jô Ç l M :ë H \ © î

r \ P _ Z } s |h(x+1)−h(x)|\ @ /K " f H Á º ] j s

\ O . RC ¸4 S q\ " f 0 p xô Ç continuum Hamiltonian É r

6 £ § õ ° ú

d ^d ⁻¹ x |∇ ² h | ² , (4)

l " f d H ^ " é ¶( l ó ø Í " é ¶+1)` ¦ ´ ú ô Ç . s x 9 Ð m

î ß \ K { © H Langevin dynamical equation [6] ^∂h _∂t ∼

-38- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 48, Number 1, 2004¸ 1 Z 4

− ^δH _δh + η É r

∂t = −ν 4 ∇ ⁴ h(x, t) + η(x, t). (5)

Ð Å Ò# Q 4 5 Å q + þ A ~ ½ Ó& ñ d s ) a . Õ ªA " f RC ¸ 4

S q É r 0 A_ ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ \ ¦ כ Ü ¼ Ð \ V © ) a . ∇ ⁴ ½ Ó É r / B G

` ¦ ¨ î o r v H 6 x` ¦ 9 ¸ ú 6 £ § ½ Ó É r 6 £ § õ ° ú s Å

Ò# Q .

< η(x, t)η(x ⁰ , t ⁰ ) >= 2Dδ ^d ⁻¹ (x − x ⁰ )δ(t − t ⁰ ). (6)

½ Ó& ñ d (5) H + þ A ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð" f & ñ S X y Û ¦ Ã º e Ü ¼ 9 6

§ t Ã º ° ú כ[ þ t` ¦ % 3 H [7,8].

8 , z = 4. (7) RC ¸4 S q\ " f_ / B GÒ ¦ ] jô Ç É r

|∇ ² h | ≤ N (8) s

. N É r ª _ & ñ Ã ºs . d = 2 " é ¶ \ " f Å Òl & h ¸|

¦ Å Ò# Q" f N = 2 â Ä º\ ¦ í ß r Ð 3 x 6 £ § õ ° ú É r e

> t Ã º\ ¦ Ð# ï r [5,7,9].

l " f Ä ºo H D h Ðî r CNRSOS ¸4 S q` ¦ ¸{ 9 % i . s

¸4 S q\ " f xt & h _ Z } s H S(x, t) Ð ³ ðr % i . CNR- SOS ¸4 S q_ ½ ©g Ë : É r " f Ð ] X ô Ç ¿ º> h_ & h (x, x + 1)` ¦ × þ ¦ 1/2 S X Ò ¦ Ð xt & h _ Z } s \ ¦ ` ¦ o

¦ x + 1 t & h _ Z } s \ ¦ ? /o 1/2 S X Ò ¦ Ð xt

h _ Z } s \ ¦ ? /o ¦ x + 1 t & h _ Z } s \ ¦ ` ¦

2 ; . ë ß [ þ t_ Z } s o Restricted Solid On

Fig. 2. The saturated value W ² (L) of the CNRSOS model for L = 10, 20, 40, 80. α = 0.49 ± 0.01 is obtained from the data.

Solid(RSOS) Z } s ] jô Ç ¸| |∇S| ≤ N ( |S(x + 1) − S(x) | ≤ NÕ ªo ¦ |S(x) − S(x − 1)| ≤ N)` ¦ L :ä ¼o

Z } s o\ ¦ 2 [ èô Ç . s õ & ñ \ " f ¸ H Z } s _ ½ + Ë P

x S(x) H Ð > r ) a . Õ ª QÙ ¼ Ð ¸ ú 6 £ § s Ð > r ÷ & H > s .

CNRSOS ¸4 S q\ " f_ { 9 > hÃ º H RC ¸4 S qõ ² ú o t