R c
p £ ?ù m Çc Ü R ± q Ö ¨; c" e ß O Ë4 ì Å8 ý ú m ÇM
»¬ £# Ü · » . > * > ∗
Õ
ü æz ´@ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , " fÖ ¦ 156-743 (2007¸ 12 Z 4 12{ 9 ~ Ã Î6 £ §)
{
F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ § \ " f_ â > } 9 l \ ¦ ½ ¨ % i . â > Z } s _ ³ ðï r¼ # } 9 l W H ¨ î + þ A
© I \ " f L
α\ q Y V 9, s M : L É r l ó ø Í_ ß ¼l , α H } 9 l t à ºs . d = 1 + 1\ " f ¸ ú 6 £ § _ [ jl
\
Ä »´ òô Ç } 9 l t à º α
ef f\ ¦ 8 £ ¤& ñ % i ` ¦ M :, ¸ ú 6 £ § _ [ jl Á ºô Ç@ / Ð ° ú Ã º2 ¤ α H 0.66 Ü ¼ Ð ] X
H % i . α = 2/3° ú כ É r Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) d _ 1/z
KP Zü < ¸ ú @ /6 £ x ) a . d = 2 + 1\ " f H α
ef f¸ ú 6 £ § _ [ jl ü < ' a > \ O s α = 0.41 ± 0.01 Ð { 9 & ñ % i .
PACS numbers: 05.40.-a, 68.35.Ct
Keywords: â > } 9 l , { F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ §, ~ ½ Ó ¾ Ó$ í × æ ½ + Ë^ , » ¡ ¤' & ³ ©
I. " e  ] Ø
þ
j H ³ ð $ í © & ³ © \ e # Q" f B | 9 s â > _ } 9
l \ @ /ô Ç ´ ú § É r ½ ¨ ' ÷ & ¦ e . : £ ¤ y , Ô ¦í HÓ ü t s e
H í ¸^ \ " f_ l 5 Å q õ q ç H| 9 B | 9 \ " f { 9 _
@& h s f ¨ Ã ÌÜ ¼ Ð Ò q tl H ³ ð \ @ /ô Ç ½ ¨ Ö ¸ µ 1 Ï y
' ÷ & ¦ e [1–4]. B | 9 ? /_ Ô ¦í HÓ ü t É r r ç ß \
H ª s m 9, 0 Au (x, h)\ ë ß _ > r H ª s
. s \ ¦ { F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ § (quenched noise) s ¦ & ñ _
¦ η(x, h(x, t)) Ð ³ ðl ô Ç . # l " f h H & h x\ " f_
³
ð Z } s \ ¦ _ p ô Ç . â > ³ ð Z } s h H & h xü <
r
ç ß t_ < Êà ºs . B | 9 _ ³ ð \ η(x, h(x, t)) H Ô ¦í HÓ ü t
%
! 3 ¦& ñ ÷ &# Q e . Ä ºo H # l " f { F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ § \
â > _ } 9 l # Qb G> H t 8 £ ¤& ñ ¦ ô Ç
. s \ K x 9 Ðm î ß É r ³ ð \ H =
Z
path
dx
"
ν ∂h
∂x
2
+ η(x, h)
#
(1)
Ð ³ ð & ³ ) a [6]. d (1)\ " f ' Í P : ½ Ó É r ³ ð ` ¦ ¨ î ¨ î > ë
ß [ þ t ¦, Ñ ü t P : ½ Ó É r ³ ð ` ¦ } 9 > H ¸ ú 6 £ § s . ¿ º ½ Ós
â
Ô q t " f ³ ð _ } 9 l & ñ ) a . s M : η(x, h) H {
F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ § s . Ä ºo 6 x H ¸ ú 6 £ § _ ¨ î ç H ° ú כ É r hη(x, h)i = 0 s ¦ ¸ ú 6 £ § _ © ' a ' a > H
hη(x, h)η(x 0 , h 0 )i = 2Dδ(x − x 0 )δ(h − h 0 ) (2) Ü
¼ Ð ³ ð & ³ ) a . â Ð\ É r \ -t H ³ ð s 6 f# Q \
-t ü < â Ð : x õ H ¸ ú 6 £ §[ þ t _ ½ + ËÜ ¼ Ð ³ ð & ³ ) a . s
∗
E-mail: [email protected]
Qô Ç ³ ð _ } 9 l W H ³ ð Z } s h_ כ ¹1 l x Ü ¼ Ð Å Ò# Q
[7–9]. â > _ } 9 l H W 2 (L, t) = D
(h(t) − h(t)) 2 E
(3)
Ð Z } s h_ ³ ðï r ¼ # Ð & ñ _ ) a . s M : L É r > _ ß ¼ l
, / B N ç ß & h ¨ î ç H s ¦ F c ñ hi H ª ô Ç ¸ ú 6 £ § \ @ /ô Ç ¨ î ç H
`
¦ _ p ô Ç [1,2]. } 9 l H 6 £ § _ » ¡ ¤' ' a > d ` ¦ ë ß 7
á
¤ r .
W 2 (L, t) ∼ L 2α g(t/L z ) (4) z H 1 l x% i < Æ t à º, α H } 9 l t à ºs . } 9 l t à º H ]
jô Ç ) a > _ ß ¼l \ " f Ø æì r ô Ç r ç ß s t è ß Ê ê\ í o ) a
â
> _ כ ¹1 l x` ¦ 8 £ ¤& ñ ô Ç ª s . { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð » ¡ ¤' < Êà º g(x) H íl \ H r ç ß _ t à º < Êà º Ð $ í © Ø æì r ô
Ç r ç ß s t " f í o © I ÷ &# Q { 9 & ñ ô Ç ° ú כ` ¦ Ä »t ô
Ç .
g(x) ∼ x 2β x 1 const. x 1
#
l " f β H $ í © t à ºs ¦, β = α/z_ ' a > \ ¦ ° ú H .
{ 9
ì ø Í& h â > $ í © ¸4 S q_ â Ä º @ /Â Òì r 0 Aü < ° ú É r » ¡ ¤ '
< ÊÃ º\ ¦ ë ß 7 á ¤ ô Ç .
II. { ¢¨ | Ê Ý ¹ Å mS ó o Þ U ê s0 n É
{
F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ §` ¦ t H â > _ } 9 l ½ ¨\ e # Q
"
f, l í s { 9 ³ ð Z } s \ ¦ h(x), ¸ ú 6 £ §` ¦ η(x, h) Ð
-88-
³
ðr K x 9 Ðm î ß É r d (1)õ ° ú s è q à º e .
í ß r Ð 3 x É r íl ¸| ` ¦ ¨ î ¨ î ô Ç ³ ð , 7 £ ¤ h = 0 Ð ¦ + þ
A& h ß ¼l L > \ Å Òl & h â > ¸| ` ¦ & h 6 x " f z ´ r
Ù þ ¡ . s M : { F K| 9 ¸ ú 6 £ § η(x, h) H [−∆, ∆] s \ ç H { 9
> ì r í÷ & H z ´Ã º° ú כ` ¦ 6 x 9 r ç ß \ _ K " f
t · ú § H . Ä ºo ¸4 S q\ @ /ô Ç 7 H _ º ú Ð ~ ½ ÓZ O É r 6 £ § õ
° ú .
(1) > _ ß ¼l Ls ¦ y _ íl Z } s ¸¿ º 0 ¨ î ¨ î ô Ç ³ ð ` ¦ ï r q ô Ç .
(2) −∆ \ " f ∆ s _ ç H{ 9 ô Ç ì r í\ ¦ ° ú H z ´Ã º+ þ A è ß Ã
º η(x, h)\ ¦ y & h \ V , H .
(3) e _ _ × þ ) a i_ Z } s h i \ ¦ 1/2 _ S X Ò ¦ Ð 7 £ x
y è # Â Ò\ ¦ & ñ ô Ç .
(4) 7 £ x y è\ É r \ -t _ o ∆E H
E =
L
X
i
[ν(∇h i ) 2 + η(i, h i )] (5)
\
> í ß ô Ç .
(5) e −∆E/k
BT _ S X Ò ¦ Ð Õ ª r ¸\ ¦ $ í w n r v Á ºí ß r
. # l " f k B T = 1 Ð ¦& ñ ô Ç .
â
Ð\ É r \ -t > í ß r { 9 " é ¶ \ " f (∇h i ) 2 =
1
2 [(h i+1 − h i ) 2 + (h i−1 − h i ) 2 ] Ü ¼ Ð > í ß ô Ç . 2 " é ¶ \ " f
H â Ð\ É r \ -t > í ß r (∇h i,j ) 2 = 1
2 [(h i+1,j − h i,j ) 2 + (h i−1,j − h i,j ) 2 +(h i,j+1 − h i,j ) 2 + (h i,j−1 − h i,j ) 2 ] (6)
Ð > í ß ô Ç .
{
F K| 9 ) a B | 9 \ " f 7 H _ º ú Ð ~ ½ ÓZ O \ _ ô Ç â > _
â
Ð\ ¦ 8 £ ¤& ñ % i . : r ¸ (T )ü < { F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ § _ # 3 0 A (∆) _ ¿ º > h_ Ã º × æ : r ¸ H k B T = 1 Ü ¼ Ð ¦& ñ ¦, {
F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ § _ 0 A\ ¦ or ( . d = 1 + 1\ " f_
³
ð É r / B G Ü ¼ Ð Ò q ty ½ + É Ã º e . T = 0\ " f H \ -t
\
¦ þ j è o H â Ð\ ¦ ¹ 1 ÔÜ ¼ ) a . d = 2 + 1 " é ¶ \ " f _
â > É r 2 " é ¶ / B G ` ¦ s À Ò> ) a .
III. ¹ Å mS ó o Þ + s ÇÊ Ý
d = 1 + 1 \ " f ∆ = 0s ¦, > _ ß ¼l L = 96, 192, 384, 768, 1536{ 9 M : ³ ð _ } 9 l & ³ © s Fig.
1 õ ° ú s z ¤ . Fig. 1\ " f ∆ = 0 (7 £ ¤, T = ∞) \ " f
} 9 l t à º α = 0.5\ ¦ % 3 % 3 . Õ ªo ¦ ∆ = 1{ 9 M : Ä »
´
òô Ç } 9 l t à º (effective roughness exponent) α ef f \ ¦ 8
£ ¤& ñ % i . s M : 2α ef f = 0.998 s 9 ¢ ¸ô Ç L = 1536\
Fig. 1. The log-log plot of W 2 (L, t) as a function of t with
∆ = 0 for L = 96, 192, 384, 768, and 1536 from bottom to top in d = 1 + 1. The guide line is for 2β ef f = 0.476.
2α ef f = 0.998 is shown in the inset.
"
f 8 £ ¤& ñ ô Ç Ä »´ ò $ í © t à º H 2β ef f = 0.476 s . Õ ª õ
1 l x% i < Æ t à º z ef f ' 2\ ¦ % 3 ` ¦ à º e % 3 . s ° ú כ[ þ t
É r Edwards-Wilkinson (EW) [6] м # $ í ç H \ K { © H β = 1/4, α = 1/2, z = 2 ü < _ Ä » . s M : Ä »´ ò
} 9 l t à º α ef f (∆) H ∆ \ É r Ä »´ òô Ç α\ ¦ 8 £ ¤& ñ ô Ç כ s
t ß ¼l L\ É r α ef f (L) [5]` ¦ 8 £ ¤& ñ t H · ú § ¤ .
s
\ Ä ºo H { F K| 9 ¸ ú 6 £ § s y y ∆ = 3, 5, 7\ " f Ä
»´ òô Ç } 9 l t à º\ ¦ ½ ¨K Ð ¤ . Ä »´ ò } 9 l t à º H α ef f = 0.60 ± 0.01(∆ = 3), α ef f = 0.62 ± 0.01(∆ = 5), α ef f = 0.63 ± 0.01(∆ = 7) s . { F K| 9 ¸ ú 6 £ § \ Ä »
´
òô Ç } 9 l t à º H כ ` ¦ ' a8 £ ¤ % i . { F K| 9 ¸ ú 6
£
§ à ºu 7 £ x ½ + Éà º2 ¤ Ä »´ òô Ç } 9 l t à º H &
. { F K| 9 ¸ ú 6 £ § s & | 9 à º2 ¤ â > s ¨ î + þ A& h \ ¸² ú l
8¹ ¡ ¤ # Q§ > H כ ` ¦ _ p ô Ç . ¢ ¸ô Ç > ¨ î + þ A © I
\ ¸² ú H r ç ß ¸ & h & h ¸A 2 ; . Ø æì r ô Ç ì ø Í4 ¤ Ü ¼
Ð Ä ºo H Ä »´ òô Ç } 9 l t à º\ ¦ 8 £ ¤& ñ % i .
>
_ ß ¼l \ É r ³ ð } 9 l _ o\ ¦ ª ô Ç ∆\
"
f 8 £ ¤& ñ ô Ç Fig. 2\ " f { F K| 9 ¸ ú 6 £ § s 7 £ x < Ê\ l Ö ¦ l
& t H כ ` ¦ ^ ¦ Ã º e . s כ É r Ä »´ òô Ç } 9 l t Ã
º { F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ § \ 7 £ x < Ê` ¦ Ð# ï r . Õ ª Q
∆ < Ê\ à Р) a } 9 l t à º o ¦ H Ò q t y
÷ &t · ú § H . é ß t > _ ß ¼l ¦ ∆ " f Ä »´ ò ô
Ç } 9 l t à º H כ % ! 3 Ð . Õ ªa Ë >\ " f Ð# Å
Ò1 p w s { F K| 9 ¸ ú 6 £ § s & t " f ¨ î + þ A& h \ ¸² ú H X <
´ ú
§ É r r ç ß s 9 כ ¹ Ù ¼ Ð 8 £ ¤& ñ 0 p x ô Ç > _ ß ¼l \ ] jô Ç
`
¦ ~ Ã Î H . Õ ª QÙ ¼ Ð Ä ºo H > _ ß ¼l Lõ ∆` ¦ ß ¼>
½ + Éà º2 ¤ Ä »´ ò } 9 l t à º α ef f H # Q " à Р) a } 9 l t Ã
º α Ð ] X H ½ + É כ Ü ¼ Ð \ V © ) a . { F K| 9 ¸ ú 6 £ § ∆ ü < } 9
Fig. 2. The log-log plot W sat 2 as a function of L for ∆ = 0, 1, 3, 5, and 7 from bottom to top in d = 1 + 1.
Fig. 3. The plot of α ef f as a function of ∆ in d = 1 + 1.
The y-axis intercept of the guideline is for α ' 0.66 as
∆ → ∞.
l
t à º α_ ' a > $ í ` ¦ Ðl 0 A # α ef f ü < 1/∆_ ' a >
\
¦ Õ ª 9 Ð { F K| 9 ¸ ú 6 £ § s & | 9 à º2 ¤ } 9 l t à º &
H כ ` ¦ · ú Ã º e .
Fig. 3 É r d = 1 + 1 " é ¶ \ " f { F K| 9 ¸ ú 6 £ § _ ª ô Ç ß ¼ l
∆ = 1, 3, 5, 7\ É r α ef f \ ¦ Ð# Å Ò ¦ e . # l " f
∆ Á ºô Ç@ / Ð ° ú M :, Ä »´ òô Ç } 9 l t à º α ≈ 0.66Ü ¼
Ð ] X H % i . s כ É r Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)d _ 1/z
KP Z° ú כs { 9 u H α = 2/3\ ¦ Ð% i .
∆ = 0{ 9 M : H EW м # $ í ç H \ 5 Å q > ÷ &t ë ß ∆ > 0s
d = 1 + 1 " é ¶ \ " f H KPZd \ @ /ô Ç y © ½ + Ë · ¡ ~ Ã Ìs
&
h (strong coupling fixed point)s > r F Ù ¼ Ð ∆
¸ > _ ß ¼l & t α ef f 2/3 Ð ] X H o \ V ©
)
a . d = 1 + 1 " é ¶ \ " f_ â > É r { F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ § \ " f _
~ ½ Ó ¾ Ó$ í × æ ½ + Ë^ Ð Ò q ty ½ + É Ã º e . 7 £ ¤, ¸ ú 6 £ § η(x, t) Z
~ # e ` ¦ M : x = 0, t = 0\ " f Ø ¦ µ 1 Ï # xü < t t _ ~ ½ Ó
¾ Ó$ í _ × æ ½ + Ë^ Ð Ò q ty ½ + É Ã º e . s M : ì r C < ÊÃ º (par- tition function) Z(x, t) H 6 £ § õ ° ú s â Ð& h ì r (path integral) Ü ¼ Ð & ñ _ ½ + É Ã º e [10–12].
Z(x, t) = Z
exp
"(
− 1 T
dx dt
2
+ η(x, t) )#
dt (7)
Ä » \ -t (free energe)\ ¦ F (x, t) = −T ln Z(x, t) Ð & ñ _
F (x, t) H
∂F (x, t)
∂t = ν∇ 2 F + λ
2 (∇F ) 2 + η(x, t) (8) _
KPZ ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ É r [13]. ~ ½ Ó ¾ Ó$ í × æ ½ + Ë^ \ " f \
-t \ ¦ þ j è o H â Ð ∆x H t 1/z
KP Z\ ¦ Ø Ô H X < d = 1 + 1 " é ¶ \ " f H 1/z
KP Z= 2/3 ) a ¦ · ú 94 R e .
KPZ \ " f H ¸ ú 6 £ § s > r F T = 0_ · ¡ ~ Ã Ìs & h (fixed point) ë ß > r F Ù ¼ Ð # Q " : r ¸\ " f ¸ z
KP Z= 3/2 s .
(7 £ ¤ © s & ³ © s \ O .) Õ ª QÙ ¼ Ð d (1)` ¦ Ø Ô H ³ ð
É r # Q " : r ¸\ " f ¸ © s & ³ © s \ O Ü ¼ 9 α = 2/3\ ¦
\ ¦ כ Ü ¼ Ð \ V © ) a . ∆ ` ¦ M :\ H α ef f 1/2\
"
f r # ∆ & f \ α & h & h 7 £ x ô Ç . Ä º o
_ õ H ∆ 9 þ t M : α ef f 2/3Ü ¼ Ð ] X H < Ê` ¦ % 3 % 3
. d = 2 + 1 " é ¶ { F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ § \ " f_ ³ ð ë H ] j H Hopf-Cole ¨ 8 s > r F t · ú § " f ~ ½ Ó ¾ Ó$ í _ × æ ½ + Ë^ ë H ]
j Ð ¨ 8 ÷ &t · ú § H [14]. Õ ª QÙ ¼ Ð d = 1 + 1ü < Ø
Ô> d = 2 + 1\ " f H KPZ ü < Á º ' aº s \ O > ) a .
1 " é ¶ _ l ó ø Í (substrate)\ " f_ â > É r h(x, t) Ð
H _ / B G s . s ë H ] j\ ¦ 3 " é ¶ ½ ¨ ¸ Ð S X @ /
â > É r h(x, y, t) _ 2 " é ¶ / B G s ) a . Ä ºo H # l
"
f d = 2 + 1 " é ¶ _ K x 9 Ðm î ß ` ¦ H =
Z
dr[ν(∇h) 2 + η(r, h)] (9)
Ð j þ t à º e . l : r s 2 " é ¶ s ¦ { F K| 9 ¸ ú 6 £ § s η(r, h) = η(x, y, h) Ð Å Ò# Q © I \ " f_ ³ ð _ } 9
l \ ¦ ½ ¨ % i . d = 2 + 1 " é ¶ \ " f { F K| 9 ¸ ú 6 £ §
∆ = 1, 3, 5, 7 _ y â Ä º\ H ³ ð _ } 9 l & ³ ©
`
¦ ¸ % i . Fig. 4\ " f H { F K| 9 ¸ ú 6 £ § ∆ = 0{ 9 M : > _
ß ¼l L = 48, 96, 192\ " f â > _ } 9 l \ ¦ 8 £ ¤& ñ
%
i 8m W 2 ∼ ln L _ ' a > \ ¦ % 3 % 3 . ∆ = 0s s ³ ð
É r α = 0` ¦ ° ú ¦, EW м # $ í ç H \ 5 Å q > ) a . ∆ = 1
â
Ä º\ α ef f = 0.38 ± 0.01` ¦ % 3 % 3 ¦ ∆ = 3, 5, 7{ 9 M :\
¸ d = 1 + 1 " é ¶ õ Ø Ô> α ef f _ t · ú § H .
Fig. 5 H ∆ \ É r } 9 l t à º α ef f = 0.41 ± 0.01
(∆ = 3), α ef f = 0.41 ± 0.01 (∆ = 5), α ef f = 0.41 ± 0.01
(∆ = 7)e ` ¦ 8 £ ¤& ñ % i . s M : y y > _ ß ¼l H L =
Fig. 4. The semilog plot of W 2 (L, t) as a function of t in d = 2 + 1 showing W sat 2 ∼ log t (inset).
Fig. 5. The log-log plot of W sat 2 as a function of L for
∆ = 1, 3, 5, and 7 from bottom to top in d = 2 + 1.
8, 12, 24, 48 s . { F K| 9 ) a ¸ ú 6 £ § _ ß ¼l ü < } 9 l t à º
Á
º ' a H כ ` ¦ ^ ¦ Ã º e % 3 . d = 2 + 1 " é ¶ \ " f_ α H
· ú
94 R e t · ú § . ∆ 1 Ð H % ò % i \ " f H ∆ \ ' a >
\ O
s α ≈ 0.41\ ¦ % 3 % 3 . ¢ ¸ô Ç L = 192\ " f 8 £ ¤& ñ ô Ç Ä »´ ò
$ í
© t à º H 2β ef f = 0.175 ± 0.001 (∆ = 1) s . Õ ª õ
1 l x% i < Æ t à º z ef f ' 2.2(∆ = 1)\ ¦ % 3 ` ¦ à º e % 3 . ¢ ¸ ô
Ç β ef f H ∆ \ H & ³ © ` ¦ % 3 % 3 . d = 1 + 1ü <
d = 2 + 1 _ } 9 l t à º° ú כ[ þ t É r Table 1 \ ³ ðr ÷ &# Qe .
IV. + s Ç Â ] Ø
Ä
ºo H { F K| 9 ) a B | 9 \ " f_ â > } 9 l \ ¦ ½ ¨
%
i . ³ ð } 9 l W (t, L)\ ¦ { F K| 9 ¸ ú 6 £ § ∆ _ [ jl \
Table 1. The effective roughness exponents α ef f against
∆ in d = 1 + 1 and d = 2 + 1.
α
ef f∆ d = 1 + 1 d = 2 + 1
0 0.50 ± 0.01 0
1 0.50 ± 0.02 0.38 ± 0.01
3 0.60 ± 0.01 0.41 ± 0.01
5 0.62 ± 0.01 0.41 ± 0.01
7 0.63 ± 0.01 0.41 ± 0.01
ì r$ 3 % i . W (t, L)_ 8 £ ¤& ñ u ÐÂ Ò' ¸ ú 6 £ § ∆ \ Ä
»´ ò } 9 l t à º α ef f \ ¦ 8 £ ¤& ñ % i . d = 1+1\ " f_ â
>
É r ~ ½ Ó ¾ Ó$ í _ × æ ½ + Ë^ Ð ' a ÷ &# Q . ∆ Á ºô Ç@ / Ð
° ú
M : Ä »´ òô Ç } 9 l t à º α ≈ 0.66Ü ¼ Ð ] X H % i .
s
כ É r KPZ õ ü < { 9 u H α = 2/3\ ¦ Ð% i . ¢ ¸ô Ç d = 2 + 1 " é ¶ \ " f â > _ } 9 l \ ¦ ∆ \ 8 £ ¤& ñ
%
i . { F K| 9 ¸ ú 6 £ § ∆ = 0{ 9 M : } 9 l W 2 ∼ ln Le ` ¦ ^ ¦ Ã
º e % 3 . { F K| 9 ¸ ú 6 £ § _ ß ¼l & h { © y ß ¼ } 9 l t Ã
º _ o t · ú § H כ ` ¦ ^ ¦ Ã º e % 3 . d = 2 + 1\
"
f } 9 l t à º H α ' 0.41 ± 0.01\ ¦ % 3 % 3 .
P
c p 8 ý ò k >
s
7 Hë H É r Õ ü æz ´@ / < Æ § §? / ½ ¨q t " é ¶ \ _ #
½
¨÷ &% 3 _ þ v m .
Y
c p w à U Ø ô
[1] A.-L. Barab´ asi and H. E. Stanley, Fractal Concepts in Surface Growth (Cambridge University Press, Cambridge, 1995).
[2] F. Family and T. Vicsek, Dynamics of Fractal Sur- faces (World Scientific, Singapore, 1991).
[3] J. Kert´ esz, T. K. Horv´ ath and F. Weber, Fractals 1, 67 (1992).
[4] J. Zhang, Y.-C. Zhang, P. Alstrφm, and M. T.
Levinsen, Physica A 189, 383 (1992).
[5] H.-C.Jeong, C. Lee and J. M. Kim, Phys. Rev. E 68, 053602 (2003).
[6] S. F. Edwards and D. R. Wilkinson, Proc. R. Soc.
Lond. A 17, 381 (1982).
[7] J. G. Amar, P.-M. Lam and F. Family, Phys. Rev.
A 43, 4548 (1991).
[8] C.-K. Peng, S. Havlin, M. Schwartz and H. E. Stan- ley, Phys. Rev. A 44, R2239 (1991).
[9] P. M. Lam and F. Family, Phys. Rev. A 44, 4854 (1991).
[10] J. M. Kim, M. A. Moore and A. J. Bray, Phys. Rev.
A 44 2345 (1991).
[11] C. Lee and J. M. Kim, Physica A 316, 144 (2002).
[12] J. M. Kim, J. Korean Phys. soc. 45, 413 (2004).
[13] M. Kardar, G. Parisi and Y.-C. Zhang, Phys. Rev.
Lett. 56, 889 (1986).
[14] E. Hopf, Commun. Pure Appl. Math. 3, 201 (1950);
J. D. Cole, Q. Appl. Math. 9, 225 (1951).
Surface Roughness In Quenched Random Potentials
Soo Kyung Kim and Jin Min Kim ∗
Department of Physics and Computer-aided Molecular Design Center, Soongsil University, Seoul 156-743 (Received 12 December 2007)
We investigate the interface roughening in quenched random media. The interface width W , standard deviation of heights, is proportional to L
αin the steady state, where L is the system size. For d = 1 + 1, we measure the effective roughness exponent α
ef fas a function of ∆, which is the strength of the randomness. α
ef fapproaches 0.66 when ∆ → ∞. For d = 2 + 1, we obtain α ' 0.41 ± 0.01, independent of ∆.
PACS numbers: 05.40.-a, 68.35.Ct
Keywords: Surface roughness, Quenched random potential, Directed polymer, Scaling phenomena
∗
![v ÚÂ k ÈÌ ö8 ý ] K ¡ ø p ©ù p § ü X ¢ ÷ m Ç] M ö X ê sV 8 ý < g m](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)