1.
1)명의 여행가가 곳의 여행지 중 하나를 택하는 경우의 수는?① ② ③
④ ⑤
2.
2)그림과 같이 원탁에 네 쌍의 부부가 둘러앉을 때 부부끼리, 이웃하게 앉는 경우의 수는?① ② ③
④ ⑤
3.
3)부등식 을 만족시키는 자연수 의 순서쌍 의 개수는?
① ② ③
④ ⑤
4.
4 )
의 전개식에서 의 계수가 일 때 상수, 의 값은?① ② ③
④ ⑤
5.
5 )빨간 공 개 노란 공, 개 파란 공, 개 중에서 개의 공을 택하는 경우의 수는? ( ,단 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.)① ② ③
④ ⑤
6.
6 )옳은 것만을 <보기 에서 있는 대로 고른 것은> ?.
ㄱ CC C .
ㄴ CCCCCC .
ㄷ CCCCCC
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
수학세상
2
7.
7)NC⋅C⋅ ⋯ C⋅에 대하여 오늘이 화요일이면 오늘부터 N째 되는 날은 무슨 요일인가?일요일
① ② 월요일 ③ 화요일
수요일
④ ⑤ 목요일
8.
8)가로 cm 세로, cm 높이, cm인 직육면체의 개의 면에 서로 다른 가지 색을 칠하는 경우의 수는? ( ,단 한 면에는 한 가지 색만 칠하고 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로, 본다.)① ② ③
④ ⑤
9.
9)JOONGDONG에 있는 개의 문자를 일렬로 나열할 때, J와 O는 양 끝에 오고, D가 앞에서 네 번째에 오도록 나열하는 경우의 수는?① ② ③
④ ⑤
10.
10)집합 에 대하여 에서 로의 함수 중에서 다음 조건을 모두 만족시키는 함수의 개수는?가
( ) 의 값은 홀수이다.
나
( ) 이면 ≥ 이다.
다
( ) 이면 ≤ 이다.
① ② ③
④ ⑤
11.
11)
의 전개식에서 의 계수는?① ② ③
④ ⑤
12.
12)집합 에 대하여 에서 로의 함수 중에서 다음 조건을 모두 만족시키는 함수의 개수는? | 가 집합
( ) 의 임의의 두 원소 , 에 대하여 이 면 ≤ 이다.
나
( )
① ② ③
④ ⑤
13.
1 3)아래의 그림과 같이 정십이면체의 각 면에 부터까지의 자연수를 하나씩 적어 정십이면체를 만든다. 과 가 마주보는 면에 적힌 서로 다른 정십이면체의 개수를 ×로 나타낼 때, 의 값은?
①
②
③
④ ⑤
14.
1 4)집합 에 대하여 다음 조건을 모두 만족시키는 함수 →의 개수는?가
( ) ≠이고 ≠
나 함수
( ) 의 치역의 원소의 개수는 이다.
① ② ③
④ ⑤
15.
15)좌표평면 위의 점 P가 원점을 출발하여 다음 규칙에 따라 움직인다.한 개의 동전을 번 이상 던져서 나오는 면을 확인한다.
가 앞면이 나온 후 다시 앞면이 나오면
( ) 축 방향으로
만큼 이동한다.
나 뒷면이 나온 후 다시 뒷면이 나오면
( ) 축 방향으로
만큼 이동한다.
다 그 외의 경우에는
( ) 축 방향으로 만큼 이동한다.
예를 들어 동전을 번 던졌을 때 차례대로 앞면 앞면 뒷면이, , 나오면 점 P 의 좌표가 가 되고 동전을 번 던졌을 때 차례대로 앞면 앞면 뒷면 뒷면 앞면이 나오면 점, , , , P 의 좌표 가 가 된다 동전을. 번 던졌을 때 앞면이 번 뒷면이,
번 나오고 점 P의 좌표가 이 되는 경우의 수는 이다.
이 때 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
16.
16)그림과 같이 직사각형 모양의 탁자에 명이 둘러앉는 경우의 수를 ×으로 나타낼 때 자연수, 의 최솟값과 의 최댓값의 합을 구하시오. ( ,단 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)수학세상
4
17.
1 7) 의 개의 문자를 일렬로 나열할 때, 는 맨 앞에 오지 않고 같은 문자끼리는 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.18.
1 8)다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 개를 이어붙인 도형이 있다 꼭짓점. A에서 출발하여 정육면체의 모서리를 따라 꼭짓점 B까지 최단 거리로 갈 때, C를 지나지 않는 경우의 수를 구하시오.19.
1 9)
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.20.
20)전체집합 의 두 부분집합 가 다음 조건을 모두 만족시킨다.( ) ∩ 가 ( ) ∪ 나
∈ ∈일 때, 이면 ≤ 를 만족시키는 함수
→의 개수를 구하시오.
21.
21)사과 배 감 복숭아가 들어 있는 과일 바구니를, , , 만들려고 한다 다음 조건을 모두 만족시키면서. 개의 과일이 들어 있는 과일 바구니를 만드는 경우의 수를 구하시오.단 각 과일은
( , 개 이상씩 있다.) 가 각 과일은 적어도 한 개 들어간다
( ) .
나 사과는 짝수 개 들어간다
( ) .
1) ④ 2) ② 3) ② 4) ② 5) ⑤ 6) ③ 7) ③ 8) ③ 9) ② 10) ④ 11) ① 12) ⑤ 13) ① 14) ④ 15) ⑤ 16) 17) 18) 가지 19)
20) 가지 21) 가지( )
수학세상
6 정답 및 풀이
1) ④
여행가가 여행지를 선택할 수 있는 경우의 수가 가지 이므로
가지( )
2) ②
네 쌍의 부부를 각각 라 하면 를 원 주위에 배열하는 경우는 이며 네 쌍의 부부 각각이 자리를, 정하는 경우는 이므로 경우의 수: × × 가지( )
3) ②
을 만족하는 자연수 의 순서쌍을 구하기 위하여 가상의 문자 를 생각해 보자. 를 만족하는 자연수 의 순서쌍의 수는 을 만족하는 자연수 의 순서쌍의 개수와 같다.
이라 가정하면
⇔ ≥ ≥ ≥ ≥
이므로 순서쌍의 개수는 HC 가지( )
4) ②
의 전개식의 일반항을 구해 보자.C
C ⋅C⋅⋅
한 편 의 계수가 이므로 일 때
C⋅ 이며, 이므로
5) ⑤
빨간 공의 개수를 노란 공의 개수는, 파란 공의 개수를,
라 할 때 주어진 문제는,
( ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ) 을 만족하는 해의 개수를 구하는 것과 같다.
경우의 수는 이상의 정수인 의 해를 구하는 경우의 수에서 인 경우를 제외하면 되므로
HHHHCCCC
가지( )
6) ③
보기에 있는 식들을 증명하기 위하여
C CC 을 이용하여 보자.
참 좌변 . [ ] ( )
ㄱ CC
C
C 거짓 좌변 . [ ] ( )
ㄴ CCCCC
CCCCC
CCCC
CC 이므로 거짓이다.
참 좌변 . [ ] ( )
ㄷ CCCCC
CCCCC
CCCC
⋮
CC 이므로 참이다.
7) ③
NC⋅C⋅ ⋯ C⋅에서 요일을 확인하는 상황이므로 의 배수 관점에서 생각해 보자.
NC C ⋯ C
×
C⋅C⋅ ⋯ C⋅
×
×
× ×
∴ N은 의 배수이다.
오늘이 화요일이면 N번째 되는 날도 화요일이다.
8) ③
먼저 가로 cm 세로, cm인 두 면을 먼저 칠해보자. 가지 색 중 두 가지 색을 뽑고
C
입체임을 감안하여 공간에서 회전할 수 있으니 뽑은 두 색을 두 면에 칠하는 방법은가지로 생각한다.
나머지 개의 색을 옆면에 칠하는 방법은 원 주위에 개의 색을 배열하는 경우의 수는 이며 직사각형이므로 ×를 하면 경우의 수: C⋅⋅ ⋅⋅ 가지( )
9) ②
J와 O가 양 끝에 배열되는 경우는 가지이며 네 번째에는 D가 고정되어 있으므로 앞에서부터 번째를 O
개, N 개, G 개로 배열하면 된다.
경우의 수: ×
10) ④ 가 조건에서
( ) 은 홀수이므로 or or 이다.
)
ⅰ 인 경우 나 와 다 조건으로 인해
( ) ( ) 은 가지, 는 가지가 가능하며 이다.
× 가지( ) )
ⅱ 인 경우
가지가 가능하다.
× × × 가지( ) )
ⅲ 인 경우 나 와 다 조건으로 인해
( ) ( ) 이며 와 는
가지가 가능하다.
× 가지( ) 따라서 전체 경우의 수는 131(가지)
11) ①
의 전개식에서 의 계수를 구하기 위하여 주어진 식의 일반항을 생각해 보면
⋅
⋅
인 경우를 생각해 보면
,
,
,
,
,
의 가지 경우를 생각할 수 있다. 가지 경우의 계수를 더하면
경우의 수
( ) × × × × × ×
× × ×
C
× × ×
× × × ×
12) ⑤
가 와 나 조건에 의하여
( ) ( ) 와 의 값을 정의하면
, or 이다.
ⅰ , 인 경우)
or 이며 과 는 부터 까지 자연수 중 중복을 허락하고 순서에 상관없이 개의 수를 뽑아서 작은 수를 큰 수를, 로 하면 되므로
HC 가지( ),
∴ 경우의 수 ×
)
ⅱ , 인 경우
먼저 과 가 마주보는 면에 적혀있고 과 인접한 개의 면에 적을 수를 정해보자.
개의 수 중 개의 수를 택하고
C
그 수를 원 주위에배열한 다음 나머지 개의 수를 와 인접한 개의 면에 배열한다.
경우의 수
( )C⋅⋅
P⋅
⋅
∴
14) ④
먼저 을 정하자. 을 정할 수 있는 방법은 가지이다.
편의상 라 하고 과 는 과 다르므로 를 제외한 나머지 로 함숫값을 정하는데 과 가 같은 경우와 다른 경우로 나누어 생각해 보자.
)
ⅰ 인 경우
인 경우는 가지이며 계산의 편의상
라 해도 일반성을 잃지 않는다.
나머지 와 를 정해야 하는데 중 반드시 숫자 하나는 써야 하므로×가지 만약 을 쓴다 하면 or 이므로 /
의 가지를 생각할 수 있다.
∴ × × 가지( ) )
ⅱ ≠인 경우
과 값을 정하는 경우의 수가 P이며 와 는
개의 수 중 아무 수나 정해져도 되므로 × 가지이다.
∴ P× 가지( ) 따라서 전체 경우의 수( ) ×ⅰⅱ
×
15) ⑤
동전을 번 던졌을 때 앞면이 번 나오고 뒷면이 번 나오고 점 P 의 좌표가 이 되려면 좌표가 이므로 앞면, 뒷면과 같이 동전의 면이 바뀌는 경우가 번 나와야 한다.
동전의 면이 짝수 번 바뀌어야 하므로 처음 동전을 던졌을 때
수학세상
8
예를 들어 “앞 앞 앞 뒤 앞 뒤 뒤 앞 앞 앞 은” , , , , 으로 표기한다.
앞면이 먼저 나오는 경우 )
ⅰ
이며 , 이므로
≥ and ≥
해의 순서쌍의 총 개수는H⋅HC⋅C ⋅
뒷면이 먼저 나오는 경우 )
ⅱ
이며 , 이므로
≥ and ≥
해의 순서쌍의 총 개수는H⋅HC⋅C⋅
∴ 경우의 수 ⅰ ⅱ
∴
16)
경우의 수를 구하면 명을 원 주위에 배열하는 방법은
이며
위의 그림에서 같은 원순열의 배열에 대하여 이라는 사람이 A B C D E에 올 때 전부 결과가 다르므로 전체 경우의 수는 ×이다.
17)
개의 자리 중 는 맨 앞에 오지 않으므로 맨 앞자리를 기준으로 ∼자리에 배치되어야 한다.
)
ⅰ 가 번째 자리인 경우
문자 개가 서로 이웃하면 안 되므로 맨 앞을 맨 뒤를,
로 나타내면 의 위치는 , , , 로
가지가 존재한다. 와 의 자리를 생각하면 경우의 수는
× 가지가 가능하다.
)
ⅱ 가 번째 자리인 경우
의위치는 에서 하나, 에서 하나 택하면 되므로
의위치는 가지, 와 의 위치를 정하는 경우가 가지이므로 경우의 수는 × 가지이다.
ⅲ 가 번째 자리인 경우)
의 경우와 같은 상황으로 생각할 수 있으므로 )
ⅰ 가지이다.
)
ⅳ 가 번째 자리인 경우
의 위치가 , , 의 가지이며 와 의 위치를 정하는 방법은 가지이므로 경우의 수는 × 가지이다.
전체 경우의 수: ⅰ ⅱⅲⅳ 가지
18) 가지
아래 그림에서 C점을 지나가지 않고 A에서 B로 가는 방법은 A→ 가 →B, A→ 나 →B, A→ 다 →B 세가지 방법을 생각 할 수 있으면 각각의 방법을 구하면
A→ 가 →B: ×
⋅⋅ ⋅⋅
가지( )A→ 나 →B:
⋅⋅ ⋅⋅
가지( )A→ 다 →B: ×
⋅⋅
가지( )전체 경우의 수= 가지( )
19)
의 전개식의 일반항을 구하면C⋅⋅ ⋅C
⋅
C⋅ ⋅C⋅⋅ ⋅
≤ ≤ ≤ ≤
이므로 의 해를 구해 보면 ,
의 두 가지 경우를 생각할 수 있다.
계수
( )C⋅⋅C⋅⋅ C⋅⋅C⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅⋅
20) 가지
∩ , ∪ 를 만족하므로 주어진 조건을 만족하는 의 값은 /
/ 총 세 가지 경우를 생각할 수 있다.
ⅰ 일 경우)
∈ ∈일 때 이면 ≤ 인 함수의 개수를 구해 보면 H이며 개의 원소 중 , , ∩ ,
∪ 가 되도록 집합의 원소를 정하는 방법은
×C 가지 이다( ) . 경우의 수
( ) ×H ×C × 가지( )
ⅱ 일 경우)
∈ ∈일 때 이면 ≤ 인 함수의 개수를 구해 보면 H이며 개의 원소 중 , , ∩ ,
∪ 가 되도록 집합의 원소를 정하는 방법은
×C× 가지 이다( ) . 경우의 수
( ) ×H ×C × 가지( )
ⅲ 일 경우)
∈ ∈일 때 이면 ≤ 인 함수의 개수를 구해
∪ 가 되도록 집합의 원소를 정하는 방법은
×C 가지 이다( ) . 경우의 수
( ) ×H ×C × 가지( )
∴ 전체 경우의 수: ⅰ ⅱⅲ
가지( )
21) 가지( )
사과의 개수를 배의 개수를, 감의 개수를, 복숭아의, 개수를 라고 하자.
에서 는 자연수이며 는 짝수가 되어야 하므로 ⋯ 까지 가능하며 이 때,
의 값은 ⋯ 까지 가능하다.
이 때 해의 개수는
HH ⋯ H
CC ⋯ C
CC ⋯ CC
⋅
⋅
⋯
⋅
⋅
⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅ 가지( )
