6. 3.      2. 5. 1. 4.

1.

¹⁾다항식   ^ ^^의 전개식에서 ^의 계수를

라고 하고 다항식,   ^^^^의 전개식에서 ^의 계수를 라고 할 때,  의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

2.

²⁾세 변의 길이가 각각   인 삼각형의 둘레의 길이의 합을 이라고 하자 이 때. , ^^^ 가 성립하는 삼각형의 넓이는?

① 



^ ② 



^ ③ 



^

④ 



^ ⑤ 



^

3.

³⁾다항식   ^^  가  를 인수로 가질 때, 다항식 ^를  로 나누었을 때의 나머지는? ( , 는단 상수이다.)

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

4.

^{4 )}다항식 ^을   로 나눈 몫을  나머지를, _이라 하고, 를  로 나눈 나머지를 _라 하자. _ _의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

5.

^{5 )}자연수   ^  ×^을 소인수분해 하여 나타낸 값으로 옳은 것은? 인수분해를 이용하시오( .)

①  × × ② ^× ×

③ ^×^× ④  ×^×^

⑤ ^× ×^

6.

^{6 )}다항식 ^ 가 ^ ^의 인수일 때, 의 값은? (단,   )

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

7.

⁷⁾다항식   ^^^^을   로 나눈 몫을

라고 할 때,  의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

8.

⁸⁾복소수 에 대하여   

 ^

 ^

 ^

⋯ ^

이라

하자.     

 일 때,  의 값은? 단( ,  



^  이고  는

의 켤레복소수이다.)

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

9.

⁹⁾복소수     ( 는 이 아닌 실수 에 대하여)

^ 가 실수일 때 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로, 고른 것은? (단,  



^  ,  는 의 켤레복소수이다.)

.

ㄱ 

^ 는 실수이다.

.

ㄴ     ㄷ  .

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ,

,

④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

10.

¹⁰⁾이차방정식 ^    이 실근을 갖도록 하는 서로 다른 모든 자연수 의 값의 합은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

11.

¹¹⁾이차방정식 ^    의 두 근이  이고

이차방정식 ^    의 두 근이  

   

일 때,

상수  의 값으로 올바르게 짝지어진 것은? 단( ,

  이다.)

 

①  

②  



③  

④  



⑤  

12.

¹²⁾계수가 자연수인 이차방정식 ^   이 서로 다른 두 유리수  를 근으로 갖는다고 한다 두 이차방정식.

^    , ^    가 단 하나의 공통근을 가질 때, 의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

13.

^{1 3)}^    이 서로 다른 실근  를 갖는다.

 가 ^       의 근이라고 할 때, 의 값은?

①  ②  ③ 

④   ⑤  

14.

^{1 4)}이차방정식 ^     의 두 근의 차가 일 때 모든 실수, 의 값의 합은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

15.

^{1 5)}다음 그래프는 최고차항이 인 이차함수   의 그래프이다 이때 이차방정식. ,    의 모든 실근의 곱은?

①  ②  ③ 

④   ⑤  

16.

¹⁶⁾실수 값에 관계없이 이차함수   ^ ^ 의 그래프와 항상 접하는 직선을   라고 할 때 실수,

 에 대하여 의 값은?

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

17.

¹⁷⁾그림과 같이      인 실수 에 대하여 이차함수

  ^의 그래프와 직선    가 만나는 두 점을 각각

 라 할 때,  에서 축에 내린 수선의 발을 각각

_ _이라 하고 직선,    와 축이 만나는 점을 라 하자 두 삼각형. _과 _의 넓이의 합이 

일 때 상수,

의 값은?

①  

 ②  ③ 



④  ⑤ 



18.

¹⁸⁾



^  



^    



^     ,

19.

^{1 9)}이차방정식 ^      가 두 양의 실근  를 갖도록 하는 정수 의 최솟값을 라 하고 그 때의, ^ ^의 최솟값을 라 하자.   의 값은? ( ,   는 실수)단

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

서술형

20.

^{2 0)}^ ^   를 에 대한 이차식 로 나눈 나머지를 라 할 때, ^ ^   를 로 나눈 나머지는  ^ 이다. 를 구하시오.

21.

^{2 1)}다항식 를 ^  로 나누었을 때의 몫이 , 나머지가 라 할 때    이 성립한다. 를 ^로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

22.

²²⁾ 에 대한 이차방정식 ^ ^     의 두

근을 ,  라 하고  ^

 ^ 

가 자연수일 때 실수,  의 값을 모두 구하시오.

23.

²³⁾함수  



^{ }    또는   

 ^  ≤  ≤  의 그래프와

      의 그래프가 서로 다른 네 점에서 만날 때,  의 범위를 구하시오.

1) ④ 2) ① 3) ③ 4) ⑤

5) ⑤ 6) ① 7) ① 8) ②

9) ③ 10) ④ 11) ① 12) ⑤

13) ④ 14) ③ 15) ③ 16) ①

17) ④ 18) ① 19) ⑤

20)      21) ^  22) 

, 

 ±



^

23)  

    또는     



정답 및 풀이

1) ④

다항식    ^^^의 전개식에서

^의 계수는 ^⋅  이므로   이고, 다항식    ^ ^ ^^의 전개식에서

^의 계수는    이므로   이다.

∴    

2) ①

   

^^^    ^^^     

∴^^^     

^^^       

 ^  ^  ^ ,       

∴∆  



^

×^ 



^

3) ③

가   를 인수로 가지면

         ∴  

따라서 ^를  로 나누었을 때의 나머지는

 ^      이다.

4) ⑤

^   _에서 양변에   을 대입하면 _ 

^   에서   를 대입하면

  ,   

를   로 나눈 나머지 _   

∴__ 

5) ⑤

  하고 하면

  ^  ×^  ^ ^

      

    

    

위 조립제법에 의하여

^ ^    ^     ^

∴   ×^ ^× ×^

6) ①

^ ^   ^^ ^

 ^   ^   ^  ^  

     이므로 ∴  

7) ①

조립제법을 이용하면

∴   

8) ②

  

 ^

 ^

 ^

⋯ ^



 

   

  ⋯





^{  }





^×

      

      

  

 

  

   

∴       

9) ③

^   ^ 

 ^ ^   

^ 가 실수이므로

    ,  ≠,    .

ㄱ ^ 가 실수이므로 ^ 도 실수이다. ∴참 .

ㄴ       ∴참 ㄷ  . ^^   ^

 ≠이므로   ^  ∴거짓

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄱ ㄴ, 이다.

10) ④

실근을 가질 조건은  ≥ 이므로

      ≥ 

∴ ≤ 



모든 자연수 의 값의 합은      이다.

11) ①

이차방정식 ^    의 두 근이

 이므로 근과 계수의 관계에 의해

   ,   이다.

이차방정식 ^    의 두 근이

  

,   

이므로

  

 

 ,



^{  }





^{  }





^{ 이다.}

  

    

 



^{ }





^{ }





^{  }

 

 



   

^^

 



   

 ^ 

 



  

  

 





     

  이므로   이고      이다.

12) ⑤

근과 계수와의 관계에 의해

   



^    , ^     ≠의 단 하나의 공통해를 라 하자.

^     ⋯ ㉠

^    ⋯ ㉡

㉡ ㉠을 하면

    

   

∴ ≠이므로   

  을 ㉠에 대입하면

    ∴  

^    의 두 근이 서로 다른 유리수이므로

  

  ±



^  

가 유리수이려면   이다.

∴  

13) ④

14) ③

두 근의 차가 이므로 두 근을  이라 하자.

근과 계수와의 관계에 의해

    ,    

  ,   ^,

^     ,     ,

     ∴   

∴모든 의 값의 합은 이다.

15) ③

    

        

     

∴   또는    모든 실근의 곱은 이다.

16) ①

^ ^    



^  



^    



^    





^     

성립하려면   ≥  또는     ≥ 

∴ ≥  또는  ≤ ⋯ ㉠





^  



^  





^_{   }^{  }

성립하려면      이고    ≥ 

∴    ≤  ⋯ ㉡

㉠ ㉡의 공통 해는     ≤  또는  ≤  ≤ 

  ^    ^ 

    ≤  또는  ≤  ≤ 에서의 그래프는 다음 그림과 같다.

  일 때   

  일 때   

∴   

19) ⑤ 해설

[ ] ^      

^      의 두 근  가 모두 양의 실근을 가질 조건은  ≥ ,   ,   이다.

   ^   ≥ 

      

     

  이므로 정수 의 최솟값은  이므로   

   

^^ ^           

 ^    

^ 



따라서   



∴       

20)    

는 차식이므로

^ ^         

  을 대입하면         ,   

∴   

21) ^ 

  ^  

  을 대입하면

           

를 ^로 나누었을 때의 몫을 ′, 나머지를 ^  라 하면

  ^′^ 

  ^  ′ ^   

       ∴   따라서 나머지는 ^ 이다.

22) 

, 

 ±



^

근과 계수와의 관계에 의해

  ,   ^  

 ^ ^ 

 ^ ^  

 

 ^

 ^ 

 ^

 

 ^

  

 ^

  

 

는 자연수라 하자.

^   에서 실근이 존재해야 하므로

     ≥ ,  ≤ 

∴   또는   

  일 때, ^    

∴  

 ±



^

  일 때, ^     

  ^ 

∴  



23)  

    또는     



 



^     ^     또는   

 ^     ^   ≤  ≤ 

          는 기울기가 이고, 점  를 지나는 직선의 방정식이다.

  일 때 서로 다른 네 점에서 만나려면

   ^     

^ ,   

     의 그래프가 점  을 지날 때

    ,   



∴    



마찬가지 방법으로   일 때 서로 다른 네 점에서 만나려면  

   이므로

따라서 함수  



^{ }    또는   

 ^  ≤  ≤  와 직선      가 서로 다른 네 점에서 만날 때  

    또는     

이다.