범위 이차함수 점과좌표 : -
1.
1) 원점을 지나고 기울기가 양수 인 직선이 이차함수 의 그래프와 서로 다른 두 점 P, Q에서 만난다 두. 점 P, Q에서 축에 내린 수선의 발을 각각 P′, Q′이라 하자.
선분 PP′과 선분 QQ′의 길이의 차가 일 때, 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
2.
2) 다음 조건을 만족하는 이차함수 에 대하여 의 값은?가 모든 실수
( ) 에 대하여 이다.
나
( ) ,
① ② ③
④ ⑤
3.
3) 이차함수 의 그래프가 축과 두 점 A , B 에서 만날 때 실수, , 에 대하여 의 값은?① ② ③
④ ⑤
4.
4) ≤ ≤ 에서 이차함수 의 최댓값이일 때 실수, 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
5.
5) ≤ ≤ 일 때 이차함수, 의 최솟값과 최댓값을 각각 , 이라 할 때, 의 값은?① ② ③
④ ⑤
6.
6 ) 사차방정식 의 한 근을 라 할 때, 보기 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은 단[ ] ? ( , 는 의
켤레 복소수이다.)
.
ㄱ 이다.
.
ㄴ 일 때, 이다.
.
ㄷ 이 음수가 되도록 하는 실수 값이 존재하며 그때의,
의 값은
이다.
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ㄱ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
7.
7) 그림과 같이 한 변의 길이가 m인 정육각형 모양의 꽃밭이 있고 꽃밭의 둘레에 폭이,
m로 일정한 길을 만들려고 한다 길의 넓이가.
m이하가 되도록 하는 모든 자연수 의 값의 합은? (단 길의 폭은, m보다 넓다.)① ② ③
④ ⑤
8.
8) 연립부등식 의 해가 없을 때 실수,의 값의 범위를 바르게 구한 것은?
① ≤ 또는 ② ≤ 또는 ≥
③ 또는 ④ 또는 ≥
⑤ 또는
9.
9) 다음 에 대한 연립이차방정식이 정수인 해를 가질 때, 정수 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
10.
1 0) 연립부등식
에 대하여 보기 중[ ] 옳은 것을 모두 고른 것은? ( , , 는 인 실수이고,단
≠이다.)
.
ㄱ 이면 연립부등식의 해는 항상 존재한다.
.
ㄴ 이고 연립부등식의 해가 존재하면
이다.
.
ㄷ 이고 연립부등식의 해가 존재하면
또는 이다.
보 기
[ ]
① ㄴ ②ㄱ ㄴ, ③ㄱ ㄷ,
④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
11.
11) 실수 에 대한 부등식 ≤ 에 대하여 보기 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은 단[ ] ? ( , , 는
상수이다.)
ㄱ 일 때 부등식의 해는. , ≤ 이다.
.
ㄴ 일 때 부등식의 해가 존재하지 않도록 하는, 정수 의 개수는 개다.
.
ㄷ ≤ ≤ 일 때 모든 실수, 에 대하여 부등식을 만족시키는 의 값은 항상 존재한다.
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ㄱ ㄷ,
④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
12.
1 2) ≥ 인 실수 에 대하여 연립부등식
가 항상 성립하고 이 연립부등식을, 만족시키는 음의 정수 의 값이 개가 되기 위한 실수 의 값의 범위에 대하여 정수 의 개수는?① ② ③
④ ⑤
13.
1 3) 에 대한 이차부등식 ≤ 의 해가 ≤ ≤ 이다 두 실수. , 가 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 실수 의 값의 합은?
가
( ) 는 자연수이다.
나
( ) ≤ ≤ 를 만족하는 정수 의 개수는 이다.
① ② ③
④ ⑤
14.
1 4) 세 점 A , B
, C
을 꼭짓점으로하는 삼각형 ABC의 외접원과 내접원의 넓이의 차는?
①
②
③
④
⑤
15.
15) 레이저 빛을 거울에 비추면 반사 법칙에 따라 입사각과 같은 각도로 반사한다 다음 그림은 가로의 길이. , 세로의 길이가 각각 m, m이고 벽면이 거울인 방을, 좌표평면 위에 나타낸 것이다 점. 에서 레이저 빛을 쏘아 점 에서 반사시킨 후 점 점, 를 지나 점 에 다다르게 할 때, 의 값은?② ② ③
④ ⑤
16.
16) 이차함수 의 그래프의 꼭짓점을 A,축과 만나는 점을 B라 하고 이때 두 점, A, B를 지나는 직선 이 축과 만나는 점을 C라 하자 삼각형. OAC의 넓이가 삼각형 OAB의 넓이의 배일 때 양의 실수, 의 값은?
단
( , O는 원점이다.)
①
②
③
④
⑤
17.
1 7) 직선 위의 점 A 직선, 위의 점 B 두 직선의 교점, P 에 대하여 선분 PA와 선분 PB를 으로 외분하는 점을 각각 C, D라 한다.
직선 BC와 직선 AD의 교점 Q에 대하여 일 때,
의 값은? (단, , )
① ② ③
④ ⑤
주관식
18.
18 ) 실수 에 대하여 ≤ ≤ 일 때 함수, 의 최댓값을 라고 하자 방정식. 의 두 실근을 , 라 할 때, 의 값을 구하시오.
19.
1 9) 에 대한 연립부등식
≤ 을 만족시키는 정수 의 개수가 이 되도록 하는 모든 실수 에 대하여 부등식, 이 성립하도록 하는 정수의 개수를 구하시오. (단, ≤ ≤
)20.
20) 에 대한 삼차방정식 이 서로 다른 세 정수를 근으로 갖는다 두 정수. 가 ≤ ,≤ 일 때 순서쌍, 의 개수를 구하시오.
21.
21) 두 실수 , 에 대하여
의 최솟값을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
빠른정답
정답 및 풀이
1) ⑤원점을 지나는 기울기가 인 직선을
라고 하자.
함수 의 그래프와 직선 의 교점의
좌표는 방정식 의 두 근이다.
방정식 의 두 근을 , ( 라) 하면
,
이다.
P , Q
PP ′ , QQ ′
QQ ′ PP ′
그러므로 (∵ )
2) ③
가 에 의하여 함수
( ) 의 그래프는 직선
에 대하여 대칭이다.
라 하자.
나 에 의해
( ) , 이고 두 식을 연립하면 , 이다.
그러므로 이고
3) ②
의 두 근이 이므로 두 근의 곱: ,
두 근의 합: 그러므로
4) ②
≤ ≤ 에서 일 때 최댓값을 가지므로
이다.
그러므로
5) ①
에서 이므로 함수 는 범위 ≤ ≤ 에서
일 때 최솟값 을 갖고
일 때 최댓값 이다.
즉, ,
그러므로
6) ①
ㄱ 는 방정식 . 또는 의 근이므로 두 가지 경우 모두 이다. ( )참
.
ㄴ 이면 는 방정식 의 한 근이다.
의 양변에 를 곱하면
이므로
이다.
따라서 이다. (거짓) .
ㄷ 가 방정식 의 근이면
이다.
이므로
이 음수가 되도록 하는 실수 가
로 존재한다.
그러나 이때 의 값은
이다.
같은 방법으로 가 방정식 의 근이면 이다.
이므로 이 음수가 되도록
하는 실수 가
로 존재한다.
그러나 이때 의 값은 역시
이다.
거짓 ( )
그러므로 참인 것은 ㄱ이다.
7) ②
다음 그림과 같이 정육각형의 중심을 O, 각 꼭짓점을 A~F라 하자.
정육각형이므로 삼각형 OAB와 삼각형 OCD는 정삼각형이다.
OE는 삼각형 OAB의 높이이므로
×
이고OF
이다.∆OCF는 직각삼각형이고 ∠OCF 이므로
OC OF
OC
∴ OC
따라서 바깥 정육각형의 넓이는
∆OCD ×
×
이고 작은 정육각형의 넓이는∆OAB ×
×
이다.따라서 길의 넓이에 대해
∆OCD ∆OAB
x
≤
≤
≤
≤ 이므로
≤ ≤ 이다.
이때 길이의 폭은 보다 넓으므로 조건을 만족하는 자연수 는 , 이다.
그러므로 조건을 만족하는 모든 자연수의 합은
8) ②
부등식 에서 부등식 에서 이다.
i 일 때
, 이므로
,
이다.
연립부등식의 해가 없으므로
≤
에서
≤ 이다.
∴
ii 일 때
, 이므로
,
이다.
연립부등식의 해가 존재하지 않아야 하므로 성립하지 않는다.
iii 일 때
, 이므로
,
이다.
연립부등식의 해가 없으므로
≤
에서
≥ 이다.
∴ ≥
iv 일 때
부등식 에서 는 거짓이므로 해가 존재하지 않는다.
따라서 연립부등식의 해도 존재하지 않으므로 성립한다.
v 일 때
부등식 에서 는 참이므로 부등식의 해는 모든 실수이다.
따라서 연립방정식의 해가 존재하므로 성립하지 않는다.
i ~v에서 연립부등식의 해가 존재하지 않을 때
의 값의 범위는 ≤ 또는 ≥
9) ④
주어진 연립이차방정식의 정수인 해를
이라 하면
⋯ ㉠
⋯ ㉡
㉠ ㉡을 하면
∴
이 정수이려면 의 값이 ± ±일 때이다.
일 때,
일 때,
일 때,
일 때,
그러므로 정수 의 값은
10) ④ 정리하면
.
ㄱ 이면 이다.
반례
( )
,
라 하면
또는 이므로
해가 존재하지 않는다.
.
ㄴ 일 때 해가 존재하려면,
이거나 이다.
따라서 이다.
.
ㄷ 일 때 해가 존재하려면,
이거나 이므로
또는 이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ ㄷ, 이다.
11) ④
.
ㄱ 일 때
≤
≤
≤
≤
≥ 일 때 ≤ ≤ 일 때 ≤ ≤ ∴거짓 .
ㄴ 일 때
≤
≤ 을 만족하는 해가 존재하지 않으려면 의 판별식 이어야 한다.
∴
정수 의 개수는 개다. ∴참 .
ㄷ ≤
≤ 을 만족하는 실근이 존재하려면
의 판별식 ′ ≥ 이어야 한다.
′ ≥
≥ 이 모든 실수 에 대하여 성립하려면
의 판별식 ″ ≤ 이어야 한다.
″ ≤
≤
≤ ≤ ∴참
그러므로 보기에서 참인 것은 ㄴ ㄷ, 이다.
12) ②
≥ 인 실수 에 대하여
부등식 이 항상 성립하려면
이어야 한다.
∴ 또는
≥ 인 실수 에 대하여
부등식 이 항상 성립하려면
이어야 한다.
∴
또는
⋯ ㉠
에서
㉠ 의 해는 모든 실수이므로 연립부등식
의 해는 이다.연립부등식을 만족시키는 음의 정수 의 값이
개이려면 ≤ 이어야 한다.
≤
≤ ⋯ ㉡
㉠ ㉡에서
따라서 이므로 조건을 만족하는 모든 정수는
개다.
13) ③
에서
또는 이므로 범위를 나누어 구하면
i ≤ ≤ 일 때
≤ 의 해는
≤ ≤
이다.
의 값이 자연수이면
±
성립하지 않는다.
의 값이 자연수가 아닐 때
이면, ≤ ≤ 이므로 조건 나 를( ) 만족하지 않는다.
이면,
≤ ≤
이므로 조건 나 를( )
만족한다.
ii 또는 일 때
≤ 의 해는
≤ ≤
이다.
의 값이 자연수일 때
일 때,
이므로 자연수가
아니다..
일 때,
이므로 성립한다.
의 값이 자연수가 아닐 때
±
성립한다.따라서 모든 의 값의 합은
14) ②
선분 AB의 기울기는
,
선분 BC의 기울기는 이므로 선분 AB와 선분 BC는 수직이다.
따라서 선분 AC는 삼각형 ABC의 외접원의 지름이다.
AC
이므로외접원의 반지름은
이다.따라서 외접원의 넓이는
이다.
AB
, BC＝
삼각형 ABC의 내심에서 세 변 AB, BC, CA에 내린 수선의 발을 D, E, F라고 하면AD AF, BD BE, CE CF이다.
삼각형 ABC의 내접원의 반지름을 라고 하면
BD BE 이다.
AD AF
, CE CF
AC AF CF이므로
에서
이다.그러므로 내접원의 넓이는
∴
15) ③
다음 그림과 같이 P , Q , R , S 이라 하자.
∆PCA ∆QCD이므로
⋯ ㉠
∆PCA ∆RED이므로
⋯ ㉡
∆PCA ∆SEB이므로
㉠ ㉡에서
,
그러므로
16) ②
이므로
꼭짓점 A의 좌표는 A 이고
절편 점 B의 좌표는 이다.
삼각형 OAC의 넓이가 삼각형 OAB의 넓이의
배이므로 CA AB 이다.
또한 직선 은 점 A B를 지나는 직선이므로
기울기는
이고 직선 의 방정식은 이다.
따라서 점 C의 좌표는 이다.
점 A는 선분 CB를 로 내분하는 점이므로
이다.그러므로
17) ①
두 직선 , 의 교점은
P 와 A 를 으로 외분하는 점 C 는
P 와 B 를 으로 외분하는 점 D 는
따라서 AB DC 이고 AB 와 DC가 평행하므로 QA QD QB QC 점B는 선분 QC 의 중점이다.
에서
이므로
그러므로
18)
i ≤
일 때
∴
ii
일 때
∴ 그러므로
19)
≤ 에서
≤ ≤ 또는 이다. ≤ ≤
이므로 부등식의 해는 ≤ 이다.
이를 만족하는 정수가 개이므로 ≤ 즉,
≤ 이다.
≤ 에서 부등식 이 항상
성립하려면 라 할 때
이다.
i
≤
≥
일 때 이려면
≥ 이다. ×
×
≥ 이므로
≤
즉, ≤ ≤ 이고 정수의 개수는 개다.
ii
≤
≤
일 때
이다.대입하여 정리하면
이므로
만족하는 실수 는 존재하지 않는다.
iii
일 때 이므로
즉, 이므로
만족하는 실수 는 존재하지 않는다.
그러므로 조건을 만족하는 정수 의 개수는 개
20)
이므로 방정식의 세 근을 라 하자.
이고
이다.
i 일 때
이므로
이다.
따라서
이고
순서쌍 는 총 쌍이다.
ii 일 때
이므로
이다.
따라서
이고
순서쌍 는 총 쌍이다.
iii 일 때
이므로
⋯
이고
순서쌍 는 총 쌍이다.
iv 일 때
이므로
⋯
이고
순서쌍 는 총 쌍이다.
그러므로 조건을 만족하는 모든 순서쌍 는 개
21)
점 P , A , B 라고 하자.
AP BP ≥
ABAB
이므로 최솟값은
×
이므로
