1.
1)서로 다른 개의 과일을 서로 다른 개의 접시에 남김없이 담는 경우의 수는? ( ,단 빈 접시가 있을 수 있다.)① ② ③
④ ⑤
2.
2)개의 문자 을 일렬로 나열할 때, 개의 사이에 개 이상의 문자가 놓이는 경우의 수는?
① ② ③
④ ⑤
3.
3)방정식 에 대하여 음이 아닌 정수해의 개수는?① ② ③
④ ⑤
4.
4 )CCCCC의 값은?① ② ③
④ ⑤
5.
5 )자연수 에 대하여 농구 동아리의 주장을 포함한 회원명과 코치 명이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 둘러앉는다고 할 때 주장과 코치가 이웃하지 않는 경우의 수를,
주장과 코치가 마주 보는 경우의 수를 이라 하자 이. 때,
을 만족하는 자연수 의 값은?
단 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다
( , .)
① ② ③
④ ⑤
6.
6 )그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다 이. 도로망을 따라 지점에서 출발하여 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는?단 점선
( , ⋯⋯으로 표현된 구간은 지날 수 없다.)
수학세상
2
7.
7)방정식
를 만족시키는 양의 정수 의 모든 순서쌍
의개수는?
① ② ③
④ ⑤
8.
8)
의 전개식에서 의 계수는?① ② ③
④ ⑤
9.
9)다섯 명의 학생 에게 각각 개 아상 개 이하의 같은 공을 나누어 주려고 한다. 가 받게 되는 공의 개수를 각각 라 할 때, ≤ ≤ 를 만족시키도록 나누어 주는 경우의 수는?
① ② ③
④ ⑤
10.
10)홀수 개의 약수를 갖는 이하의 자연수 중 서로 다른개의 자연수를 골라 원형으로 배열하고자 한다 마주보는 모든. 두 자연수의 합이 홀수가 되도록 하는 경우의 수는?
단 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다
( , .)
① ② ③
④ ⑤
11.
11)집합 에서 집합 로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 의 개수는?가
( ) 는 의 배수이다.
나 함수
( ) 의 치역의 원소의 개수는 이다.
① ② ③
④ ⑤
12.
1 2)[그림 과 같이 왼쪽에서부터 차례로] 개의 숫자 과 숫자 사이사이에 점선이 있는 띠 모양의 종이가 있다 이 점선 중 서로 다른.
개를 택하여 택한 점선을 따라 가위로 잘라 조각의 종이를 차례로 늘어놓는다 각각의 종이에 적힌 수를 하나의 수로. 생각하자 예를 들어 그림. [ 에서] 조각의 종이에 적힌 수는 왼쪽에서부터 차례로 이다. 조각의 종이에 적힌 수가 왼쪽에서부터 차례로 짝수 홀수 짝수 짝수‘ , , , , 홀수 가 되도록 종이를 자르는 경우의 수는’ ?
① ② ③
④ ⑤
13.
1 3) 의 전개식에서 의 계수가 일 때,의 계수의 최솟값은? ( , 은 모두 이상의 자연수이다.)단
① ② ③
④ ⑤
14.
14)집합 에서 집합 로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 항등함수가 아닌 함수 의 개수는? ( ,단 는 항등함수이다.)가 함수
( ) 는 일대일대응이다.
나
( ) 이하의 자연수 에 대하여 를 만 족하는 은 또는 이다.
① ② ③
④ ⑤
15.
15)이항정리를 이용하여
을 전개하면
이다 순서쌍.
을 구하시오. ( , 단 ⋯ 는 음이 아닌 정수이다.)수학세상
4
16.
1 6)네 개의 숫자 을 이용하여 네 자리 자연수를 만들 때 다음 조건을 모두 만족시키는 경우의 수를, (1) ~ (3)과 같이 경우를 나누어 구하려고 한다 다음 물음에 답하시오. .가 각 숫자는 최대
( ) 회까지 사용할 수 있다.
나 같은 숫자는 서로 이웃하지 않는다
( ) .
네 개의 숫자
(1) 중 회 사용하는 수가 개인 네 자리 자연수를 만드는 경우의 수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.
네 개의 숫자
(2) 중 회 사용하는 수가 개인 네 자리 자연수를 만드는 경우의 수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.
네 개의 숫자
(3) 중 회 사용하는 수가 개인 네 자리 자연수를 만드는 경우의 수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.
17.
1 7)자연수 과 음이 아닌 정수 에 대하여 이다 이를 만족하기 위해 음이 아닌 정수.
에 대하여 이어야 한다 가능한 다음 각 경우에 대해. 물음에 답하시오.
음이 아닌 정수
(1) 에 대하여 인 경우,
을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하는 풀이과정과 답을 쓰 시오.
음이 아닌 정수
(2) 에 대하여 인 경우, 을 만족시키는 음이 아닌 정수
의 모든 순서쌍 의 개수를 구하는 풀이과 정과 답을 쓰시오.
18.
18)이 자연수 일 때, 에 대한 다항식 × 에서 의 계수를 라 하자 다음 물음에.
답하시오. (단, ⋯ )
(1) 를 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.
(2) ⋯ 을 구하는 풀이과정과 답을 쓰 시오.
1) ③ 2) ⑤ 3) ③ 4) ① 5) ④ 6) ④ 7) ⑤ 8) ② 9) ④ 10) ③ 11) ① 12) ⑤ 13) ② 14) ③
15) 16) (1) (2) (3)
17) (1)
(2)
18) (1) (2)
수학세상
6 정답 및 풀이
1) ③
∏
2) ⑤
전체 나열의 수
을 묶어 개의 사이에 문자가 없는 경우의 수
∴
3) ③
HC
4) ①
CCCCC
5) ④
전체의 경우의 수
주장과 코치가 이웃한 경우 ×
×
×
×
마주보는 경우는 코치과 주장을 고정시키고 나머지를 배열한다.
∴
∴
6) ④
7) ⑤
에서 ×이므로 1) 인 경우 단( , ≥ )
′ 단( , )
′ ′ ′
∴ HC
2) 인 경우
단( , ≥ )
′ 단( , )
′ ′ ′
∴ HC
3) 인 경우 와 동일하므로
2)
4) 인 경우
단( , ≥ )
′ 단( , )
′ ′ ′
∴ HC
5) 인 경우 와 동일하므로
4)
∴
8) ②
의 일반항은C
C × 1) 인 경우 ∴
C
2) 인 경우
∴ 존재하지 않는다.
3) 인 경우
∴
C
∴
9) ④
1) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 을 만족하는 정수해의 개수는
H
2) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 을 만족하는 정수해의 개수는
H
3) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 을 만족하는 정수해의 개수는
H
4) ≤ ≤ ≤ ≤
H
≤ ≤ ≤ ≤ 을 만족하는 정수해의 개수는 1) 2)3)4)
10) ③
홀수 개의 약수를 갖는 이하의 자연수는 제곱수이다 즉. ,
⋯
홀수가 마주보게 배열하면 된다.
짝수와 홀수를 개씩 선택하는 경우의수 C×C
짝수를 원탁에 배열하는 가짓수 짝수 사이에 홀수를 배열하는 가짓수
하나의 짝수와 홀수를 고정하고 나머지 두 마주보는 두 쌍의 수를 배열하는 가짓수 ×
∴ × × ×
11) ①
이 의 배수이므로 을 함숫값으로 가질 때와 갖지 않을 때로 나누어 생각하자.
의 원소로 배열되는 집합으로 생각하면 1) 을 원소로 가지지 않는 경우
① 배열의 수 가지
가 이 아닌 두 개의 함숫값을 가져야 하므로
P
∴ ×
② 배열의 수
가 남은 두 개의 공역의 원소에서 반드시 한 원소에 대응되어야 하므로 C×
∴ × ×
∴
2) 을 개 가지는 경우
① 배열의 수
가 남은 두 개의 공역의 원소에서 반드시 한 원소에 대응되야하므로 C×
∴ × ×
② 배열의 수
의 대응의 수
∴ × ×
∴
3) 을 개 가지는 경우
배열의 수
가 남은 두 개의 공역의 원소에서 반드시 한 원소에
≥
조각의 종이에 적힌 수가 짝수 홀수 짝수 짝수 홀수 를‘ , , , , ’ 만족하는 경우는 와 는 짝수, 는 홀수인 경우이다,
에서
≥
∴ HC
13) ②
에서 의 계수는 C
에서 의 계수는 C
① 의 전개식에서 의 계수는 인 경우이므로
CC× n
∴
이를 만족하는 은
② 의 계수는 인 경우이므로
CC×
⋅
계수의 최솟값을 구하므로 이 최대인 인 경우이다.
∴
⋅ ⋅
14) ③
1) ∘ ∘ 인 경우
임의의 세 원소에 대하여 을 만족하는 원소가 존재하면 된다 그리고 나머지 두 원소는.
를 만족하면 된다.
를 선택하는 가짓 수 C
를 기준으로 에 대응되는 가짓 수
∴ ×
2) ∘ ∘ ∘ ∘ 인 경우
를 만족하면 된다.
를 기준으로 네 원소를 배열하는 것과 같으므로
수학세상
8
② 은 의 계수이므로 ∴
C×
③ 은 의 계수이므로 ∴
C×
∴
16) (1) (2) (3)
(1)
(2) 회 사용할 숫자를 고르는 경우의 수 C 세 수를 × ×로 하면 배열의 수는
×× × × × ×
××에 들어갈 숫자를 골라 배열하는 수 P
∴ × ×
(3) 회 사용할 숫자를 고르는 경우의 수 C 배열의 수는
∴ ×
17) (1)
(2)
(1) 를 에 대입하자,
단( , ≥ )
′ ′ ′ ′ 이라 하자.
′ ′ ′ ′ 단( , ′ ′ ′ ′≥ )
위의 식을 만족하는 순서쌍의 개수가 의 순서쌍의 개수와 같다 순서쌍의 개수는.
H C C
(2) 를 에 대입하자,
단( , ≥ )
′ ′ ′ ′ ′ 이라 하자.
′ ′ ′ ′ 단( , ′ ′ ′ ′≥ )
위의 식을 만족하는 순서쌍의 개수가 의 순서쌍의 개수와 같다 순서쌍의 개수는.
H C C
18) (1) (2)
× 의 일반항은
× C×× C× ×
일 때 의 계수를 라 하므로
∴
C ×
(1) 이므로 C×
(2) C ×에서 ≥ 이므로 는 존재하지
않는다 그러므로.
⋯
CCC ⋯ C
×C×
오검 사항
풀이 5.
주장과 코치가 이웃한 경우 ×를 주장과 코치가 이웃한 경우 ×로
