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1.
1) 이차함수 의 그래프와 직선 이 점 에서 접할 때, 의 값은? ( , , 는 상수)단
① ② ③
④ ⑤
2.
2) 의 그래프가 직선 와 서로 만나지 않기 위한 의 값이 될 수 없는 값은?① ② ③
④ ⑤
3.
3) ≤ ≤ 일 때 함수, 의 최솟값이 이다 실수. 의 값은?① ② ③
④ ⑤
4.
4) 이차함수 의 최댓값을 라 하자.의 최솟값은?
① ②
③
④
⑤
5.
5) 어느 과일 가게에서 토마토 한 개의 가격이 원일 때 하루에 개씩 팔린다고 한다 토마토 한 개의 가격을. 원 올리면 하루 판매량이 개 감소한다고 할 때 토마토의 하루, 판매액이 최대가 되는 토마토 하나의 가격은?① 원 ② 원 ③원
④ 원 ⑤ 원
6.
6 ) 좌표평면에서 연립방정식
의 해 를 꼭짓점으로 하는 도형의 넓이는? (단, , 는 정수)
①
② ③
④ ⑤
7.
7 ) 에 대한 일차식 가 모든 실수 에 대하여 부등식 ≤ ≤ 을 만족시킬 때,
의 값은? (단, 는 자연수이고 는 상수이다.)① ② ③
④ ⑤
8.
8)세 이차함수 , , 와 일차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, ≤ ≤ 에서 부등식
≤ 을 만족하는 모든 정수 의 값의 합은?
① ② ③
④ ⑤
9.
9 )
인 상수 에 대하여 연립부등식
≥ 을 만족시키는 정수 의 개수가개일 때 모든 실수, 값의 합은?
①
② ③
④ ⑤
10.
1 0) 그림에서 가로 세로 대각선으로 배열된 세 수 또는, , 식의 합이 모두 같다고 한다. , 가 모두 양수라고 할 때, 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
11.
11) 삼차방정식 의 한 허근을 라 할 때 삼차항의 계수가, 인 삼차다항식 가 다음 조건을 만족시킨다 이때. , 의 값은? (단 는 의 켤레복소수이다.)가
( )
나
( )
다
( )
① ② ③
④ ⑤
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12.
1 2) 수직선 위의 서로 다른 두 점 A, B 에 대하여 선분 AB를 으로 외분하는 점을 P 라 하자.수직선 위의 점 Q 에 대하여 선분 PQ의 중점이 점 B가 된다고 할 때, <보기 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은> ?
단
( , )
ㄱ , 이면 A Q이다.. .
ㄴ 이면 이고, Q는 선분 AB를
으로 내분하는 점이다.
ㄷ 이면 이고, Q는 선분 AB를.
으로 외분하는 점이다.
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ㄱ ㄴ,
④ㄱ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
13.
1 3) 넓이가 인 삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA를 각각 , , 으로 내분하는 점을 각각 P, Q, R라 하면 삼각형 PQR의 넓이는 이다 이 때 자연수. , 의 값은?① ② ③
④ ⑤
14.
14) 좌표평면 위의 네 점 , , , 에 대하여 제 사분면 위의 네 점 , , , 는 다음 조건을 만족시킨다.
네 점 , , , 는 각각
, , , 의 중점이다.
점 의 좌표를
이라고 할 때, 의 값은?①
②
③
④
⑤
15.
15) 두 점 A , B 를 이은 선분 AB 를 로 내분하는 점을 P, 로 외분하는 점을 Q 라고 한다 선분. PQ 의 중점 M 의 좌표는 일 때 옳은 설명만을 보기, [ ] 에서 있는 대로 고른 것은?점 .
ㄱ M 은 AQ 를 로 내분하는 점이다.
ㄴ . .
ㄷ
보 기
[ ]
① ㄱ ②ㄱ ㄴ, ③ㄱ ㄷ,
④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
16.
16) 실수 에 대하여
의 최솟값은?① ②
③
④ ⑤
주관식
17.
1 7) 에 대한 일차식 가 모든 실수 에 대하여 부등식 ≤ ≤ 을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 자연수이고 는 상수이다.)18.
18 ) 이차함수 의 그래프가 직선 와 만나도록 하는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오.19.
1 9) 부등식
≤ 의 해가 ≤ ≤ 일 때,의 값을 구하시오.
20.
20) 좌표평면에서 길이가 일정한 선분 AB를 으로 내분하는 점을 P 선분, AB를 로 외분하는 점을 Q라 하고 직선, AB 위에 있지 않은 한 점을 C 선분, AC를 로 외분하는 점을 D라고 하자 삼각형. AQD의 넓이가 삼각형 APC의 넓이의 배라고 할 때,
의 값을 구하시오.
21.
21) 다음 그림과 같은 직사각형 ABCD 와 그 내부의 임의의 점 P, BC 의 중점 M 에 대하여CM PA PC PD PM이 성립한다고 할 때, 상수 , , , 에 대하여 의 값을 구하시오.
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1) ④ 2) ① 3) ⑤ 4) ④
5) ④ 6) ③ 7) ② 8) ④
9) ③ 10) ③ 11) ③ 12) ⑤
13) ④ 14) ④ 15) ③ 16) ⑤
17) 18) 19) 20)
21)
정답 및 풀이
1) ④함수 의 그래프는 점 를 지난다.
즉, 이다.
직선 과 곡선 는 접하므로
방정식 에 대한 판별식을
라 하면 이다.
이때 이므로
∴ , 따라서 이다.
2) ①
의 판별식 이므로
이다.
∴
3) ⑤
라 하자. 이므로
≤ ≤ 에서 의 최댓값은 이고 최솟값은 이다. ∴ ≤ ≤
≤ ≤
이므로 일 때 최솟값 을 갖는다.
그러므로
4) ④
이므로
최댓값은 즉, 이다.
이므로
의 최솟값은
5) ④
토마토 한 개의 가격이 원일 때 하루 판매량은 개다.
이때 하루 판매액을 라 하면
에서 는 최대이다.
따라서 하루 판매액이 최대가 되는 토마토 한 개의 가격은
라 하면
이다.
따라서 주어진 방정식은
이고 두 식을 빼면 이다.
을 에 대입하면
,
따라서 이면 이고 이면 이다.
즉, 이면 이고
이면 이다.
이를 만족하는 정수해는 이거나
이다.
위의 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형은 다음과 같다.
따라서 주어진 사각형의 넓이는
× ×
× ×
7) ②
부등식 ≤ ,
≥ 에서
방정식 의 판별식을 라고 하면 ≤ 이다.
≤ ……㉠
부등식 ≤ ,
≤ 에서
방정식 의 판별식을
라고 하면 ≤ 이다.
≤ ……㉡
에서
㉠ ≤ , 에서
㉡ ≤ 이므로
≤ 이다.
≤ 에서
≤ , ≤ ≤ 이다.
는 자연수이므로 이다.
≤ ≤ 에서 이므로
≤ ≤ 이다.
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, , , 중 적어도 하나가
인 경우는 항상 성립하므로 네 그래프와
축이 각각 만나는 점은 항상 성립한다.
≥ , ≥ , ≥ , ≥ 일 때의
값의 범위를 각각 구하자.
≥ 에서 ≤ 또는 ≥
≥ 에서 ≤ ≤
≥ 에서 ≥
≥ 에서 ≤ 또는 ≥ 각각을 그래프에 나타내면 다음과 같다.
i , , , 중 이상인 다항식이
개일 때
위 그림에서 경계를 제외하고 개가 겹치는 부분을 찾으면 된다.
∴ , ≤ ≤ , ≤ ≤
ii , , , 중 이상인 다항식이
개일 때
위 그림에서 경계선을 제외하고 개만 포함되는 부분이 없으므로 조건을 만족하는 값은 존재하지 않는다.
i , ii 에서 값의 범위는
, ≤ ≤ , ≤ ≤ 이다.
따라서 모든 정수 값의 합은 이다.
9) ③
연립부등식을 풀면
≥ 이다.i
일 때
이므로 부등식의 해는
≤ 또는 ≤ 이고 이를 만족시키는 정수는 로
개 존재한다.
ii
일 때
,
, 이므로
부등식의 해는
≤ 고
만족하는 정수 는 로 개 존재한다.
iii
일 때
이므로 부등식의 해는 ≤ 이고
iv 일 때
, , 이므로 부등식의 해는 이고 만족하는 정수 는 으로 개다.
v
일 때 이므로 부등식의 해는 ≤ 이고 이를 만족하는 정수 는 로 개다.
따라서 정수 의 개수가 개가 되도록 하는 실수 는
또는 이다.
그러므로 합은
10) ③
주어진 표는 다음과 같다.
( ) 가
( )나
가 이므로 가
( ) 이다.
나이므로 나
( ) 이다.
이므로
이다.
또한 이고 이 방정식을 풀면
이므로
또는 이다.
는 에 대입하면
이므로 모순이다.
를 에 대입하면
이므로 이다.
즉, ±, ±
이때 , 가 모두 양수이므로
11) ③
조립제법을 이용하면
의 두 근이 이다.
,
가 에서 ( )
나 에서 ( )
의 두 근이 이고 나머지 한 근을, 라
하면
∴
그러므로
12) ⑤
ㄱ , 이면 . AB BP 이므로 A Q이다.
.
ㄴ 일 때 네 점의 위치는 다음과 같다.
따라서 이고, AQ BQ 이므로 점 Q는 선분 AB를 으로 내분하는 점이다.
.
ㄷ 일 때 네 점의 위치는 다음과 같다.
따라서 이고, AQ BQ 이므로 점 Q는 선분 AB를 으로 외분하는 점이다.
따라서 ㄱ ㄴ ㄷ, , 모두 참이다.
13) ④
두 점 P와 C를 연결하면
AP PB 이므로 ∆ACP ∆BCP 이다.
∴ ∆BCP ×
, ∆ACP ×
BQ QC 이므로 ∆PBQ ∆PCQ 이다.
∴ ∆PBQ ×
두 점 A와 Q에서 BQ QC 이므로
∆ABQ ∆ACQ 이다.
∴ ∆ACQ ×
AR RC 이므로 ∆AQR ∆CQR 이다.
∴ ∆CQR ×
∆PQR ∆ABC ∆PBQ ∆APR ∆CQR
이므로
이다.
∴
14) ④
에서
에서
∴
15) ③
주어진 조건에서 점 A , B 는 아래와 같다.
.
ㄱ MA MQ 이므로 점 M은 AQ 를 로
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∴참
그러므로 옳은 것은 ㄱ ㄷ, 이다.
16) ⑤
의최솟값은 점 에서 점 사이의 거리이므로
이다.17)
≤
≥ 이 모든 실수 에 대하여 성립하려면 의 판별식 ≤ 이어야 한다.
≤
∴ ≥
≤
≥ 이 모든 실수 에 대하여 성립하려면 의 판별식 ≤ 이어야 한다.
≤
∴ ≤
≤ ≤ ⋯ ㉠
≤
≤
≤ , ≤ ≤
는 자연수이므로
㉠에 대입하면 ≤ ≤ ,
그러므로
18)
에서 만날 조건은 판별식 ≥ 이므로
≥
∴ ≤
모든 자연수 의 값의 합은
19)
≤ 이므로 ≤ ≤ 이다.
i ≥ 일 때
≤ ≤ 이므로
≤ 이고 ≤ 이다.
즉, ≥ 이고
≤ 이므로 주어진 부등식의 해는 ≤ ≤ 이다.
이때 ≥ 이므로 이다.
ii 일 때
≤ ≤ 이므로
≤ 이고 ≤ 이다.
즉 ≥ 이고
≤ 이므로 주어진 부등식의 해는 ≤ ≤ 이다.
이때 이므로 ≤ 이다.
또는 ≤ 이므로 부등식의 해는
≤ ≤ 가 되어 이고 이다.
그러므로
20)
그림에서와 같이 삼각형 APC의 넓이와 삼각형 PBC 의 넓이 비는 이다.
삼각형 APC의 넓이의 넓이를 ∆APC 라고 하면 ∆PBC 이므로
∆ABC ∆APC ∆PBC 이다.
또한 AC CD 이므로
∆ABC ∆BCD 이다.
따라서 ∆BCD 이고
∆ABD 이다.
QA AB 이므로 ∆AQD ∆ABD 에서
∆AQD 이고
∆AQD ∆APC이므로
그러므로
21)
PB PD PA PC에서
PB PA PC PD 파푸스 정리에 의해
PM CM PB PC
PMCM PA PC PD PC
CM PAPC PD PM
그러므로
