범위 지수 삼각함수의 그래프 : -
1.
1) 이하의 자연수 에 대하여 의 세제곱근 중 실수인 것의 개수를 이라 하고,
의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 이라 하자.
≤ 을 만족시키는 의 개수는?
① ② ③
④ ⑤
2.
2) 생산 가능 인구수는 매년 씩 감소한다고 한다.년 생산 가능 인구수가 ×명이라고 할 때, 년 의 생산 가능 인구수는 ×명이다 다음 표를 이용하여 실. 수 의 값은?
log
① ② ③
④ ⑤
3.
3 )그림과 같이 의 그래프 위의 한 점 를 지나고 축에 평행한 직선이 함수 × 의 그래프와 만나는 점 을 라 하자 점. 의 좌표를 라 할 때, 을 만 족시키는 이상의 자연수 의 모든 값의 합은?4.
4 )어떤 과일을 물속에 넣어 두면 과일의 표면에 묻은 잔류 농약이 일정한 비율로 줄어든다 처음 잔류농약이. mg인 과일을 물속에 넣고, 분이 지난 후에 잔류농약을 측정하였더니 mg이었다. 잔류농약에 대한 안전 기준치가
mg 이하라고 할 때 잔류농약이, mg인 과일을 안전 하게 섭취하기 위해 물속에 담가 놓아야 하는 시간의 최솟값 은?
① 분 ② 분 ③ 분
④ 분 ⑤ 분
5.
5 )log
의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 의 개수가 일 때 모든 자연수, 의 값의 합은?① ② ③
④ ⑤
6.
6 )어느 회사의 정수 필터는 정수 작업을 한 번 할 때마다 불순물 양의 를 제거할 수 있다고 한다 불순물의 양이 처. 음의 이하로 줄어들기 위해서는 최소 몇 번의 정수 작업 을 거쳐야 하는가? ( ,단 log , log 로 계산한다.)① ② ③
④ ⑤
7.
7)타워의 높이를 구하기 위하여 다음 그림과 같이 m 떨 어진 두 지점 , 에서 측량 하였더니 ∠ ,∠ , ∠ 이었다 타워의 높이. 의 길이 는?
① m ② m ③ m
④ m ⑤ m
8.
8) ≤ ≤ 일 때 방정식, sin 의 모든 해의 합 은?① ② ③
④ ⑤
9.
9) 이상의 자연수 에 대하여 의 제곱근 중 에서 음의 실수가 존재하면 이고 음의 실수가 존재하, 지 않으면 이다. ⋯의 값은?① ② ③
④ ⑤
10.
10)log이 자연수가 되도록 하는 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양수 의 개수를 이라 하자. 를 만족시키는 자연수 의 최솟값을 라 할 때, log 의 값은?
가
( ) log는 정수이다.
나
( ) log×log
×
는 자연수이다.① ② ③
④ ⑤
11.
11) 이상인 정수 에 대하여 이 다음과 같다.
이 또는 짝수이 홀수
이상 이하인 두 정수 , 에 대하여 을 만족하는 모든 순서쌍 의 개수는?
① ② ③
④ ⑤
12.
12)세 함수 × , ×, 이 다음 조건을 만족 시키도록 하는 모든 정수 값의 합은? ( ,단 ≠)
가
( ) 임의의 실수 에 대하여 ≥ 이다.
나
( ) 임의의 두 실수 , 에 대하여
이다.① ② ③
④ ⑤
13.
1 3)모든 실수 에 대하여 부등식 log ≥ log이 성립하도록 하는 정수 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때, 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
14.
1 4)[보기] 의 명제 중에서 참인 것만을 있는 대로 고른 것 은?.
ㄱ 시초선 에 대하여 동경 의 위치와 동경
의 위치가 같으면 ∠와 ∠의 크기는 같다.
.
ㄴ 시초선 에 대하여
sin ∠ sin ∠이면 동경 와 동경
가 나타내는 일반각은 같다.
.
ㄷ 시초선 에 대하여 서로 다른 세 점 , , 가 한 직선 위에 있을 때, tan ∠ tan ∠이다.
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ ㄴ, ⑤ ㄱ ㄷ,
15.
1 5)각 가 제사분면의 각이고sin
cos
일 때, cos sin 의 값은?
① ② ③
④
⑤
16.
16)두 함수 , 가 cos ,
(은 자연수 일 때) , 의 그래프와
의 그래프의 교점이 개가 되도록 하는 자연수 의 값의 합은?
① ② ③
④ ⑤
17.
17)실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.가
( ) cos
( ,단 ≤ ≤ ) 나 모든 실수
( ) 에 대하여 이다.
보 기
[ ]
자연수 에 대하여 ≤ ≤ 에서
방정식 의 서로 다른 실근의 개수가 일 때, 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
18.
18)방정식 log
log을 만족시키는 모든 실수 의 값의 합은?① ②
③
④ ⑤
서술형
19.
1 9) ≤ 일 때, 방정식 sin 의 서로 다른 해의 개수는 개이
고 모든 해의 합은, 이다.
의 값을 구하시오.
20.
2 0)두 양수 , 와 두 실수 , 가 다음 조건을 만족시킨다.
일 때, 의 값을 구하시오. ( ,단 , 는
서로소인 자연수이다.) 가
( )
나
( )
다 ( )
21.
2 1)음이 아닌 세 정수 , , 에 대하여
cos
tan
일 때, sin
의 값을 구하시오. ( ,단 ≥ )
빠른정답
1) ② 2) ④ 3) ①
4) ⑤ 5) ④ 6) ②
7) ③ 8) ⑤ 9) ②
10) ④ 11) ③ 12) ① 13) ① 14) ③ 15) ⑤ 16) ④ 17) ① 18) ② 19) 20) 21)
정답 및 풀이
1) ②의 값에 상관없이 이다.
이하의 자연수 에 대하여
≤
≤
이다.
따라서 ≤ 인 의 범위는
≤ ≤ 이므로 자연수 의 개수는 이다.
2) ④
년 생산 가능 인구수는 ×명이므로
년 후의 생산 가능 인구수는
××이다.
즉, 년에서 년 후인 년의 생산 가능 인구수는 ×명이므로
×× ×이다.
∴ × ⋯ ㉠
라 하고, 양변에 상용로그를 취하면
× log이므로
log log에서 이다.
이를 ㉠에 대입하면 × 이다.
3) ①
점 의 좌표가 이므로 점 의 좌표는
이다.이때, 는 축과 평행하므로
점 의 좌표는 점 의 좌표와 같다.
따라서 점 의 좌표는
×
이다. ×
이때 이므로
을 만족하는 이상의 자연수 를 구하면 된다.
따라서 주어진 조건을 만족시키는 자연수 는
, , 이고 그 합은, 이다.
4) ⑤
분 동안 과일의 잔류 농약이 줄어드는 비율을 라 하면 ×이다.
즉
≥
이어야 한다.이때
이므로
위 식의 지수를 비교하면 ≤
이다.
∴ ≥
따라서 잔류농약이 mg인 과일을 안전하게 섭취하기 위해 물속에 담가 놓아야 하는 시간의 최솟값은 분이다.
5) ④
라 하면
이다.
이때 로그의 정의에 의하여, 이고, 자연수 에 대하여 log 의 값이 자연수가 되는 실수 의 개수가 이므로
이차함수 의 그래프는 위 그림과 같이 두 직선 , 와 각각
개의 점에서 만나고,
직선 과는 만나지 않아야 한다.
즉,
∴
따라서 자연수 의 값은 , , , , 이고, 그 합은 이다.
6) ②
처음 불순물의 양을 라 할 때,
정수 작업을 번 하면 불순물 양의 가 제거되므로 남는 불순물의 양은
이다.
즉 정수 작업을 번할 때 남는 불순물의 양은
이다.따라서
≤ 을 만족하는
≤
≤ ∴ ≥ ××
그러므로 불순물의 양이 처음의 이하로 줄어들기 위해서는 최소 번의 정수 작업을 거쳐야한다.
7) ③
∆에서 ∠ , ∠
이므로 ∠ 이다.
다음 그림과 같이 삼각형 의 점 에서 선분 에 수선의 발을 내리고
그 점을 점 라 하면
× sin m이다.
이때 이므로
m이다.
따라서 ∆에서 × tan이므로
×
m이다.
8) ⑤
≤ ≤ 에서 sin
인
의 값은
,
,
,
이므로 모든 해의 합은 이다.
9) ②
이상의 자연수 에 대하여 ( )ⅰ 일 때 즉, , 일 때에는
의 제곱근 중 음수는 존재하지 않으므로
이다.
( )ⅱ 일 때 즉, 일 때
이 홀수여야 제곱근 중에서 음의 실수가 존재한다 따라서. , 이다.
( )ⅲ 일 때 즉, 또는 일 때에는
나 조건에서 ( )
log×log× log× log log
×
log
×
loglog log log
이 값이 자연수이므로
log log
은 이상인 정수이어야 한다.
그런데 이때 log은 자연수이므로 가 조건에서
( )
log는 log 또는
log이거나 log의 양의 약수이어야 한다.
그러므로 이면
log은 양의 약수의 개수가 인 수이다.
따라서 log의 양의 약수의 개수가 일 때,
의 최솟값은 이므로 log 이다.
11) ③
이상 이하인 두 정수 , 을
다음의 네 가지 경우로 나누어 생각해보자.
( )ⅰ , 이 모두 또는 짝수일 때
, , 이다.
각각을 에 대입하면
×이므로 항상 성립한다.
즉, 과 로 가능한 값은 , , , , 이다.
따라서 가능한 순서쌍 의 개수는
× 이다.
( )ⅱ 은 홀수이고, 은 또는 짝수일 때
은 홀수이므로
이고,
, 이다.
각각을 에 대입하면
× 이다.
즉, 이 성립하려면
이어야 하고,
으로 가능한 값은 , , , , 이다.
따라서 가능한 순서쌍 의 개수는
× 이다.
× 이다.
즉, 이 성립하려면
이어야 한다.
그런데 , 모두 홀수인 양의 정수이므로
을 만족하는 , 은 없다.
그러므로 ( )~( )ⅰ ⅳ에 의하여
순서쌍의 개수는 총 이다.
12) ①
조건 가 에 의해( )
× ≥ × 에서 ≤ 이다 이때. ≠이므로
≤ 또는 ≤ 이다. ⋯ ㉠ 조건 나 에 의해( ) 이고,
≤ 이어야 한다.
즉, ≤ 에서 ≤ ≤ 이므로
≤ 이다. ⋯ ㉡
따라서 ㉠ ㉡, 에 의해 ≤ ≤ 이므로 모든 정수 는 , , 으로
그 합은 이다.
13) ①
( )ⅰ log , 즉, 일 때
≥ 이 성립한다.
( )ⅱ log≠일 때,
log log ≥ 에서 모든 실수 에 대하여 성립하려면
log 즉, 이고
방정식 log log 에 대한 판별식이 ≤ 이어야 한다.
log log≤
∴
≤
그러므로 ( ), ( )ⅰ ⅱ에 의해
≤ ≤ 이므로 정수 의
최솟값은 이고 최댓값은, 이다.
∴ 14) ③
.
ㄱ ∠XOP 이고 ∠XOQ 이면
두 동경의 위치는 같지만 각의 크기는 같지 않다. (∴거짓) .
ㄴ ∠XOP , ∠XOQ 이면
sin sin 이지만 동경 와 동경
15) ⑤
각 가 제사분면의 각이므로 sin cos 이다.
즉,
sin cos
cos sin
에서
cos sin sin cos 의 양변을 제곱한 후, sin cos 라 하면 × 이다.
즉, 이다.
∴
(∵ )
∴ cos sin
sin cos
16) ④
함수 의 그래프는 최댓값이 이고, 최솟값이 이며 점 을 지나는 그래프이다.
이므로 자연수 에 대하여
함수 의 그래프는 의 값이 증가할 때,
의 값이 증가한다.
또한, , 이므로
≤ ≤ 에서 두 함수 , 의 그래프의 교점이 존재한다.
따라서 위 그림과 같이 , 일 때에만 교점의 개수가 이다.
그러므로 자연수 의 값의 합은 이다.
17) ①
조건 가( ), ( )나 를 만족시키는
함수 의 그래프는 그림과 같다.
에서 ≠이므로
라 하면
18) ② 방정식 log
log에서로그의 밑과 진수의 조건에 의해
, ≠이다.
log
log의 양변에 밑이 인 로그를취하면 loglog
log
log log
log이므로log
×log log ×log
이므로이 방정식은 log
또는 log log
일 때 해를 갖는다.
( )ⅰ log
일 때
이므로 이다.
이는 , ≠을 만족한다.
( )ⅱ log log
일 때
log 또는 log 이므로
또는
이다.
이는 , ≠을 만족한다.
따라서 ( ), ( )ⅰ ⅱ에 의해 방정식을 만족시키는 모든 실수 의 값의 합은
이다.
19)
sin
또는
sin
이므로
sin
또는 sin
이다.
이때
,
이고 함수, sin 의 주기는
이므로
즉, ≤ ≤
에서 방정식의 해는
,
,
,
로
개고 합은, 이다.
따라서 ≤ 에서 해의 개수는 × 이고, 모든 해의 합은
×
×
이다.
따라서 , 가 되어
이다.
20)
나 조건에서 ( )
로 놓으면
에서
에서
∴
즉,
× 이다.
가 조건에 의하여 ( )
× 이고, 다 조건에서
( )
이므로
∴ ∵ 는 실수 즉, 에서 이므로 이다.그러므로
이다.
∴ ,
따라서 이다.
21)
은 음이 아닌 정수이므로
, , ,
단
( , 은 음이 아닌 정수 일 때에만) cos
와 tan 의 값이 모두 정수이다.
cos
이고, tan
인데,
에서
를 만족하는 ≥ 인 음이 아닌 두 정수 가 존재하지 않는다.
( )ⅲ 인 경우 cos
이고, tan
인데,
에서
을 만족하는 ≥ 인
음이 아닌 두 정수 는 , 이다.
그러므로 ( )~( )ⅰ ⅲ에 의해
, , 이다.
따라서 sin
이다.
