지수함수와 로그함수

연습문제・실력

0 1

y=2≈의 치역은 {y|y>0}

① {y|y<0} ② {y|y>-1}

③ {y|y>1} ④ {y|y>1}

⑤ {y|y>0} 답 ⑤

0 2

y=3^-x+a+b의 그래프의 점근선은 직선 y=b이므로 b=-2

점 (1, 1)을 지나므로 1=3^-1+a-2 3^-1+a=3, -1+a=1 ∴ a=2

∴ a+b=2-2=0 답 ③

0 3

지수함수 y=5^x-1-2의 그래프는 점근선이 직선 y=-2인 증가함수의 그래프이므로 구하는 그래프

의 개형은 ④이다. 답 ④

0 4

y=3¤ ≈ —⁄ +1=3^2{x-;2!;}+1 y=9^x-;2!;+1

이므로 이 그래프는 y=9≈ 의 그래프를 x축의 방향으 로 ;2!;만큼, y축의 방향으로

1만큼 평행이동한 것이다. 답 ④

0 5

⑴ 함수 y=3≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평 행이동하면 y=3≈ —⁄

이를 y축에 대하여 대칭이동하면

O x

y

y=1 y=3^™x-1+1

;3;4 1

연 습 문 제

실 력 U P y={;4!;}^3-x의 그래프는 y=4≈ 의 그래프를 x축의

방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

ㄷ. y=-{;2!;}¤ ≈ =-{;4!;}≈ =-4—≈ 이므로 y=-{;2!;}¤ ≈ 의 그래프는 y=4≈ 의 그래프를 원점에 대하여 대 칭이동한 것이다.

ㄹ. y=2^2x-1=2^2{x-;2!;}=4^x-;2!;이므로 y=2^2x-1의 그 래프는 y=4≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 ;2!;만 큼 평행이동한 것이다.

따라서 평행이동하여 겹칠 수 있는 것은 ㄴ, ㄹ이다.

답 ③

0 8

주어진 그래프에서

x=a일 때 3å =a, x=b일 때 3∫ =b 그런데 ab=27이므로

ab=3å ¥3∫ =3å ±∫ =27=3‹

∴ a+b=3 답 ③

0 9

f(x+2)=a≈ ±¤ , f(x+1)=a≈ ±⁄이므로 a≈ ±¤ =2a≈ ±⁄ +8a≈

a≈ >0이므로 양변을 a≈ 으로 나누면 a¤ =2a+8, a¤ -2a-8=0

(a+2)(a-4)=0 ∴ a=-2 또는 a=4 그런데 a>0이므로 a=4

∴ f(3)=a‹ =4‹ =64 답 ①

10

y=a¤ ≈ —› +3에서 y-3=a^2(x-2)이므로 이 그래프는 y=a¤ ≈의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방 향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 이때 y=a¤ ≈ 의 그래 프는 양수 a의 값에 관계없이 점 (0, 1)을 지나므로

x축, y축의 방향으로

(0, 1) 각각 2, 3만큼 평행이동1111111⁄ (2, 4)

따라서 y-3=a^2(x-2)의 그래프는 양수 a의 값에 관 계없이 점 (2, 4)를 지난다.

∴ a=2, b=4

∴ ab=8 답 ②

11

y=3≈의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y=3—≈이고 이를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방 향으로 b만큼 평행이동하면 y=3^-(x-a)+b의 그래 프가 된다.

이때 점근선이 직선 y=-3이므로 b=-3 또, 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로 0=3å -3, 3å =3 ∴ a=1

∴ a+b=1+(-3)=-2 답 ③

12

⑴ ›'9=9^;4!;=(3¤ )^;4!;=3^;2!;

{;3!;}

-;3!;

=(3—⁄ )^-;3!;=3^;3!;

'2å7=27^;2!;=(3‹ )^;2!;=3^;2#;

이때 밑이 3으로 1보다 크므로 지수가 큰 수가 크다.

즉, ;3!;<;2!;<;2#;이므로 3^;3!;<3^;2!;<3^;2#;

∴{;3!;}

-;3!;

<›'9<'2å7

⑵ ‹'∂100=[{;1¡0;}—¤

]

;3!;={(0.1)—¤ }^;3!;=(0.1)^-;3@;

이때 밑이 1보다 작으므로 지수가 작은 수가 크다.

즉, -;3@;<-;2!;<-;5@;이므로 (0.1)^-;5@;<(0.1)^-;2!;<‹'∂100

답 ⑴ {;3!;}^-;3!;<›'9<'2å7

답 ⑵ (0.1)^-;5@;<(0.1)^-;2!;<‹'∂100

13

함수 f(x)=2≈ 이라 하면

f(x)와 g(x)는 역함수 관계이므로 g(k)=3 HjK f(3)=k

∴ k=f(3)=2‹ =8 답 8

14

⑴ f(a)=4에서 2å +2—å =4이므로 f(3a)=2‹ å +2—‹ å

=(2å +2—å )‹ -3¥2å ¥2—å (2å +2—å )

=4‹ -3¥4=52

⑵ f(a)f(b)=3å ¥3∫ =3å ±∫ =81=3›

∴ a+b=4 yy㉠ { f(a)}∫ =(3å )∫ =3åå ∫ =27=3‹

∴ ab=3 yy㉡

㉠, ㉡에서

a=3, b=1또는 a=1, b=3

∴ f(a)+f(b)=f(3)+f(1)

=3‹ +3⁄ =27+3=30

답 ⑴ 52 ⑵ 30

15

f(x)=2≈ ±⁄ ¥5⁄ —≈ =(2≈ ¥2)¥{5¥ }=10¥{;5@;}≈ 이므로 f(x)는 감소함수이다.

따라서 x=0일 때 f(x)는 최대이고, 최댓값은 f(0)=10 ∴ M=10

x=1일 때 f(x)는 최소이고, 최솟값은 f(1)=4 ∴ m=4

∴ M-m=10-4=6 답 ④

16

y=3—≈ +b={;3!;}≈ +b는 감소함수이다.

따라서 x=3일 때, 최솟값이;9!;이므로

{;3!;}‹ +b=;2¡7;+b=;9!;

∴ b=;2™7;

x=a일 때, 최댓값이;2∞7;이므로

{;3!;}å +;2™7;=;2∞7;

{;3!;}å =;9!;={;3!;}¤

∴ a=2 답 a=2, b=;2™7;

145≈1

17

⑴ f(x)=-x¤ +4x-5라고 하면 y={;2!;}

f(x)에서

0<;2!;<1이므로 지수 f(x)가 최대일 때 y는 최 솟값을 가지고, 지수 f(x)가 최소일 때 y는 최댓 값을 가진다.

f(x)=-x¤ +4x-5

=-(x-2)¤ -1 이므로 1…x…4에서 지수 f(x)의 최댓값은 f(2)=-1, 최솟값은 f(4)=-5이다.

따라서 y={;2!;}

f(x)의 최솟값은{;2!;}—⁄ =2, 최댓값은{;2!;}—fi =32이므로 최댓값과 최솟값의 합은 32+2=34

⑵ y=a^{x¤ -2x-2}에서 0<a<1이므로 지수 x¤ -2x-2 가 최소일 때 y는 최댓값을 가진다.

x¤ -2x-2=(x-1)¤ -3이므로 x=1일 때 지수 의 최솟값은 -3이다.

따라서 y의 최댓값은 a—‹ =8이므로 {;a!;}‹ =8=2‹ ∴ a=;2!;

⑶ f(x)=-2x¤ +4x+a라고 하면 y=3^f(x)에서 3>1이 므로 지수 f(x)가 최대일 때 y는 최댓값을 가지고, 지 수 f(x)가 최소일 때 y는 최솟값을 가진다.

f(x)=-2x¤ +4x+a=-2(x-1)¤ +2+a 이므로 1…x…2에서 지수 f(x)의 최댓값은 f(1)=2+a, 최솟값은 f(2)=a이다.

따라서 y=3^f(x)의 최댓값은 3¤ ±å , 최솟값은 3å 이 므로 3¤ ±å ¥3å =81, 3¤ ±¤ å =3›

2+2a=4 ∴ a=1

답 ⑴ 34 ⑵ ;2!; ⑶ 1

O x

y

y=f(x) 1 2 a 2+a

O x

y

y=f(x) 1

-1 -2

-5

2 4

연 습 문 제

실 력 U P

18

⑴ y=-4≈ +2≈ ±¤ +1=-(2≈ )¤ +2≈ ¥2¤ +1에서 2≈ =t(t>0)로 치환하면

y=-t¤ +4t+1=-(t-2)¤ +5 -1…x…3에서 2—⁄ …2≈ …2‹

∴;2!;…t…8 오른쪽 그림에서 t=2일 때, 최댓값 y=0+5=5 t=8일 때, 최솟값

y=-(8-2)¤ +5

=-31

따라서 최댓값과 최솟 값의 합은

5+(-31)=-26

⑵ y=4≈ -4¥2≈ +k=(2≈ )¤ -4¥2≈ +k 2≈ =t(t>0)로 치환하면

y=t¤ -4t+k=(t-2)¤ +k-4

따라서 t=2일 때 최소이고, 최솟값은 k-4이므로 k-4=2 ∴ k=6

⑶ y=9—≈ -2¥3—≈ +k=(3—≈ )¤ -2¥3—≈ +k y=[{;3!;}≈

]¤ -2¥{;3!;}≈ +k {;3!;}≈ =t(t>0)로 치환하면 y=t¤ -2t+k=(t-1)¤ +k-1 -1…x…1에서;3!;…{;3!;}≈ …{;3!;}—⁄

∴;3!;…t…3 오른쪽 그림에서 t=1일 때 최소이고, 최솟값은

y=(1-1)¤ +k-1

=k-1 이므로

k-1=5 ∴ k=6

y=(t-1)™ +k-1

1 3 5 9

O t

y

1 k-1

k+3

k-3 11

4 1 2

O t

y

8

-31 2

5 y=-(t-2)™ +5

또, t=3일 때 최대이고, 최댓값은 y=(3-1)¤ +5=9

답 ⑴ -26 ⑵ 6 ⑶ k=6, 최댓값：9

19

y=9≈ +9—≈ -2(3≈ +3—≈ )+7

=(3≈ +3—≈ )¤ -2¥3≈ ¥3—≈ -2(3≈ +3—≈ )+7

=(3≈ +3—≈ )¤ -2(3≈ +3—≈ )+5 3≈ +3—≈ =t로 치환하면 y=t¤ -2t+5

=(t-1)¤ +4

3≈ >0, 3—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계 에 의하여

t=3≈ +3—≈ æ2"√3≈ ¥3—≈ =2

(단, 등호는 3≈ =3—≈ , 즉 x=0일 때 성립) 따라서 t=2일 때 최소이고, 최솟값은

y=(2-1)¤ +4=5 답 5

20

⑴ 4≈ >0, 4^;[!;>0이므로 산술평균과 기하평균의 관 계에 의하여

y=4≈ +4^;[!;æ2

"√

4≈ ¥4^;[!;=2

"√

4^x+;[!;

(단, 등호는 4≈ =4^;[!;,즉 x=1일 때 성립) 여기서 x>0이므로

x+;[!;æ2æ–x¥;[!; =2

∴ yæ2"≈4¤ =2¥4=8

따라서 주어진 함수의 최솟값은 8이다.

⑵ y=3≈ ±˚ +{;3!;}≈ —˚ =3≈ ±˚ +3—≈ ±˚ 이고

3≈ ±˚ >0, 3—≈ ±˚ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

3≈ ±˚ +3—≈ ±˚ æ2"ç3≈ ±˚ ¥3—≈ ±˚ =2"√3¤ ˚ =2¥3˚

(단, 등호는 3^x+k=3^-x+k, 즉 x=0일 때 성립) 그런데 주어진 함수의 최솟값이 18이므로 2¥3˚ =18 ∴ k=2

⑶{;2!;}

4x+2

={;2!;}^4x¥{;2!;}¤ = ¥;4!;

=

16≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의 하여

y=16≈ +{;2!;}^4x+2

y=16≈ + æ2æ≠16≈ ¥ y=1

이때 등호는 16≈ = 일 때 성립하므로 16¤ ≈ =;4!;, 2° ≈ =2—¤

8x=-2 ∴ x=-;4!;

따라서 x=-;4!;일 때 최솟값 1을 가지므로 p=-;4!;, q=1

∴ p+q=;4#; ^답 ⑴ 8 ⑵ 2 ⑶ ;4#;

21

⑴ = = =2^-;2%;

2¤ ≈ = =2^-;2%;에서 2x=-;2%; ∴ x=-;4%;

⑵{;3@;}

x‹ +6

={;2#;}^{-2x¤ -5x}={;3@;}^{2x¤ +5x}에서 x‹ +6=2x¤ +5x

x‹ -2x¤ -5x+6=0 (x+2)(x-1)(x-3)=0

∴ x=-2 또는 x=1 또는 x=3

⑶ =32에서

2x¤ -2x-(x-1)=2fi

x¤ -3x+1=5, x¤ -3x-4=0 (x+1)(x-4)=0

2^{x¤ -2x} 11252^x-1

111 4'2

131 2^;2%;

1121 2¤ ¥2^;2!;

111 4'2

11254¥16≈1 11254¥16≈1 11254¥16≈1

11254¥16≈1

12516≈1

∴ x=-1 또는 x=4

⑷ 밑이 같으므로 지수가 같거나 밑이 1이어야 한다.

⁄ x¤ =2x+3에서 x¤ -2x-3=0 (x-3)(x+1)=0

∴ x=3 (∵ x>0)

¤ 1=1이므로 성립한다.

⁄, ¤에서 x=1 또는 x=3

⑸ 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0이어야 한다.

⁄ x¤ +2x+2=x+4, x¤ +x-2=0 (x+2)(x-1)=0

∴ x=-2 또는 x=1

¤ x-2=0에서 x=2

⁄, ¤에서 x=-2 또는 x=1 또는 x=2 답 ⑴ x=-;4%; ⑵ x=-2^또는x=1또는x=3 답 ⑶ x=-1또는x=4

답 ⑷ x=1또는x=3

답 ⑸ x=-2또는x=1또는x=2

22

f(2x)=3¤ ≈ =(3≈ )¤

2 f(x+1)=2¥3≈ ±⁄ =2¥3≈ ¥3=6¥3≈

이므로 f(2x)=2f(x+1)+27에서 (3≈ )¤ -6¥3≈ -27=0

3≈ =t(t>0)로 치환하면

t¤ -6t-27=0, (t-9)(t+3)=0

∴ t=9 (∵ t>0)

즉, 3≈ =9=3¤ 이므로 x=2 답 2

23

-3¥ +32=0에서

2—¤ ≈ -3¥2—≈ ±¤ +32=0 (2—≈ )¤ -3¥2—≈ ¥2¤ +32=0 (2—≈ )¤ -12¥2—≈ +32=0 2—≈ =t(t>0)로 치환하면

t¤ -12t+32=0, (t-4)(t-8)=0

∴ t=4 또는 t=8 1322≈ —¤1 134≈1

연 습 문 제

실 력 U P

⁄t=4일 때, 2—≈ =4=2¤

⁄∴ x=-2

¤t=8일 때, 2—≈ =8=2‹

⁄∴ x=-3

따라서 모든 근의 합은 -2+(-3)=-5

답 ②

24

x=a가 근이므로 2^a+2=500에서 4¥2^a=500, 2^a=125

그런데 2fl =64, 2‡ =128이므로 64<125<128에서

2fl <2^a<2‡

(밑)>1이므로 6<a<7 답 ②

25

a¤ ≈ -a≈ =2에서 (a≈ )¤ -a≈ =2 이때 a≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ -t-2=0, (t+1)(t-2)=0

∴ t=2 (∵ t>0)

즉, a≈ =2이고 이때의 x의 값이;7!;이므로 a^;7!;=2, (a^;7!;)‡ =2‡

∴ a=2‡ =128 답 128

26

5¤ ≈ -11¥5^x+18=0에서 5≈ =t(t>0)로 치환하면

t¤ -11t+18=0, (t-2)(t-9)=0

∴ t=2 또는 t=9

이때 주어진 방정식의 두 근이 a, b(a<b)이므로 5≈ =t에서

5^a=2, 5^b=9

∴ 5^-a+5^-b= +

∴ 5^-a+5^-b=;2!;+;9!;=;1!8!; ^{답 ③} 1551^b

1551^a

27

2^2x-1-2^x-2+2^-x-1=1에서

;2!;¥(2≈ )¤ -;4!;¥2≈ +;2!;¥ =1 2≈ =t(t>0)로 치환하면

;2!;t¤ -;4!;t+ =1

양변에 4t를 곱하여 정리하면 2t‹ -t¤ -4t+2=0

(2t-1)(t+'2 )(t-'2 )=0 이때 t>0이므로

t=;2!; 또는 t='2 즉, 2≈ =;2!; 또는 2≈ ='2

∴ x=-1 또는 x=;2!;

따라서 모든 근의 곱은

-1_;2!;=-;2!; ^{답 ③}

28

⑴ 3≈ =t(t>0)로 치환하면 주어진 방정식은 4t¤ -t-k=0 yy㉠

이때 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근은 3^a, 3^b이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 3^a¥3^b=-;4K;, 3^a+b=-;4K;

a+b=-4이므로 3—› =-;4K;

∴ k=-;8¢1;

⑵ 3≈ ±⁄ +3—≈ ±⁄ =10에서 양변에 3≈ 을 곱하면 3¤ ≈ ±⁄ +3=10¥3≈

3¥3¤ ≈ -10¥3≈ +3=0 이때 3≈ =t(t>0)로 놓으면

3t¤ -10t+3=0, (3t-1)(t-3)=0

∴ t=;3!; 또는 t=3

즉, 3≈ =;3!; 또는 3≈ =3이므로 122t1

152≈1

x=-1또는 x=1

∴ ab=-1

⑶ 9≈ -7¥3≈ +9=0에서 (3≈ )¤ -7¥3≈ +9=0 3≈ =t(t>0)로 치환하면

t¤ -7t+9=0 yy㉠

이때 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근은 3^a, 3^b이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 3^a+3^b=7, 3^a¥3^b=9

∴ 3^2a+3^2b=(3^a+3^b)¤ -2¥3^a¥3^b

=7¤ -2¥9

=31

답 ⑴ -;8¢1; ⑵ -1 ⑶ 31

29

3≈ =X, 3^y=Y(X>0, Y>0)로 치환하면 주어진 방정식은

㉠에서 Y=18-3X 이 식을 ㉡에 대입하면

=9, 18X-3X¤ =27 X¤ -6X+9=0, (X-3)¤ =0

∴ X=3, Y=9

따라서 3≈ =3에서 x=1, 3¥ =9=3¤ 에서 y=2

∴ a=1, b=2

∴ a¤ +b¤ =1¤ +2¤ =5 답 ②

30

x+y=3에서 3≈ ±¥ =3≈ ¥3¥ =27

3≈ =X, 3¥ =Y(X>0, Y>0)로 치환하면

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

X=3, Y=9또는 X=9, Y=3 [

XY=27 yy㉠

X+Y=12 yy㉡

X(18-3X) 11211123

3X+Y=18 yy`㉠

11=9XY yy`㉡

3 ({ 9

⁄X=3, Y=9일 때,

⁄3≈ =3, 3¥ =9에서 x=1, y=2

¤X=9, Y=3일 때,

⁄3≈ =9, 3¥ =3에서 x=2, y=1

⁄, ¤에서 a=1, b=2 또는 a=2, b=1

∴ ab=2 답 2

31

3-2'2= = 이므로

주어진 방정식은

(3+2'2)≈ +{ }≈ -6=0 (3+2'2)≈ =t(t>0)로 치환하면

t+;t!;-6=0, t¤ -6t+1=0 ∴ t=3—2'2 (3+2'2)≈ =3+2'2일 때, x=1

(3+2'2)≈ =3-2'2일 때, x=-1

따라서 두 근의 곱은 -1이다. 답 ②

32

9≈ =2¥3≈ ±⁄ -2k에서

(3≈ )¤ -6¥3≈ +2k=0 yy㉠ 3≈ =t(t>0)로 치환하면

t¤ -6t+2k=0 yy`㉡

이때 방정식 ㉠이 서로 다른 두 실근을 가지려면 방 정식 ㉡은 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.

방정식 ㉡의 판별식을 D라 하면

⁄ =9-2k>0 ∴ k<;2(;

¤ (두 근의 합)=6>0

‹ (두 근의 곱)=2k>0 ∴ k>0

⁄, ¤, ‹에서 0<k<;2(; ^답 0<k<;2(;

33

미생물을 배양하기 전의 수는 f(0)=10¥2‚ =10

미생물을 배양한 지 10시간이 지난 후의 수가 처음 13D4

11121 3+2'2

11121 3+2'2 (3-2'2)(3+2'2)

111111112 3+2'2

연 습 문 제

실 력 U P 의 16배가 되므로

10¥2⁄ ‚ å =10¥16에서 2⁄ ‚ å =16=2› , 10a=4

∴ a=;5@;

미생물의 수가 처음의 64배가 되는 시간을 t시간이 라 하면

10¥2^;5@;t=10¥64에서 2^;5@;t=64=2fl

;5@;t=6 ∴ t=15

따라서 15시간 후에 미생물의 수가 처음의 64배가

된다. 답 15

34

4^x¤<{ }° ≈ 에서

(2¤ )^x¤<(2^-;2!;)° ≈ , 2^2x¤<2—› ≈ (밑)>1이므로

2x¤ <-4x, 2x¤ +4x<0 x¤ +2x<0, x(x+2)<0

∴ -2<x<0

∴ S={x|-2<x<0} 답 ④

35

2≈ ±‹ -1æ4≈ ±⁄ +2≈ ±¤에서 2≈ ¥2‹ -1æ(2≈ )¤ ¥4+2≈ ¥2¤

2≈ =t(t>0)로 치환하면 8t-1æ4t¤ +4t, 4t¤ -4t+1…0 (2t-1)¤ …0 ∴ t=;2!;

즉, 2≈ =;2!;이므로 2≈ =2—⁄ ∴ x=-1

∴ a¤ =(-1)¤ =1 답 1

36

⑴ {;3!;}¤ ≈ +{;3!;}≈ ±¤ >{;3!;}≈ —¤ +1에서

[{;3!;}≈

]¤ +;9!;¥{;3!;}≈ >9¥{;3!;}≈ +1 121

'2

여기서{;3!;}≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ +;9!;t>9t+1

9t¤ -80t-9>0, (t-9)(9t+1)>0

∴ t>9 (∵ t>0)

즉, {;3!;}≈ >9이므로 3—≈ >3¤ , -x>2

∴ x<-2

⑵ ⁄ 0<x<1일 때

⁄ 2x+5<3x-2 ∴ x>7

⁄ 그런데 0<x<1이므로 해는 없다.

¤ x=1일 때

⁄ 1>1이므로 부등식이 성립하지 않는다.

‹ x>1일 때

⁄ 2x+5>3x-2 ∴ x<7

⁄ 그런데 x>1이므로 1<x<7

⁄, ¤, ‹에서 1<x<7

⑶ 4—≈ -5¥{;2!;}≈ —⁄ +16<0에서

[{;2!;}≈

]¤ -10¥{;2!;}≈ +16<0 {;2!;}≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ -10t+16<0, (t-2)(t-8)<0

∴ 2<t<8

즉, {;2!;}—⁄ <{;2!;}≈ <{;2!;}—‹

∴ -3<x<-1

⑷ ⁄ 9≈ +3≈ >12에서 (3≈ )¤ +3≈ -12>0 3≈ =t(t>0)로 치환하면

t¤ +t-12>0, (t+4)(t-3)>0

∴ t<-4 또는 t>3 그런데 t>0이므로 t>3 즉, 3≈ >3⁄ 이므로 x>1

¤ 2¥4≈ -33¥2≈ —¤ +1…0에서 2¥(2≈ )¤ -:£4£:¥2≈ +1…0 2≈ =t(t>0)로 치환하면 2t¤ -:£4£:t+1…0 8t¤ -33t+4…0

(8t-1)(t-4)…0

∴;8!;…t…4

즉, 2—‹ …2≈ …2¤ 이므로 -3…x…2

⁄, ¤에서 구하는 공통 범위는 1<x…2 답 ⑴ x<-2 ⑵ 1<x<7 답 ⑶ -3<x<-1 ⑷ 1<x…2

37

a¥36≈ -b¥6≈ +6…0에서 a¥(6≈ )¤ -b¥6≈ +6…0 6≈ =t(t>0)로 치환하면

at¤ -bt+6…0 yy`㉠

이때 -1…x…1에서;6!;…t…6이므로

a{t-;6!;}(t-6)…0, at¤ -:£6¶:at+a…0 yy`㉡

㉠, ㉡에서 -b=-:£6¶:a, 6=a

∴ a=6, b=37

∴ a+b=43 답 43

38

4…3¤ ≈ +1…3≈ —¤ +3≈ ±¤에서 4…(3≈ )¤ +1…3≈ ¥3—¤ +3≈ ¥3¤

3≈ =t(t>0)로 치환하면 4…t¤ +1…;9!;t+9t

⁄4…t¤ +1에서 t¤ æ3

⁄ 그런데 t>0이므로 tæ'3

¤t¤ +1…;9!;t+9t에서

⁄ 9t¤ -82t+9…0, (9t-1)(t-9)…0

⁄ ∴;9!;…t…9

⁄, ¤에서'3…t…9

즉, 3^;2!;…3≈ …3¤ 이고 (밑)>1이므로

;2!;…x…2

따라서 부등식을 만족시키는 정수 x의 값은 1, 2의

2개이다. 답 ②

39

⁄ 3¤ ≈ ±¤ -82¥3≈ +9=0에서 9¥3¤ ≈ -82¥3≈ +9=0 3≈ =t(t>0)로 치환하면

9t¤ -82t+9=0, (9t-1)(t-9)=0

∴ t=;9!; 또는 t=9 즉, 3≈ =;9!; 또는 3≈ =9

∴ x=-2 또는 x=2

¤ {;4!;}≈ +2¥{;2!;}≈ >8에서 [{;2!;}≈

]¤ +2¥{;2!;}≈ -8>0 {;2!;}≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ +2t-8>0, (t+4)(t-2)>0

∴ t<-4 또는 t>2 그런데 t>0이므로 t>2 즉, {;2!;}≈ >2에서{;2!;}≈ >{;2!;}—⁄

0<(밑)<1이므로 x<-1

따라서 구하는 집합은 ⁄, ¤의 교집합이므로

A;B={x|x=-2} 답 {x|x=-2}

40

t=1일 때 A=2000, v=1000이므로 a=;2!; ∴ v=A{;2!;}†

v가;8!;A 이하가 되려면 {;2!;}† 이;8!; 이하이면 된다.

{;2!;}† …{;2!;}‹ 이므로 tæ3

따라서 자동차의 값어치가;8!;A만 원 이하로 떨어지

는 것은 3년 후부터이다. 답 3

41

⑴ x¤ -(2å ±⁄ -4)x+2å >0에서 x¤ -2(2å -2)x+2å >0

연 습 문 제

실 력 U P 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하려면

=(2å -2)¤ -2å <0

2¤ å -5¥2å +4<0, (2å -1)(2å -4)<0

∴ 1<2å <4, 즉 2‚ <2å <2¤

(밑)>1이므로 0<a<2

⑵ 4≈ -2≈ ±‹ +k+1>0에서 (2≈ )¤ -2≈ ¥2‹ +k+1>0 여기서 2≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ -8t+k+1>0

∴ (t-4)¤ -15+k>0 yy`㉠

주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려 면 t>0에서 부등식 ㉠이 항상 성립해야 하므로 -15+k>0 ∴ k>15

따라서 자연수 k의 최솟값은 16이다.

답 ⑴ 0<a<2 ⑵ 16

42

f(x)= 의 분자, 분모에 각각 2≈ 을 곱하면 f(x)=

이때 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g{-;3!;}=k라 하면

f(k)=-;3!;

=-;3!;, 3(2^2k-1)=-2^2k-1 4¥2^2k=2, 2^2k=;2!;=2—⁄

2k=-1 ∴ k=-;2!; ^답 -;2!;

43

3≈ >0, 3—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계 에 의하여

3≈ +3—≈ æ2"√3≈ ¥3—≈ =2

(단, 등호는 3≈ =3—≈ , 즉 x=0일 때 성립) 따라서 3≈ +3—≈ 의 최솟값은 2이다.

2^2k-1 1112^2k+1

2¤ ≈ -1 1112¤ ≈ +1

2≈ -2—≈

11212≈ +2—≈

332D4

그런데 함수 f(x)= 은 3≈ +3—≈ 이 최소일 때, f(x)의 값이 최대가 되므로 f(x)의 최댓값은

;2^;=3이다. ^답 3

44

오른쪽 그림에서 두 곡선 y=2≈ , y=2≈ —¤과 두 직선 y=1, y=3으로 둘러싸인 부분의 넓이는 A+C이다.

그런데 y=2≈ —¤ 의 그래프는 y=2≈의 그래프를 x축의

방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 B와 C의 넓이 는 같다. 즉, A+C=A+B

따라서 구하는 넓이는 2_2=4 답 4

45

2≈ +2—≈ =t(t>0)로 치환하면 2≈ >0, 2—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ ¥2—≈ =2

(단, 등호는 2≈ =2—≈ , 즉 x=0일 때 성립)

∴ tæ2 yy㉠

또, 4≈ +4—≈ =(2≈ +2—≈ )¤ -2=t¤ -2 주어진 식에서

y=t¤ -2-2kt y=(t-k)¤ -k¤ -2 k<2이므로 ㉠의 범위에서 t=2일 때 최소이고, 최솟값 은 -2이므로

-4k+2=-2

∴ k=1 답 1

46

3¤ ≈ +a¥3≈ ±⁄ +15-3a=0에서 3≈ =t(t>0)로 치환 하면

t¤ +3at+15-3a=0 yy㉠

3^a：3^b=1：3이므로

k 2 -2 -k™

-2

O t

y y=t™

-2-2kt O

B A C 1

2 3

x y y=2≈

y=2≈–

¤

y=3 y=1

11123≈ +3—≈6

3^b=3¥3^a=3^a+1 ∴ b=a+1 yy㉡

㉠의 방정식의 두 근이 3^a, 3^b이므로 근과 계수의 관 계에 의하여

3^a+3^b=-3a, 3^a¥3^b=15-3a

㉡을 위의 식에 대입하면

3^a+3^a+1=4¥3^a=-3a, 3^2a=5-a yy㉢ 따라서 3¤^a=5-a=;1ª6;a¤ 이므로

9a¤ +16a-80=0, (a+4)(9a-20)=0

∴ a=-4 또는 a=:™9º:

그런데 a<0 (∵ ㉢)이므로

a=-4 답 -4

47

2≈ +2—≈ =t(t>0)로 치환하면 2≈ >0, 2—≈ >0이므로

t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ ¥2—≈ =2

(단, 등호는 2≈ =2—≈ , 즉 x=0일 때 성립)

∴ tæ2

4≈ +4—≈ =(2≈ +2—≈ )¤ -2=t¤ -2이므로 주어진 방정 식은

2(t¤ -2)-t-6=0, 2t¤ -t-10=0 (2t-5)(t+2)=0

∴ t=;2%; 또는 t=-2 그런데 tæ2이므로 t=;2%;, 즉 2≈ +2—≈ =;2%;

양변에 2¥2≈ 을 곱하여 정리하면 2¥(2≈ )¤ -5¥2≈ +2=0

2≈ =X(X>0)로 치환하면 2X¤ -5X+2=0

(2X-1)(X-2)=0

∴ X=;2!; 또는 X=2

X=;2!;에서 2≈ =;2!;=2—⁄ ∴ x=-1 X=2에서 2≈ =2 ∴ x=1

∴ ab=(-1)_1=-1 답 -1

48

f(27)=log£ 27+k log™¶ 81 f(27)=3+;3$;k

f(9)=log£ 9+k logª 81=2+2k 따라서 f(27)=f(9)에서 3+;3$;k=2+2k

∴ k=;2#; ^답 ;2#;

49

점근선의 방정식이 x=-2이므로 a=-2

∴ y=log™ (x+2)+b

이 그래프가 원점 (0, 0)을 지나므로 x=0, y=0을 대입하면

0=log™ 2+b ∴ b=-1

∴ ab=(-2)_(-1)=2 답 2

50

②, ④ y=log£ x의 그래프를 x축의 방향으로 5만 큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프이 므로 치역은 실수 전체의 집합이다.

③ y=log£ (x-5)+2에서 y-2=log£ (x-5) 3¥ —¤ =x-5 ∴ x=3¥ —¤ +5

x와 y를 서로 바꾸면 주어진 함수의 역함수는 y=3≈ —¤ +5

⑤ (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증

가한다. 답 ③

51

y=log™

y=log™(x-10)-log™ 64 y=log™(x-10)-6

이 함수의 그래프는 y=log™ x의 그래프를 x축의 방 향으로 10만큼, y축의 방향으로 -6만큼 평행이동한 것이므로

1122x-1064

연 습 문 제

실 력 U P a=10, b=-6

∴ a-b=10-(-6)=16

답 16

52

y=3≈을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 x=3¥ ∴ y=log£ x

이를 평행이동하면 y=log£(x-a)+b의 꼴이 되어 야 한다.

① y=log£ 9x=log£ 9+log£ x=log£ x+2

② y=logª x=log_3¤ x=;2!; log£ x

③ y=log£ x¤ =2 log£ |x|

④ y=log£ ;[!;=-log£ x

⑤ y=logª ;[#;=logª 3-logª x

⑤ y=-;2!;log£ x+;2!;

따라서 y=log£(x-a)+b의 꼴인 것은 ①이다.

답 ①

53

ㄱ. y=log

;2!;4x=log_;2!;4+log_;2!;x=-2-log™ x 이므로 y=log_;2!;4x의 그래프는 y=log™ x의 그 래프를 x축에 대하여 대칭이동하고 y축의 방향 으로 -2만큼 평행이동하여 포갤 수 있다.

ㄴ. y=log™ 'x=log™ x^;2!;=;2!; log™ x이므로 y=log™ 'x의 그래프는 y=log™ x의 그래프를 y 축의 방향으로;2!;배한 것이므로 y=log™ x의 그래 프를 평행이동 또는 대칭이동하여 포갤 수 없다.

ㄷ. y=2≈ 은 y=log™ x의 역함수이므로 y=2≈ —⁄ 의 그래프는 y=log™ x의 그래프를 직선 y=x에 대 하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 1만큼 평행 이동하여 포갤 수 있다.

ㄹ. y=log™ ;[!;=log™ x—⁄ =-log™ x이므로 y=log™ x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하 여 포갤 수 있다.

따라서 함수 y=log™ x의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 포갤 수 있는 그래프는 ㄱ, ㄷ, ㄹ이

다. 답 ㄱ, ㄷ, ㄹ

54

A=2 log0.13'3=log0.127

B=log ;2¡5;=-log 25=log;1¡0;25=log0.125 C=log0.13-1=log0.13-log0.10.1=log0.1

C=log0.130

이때 0<(밑)<1이고 25<27<30이므로 log0.130<log0.127<log0.125

∴ C<A<B 답 ⑤

55

ABCD는 한 변의 길이가 4인 정사각형이므로 CD”=4이고, 점 C의 x좌표를 k라 하면

log™ k=4 ∴ k=2› =16

BC”=4이므로 점 B의 x좌표는 16-4=12

∴ BE”=log™ 12=log™ (2¤ _3)

=2+log™ 3 답 ③

56

A= + =log™ a+log™ b=log™ ab B=2 { -1}=2{log™(a+b)-log™ 2}

B=2 log™ =log™ { }¤ 밑이 1보다 크므로 진수가 큰 쪽이 크다.

이때 진수끼리 비교하면

{ }¤ -ab= -ab=

{ }¤ -ab=;4!;(a-b)¤ æ0

∴{ }¤ æab

∴ BæA 답 ①

112a+b2

(a+b)¤ -4ab 11111134 (a+b)¤

11114 112a+b2

112a+b2 112a+b2

11212logå≠∫ 21 1122log∫ 21 1122logå 21

120.13

57

오른쪽 그림에서 AB”=2이므로 log™ k-log¢ k=2 log™ k-;2!;log™ k=2

;2!;log™ k=2 log™ k=4

∴ k=2› =16 답 16

58

로그함수 y=logå x+k의 그래프와 그 역함수의 그 래프의 교점은 직선 y=x와 y=logå x+k의 그래프 의 교점과 같으므로 두 교점의 좌표는 (1, 1), (3, 3) 이다.

1=logå 1+k에서 k=1 3=logå 3+1에서 2=logå 3 a¤ =3 ∴ a='3 (∵ a>0)

∴ a+k=1+'3 ^답 1+'3

59

⑴ ( fΩg)(x)=2x에 x=;2!;을 대입하면 ( fΩg){;2!;}=1, f{g{;2!;}}=1 이때 g{;2!;}=k라고 하면 f(k)=1

즉, log™(k+1)-2=1

log™(k+1)=3, k+1=2‹ ∴ k=7

∴ g{;2!;}=7

⑵ y= 로 놓으면

(2≈ +1)y=2≈ -1, (y-1)2≈ =-y-1 2≈ = ∴ x=log™

x와 y를 서로 바꾸면

1112-y-1y-1 1112-y-1y-1

2≈ -1 11232≈ +1

1

y=log™ x

y=log¢ x

O x

y

A

B

x=k log™ k

log¢ k

y=log™

∴ f —⁄ (x)=log™

∴ f —⁄ {-;3!;}=log™ ;2!;=-1

답 ⑴ 7 ⑵ -1 다른풀이집⑵ f —⁄{-;3!;}=k라고 하면

f(k)=-;3!;, =-;3!;

3¥2˚ -3=-2˚ -1, 4¥2˚ =2 2˚ =;2!;=2—⁄ ∴ k=-1

∴ f —⁄{-;3!;}=-1

60

log™ 2=1에서 D(0, 1), log™ 16=4에서 F(0, 4) 점 E는 선분 DF를 1 : 2로 내분하는 점이므로 점 E 의 좌표는

E {0, }, 즉 E(0, 2)

점 B(a, 0)이라고 하면 log™ a=2에서 a=4

따라서 점 B의 x좌표는 4이다. 답 4

61

y=log™(x+1)+2의 그래프는 y=log™(x+1)의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.

따라서 오른쪽 그림에서 S¡=S£이므로 S™+S£=S™+S¡

S™+S£=3_2=6

답 6

62

주어진 그래프에서 점 A의 y좌표가 1이므로 1=log™ x ∴ x=2 ∴ A(2, 1) 점 B의 x좌표는 점 A의 x좌표와 같으므로

y=log™ (x+1)+2

y=log™ (x+1) 2

-1 O x

y S™

S£

S¡

x=3

1¥4+2¥1 111123

2˚ -1 1122˚ +1

1112-x-1x-1 1112-x-1x-1

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