확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 y'=10x(3x+1)(2x‹ +x¤ -2)›
⑵ y'={(x¤ +1)‹ }'(x‹ +x-1)¤
+(x¤ +1)‹ {(x‹ +x-1)¤ }' y'=3(x¤ +1)¤ (x¤ +1)'(x‹ +x-1)¤
+(x¤ +1)‹ ¥2(x‹ +x-1)(x‹ +x-1)' y'=3(x¤ +1)¤ ¥2x(x‹ +x-1)¤
+(x¤ +1)‹ ¥2(x‹ +x-1)(3x¤ +1) y'=2(x¤ +1)¤ (x‹ +x-1)(6x› +7x¤ -3x+1)
⑶ y'=3{ }¤
{ }' y'=3 { }¤
¥
y'=3 { }¤ ¥ y'=
⑷ y'=
y'=
y'=
y'=-답 풀이 참조
252
f '(x)=5 { }›
{ }' f '(x)=5 { }› ¥
f '(x)=5 { }› ¥
∴ f '(1)=5¥2=10 답 10
253
⑴ y'=3{(sin x)'tan x+sin x(tan x)'}
y'=3(cos x tan x+sin x sec¤ x) y'=3 sin x(1+sec¤ x)
2 (2x-1)¤
4x-3 2x-1
4(2x-1)-(4x-3)¥2 (2x-1)¤
4x-3 2x-1
4x-3 2x-1 4x-3
2x-1 2(6x-7) 1
11(3x+2)‹1111111
2(3x+2){2(3x+2)-3(4x-1)}
111111111111113(3x+2)›
4(3x+2)¤ -2(4x-1)(3x+2)¥3 111111111111112(3x+2)›
(4x-1)'(3x+2)¤ -(4x-1){(3x+2)¤ }' 11111111111111112{(3x+2)¤ }¤
-6(2x+3)¤ (x¤ +3x-1) 1
1111111111(x¤ +1)›1111111111111
2(x¤ +1)-(2x+3)¥2x 11111111112(x¤ +1)¤
1112x+3x¤ +1
(2x+3)'(x¤ +1)-(2x+3)(x¤ +1)' 1111111111111111(x¤ +1)¤
1112x+3x¤ +1
1112x+3x¤ +1 1112x+3x¤ +1
⑵ y'=sec x tan x-3(-csc¤ x)
=sec x tan x+3 csc¤ x
⑶ y'=5e≈ tan x+5e≈ sec¤ x
=5e≈ (tan x+sec¤ x)
⑷ y'=sec x tan x-'5(-csc x cot x)
=sec x tan x+'5 csc x cot x
⑸ y'=sec x tan x tan x+sec x sec¤ x
=sec x tan¤ x+sec‹ x
=sec x(tan¤ x+sec¤ x)
⑹ y'=3 sec¤ x+(-csc¤ x)
=3 sec¤ x-csc¤ x
⑺ y'=
y'=
y'=- 답 풀이 참조
254
f '(x)=
f '(x)=
f '(x)=sec x-csc¤ x(1+sec x)
∴ f '{;3“;}=sec ;3“;-csc¤ ;3“;¥{1+sec ;3“;}
=2-;3$;¥(1+2)
=-2 답 -2
255
⑴ y'=3(1-tan x)¤ (1-tan x)'
=3(1-tan x)¤ (-sec¤ x)
=-3 sec¤ x(1-tan x)¤
⑵ y'=3 sec(2x¤ -1)tan(2x¤ -1)¥(2x¤ -1)'
=3 sec(2x¤ -1)tan(2x¤ -1)¥4x
=12x sec(2x¤ -1)tan(2x¤ -1)
⑶ y'=-sin 7x(7x)'
=-7 sin 7x
⑷ y'=cos(2x-6)(2x-6)'
sec x tan x tan x-(1+sec x)sec¤ x tan¤ x
(1+sec x)'tan x-(1+sec x)(tan x)' tan¤ x
2 sec¤ x (1+tan x)¤
(-sec¤ x)(1+tan x)-(1-tan x)¥sec¤ x (1+tan x)¤
(1-tan x)'(1+tan x)-(1-tan x)(1+tan x)' (1+tan x)¤
=2 cos(2x-6)
⑸ y'=-sin { ;6“;-2x}{;6“;-2x}' y'=2 sin {;6“;-2x}
⑹ y'=(cos‹ x)'sin 2x+cos‹ x(sin 2x)' y'=3 cos¤ x(-sin x)sin 2x+cos‹ x¥2 cos 2x y'=-3 cos¤ x sin x sin 2x+2 cos‹ x cos 2x y'=cos¤ x(2 cos x cos 2x-3 sin x sin 2x)
⑺ y'=-3 cos¤ (2x+1) sin(2x+1)¥2 y'=-6 cos¤ (2x+1) sin(2x+1)
⑻ y'=3 sec¤ (2x+5){sec (2x+5)}'
y'=3 sec¤ (2x+5)¥2 sec (2x+5) tan (2x+5) y'=6 sec‹ (2x+5) tan (2x+5)
답 풀이 참조
256
f(x)= 에서
f '(x)=
f '(x)=
f '(x)=
f '(x)=
f '(x)=-sin x
∴ f '{;2“;}=-sin ;2“;=-1 답 -1
257
⑴ y'=ex¤ +x+1(x¤ +x+1)'
=ex¤ +x+1(2x+1)
=(2x+1)ex¤ +x+1
⑵ y'=(e≈ )' ln x+e≈ (ln x)'=e≈ ln x+e≈ ¥;[!;
y'=e≈ {ln x+;[!;}
⑶ y'=e-x‹(-x‹ )'=-3x¤ e-x‹
⑷ y'=2(e≈ +e—≈ )(e≈ +e—≈ )' -sin x(cos x-1)¤
(1-cos x)¤
sin x(-cos¤ x+2 cos x-1) (1-cos x)¤
sin x(2 cos x-2 cos¤ x-sin¤ x) (1-cos x)¤
2 sin x cos x(1-cos x)-sin¤ x sin x (1-cos x)¤
sin¤ x 1-cos x
y'=2(e≈ +e—≈ )(e≈ -e—≈ ) y'=2(e¤ ≈ -e—¤ ≈ )
⑸ y'=
y'=
y'=
⑹ y'=3⁄ —¤ ≈ ln 3(1-2x)' y'=-2¥3⁄ —¤ ≈ ln 3
⑺ y'=3e‹ ≈ sin x+e‹ ≈ cos x y'=e‹ ≈ (3 sin x+cos x)
⑻ y'=3cos xln 3(cos x)' y'=3cos xln 3(-sin x) y'=-3cos xsin x ln 3
답 풀이 참조
258
⑴ y'= = =-tan x
⑵ y'= =
⑶ y'=(x)' ln|x|+x(ln|x|)'-1 y'=ln|x|+x¥;[!;-1
y'=ln|x|+1-1=ln|x|
⑷ y'= =
⑸ y'= =
⑹ y'= =
y'= =
y'=
답 풀이 참조
259
⑴ 양변에 자연로그를 취하면 ln y=x ln x
2 cot x ln 2
2 cos x sin x ln 2 2 sin x cos x
sin¤ x ln 2
2 sin x(sin x)' sin¤ x ln 2 (sin¤ x)'
sin¤ x ln 2
2x+5 x¤ +5x+1 (x¤ +5x+1)'
x¤ +5x+1 e≈
e≈ -1 (e≈ -1)'
e≈ -1
3 (3x+2)ln 5 (3x+2)'
(3x+2)ln 5 -sin x
cos x (cos x)'
cos x 1 4
11(e≈ +e—≈ )¤1111111
(e≈ +e—≈ )¤ -(e≈ -e—≈ )¤
1111111111(e≈ +e—≈ )¤
(e≈ -e—≈ )'(e≈ +e—≈ )-(e≈ -e—≈ )(e≈ +e—≈ )' 1111111111111111235(e≈ +e—≈ )¤
확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 양변을 x에 대하여 미분하면
=(x)' ln x+x(ln x)'
=ln x+x¥;[!;=ln x+1
∴ y'=y(ln x+1)
=x≈ (ln x+1)
⑵ 양변에 자연로그를 취하면 ln y=lnxln≈ =(lnx)¤
양변을 x에 대하여 미분하면
=2 ln x(ln x)'=2 ln x¥;[!;=;[@; ln x
∴ y'=y{;[@; ln x}=xln≈ {;[@; ln x}
∴ y'=2xln≈ —⁄ ln x
⑶ x>1, y>0이므로 직접 양변에 자연로그를 취하 면
ln y=x ln (ln x)
양변을 x에 대하여 미분하면
=ln (ln x)+x¥
=ln (ln x)+
∴ y'=y[ln (ln x)+ ]
∴ y'=(ln x)≈ [ln (ln x)+ ]
∴ y'=(ln x)≈ ln (ln x)+(ln x)≈ —⁄
⑷ 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면
ln|y|=ln| |
ln|y|=2 ln|x-1|+ln|x+1|-3 ln|x+3|
위 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
= +
-=
∴ y'=
_ (x-1)¤ (x+1) (x+3)‹
10x+6 (x-1)(x+1)(x+3)
10x+6 (x-1)(x+1)(x+3)
3 x+3 1
x+1 2
x-1 y'
y
(x-1)¤ (x+1) (x+3)‹
115ln x1 115ln x1 115ln x1
(ln x)' 1112ln x 1y'y
1y'y 1y'y
∴ y'=
⑸ 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면
ln|y|=ln| |
ln|y|=3 ln|x|-(ln|x-3|+2 ln|x+2|) ln|y|=3 ln|x|-ln|x-3|-2 ln|x+2|
위 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
=;[#;-
-=
∴ y'= ¥
∴ y'=
⑹ 양변에 자연로그를 취하면 ln y=ln æ≠
ln y=;2!;(ln|x-1|+ln|x+3|-3ln|x+1|) 위 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
=;2!; { + - }
=
∴ y'= æ≠
∴ y'=
답 풀이 참조
260
양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln|f(x)|=ln| |
ln|f(x)|=x+ln|cos x|-ln(1+sin x) 위 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
=1+
-=1- -11111+sin xcos x sin x
111cos x
(1+sin x)' 1111121+sin x (cos x)'
1111cos x f '(x)
1125f(x)
e≈ cos x 1+sin x
-x¤ -2x+11 1
111111111111111111111111111225533 2(x+1)¤ "√(x+1)(x-1)(x√+3)
(x-1)(x+3) 1111123(x+1)‹
-x¤ -2x+11 1111111112(x-1)(x+3)(x+1)
-x¤ -2x+11 111111111152(x-1)(x+3)(x+1)
115x+13 115x+31 1151 x-1 1y'y
(x-1)(x+3) 11111125(x+1)‹
x¤ (x-18) (x-3)¤ (x+2)‹
x‹
(x-3)(x+2)¤
x-18 x(x-3)(x+2)
x-18 x(x-3)(x+2)
2 x+2 1
x-3 y'
y
x‹
(x-3)(x+2)¤
(10x+6)(x-1) (x+3)›
∴ f '(x)=f(x){1- - }
∴ f '(x)= {1- - }
x=p를 대입하면
f '(p)= {1- - }=-2e
p
답 -2ep
261
⑴ y=xfi'x=x¥x;5!;=x1+;5!;=x;5^;이므로 y'=;5^;x;5^;-1=;5^;x;5!;=;5^; fi'x
⑵ y'=e(3x-2)“ —⁄ (3x-2)'=3e(3x-2)“ —⁄
⑶ y'='2(5x-3)'2-1(5x-3)'
=5'2(5x-3)'2-1
⑷ y=(4x-x¤ );3!;이므로
y'=;3!;(4x-x¤ );3!;-1(4x-x¤ )' y'=;3!;(4x-x¤ )-;3@;(4-2x) y'=
⑸ y= = =x-;2&;이므로
y'=-;2&;x-;2(;=-
=-⑹ y'=(x3p)'cos x+x3p(cos x)'
=3px3p-1cos x+x3p(-sin x)
=x3p-1(3p cos x-x sin x)
답 풀이 참조
262
f '(x)=(2x-1)'"√x¤ +1+(2x-1)("√x¤ +1)' f '(x)=2"√x¤ +1+(2x-1)
f '(x)=2"√x¤ +1+(2x-1) f '(x)= 2(x¤ +1)+x(2x-1)
1111111112
"√x¤ +1
11112x 2"√x¤ +1 (x¤ +1)' 11112"√x¤ +1
1117 2x ›'x 17
11133 2"≈x·
121 x;2&;
1111 x¤ ¥x;2#;
1 4-2x
111111111112255 3 ‹"√(4x-x¤ )¤
-1 1+0 0
-1 ep¥(-1)
1+0
cos x 1+sin x sin x
cos x e≈ cos x
1+sin x
cos x 1+sin x sin x
cos x f '(x)=
∴ f '(1)= = = 답
263
⑴ y=›'ƒ2x-6에서 y› =2x-6
∴ x=;2!;y› +3
양변을 y에 대하여 미분하면
=2y‹
∴ = =
=
⑵ y=fiÆ;2{;에서 yfi =;2{; ∴ x=2yfi 양변을 y에 대하여 미분하면
=10y›
∴ = = =
=
⑶ 양변을 y에 대하여 미분하면
='ƒy+1+y¥ =
∴ = =
답 풀이 참조
264
f —⁄ (-5)=k라고 하면 f(k)=-5 즉, f(k)=k‹ -3k¤ +3k+2=-5이므로 k‹ -3k¤ +3k+7=0
(k+1)(k¤ -4k+7)=0 이때 k¤ -4k+7>0이므로 k=-1
2'ƒy+1 1 113y+211122 111
;dD]{;
dy dx
11133y+2 2'ƒy+1 11131
2'ƒy+1 12dxdy
fi'1å6 10 fi"çx›
111151 10fi
æ≠{;2{;}› 1
10y›
111
;dD]{;
dy dx dx dy
1 2 ›"√(2x-6)‹
1 2y‹
111
;dD]{;
dy dx dx dy
5'2 2 5'2
2 5 '2 4-1+2
'2 4x¤ -x+2 11111
"√x¤ +1
확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 따라서 f —⁄ (-5)=-1이고
f '(x)=3x¤ -6x+3이므로
( f —⁄ )'(-5)= =
( f —⁄ )'(-5)=;1¡2; 답 ;1¡2;
265
⑴ y'=3x¤ lnx+x‹ ¥;[!;
y'=3x¤ ln x+x¤
∴ y"=6xlnx+3x¤ ¥;[!;+2x=6xlnx+5x
∴ y"=x(6 ln x+5)
⑵ y'=
∴ y"=
=-⑶ y'=-e—≈ cos x-e—≈ sin x
=-e—≈ (sin x+cos x)
∴ y"=e—≈ (sin x+cos x)-e—≈ (cos x-sin x)
∴ y"=2e—≈ sin x
⑷ y'=3x¤ e≈ +x‹ e≈ =(3x¤ +x‹ )e≈
∴ y"=(6x+3x¤ )e≈ +(3x¤ +x‹ )e≈
∴ y"=(x‹ +6x¤ +6x)e≈
⑸ y'=
∴ y"=
∴ y"=
⑹ 양변을 x에 대하여 미분하면 y' cos x-y sin x+1=0
y'= =y tan x-sec x
∴ y"=y' tan x+y sec¤ x-sec x tan x
∴ y"=(y tan x-sec x)tan x+y sec¤ x -sec x tan x
∴ y"=y (tan¤ x+sec¤ x)-2 sec x tan x 답 풀이 참조 y sin x-1
11111cos x 2-ln x 1 11x (ln x)‹1111122
;[!; (ln x)¤ -(ln x-1)¥2(ln x)¥;[!;
1111111111111113(ln x)›
ln x-1 11125(ln x)¤
1 9 11(3x+1)¤111114455 11114(3x+1)¤-3¥3
11243x+13
1 f '(-1) 1
f '( f —⁄ (-5))
266
⑴ f'(x)=2ae¤ ≈ -2be—¤ ≈ f"(x)=4ae¤ ≈ +4be—¤ ≈ f"(x)-4 f(x)
=(4ae¤ Æ +4be—¤ Æ )-4(ae¤ Æ +be—¤ Æ )=0
⑵ y'=aeå ≈ sin x+eå ≈ cos x=eå ≈ (a sin x+cos x) y"=aeå ≈ (a sin x+cos x)+eå ≈ (a cos x-sin x) 이것을 y"-2y'+2y=0에 대입하여 정리하면 eå ≈ {(a-1)¤ sin x+2(a-1) cos x}=0 이것이 모든 실수 x에 대하여 성립하기 위해서는 a-1=0이이∴ a=1
⑶ f'(x)=e∫ ≈ +b(x+a)e∫ ≈ =(bx+ab+1)e∫ ≈ f"(x)=be∫ ≈ +b(bx+ab+1)e∫ ≈
f"(x)=(b¤ x+ab¤ +2b)e∫ ≈
따라서 f '(0)=ab+1=3이므로 ab=2 f"(0)=ab¤ +2b=-2이므로
4b=-2에서 b=-;2!;
∴ a=-4, b=-;2!;
⑷ f'(x)=
f'(x)=
f'(x)=
f'(x)=
f'(x)=
f"(x)=
∴ f'{;2“;}+f"{;2“;}=;2!;+{-;4!;}=;4!;
답 ⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ a=-4, b=-;2!; ⑷ ;4!;
267
⑴ f(x)="√x¤ +5로 놓으면
f '(x)= = x
"√x¤ +5 2x
2"√x¤ +5 -sin x 111112
4'ƒ1+cos x 'ƒ1+cos x 111112
(1+cos x)¤
11111111113 2(1+cos x)'ƒ1+cos x
1+2 cos x+cos¤ x 11111111113
2(1+cos x)'ƒ1+cos x 2 cos x(1+cos x)+sin¤ x 111111111111
2(1+cos x)'ƒ1+cos x -sin x cos x 'ƒ1+cos x-sin x¥111112
2'ƒ1+cos x 1111111111111112
1+cos x
x=2에서의 접선의 기울기는 f '(2)=;3@;
따라서 기울기가;3@;이고 점 (2, 3)을 지나는 접 선의 방정식은
y-3=;3@;(x-2) ∴ y=;3@;x+;3%;
⑵ f(x)=ln x¤ 으로 놓으면 f '(x)= =;[@;
x=e에서의 접선의 기울기는 f '(e)=;e@;
따라서 기울기가;e@;이고 점 (e, 2)를 지나는 접 선의 방정식은
y-2=;e@;(x-e) ∴ y=;e@;x
⑶ f(x)=xe≈ -2로 놓으면 f '(x)=e≈ +xe≈
x=0에서의 접선의 기울기는 f '(0)=1
따라서 기울기가 1이고 점 (0, -2)를 지나는 접 선의 방정식은
y+2=1¥(x-0) ∴ y=x-2
⑷ f(x)=tan x로 놓으면 f '(x)=sec¤ x
x=;4“;에서의 접선의 기울기는 f '{;4“;}=sec¤ ;4“;= =2
따라서 기울기가 2이고 점{;4“;, 1}을 지나는 접선 의 방정식은
y-1=2 {x-;4“;} ∴ y=2x-;2“;+1
⑸ f(x)= 로 놓으면 f '(x)=
f '(x)=11111x¤ +2x-1(x+1)¤
2x(x+1)-(x¤ +1) 111111111(x+1)¤
x¤ +1 1125x+1
11131 cos¤ ;4“;
2x x¤
x=1에서의 접선의 기울기는 f '(1)=;2!;
따라서 기울기가;2!;이고 점 (1, 1)을 지나는 접선 의 방정식은
y-1=;2!;(x-1) ∴ y=;2!;x+;2!;
⑹ f(x)=x ln x+3x로 놓으면 f '(x)=ln x+x¥;[!;+3 f '(x)=ln x+4
x=1에서의 접선의 기울기는 f '(1)=0+4=4
따라서 기울기가 4이고 점 (1, 3)을 지나는 접선 의 방정식은
y-3=4(x-1) ∴ y=4x-1 답 ⑴ y=;3@;x+;3%; ⑵ y=;e@;x 답 ⑶ y=x-2 ⑷ y=2x-;2“;+1 답 ⑸ y=;2!;x+;2!; ⑹ y=4x-1
268
f(x)= 로 놓으면
f '(x)=
f '(x)=
x=0에서 접선의 기울기는 f '(0)=1
따라서 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 -1이므 로 점{0, ;2!;}을 지나고 기울기가 -1인 직선의 방 정식은
y-;2!;=-(x-0)
∴ 2x+2y-1=0 따라서 a=2, b=2이므로
a+b=4 답 4
-2x¤ -2x+4 (x¤ +2)¤
2(x¤ +2)-(2x+1)¥2x (x¤ +2)¤
2x+1 x¤ +2
확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기
269
f(x)=ln(3-x)로 놓으면 f
'(x)=-직선 y=3-x에 평행한 '(x)=-직선의 기울기는 -1이므 로 접점의 좌표를 (a, ln(3-a))라고 하면
f '(a)=- =-1
∴ a=2
따라서 접점의 좌표가 (2, 0)이므로 구하는 접선의 방정식은
y=-(x-2) ∴ y=-x+2
답 y=-x+2
270
f(x)=e—≈으로 놓으면 f '(x)=-e—≈
x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 135˘이므로 기울기는 tan 135˘=-1
접점의 좌표를 (a, e-a)이라고 하면 f '(a)=-e-a=-1
e-a=1 ∴ a=0
따라서 접점의 좌표가 (0, 1)이므로 구하는 접선의 방정식은
y-1=-(x-0) ∴ y=-x+1
답 y=-x+1
271
f (x)=sin 2x로 놓으면 f '(x)=2 cos 2x
직선 x-2y+2=0에 수직인 직선의 기울기가 -2이 므로
2 cos 2x=-2 ∴ cos 2x=-1 0…x…p에서 2x=p ∴ x=;2“;
이때 y=sin 2¥;2“;=sin p=0이므로 접점의 좌표는
{;2“;, 0}
따라서 구하는 직선의 방정식은 1
3-a 1 3-x
y-0=-2 {x-;2“;}
∴ y=-2x+p 답 y=-2x+p
272
⑴ f(x)=x‹ -3x+4로 놓으면 f'(x)=3x¤ -3 접점의 좌표를 (t, t‹ -3t+4)라 하면 x=t에서의 접선의 기울기는
f '(t)=3t¤ -3
따라서 기울기가 3t¤ -3이고 점 (t, t‹ -3t+4) 를 지나는 접선의 방정식은
y-(t‹ -3t+4)=(3t¤ -3)(x-t)
∴ y=3(t¤ -1)x-2t‹ +4 yy㉠ 이 직선이 점 (2, -2)를 지나므로
-2=3(t¤ -1)¥2-2t‹ +4 2t¤ (t-3)=0
∴ t=0 또는 t=3 이것을 ㉠에 대입하면
y=-3x+4또는 y=24x-50
⑵ f(x)=x ln x로 놓으면 f'(x)=ln x+1 접점의 좌표를 (t, tln t)라 하면 x=t에서의 접선의 기울기는 f '(t)=ln t+1
따라서 기울기가 ln t+1이고 점 (t, t ln t)를 지 나는 접선의 방정식은
y-tln t=(ln t+1)(x-t)
∴ y=(ln t+1)x-t yy㉠ 이 직선이 점 (0, -1)을 지나므로 -1=-t
∴ t=1
이것을 ㉠에 대입하면 y=x-1
⑶ f(x)='x로 놓으면 f '(x)=
접점의 좌표를 (t, 't )라 하면 x=t에서의 접선의 기울기는 f '(t)=111
2't
111 2'x
따라서 기울기가 이고 점 (t, 't )를 지나는 접선의 방정식은
y-'t= (x-t)
∴ y= x+ yy㉠
이 직선이 점 (-1, 0)을 지나므로
0=- + = ∴ t=1
이것을 ㉠에 대입하면 y=;2!;x+;2!;
⑷ f(x)=xe≈ 으로 놓으면 f '(x)=e≈ +xe≈ =(1+x)e≈
접점의 좌표를 (t, te† )이라 하면
x=t에서의 접선의 기울기는 f '(t)=(1+t)e†
따라서 기울기가 (1+t)e† 이고 점 (t, te† )을 지 나는 접선의 방정식은
y-te† =(1+t)e† (x-t)
∴ y=e† (1+t)x-t¤ e† yy㉠ 이 직선이 점 (-4, 0)을 지나므로 0=e† (1+t)¥(-4)-t¤ e†
e† (t¤ +4t+4)=0
t¤ +4t+4=0 ∴ t=-2 이것을 ㉠에 대입하면 y=-e—¤ x-4e—¤
답 ⑴ y=-3x+4또는y=24x-50 답 ⑵ y=x-1
답 ⑶ y=;2!;x+;2!;
답 ⑷ y=-e—¤ x-4e—¤
273
f(x)=e≈ —⁄으로 놓으면 f '(x)=e≈ —⁄
접점의 좌표를 (t, e† —⁄ )이라 하면 x=t에서의 접선 의 기울기는
f '(t)=e† —⁄
따라서 기울기가 e† —⁄ 이고 점 (t, e† —⁄ )을 지나는 접 113t-1
2't 11t
2't 111
2't
11t 2't 111
2't 111
2't
111 2't
선의 방정식은 y-e† —⁄ =e† —⁄ (x-t)
∴ y=e† —⁄ x-te† —⁄ +e† —⁄ yy ㉠ 이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로 0=e† —⁄ -te† —⁄ +e† —⁄
e† —⁄ (2-t)=0 ∴ t=2 이것을 ㉠에 대입하면 y=ex-e
그런데 이 접선이 점{k, ;2E;}를 지나므로
;2E;=ek-e ∴ k=;2#; 답 ;2#;
274
f(x)=ln x, g(x)=kx¤ 으로 놓으면 f '(x)=;[!;, g'(x)=2kx
두 곡선의 접점의 x좌표를 t라고 하면 f(t)=g(t)에서 ln t=kt¤ yy㉠ f '(t)=g'(t)에서 ;t!;=2kt
∴ kt¤ =;2!; yy`㉡
㉠, ㉡에서 ln t=;2!;
∴ t='e
이것을 ㉠에 대입하면 ln 'e=k('e )¤
∴ k=;2¡e; 답 ;2¡e;
275
f (x)=a-2sin¤ x, g(x)=2cos x로 놓으면 f '(x)=-4sin xcos x
g'(x)=-2sin x
두 곡선의 접점의 x좌표를 t라고 하면 f (t)=g(t)에서
a-2sin¤ t=2cos t yy㉠ f '(t)=g'(t)에서
-4sin tcos t=-2sin t
확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 cos t=;2!; (∵ sin t>0)
∴ t=;3“; yy㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 a-2sin¤ ;3“;=2cos ;3“;
a-2 { }¤ =2¥;2!;
∴ a=;2%; 답 ;2%;
276
f(x)=cos 3x로 놓으면 f '(x)=-3sin 3x이므로 x=t에서의 접선의 기울기는 -3 sin3t
따라서 접선에 수직인 직선의 기울기는 그러므로 접선에 수직인 직선의 방정식은 y-cos 3t= (x-t)
x=0일 때, y=g(t)=- +cos 3t
∴ g(t)= {-;3!;¥ +cos 3t}
∴ g(t)=-;3!;¥;3!;+1
∴ g(t)=;9*; 답 ;9*;
277
⑴ f(x)= 에서 f '(x)=
f '(x)=0에서 1-ln x=0 ∴ x=e
⑵
⑶ 따라서 함수 f(x)는 x=e에서극댓값 f(e)=;e!;
을 갖는다.
답 풀이 참조 1-ln x
x¤
ln x x
1125sin 3tt limt⁄0
limt⁄0
11123sin 3tt 11123 sin 3t1
1111 3sin 3t 12'32
278
⑴ f(x)=x-ln x에서 f '(x)=1-;[!;
f '(x)=0에서 x=1
따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극솟값 f(1)=1 을 갖는다.
⑵ f(x)=sin x에서 f '(x)=cos x f '(x)=0에서 x=;2“; 또는 x=;2#;p
따라서 함수 f(x)는 x=;2“;일 때 극댓값 1, x=;2#;p일 때, 극솟값 -1을 갖는다.
답 ⑴극솟값：1 ⑵극댓값：1, 극솟값：-1
279
f '(x)= 이고 f '(x)=0에서 x¤ -1=0
∴ x=-1 또는 x=1
f "(x)= = = 에서
f "(-1)=-2<0, f "(1)=2>0 따라서 x=1일 때 극소이고 극솟값은 2, x=-1일 때 극대이고 극댓값은 -2이다.
답 풀이 참조
280
⑴ f '(x)=e¤ ≈ +2xe¤ ≈ =e¤ ≈ (1+2x) f '(x)=0에서 1+2x=0
∴ x=-;2!;
f "(x)=2e¤ ≈ (1+2x)+e¤ ≈ ¥2
2 x‹
2x x›
2x¥x¤ -(x¤ -1)¥2x x›
x¤ -1 x¤
x (0) y 1 y
f '(x) - 0 +
f (x) ↘ 극소 ↗
x (0) y e y
f '(x) + 0
-f (x) ↗ 극대 ↘
x (0) y ;2“; y ;2#;p y (2p)
f '(x) + 0 - 0 +
f (x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
=4e¤ ≈ (x+1)
이때 f "{-;2!;}=;e@;>0이므로 f(x)는 x=-;2!;
에서 극소이고 극솟값은 f{-;2!;}=-;2¡e;이다.
⑵ f '(x)=1- = f '(x)=0에서 x¤ -4=0
∴ x=-2 또는 x=2
f "(x)= =
이때 f "(-2)=-1<0, f "(2)=1>0이므로 f(x)는 x=-2일 때 극대이고 극댓값은 f(-2)=-4, x=2일 때 극소이고 극솟값은 f(2)=4이다.
답 ⑴극솟값：-;2¡e;
답 ⑵극댓값：-4, 극솟값：4
281
f(x)= 로 놓으면
f '(x)=
f '(x)=
x=2에서 극값 1을 가지므로 f '(2)=0, f(2)=1
f '(2)= =0에서
a¤ =4a+4b yy`㉠
f(2)= =1에서
a+b=4 yy㉡
㉠, ㉡에서 a=4, b=0
∴ a-b=4 답 4
282
⑴ f'(x)=e≈ -1 f '(x)=0에서 e≈ =1
∴ x=0 2a+b
4+a -4a-4b+a¤
(4+a)¤
-ax¤ -2bx+a¤
(x¤ +a)¤
a(x¤ +a)-(ax+b)¥2x (x¤ +a)¤
ax+b x¤ +a
8 x‹
2x¥x¤ -(x¤ -4)¥2x x›
x¤ -4 x¤
4 x¤
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.
따라서 x<0에서 감소하고, x>0에서 증가한다.
⑵ f '(x)=1-2 sin x f '(x)=0에서 sin x=;2!;
0<x<p에서 x=;6“; 또는 x=;6%;p
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.
따라서 0<x<;6“; 또는 ;6%;p<x<p에서 증가하 고, ;6“;<x<;6%;p에서 감소한다.
답 풀이 참조
283
f '(x)=a+ =
함수 f(x)가 모든 실수 x에서 증가함수가 되려면 f '(x)æ0
이때 x¤ +4>0이므로 ax¤ +2x+4aæ0
⁄ a>0
¤ =1-4a¤ …0
¤ (2a-1)(2a+1)æ0
¤ ∴ a…-;2!; 또는 aæ;2!;
⁄, ¤에서 aæ;2!; 답 aæ;2!;
D 4
ax¤ +2x+4a x¤ +4 2x
x¤ +4
x y 0 y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 1 ↗
x (0) y ;6“; y ;6%;p y (p)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ ;6“;+'3 ↘ ;6%;p-'3 ↗
확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기
284
f '(x)=2xe˚ ≈ +k(x¤ +1)e˚ ≈
=e˚ ≈ (kx¤ +2x+k)
함수 f(x)가 모든 실수 x에서 감소함수이려면 f '(x)…0
이때 e˚ ≈ >0이므로 kx¤ +2x+k…0
⁄ k<0
¤ =1-k¤ …0, (k+1)(k-1)æ0
¤ ∴ k…-1 또는 kæ1
⁄, ¤에서 k…-1
따라서 k의 최댓값은 -1이다.
답 --11
285
⑴ f'(x)=
f '(x)=
f '(x)=0에서 x=1 또는 x=-3
∴ x=-3일 때,극댓값：;2#;
∴x=1일 때,극솟값：-;2!;
⑵ f'(x)=
f '(x)=
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2
∴ x=2일 때,극댓값：;2!;
x=-1일 때,극솟값：-1 -2(x+1)(x-2) 11111111(x¤ +2)¤
2(x¤ +2)-(2x-1)¥2x 1111111111555(x¤ +2)¤
3(x-1)(x+3) 1111111(x¤ +3)¤
(2x-3)(x¤ +3)-(x¤ -3x)¥2x 11111111111111(x¤ +3)¤
D 4
⑶ f'(x)=1+2 sin x f '(x)=0에서 sin x=-;2!;
∴ x=;6&;p 또는 x=:¡6¡:p
∴ x=;6&;p일 때,극댓값：;6&;p+'3
∴x=:¡6¡:p일 때,극솟값：:¡6¡:p-'3
⑷ f '(x)=2xe—≈ -x¤ e—≈
=x(2-x)e—≈
f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2
∴ x=0일 때,극솟값：0
∴x=2일 때,극댓값：
⑸ f(x)=x+"√1-x¤ 에서 1-x¤ æ0이므로 -1…x…1 f '(x)=1+
f
'(x)=1-f '(x)=0에서 1- =0
=1, x="√1-x¤
x¤ =1-x¤ ∴ x=
∴ x='2일 때, 극댓값：'2 답 풀이 참조 2
'2 2 x
"√1-x¤
x
"√1-x¤
x
"√1-x¤
(1-x¤ )' 2"√1-x¤
4 e¤
x y -3 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f (x) ↗ ;2#; ↘ -;2!; ↗
x y -1 y 2 y
f '(x) - -0 + 0
-f (x) ↘ -1 ↗ ;2!; ↘
x 0 y ;6&;p y :¡6¡:p y 2p
f '(x) + 0 - 0 +
f (x) -2 ↗ ;6&;p+'3 ↘ ;;¡6¡;;p-'3 ↗ 2p-2
x y 0 y 2 y
f '(x) - 0 + 0
-f (x) ↘ 0 ↗ 15e¤4 ↘
x -1 y y 1
f '(x) + 0
-f (x) -1 ↗ '2 ↘ 1
12'22
286
⑴ f'(x)='3 cos x-sin x f '(x)=0에서'3 cos x=sin x tan x='3∴∴∴ x=;3“; 또는 x=;3$;p f "(x)=-'3 sinx-cosx
f "{;3“;}=-2<0, f "{;3$;p}=2>0이므로 x=;3“;일 때, 극대이고 극댓값은 f {;3“;}=2 x=;3$;p일 때, 극소이고 극솟값은 f {;3$;p}=-2
⑵ f '(x)=e≈ +xe≈ =(1+x)e≈
f '(x)=0에서 1+x=0 ∴ x=-1 f "(x)=e≈ +(1+x)e≈ =(2+x)e≈
f "(-1)=e—⁄ >0이므로
x=-1일 때, 극소이고 극솟값은 f(-1)=-;e!;
⑶ f'(x)=(lnx)¤ +x¥2lnx¥;[!;
f '(x)=ln x(ln x+2)
f'(x)=0에서 lnx+2=0 또는 lnx=0
∴ x= 또는 x=1
f "(x)=;[!;(lnx+2)+lnx¥;[!;=;[@;(lnx+1) f "{ }=-2e¤ <0, f "(1)=2>0이므로 x= 일 때, 극대이고 극댓값은 f { }=
x=1일 때, 극소이고 극솟값은 f(1)=0
⑷ f '(x)=e≈ (sin x+cos x)+e≈ (cos x-sin x)
=2e≈ cos x f '(x)=0에서 cos x=0
∴ x=;2“; 또는 x=;2#;p
f "(x)=2{e≈ cos x+e≈ (-sin x)}
=2e≈ (cos x-sin x)
f "{;2“;}=-2e;2“;<0, f "{;2#;p}=2e;2#;p>0이므로 x=;2“;일 때, 극대이고 극댓값은 f {;2“;}=e;2“;
x=;2#;p일 때, 극소이고 극솟값은 f{;2#;p}=-e;2#;p 15e¤4 15e¤1 15e¤1
15e¤1 15e¤1
답 ⑴극댓값：2, 극솟값：-2 답 ⑵극솟값：-;e!;
답 ⑶극댓값： , 극솟값：0
답 ⑷극댓값：e;2“;, 극솟값：-e;2#;p
287
f '(x)=
f '(x)=
그런데 f(x)가 x=3에서 극값 -1을 가지므로 f '(3)=0, f(3)=-1
=0, a+b=3 yy㉠
=-1, 3a+b=-11 yy㉡
㉠, ㉡에서 a=-7, b=10
답 a=-7, b=10
288
f '(x)=2ax-b+;[!;
그런데 x=1에서 극솟값 -2를 가지므로 f '(1)=0, f(1)=-2
f '(1)=2a-b+1=0 yy㉠
f(1)=a-b=-2 yy㉡
㉠, ㉡에서 a=1, b=3 답 a=1, b=3
289
f '(x)=e˚ ≈ (k sin x+cos x)
f "(x)=e˚ ≈ {(k¤ -1)sin x+2k cos x}
문제의 조건에서 f '{;4“;}=0이므로 e;4“;˚ { + }=0 yy㉠ x=;4“;에서 극댓값을 가지므로 f"{;4“;}<0에서 e;4“;˚ { +2k}<0 yy㉡
12'2 k¤ -1 1125'2
121 '2 12k
'2 9+3a+b 111122
3-a-b 11114
x¤ -2x-a-b 1111112(x-1)¤
(2x+a)(x-1)-(x¤ +ax+b) 1111111111112522(x-1)¤
14 155e¤
확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기
㉠에서 k=-1
이것은 ㉡을 만족시키므로
k=-1 답 -1
290
f '(x)=e≈ -4e—≈
f '(x)=0에서 e≈ -4e—≈ =0, (e≈ )¤ =4 e≈ =2 ∴ x=ln 2
f "(x)=e≈ +4e—≈ >0이므로 f(x)는 x=ln 2에서 극소이다.
따라서 f (ln 2)=5이므로
2+;2$;+a=5 ∴ a=1 답 1
291
f '(x)=
f '(x)=
e≈ >0이므로 f'(x)=0에서 x¤ -3x+a+1=0 yy㉠
극값을 가지려면 ㉠의 근이 존재하고 그 점의 좌우에 서 부호가 바뀌어야 한다.
즉, 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 D=(-3)¤ -4(a+1)>0 ∴ a<;4%;
답 a<;4%;
292
f '(x)=e≈ (x¤ +x+k)+e≈ (2x+1) f '(x)=e≈ (x¤ +3x+k+1)
여기서 e≈ >0이므로 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으 려면 모든 실수 x에 대하여 x¤ +3x+k+1æ0이어 야 한다.
즉, 이차방정식 x¤ +3x+k+1=0의 판별식을 D라 할 때
D=3¤ -4(k+1)…0, 5…4k
∴ kæ;4%; 답 kæ;4%;
-x¤ +3x-a-1 11111112e≈
(2x-1)e≈ -(x¤ -x+a)e≈
111111111112e¤ ≈
293
f(x)=x› -2x‹ +2x-1에서 f '(x)=4x‹ -6x¤ +2 f "(x)=12x¤ -12x
f "(x)=0에서 12x¤ -12x=12x(x-1)=0
∴ x=0 또는 x=1 따라서 곡선 y=f(x)는 x<0 또는 x>1일 때 f "(x)>0이므로아래로볼 록하고,
0<x<1일 때 f "(x)<0 이므로위로볼록하다.
답 풀이 참조
294
⑴ f(x)=x‹ -3x¤ -9x+2로 놓으면 f '(x)=3x¤ -6x-9
f "(x)=6x-6=6(x-1) f "(x)=0에서 x=1 따라서 곡선 y=f(x)는
x<1일 때f "(x)<0이므로위로 볼록하고, x>1일 때f "(x)>0이므로아래로 볼록하다.
⑵ f(x)=x› -4x‹ +2로 놓으면 f '(x)=4x‹ -12x¤
f "(x)=12x¤ -24x=12x(x-2)
따라서 곡선 y=f(x)는 x<0또는x>2일 때 f "(x)>0이므로 아래로 볼록하고, 0<x<2일 때f "(x)<0이므로위로 볼록하다.
⑶ f(x)=x-cos x로 놓으면 f '(x)=1+sin x
f "(x)=cos x
따라서 y=f(x)는 0<x<;2“;일 때 f "(x)>0이 므로아래로 볼록하고, ;2“;<x<p일 때
f "(x)<0이므로위로 볼록하다.
⑷ f(x)=xe—≈ 으로 놓으면 f '(x)=e—≈ -xe—≈
O 1
+ +
- x
y y=f''(x)
f "(x)=-e—≈ +(x-1)e—≈
=(x-2)e—≈
f "(x)=0에서 x=2
따라서 y=f(x)는 x<2일 때f "(x)<0이므로 위로 볼록하고, x>2일 때f "(x)>0이므로아래
로 볼록하다. 답 풀이 참조
295
f(x)=3xfi -5x›에서 f '(x)=15x› -20x‹
f "(x)=60x‹ -60x¤
f "(x)=0에서 60x¤ (x-1)=0
∴ x=0 또는 x=1
x<0일 때 f "(x)<0, 0<x<1일 때 f "(x)<0, x>1일 때 f "(x)>0
따라서 x=1의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (1, -2)이다. 답 풀이 참조
296
⑴ f(x)=-;4!;x› +x‹ 으로 놓으면
f '(x)=-x‹ +3x¤ , f "(x)=-3x¤ +6x f "(x)=0에서 -3x(x-2)=0
∴ x=0 또는 x=2
x<0일 때 f "(x)<0, 0<x<2일 때 f "(x)>0, x>2일 때 f "(x)<0
따라서 x=0, x=2의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (0, 0), (2, 4)이다.
⑵ f(x)=x+sin x로 놓으면 f '(x)=1+cos x f "(x)=-sin x
f "(x)=0에서 sin x=0
∴ x=p (∵ 0<x<2p) 0<x<p일 때 f "(x)<0, p<x<2p일 때 f "(x)>0
따라서 x=p의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌 므로 변곡점의 좌표는 (p, p)이다.
⑶ f(x)= 로 놓으면 f '(x)=
f "(x)=
f "(x)=
f "(x)=
f "(x)=0에서 x=- 또는 x=
x<- 일 때 f "(x)>0, - <x< 일 때 f "(x)<0, x> 일 때 f "(x)>0
따라서 x=- , x= 의 좌우에서 f "(x) 의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는
{- , ;4#;}, { , ;4#;}이다.
⑷ f(x)=ln(x¤ +4)로 놓으면 f '(x)=
f "(x)=
f "(x)=
f "(x)=
f "(x)=0에서 x=-2 또는 x=2 x<-2일 때 f "(x)<0, -2<x<2일 때 f "(x)>0, x>2일 때 f "(x)<0
따라서 x=-2, x=2의 좌우에서 f "(x)의 부 호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (-2, 3 ln 2), (2, 3 ln 2)이다.
답 ⑴ (0, 0), (2, 4) 답 ⑵ (p, p)
답 ⑶ {- , ;4#;}, { , ;4#;}
답 ⑷ (-2, 3 ln 2), (2, 3 ln 2) '3
3 '3
3 -2(x+2)(x-2)
(x¤ +4)¤
-2x¤ +8 (x¤ +4)¤
2(x¤ +4)-2x¥2x (x¤ +4)¤
2x x¤ +4
'3 3 '3
3
'3 3 '3
3 '3
3
'3 3 '3
3 '3
3
'3 3 '3
3 2('3x+1)('3x-1)
(x¤ +1)‹
2(3x¤ -1) (x¤ +1)‹
-2(x¤ +1)¤ -(-2x)¥2(x¤ +1)¥2x (x¤ +1)›
-2x (x¤ +1)¤
1 x¤ +1
확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기
297
⑴ f(x)=x› +4x‹ +20이라고 하면 f '(x)=4x‹ +12x¤ =4x¤ (x+3) f "(x)=12x¤ +24x=12x(x+2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=-3 f "(x)=0에서 x=0 또는 x=-2
따라서 f(x)의 오목과 볼록을 표로 나타내면 다 음과 같다.
x>0또는 x<-2일 때, f "(x)>0 -2<x<0일 때, f "(x)<0
∴ x>0또는x<-2일 때,아래로 볼록
∴-2<x<0일 때,위로 볼록
∴변곡점(-2, 4), (0, 20)
⑵ f(x)=x+2 cos x라고 하면 f '(x)=1-2 sin x
f "(x)=-2 cos x
f '(x)=0에서 x=;6“; 또는 x=;6%;p f "(x)=0에서 x=;2“; 또는 x=;2#;p
따라서 f(x)의 오목과 볼록을 표로 나타내면 다 음과 같다.
∴ 0…x<;2“;또는;2#;p<x…2p일 때,위로 볼록
∴ ;2“;<x<;2#;p일 때,아래로 볼록
∴ 변곡점{;2“;, ;2“;}, {;2#;p, ;2#;p}
⑶ f(x)= 이라고 하면
f '(x)= -2x 1111(x¤ +3)¤
1125x¤ +31
f "(x)=
f "(x)= =
f '(x)=0에서 x=0 f "(x)=0에서 x=—1
따라서 f(x)의 오목과 볼록을 표로 나타내면 다 음과 같다.
∴ x<-1또는x>1일 때,아래로 볼록 -1<x<1일 때,위로 볼록
변곡점{-1, ;4!;}, {1, ;4!;}
⑷ f(x)=ln(x¤ +1)이라고 하면 f '(x)=
f "(x)= =
f "(x)=
f '(x)=0에서 x=0 f "(x)=0에서 x=—1
따라서 f(x)의 오목과 볼록을 표로 나타내면 다 음과 같다.
∴ x<-1또는x>1일 때,위로 볼록 -1<x<1일 때,아래로 볼록
변곡점(-1, ln 2), (1, ln 2)
⑸ f(x)=(x¤ +1)e—≈ 이라고 하면 f '(x)=2xe—≈ -(x¤ +1)e—≈
=-(x¤ -2x+1)e—≈
=-(x-1)¤ e—≈
f "(x)=-2(x-1)e—≈ +(x-1)¤ e—≈
=(x¤ -4x+3)e—≈
-2(x+1)(x-1) 11111111(x¤ +1)¤
-2(x¤ -1) 11111(x¤ +1)¤
2(x¤ +1)-4x¤
11111125(x¤ +1)¤
112x¤ +12x
6(x+1)(x-1) 1111111(x¤ +3)‹
-2(x¤ +3)+8x¤
11111112(x¤ +3)‹
-2(x¤ +3)¤ +2x¥2(x¤ +3)¥2x 1111111111111555(x¤ +3)›
x y -3 y -2 y 0 y
f '(x) - 0 + + + 0 +
f "(x) + + + 0 - 0 +
f(x) 극소 변곡점 변곡점
x 0 y ;6“; y ;2“; y ;6%;p y ;2#;p y 2p f '(x) + + 0 - - - 0 + + + + f "(x) - - - - 0 + + + 0 -f (x) 2 극대 변곡점 극소 변곡점 2p+2
x y -1 y 0 y 1 y
f '(x) + + + 0 - -
-f "(x) + 0 - - - 0 +
f(x) 변곡점 극대 변곡점
x y -1 y 0 y 1 y
f '(x) - - - 0 + + +
f "(x) - 0 + + + 0
-f(x) 변곡점 극소 변곡점
=(x-1)(x-3)e—≈
e—≈ >0이므로
f '(x)=0에서 -(x-1)¤ =0 ∴ x=1 f "(x)=0에서 (x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
따라서 f(x)의 오목과 볼록을 표로 나타내면 다 음과 같다.
∴ x<1또는x>3일 때, 아래로 볼록
∴1<x<3일 때, 위로 볼록
∴변곡점{1, ;e@;}, {3, }
답 풀이 참조
298
f '(x)=3ax¤ +2bx+c f "(x)=6ax+2b
x=2에서의 접선의 기울기가 4이므로 f '(2)=4, 즉 12a+4b+c=4 yy㉠ 또, 점 (1, 2)가 변곡점이므로
f "(1)=6a+2b=0 yy㉡
f(1)=a+b+c=2 yy㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=-3, c=4
답 a=1, b=-3, c=4
299
f '(x)=1+2 cos x, f "(x)=-2 sin x f "(x)=0에서 x=p
0<x<p일 때, f "(x)<0이므로 위로 볼록 p<x<2p일 때, f"(x)>0이므로 아래로 볼록
∴ 변곡점 (p, p)
한편, x=p일 때 접선의 기울기는 f '(p)=1-2=-1
10 e‹
따라서 접선의 방정식은 y-p=-(x-p)
∴ y=-x+2p 답 y=-x+2p
300
f '(x)=
f "(x)=
변곡점이 (2, 5)이므로 f(2)=5에서
2a+b-11=0 yy㉠
f "(2)=0에서 14a+13b+13=0 yy㉡
㉠, ㉡에서 a=13, b=-15
답 a=13, b=-15
301
함수 f(x)의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나타 내면 다음과 같다.
⑴ f '(x)=0인 점은 x의 값이 a, b일 때이고 x=a 의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바뀌므로 극값을 갖 는 점은 x=a이다.
x=a의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바뀌므로 극댓 값을 갖는다.
⑵ f "(x)=0인 점은 x의 값이 0, b일 때이므로 변 곡점의 x좌표는 x=0, x=b이다.
답 ⑴ a ⑵ 0, b
302
⑴ f(x)= 로 놓으면 정의역은 실수 전체의 집합이고 f(-x)=-f(x)이므로 곡선은 원점에 대하여 대칭이다. xæ0인 범위에서 곡선을 그리 고 x<0일 때의 곡선은 원점에 대한 대칭을 이용 하여 그릴 수 있다.
1125x¤ +12x
2ax‹ +6(1+b)x¤ +6ax+2(1+b) 1111111111111125(x¤ -1)‹
-ax¤ -2(1+b)x-a 1111111112(x¤ -1)¤
x y 1 y 3 y
f '(x) - 0 - -
-f "(x) + 0 - 0 +
f(x) 변곡점 변곡점
x y a y 0 y b y
f '(x) + 0 - - - 0
-f "(x) - - - 0 + 0
-f(x) 극대 변곡점 변곡점
확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 또한, f(0)=0이므로 곡선은 원점을 지난다.
f '(x)=
f '(x)=
f "(x)=
f "(x)=
f '(x)=0에서 x=—1
f "(x)=0에서 x=0 또는 x=—'3
한편, f(x)=0, f(x)=0이므로 곡선
의 점근선은 x축이다.
⑵ f(x)= 로 놓으면 정의역은 x+1인 모든 실수이다.
f '(x)= , f "(x)=
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 f "(x)+0이므로 변곡점이 없다.
∴ 극대인 점：(-1, -1), 극소인 점：(3, 7) x=0일 때, y=-2이므로 점 (0, -2)를 지난다.
또 , x¤ +x+2={x+;2!;}2 +;4&;>0이므로 x축과 만나지 않는다.
11125(x-1)‹8 (x-3)(x+1)
1111112(x-1)¤
x¤ +x+2 11112x-1
1'3 -:2:'3 :2:'3
-'3 1 -1
-1
O x
y xlimڦ
xlim⁄-¶
4x(x¤ -3) 111125(x¤ +1)‹
-4x(x¤ +1)¤ -2(1-x¤ )¥2(x¤ +1)¥2x 11111111111111112(x¤ +1)›
2(1-x¤ ) 11113(x¤ +1)¤
2(x¤ +1)-2x¥2x 11111111(x¤ +1)¤
y=
y=x+2+
따라서 점근선은 x=1, y=x+2
⑶ f(x)=x+;[!;로 놓으면 정의역은 x+0인 모든 실수이다.
f '(x)=1-f '(x)=
f "(x)=
f '(x)=0에서 x=—1
f "(x)+0이므로 변곡점이 없다.
∴ 극대인 점：(-1, -2), 극소인 점：(1, 2) 한편, {x+;[!;}=¶, {x+;[!;}=-¶
이므로 점근선은 x=0, 즉 y축이다. 또한, (y-x)
= ;[!;=0 이므로 직선 y=x도 점근선이다.
⑷ f(x)= 으로 놓으면 정의역은 x+1인 모 든 실수이다.
f '(x)=
f "(x)=
f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 f "(x)+0이므로 변곡점이 없다.
11125(1-x)‹2 -x(x-2) 11111(1-x)¤
1121-xx¤
xlim⁄—¶
y=x 2
1 -2 -1
O x
lim y
x⁄—¶
xlim ⁄0-xlim⁄0+
15x‹2 x¤ -1 1123x¤
15x¤1 115x-14
1 3 -2
2 7
-1
-1
O x
x¤ +x+2 y
11114x-1
x y -'3 y -1 y 0 y 1 y '3 y f '(x) - - 0 + + + 0 -f "(x) - 0 + + + 0 - - - 0 +
f(x) - -1 0 1 '3
2 '3
2 변곡점
¤
변곡점
¤
변곡점
¤
극소
¤
극대
¤
x y -1 y (1) y 3 y
f '(x) + 0 - - 0 +
f "(x) - - - + + +
f(x) -1 7
x y -1 y (0) y 1 y
f '(x) + 0 - - 0 +
f "(x) - - - + + +
f(x) -2 2
극대 극소