하나를 알면 10개, 20개를 풀 수 있는 개념원리수학
미적분 Ⅰ
이홍섭 선생님의 기본서
정답 과 풀이
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0 1
⑴ a«=2-;n!;에서 n ⁄¶일 때, ;n!; ⁄0이다.
∴ a«= {2-;n!;}
∴ a«=2
⑵ a«=1+(-1)« 에서
n⁄¶일 때, (-1)« 은 -1, 1, -1, 1, y이므 로 1+(-1)« 은 0, 2, 0, 2, y이다.
따라서 이 수열은 진동하므로 발산한다.
⑶ a«= = 에서
n⁄¶일 때, ;n!; ⁄ 0이므로 a«=
a«=¶
따라서 이 수열은 발산한다.
답 ⑴ 수렴, 극한값：2
⑵ 발산, 극한값：2
⑶ 발산, 극한값：2
0 2
① 진동하므로 주어진 수열은 발산한다.
② 7에 수렴한다.
③ 주어진 수열에서 각 항을 유리화하면
, , , , y
이므로 ¶로 발산한다.
④ 주어진 수열은
3+;1!;, 3-;2!;, 3+;3!;, 3-;4!;, y 이므로 3에 수렴한다.
12'82 12'62 12'42 12'22
111n 1+;n!;
nlimڦ
nlimڦ
111n 1+;n!;
112n+1n¤
nlimڦ
nlimڦ
⑤ 홀수 번째 항은 1, ;4!;, ;1¡6;, y에서 0에 수렴하 고 짝수 번째 항은 -;2!;, -;8!;, -;3¡2;, y에서 0에 수렴하므로 주어진 수열은 0에 수렴한다.
답 ②, ④, ⑤
03
⑴ (3a«-1)(b«+2)
= (3a«-1)¥ (b«+2)
=(3 a«-1)( b«+2)
=(3¥3-1)(-1+2)
=8
⑵ =
= =-7
답 ⑴ 8 ⑵ -7
04
{1-;n#;} {3+;n@;}
= {1-;n#;}¥ {3+;n@;}
=1¥3=3 답 3
05
(a«-1)=3에서 a«=4
∴ a«(a«-2)
∴= a«¥ (a«-2)
∴=4¥(4-2)=8 답 8
06
⑴
= {1+;n@;} {3-;n%;}
12111111 {2+;n!;} {1-;n@;}
nlimڦ
(n+2)(3n-5) 1111111(2n+1)(n-2)
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
1111123¥(-1)+23+4
nlim⁄¶a«+4 111111123lim
nڦaǴlim
n⁄¶b«+2 1112a«b«+2a«+4
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
확인체크
I.
수열의 극한http://zuaki.tistory.com
확 인 체 크
=
=;2#; (수렴)
⑵ = =0 (수렴)
⑶ = =¶ (발산)
⑷ {log(2n+1)-log(3n+2)}
= log
= log =log ;3@; (수렴)
답 ⑴;2#;에 수렴 ⑵ 0에 수렴
⑶ 양의 무한대로 발산 ⑷ log ;3@;에 수렴
0 7
⑴ 1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤ = 이므로
=
∴ (주어진 식)= =;3!;
⑵ {1- }{1- } y {1- }
= { ¥ ¥y¥ }
= [ ¥ ¥y¥ ]
= {;2!;¥ }
=;2!;
답 ⑴;3!; ⑵ ;2!;
112n+1n
nlimڦ
(n-1)(n+1) 1111112n¥n 112¥43¥3
111¥32¥2
nlimڦ
n¤ -1 112n¤
3¤ -1 1123¤
2¤ -1 1122¤
nlimڦ
12n¤1 123¤1
122¤1
nlimڦ
2n‹ +3n¤ +n 1111116n‹
nlimڦ
2n‹ +3n¤ +n 1111116n‹
1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤
111111112n‹
n(n+1)(2n+1) 1111111226 2+;n!
11133+;n@;
nlimڦ
1112n+13n+2
nlimڦ
nlimڦ
2n+;n%;
11111+;n!¤:
nlimڦ
2n‹ +5n 1111n¤ +1
nlimڦ
;n#;-;;n!¤;;
121111 1-;n@;+;;n¤@:
nlimڦ
11111n¤ -2n+23n-1
nlimڦ
(1+0)(3-0)
1111112(2+0)(1-0)
0 8
=b«으로 놓으면 a«= 이고 b«=2
∴ a«=
=
=3 답 3
0 9
na«=b«으로 놓으면 a«= 이고 b«=5
∴ =
=
= =;5#;
답 ;5#;
10
⑴ ("√4n¤ -3n-2n)
=
=
=
= =-;4#; (수렴)
⑵ 'n("√n+1-"√n-1)
=
= 11111112'n 'ƒn+1+'ƒn-1
nlimڦ
'n('ƒn+1-'ƒn-1)('ƒn+1+'ƒn-1) 1111111111111111
"∂n+1+"∂n-1
nlimڦ
nlimڦ
1132+2-3
111113-3 Æ…4-;n#;+2
nlimڦ
1111111-3n
"√4n¤ -3n+2n
nlimڦ
("√4n¤ √-3n-2n)("√4n¤ √-3n+2n) 111111111111111
"√4n¤ -3n+2n
nlimڦ
nlimڦ
3+;n@;
111b«
nlimڦ
3n¤ +2n 1111n¤ b«
nlimڦ
3n¤ +2n 1111n‹ ¥15b«n
nlimڦ
3n¤ +2n 1111n‹ a«
nlimڦ
nlimڦ
15b«n 1125-23-2
1115-b«3-b«
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
1115-b«3-b«
3a«-5 1112a«-1
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=
= =1(수렴)
⑶ (n‹ -6n)
= n‹ {1- }
=¶¥(1-0)
=¶ (발산)
⑷
=
=
=
= =1 (수렴)
답 ⑴ -;4#;에 수렴 ⑵ 1에 수렴
⑶ 양의 무한대로 발산 ⑷ 1에 수렴
11
1+2+y+(n+1)= 이므로
(주어진 식)
= [æ≠ -æ–≠ ]
= ('ƒn+2-'n )
= ¥ ¤ 분자 유리화
=
= 답 12'22
12'22
'2Æ…1+;n!;
111111 Æ…1+;n@;+'1
nlimڦ
1111142 'ƒn+2+'n 'ƒn+1
1113'2
nlimڦ
'ƒn+1 1113
'2
nlimڦ
n(n+1) 11112 (n+1)(n+2)
11111122
nlimڦ
(n+1)(n+2) 11111122 1131+12
Æ…1+;n@;+Æ…1-;n@;
1111111112
nlimڦ
2("√n¤ +2n+"√n¤ -2n) 11111111114n
nlimڦ
2("√n¤ +2n+"√n¤ -2n) 11111111112(n¤ +2n)-(n¤ -2n)
nlimڦ
1111111112
"√n¤ +2n-"√n¤ -2n
nlimڦ
12n¤6
nlimڦ
nlimڦ
1121+12
1111111122 Æ…1+;n!;+Æ…1-;n!;
nlimڦ
12
극한값이 0이 아닌 6에 수렴하므로 a=0
=
= =;2B;=6
∴ b=12
∴ a+b=12 답 12
13
= {æ–1+ +a}
=1+a=10
∴ a=9 답 9
14
분모를 1로 보고 분자를 유리화하면 ("√n¤ +an+2-"√bn¤ +2n+3)
=
= yy㉠
이때 1-b+0이면 극한값이 없으므로 1-b=0
∴ b=1
㉠에서 = =3
∴ a=8 답 a=8, b=1
15
=
=lim111111"√n¤ +an +nan
nڦ
"√n¤ +an+n
1111111111111 ("√n¤ +an-n)("√n¤ +an+n)
nlimڦ
1111111
"√n¤ +an -n
nlimڦ
112a-21+1 111a-2
1+'b
(1-b)n+(a-2)-;n!;
11111111111112 Æ…1+;nA;+;;n¤@:+Æ…b+;n@;+;;n¤#:
nlimڦ
(1-b)n¤ +(a-2)n-1 111111111111
"√n¤ +an+2+"√bn¤ +2n+3
nlimڦ
nlimڦ
12n¤2
nlimڦ
"√n¤ +2+an 111112n
nlimڦ
b+;n$;
11152+;n@;
nlimڦ
1115bn+42n+2
nlimڦ
111112an¤ +2n+2bn+4
nlimڦ
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확 인 체 크
=
=;a@;
=-2
∴ a=-1 답 -1
16
= =;3!;,
= =;3!;
이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의하여
a«=;3!; 답 ;3!;
17
4n¤ <(n¤ +2)a«<(2n+1)¤ 에서
<a«<
이때
= =4,
=
= =4
이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의하여
a«=4 답 4
18
<a«< 에서
< <3n+2 111n+1 12a«n
112n+13n
3n¤ +2n 1111n+1 112n+13n¤
nlimڦ
4+;n$;+15n¤1 1111122
1+15n¤
nlimڦ
4n¤ +4n+1 111112n¤ +2
nlimڦ
(2n+1)¤
11113n¤ +2
nlimڦ
111542 1+15n¤
nlimڦ
1123n¤ +24n¤
nlimڦ
(2n+1)¤
11113n¤ +2 1123n¤ +24n¤
nlimڦ
1+15n¤4 11153
nlimڦ
n¤ +4 1113n¤
nlimڦ
1-15n¤2 11153
nlimڦ
n¤ -2 1113n¤
nlimڦ
Ƭ1+;nA; +1 111111a
nlimڦ
이때
= =3,
= =3
이므로 =3
∴ =
= =9
답 9
19
⑴ ={-;4#;}«
에서 공비는 -;4#;이고, -1<-;4#;<1이므로 =0 (수렴)
⑵ 3« ¥4—« ={;4#;}
«에서 공비는;4#;이고, -1<;4#;<1 이므로
3« ¥4—« =0 (수렴)
⑶ log 2+log 5=log 10=1이므로 (log 2+log 5)« =1 (수렴)
⑷ (-1)« 에서 공비는 -1이고 -1…-1이므로 주 어진 수열은 발산(진동)한다.
⑸ 공비는 이고, >1이므로
{ }
«
=¶ (발산)
답 ⑴ 수렴 ⑵ 수렴 ⑶ 수렴
⑷ 발산 ⑸ 발산 ⑸ 발산
20
⑴ = =¶ (발산)
æ≠{;4%;}« +142«1 1121111
nlimڦ
'∂5« +1 11122«
nlimڦ
12'52
nlimڦ
12'52 12'52
nlimڦ
nlimڦ
(-3)«
11212¤ «
nlimڦ
(-3)«
112252¤ «
1133+61+0 13+6a«n 11121+;n%;
nlimڦ
a«+6n 1112n+5
nlimڦ
12a«n
nlimڦ
3+;n@;
11151+;n!;
nlimڦ
1113n+2n+1
nlimڦ
11153 1+;n!;
nlimڦ
112n+13n
nlimڦ
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⑵ =
= =3 (수렴)
⑶ =
= =1 (수렴)
⑷ (2« -4« )= 4« [{;2!;}« -1]
(2« -4« )=¶¥(0-1)=-¶ (발산) 답 ⑴ 양의 무한대로 발산 ⑵ 3에 수렴
⑶ 1에 수렴 ⑷ 음의 무한대로 발산
21
a«=a(a는 상수)라 하면
= =;å%;
따라서;å%;=2이므로 a=;2%;
∴ a«=;2%; 답 ;2%;
22
⁄ |r|<1일 때, r« =0
∴ = =0 (수렴)
¤ r=1일 때, r« =1
∴ = =;2!; (수렴)
‹ |r|>1일 때, |r« |=¶이므로 1 =0
14r«
nlimڦ
nlimڦ
1121+11 111r¤ « +1r«
nlimڦ
nlimڦ
1120+10 111r¤ « +1r«
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
{;5#;}
«¥a«+5 112111
a«-{;5#;}«
nlimڦ
3« ¥a«+5« ±⁄
1111155« ¥a«-3«
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
1121+01-0 1+123¤ «1 11211
1-123¤ «
nlimڦ
3« +3—«
11113« -3—«
nlimڦ
1123-01+0
3-{;3@;}« 1111252
1+2 ¥{;3@;}«
nlimڦ
3« ±⁄ -2«
11113« +2« ±⁄
nlim⁄¶ ∴ =
= =0 (수렴)
› r=-1일 때,
㉠ n이 짝수이면 r« =1, r¤ « =1
㉠∴ = =;2!;
㉡ n이 홀수이면 r« =-1, r¤ « =1
㉠∴ = =-;2!;
㉠, ㉡에서 은 발산(진동)한다.
답 풀이 참조
23
⁄ |r|>5일 때, {;r%;}«=0이므로
= =1
¤ |r|<5일 때, {;5R;}«=0이므로
= =-1
⁄, ¤에서 =-1을 만족시키는 r의
값의 범위는 |r|<5이므로 구하는 정수 r는 -4, -3, y, 3, 4의 9개이다.
답 9
24
⑴ 공비가 이므로 주어진 수열이 수렴하려면 -1< …1 ∴ -2<x¤ -x…2
⁄-2<x¤ -x에서 x¤ -x+2>0이므로 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
x¤ -x 1112
x¤ -x 1112
r« +5«
111r« -5«
nlimڦ
{;5R;}« 11211+1
{;5R;}« -1
nlimڦ
r« +5«
111r« -5«
nlimڦ
nlimڦ
1+{;r%;}« 11211
1-{;r%;}«
nlimڦ
r« +5«
111r« -5«
nlimڦ
nlimڦ
1213r¤ « +1r«
nlimڦ
1121+1-1 1213r¤ « +1r«
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
1121+11 1213r¤ « +1r«
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ
1121+00 13r«1 11121
1+12r¤ «
nlimڦ
1212r¤ « +1r«
nlimڦ
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확 인 체 크
¤x¤ -x…2에서 x¤ -x-2…0
(x+1)(x-2)…0 ∴ -1…x…2
⁄, ¤에서 -1…x…2
⑵ 첫째항이 x+2, 공비가 이므로
⁄ (첫째항)=0인 경우
⁄ x+2=0 ∴ x=-2
¤ -1<(공비)…1인 경우
⁄ -1< …1 ∴ -2<x…3
⁄, ¤에서 -2…x…3
⑶ 공비가 log£ x-1이므로 주어진 수열이 수렴하 려면
-1<log£ x-1…1, 0<log£ x…2 log£ 1<log£ x…log£ 3¤
∴ 1<x…9
답 ⑴ -1…x…2 ⑵ -2…x…3
⑶ 1<x…9
25
a«≠¡=;4#;a«+4를 a«≠¡-a=;4#;(a«-a) 꼴로 변형하면 a«≠¡-16=;4#;(a«-16)
따라서 수열 {a«-16}은 첫째항이 a¡-16=-14, 공 비가;4#;인 등비수열이므로
a«-16=-14¥{;4#;}« —⁄
∴ a«=16-14¥{;4#;}« —⁄
∴ a«= [16-14¥{;4#;}
« —⁄
]
=16 답 16
26
a«=S«-S«–¡
=n¥2« -(n-1)¥2« —⁄
=2« —⁄ (n+1)(næ2) a¡=S¡=2
∴ a«=2« —⁄ (n+1) (næ1)
nlimڦ
nlimڦ
1112x-15
1112x-15
∴ =
∴ = =2 답 2
주의집2« —⁄ (n+1)=
27
⑴ 제 n항을 a«, 제 n항까지의 부분합을 S«이라 하면 a«='ƒ2n+2-'2ån
S«=('4-'2)+('6-'4)+('8-'6) S«=+y+('ƒ2n+2-'2ån)
S«='ƒ2n+2-'2
∴ S«= ('ƒ2n+2-'2 )
=¶ (발산)
⑵ 제 n항을 a«, 제 n항까지의 부분합을 S«이라 하면 a«=
a«=
S«='ƒ2n+1-'ƒ2n-1
S«=('3-1)+('5-'3)+('7-'5)+y S«=+('ƒ2n+1-'ƒ2n-1)
S«='ƒ2n+1-1
∴ S«= ('ƒ2n+1-1)
=¶ (발산)
⑶ 제 n항을 a«, 제 n항까지의 부분합을 S«이라 하면 a«=
a«=
a«= -
S«={;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+y
S«=+{ - }
S«=;2!;-
∴ S«= {;2!;- }=;2!; (수렴) 1123n+21
nlimڦ
nlimڦ
1123n+21
1123n+21 1123n+11
1123n+21 1123n+11
1122211232(n+1)(n+2)1 1122212n¤ +3n+21
nlimڦ
nlimڦ
2('ƒ2n+1-'ƒ2n-1 )
112221111222222222222222222 ('ƒ2n+1+'ƒ2n-1)('ƒ2n+1-'ƒ2n-1 ) 11222111122
'ƒ2n+1+'ƒ2n-1
nlimڦ
nlimڦ
2« (n+1) 11112 112n+12n
nlimڦ
111112« —⁄ (n+1)n¥2«
nlimڦ
12S«a«
nlimڦ
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⑷ 제 n항을 a«, 제 n항까지의 부분합을 S«이라 하면
a«= =
a«=;2!; { - }
∴ S«=;2!;[{1-;3!;}+{;3!;-;5!;}+y
∴ S«=+{ - }]
∴ S«=;2!; {1- }=
∴ S«= =;2!; (수렴)
답 ⑴ 발산 ⑵ 발산 답 ⑶;2!;에 수렴 ⑷;2!;에 수렴
28
⑴ 제 n항까지의 부분합을 S«이라 하면 S«= log
S«= log
S«=log +log +log +y
S«=+log
S«=log [{;1@;¥;3@;} {;2#;¥;4#;} {;3$;¥;5$;}
S«=y{ ¥ }]=log
∴ log = log
=log 2
⑵ 일반항 a«이
a«=log [1- ] a«=log
이때 제 n항까지의 부분합을 S«이라 하면 S«=;Kn+! log k(k+2)
1111(k+1)¤
n(n+2) 11113(n+1)¤
1111(n+1)¤1
112n+12n
nlimڦ
111k¤ -1k¤
¡n
limk=2 nڦ
112n+12n 112n+1n
112n-1n
11111124(n-1)(n+1)n¤
113¥54¤
112¥43¤
111¥32¤
1111114(k-1)(k+1)k¤
¡n k=2
111k¤ -1k¤
¡n k=2
112222n+1n
nlimڦ
nlimڦ
11222n+1n 11222n+11
11222n+11 11222n-11
11222n+11 11222n-11
112221123222(2n-1)(2n+1)1 112221(2n)¤ -11
S«=log +log +log +y
S«=+log
S«=log [{;2!;¥;2#;} {;3@;¥;3$;} {;4#;¥;4%; }
S«=y{ ¥ }]
S«=log
∴ (주어진 식)= log
∴ (주어진 식)=log ;2!;=-log 2
답 ⑴ log 2 ⑵ -log 2
29
수열 {a«}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 S«이라 하면
S«=;Kn+!a˚=n¤ -n
⁄ næ2일 때, a«=S«-S«–¡
=n¤ -n-{(n-1)¤ -(n-1)}
=2(n-1) yy`㉠
¤ n=1일 때, a¡=S¡=0
이때 a¡=0은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a«=2(n-1) (næ1)
a«≠¡=2(n+1-1)=2n, a«≠™=2(n+2-1)=2(n+1) 이므로
=
= ;4!; {;n!;- }
=;4!; {;k!;- }
=;4!;lim[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y
nڦ
112k+11
¡n k=1 nlim⁄¶
112n+11
¡¶ n=1
11211152n¥2(n+1)1
¡¶ n=1
11215a«≠¡a«≠™1
¡¶ n=1
11112(n+1)n+2
nlimڦ
11112(n+1)n+2 112n+2n+1 112n+1n
n(n+2) 11113(n+1)¤
113¥54¤
112¥43¤
111¥32¤
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확 인 체 크
=+{;n!;- }]
=;4!; {1- }
=;4!; 답 ;4!;
30
주어진 급수의 제 n항을 a«, 제 n항까지의 부분합을 S«이라 하면
⑴ ⁄ a™˚–¡=;k!;(k는 자연수)이므로
⁄ S™˚–¡=1+{-;2!;+;2!;}+{-;3!;+;3!;}+y
⁄ S™˚–¡=+{-;k!;+;k!;}
⁄ S™˚–¡=1
⁄ ∴ S™«–¡= 1=1
¤ a™˚=- (k는 자연수)이므로
⁄ S™˚={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y
⁄ S™˚=+{;k!;- }
⁄ S™˚=1-
⁄ ∴ S™«= {1- }=1
⁄, ¤에서 S™«–¡= S™«=1이므로 주 어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다.
⑵ ⁄ a™˚–¡=- (k는 자연수)이므로
⁄S™˚–¡=-1+{;3!;-;3!;}+{;5!;-;5!;}+y
⁄S™˚–¡=+{ - }
⁄S™˚–¡=-1
⁄∴ S™«–¡= (-1)=-1
¤a™˚= 1 (k는 자연수)이므로 1112k+1
nlimڦ
nlimڦ
1112k-11 1112k-11
1112k-11
nlimڦ
nlimڦ
112n+11
nlimڦ
nlimڦ
112k+11 112k+11 112k+11
nlimڦ
nlimڦ
112n+11
nlimڦ
112n+11
⁄S™˚={-1+;3!;}+{-;3!;+;5!;}+y
⁄S™˚=+{ + }
⁄S™˚=-1+
⁄∴ S™«= {-1+ }
=-1
⁄, ¤에서 S™«–¡= S™«=-1이므로 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 -1이다.
⑶ S«={2-;2#;}+{;2#;-;3$;}+y
S«=+{ - }
S«=2-
∴ S«= {2- }
=2-1=1
따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다.
답 ⑴ 1에 수렴-
⑵ -1에 수렴
⑶ 1에 수렴-
31
⑴ a«= 으로 놓으면
a«= =
=-3+0
따라서 주어진 급수는 발산한다.
⑵ 주어진 급수의 제 n항 a«을 a«= 으로 놓 으면
a«= = =¶+0
따라서 주어진 급수는 발산한다.
답 풀이 참조 1115n1
1+15n¤
nlimڦ
1123n¤ +1n‹
nlimڦ
nlimڦ
1123n¤ +1n‹
11113 {;3@;}
«-1
nlimڦ
3« ±⁄
1112« -3«
nlimڦ
nlimڦ
3« ±⁄
1112« -3«
112n+2n+1
nlimڦ
nlimڦ
112n+2n+1 112n+2n+1 112n+1n
nlimڦ
nlimڦ
1112n+11
nlimڦ
nlimڦ
1112k+11 1112k+11 1112k-1-1
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32
(a«+5)가 수렴하므로
(a«+5)=0 ∴ a«=-5 b«이 수렴하므로 b«=0
∴ = =4
답 4
33
{a«- }이 수렴하므로 {a«- }=0
이때 b«=a«- 으로 놓으면 b«=0이고 a«=b«+
∴ a«= {b«+ }=2
답 2
34
⑴ 첫째항이'5, 공비가 - 이고, |- |<1 이므로 주어진 등비급수는 수렴한다.
따라서 그 합은
=
⑵ 첫째항이 2, 공비가 이고, | |<1 이므로 주어진 등비급수는 수렴한다.
따라서 그 합은
=
⑶ 첫째항이 1, 공비가 -'3이고, |-'3|>1이므 로 주어진 등비급수는 발산한다.
2(3+'3) 111123 111112
1-111'3-12
111'3-12 111'3-12
5('5-1) 111124 1112'51
1+12 '5
121 '5 121
'5 111n¤ +12n¤
nlimڦ
nlimڦ
111n¤ +12n¤
nlimڦ
111n¤ +12n¤
111n¤ +12n¤
nlimڦ
111n¤ +12n¤
¡¶ n=1
12_(-5) 1121123_(-5) 12a«+b«¤
112113a«-2b«¤
nlimڦ
nlimڦ
¡¶ n=1
nlimڦ
nlimڦ
¡¶ n=1
⑷ {- }« 에서 첫째항이 - , 공비가 - 이고, |- |>1이므로 주어진 등비급 수는 발산한다.
⑸ 2 {;3!;}« —⁄ 에서 첫째항이 2, 공비가;3!;이고,
|;3!;|<1이므로 주어진 등비급수는 수렴한다.
따라서 그 합은
=3
⑹ (1-'2 )« —⁄ 에서 첫째항이 1, 공비가 1-'2 이고, |1-'2|<1이므로 주어진 등비급수는 수 렴한다.
따라서 그 합은
=
답 ⑴ 수렴, ⑵ 수렴,
⑶ 발산 ⑷ 발산
⑸ 수렴, 3 ⑹ 수렴,
35
(주어진 식)
=log™ 2+;2!; log™ 2+;4!; log™ 2+;8!; log™ 2+y
=1+;2!;+;4!;+;8!;+y
= =2 답 2
36
⑴ (4¥3—« +12¥6—« )=4 {;3!;}«+12 {;6!;}«
=4¥ +12¥
=2+:¡5™:=:™5™:
111;6!;
1-;6!;
111;3!;
1-;3!;
¡¶ n=1
¡¶ n=1
¡¶ n=1
11131 1-;2!;
12'22 2(3+'3) 111123 5('5-1)
111124 12'22 1121111
1-(1-'2)
¡¶ n=1
1112 1-;3!;
¡¶ n=1
122 '3 122
'3
122 '3 122
'3
¡¶ n=1
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확 인 체 크
⑵ [(2« -1){-;3!;}«
]= [{-;3@;}«
-{-;3!;}« ]
= -
=-;5@;+;4!;=-;2£0;
답 ⑴ :™5™: ⑵ -;2£0;
37
a+ar+ar¤ +y=3에서
=3 yy㉠
a¤ +a¤ r¤ +a¤ r› +y=18에서
=18 yy㉡
㉡에서 =18이므로
=6 yy ㉢
㉠에서 a=3-3r이므로 ㉢에 대입하면
=6, 3-3r=6+6r
∴ r=-;3!; 답 -;3!;
38
첫째항을 a, 공비를 r라 하면 -1<r<1이고
a«= =2 yy㉠
a«¤ = =;3$; yy㉡
㉡÷㉠을 하면 =;3@; yy㉢
㉠, ㉢에서 a=1, r=;2!;
∴ a«‹ = =
=;7*; 답 ;7*;
1111 1-;8!;
11251-r‹a‹
¡¶ n=1
1121+ra 11251-r¤a¤
¡¶ n=1
1121-ra
¡¶ n=1
113433-3r1+r 1121+ra
11111123(1-r)(1+r)a¥a 11341-r¤a¤
11341-ra
-;3!;
111 1+;3!;
-;3@;
111 1+;3@;
¡¶ n=1
¡¶ n=1
39
첫째항을 a, 공비를 r라 하면 -1<r<1이고
a™=ar=-;3$; yy㉠
a«= =3 yy㉡
㉡에서 a=3-3r를 ㉠에 대입하면 (3-3r)¥r=-;3$;, 9r¤ -9r-4=0 (3r-4)(3r+1)=0
∴ r=-;3!; (∵ -1<r<1) 답 -;3!;
40
⑴ 공비가 3(x-1)이므로 이 등비급수가 수렴하려면 -1<3(x-1)<1 ∴;3@;<x<;3$;
⑵ 첫째항이 x, 공비가;2!;(x-2)이므로 이 등비급 수가 수렴하려면 x=0 또는 -1<;2!;(x-2)<1
⁄ x=0일 때, 0+0+0+y=0이므로 수렴한다.
¤ x+0일 때,
¤ -1<;2!;(x-2)<1에서 0<x<4
⁄, ¤에서 0…x<4
⑶ 공비가 log
;2!;x이므로 이 등비급수가 수렴하려면 -1<log;2!;x<1 ∴;2!;<x<2
⑷ 공비가 x¤ -x+1이므로 이 등비급수가 수렴하려 면 -1<x¤ -x+1<1
⁄ -1<x¤ -x+1에서 x¤ -x+2>0
⁄ {x-;2!;}¤
+;4&;>0
⁄ 이므로 모든 실수 x에 대하여 항상 성립한다.
¤ x¤ -x+1<1에서 x¤ -x<0
¤ x(x-1)<0 ∴ 0<x<1
⁄, ¤에서 0<x<1
⑸ 공비가 4x-x¤ 이므로 이 등비급수가 수렴하려면 -1<4x-x¤ <1
⁄ -1<4x-x¤에서 x¤ -4x-1<0
⁄ ∴ 2-'5<x<2+'5 1121-ra
¡¶ n=1
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¤ 4x-x¤ <1에서 x¤ -4x+1>0
⁄ ∴ x<2-'3 또는 x>2+'3
⁄, ¤에서
2-'5<x<2-'3 또는 2+'3<x<2+'5 답 풀이 참조
41
등비급수 {;4{;}« 의 공비가 ;4{;이므로 이 등비급수 가 수렴하려면
-1<;4{;<1 ∴ -4<x<4 yy㉠ 등비급수 {;[#;}« 의 공비가;[#;이므로 이 등비급수 가 수렴하려면
-1<;[#;<1 ∴ x<-3 또는 x>3 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -4<x<-3또는 3<x<4
답 -4<x<-3또는 3<x<4
42
2a«≠¡=a«+4에서 a«≠¡=;2!;a«+2
∴ a«≠¡-4=;2!;(a«-4)
따라서 수열 {a«-4}는 첫째항이 a¡-4=5-4=1, 공비가;2!;인 등비수열이므로
a«-4=1¥{;2!;}« —⁄ ∴ a«=4+{;2!;}« —⁄
∴ (4-a«)= [-{;2!;}« —⁄
]
∴ (4-a«)= =-2 답 -2
43
a«=a, b«=b(a, b는 상수)라 하면 (a«-b«)=2, n=1¡¶ (4a«+3b«)=8에서
¡¶ n=1
¡¶ n=1
¡¶ n=1
1113-1 1-;2!;
¡¶ n=1
¡¶ n=1
¡¶ n=1
¡¶ n=1
a«- b«=2, 4 a«+3 b«=8
∴ a-b=2, 4a+3b=8
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=0
∴ a«=2 답 2
44
⑴ 0.H1H4=0.14+0.0014+0.000014+y
0.14= + + +y
0.14=
0.14=;9!9$;
⑵ 1.2H3=1.2+0.03+0.003+0.0003+y
1.23=;1!0@;+
1.23=;1!0@;+;3¡0;
1.23=;3#0&;
⑶ 1.3H2H1=1.3+0.021+0.00021+y 1.321=1.3+;10@0!0;+;100@0!00;+y
1.321=;1!0#;+
1.321=;1!0#;+;33&0;=;1@6!5*;
답 ⑴;9!9$; ⑵ ;3#0&; ⑶ ;1@6!5*;
45
첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a=0.H4=;9$; yy`㉠
ar‹ =0.0H5=;9∞0; yy㉡
㉠, ㉡에서;9$;r‹ =;9∞0;, r‹ =;8!;
;10@0!0;
1111 1-;10!0;
;10#0;
1112 1-;1¡0;
;1¡0¢0;
1111 1-;10!0;
1111100000014 1111000014
1110014
¡¶ n=1
¡¶ n=1
¡¶ n=1
¡¶ n=1
¡¶ n=1
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확 인 체 크
∴ r=;2!;
따라서 구하는 등비급수의 합은
=;9*; 답 ;9*;
46
;9!9@;=0.H1H2=0.121212y이므로 a¡=1, a™=2, a£=1, a¢=2, y
∴ =;3!;+ + + + + +y
={;3!;+ + +y}
=+{ + + +y}
= +
=;8#;+;8@;=;8%; 답 ;8%;
47
점 P«이 점 (a, b)에 한없이 가까워진다고 하면 a=O’P’¡’-P’™’P’£’+P’¢’P’∞’-y
a=1-{;2!;}¤ +{;2!;}› -y
a= =;5$;
b=P’¡’P’™’-P’£’P’¢’+P’∞’P’§’-y b=;2!;-{;2!;}‹ +{;2!;}fi -y
b= =;5@;
따라서 점 P«은 점 {;5$;, ;5@;}에 한없이 가까워진다.
답 {;5$;, ;5@;}
1311143;2!;
1-{-;4!;}
11131251 1-{-;4!;}
153¤2 11151
1-153¤
1115;3!;1 1-153¤
153fl2 153›2 153¤2
153fi1 153‹1
153fl2 153fi1 153›2 153‹1 153¤2 13a«3«
¡¶ n=1
111;9$;
1-;2!;
48
P’P’¡’=OP”¥sin 30˘=2¥;2!;=1 P’¡’P’™’=P’P’¡’¥sin 60˘=1¥ =
P’™’P’£’=P’¡’P’™’¥sin 60˘= ¥ ={ }¤
∴ P’P’¡’+P’¡’P’™’+P’™’P’£’+y
∴=1+ +{ }¤ +y
∴=
∴=
∴=2(2+'3 ) 답 2(2+'3 )
49
삼각형 A¡의 둘레의 길이는 4, 삼각형 A™의 둘레의 길이는 4_;2!;=2
삼각형 A£의 둘레의 길이는 2_;2!;=1
따라서 모든 삼각형 A¡, A™, A£, y 의 둘레의 길 이의 합은
S=4+2+1+y= 4 =8 답 8
1113 1-;2!;
A¡
A£
A™
11122 2-'3 11111
1-11'32 12'32 12'32
12'32 12'32 12'32
12'32 12'32
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50
⑴ f(x)= 로 놓으면 x+3일 때,
x¤ -9 (x-3)(x+3) f(x)=111=1111112x-3 x-3 f(x)=x+3
이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 3에 한 없이 가까워질 때, f(x) 의 값은 6에 한없이 가 까워지므로
x¤ -9
limx⁄3111=limx⁄3(x+3) x-3
=6
⑵ f(x)=9로 놓으면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같고, x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 항상 9이므로
9=9
⑶ f(x)= 로 놓으면 x+0일 때,
x¤ +2x x+2 f(x)=1112=1123x 3 이므로 함수 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같 고, x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은
;3@; 에 한없이 가까워지므로 x¤ +2x x+2 limx⁄011222=lim3x x⁄01123
=;3@;
O x
y y=f(x)
3 2
x¤ +2x 11213x limx⁄0
9
O x
y
y=f(x)
O x
y
3 6 3
y=f(x)
x¤ -9 111x-3
⑷ f(x)=x¤ -2로 놓으면 함수 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같 고, x의 값이 2에 한없 이 가까워질 때, f(x)
의 값은 2에 한없이 가까워지므로 limx⁄2(x¤ -2)=2
⑸ f(x)= 로 놓으면 x+1일 때,
x‹ -1 (x-1)(x¤ +x+1) f(x)=111=112111111x-1 x-1 f(x)=x¤ +x+1
이므로 함수 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같 고, x의 값이 1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 3에 한없이 가까워지므로
x‹ -1
limx⁄11125=limx⁄1(x¤ +x+1)=3 x-1
⑹ f(x)= 로 놓으면 x+2일 때,
f(x)= = =1+
이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 3에 한없 이 가까워질 때, f(x)의 값은 3에 한없이 가까워 지므로
= {1+ }=3
⑺ f(x)='ƒ3x+6으로 놓으면 함수 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값 이 1에 한없이 가까워
질 때, f(x)의 값은 3에 한없이 가까워지므로
O -2
3
1 x
y y=f(x)
112x-22 limx⁄3
112x-2x limx⁄3
O 1 3
2 3 x y y=f(x)
112x-22 (x-2)+2
11111x-2 112x-2x
112x-2x
O x
y
1 1 3
y=f(x)
x‹ -1 111x-1
O x
y
2
-2 2
y=f(x)
II.
함수의 극한과 연속http://zuaki.tistory.com
확 인 체 크 'ƒ3x+6=3
⑻ f(x)='ƒ-x+3으로 놓 으면 함수 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 -2에 한없이 가까워질 때,
f(x)의 값은'5에 한없이 가까워지므로 'ƒ-x+3='5
답 풀이 참조
51
⑴ f(x)=-5x+1로 놓으면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값 이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 음수이면서 그 절댓값 이 한없이 커지므로
(-5x+1)=-¶
⑵ f(x)=5-x¤ 으로 놓으면 함 수 y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같고, x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값 은 음수이면서 그 절댓값이
한없이 커지므로 (5-x¤ )=-¶
⑶ f(x)=x¤ +4x-12로 놓으 면 함수 y=f(x)의 그래프 는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 음수이면서 그 절댓값 이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 한없이 커지므로
(x¤ +4x-12)=¶
⑷ f(x)= 로 놓으면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의
값이 -3에 한없이 가까워 -3 O x
y
y=f(x)
1121|x+3|1
xlim⁄-¶
O 2
-12
-6 x
y y=f(x)
xlimڦ
O 5
x y
-'5 '5 y=f(x)
xlimڦ
1
O x
y y=f(x)
xlim⁄-2
O
-2 3 x
y
'5 y=f(x)
limx⁄1 질 때, f(x)의 값은 한없이 커지므로
=¶
⑸ f(x)=3-
로 놓으면 함수 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림 과 같고, x의 값이 2에 한없이 가까워질 때,
f(x)의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커 지므로
[3- ]=-¶
⑹ f(x)=-'ƒ3-x로 놓으면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값 이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, f(x)의 값
은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 (-'ƒ3-x )=-¶
답 ⑴ -¶ ⑵ -¶ ⑶ ¶-
⑷ ¶- ⑸ -¶ ⑹ -¶
52
⑴ f(x)= 로 놓으면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 음수이면서 그 절댓값 이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 0에 한없이 가까워지므로
=0
⑵ f(x)= 로 놓으면 f(x)=
f(x)=3- 3 112x+1 3(x+1)-3 111112x+1
O 3
-1 x
y=f(x) y
112x+13x 112x+31
xlim⁄-¶
y=f(x)
-3 O x
1 y
112x+3
xlim⁄-¶
y=f(x) O
3 x y
1111(x-2)¤1 limx⁄2
O 3
2 x
y
y=f(x)
1111(x-2)¤1 1121|x+3|1
xlim⁄-3
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함수 y=f(x)의 그래프는 위의 그림과 같고, x 의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 3에 한없 이 가까워지므로
=3
⑶ f(x)=2-;[!;로 놓으면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 한없이 커질 때, f(x) 의 값은 2에 한없이 가까 워지므로
{2-;[!;}=2
⑷ f(x)=1+ 로 놓으면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 음수이면서 그 절댓 값이 한없이 커질 때, f(x) 의 값은 1에 한없이 가까워지므로
{1+ }=1
⑸ f(x)= -2로
놓으면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 음수이면 서 그 절댓값이 한없이 커
질 때, f(x)의 값은 -2에 한없이 가까워지므로
[ -2]=-2
답 ⑴ 0 ⑵ 3 ⑶ 2 ⑷ 1 ⑸ -2
53
⑴ x의 값이 1보다 큰 값을 가지면서 1에 한없이 가 까워질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지므
로 f(x)=1 yy㉠
x의 값이 1보다 작은 값을 가지면서 1에 한없이
xlim⁄1+
1111(x-3)¤1
xlim⁄-¶
O 3 -2
x y y=f(x)
1111(x-3)¤1 15x¤1
xlim⁄-¶
O 1
x y
y=f(x)
15x¤1
xlimڦ
O 2
x y=f(x)y
112x+13x
xlimڦ
가까워질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지
므로 f(x)=1 yy㉡
㉠, ㉡에서 f(x)= f(x)=1이므로 f(x)=1
⑵ x의 값이 2보다 큰 값을 가지면서 2에 한없이 가 까워질 때, f(x)의 값은 2에 한없이 가까워지므
로 f(x)=2 yy㉠
x의 값이 2보다 작은 값을 가지면서 2에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 2에 한없이 가까워지
므로 f(x)=2 yy㉡
㉠, ㉡에서 f(x)= f(x)=2이므로 f(x)=2
⑶ x의 값이 3보다 큰 값을 가지면서 3에 한없이 가 까워질 때, f(x)의 값은 0에 한없이 가까워지므
로 f(x)=0
⑷ x의 값이 4보다 작은 값을 가지면서 4에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 3에 한없이 가까워지 므로
f(x)=3
⑸ x의 값이 -1보다 큰 값을 가지면서 -1에 한없 이 가까워질 때, f(x)의 값은 2에 한없이 가까워
지므로 f(x)=2 yy㉠
x의 값이 -1보다 작은 값을 가지면서 -1에 한 없이 가까워질 때, f(x)의 값은 -1에 한없이 가 까워지므로 f(x)=-1 yy㉡
㉠, ㉡에서 f(x)+ f(x)이므로 극한 f(x)는 존재하지 않는다.
답 ⑴ 1 ⑵ 2 ⑶ 0 ⑷ 3 답 ⑸ 존재하지 않는다.
54
f(x)= (x¤ -2x-1)=-2 f(x)=lim(-x+k)=-1+k
x⁄1- xlim⁄1-
xlim⁄1+
xlim⁄1+
xlim⁄-1
xlim⁄-1- x⁄-1+lim
xlim⁄-1- x⁄-1+lim
xlim⁄4- xlim⁄3+
limx⁄2
xlim⁄2- xlim⁄2+
xlim⁄2- xlim⁄2+
limx⁄1
xlim⁄1- xlim⁄1+
xlim⁄1-
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확 인 체 크 f(x)의 값이 존재하려면
f(x)= f(x)이어야 하므로
-2=-1+k ∴ k=-1 답 -1
55
⑴ x=-2에서의 우극한과 좌극한을 각각 구하면
=-¶
=¶
따라서
+
이므로 극한 는 존재하지 않는다.
⑵ x⁄ 3-일 때, x<3이므로
|x-3|=-(x-3)
∴ =
= (-x)=-3
⑶ x ⁄ -1+일 때, x>-1이므로
|x+1|=x+1
∴
∴=
∴= (2x-1)=-3 x ⁄ -1-일 때, x<-1이므로
|x+1|=-(x+1)
∴
∴=
∴= (1-2x)
∴=3
즉 + 2x¤ +x-1 이
11111|x+1|
x⁄-1-lim 2x¤ +x-1
11111|x+1|
xlim⁄-1+
xlim⁄-1-
(2x-1)(x+1) 1111111-(x+1)
xlim⁄-1-
2x¤ +x-1 11111|x+1|
xlim⁄-1- xlim⁄-1+
(2x-1)(x+1) 11111125x+1
xlim⁄-1+
2x¤ +x-1 11111|x+1|
xlim⁄-1+
xlim⁄3-
x(x-3) 11112-(x-3)
xlim⁄3-
x¤ -3x 1112|x-3|
xlim⁄3-
112x-2x+2
xlim⁄-2
112x-2x+2
xlim⁄-2-
112x-2x+2
xlim⁄-2+
112x-2x+2
xlim⁄-2-
112x-2x+2
xlim⁄-2+
xlim⁄1- xlim⁄1+
limx⁄1
O
-2 -1
1 x y
y=x+2 x-2
-1O -1 -3 3
x y
y= |x+1|
2x¤ +x-1
므로 극한 은 존재하지 않는다.
⑷ x⁄ 4+일 때, [x]=4이므로 ([x]-4)=0
∴ =0
⑸ -1<x<0일 때, 0<x+1<1이므로 [x+1]=0
[x+1]
∴ lim
x⁄ 0-11252=0x+1
⑹ -1<x<0일 때, -2<x-1<-1이므로 [x-1]=-2
∴ =;2!;
0<x<1일 때, -1<x-1<0이므로 [x-1]=-1
∴ =1
따라서 + 이므로
극한 은 존재하지 않는다.
답 풀이 참조
56
주어진 식의 분모, 분자를 x¤ 으로 나누면
=
= =-2
∴ a=7 답 7
57
x-a=t로 놓으면 x ⁄ a일 때, t ⁄ 0이므로
= =3
∴ f(x)=3 112x limx⁄0
112f(t)t limt⁄0
f(x-a) 1111x-a limx⁄a
1111+3a3-2a 1+3 lim f(x)
x⁄0112x¤
1111111f(x) 3-2 lim
x⁄0112x¤
3f(x) 1+111x¤
111112f(x) 3-111x¤
limx⁄0
1115[x-1]x-1 limx⁄0
1115[x-1]x-1
xlim⁄0-
1115[x-1]x-1
xlim⁄0+
1115[x-1]x-1
xlim⁄0+
1115[x-1]x-1
xlim⁄0-
[x]-4 1115x-4
xlim⁄4+
xlim⁄4+
2x¤ +x-1 11111|x+1|
xlim⁄-1
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∴ =
=
= =;9&; 답 ;9&;
58
6x+5x¤ x(6+5x)
⑴ lim
x⁄01122225=lim2x-3x¤ x⁄0112221x(2-3x) lim 6+5x
x⁄01122225=lim
x⁄011225=32-3x 2x¤ -3x+1 (x-1)(2x-1)
⑵ lim
x⁄11122211=limx¤ -1 x⁄1112221112(x-1)(x+1) lim 2x-1
x⁄11122211=lim
x⁄111225=;2!;x+1
⑶ lim
x⁄0
x('∂x+1+1)
=limx⁄0112221111111 ('∂x+1-1)('∂x+1+1)
=limx⁄0('∂x+1+1)
=2
⑷
=
= =-;8&;
⑸ lim
x⁄-1
(x+1)(‹"≈x¤ -‹"x+1)
= lim
x⁄-11122211121123 (‹"x+1)(‹"≈x¤ -‹"x+1) (x+1)(‹"≈x¤ -‹"x+1)
=limx⁄-1112221112112x+1
=limx⁄-1(‹"≈x¤ -‹"x+1)=3
⑹ lim
x⁄2
'ƒx+2-2 111115
x-'ƒ3x-2 111x+1
‹'x+1 1112x-1x¤ -1
xlim⁄-3
(x+3)(2x-1) 11111115(x+3)(x¤ -1)
xlim⁄-3
2x¤ +5x-3 1111111x‹ +3x¤ -x-3
xlim⁄-3
11211x 'ƒx+1-1
1+2¥3 11120+3¥3
1+2 lim f(x)
x⁄0112x 111111111f(x)
limx⁄02x+3 lim
x⁄0112x 2f(x) 1+111x 1111123f(x)
2x+111x limx⁄0
x+2f(x) 1111122x¤ +3f(x) limx⁄0
('ƒx+2-2)('ƒx+2+2)(x+'ƒ3x-2 )
=limx⁄21122211111111111123 (x-'ƒ3x-2 )('ƒx+2+2)(x+'ƒ3x-2 ) (x+2-4)(x+'ƒ3x-2 )
=limx⁄21122211111113 (x¤ -3x+2)('ƒx+2+2) (x-2)(x+'ƒ3x-2 )
=limx⁄211222111111131 (x-2)(x-1)('ƒx+2+2)
x+'ƒ3x-2
=limx⁄21122211111=1 (x-1)('ƒx+2+2)
답 ⑴ 3 ⑵;2!; ⑶ 2 답 ⑷-;8&; ⑸ 3 ⑹ 1
59
x¤ -2x+3 1-;[@;+;[#¤:
⑴ lim
x⁄¶11111=lim3x¤ +2 x⁄¶1122211=;3!;3+;[¤@:
5x-7 ;[%;-;[¤&:
⑵ lim
x⁄¶1121123=lim4x¤ -3x+2 x⁄¶1122211=04-;[#;+;[@¤:
x¤ x
⑶ lim
x⁄¶112=lim2-x x⁄¶1122=-¶
;[@;-1
⑷ lim
xڦ
1-;[!;
=limxڦ112221111=;2!;
Æ…1+;[%;+;;;£; ;;x;¤+1
⑸ x=-t로 놓으면 x ⁄ -¶일 때, t ⁄ ¶이므로
=
= =-3
⑹ x=-t로 놓으면 x ⁄-¶일 때, t ⁄¶이므로
=lim 1+2t
tڦ112211113
"√4t¤ +1+"√t¤ -1 1121111151-2x
"√4x¤ +1+"√x¤ -1
xlim⁄-¶
-3-;t!;
11212 Æ…1+;t@;
tlimڦ
-3t-1 1121
"√t¤ +2t
tlimڦ
1121253x-1
"√x¤ -2x
xlim⁄-¶
11211112x-1
"√x¤ +5x+3+x
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확 인 체 크 :t!;+2
=limt⁄¶1122111131 Æ…4+:¡:t¤ +Æ…1-:¡:t¤
=112=;3@;2+12
답 ⑴;3!; ⑵ 0 ⑶ -¶
답 ⑷;2!; ⑸ -3 ⑹ ;3@;
60
⑴ lim
x⁄-¶(x› -3x‹ +4)
= lim
x⁄-¶x› {1-;[#;+;;;¢;;;x› }=¶
⑵ lim
x⁄¶("√4x¤ +3x-1-2x)
("√4x¤ +3x-1-2x)("√4x¤ +3x-1 +2x)
=limxڦ1122211111113111112
"√4x¤ +3x-1+2x
=lim 3x-1
xڦ1122211112
"√4x¤ +3x-1+2x 3-;[!;
=limx⁄¶1122211115 Æ…4+;[#;-;;;¡;;;x¤ +2
=;4#;
⑶ x=-t로 놓으면 x ⁄ -¶일 때, t ⁄ ¶이므로 ("√x¤ -7x+10+x)
= ("√t¤ +7t+10-t)
=
=
=
=;2&;
⑷ lim
x⁄0;[!;[1- ] (x+1)¤ -1
=limx⁄0[;[!;¥11222123](x+1)¤
11213(x+1)¤1 7+:¡tº:
1111111210 æ≠1+;t&;+13+1t¤
tlimڦ
7t+10 1111111
"√t¤ +7t+10+t
tlimڦ
("√t¤ +7t+10-t)("√t¤ +7t+10+t) 1111111111111115
"√t¤ +7t+10+t
tlimڦ
tlimڦ
xlim⁄-¶
x¤ +2x
=limx⁄0[;[!;¥112223](x+1)¤
=lim x+2
x⁄0112225(x+1)¤
=2
⑸ lim
x⁄0;[!; { - } '3 -('3 -x)
=limx⁄0[ ;[!;¥112221231]
'3 ('3 -x)
=lim x
x⁄0[ ;[!;¥11222313]
'3 ('3 -x)
=lim 1
x⁄0 112225 3-'3 x
=;3!;
⑹ x {;2!;- }
=
=
=
=
= =;1£6;
⑺ x=-t로 놓으면 x ⁄ -¶일 때, t ⁄ ¶이므 로
x¤ {;3!;+ }
= t¤ {;3!;- }
= [t¤ ¥ ]
= [t¤ ¥ ]
=
= t¤
1121111112 9t¤ +3+"√81t› +27t¤
tlimڦ
112111111153t¤
3(9t¤ +3+3t"√9t¤ +3)
tlimڦ
("√9t¤ +3-3t)("√9t¤ +3+3t) 1121111111111
3"√9t¤ +3("√9t¤ +3+3t)
tlimڦ
"√9t¤ +3-3t 112111
3"√9t¤ +3
tlimڦ
1121t
"√9t¤ +3
tlimڦ
111225x
"√9x¤ +3
xlim⁄-¶
1128+83
1111111153 8+;[^;+4Æ…4+;[#;
xlimڦ
11111111253x 8x+6+4"√4x¤ +3x
xlimڦ
x('ƒ4x+3-2'x)('ƒ4x+3+2'x) 111111111111111
2'ƒ4x+3('ƒ4x+3+2'x)
xlimڦ
x('ƒ4x+3-2'x) 11111111
2'ƒ4x+3
xlimڦ
11125'x 'ƒ4x+3
xlimڦ
121 '3 1111
'3-x
