01 경우의 수

024^{②, ③, ④}

025 ^앞면이2개 나온다., 모두 뒷면이 나온다., 앞면과 뒷면이 나온다.

026⁴ 027⁶ 028⁴ 029^2가지 030⁵ 031^② 032^① 033^② 034^② 035^10가지 036^⑤ 037^④ 038 ^① 039 ^④ 040 ¹² 041 ^12개 042^60개 043 ^29개 044^5개 045 ^③ 046^② 047¹² 048 ³⁰ 049 ^6가지 050^9개

5~8^`쪽

` 1에서10까지의 수 중10의 약수는1, 2, 5, 10이므로 경우의 수는4^이다.

` 1^에서20^{까지의 수 중}20^{의 약수는}1^, 2^, 4^, 5^, 10^, 20^이므로 구하는 경우의 수는6이다.

` 6의 약수는1, 2, 3, 6이므로 구하는 경우의 수는4이다.

` 돈을 지불할 수 있는 방법을 표로 나타내면 오른쪽과 같다. 따라서 볼펜 값을 지불하는 방법의 수는2^{가지이다.}

` 두 눈의 수의 합이8이 되는 경우의 수는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의5

` 2x+y=8을 만족하는 순서쌍(x, y)는 (1, 6), (2, 4), (3, 2)의3개이다.

`` 두 눈의 수의 차가3이 되는 경우의 수는

(1^, 4)^, (2^, 5)^, (3^, 6)^, (4^, 1)^, (5^, 2)^, (6^, 3)^의6 두 눈의 수의 차가5가 되는 경우의 수는(1, 6), (6, 1)의2 따라서 구하는 경우의 수는6+2=8

` 두 눈의 수의 곱이3이 되는 경우의 수는(1, 3), (3, 1)의2 두 눈의 수의 곱이6이 되는 경우의 수는

(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)의4

033 032 031 030 029 028 027 026

따라서 구하는 경우의 수는2+4=6

` 4의 배수가 적힌 공이 나오는 경우의 수는4^, 8^, 12^의3 5의 배수가 적힌 공이 나오는 경우의 수는5^, 10^, 15^의3 따라서 구하는 경우의 수는3+3=6

A^{`</sup>⁄ B<sup>`}⁄ C^{로 가는 방법 :} 2_4=8(가지) A^`⁄ C^{로 가는 방법 :} 2^가지

따라서 구하는 방법은8+2=10(가지)

` 운동화를 고르는 방법은3가지, 양말을 고르는 방법은4가지 따라서 구하는 방법은3_4=12^(가지)

` A에서 짝수가 나오는 경우의 수는2, 4, 6의3 B^에서6의 약수가 나오는 경우의 수는1^, 2^, 3^, 6^의4 따라서 구하는 경우의 수는3_4=12

` 가운데 자리에C^{를 세운 후}C^{를 제외한}4명을 한 줄로 세우면 되므로 구하는 경우의 수는4_3_2_1=24

` B^, D를 한 묶음으로 생각하면 B^, D^, A^, C^, E 4^{명이 한 줄로} 서는 경우의 수는4_3_2_1=24

이때B^, D가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는2^이므로 구하는 경우의 수는24_2=48

` 선생님 두 분이 의자에 앉는 경우의 수는2_1=2 학생 세 명이 나란히 서는 경우의 수는3_2_1=6 따라서 구하는 경우의 수는2_6=12

` 십의 자리에 올 수 있는 수는1, 2, 3, 4의4개

일의 자리에 올 수 있는 수는 십의 자리의 수를 제외한3개 따라서 구하는 정수의 개수는4_3=12^(개)

` 백의 자리에 올 수 있는 수는1^, 2^, 3^, 4^, 5^의5^개 십의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리의 수를 제외한4^개 일의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리의 수와 십의 자리의 수를 제외한3^개

따라서 구하는 정수의 개수는5_4_3=60^(개)

` 백의 자리의 수에 따라 정수의 개수를 구하면

⁄ 백의 자리의 수가1^또는2^{일 때}

⁄1 ^{인 경우 :} 4_3=12^(개)

⁄2 ^{인 경우 :} 4_3=12^(개)

¤ 백의 자리의 수가3^{일 때}

⁄31 ^{인 경우 :} 312^, 314^, 315^의3^개

⁄32 ^{인 경우 :} 321^, 324^의2^개 따라서325보다 작은 정수의 개수는 12+12+3+2=29^(개)

043 042 041 040 039 038 037 036 035 034

01 ^{경우의 수}

001 3 002 3 0032 0043 0052 0064 0073 008 ⁵ 009 ⁵ 010⁴ 011² 012 ⁸ 013 ⁴ 014² 015 6 016 6 0176 0188 0192 0204 0216 022³⁶ 023¹²

4^`쪽

1. 경우의 수와 확률

Ⅴ

50^원 100^원

0 5

2 4

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워 크 북 해 설

` 일의 자리의 수가 짝수이어야 하므로 일의 자리의 수에 따라 구 해 보면

⁄ 0^{인 경우 :} 10^, 20^, 30^의3^개

¤ 2^{인 경우 :} 12^, 32^의2^개

따라서 구하는 짝수의 개수는3+2=5^(개)

` 백의 자리의 수가1^, 2^{이어야 하므로}

⁄1 ^{인 경우 :} 4_3=12^(개)

¤2 ^{인 경우 :} 4_3=12^(개)

따라서 구하는 정수의 개수는12+12=24^(개)

` 일의 자리의 수가 홀수이어야 하므로 일의 자리의 수에 따라 구 해 보면

⁄ 1^{인 경우 :} 21^, 31^, 41^의3^개

¤ 3^{인 경우 :} 13^, 23^, 43^의3^개 따라서 구하는 정수의 개수는3+3=6^(개)

` 4^{명 중 자격이 다른}2명을 뽑는 경우의 수이므로 4_3=12

` 남자5^{명 중 자격이 같은}2명의 대표를 뽑는 경우의 수는

=10

여자3^{명 중}1명의 대표를 뽑는 경우의 수는3 따라서 구하는 경우의 수는10_3=30

` 4가지 중 순서에 관계없이2가지를 뽑는 경우이므로

=6^(가지)

` 5개의 점 중 세 점을 고르는 경우의 수는 =10 그런데C^, D^, E의 세 점을 연결하면 삼각형이 만들어지지 않으 므로 구하는 삼각형의 개수는10-1=9^(개)

5_4_3 3_2_1

050

4_3 2

049

5_4 2

048 047 046 045 044

02 ^{확률의 뜻과 성질}

051⁴ 052¹ 053^;4!; 054^;2!; 055^;3!; 056^;3!;

057^;2!; 058^;5#; 059^;1•3; 060^;1∞3; 061^;1∞9;

062^;1!9$; 063⁰ 064¹ 065^;1¡2; 066^;1!2!; 067^;4!;

068^;4#;

9^쪽

069^② 070^8개 071;2!; 072^② 073;2¶0; 074;2ª5;

075^;2!; 076^① 077^;4!; 078^③ 079^③ 080⁰ 081^③ 082^;1¶0; 083^;9$; 084^;3@; 085^;2¶0; 086^④ 087^⑤ 088^⑤

10~12^`쪽

` 모두 짝수의 눈이 나오는 경우의 수는3_3=9 따라서 구하는 확률은;3ª6;=;4!;

` (적어도 한 개의 주사위에서 홀수의 눈이 나올 확률)

=1-(두 개의 주사위 모두 짝수의 눈이 나올 확률)

=1-;4!;=;4#;

068 067

` 모든 경우의 수는10이고, 소수가 나오는 경우의 수는2^, 3^, 5^, 7 의4이므로 구하는 확률은;1¢0;=;5@;

` 흰 공의 개수를x^{개라 하면}

;1”2;=;3@; ∴ x=8

` 모든 경우의 수는 =6^, 500원 이상인 경우의 수는510^, 550^, 600^의3이므로 구하는 확률은;6#;=;2!;

` 모든 경우의 수는6_6=36

a-b^가2보다 큰 경우는 순서쌍(a^, b)^가(6^, 1)^, (6^, 2)^, (6^, 3)^, (5^, 1)^, (5^, 2)^, (4^, 1)^의6^개

따라서 구하는 확률은;3§6;=;6!;

` 모든 경우의 수는5_4=20

25^{미만인 경우의 수는}12^, 13^, 14^, 15^, 21^, 23^, 24^의7 따라서 구하는 확률은;2¶0;

` 모든 경우의 수는5_5=25 41^{이상인 경우의 수는}

41^, 42^, 43^, 45^, 50^, 51^, 52^, 53^, 54^의9 따라서 구하는 확률은;2ª5;

`` 모든 경우의 수는6_5=30

홀수가 되어야 하므로 일의 자리에 올 수 있는 수는1^, 3^, 5^의3 개이고 그 각각에 대하여 십의 자리에 올 수 있는 수는 일의 자리 의 수를 제외한5개이므로 홀수인 경우의 수는3_5=15 따라서 구하는 확률은;3!0%;=;2!;

075 074 073 072

4_3

071

070 069

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03 ^{확률의 계산}

089;3!; 090;1∞2; 091;4!; 092;4#; 093;1¶2; 094;1∞2;

095^;6!; 096^;1¶2; 097^;1¢5; 098^;1™5; 099^;5@; 100^;4!;

101^;3!; 102^;6!; 103^;5@; 104^;8#; 105^;2£0; 106^;4!;

107^;6!; 108^;2¡4;

13^`쪽

` 모든 경우의 수는6_6=36

2x+y=10^{을 만족하는 순서쌍}(x, y)는 (2, 6), (3, 4), (4, 2)의3개

따라서 구하는 확률은;3£6;=;1¡2;

` 모든 경우의 수는6_6=36 y>18-3x^에서

x=5일 때y>3이므로y=4, 5, 6

즉, 순서쌍(x^, y)^는(5^, 4)^, (5^, 5)^, (5^, 6)^의3^개 x=6일 때y>0이므로y=1, 2, 3, 4, 5, 6

즉, 순서쌍(x, y)는(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6^, 6)^의6^개

따라서y>18-3x인 경우의 수는3+6=9이므로 구하는 확률은;3ª6;=;4!;

` 모든 경우의 수는6_6=36

두 직선y=ax+b^, y=2x+1^{이 평행하려면}a=2^, b+1 즉, 첫 번째에2, 두 번째에2, 3, 4, 5, 6이 나오면 되므로 순서 쌍(a^, b)^는 (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)의5개 이므로 구하는 확률은;3∞6;

` ③p+q=1이므로p=1-q

⑤q=0^이면p=1^{이므로 사건}A는 반드시 일어난다.

두 눈의 수의 합이1이 될 수 없으므로 구하는 확률은0^이다.

` ①, ②, ④, ⑤ 반드시 일어나는 사건이므로 확률은1^이다.

③ 절대로 일어날 수 없는 사건이므로 확률은0^이다.

` 모든 경우의 수는20^이고, 20의 약수가 적힌 카드가 나오는 경 우의 수는1^, 2^, 4^, 5^, 10^, 20^의6^이므로

(20의 약수가 아닌 수가 적힌 카드가 나올 확률)

=1-(20의 약수가 적힌 카드가 나올 확률)

=1-;2§0;=;2!0$;=;1¶0;

` (^{홀수가 아닐 확률})=1-(^{홀수일 확률})=1-;9%;=;9$;

` 6^{의 약수는}1^, 2^, 3^, 6^의4^개이므로 (6의 약수가 나오지 않을 확률)

=1-(6의 약수가 나올 확률)

=1-;1¢2;=;1•2;=;3@;

084 083 082 081 080 079 078 077

076

=1-(A후보자를 지지했을 확률)

=1-;1§0∞0º0;=;1£0∞0º0;=;2¶0;

` 공8^{개 중}2개를 뽑는 경우의 수는 =28

모두 빨간 공인 경우의 수는 빨간 공5^{개 중}2^{개를 뽑는 경우의} 수와 같으므로 =10

∴(적어도 한 개는 파란 공일 확률)

∴=1-(두 개 모두 빨간 공일 확률)

∴=1-;2!8);=;2!8*;=;1ª4;

` 모든 경우의 수는2_2_2=8

세 개 모두가 뒷면이 나오는 경우의 수는 (뒤, 뒤, 뒤)의1

∴ (적어도 한 개는 앞면이 나올 확률)

∴=1-(세 개 모두 뒷면이 나올 확률)=1-;8!;=;8&;

` 만들 수 있는 두 자리의 정수의 개수는5_4=20^(개)

각 자리의 수가 모두 홀수인 정수의 개수는1^, 3^, 5^중2^{개를 뽑} 아 만든 두 자리의 정수의 개수와 같으므로3_2=6^(개)

∴(각 자리의 수 중 적어도 하나는 짝수일 확률)

∴=1-(각 자리의 수가 모두 홀수일 확률)

∴=1-;2§0;=;2!0$;=;1¶0;

088 087

5_42

8_72

086 085

` ;1¢2;+;1∞2;=;1ª2;=;4#;

` ;1£2;+;1¢2;=1¶2;

` ;1∞2;+;1™2;=;1¶2;

` ;1¢5;+;1™5;=;1§5;=;5@;

` ;5@;_;8#;=;2£0;

` ;4!;_;6!;=;2¡4;

108

105

099

096

093

092

워 크 북 해 설

` 모든 경우의 수는4_4=16

홀수인 경우의 수는13^, 21^, 23^, 31^, 41^, 43^의6 5의 배수인 경우의 수는10^, 20^, 30^, 40^의4 따라서 구하는 확률은;1§6;+;1¢6;=;1!6);=;8%;

` x+y=3인 경우는(0^, 3)^, (1^, 2)^, (2^, 1)^, (3^, 0)^의4^가지 이므로 그 확률은;1¢6;

x-y=0인 경우는(0^, 0)^, (1^, 1)^, (2^, 2)^, (3^, 3)^의4^가지 이므로 그 확률은;1¢6;

따라서 구하는 확률은 ;1¢6;+;1¢6;=;1•6;=;2!;

` 두 주사위에서2보다 큰 눈이 나올 확률이 각각;6$;^이므로 구하는 확률은;6$;_;6$;=;9$;

` ;4#;_;4#;=;1ª6;

` 토요일에 비가 올 확률은;1™0º0;=;5!;

일요일에 비가 올 확률은;1£0º0;=;1£0;

따라서 구하는 확률은;5!;_;1£0;=;5£0;

` ;1£0;_;1£0;=;10(0;

` (두 명 모두 명중하지 못할 확률)={1-;5@;}_{1-;4!;}=;2ª0;

∴(적어도 한 사람은 명중할 확률)=1-;2ª0;=;2!0!;

` 두 수의 곱이 홀수이려면 두 수 모두 홀수이어야 하므로 (ab가 홀수일 확률)

=(a^{가 홀수일 확률})_(b^{가 홀수일 확률})

=;6#;_;6#;=;4!;

` 안타를 치지 못할 확률이1-;4!;=;4#;^이므로 2번 모두 안타를 치지 못할 확률은;4#;_;4#;=;1ª6;

∴(적어도 한 번은 안타를 칠 확률)=1-;1ª6;=;1¶6;

` 처음에 흰 공을 꺼낼 확률은;7#;

나중에 흰 공을 꺼낼 확률은;7#;

따라서 구하는 확률은;7#;_;7#;=;4ª9;

` 처음에3의 배수가 적힌 카드가 뽑힐 확률은;1£0;

나중에3의 배수가 적힌 카드가 뽑힐 확률은;9@;

따라서 구하는 확률은;1£0;_;9@;=;1¡5;

128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118

`` 4^{의 배수는}4^, 8^, 12^, 16^, 20^, 24^, 28^의7^개이므로 그 확률은;3¶0;

9^{의 배수는}9^, 18^, 27^의3^{개이므로 그 확률은};3£0;

구하는 확률은;3¶0;+;3£0;=;3!0);=;3!;

` 흰 공이 나올 확률은;1£5;, 파란 공이 나올 확률은;1¶5;^이므로 구하는 확률은;1£5;+;1¶5;=;1!5);=;3@;

` 1^{등에 뽑힐 확률은};10!0;

2^{등에 뽑힐 확률은};10#0;

따라서 구하는 확률은;10!0;+;10#0;=;10$0;=;2¡5;

` ;1¢0º0;;+;1™0∞0;;=;1§0∞0;;=;2!0#;

` ;3!0^0%;+;3•0¢0;=;3@0$0(;=;1•0£0;

` ;1¡0º0;+;1¡0∞0;=;1™0∞0;=;4!;

` 평균 기온이20 æ^{미만일 확률은};3£0;

평균 기온이22æ^{이상일 확률은};3!0^;

따라서 구하는 확률은;3£0;+;3!0^;=;3!0(;

` ;1¡0∞0;+;10#0;+;10^0;=;1™0¢0;=;2§5;

두 눈의 수의 합이4^{가 되는 경우는}(1^, 3)^, (2^, 2)^, (3^, 1)^의 3가지이므로 그 확률은;3£6;=;1¡2;

두 눈의 수의 곱이6^{이 되는 경우는}(1^, 6)^, (2^, 3)^, (3^, 2)^, (6^, 1)^의4가지이므로 그 확률은;3¢6;=;9!;

따라서 구하는 확률은;3£6;+;3¢6;=;3¶6;

117 116 115 114 113 112 111 110 109

109^;3!; 110^② 111^④ 112^;2!0#; 113^;1•0£0; 114^;4!;

115;3!0(; 116;2§5; 117^③ 118^⑤ 119;2!; 120^⑤ 121^④ 122^;5£0; 123^;10(0; 124^③ 125^;4!; 126^;1¶6;

127^;4ª9; 128^;1¡5; 129^;4!; 130^;1£0; 131^;3@; 132^;9!;

133^⑤ 134^⑤ 135^①

14~17^`쪽

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` 처음에 짝수가 적힌 카드가 나올 확률은;4@;

나중에 짝수가 적힌 카드가 나올 확률은;4@;

따라서 구하는 확률은;4@;_;4@;=;4!;

` A가 당첨되지 않을 확률은;5#;

B^{가 당첨될 확률은};4@;

따라서 구하는 확률은;5#;_;4@;=;1£0;

` 전체는6칸이고, 색칠한 부분은4^칸이므로 구하는 확률은;6$;=;3@;

` 9개의 정사각형 중 색칠한 정사각형이3^{개이므로 화살을}1번 쏘 았을 때, 색칠한 부분을 맞힐 확률은;9#;=;3!;

따라서 구하는 확률은;3!;_;3!;=;9!;

` 색칠하지 않은 부분을 맞힐 확률은;9^;=;3@;

색칠한 부분을 맞힐 확률은;9#;=;3!;

따라서 구하는 확률은;3@;_;3!;=;9@;

` 각각의 확률을 구하면

①, ②, ③, ④;2!;^⑤;8#;

` ⁄^{첫 번째에}0^{, 두 번째에}2가 적힌 부분을 맞힐 확률은

‹;6!;_;6@;=;1¡8;

¤^{두 번 모두}1이 적힌 부분을 맞힐 확률은

‹;6#;_;6#;=;4!;

‹^{첫 번째에}2^{, 두 번째에}0이 적힌 부분을 맞힐 확률은

‹;6@;_;6!;=;1¡8;

따라서 구하는 확률은;1¡8;+;4!;+;1¡8;=;3!6#;

135 134 133 132 131 130

129

일의 자리에 올 수 있는 수는 십의 자리의 수를 제외한4^개 따라서 만들 수 있는 두 자리의 정수의 개수는

5_4=20(^개) yy^①

⑵30보다 큰 두 자리의 정수는31^, 32^, 34^, 35^, 41^, 42^, 43^, 45^, 51^, 52^, 53^, 54^의12^개이다. yy^②

` 두 자리의 정수를 만드는 모든 경우의 수는4_4=16 yy^① 20^{미만인 경우의 수는}10^, 12^, 13^, 14^의4

20미만인 정수가 될 확률은;1¢6;=;4!; yy^② 따라서20이상인 정수가 될 확률은1-;4!;=;4#; yy^③

` 경미가 약속 장소에 나갈 확률은1-;5@;=;5#; yy^① 현수가 약속 장소에 나갈 확률은1-;3!;=;3@; yy^② 따라서 두 사람이 약속 장소에서 만날 확률은

;5#;_;3@;=;5@; yy^③

` ㈎ 원판에서 바늘이A^{에 멈출 확률은};4!; yy^①

㈏ 원판에서 바늘이A^{에 멈출 확률은};3!; yy^② 따라서 두 바늘이 모두A^{에 멈출 확률은};4!;_;3!;=;1¡2; y^③

4 3 2 1

1^{⑴20개 ⑵12개} 2^;4#; 3^;5@; 4^;1¡2;

18^`쪽

채점 기준

① ㈎ 원판에서 바늘이A에 멈출 확률 구하기 2점 2점 2점

② ㈏ 원판에서 바늘이A에 멈출 확률 구하기

③ 두 바늘이 모두A에 멈출 확률 구하기

배점 채점 기준

① 만들 수 있는 두 자리의 정수의 개수 구하기 2점 3점

②30보다 큰 두 자리의 정수의 개수 구하기

배점

채점 기준

① 모든 경우의 수 구하기 1점

2점 3점

②20미만인 정수가 될 확률 구하기

③20이상인 정수가 될 확률 구하기

배점

채점 기준

① 경미가 약속 장소에 나갈 확률 구하기 2점 2점 2점

② 현수가 약속 장소에 나갈 확률 구하기

③ 두 사람이 약속 장소에서 만날 확률 구하기

배점

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워 크 북 해 설

01 ^{이등변삼각형의 성질}

136^◯ 137^× 138^◯ 139^◯ 140^◯ 141^63˘

142^30˘ 143^76˘ 144^130˘ 145^130˘ 146^55˘

147^100˘ 148^{x=6, y=50} 149^{x=8, y=40} 150^{x=7, y=50} 151^{x=10, y=45}

20^`쪽

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분 한다.

∠x=;2!;_(180˘-54˘)=63˘

∠x=;2!;_(180˘-120˘)=30˘

∠x=180˘-2_52˘=76˘

∠x=180˘-2_25˘=130˘

∠ACB=∠ABC

∠ACB=;2!;_(180˘-80˘)=50˘

∴∠x=180˘-50˘=130˘

∠x=∠BCA

=180˘-125˘=55˘

∠B=∠ACB=180˘-140˘=40˘

∴∠x=180˘-2_40˘=100˘

y˘=180˘-(50˘+80˘)=50˘

따라서△ABC^는AB”=AC”인 이등변삼각형이다.

∴x=6

y˘=180˘-(40˘+100˘)=40˘

따라서△ABC^는AB”=AC”인 이등변삼각형이다.

∴x=8

∠ACB=180˘-115˘=65˘

∴y˘=180˘-2_65˘=50˘

따라서△ABC^는AB”=AC”인 이등변삼각형이다.

∴x=7

y˘=180˘-135˘=45˘

따라서△ABC^는AB”=AC”인 이등변삼각형이다.

∴x=10

151 150 149 148 147 146 145 144 143 142 141 138~140

152^② 15330˘ 15445˘ 155^③ 156^② 157^⑤ 158^{⑴20 ⑵ 25} 159^② 160^{⑴AC” ⑵AD” ⑶}∠CAD

⑷SAS ^⑸CD” ^⑹∠_ADC ⑺90 161^③ 1627 cm 163^70˘ 164^{⑴NC” ⑵}∠NCB ^⑶BC” ^⑷SAS ^⑸∠PCB 165^② 1668 cm 16735˘

21~23^`쪽

△BCD^에서∠BDC=∠C=65˘

∠DBC=180˘-2_65˘=50˘

△ABC^에서∠ABC=∠C=65˘

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=65˘-50˘=15˘

△ABC^에서∠ABC=∠C=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

△BCD^에서∠BDC=∠C=70˘

∴∠DBC=180˘-2_70˘=40˘

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70˘-40˘=30˘

△ABC^에서∠ACB=∠B=15˘

∠CDA=∠CAD=15˘+15˘=30˘

△DBC^에서∠DCE=15˘+30˘=45˘

△ABC^에서∠ABC=∠C=;2!;_(180˘-100˘)=40˘

∠ABD=;2!;∠ABC=;2!;_40˘=20˘

∴∠BDC=∠A+∠ABD=100˘+20˘=120˘

△ABC^에서

∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-76˘)=52˘

∠ACE=180˘-52˘=128˘^이므로

∠DCE=∠DCA=;2!;_128˘=64˘

따라서△DBC^에서∠CBD=∠CDB=∠x^이므로

∠x+∠x=64˘ ∴∠x=32˘

AB”=AC”^이므로

∠B=∠C=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

△EBD^에서

∠BED=∠BDE=;2!;_(180˘-70˘)=55˘

△CDF^에서

∠CDF=∠CFD=;2!;_(180˘-70˘)=55˘

∴∠EDF=180˘-(55˘+55˘)=70˘

⑴BD”=CD”^이므로BC”=2BD”=2_10=20(cm)

∴x=20

158 157 156 155 154 153 152

1. 삼각형의 성질

Ⅵ

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02 ^{직각삼각형의 합동}

168^{빗변, 예각} 169^{빗변, 변} 170△ABC™△DEF(RHS^합동)

171△ABC™△DEF(RHA^합동) 172^{합동이 아니다.}

173△ABC™△DEF(ASA^합동)

174㉠과 ㉥, ㉡과 ㉤, ㉢과 ㉣ 175^RHA합동 176^60˘

177^{3 cm} 178^RHS합동 179^{6 cm}

24^`쪽

⑵△ABC^에서∠ACD=∠ABD=65˘

∠CAD=;2!;∠BAC=;2!;_(180˘-2_65˘)=25˘

∴x=25

∠ADC=90˘^, BD”=CD”^이므로 BC”=2_CD”=2_5=10(cm)

∴△ABC=;2!;_10_6=30(cm¤ )

∠ABC=∠ACB

∠ABC=;2!;_(180˘-36˘)=72˘

∠ACD=∠DCB

∠ABC=;2!;_72˘=36˘

즉, △DCA^, △CDB^{는 이등변삼각형이} 므로

BC”=DC”=DA”=4(cm)

AB”=AC”^에서∠ABC=∠ACB^이고

∠DBC=;2!;∠ABC^, ∠DCB=;2!;∠ACB^이므로

∠DBC=∠DCB

따라서△DBC는 이등변삼각형이므로 CD”=BD”=7 cm

∠B=∠C^이므로△ABC^{는 이등변삼각형이고}AB”=AC”

△ABD^와△ACE^에서

AB”=AC”^, ∠B=∠C^, BD”=CE”

이므로△ABD™△ACE(SAS^합동)

이때AD”=AE”^이므로△ADE는 이등변삼각형이다.

∴∠ADE=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

②∠EFG=180˘-(∠FEG+∠FGE)

=180˘-2∠FEG

④△EFG^에서∠EFB=∠FEG+∠FGE=2∠FEG

∠BAC=∠CAD^{(접은 각),} ∠ACB=∠CAD^(엇각)이 므로△ABC^는AB”=BC”인 이등변삼각형이다.

∴AB”=BC”=8 cm

∠ABC=∠CBF^{(접은 각)} AC”//BF”^이므로

∠ACB=∠CBF^(엇각)

∴∠ABC=∠ACB

△ABC^에서∠BAD=∠ABC+∠ACB=70˘^이므로

∠ACB=;2!;_70˘=35˘

A 70˘

B D C

E F

167 166 165 163 162

A

B C

D 36˘

36˘36˘

72˘

72˘

4 cm

161 159

㉠과 ㉥：RHS^{합동, ㉡과 ㉤：}ASA^합동,

㉢과 ㉣：RHA^합동

∠E=180˘-(30˘+90˘)=60˘

176 174

△ABC™△DEF(ASA^합동)

A

C B

D

F E

173

합동이 아니다.

A

C B

D

F E

172

△ABC™△DEF(RHA^합동)

A

C B

D

E F

171

△ABC™△DEF(RHS^합동)

A

C B

D

F E

170

18010 cm 181^{③, ④} 1826 cm 1835 cm 184^⑤ 185^{17 cm} 186^⑤ 187^⑤ 188^30˘ 189^③ 190^④ 19112 cm 192^{①, ⑤} 19350˘ 194^④ 19567.5˘

196^20˘

25~27^`쪽

△ABC^와△EDF^에서

∠C=∠F=90˘^, AB”=ED”=20 cm^, ∠A=∠E=30˘

이므로△ABC™△EDF(RHA^합동)

∴DF”=BC”=10 cm

△AOP™△BOP(RHA^합동)^이므로 PB”=PA”=6 cm

182

180

워 크 북 해 설

△ABD^와△AED^에서

∠ABD=∠AED=90^°,AD”^{는 공통,}

∠BAD=∠EAD

이므로△ABD™△AED(RHA^합동)

∴ED”=BD”=5 cm yy^㉠

△ABC^에서AB”=BC”^이므로∠A=∠C=45˘

△EDC^에서∠DEC=90˘^, ∠C=45˘^이므로

△EDC^는ED”=EC”인 직각이등변삼각형이다. yy^`㉡

㉠, ㉡에서EC”=ED”=5 cm

△AED^와△ACD^에서

∠AED=∠ACD=90˘^, AD”^{는 공통,}

∠EAD=∠CAD

이므로△AED™△ACD(RHA^합동)

∴DE”=DC”=3 cm

∴△ABD=;2!;_AB”_DE”=;2!;_10_3=15 (cm¤ )

△ADB^와△CEA^에서

∠ADB=∠CEA=90˘^, AB”=CA”^,

∠DBA=90˘-∠DAB=∠EAC 이므로△ADB™△CEA(RHA^합동) DA”=EC”=5 cm^, AE”=BD”=12 cm

∴DE”=DA”+AE”=5+12=17(cm)

△ABD™△CAE(RHA^합동)^이므로 DA”=EC”=6 cm^, EA”=DB”=8 cm

∴ DBCE=;2!;_(DB”+EC”)_DE”

∴ DBCE=;2!;_(8+6)_14=98(cm¤ )

△BDM^과△CEM^에서

∠BDM=∠CEM=90˘^, BM”=CM”

∠BMD=∠CME(^맞꼭지각)

이므로△BDM=△CEM(RHA^합동) BD”=CE”=4 cm^, DM”=EM”=3 cm

∴△ABD=;2!;_(3+10)_4=26(cm¤ )

△ABC™△EFD(RHS^합동)^이므로

∠x=∠A=180˘-(90˘+60˘)=30˘

①RHA^합동

②ASA^합동

③RHS^합동

④SAS^합동

⑤ 합동이 아니다.

189 188 187 186 185 184

183

∠PAO=∠PBO=90^°, OP”^{는 공통,} PA”=PB”

이므로△AOP™△BOP(RHS^합동) 따라서OA”=OB”^, ∠AOP=∠BOP^,

∠OPA=∠OPB^이다.

△ADE^와△ACE^에서

∠ADE=∠ACE=90˘^, AE”^{는 공통,}

AD”=AC”=6 cm^이므로△ADE™△ACE(RHS^합동) 즉, DE”=CE”^이므로BE”+ED”=BC”=8 cm

∴(△DBE^{의 둘레의 길이})

=DB”+BE”+ED”=(AB”-AD”)+BC”

=(10-6)+8=12(cm)

△ADE^와△ACE^에서

∠ADE=∠ACE=90˘^, AE”^{는 공통,} AD”=AC”

이므로△ADE™△ACE(RHS^합동) 또, △DBE는 직각이등변삼각형이므로DB”=DE”

∴DB”=DE”=CE”

△AED^와△AFD^에서

∠AED=∠AFD=90˘^, AD”^{는 공통,} DE”=DF”

이므로△AED™△AFD(RHS^합동)

∠EAD=∠FAD=90˘-65˘=25˘

∴∠BAC=2∠EAD=2_25˘=50˘

△ABD^와△AED^에서

∠ABD=∠AED=90˘^, AD”^{는 공통,} AB”=AE”

이므로△ABD™△AED(RHS^합동)

∠ADB=∠ADE=90˘-28˘=62˘

∴∠x=180˘-2_62˘=56˘

△DBP^와△CBP^에서

∠PDB=∠PCB=90˘^, BP”^{는 공통,} PD”=PC”

이므로△DBP™△CBP(RHS^합동)

∠PBD=∠PBC=;2!;∠ABC=;2!;_45˘=22.5˘

∴∠BPD=180˘-(∠PDB+∠PBD)

∴∠BPD=180˘-(90˘+22.5˘)=67.5˘

△ADE^와△ACE^에서

∠ADE=∠ACE=90˘^, AE”^{는 공통,} AD”=AC”

이므로△ADE™△ACE(RHS^합동)

∠DAE=∠CAE=180˘-(90˘+55˘)=35˘

∠BAC=∠DAE+∠CAE=35˘+35˘=70˘

∴∠B=180˘-(90˘+70˘)=20˘

196 195 194 193 192 191 190

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03 ^{삼각형의 외심}

197^{외접, 외접원} 198^{외심, 꼭짓점} 199^◯ 200^◯

201^× 202^◯ 203^내부 204^중점 205^외부 206^{90, 35} 207^{90, 20} 208^{80, 160} 209^{47, 94}

28^`쪽

△OAD^와△OBD^에서

AD”=BD”^, ∠ODA=∠ODB=90˘^, OD”^{는 공통이므로}

△OAD™△OBD(SAS^합동)

202

210^④ 211^② 212^{36 cm} 213^② 214^{7 cm} 215^90˘

216^① 217^{10p cm} 218^{16 cm} 219^30˘ 220^45˘

221^70˘ 222^④ 223^116˘ 224^40˘ 225^③ 226^70˘

227^④

29~31^`쪽

①△BOM™△COM(SAS^합동)^에서

∠OBM=∠OCM

②ON”^은AC”의 수직이등분선이므로AN”=CN”

③ 점O^는△ABC^{의 외심이므로}OA”=OB”=OC”

⑤△AOL™△BOL(SAS^합동)

①, ⑤ 점O^는△ABC^{의 외심이므로}OA”=OB”=OC”

③△BOE™△COE(SAS^합동)^이므로∠BOE=∠COE

④△AOD™△BOD(SAS^합동)

AD”=BD”=6 cm^, BE”=CE”=7 cm^, CF”=AF”=5 cm

∴(△ABC^{의 둘레의 길이})=AB”+BC”+CA”

=2_(6+7+5)=36(cm) OB”=OC”^이므로△OBC는 이등변삼각형이다.

∴∠OBD=∠OCD=90˘-46˘=44˘

MC”=MA”=MB”=;2!;AB”=;2!;_14=7(cm) OA”=OB”=OC”=5 cm^이므로

△AOC^{는 정삼각형이다. ∴}∠y=60˘

△ABO^에서∠y=2∠x ^∴∠x=30˘

∴∠x+∠y=30˘+60˘=90˘

점M^은△ABC^{의 외심이므로}A’M”=B’M”=C’M”

∠MBA=∠MAB=50˘

∴∠AMC=∠MBA+∠MAB

=50˘+50˘=100˘

216 215 214 213 212 211 210

직각삼각형의 빗변AB의 중점이 외심이므로

(외접원의 반지름의 길이)=;2!;AB”=;2!;_10=5(cm)

∴ (외접원의 둘레의 길이)=2p_5=10p(cm) 점O^{는 직각삼각형}ABC^{의 외심}

이므로OA”=OB”=OC”

∠OBC=∠OCB=30˘^이므로

∠AOC=30^°+30˘=60˘

즉, △OAC^{는 정삼각형이므로} OA”=AC”=8 cm

∴AB”=2OA”=2_8=16(cm) 40˘+20˘+∠x=90˘

∴∠x=30˘

점O^가△ABC^{의 외심이므로}OA”^{를 그으면}

∠x+30˘+15˘=90˘ ∴∠x=45˘

∠AOB=180˘-2_25˘=130˘

∠OAB+∠OBC+∠OCA=90˘^이므로 25˘+∠OBC+30˘=90˘

∴∠OBC=35˘

∴∠ABC=25˘+35˘=60˘

∴∠AOB-∠ABC=130˘-60˘=70˘

OA”^, OC”^{를 긋고}∠OAC=∠x 라 하면

35˘+10˘+∠x=90˘

∴∠x=45˘

∠OAB=∠OBA=35˘^,

∠OCB=∠OBC=10˘^이므로

∠A=∠OAB+∠x=35˘+45˘=80˘

∠C=∠OCB+∠x=10˘+45˘=55˘

∴∠A-∠C=80˘-55˘=25˘

∠BOC=2∠A=2_58˘=116˘

∠BOC=2∠A=2_50˘=100˘

△OBC^에서

∠x=;2!;_(180˘-100˘)=40˘

OA”^{를 그으면}

∠OAB=∠OBA=35˘

∠OAC=∠OCA=25˘

∴∠BAC=35˘+25˘=60˘

∴∠BOC=2∠BAC

=2_60˘=120˘

A

35˘ 25˘

B C

O

225 224 223

A

35˘

B 10˘ O C

x

222 221 220 219

A

B 30˘ C

O 8 cm

218 217

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워 크 북 해 설 243^① 244^⑤ 245^⑤ 246^④ 247^68˘ 248^29˘

249^④ 25092˘ 251180˘ 252135˘ 253150˘ 254^② 255^{40 cm} 256^{4p cm¤} 257^{7 cm} 258^{4 cm}

25930 cm

33~35^`쪽

삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다.

점I^가△ABC^{의 내심이므로}

①IDÚ=IEÚ=IFÚ

②, ③△ADI^와△AFI^에서

∠ADI=∠AFI=90˘^, AIÚ^{는 공통,} ∠DAI=∠FAI 이므로△ADI™△AFI(RHA^합동)

②, ∴AD”=AF”

④ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로

∠IBD=∠IBE

⑤△AID™△AIF(RHA^합동)

244 243

04 ^{삼각형의 내심}

228 ^{내접, 내접원} 229 ^{내심, 변} 230^× 231 ^◯ 232^× 233^◯ 234^◯ 235^◯ 236 ^내부 237^내부 238^내부 239^{90, 25} 240^{90, 30} 241^{60, 120} 242^{76, 128}

32^`쪽

점I^는△ABC의 세 내각의 이등분선의 교점이므로 점I^{는 내} 접원의 중심, 즉 내심이고 점I는 세 변에서 같은 거리에 있다.

∠CBI=∠ABI=25˘^,

∠BCI=∠ACI=30˘^이므로

△IBC^에서

∠BIC=180˘-(25˘+30˘)=125˘

∠CBI=∠ABI=24˘^,

∠BCI=∠ACI=32˘^이므로

△ABC^에서

∠A=180˘-2_(24˘+32˘)=68˘

△BIC^에서

∠x=∠CBI=180˘-(125˘+26˘)=29˘

∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_52˘=116˘

90˘+;2!;∠A=136˘^, ;2!;∠A=46˘

∴∠A=92˘

∠AIB=∠EID=90^°+;2!;∠C

∠AIB=90^°+;2!;_60˘=120˘

사각형EIDC^에서

(180^°-∠x)+120˘+(180˘-∠y)+60˘=360˘

∴∠x+∠y=180˘

∠a+∠b+∠c=90˘^이므로

∠c=90˘_ =45˘

∴∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+45˘=135˘

∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_60˘=120˘

∴∠BI'C=90˘+;2!;∠BIC

∴∠BI'C=90˘+;2!;_120˘=150˘

내접원의 반지름의 길이를r라 하면

;2!;r(5+6+5)=12

∴r=;;2#;(cm)

△ABC의 세 변의 길이를 각각a^, b, c라 하면

;2!;_4(a+b+c)=80

∴a+b+c=40(cm)

A

B C

I4 cm c

a b

255 254 253

5 2+3+5

252 251 250 249 248 247 246 245

∠AOB :∠BOC :∠COA=7 : 5 : 6^이므로

∠AOB= _360˘=140˘

∴∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_140˘=70˘

∠ABC=;2!;_(180˘-70˘)=55˘

∠BOC=2∠A=2_70˘=140˘

△OBC^에서

∠OBC=;2!;_(180˘-140˘)=20˘

∴∠x=∠ABC-∠OBC

=55˘-20˘=35˘

227

7 7+5+6

226

△ADI^와△AFI^에서

∠ADI=∠AFI=90˘^, AI”^{는 공통,} ∠DAI=∠FAI^이므로

△ADI™△AFI(RHA^합동)

∴AD”=AF”

232

내접원의 반지름의 길이를r^{라 하면}

;2!;r(6+8+10)=;2!;_8_6

∴r=2(cm)

∴ (내접원I^{의 넓이)}=p_2¤ =4p(cm¤ ) BE”=BD”=x^{라 하면}

AD”=AF”=10-x CE”=CF”=13-x

AC””=(10-x)+(13-x)=9 23-2x=9

∴x=7(cm)

∴BE”=7 cm

BE”=BD”=6 cm^이므로 CF”=CE”=BC”-BE”

=10-6

=4(cm) BD”=BE”^,

D’IÚ=E’IÚ=FIÚ=EC”^이므로 (사각형DBEI^{의 둘레의 길이)}

=BD”+BE”+EIÚ+D’IÚ

=2(BE”+E’IÚ)

=2(BE”+EC”)

=2BC”

=2_15=30(cm)

A

C F B

D

8 cm

15 cm 17 cm

E I

259

E I

10 cm 6 cm

A

B C

D F

258

A

B C

D

E F I

13-x 13-x 10-x 10-x

x x

257 256

1^64˘ 2^{8 cm} 3^{1 cm} 4^{⑴48˘ ⑵39˘ ⑶9˘}

36^`쪽

△BED^와△CFE^에서

BD”=CE”^, ∠B=∠C^, BE”=CF”

이므로△BED™△CFE(SAS^합동) yy^`①

∴∠DEF=180^°-(∠BED+∠CEF)

∴∠DEF=180^°-(∠BED+∠BDE)

∴∠DEF=∠DBE

∴∠DEF=;2!;_(180˘-52˘)

∴∠DEF=64˘ yy^`②

1

△ABD^와△CAE^에서

∠BDA=∠AEC=90˘^, AB”=CA”^,

∠BAD=90˘-∠CAE=∠ACE

이므로△ABD™△CAE(RHA^합동) yy^`① AE”=BD”=7 cm^,

AD”=CE”=15 cm yy^`②

∴DE”=AD”-AE”

=15-7=8(cm) yy^`③

점O^{는 외심이므로}OC”=OA”=5 cm yy^`① AF”=AD”=x^{라 하면}

BD”=BE”=6-x^, CF”=CE”=10-x^이므로 BC”=(6-x)+(10-x)=8

∴x=4(cm) yy^`②

∴OF”=OA”-AF”

=5-4=1(cm) yy^`③

⑴ 점 O^는△ABC^{의 외심이므} 로OC”^{를 그으면}

∠AOC=2∠B

=2_42˘=84˘

△AOC^에서OA”=OC”^이므로

∠OAC=∠OCA=;2!;_(180^°-84^°)=48^°

⑵△ABC^에서

∠A=180˘-(42˘+60˘)=78˘

점I^는△ABC^{의 내심이므로}

∠IAC=∠IAB=;2!;∠A=;2!;_78^°=39^°

⑶∠OAI=∠OAC-∠IAC=48^°-39^°=9^°

A

42˘ O I 60˘

C B

4 3 2

채점 기준

①△BED™△CFE^{임을 알기}

② ∠DEF^{의 크기 구하기}

3점 3점 배점

채점 기준

①△ABD™△CAE^{임을 알기}

②AE”^, AD”^{의 길이 구하기}

③DE”^{의 길이 구하기}

3점 2점 1점 배점

채점 기준

①OA”^{의 길이 구하기}

②AF”^{의 길이 구하기}

③OF”^{의 길이 구하기}

2점 3점 1점 배점

채점 기준

⑴ ∠OAC^{의 크기 구하기}

⑵ ∠IAC^{의 크기 구하기}

⑶ ∠OAI^{의 크기 구하기}

2점 2점 2점 배점

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