024②, ③, ④
025 앞면이2개 나온다., 모두 뒷면이 나온다., 앞면과 뒷면이 나온다.
0264 0276 0284 0292가지 0305 031② 032① 033② 034② 03510가지 036⑤ 037④ 038 ① 039 ④ 040 12 041 12개 04260개 043 29개 0445개 045 ③ 046② 04712 048 30 049 6가지 0509개
5~8`쪽
` 1에서10까지의 수 중10의 약수는1, 2, 5, 10이므로 경우의 수는4이다.
` 1에서20까지의 수 중20의 약수는1, 2, 4, 5, 10, 20이므로 구하는 경우의 수는6이다.
` 6의 약수는1, 2, 3, 6이므로 구하는 경우의 수는4이다.
` 돈을 지불할 수 있는 방법을 표로 나타내면 오른쪽과 같다. 따라서 볼펜 값을 지불하는 방법의 수는2가지이다.
` 두 눈의 수의 합이8이 되는 경우의 수는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의5
` 2x+y=8을 만족하는 순서쌍(x, y)는 (1, 6), (2, 4), (3, 2)의3개이다.
`` 두 눈의 수의 차가3이 되는 경우의 수는
(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)의6 두 눈의 수의 차가5가 되는 경우의 수는(1, 6), (6, 1)의2 따라서 구하는 경우의 수는6+2=8
` 두 눈의 수의 곱이3이 되는 경우의 수는(1, 3), (3, 1)의2 두 눈의 수의 곱이6이 되는 경우의 수는
(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)의4
033 032 031 030 029 028 027 026
따라서 구하는 경우의 수는2+4=6
` 4의 배수가 적힌 공이 나오는 경우의 수는4, 8, 12의3 5의 배수가 적힌 공이 나오는 경우의 수는5, 10, 15의3 따라서 구하는 경우의 수는3+3=6
A`⁄ B`⁄ C로 가는 방법 : 2_4=8(가지) A`⁄ C로 가는 방법 : 2가지
따라서 구하는 방법은8+2=10(가지)
` 운동화를 고르는 방법은3가지, 양말을 고르는 방법은4가지 따라서 구하는 방법은3_4=12(가지)
` A에서 짝수가 나오는 경우의 수는2, 4, 6의3 B에서6의 약수가 나오는 경우의 수는1, 2, 3, 6의4 따라서 구하는 경우의 수는3_4=12
` 가운데 자리에C를 세운 후C를 제외한4명을 한 줄로 세우면 되므로 구하는 경우의 수는4_3_2_1=24
` B, D를 한 묶음으로 생각하면 B, D, A, C, E 4명이 한 줄로 서는 경우의 수는4_3_2_1=24
이때B, D가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는2이므로 구하는 경우의 수는24_2=48
` 선생님 두 분이 의자에 앉는 경우의 수는2_1=2 학생 세 명이 나란히 서는 경우의 수는3_2_1=6 따라서 구하는 경우의 수는2_6=12
` 십의 자리에 올 수 있는 수는1, 2, 3, 4의4개
일의 자리에 올 수 있는 수는 십의 자리의 수를 제외한3개 따라서 구하는 정수의 개수는4_3=12(개)
` 백의 자리에 올 수 있는 수는1, 2, 3, 4, 5의5개 십의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리의 수를 제외한4개 일의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리의 수와 십의 자리의 수를 제외한3개
따라서 구하는 정수의 개수는5_4_3=60(개)
` 백의 자리의 수에 따라 정수의 개수를 구하면
⁄ 백의 자리의 수가1또는2일 때
⁄1 인 경우 : 4_3=12(개)
⁄2 인 경우 : 4_3=12(개)
¤ 백의 자리의 수가3일 때
⁄31 인 경우 : 312, 314, 315의3개
⁄32 인 경우 : 321, 324의2개 따라서325보다 작은 정수의 개수는 12+12+3+2=29(개)
043 042 041 040 039 038 037 036 035 034
01 경우의 수
001 3 002 3 0032 0043 0052 0064 0073 008 5 009 5 0104 0112 012 8 013 4 0142 015 6 016 6 0176 0188 0192 0204 0216 02236 02312
4`쪽
1. 경우의 수와 확률
Ⅴ
50원 100원
0 5
2 4
http://zuaki.tistory.com
워 크 북 해 설
` 일의 자리의 수가 짝수이어야 하므로 일의 자리의 수에 따라 구 해 보면
⁄ 0인 경우 : 10, 20, 30의3개
¤ 2인 경우 : 12, 32의2개
따라서 구하는 짝수의 개수는3+2=5(개)
` 백의 자리의 수가1, 2이어야 하므로
⁄1 인 경우 : 4_3=12(개)
¤2 인 경우 : 4_3=12(개)
따라서 구하는 정수의 개수는12+12=24(개)
` 일의 자리의 수가 홀수이어야 하므로 일의 자리의 수에 따라 구 해 보면
⁄ 1인 경우 : 21, 31, 41의3개
¤ 3인 경우 : 13, 23, 43의3개 따라서 구하는 정수의 개수는3+3=6(개)
` 4명 중 자격이 다른2명을 뽑는 경우의 수이므로 4_3=12
` 남자5명 중 자격이 같은2명의 대표를 뽑는 경우의 수는
=10
여자3명 중1명의 대표를 뽑는 경우의 수는3 따라서 구하는 경우의 수는10_3=30
` 4가지 중 순서에 관계없이2가지를 뽑는 경우이므로
=6(가지)
` 5개의 점 중 세 점을 고르는 경우의 수는 =10 그런데C, D, E의 세 점을 연결하면 삼각형이 만들어지지 않으 므로 구하는 삼각형의 개수는10-1=9(개)
5_4_3 3_2_1
050
4_3 2
049
5_4 2
048 047 046 045 044
02 확률의 뜻과 성질
0514 0521 053;4!; 054;2!; 055;3!; 056;3!;
057;2!; 058;5#; 059;1•3; 060;1∞3; 061;1∞9;
062;1!9$; 0630 0641 065;1¡2; 066;1!2!; 067;4!;
068;4#;
9쪽
069② 0708개 071;2!; 072② 073;2¶0; 074;2ª5;
075;2!; 076① 077;4!; 078③ 079③ 0800 081③ 082;1¶0; 083;9$; 084;3@; 085;2¶0; 086④ 087⑤ 088⑤
10~12`쪽
` 모두 짝수의 눈이 나오는 경우의 수는3_3=9 따라서 구하는 확률은;3ª6;=;4!;
` (적어도 한 개의 주사위에서 홀수의 눈이 나올 확률)
=1-(두 개의 주사위 모두 짝수의 눈이 나올 확률)
=1-;4!;=;4#;
068 067
` 모든 경우의 수는10이고, 소수가 나오는 경우의 수는2, 3, 5, 7 의4이므로 구하는 확률은;1¢0;=;5@;
` 흰 공의 개수를x개라 하면
;1”2;=;3@; ∴ x=8
` 모든 경우의 수는 =6, 500원 이상인 경우의 수는510, 550, 600의3이므로 구하는 확률은;6#;=;2!;
` 모든 경우의 수는6_6=36
a-b가2보다 큰 경우는 순서쌍(a, b)가(6, 1), (6, 2), (6, 3), (5, 1), (5, 2), (4, 1)의6개
따라서 구하는 확률은;3§6;=;6!;
` 모든 경우의 수는5_4=20
25미만인 경우의 수는12, 13, 14, 15, 21, 23, 24의7 따라서 구하는 확률은;2¶0;
` 모든 경우의 수는5_5=25 41이상인 경우의 수는
41, 42, 43, 45, 50, 51, 52, 53, 54의9 따라서 구하는 확률은;2ª5;
`` 모든 경우의 수는6_5=30
홀수가 되어야 하므로 일의 자리에 올 수 있는 수는1, 3, 5의3 개이고 그 각각에 대하여 십의 자리에 올 수 있는 수는 일의 자리 의 수를 제외한5개이므로 홀수인 경우의 수는3_5=15 따라서 구하는 확률은;3!0%;=;2!;
075 074 073 072
4_3
071
2070 069
http://zuaki.tistory.com
03 확률의 계산
089;3!; 090;1∞2; 091;4!; 092;4#; 093;1¶2; 094;1∞2;
095;6!; 096;1¶2; 097;1¢5; 098;1™5; 099;5@; 100;4!;
101;3!; 102;6!; 103;5@; 104;8#; 105;2£0; 106;4!;
107;6!; 108;2¡4;
13`쪽
` 모든 경우의 수는6_6=36
2x+y=10을 만족하는 순서쌍(x, y)는 (2, 6), (3, 4), (4, 2)의3개
따라서 구하는 확률은;3£6;=;1¡2;
` 모든 경우의 수는6_6=36 y>18-3x에서
x=5일 때y>3이므로y=4, 5, 6
즉, 순서쌍(x, y)는(5, 4), (5, 5), (5, 6)의3개 x=6일 때y>0이므로y=1, 2, 3, 4, 5, 6
즉, 순서쌍(x, y)는(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)의6개
따라서y>18-3x인 경우의 수는3+6=9이므로 구하는 확률은;3ª6;=;4!;
` 모든 경우의 수는6_6=36
두 직선y=ax+b, y=2x+1이 평행하려면a=2, b+1 즉, 첫 번째에2, 두 번째에2, 3, 4, 5, 6이 나오면 되므로 순서 쌍(a, b)는 (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)의5개 이므로 구하는 확률은;3∞6;
` ③p+q=1이므로p=1-q
⑤q=0이면p=1이므로 사건A는 반드시 일어난다.
두 눈의 수의 합이1이 될 수 없으므로 구하는 확률은0이다.
` ①, ②, ④, ⑤ 반드시 일어나는 사건이므로 확률은1이다.
③ 절대로 일어날 수 없는 사건이므로 확률은0이다.
` 모든 경우의 수는20이고, 20의 약수가 적힌 카드가 나오는 경 우의 수는1, 2, 4, 5, 10, 20의6이므로
(20의 약수가 아닌 수가 적힌 카드가 나올 확률)
=1-(20의 약수가 적힌 카드가 나올 확률)
=1-;2§0;=;2!0$;=;1¶0;
` (홀수가 아닐 확률)=1-(홀수일 확률)=1-;9%;=;9$;
` 6의 약수는1, 2, 3, 6의4개이므로 (6의 약수가 나오지 않을 확률)
=1-(6의 약수가 나올 확률)
=1-;1¢2;=;1•2;=;3@;
084 083 082 081 080 079 078 077
076
` (A후보를 지지하지 않았을 확률)=1-(A후보자를 지지했을 확률)
=1-;1§0∞0º0;=;1£0∞0º0;=;2¶0;
` 공8개 중2개를 뽑는 경우의 수는 =28
모두 빨간 공인 경우의 수는 빨간 공5개 중2개를 뽑는 경우의 수와 같으므로 =10
∴(적어도 한 개는 파란 공일 확률)
∴=1-(두 개 모두 빨간 공일 확률)
∴=1-;2!8);=;2!8*;=;1ª4;
` 모든 경우의 수는2_2_2=8
세 개 모두가 뒷면이 나오는 경우의 수는 (뒤, 뒤, 뒤)의1
∴ (적어도 한 개는 앞면이 나올 확률)
∴=1-(세 개 모두 뒷면이 나올 확률)=1-;8!;=;8&;
` 만들 수 있는 두 자리의 정수의 개수는5_4=20(개)
각 자리의 수가 모두 홀수인 정수의 개수는1, 3, 5중2개를 뽑 아 만든 두 자리의 정수의 개수와 같으므로3_2=6(개)
∴(각 자리의 수 중 적어도 하나는 짝수일 확률)
∴=1-(각 자리의 수가 모두 홀수일 확률)
∴=1-;2§0;=;2!0$;=;1¶0;
088 087
5_42
8_72
086 085
` ;1¢2;+;1∞2;=;1ª2;=;4#;
` ;1£2;+;1¢2;=1¶2;
` ;1∞2;+;1™2;=;1¶2;
` ;1¢5;+;1™5;=;1§5;=;5@;
` ;5@;_;8#;=;2£0;
` ;4!;_;6!;=;2¡4;
108
105
099
096
093
092
http://zuaki.tistory.com워 크 북 해 설
` 모든 경우의 수는4_4=16
홀수인 경우의 수는13, 21, 23, 31, 41, 43의6 5의 배수인 경우의 수는10, 20, 30, 40의4 따라서 구하는 확률은;1§6;+;1¢6;=;1!6);=;8%;
` x+y=3인 경우는(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)의4가지 이므로 그 확률은;1¢6;
x-y=0인 경우는(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)의4가지 이므로 그 확률은;1¢6;
따라서 구하는 확률은 ;1¢6;+;1¢6;=;1•6;=;2!;
` 두 주사위에서2보다 큰 눈이 나올 확률이 각각;6$;이므로 구하는 확률은;6$;_;6$;=;9$;
` ;4#;_;4#;=;1ª6;
` 토요일에 비가 올 확률은;1™0º0;=;5!;
일요일에 비가 올 확률은;1£0º0;=;1£0;
따라서 구하는 확률은;5!;_;1£0;=;5£0;
` ;1£0;_;1£0;=;10(0;
` (두 명 모두 명중하지 못할 확률)={1-;5@;}_{1-;4!;}=;2ª0;
∴(적어도 한 사람은 명중할 확률)=1-;2ª0;=;2!0!;
` 두 수의 곱이 홀수이려면 두 수 모두 홀수이어야 하므로 (ab가 홀수일 확률)
=(a가 홀수일 확률)_(b가 홀수일 확률)
=;6#;_;6#;=;4!;
` 안타를 치지 못할 확률이1-;4!;=;4#;이므로 2번 모두 안타를 치지 못할 확률은;4#;_;4#;=;1ª6;
∴(적어도 한 번은 안타를 칠 확률)=1-;1ª6;=;1¶6;
` 처음에 흰 공을 꺼낼 확률은;7#;
나중에 흰 공을 꺼낼 확률은;7#;
따라서 구하는 확률은;7#;_;7#;=;4ª9;
` 처음에3의 배수가 적힌 카드가 뽑힐 확률은;1£0;
나중에3의 배수가 적힌 카드가 뽑힐 확률은;9@;
따라서 구하는 확률은;1£0;_;9@;=;1¡5;
128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118
`` 4의 배수는4, 8, 12, 16, 20, 24, 28의7개이므로 그 확률은;3¶0;
9의 배수는9, 18, 27의3개이므로 그 확률은;3£0;
구하는 확률은;3¶0;+;3£0;=;3!0);=;3!;
` 흰 공이 나올 확률은;1£5;, 파란 공이 나올 확률은;1¶5;이므로 구하는 확률은;1£5;+;1¶5;=;1!5);=;3@;
` 1등에 뽑힐 확률은;10!0;
2등에 뽑힐 확률은;10#0;
따라서 구하는 확률은;10!0;+;10#0;=;10$0;=;2¡5;
` ;1¢0º0;;+;1™0∞0;;=;1§0∞0;;=;2!0#;
` ;3!0^0%;+;3•0¢0;=;3@0$0(;=;1•0£0;
` ;1¡0º0;+;1¡0∞0;=;1™0∞0;=;4!;
` 평균 기온이20 æ미만일 확률은;3£0;
평균 기온이22æ이상일 확률은;3!0^;
따라서 구하는 확률은;3£0;+;3!0^;=;3!0(;
` ;1¡0∞0;+;10#0;+;10^0;=;1™0¢0;=;2§5;
두 눈의 수의 합이4가 되는 경우는(1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지이므로 그 확률은;3£6;=;1¡2;
두 눈의 수의 곱이6이 되는 경우는(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)의4가지이므로 그 확률은;3¢6;=;9!;
따라서 구하는 확률은;3£6;+;3¢6;=;3¶6;
117 116 115 114 113 112 111 110 109
109;3!; 110② 111④ 112;2!0#; 113;1•0£0; 114;4!;
115;3!0(; 116;2§5; 117③ 118⑤ 119;2!; 120⑤ 121④ 122;5£0; 123;10(0; 124③ 125;4!; 126;1¶6;
127;4ª9; 128;1¡5; 129;4!; 130;1£0; 131;3@; 132;9!;
133⑤ 134⑤ 135①
14~17`쪽
http://zuaki.tistory.com
` 처음에 짝수가 적힌 카드가 나올 확률은;4@;
나중에 짝수가 적힌 카드가 나올 확률은;4@;
따라서 구하는 확률은;4@;_;4@;=;4!;
` A가 당첨되지 않을 확률은;5#;
B가 당첨될 확률은;4@;
따라서 구하는 확률은;5#;_;4@;=;1£0;
` 전체는6칸이고, 색칠한 부분은4칸이므로 구하는 확률은;6$;=;3@;
` 9개의 정사각형 중 색칠한 정사각형이3개이므로 화살을1번 쏘 았을 때, 색칠한 부분을 맞힐 확률은;9#;=;3!;
따라서 구하는 확률은;3!;_;3!;=;9!;
` 색칠하지 않은 부분을 맞힐 확률은;9^;=;3@;
색칠한 부분을 맞힐 확률은;9#;=;3!;
따라서 구하는 확률은;3@;_;3!;=;9@;
` 각각의 확률을 구하면
①, ②, ③, ④;2!;⑤;8#;
` ⁄첫 번째에0, 두 번째에2가 적힌 부분을 맞힐 확률은
‹;6!;_;6@;=;1¡8;
¤두 번 모두1이 적힌 부분을 맞힐 확률은
‹;6#;_;6#;=;4!;
‹첫 번째에2, 두 번째에0이 적힌 부분을 맞힐 확률은
‹;6@;_;6!;=;1¡8;
따라서 구하는 확률은;1¡8;+;4!;+;1¡8;=;3!6#;
135 134 133 132 131 130
129
` ⑴ 십의 자리에 올 수 있는 수는5개일의 자리에 올 수 있는 수는 십의 자리의 수를 제외한4개 따라서 만들 수 있는 두 자리의 정수의 개수는
5_4=20(개) yy①
⑵30보다 큰 두 자리의 정수는31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54의12개이다. yy②
` 두 자리의 정수를 만드는 모든 경우의 수는4_4=16 yy① 20미만인 경우의 수는10, 12, 13, 14의4
20미만인 정수가 될 확률은;1¢6;=;4!; yy② 따라서20이상인 정수가 될 확률은1-;4!;=;4#; yy③
` 경미가 약속 장소에 나갈 확률은1-;5@;=;5#; yy① 현수가 약속 장소에 나갈 확률은1-;3!;=;3@; yy② 따라서 두 사람이 약속 장소에서 만날 확률은
;5#;_;3@;=;5@; yy③
` ㈎ 원판에서 바늘이A에 멈출 확률은;4!; yy①
㈏ 원판에서 바늘이A에 멈출 확률은;3!; yy② 따라서 두 바늘이 모두A에 멈출 확률은;4!;_;3!;=;1¡2; y③
4 3 2 1
1⑴20개 ⑵12개 2;4#; 3;5@; 4;1¡2;
18`쪽
채점 기준
① ㈎ 원판에서 바늘이A에 멈출 확률 구하기 2점 2점 2점
② ㈏ 원판에서 바늘이A에 멈출 확률 구하기
③ 두 바늘이 모두A에 멈출 확률 구하기
배점 채점 기준
① 만들 수 있는 두 자리의 정수의 개수 구하기 2점 3점
②30보다 큰 두 자리의 정수의 개수 구하기
배점
채점 기준
① 모든 경우의 수 구하기 1점
2점 3점
②20미만인 정수가 될 확률 구하기
③20이상인 정수가 될 확률 구하기
배점
채점 기준
① 경미가 약속 장소에 나갈 확률 구하기 2점 2점 2점
② 현수가 약속 장소에 나갈 확률 구하기
③ 두 사람이 약속 장소에서 만날 확률 구하기
배점
http://zuaki.tistory.com
워 크 북 해 설
01 이등변삼각형의 성질
136◯ 137× 138◯ 139◯ 140◯ 14163˘
14230˘ 14376˘ 144130˘ 145130˘ 14655˘
147100˘ 148x=6, y=50 149x=8, y=40 150x=7, y=50 151x=10, y=45
20`쪽
이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분 한다.
∠x=;2!;_(180˘-54˘)=63˘
∠x=;2!;_(180˘-120˘)=30˘
∠x=180˘-2_52˘=76˘
∠x=180˘-2_25˘=130˘
∠ACB=∠ABC
∠ACB=;2!;_(180˘-80˘)=50˘
∴∠x=180˘-50˘=130˘
∠x=∠BCA
=180˘-125˘=55˘
∠B=∠ACB=180˘-140˘=40˘
∴∠x=180˘-2_40˘=100˘
y˘=180˘-(50˘+80˘)=50˘
따라서△ABC는AB”=AC”인 이등변삼각형이다.
∴x=6
y˘=180˘-(40˘+100˘)=40˘
따라서△ABC는AB”=AC”인 이등변삼각형이다.
∴x=8
∠ACB=180˘-115˘=65˘
∴y˘=180˘-2_65˘=50˘
따라서△ABC는AB”=AC”인 이등변삼각형이다.
∴x=7
y˘=180˘-135˘=45˘
따라서△ABC는AB”=AC”인 이등변삼각형이다.
∴x=10
151 150 149 148 147 146 145 144 143 142 141 138~140
152② 15330˘ 15445˘ 155③ 156② 157⑤ 158⑴20 ⑵ 25 159② 160⑴AC” ⑵AD” ⑶∠CAD
⑷SAS ⑸CD” ⑹∠ADC ⑺90 161③ 1627 cm 16370˘ 164⑴NC” ⑵∠NCB ⑶BC” ⑷SAS ⑸∠PCB 165② 1668 cm 16735˘
21~23`쪽
△BCD에서∠BDC=∠C=65˘
∠DBC=180˘-2_65˘=50˘
△ABC에서∠ABC=∠C=65˘
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=65˘-50˘=15˘
△ABC에서∠ABC=∠C=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
△BCD에서∠BDC=∠C=70˘
∴∠DBC=180˘-2_70˘=40˘
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70˘-40˘=30˘
△ABC에서∠ACB=∠B=15˘
∠CDA=∠CAD=15˘+15˘=30˘
△DBC에서∠DCE=15˘+30˘=45˘
△ABC에서∠ABC=∠C=;2!;_(180˘-100˘)=40˘
∠ABD=;2!;∠ABC=;2!;_40˘=20˘
∴∠BDC=∠A+∠ABD=100˘+20˘=120˘
△ABC에서
∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-76˘)=52˘
∠ACE=180˘-52˘=128˘이므로
∠DCE=∠DCA=;2!;_128˘=64˘
따라서△DBC에서∠CBD=∠CDB=∠x이므로
∠x+∠x=64˘ ∴∠x=32˘
AB”=AC”이므로
∠B=∠C=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
△EBD에서
∠BED=∠BDE=;2!;_(180˘-70˘)=55˘
△CDF에서
∠CDF=∠CFD=;2!;_(180˘-70˘)=55˘
∴∠EDF=180˘-(55˘+55˘)=70˘
⑴BD”=CD”이므로BC”=2BD”=2_10=20(cm)
∴x=20
158 157 156 155 154 153 152
1. 삼각형의 성질
Ⅵ
http://zuaki.tistory.com
02 직각삼각형의 합동
168빗변, 예각 169빗변, 변 170△ABC™△DEF(RHS합동)
171△ABC™△DEF(RHA합동) 172합동이 아니다.
173△ABC™△DEF(ASA합동)
174㉠과 ㉥, ㉡과 ㉤, ㉢과 ㉣ 175RHA합동 17660˘
1773 cm 178RHS합동 1796 cm
24`쪽
⑵△ABC에서∠ACD=∠ABD=65˘
∠CAD=;2!;∠BAC=;2!;_(180˘-2_65˘)=25˘
∴x=25
∠ADC=90˘, BD”=CD”이므로 BC”=2_CD”=2_5=10(cm)
∴△ABC=;2!;_10_6=30(cm¤ )
∠ABC=∠ACB
∠ABC=;2!;_(180˘-36˘)=72˘
∠ACD=∠DCB
∠ABC=;2!;_72˘=36˘
즉, △DCA, △CDB는 이등변삼각형이 므로
BC”=DC”=DA”=4(cm)
AB”=AC”에서∠ABC=∠ACB이고
∠DBC=;2!;∠ABC, ∠DCB=;2!;∠ACB이므로
∠DBC=∠DCB
따라서△DBC는 이등변삼각형이므로 CD”=BD”=7 cm
∠B=∠C이므로△ABC는 이등변삼각형이고AB”=AC”
△ABD와△ACE에서
AB”=AC”, ∠B=∠C, BD”=CE”
이므로△ABD™△ACE(SAS합동)
이때AD”=AE”이므로△ADE는 이등변삼각형이다.
∴∠ADE=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
②∠EFG=180˘-(∠FEG+∠FGE)
=180˘-2∠FEG
④△EFG에서∠EFB=∠FEG+∠FGE=2∠FEG
∠BAC=∠CAD(접은 각), ∠ACB=∠CAD(엇각)이 므로△ABC는AB”=BC”인 이등변삼각형이다.
∴AB”=BC”=8 cm
∠ABC=∠CBF(접은 각) AC”//BF”이므로
∠ACB=∠CBF(엇각)
∴∠ABC=∠ACB
△ABC에서∠BAD=∠ABC+∠ACB=70˘이므로
∠ACB=;2!;_70˘=35˘
A 70˘
B D C
E F
167 166 165 163 162
A
B C
D 36˘
36˘36˘
72˘
72˘
4 cm
161 159
㉠과 ㉥:RHS합동, ㉡과 ㉤:ASA합동,
㉢과 ㉣:RHA합동
∠E=180˘-(30˘+90˘)=60˘
176 174
△ABC™△DEF(ASA합동)
A
C B
D
F E
173
합동이 아니다.
A
C B
D
F E
172
△ABC™△DEF(RHA합동)
A
C B
D
E F
171
△ABC™△DEF(RHS합동)
A
C B
D
F E
170
18010 cm 181③, ④ 1826 cm 1835 cm 184⑤ 18517 cm 186⑤ 187⑤ 18830˘ 189③ 190④ 19112 cm 192①, ⑤ 19350˘ 194④ 19567.5˘
19620˘
25~27`쪽
△ABC와△EDF에서
∠C=∠F=90˘, AB”=ED”=20 cm, ∠A=∠E=30˘
이므로△ABC™△EDF(RHA합동)
∴DF”=BC”=10 cm
△AOP™△BOP(RHA합동)이므로 PB”=PA”=6 cm
182
180
http://zuaki.tistory.com워 크 북 해 설
△ABD와△AED에서
∠ABD=∠AED=90°,AD”는 공통,
∠BAD=∠EAD
이므로△ABD™△AED(RHA합동)
∴ED”=BD”=5 cm yy㉠
△ABC에서AB”=BC”이므로∠A=∠C=45˘
△EDC에서∠DEC=90˘, ∠C=45˘이므로
△EDC는ED”=EC”인 직각이등변삼각형이다. yy`㉡
㉠, ㉡에서EC”=ED”=5 cm
△AED와△ACD에서
∠AED=∠ACD=90˘, AD”는 공통,
∠EAD=∠CAD
이므로△AED™△ACD(RHA합동)
∴DE”=DC”=3 cm
∴△ABD=;2!;_AB”_DE”=;2!;_10_3=15 (cm¤ )
△ADB와△CEA에서
∠ADB=∠CEA=90˘, AB”=CA”,
∠DBA=90˘-∠DAB=∠EAC 이므로△ADB™△CEA(RHA합동) DA”=EC”=5 cm, AE”=BD”=12 cm
∴DE”=DA”+AE”=5+12=17(cm)
△ABD™△CAE(RHA합동)이므로 DA”=EC”=6 cm, EA”=DB”=8 cm
∴ DBCE=;2!;_(DB”+EC”)_DE”
∴ DBCE=;2!;_(8+6)_14=98(cm¤ )
△BDM과△CEM에서
∠BDM=∠CEM=90˘, BM”=CM”
∠BMD=∠CME(맞꼭지각)
이므로△BDM=△CEM(RHA합동) BD”=CE”=4 cm, DM”=EM”=3 cm
∴△ABD=;2!;_(3+10)_4=26(cm¤ )
△ABC™△EFD(RHS합동)이므로
∠x=∠A=180˘-(90˘+60˘)=30˘
①RHA합동
②ASA합동
③RHS합동
④SAS합동
⑤ 합동이 아니다.
189 188 187 186 185 184
183
△AOP와△BOP에서∠PAO=∠PBO=90°, OP”는 공통, PA”=PB”
이므로△AOP™△BOP(RHS합동) 따라서OA”=OB”, ∠AOP=∠BOP,
∠OPA=∠OPB이다.
△ADE와△ACE에서
∠ADE=∠ACE=90˘, AE”는 공통,
AD”=AC”=6 cm이므로△ADE™△ACE(RHS합동) 즉, DE”=CE”이므로BE”+ED”=BC”=8 cm
∴(△DBE의 둘레의 길이)
=DB”+BE”+ED”=(AB”-AD”)+BC”
=(10-6)+8=12(cm)
△ADE와△ACE에서
∠ADE=∠ACE=90˘, AE”는 공통, AD”=AC”
이므로△ADE™△ACE(RHS합동) 또, △DBE는 직각이등변삼각형이므로DB”=DE”
∴DB”=DE”=CE”
△AED와△AFD에서
∠AED=∠AFD=90˘, AD”는 공통, DE”=DF”
이므로△AED™△AFD(RHS합동)
∠EAD=∠FAD=90˘-65˘=25˘
∴∠BAC=2∠EAD=2_25˘=50˘
△ABD와△AED에서
∠ABD=∠AED=90˘, AD”는 공통, AB”=AE”
이므로△ABD™△AED(RHS합동)
∠ADB=∠ADE=90˘-28˘=62˘
∴∠x=180˘-2_62˘=56˘
△DBP와△CBP에서
∠PDB=∠PCB=90˘, BP”는 공통, PD”=PC”
이므로△DBP™△CBP(RHS합동)
∠PBD=∠PBC=;2!;∠ABC=;2!;_45˘=22.5˘
∴∠BPD=180˘-(∠PDB+∠PBD)
∴∠BPD=180˘-(90˘+22.5˘)=67.5˘
△ADE와△ACE에서
∠ADE=∠ACE=90˘, AE”는 공통, AD”=AC”
이므로△ADE™△ACE(RHS합동)
∠DAE=∠CAE=180˘-(90˘+55˘)=35˘
∠BAC=∠DAE+∠CAE=35˘+35˘=70˘
∴∠B=180˘-(90˘+70˘)=20˘
196 195 194 193 192 191 190
http://zuaki.tistory.com
03 삼각형의 외심
197외접, 외접원 198외심, 꼭짓점 199◯ 200◯
201× 202◯ 203내부 204중점 205외부 20690, 35 20790, 20 20880, 160 20947, 94
28`쪽
△OAD와△OBD에서
AD”=BD”, ∠ODA=∠ODB=90˘, OD”는 공통이므로
△OAD™△OBD(SAS합동)
202
210④ 211② 21236 cm 213② 2147 cm 21590˘
216① 21710p cm 21816 cm 21930˘ 22045˘
22170˘ 222④ 223116˘ 22440˘ 225③ 22670˘
227④
29~31`쪽
①△BOM™△COM(SAS합동)에서
∠OBM=∠OCM
②ON”은AC”의 수직이등분선이므로AN”=CN”
③ 점O는△ABC의 외심이므로OA”=OB”=OC”
⑤△AOL™△BOL(SAS합동)
①, ⑤ 점O는△ABC의 외심이므로OA”=OB”=OC”
③△BOE™△COE(SAS합동)이므로∠BOE=∠COE
④△AOD™△BOD(SAS합동)
AD”=BD”=6 cm, BE”=CE”=7 cm, CF”=AF”=5 cm
∴(△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CA”
=2_(6+7+5)=36(cm) OB”=OC”이므로△OBC는 이등변삼각형이다.
∴∠OBD=∠OCD=90˘-46˘=44˘
MC”=MA”=MB”=;2!;AB”=;2!;_14=7(cm) OA”=OB”=OC”=5 cm이므로
△AOC는 정삼각형이다. ∴∠y=60˘
△ABO에서∠y=2∠x ∴∠x=30˘
∴∠x+∠y=30˘+60˘=90˘
점M은△ABC의 외심이므로A’M”=B’M”=C’M”
∠MBA=∠MAB=50˘
∴∠AMC=∠MBA+∠MAB
=50˘+50˘=100˘
216 215 214 213 212 211 210
직각삼각형의 빗변AB의 중점이 외심이므로
(외접원의 반지름의 길이)=;2!;AB”=;2!;_10=5(cm)
∴ (외접원의 둘레의 길이)=2p_5=10p(cm) 점O는 직각삼각형ABC의 외심
이므로OA”=OB”=OC”
∠OBC=∠OCB=30˘이므로
∠AOC=30°+30˘=60˘
즉, △OAC는 정삼각형이므로 OA”=AC”=8 cm
∴AB”=2OA”=2_8=16(cm) 40˘+20˘+∠x=90˘
∴∠x=30˘
점O가△ABC의 외심이므로OA”를 그으면
∠x+30˘+15˘=90˘ ∴∠x=45˘
∠AOB=180˘-2_25˘=130˘
∠OAB+∠OBC+∠OCA=90˘이므로 25˘+∠OBC+30˘=90˘
∴∠OBC=35˘
∴∠ABC=25˘+35˘=60˘
∴∠AOB-∠ABC=130˘-60˘=70˘
OA”, OC”를 긋고∠OAC=∠x 라 하면
35˘+10˘+∠x=90˘
∴∠x=45˘
∠OAB=∠OBA=35˘,
∠OCB=∠OBC=10˘이므로
∠A=∠OAB+∠x=35˘+45˘=80˘
∠C=∠OCB+∠x=10˘+45˘=55˘
∴∠A-∠C=80˘-55˘=25˘
∠BOC=2∠A=2_58˘=116˘
∠BOC=2∠A=2_50˘=100˘
△OBC에서
∠x=;2!;_(180˘-100˘)=40˘
OA”를 그으면
∠OAB=∠OBA=35˘
∠OAC=∠OCA=25˘
∴∠BAC=35˘+25˘=60˘
∴∠BOC=2∠BAC
=2_60˘=120˘
A
35˘ 25˘
B C
O
225 224 223
A
35˘
B 10˘ O C
x
222 221 220 219
A
B 30˘ C
O 8 cm
218 217
http://zuaki.tistory.com
워 크 북 해 설 243① 244⑤ 245⑤ 246④ 24768˘ 24829˘
249④ 25092˘ 251180˘ 252135˘ 253150˘ 254② 25540 cm 2564p cm¤ 2577 cm 2584 cm
25930 cm
33~35`쪽
삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다.
점I가△ABC의 내심이므로
①IDÚ=IEÚ=IFÚ
②, ③△ADI와△AFI에서
∠ADI=∠AFI=90˘, AIÚ는 공통, ∠DAI=∠FAI 이므로△ADI™△AFI(RHA합동)
②, ∴AD”=AF”
④ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로
∠IBD=∠IBE
⑤△AID™△AIF(RHA합동)
244 243
04 삼각형의 내심
228 내접, 내접원 229 내심, 변 230× 231 ◯ 232× 233◯ 234◯ 235◯ 236 내부 237내부 238내부 23990, 25 24090, 30 24160, 120 24276, 128
32`쪽
점I는△ABC의 세 내각의 이등분선의 교점이므로 점I는 내 접원의 중심, 즉 내심이고 점I는 세 변에서 같은 거리에 있다.
∠CBI=∠ABI=25˘,
∠BCI=∠ACI=30˘이므로
△IBC에서
∠BIC=180˘-(25˘+30˘)=125˘
∠CBI=∠ABI=24˘,
∠BCI=∠ACI=32˘이므로
△ABC에서
∠A=180˘-2_(24˘+32˘)=68˘
△BIC에서
∠x=∠CBI=180˘-(125˘+26˘)=29˘
∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_52˘=116˘
90˘+;2!;∠A=136˘, ;2!;∠A=46˘
∴∠A=92˘
∠AIB=∠EID=90°+;2!;∠C
∠AIB=90°+;2!;_60˘=120˘
사각형EIDC에서
(180°-∠x)+120˘+(180˘-∠y)+60˘=360˘
∴∠x+∠y=180˘
∠a+∠b+∠c=90˘이므로
∠c=90˘_ =45˘
∴∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+45˘=135˘
∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_60˘=120˘
∴∠BI'C=90˘+;2!;∠BIC
∴∠BI'C=90˘+;2!;_120˘=150˘
내접원의 반지름의 길이를r라 하면
;2!;r(5+6+5)=12
∴r=;;2#;(cm)
△ABC의 세 변의 길이를 각각a, b, c라 하면
;2!;_4(a+b+c)=80
∴a+b+c=40(cm)
A
B C
I4 cm c
a b
255 254 253
5 2+3+5
252 251 250 249 248 247 246 245
∠AOB :∠BOC :∠COA=7 : 5 : 6이므로
∠AOB= _360˘=140˘
∴∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_140˘=70˘
∠ABC=;2!;_(180˘-70˘)=55˘
∠BOC=2∠A=2_70˘=140˘
△OBC에서
∠OBC=;2!;_(180˘-140˘)=20˘
∴∠x=∠ABC-∠OBC
=55˘-20˘=35˘
227
7 7+5+6
226
△ADI와△AFI에서
∠ADI=∠AFI=90˘, AI”는 공통, ∠DAI=∠FAI이므로
△ADI™△AFI(RHA합동)
∴AD”=AF”
232
http://zuaki.tistory.com내접원의 반지름의 길이를r라 하면
;2!;r(6+8+10)=;2!;_8_6
∴r=2(cm)
∴ (내접원I의 넓이)=p_2¤ =4p(cm¤ ) BE”=BD”=x라 하면
AD”=AF”=10-x CE”=CF”=13-x
AC””=(10-x)+(13-x)=9 23-2x=9
∴x=7(cm)
∴BE”=7 cm
BE”=BD”=6 cm이므로 CF”=CE”=BC”-BE”
=10-6
=4(cm) BD”=BE”,
D’IÚ=E’IÚ=FIÚ=EC”이므로 (사각형DBEI의 둘레의 길이)
=BD”+BE”+EIÚ+D’IÚ
=2(BE”+E’IÚ)
=2(BE”+EC”)
=2BC”
=2_15=30(cm)
A
C F B
D
8 cm
15 cm 17 cm
E I
259
E I
10 cm 6 cm
A
B C
D F
258
A
B C
D
E F I
13-x 13-x 10-x 10-x
x x
257 256
164˘ 28 cm 31 cm 4⑴48˘ ⑵39˘ ⑶9˘
36`쪽
△BED와△CFE에서
BD”=CE”, ∠B=∠C, BE”=CF”
이므로△BED™△CFE(SAS합동) yy`①
∴∠DEF=180°-(∠BED+∠CEF)
∴∠DEF=180°-(∠BED+∠BDE)
∴∠DEF=∠DBE
∴∠DEF=;2!;_(180˘-52˘)
∴∠DEF=64˘ yy`②
1
△ABD와△CAE에서
∠BDA=∠AEC=90˘, AB”=CA”,
∠BAD=90˘-∠CAE=∠ACE
이므로△ABD™△CAE(RHA합동) yy`① AE”=BD”=7 cm,
AD”=CE”=15 cm yy`②
∴DE”=AD”-AE”
=15-7=8(cm) yy`③
점O는 외심이므로OC”=OA”=5 cm yy`① AF”=AD”=x라 하면
BD”=BE”=6-x, CF”=CE”=10-x이므로 BC”=(6-x)+(10-x)=8
∴x=4(cm) yy`②
∴OF”=OA”-AF”
=5-4=1(cm) yy`③
⑴ 점 O는△ABC의 외심이므 로OC”를 그으면
∠AOC=2∠B
=2_42˘=84˘
△AOC에서OA”=OC”이므로
∠OAC=∠OCA=;2!;_(180°-84°)=48°
⑵△ABC에서
∠A=180˘-(42˘+60˘)=78˘
점I는△ABC의 내심이므로
∠IAC=∠IAB=;2!;∠A=;2!;_78°=39°
⑶∠OAI=∠OAC-∠IAC=48°-39°=9°
A
42˘ O I 60˘
C B
4 3 2
채점 기준
①△BED™△CFE임을 알기
② ∠DEF의 크기 구하기
3점 3점 배점
채점 기준
①△ABD™△CAE임을 알기
②AE”, AD”의 길이 구하기
③DE”의 길이 구하기
3점 2점 1점 배점
채점 기준
①OA”의 길이 구하기
②AF”의 길이 구하기
③OF”의 길이 구하기
2점 3점 1점 배점
채점 기준
⑴ ∠OAC의 크기 구하기
⑵ ∠IAC의 크기 구하기
⑶ ∠OAI의 크기 구하기
2점 2점 2점 배점
http://zuaki.tistory.com