함수공간 (function space)

함수공간 및 푸리에 급수

실공간 (real space)

z z y y x x

r  ₁ˆ  ₁ˆ  ₁ˆ

3차원공간에서 위치벡터

각 축에 대한 정사영

z r z

y r y

x r x

ˆ ˆ ˆ

1 1 1



















좌표값 = 그 축에 대한 정사영







a r a( 1) r   

함수공간 (function space)

) ( )

( )

( )

(x af₁ x bf₂ x cf₃ x

f   

3차원 함수공간

f₁, f₂, f₃ 는 서로 ‘직교’하는 함수

일반적인 함수는 ‘직교’하는 함수의 무한급수로 표현가능 일반적인 함수의 경우



 







 ( ) ( ) ( ) ( )

)

(x a₁f₁ x a₂ f₂ x a₃f₃ x a f x

f _{n n}

b

주기함수

) ( )

(t T f t

f  

t t

f ( ) sin



) sin(

) ,

(x t kx t

f  



t

ei

t

f ( )  ^

단순조화진동자

단진자 운동의 운동방정식 dt ky

y m d²   Trial solution

t A

y  sin



m k

t m A

t k dt A

y d





















2

해는 삼각함수 (주기함수)

주기함수에 대한 ‘직교’함수공간

삼각함수는 ‘직교’함수공간을 구성하는가?

………. Yes!

푸리에 급수 (Fourier expansion)





n

n t

a t

f ( ) cos







n

n

n t b t

a t

f ( ) ( cos





우함수, 기함수 (Even/Odd function)

우함수: 원점 기준으로 좌우가 대칭

예)

) ( )

(x f x

f  

t x²ⁿ, cos



기함수: 원점 기준으로 회전대칭 )

( )

(x f x

f   

예) x^2n1, sin



우함수, 기함수 (Even/Odd function)

우함수*우함수=

우함수*기함수=

기함수*기함수=

우함수+기함수=

우함수는 기함수의 합으로 표현할 수 없음!

기함수는 우함수의 합으로 표현할 수 없음!

함수의 평균값

구간 (a, b) 사이의 함수에 대해

a b

n

x f x

f x

f x

m  f ( ₁) ( ₂) ( ₃) ( ⁿ) More precisely,

a b

dx x f

x n

x x

f x

f x

f x

m f

b a

n x

 











 







) (

)) ( )

( )

( )

(

lim ( ^{1 2 3}

0



예제 1

Sin 함수의 한주기에 대한 평균값

0 )) 1 ( 1 2 (

] 1 cos 2 [

sin 1 2

1 ₂

0 2

0       



_ 

_

_

m

Sin 함수의 제곱의 평균값

2 1 2

2 ) 1

2 2 cos (1

sin 1

1 ²

0 2

0

2 

 



 

 

_ 

_ 

_ ^

m

또는,

2 1 cos 1

2 sin

1 ₂  ₂  

 x x

m 숙제 1, 문제중심학습 B급