1. ⑴ {0, 0}, 2j3 ⑵ {1, -4}, 4
⑶ {0, 1}, 3 ⑷ {-3, 0}, 5
2. ⑴ x@+y@=4 ⑵ {x-2}@+{y-3}@=25 p.228
1
p.229~230 유제 & 문제
1
유제 01 ⑴ {x+2}@+{y-3}@=18
⑵ {x-3}@+{y-1}@=25
⑶ {x+1}@+y@=4
⑴ 원의 반지름의 길이 r는 두 점 {-2, 3}, {1, 6}
사이의 거리이므로 r =1{1+2}@+{6-3}@3 =3j2 따라서 구하는 원의 방정식은 {x+2}@+{y-3}@=18
⑵ 원의 중심의 좌표는 {3, 1}이고, 원의 반지름의 길이 r는 두 점 {3, 1}, {0, -3} 사이의 거리이므로 r =1{-3}@+{-3-1}@3 =5
따라서 구하는 원의 방정식은 {x-3}@+{y-1}@=25
⑶ 원의 중심의 좌표를 C{a, b}라 하면 점 C는 ABZ 의 중점이므로 a=-3+1
2 =-1, b=0 / C{-1, 0}
또 원의 반지름의 길이 r는 2!ABZ와 같으므로 r=1
2 1{1+3}@3=2
따라서 구하는 원의 방정식은 {x+1}@+y@=4이다.
문제 01-1 7
원의 중심 {a, b}는 ABZ의 중점이므로 a=2+4
2 =3, b=-3+1 2 =-1 또 원의 반지름의 길이 r는 1
2 ABZ와 같으므로 r=1
21{4-2}@+{1+3}@3=j5
따라서 a=3, b=-1, r@=5이므로 a+b+r@=7 유제 02 ⑴ {x+1}@+y@=16 ⑵ x@+{y-2}@=13
⑴ 원의 중심이 x축 위에 있으므로 중심의 좌표를 C{a, 0}, 반지름의 길이를 r라 하면 구하는 원의 방 정식은 {x-a}@+y@=r@이다.
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이 원이 두 점 {-1, 4}, {3, 0}을 지나므로 {-1, 4} SG {-1-a}@+4@=r@
/ a@+2a+17=r@ yy ㉠ {3, 0} SG {3-a}@=r@
/ a@-6a+9=r@ yy ㉡
㉠-㉡을 하면
8a+8=0 / a=-1 SG C{-1, 0}
a=-1을 ㉠에 대입하면
{-1}@+2 K {-1}+17=r@ / r@=16
따라서 구하는 원의 방정식은 {x+1}@+y@=16이다.
⑵ 원의 중심이 y축 위에 있으므로 중심의 좌표를 C{0, b}, 반지름의 길이를 r라 하면 구하는 원의 방 정식은 x@+{y-b}@=r@
이 원이 두 점 {2, -1}, {3, 4}를 지나므로 {2, -1} SG 2@+{-1-b}@=r@
/ b@+2b+5=r@ yy ㉠ {3, 4} SG 3@+{4-b}@=r@
/ b@-8b+25=r@ yy ㉡
㉠-㉡을 하면
10b-20=0 / b=2 SG C{0, 2}
b=2를 ㉠에 대입하면
2@+2 K 2+5=r@ / r@=13
따라서 구하는 원의 방정식은 x@+{y-2}@=13이다.
다른 풀이
⑴ 원의 중심 C{a, 0}에서 두 점 {-1, 4}, {3, 0}에 이르는 거리가 서로 같으므로
1{-1-a}@+4@3=1{3-a}@3
양변을 제곱하여 풀면 a=-1 SG C{-1, 0}
원의 반지름의 길이 r는 두 점 {-1, 0}, {-1, 4}
사이의 거리이므로 r=4
따라서 구하는 원의 방정식은 {x+1}@+y@=16이다.
⑵ 원의 중심 C{0, b}에서 두 점 {2, -1}, {3, 4}에 이르는 거리가 서로 같으므로
12@+{-1-b}@3=13@+{4-b}@3 양변을 제곱하여 풀면 b=2 SG C{0, 2}
원의 반지름의 길이 r는 두 점 {0, 2}, {2, -1} 사 이의 거리이므로 r=12@+{-1-2}@3=j13k
따라서 구하는 원의 방정식은 x@+{y-2}@=13이다.
문제 02-1 [x- 12 ]@+[y- 52 ]@=25 2
원의 중심이 직선 y=x+2 위에 있으므로 중심의 좌표를 C{a, a+2}, 원의 반지름의 길이를 r라 하면 구하는 원 의 방정식은 {x-a}@+{y-a-2}@=r@이다.
이 원이 두 점 {-3, 2}, {1, 6}을 지나므로 {-3, 2} SG {-3-a}@+{-a}@=r@
/ 2a@+6a+9=r@ yy ㉠ {1, 6} SG {1-a}@+{4-a}@=r@
/ 2a@-10a+17=r@ yy ㉡
㉠-㉡을 하면
16a-8=0 / a=2! SG C[2!, 2%]
a=2! 을 ㉠에 대입하면
2 K [2!]@+6 K 2!+9=r@ / r@= 252 따라서 구하는 원의 방정식은
[x-2!]@+[y-2%]@= 252
1. ⑴ {x-4}@+{y-3}@=9
⑵ {x-2}@+{y+5}@=4 2. ⑴ {x+2}@+{y-2}@=4
⑵ {x+4}@+{y+4}@=16
p.231
2
p.232~233 유제 & 문제
2
유제 03 ⑴ {x-1}@+{y+3}@=9
⑵ {x-2}@+{y+1}@=4 또는 {x-10}@+{y-7}@=100
⑴ 구하는 원의 중심의 좌표를 {a, b}라 하면 x축에 접하는 원 이므로 원의 방정식은
{x-a}@+{y-b}@=b@
이 원이 두 점 {-2, -3}, {4, -3}을 지나므로 {-2-a}@+{-3-b}@=b@
/ a@+4a+6b+13=0 yy ㉠
{4-a}@+{-3-b}@=b@
/ a@-8a+6b+25=0 yy ㉡
㉠-㉡을 하면
12a-12=0 / a=1 이것을 ㉠에 대입하면 1@+4 K 1+6b+13=0 6b=-18 / b=-3 따라서 구하는 원의 방정식은 {x-1}@+{y+3}@=9
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개 념 편
이 원이 점 {1, -1}을 지나므로 {1-a}@+{a-2}@=a@, a@-6a+5=0 {a-1}{a-5}=0 / a=1 또는 a=5 따라서 두 원의 반지름의 길이의 합은 1+5=6
유제 04 10
주어진 조건을 만족하는 두 원은 제1사분면 위에 있으므로 원의 반
지름의 길이를 r`{r>0}라 하면 중 심의 좌표는 {r, r}이다.
따라서 구하는 원의 방정식은 {x-r}@+{y-r}@=r@
이 원이 점 {2, 3}을 지나므로
{2-r}@+{3-r}@=r@, r@-10r+13=0
이때 주어진 조건을 만족하는 두 원의 반지름의 길이는 이 이차방정식의 근이므로 근과 계수의 관계에 의해 두 원의 반지름의 길이의 합은 10이다.
문제 04-1 8
주어진 조건을 만족하는 두 원은 제4사분면 위에 있으므로 원의 반 지름의 길이를 r`{r>0}라 하면 중심의 좌표는 {r, -r}이다.
따라서 구하는 원의 방정식은 {x-r}@+{y+r}@=r@
이 원이 점 {2, -2}를 지나므로 {2-r}@+{-2+r}@=r@
r@-8r+8=0 / r=4-2j2 따라서 두 원의 중심의 좌표는
{4+2j2, -4-2j2}, {4-2j2, -4+2j2}
이므로 두 원의 중심 사이의 거리는
494-2j2-{4+26j2}0@+9-4+2j2-{-4-2j2}0@6
=4{-4j2}@+{4j2}@6=8 문제 04-2 {x+2}@+{y-2}@=4
주어진 조건을 만족하는 원은 제2사분면 위에 있으므로 원의 반 지름의 길이를 r`{r>0}라 하면 중심의 좌표는 {-r, r}이다.
따라서 구하는 원의 방정식은 {x+r}@+{y-r}@=r@
이때 원의 중심 {-r, r}가 직선 x-2y+6=0 위에 있으므로 -r-2r+6=0 / r=2
따라서 구하는 원의 방정식은 {x+2}@+{y-2}@=4
⑵ 구하는 원의 중심의 좌표를
{a, b}라 하면 y축에 접하는 원 이므로 원의 방정식은
{x-a}@+{y-b}@=a@
이 원이 두 점 {2, 1}, {4, -1}을 지나므로 {2-a}@+{1-b}@=a@
/ -4a+b@-2b+5=0 yy ㉠
{4-a}@+{-1-b}@=a@
/ -8a+b@+2b+17=0 yy ㉡
㉠에서 a=4!{b@-2b+5}이므로 이것을 ㉡에 대입하면 -8 K 4!{b@-2b+5}+b@+2b+17=0
b@-6b-7=0, {b+1}{b-7}=0 / b=-1 또는 b=7
이것을 a=4!{b@-2b+5}에 대입하면 a=2, b=-1 또는 a=10, b=7 따라서 구하는 원의 방정식은
{x-2}@+{y+1}@=4 또는 {x-10}@+{y-7}@=100
문제 03-1 {x-4}@+{y-2}@=4 또는 {x-12}@+{y-10}@=100 원의 중심이 직선 y=x-2 위
에 있으므로 원의 중심 C의 좌 표를 C{a, a-2}라 하면 x축에 접하는 원의 반지름의 길이 r는
r=|(중심의 y좌표)|=|a-2|
따라서 구하는 원의 방정식은 {x-a}@+{y-a+2}@={a-2}@
이 원이 점 {4, 4}를 지나므로
{4-a}@+{6-a}@={a-2}@, a@-16a+48=0 {a-4}{a-12}=0 / a=4 또는 a=12 따라서 구하는 원의 방정식은
{x-4}@+{y-2}@=4 또는 {x-12}@+{y-10}@=100
문제 03-2 6 원의 중심이 직선 y=-x+1 위에 있으므로
원의 중심 C의 좌표를 C{a, -a+1}이라 하면 y축에 접하는 원의 반지름의 길이 r는
r=|(중심의 x좌표)|=|a|
따라서 구하는 원의 방정식은 {x-a}@+{y+a-1}@=a@
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1. ⑴ 중심의 좌표: {-2, 3}, 반지름의 길이: 2
⑵ 중심의 좌표: {1, -2}, 반지름의 길이: 3 2. 3x+4y-7=0
p.234
3
p.235~240 유제 & 문제
3
유제 05 2
주어진 방정식을 표준형으로 변형하면 {x-k}@+{y+1}@=-2k@+5k+3
이때 이 방정식이 원을 나타내려면 -2k@+5k+3>0이 어야 하므로 2k@-5k-3<0
{2k+1}{k-3}<0 / -2!<k<3
따라서 조건을 만족하는 자연수 k의 개수는 1, 2의 2이다.
문제 05-1 2
주어진 방정식을 표준형으로 변형하면 {x+a}@+{y-3a}@=10a@-10a+25
따라서 이 원의 반지름의 길이는 110a@-10a+253이고 그 넓이가 45p이므로 p{10a@-10a+25}=45p 10a@-10a-20=0, a@-a-2=0
{a+1}{a-2}=0 / a=2 {? a>0}
문제 05-2 25<k<41
주어진 방정식을 표준형으로 변형하면 {x-4}@+{y-5}@=41-k
이 방정식이 원을 나타내려면
41-k>0 / k<41 yy ㉠ 이때 주어진 원의 중심은 {4, 5}이
므로 이 원이 제1사분면 위에 있으 려면 원의 반지름의 길이 j41-kl 는 4보다 작아야 한다.
j41-kl<4, 41-k<16
/ k>25 yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡에 의해 k의 값의 범위는 25<k<41 유제 06 ⑴ x@+y@+6x-4y=0
⑵ x@+y@+8x-4y=0
⑴ 구하는 원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0이라 하면 원점 O{0, 0}을 지나므로 C=0
즉, x@+y@+Ax+By=0이 두 점 P{-1, 5}, Q{0, 4}를 지나므로 26-A+5B=0
16+4B=0 / A=6, B=-4
따라서 구하는 원의 방정식은 x@+y@+6x-4y=0
⑵ 구하는 원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0이라 하면 원점 O{0, 0}을 지나므로 C=0
즉, x@+y@+Ax+By=0이 두 점 P{-6, -2}, Q{-2, 6}을 지나므로
40-6A-2B=0, 40-2A+6B=0 / A=8, B=-4
따라서 구하는 원의 방정식은 x@+y@+8x-4y=0 문제 06-1 3
구하는 원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0이라 하 면 원점 O{0, 0}을 지나므로 C=0
즉, x@+y@+Ax+By=0이 두 점 P{-5, 3}, Q{-4, 4}를 지나므로
34-5A+3B=0, 32-4A+4B=0 / A=5, B=-3
따라서 구하는 원의 방정식은 x@+y@+5x-3y=0
이 원이 점 A{-2, k}를 지나므로 4+k@-10-3k=0 / k@-3k-6=0
이때 k의 값은 이 이차방정식의 근이므로 근과 계수의 관 계에 의해 주어진 조건을 만족하는 모든 k의 값의 합은 3 이다.
문제 06-2 x@+y@-6x+4y=0 주어진 세 직선
x-5y=0 yy ㉠
2x+3y=0 yy ㉡
5x+y-26=0 yy ㉢ 의 교점을 구하면
㉠, ㉡의 교점 SG {0, 0}
㉠, ㉢의 교점 SG {5, 1}
㉡, ㉢의 교점 SG {6, -4}
따라서 세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 외접원은 삼각형 의 세 꼭짓점 {0, 0}, {5, 1}, {6, -4}를 지나는 원이다.
구하는 외접원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0이 라 하면 원점 O{0, 0}을 지나므로 C=0
즉, 원 x@+y@+Ax+By=0이 두 점 {5, 1}, {6, -4}
를 지나므로
26+5A+B=0, 52+6A-4B=0 / A=-6, B=4
따라서 구하는 원의 방정식은 x@+y@-6x+4y=0
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개 념 편
유제 07 25p
주어진 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
{x@+y@+2x-4y-6}+k{x@+y@-18x-8y+6}=0 (단, k=-1인 실수) yy ㉠ 원 ㉠이 원점 O{0, 0}을 지나므로
-6+6k=0 / k=1
k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면 구하는 원의 방정식은 {x@+y@+2x-4y-6}+{x@+y@-18x-8y+6}=0 / x@+y@-8x-6y=0
이 원의 방정식을 표준형으로 변형하면 {x-4}@+{y-3}@=25
즉, 이 원은 중심이 {4, 3}이고 반지름의 길이가 5인 원 이므로 원의 넓이는 p K 5@=25p이다.
문제 07-1 [ 12 , 1 2 ]
주어진 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 {x@+y@-2ax+ay+4}+k{x@+y@-2x}=0
(단, k=-1인 실수) yy ㉠ 이 원이 두 점 {0, 2}, {2, 1}을 지나므로
{0, 2} SG 8+2a+4k=0
/ a+2k=-4 yy ㉡
{2, 1} SG 9-3a+k=0
/ 3a-k=9 yy ㉢
㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, k=-3
a=2, k=-3을 ㉠에 대입하여 정리하면 {x@+y@-4x+2y+4}-3{x@+y@-2x}=0 / x@+y@-x-y-2=0
이 원의 방정식을 표준형으로 변형하면 [x- 12 ]
@+[y- 12 ]
@=5 2
따라서 구하는 원의 중심의 좌표는 [ 12, 1 2 ]이다.
문제 07-2 x@+y@-y-20=0 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
{x@+y@-4x+6y-12}+k{x@+y@+4x-8y-28}=0 (단, k=-1인 실수) 위의 식을 정리하면
{k+1}x@+{k+1}y@+4{k-1}x
+{6-8k}y-12-28k=0 yy ㉠
이때 이 원의 중심이 y축 위에 있으므로 원의 중심의 x 좌표는 0이다. 즉, x의 계수가 0이므로 k=1
k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면 구하는 원의 방정식은 x@+y@-y-20=0
유제 08 ⑴ x+y-1=0 ⑵ j14k
⑴ 오른쪽 그림과 같이 두 원 {x-1}@+{y-1}@=4, {x+1}@+{y+1}@=8의 중심을 각각 C, C'이라 하 고, 두 원의 교점을 P, Q라 하자.
원 {x-1}@+{y-1}@=4에서 x@+y@-2x-2y-2=0 원 {x+1}@+{y+1}@=8에서 x@+y@+2x+2y-6=0
이때 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 {x@+y@-2x-2y-2}-{x@+y@+2x+2y-6}=0 / x+y-1=0
⑵ 원의 중심 C'{-1, -1}에서 선분 PQ에 내린 수선 의 발을 H라 하면
CX'HZ=|-1-1-1|
11@+1@3 =3j2 2 sC'HP는 직각삼각형이고, CX'PZ=2j2`(원 C'의 반지름)이므로 PHZ=r{2j2}@-[ 3j22 ]@y=j14k2
따라서 두 원의 공통현의 길이는 PQZ=2PHZ=j14k이다.
문제 08-1 14
주어진 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 {x@+y@-2x+ay+3}-{x@+y@+4x+2y+4}=0
/ 6x-{a-2}y+1=0 yy ㉠
직선 ㉠이 직선 2x+y-7=0과 수직이므로 6K2-{a-2}K1=0 / a=14
문제 08-2 2
원 {x-1}@+y@=5를 일반형으로 변형하면 x@+y@-2x-4=0
이므로 주어진 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 {x@+y@-4}-{x@+y@-2x-4}=0
2x=0 / x=0
따라서 공통현이 y축 위에 있 으므로 오른쪽 그림에서 공통 현 AB의 길이는 원 x@+y@=4의 지름의 길이와 같다.
/ sO'AB= 12K ABZ K OXO'Z
=1
2K 4 K 1=2
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유제 09 {x-3}@+{y-1}@=2
C{a, b}라 하면 점 C가 원 x@+y@=18 위를 움직이므로
a@+b@=18 yy ㉠
이때 sABC의 무게중심을 G{x, y}라 하면 x=a+3+6
3 , y=b-1+4 3 이 식을 a, b에 대하여 각각 풀면
a=3{x-3}, b=3{y-1} yy ㉡ 따라서 ㉡을 ㉠에 대입하면 무게중심 G가 나타내는 도형 의 방정식은 9{x-3}@+9{y-1}@=18
/ {x-3}@+{y-1}@=2 문제 09-1 {x-6}@+y@=1
P{a, b}라 하면 a@+b@=16 yy ㉠ 이때 APZ를 1`:`3으로 내분하는 점을 Q{x, y}라 하면 x=a+3K8
1+3 , y= b 1+3
이 식을 a, b에 대하여 각각 풀면
a=4{x-6}, b=4y yy ㉡
따라서 ㉡을 ㉠에 대입하면 점 Q가 나타내는 도형의 방정 식은 16{x-6}@+16y@=16
/ {x-6}@+y@=1 문제 09-2 p
주어진 원의 방정식을 표준형으로 변형하면 {x-2}@+{y-1}@=4
B{a, b}라 하면
{a-2}@+{b-1}@=4 yy ㉠
이때 ABZ의 중점을 P{x, y}라 하면 x=a+2
2 , y=b+4 2
이 식을 a, b에 대하여 각각 풀면
a=2x-2, b=2y-4 yy ㉡
따라서 ㉡을 ㉠에 대입하면 ABZ의 중점 P가 나타내는 도 형의 방정식은 {2x-4}@+{2y-5}@=4
/ {x-2}@+[y- 52 ]@=1
즉, ABZ의 중점 P가 나타내는 도형은 중심이 [2, 52 ]이 고, 반지름의 길이가 1인 원이므로 구하는 도형의 넓이는 p K 1@=p
유제 10 x@+y@-10x+21=0 APZ`:`BPZ=2`:`1이므로 2BPZ=APZ
/ 4BPZ@=APZ@
따라서 P{x, y}라 하면 점 P가
나타내는 도형의 방정식은 49{x-4}@+y@0={x-1}@+y@
/ x@+y@-10x+21=0
다른 풀이 아폴로니오스의 원 이용
주어진 조건을 만족하는 점 P가 나타내는 도형은 ABZ를 2`:`1로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다.
ABZ를 2`:`1로 내분하는 점을 C, 외분하는 점을 D라 하면 C{3, 0}, D{7, 0}
이때 원의 중심과 반지름의 길이를 구하면 (원의 중심)={CDZ의 중점) SG {5, 0}
(반지름의 길이)=1
2 CDZ= 12K |7-3|=2