Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수
1. ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ 한 점에서 만난다(접한다).
⑶ 만나지 않는다.
2. ⑴ 2 ⑵ 1 ⑶ 0
⑴ -x@+x-1=2x-3에서 x@+x-2=0 D=1@-4 K 1 K {-2}=9>0 교점은 2개
⑵ -x@+x-1=-5x+8에서 x@-6x+9=0 D
4={-3}@-1 K 9=0 교점은 1개
⑶ -x@+x-1=x+4에서 x@+5=0 D
4=0@-1 K 5=-5<0 교점은 0개
1 p.92
p.93~96 유제 & 문제
1
유제 01 ⑴ k<1 ⑵ k=1 ⑶ k>1 이차함수의 식과 y=0을 연립한 이차방정식은
x@-2x+k=0 yy ㉠
⑴ ㉠의 판별식 D>0이어야 하므로 D
4={-1}@-k=1-k>0 / k<1 ⑵ ㉠의 판별식 D=0이어야 하므로 D
4={-1}@-k=1-k=0 / k=1 ⑶ ㉠의 판별식 D<0이어야 하므로 D
4={-1}@-k=1-k<0 / k>1
문제 01-1 4
x@-kx+k=0의 판별식 D1=0이어야 하므로 D1={-k}@-4k=k{k-4}=0
/ k=0 또는 k=4 yy ㉠
-2x@+3x-k=0, 즉 2x@-3x+k=0의 판별식 D2<0 이어야 하므로
D2={-3}@-8k=9-8k<0 / k> 9
8 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 k=4
문제 01-2 0
x@+2ax+am+m+b=0의 판별식 D=0이어야 하므로 D
4=a@-{am+m+b}=0 / a@-b-m{a+1}=0
이 식이 m의 값에 관계없이 성립하므로 a+1=0, a@-b=0 / a=-1, b=1 / a+b=0
유제 02 ⑴ k>-9 4 ⑵ k=1 4 ⑶ k<-3 2 ⑴ y=-x@+2x+k와 y=3x-2를 연립한 이차방정식은
-x@+2x+k=3x-2 / x@+x-k-2=0 이 이차방정식의 판별식 D>0이어야 하므로 D=1@-4{-k-2}=4k+9>0 / k>- 9
4
⑵ y=-x@+2x+k와 y=x+2k를 연립한 이차방정식은 -x@+2x+k=x+2k / x@-x+k=0 이 이차방정식의 판별식 D=0이어야 하므로 D={-1}@-4k=1-4k=0 / k= 1
4
⑶ y=-x@+2x+k와 y=-2x-k+1을 연립한 이차방 정식은 -x@+2x+k=-2x-k+1
/ x@-4x-2k+1=0
이 이차방정식의 판별식 D<0이어야 하므로 D
4={-2}@-{-2k+1}=2k+3<0 / k<- 3 2
문제 02-1 a>-3
x@+4x-a=2x+2에서 x@+2x-a-2=0 적어도 한 점에서 만나려면 이 이차방정식의 판별식 D>0이어야 하므로
D
4=1@-{-a-2}=a+3>0 / a>-3
유제 03 5
이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 -1, 2이므 로 이는 이차방정식 -x@+ax+b=0, 즉 x@-ax-b=0 의 근이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a=-1+2, -b=-1 K 2 / a=1, b=2 / a+2b=5
문제 03-1 2
이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표가 -1, 3이 므로 이는 이차방정식 -x@+b=ax+1, 즉 x@+ax-b+1=0의 근이다.
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개 념 편
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 -a=-1+3, -b+1=-1 K 3 / a=-2, b=4 / a+b=2 문제 03-2 1
이차함수의 그래프와 직선의 한 교점의 x좌표가 3+j5이 므로 이는 이차방정식 x@+px+q=2x+1, 즉 x@+{p-2}x+q-1=0의 근이다.
이때 p, q가 유리수이므로 다른 한 근은 3-j5이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
-p+2={3+j5}+{3-j5}, q-1={3+j5}{3-j5}
/ p=-4, q=5 / p+q=1 유제 04 8
방정식 |x@-9|-1=m, 즉 |x@-9|=m+1의 실근의 개수는 y=|x@-9|의 그래프와 직선 y=m+1의 교점의 개수와 같다.
y=|x@-9|에서 x=-3, x=3을 기준으로 구간을 나누 어 함수의 식을 구하면
y=|x@-9|=- x@-9 {x<-3 또는 x>3}
-{x@-9} {-3<x<3}
따라서 오른쪽 그림과 같이 교점이
3개이려면 직선 y=m+1이 점 {0, 9}를 지나야 하므로
9=m+1 / m=8
문제 04-1 1<k<5 4
방정식 |x@-1|-x-k=0, 즉 |x@-1|=x+k의 실근 의 개수는 y=|x@-1|의 그래프와 직선 y=x+k의 교점 의 개수와 같다.
y=|x@-1|에서 x=-1, x=1을 기준으로 구간을 나누 어 함수의 식을 구하면
y=|x@-1|=- x@-1 {x<-1 또는 x>1}
-{x@-1} {-1<x<1}
따라서 다음 그림과 같이 교점이 3개 이상이려면 직선 y=x+k가 y=-{x@-1}의 그래프에 접하는 직선이거 나 점 {-1, 0}을 지나는 직선이고, 이들 직선 사이에 있 어야 한다.
! 직선 y=x+k가 y=-{x@-1}의 그래프에 접할 때 이차방정식 x+k=-{x@-1}, 즉 x@+x+k-1=0 의 판별식 D=0이어야 하므로
D=1@-4{k-1}=-4k+5=0 / k= 54
@직선 y=x+k가 점 {-1, 0}을 지날 때 0=-1+k / k=1
!, @에 의해 1<k< 54
기본 연습문제 p.97~98
1③ 2 ① 3 -9 4③ 5 5 63 7 18 8 ④
1 x@-2{k+1}x+k@=0의 판별식 D<0이어야 하므로 4D=9-{k+1}0@-k@=2k+1<0 / k<-2!
2 이차함수 y=x@+4x+5의 그래프를 y축의 방향으로 k 만큼 평행이동하면 y=x@+4x+5+k
x@+4x+5+k=0의 판별식 D>0이어야 하므로 4D=2@-{5+k}=-k-1>0 / k<-1 따라서 정수 k의 최댓값은 -2이다.
3 x@-2ax-b@=2bx-6b+9, 즉
x@-2{a+b}x-b@+6b-9=0의 판별식 D=0이어야 하므로
D
4=9-{a+b}0@-{-b@+6b-9}=0 {a+b}@+{b-3}@=0
이때 a+b, b-3은 실수이므로
a+b=0, b-3=0 / a=-3, b=3 / ab=-9
4 x@+px+q=x, 즉 x@+{p-1}x+q=0의 판별식 D=0이어야 하므로
D={p-1}@-4q=0 yy ㉠
y=x@+px+q의 그래프는 접점 {1, 1}을 지나므로
1=1+p+q / p=-q yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
{-q-1}@-4q=0, q@-2q+1=0 {q-1}@=0 / q=1
q=1을 ㉡에 대입하면 p=-1 / 2p+q=-1
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5 이차함수 y=2x@+ax-3의 그래프와 x축의 교점의 x 좌표가 -3, b이므로 이는 이차방정식 2x@+ax-3=0의 근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
-a
2=-3+b, -3
2=-3b / a=5, b= 12 / 2ab=5
6 이차함수 y=x@-4x+k-2의 그래프와 x축이 만나는 두 점을 {a, 0}, {b, 0}이라 하면 두 점 사이의 거리가 2j3이므로 |a-b|=2j3
양변을 제곱하면 {a-b}@=12 yy ㉠ 이차함수 y=x@-4x+k-2의 그래프와 x축의 교점의 x 좌표 a, b는 이차방정식 x@-4x+k-2=0의 근이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+b=4, ab=k-2 yy ㉡
곱셈 공식의 변형에 의해 {a+b}@-4ab={a-b}@
이 식에 ㉠, ㉡을 대입하면
4@-4{k-2}=12, -4k=-12 / k=3
7 이차함수 y=2x@+3x+1의 그래프와 직선 y=ax+b의 교점의 x좌표 -2, 3은 이차방정식
2x@+{3-a}x+1-b=0의 근이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 -3-a
2 =-2+3, 1-b
2 =-2 K 3 / a=5, b=13 / a+b=18
8 이차함수 y=-2x@+x+k의 그래프와 직선 y=-2x+5의 한 교점의 x좌표가 -2일 때, 다른 교점 의 x좌표를 a라 하면 -2, a는 이차방정식 2x@-3x-k+5=0의 근이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 2#=-2+a / a=2&
따라서 다른 교점의 x좌표는 2&이다.
1 ④ 2 -4 3 4 4 a>0 또는 a=-4!
실전 연습문제 p.99
1 두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선을 y=ax+b 라 하자.
이차함수 y=x@의 그래프와 직선 y=ax+b가 접하면 이
차방정식 x@-ax-b=0의 판별식 D1=0이므로 D1={-a}@+4b=0 / 4b=-a@ yy ㉠ 이차함수 y=-x@+2x-5의 그래프와 직선 y=ax+b 가 접하면 이차방정식 x@+{a-2}x+b+5=0의 판별식 D2=0이므로 D2={a-2}@-4{b+5}=0
a@-4a-4b-16=0 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 2a@-4a-16=0, a@-2a-8=0 {a+2}{a-4}=0 / a=-2 또는 a=4
㉠에서 b=-1 또는 b=-4
이때 직선의 y절편은 b의 값과 같으므로 곱을 구하면 {-1} K {-4}=4
2 이차함수 y=f{x}의 그래프와 x축의 교점의 x좌표 -4, 2는 이차방정식 f{x}=0의 근이므로
f{-4}=0, f{2}=0
따라서 방정식 f{x+1}=0의 해는
x+1=-4 또는 x+1=2 / x=-5 또는 x=1 따라서 모든 실근의 합은 {-5}+1=-4
3 두 그래프의 교점 중 한 교점의 x좌표가 1-j3이므로 이 는 x@+{-a+2b}x+b-a+1=0의 근이다.
이때 a, b가 유리수이므로 다른 한 근은 1+j3이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 a-2b={1-j3}+{1+j3}
b-a+1={1-j3}{1+j3}
/ a=4, b=1 / ab=4
4 방정식 x@=|x|+a, 즉 x@-|x|=a의 실근의 개수는 y=x@-|x|의 그래프와 직선 y=a의 교점의 개수와 같다.
y=x@-|x|에서 x=0을 기준으로 구간을 나누어 함수의 식을 구하면
y=x@-|x|=-x@+x {x<0}
x@-x {x>0}
따라서 다음 그림과 같이 교점이 2개가 되려면 직선 y=a 가 원점을 지나는 직선보다 위쪽에 있거나 점 [ 1 2, -1
4 ] 을 지나야 한다.
x
/ a>0 또는 a=- 1 4
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개 념 편
02 이차함수의 최대, 최소
p.100
1
1. ⑴ 최댓값: 없다., 최솟값: 0 ⑵ 최댓값: 1, 최솟값: 없다.
⑶ 최댓값: 2, 최솟값: -2 ⑷ 최댓값: 14, 최솟값: -1
p.101~107 유제 & 문제
1
유제 01 ⑴ 최댓값: -5
2, 최솟값: 없다.
⑵ 최댓값: 8, 최솟값: -4 ⑴ y=-2!x@+x-3=-2!{x-1}@-2%
따라서 x=1일 때 최댓값은 -2%이고, 최솟값은 없다.
⑵ y=3x@+6x-1=3{x+1}@-4
따라서 꼭짓점의 x좌표가 -2<x<1에 속하므로 x=1일 때, 최댓값 8
x=-1일 때, 최솟값 -4 문제 01-1 -8
y=-2x@+4x-5=-2{x-1}@-3 꼭짓점의 x좌표가 -2<x<4에 속하므로 x=1일 때, 최댓값 a=-3
한편 꼭짓점의 x좌표가 -3<x<0에 속하지 않으므로 x=0일 때, 최댓값 b=-5
/ a+b=-8 문제 01-2 7
f{x} =x@-2ax+4a+3={x-a}@-a@+4a+3 따라서 f{x}는 x=a일 때 최솟값이 -a@+4a+3이므로 g{a}=-a@+4a+3=-{a-2}@+7
따라서 g{a}의 최댓값은 a=2일 때 7이다.
유제 02 12
이차함수 y=x@-6ax+b는 x=3에서 최솟값이 2이므로 y={x-3}@+2=x@-6x+11
따라서 a=1, b=11이므로 a+b=12 문제 02-1 3
이차함수 y=ax@+bx+c는 x=1에서 최댓값이 5이므로
y=a{x-1}@+5 yy ㉠
이 이차함수의 그래프가 점 {3, -3}을 지나므로 -3=4a+5 / a=-2
이를 ㉠에 대입하면
y=-2{x-1}@+5=-2x@+4x+3 따라서 a=-2, b=4, c=3이므로 a+2b-c=-2+8-3=3
문제 02-2 1 4 또는 1 2 y=-1
2x@+4kx-6k=-1
2{x-4k}@+8k@-6k 이 함수의 최댓값이 8k@-6k이므로
8k@-6k=-1, 8k@-6k+1=0
{4k-1}{2k-1}=0 / k= 1 4 또는 k=1 2
유제 03 k=7, 최댓값: -3
f{x}=2x@-12x+k=2{x-3}@+k-18에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는
{3, k-18}
이때 꼭짓점의 x좌표가 1<x<4에 속하므로 x=3 일 때 최솟값이 -11이다.
즉, f{3}=k-18=-11에서 k=7
따라서 f{1}=k-10=-3, f{4}=k-16=-9이므로 최댓값은 -3이다.
문제 03-1 10
이차함수 y=f{x}는 최고차항의 계수가 1이고, 그래프의 꼭짓점의 좌표가 {2, a}이므로
f{x}={x-2}@+a
이때 꼭짓점의 x좌표가 3<x<5
에 속하지 않으므로 x=3일 때 최솟값이 2이다.
즉, f{3}=1+a=2에서 a=1 따라서 최댓값은 f{5}=9+a=10
문제 03-2 2j2
f{x}=-x@+2kx=-{x-k}@+k@에서 그래프의 꼭짓 점의 좌표는 {k, k@}
! k<2일 때, 꼭짓점의 x좌표가 x>2에 속하지 않으므로 x=2일 때 최댓값이 8이다.
즉, f{2}=-4+4k=8에서 k=3
그런데 k<2이므로 k=3은 조건을 만족하지 않는다.
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@ k>2일 때, 꼭짓점의 x좌표가 x>2에 속하므로
x=k일 때 최댓값이 8이다.
즉, f{k}=k@=8에서 k=-2j2
그런데 k>2이므로 k=2j2
!, @에 의해 k=2j2
유제 04 ⑴ 최댓값: 없다., 최솟값: -5 ⑵ 최댓값: 10, 최솟값: -54
⑴ y={x@+4x+1}@-4{x@+4x+1}-1에서
x@+4x+1=t라 하면 t={x+2}@-3 yy ㉠ ㉠은 x=-2일 때 최솟값이 -3이므로 t의 값의 범위
는 t>-3
주어진 함수의 식을 x@+4x+1=t로 치환하면 y =t@-4t-1={t-2}@-5 yy ㉡ 따라서 t>-3에서 ㉡의 최댓값은 없고, t=2일 때 최
솟값은 -5이다.
⑵ y=-2{x@-6x+12}@+4{x@-6x+12}+16에서 x@-6x+12=t라 하면 t={x-3}@+3 yy ㉠
1<x<3에서 ㉠은 x=1일 때 최댓값이 7, x=3일 때 최솟값이 3이므로 t의 값의 범위는 3<t<7 주어진 함수의 식을 x@-6x+12=t로 치환하면 y=-2t@+4t+16=-2{t-1}@+18 yy ㉡ 따라서 3<t<7에서 ㉡은
t=3일 때, 최댓값 10 t=7일 때, 최솟값 -54 문제 04-1 3
y={x@-2x}@+6{x@-2x+1}+2에서
x@-2x=t라 하면 t={x-1}@-1 yy ㉠
㉠은 x=1일 때 최솟값이 -1이므로 t의 값의 범위는 t>-1
주어진 함수의 식을 x@-2x=t로 치환하면
y=t@+6t+8={t+3}@-1 yy ㉡ 따라서 t>-1에서 ㉡은 t=-1일 때 최솟값이 3이다.
이때의 x의 값은 t=x@-2x=-1에서 x@-2x+1=0, {x-1}@=0 / x=1 따라서 a=1, b=3이므로 ab=3
유제 05 최댓값: 2, 최솟값: 2 3 x+y=1에서 y=1-x이므로 2x@+y@=2x@+{1-x}@=3x@-2x+1
=3[x-3!]@+3@
따라서 0<x<1에서 x=1일 때, 최댓값 2 x=1
3 일 때, 최솟값 2 3
문제 05-1 -5
점 P{a, b}가 직선 2x-y-1=0 위에 있으므로 2a-b-1=0 / b=2a-1
/ 5a@-b@ =5a@-{2a-1}@=a@+4a-1={a+2}@-5 따라서 a=-2일 때 최솟값은 -5이다.
문제 05-2 최댓값: 2, 최솟값: 1
점 P{a, b}가 y=x@-3x+2의 그래프 위에 있으므로
b=a@-3a+2 yy ㉠
y=x@-3x+2에 x=0을 대입하면 y=2이므로 A{0, 2}
또 y=0을 대입하면 x@-3x+2=0, {x-1}{x-2}=0 / x=1 또는 x=2 / B{1, 0}, C{2, 0}
점 P가 점 A에서 점 C까지 움직이므로 0<a<2
㉠을 a+b에 대입하면
a+b=a+a@-3a+2=a@-2a+2={a-1}@+1 따라서 0<a<2에서
a=0, a=2일 때, 최댓값 2 a=1일 때, 최솟값 1
유제 06 4
2x@+y@-4x+2y+7
=2{x@-2x+1}-2+{y@+2y+1}-1+7 =2{x-1}@+{y+1}@+4
이때 {x-1}@>0, {y+1}@>0이므로 2x@+y@-4x+2y+7>4
따라서 주어진 식의 최솟값은 4이다.
문제 06-1 -15
2x@+3y@+4z@-8x+6y+8z
=2{x@-4x+4}-8+3{y@+2y+1}-3
+4{z@+2z+1}-4 =2{x-2}@+3{y+1}@+4{z+1}@-15
이때 {x-2}@>0, {y+1}@>0, {z+1}@>0이므로 2x@+3y@+4z@-8x+6y+8z>-15
따라서 주어진 식의 최솟값은 -15이다.
문제 06-2 8
4x+6y-x@-3y@-2
=-{x@-4x+4}+4-3{y@-2y+1}+3-2 =-{x-2}@-3{y-1}@+5
이때 -{x-2}@<0, -{y-1}@<0이므로
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개 념 편
4x+6y-x@-3y@-2<5
따라서 주어진 식은 x=2, y=1일 때 최댓값이 5이므로 a=2, b=1, c=5 / a+b+c=8
문제 07-1 ⑴ 45 m ⑵ 3초
⑴ y=30x-5x@=-5{x-3}@+45 yy ㉠ 이때 x>0이므로 공이 가장 높이 올라갔을 때의 높이
는 45 m이다,
⑵ ㉠에서 공이 가장 높이 올라갔을 때는 쏘아 올린 지 3 초 후이다.
공이 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로 0=30x-5x@, x@-6x=0
x{x-6}=0 / x=6 {? x>0}
따라서 쏘아 올린 지 6초 후에 다시 지면에 떨어지므 로 구하는 시간은 3초이다.
문제 07-2 45000원, 150원
현재 가격 100원에서 x원을 올린 가격은 {100+x}원이 고, 이때 판매량은 400개에서 2x개 줄어들므로
{400-2x}개이다.
하루 총 판매 금액을 y원이라 하면
y ={100+x}{400-2x}=-2x@+200x+40000
=-2{x-50}@+45000
이때 0<x<200이므로 x=50일 때 최댓값은 45000이다.
따라서 하루 총 판매 금액의 최댓값은 45000원이고, 그때 의 사탕 한 개의 가격은 100+50=150(원)이다.
문제 07-3 9
점 P의 좌표를 {a, b}라 하면 점 P는 직선 y=-x+6 위의 점이므로 b=-a+6
OQl=a, PQl=b=-a+6이므로 직사각형 ROQP의 넓 이를 S라 하면
S=a{-a+6}=-a@+6a=-{a-3}@+9
점 P가 제1사분면 위의 점이면 0<a<6이므로 직사각형 ROQP의 넓이의 최댓값은 9이다.
1 ① x=0일 때 최댓값은 -5이다.
②, ③ 최댓값은 없다.
1 ⑤ 2 20 3 2 4 4 5 9 6 ④ 7 ② 8 128`cm@ 9 18
기본 연습문제 p.108~109
④ y=-x@-4x+9=-{x+2}@+13 x=-2일 때 최댓값은 13이다.
⑤ y=-1
2x@+2x+3=-1
2{x-2}@+5 x=-2일 때 최댓값은 5이다.
2 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프가 x축 위의 두 점 {-1, 0}, {2, 0}을 지나므로
y=a{x+1}{x-2}=a{x@-x-2} yy ㉠ =a[x- 12 ]
@-9 4a 이 함수의 최솟값은 -9
4a이므로 -9
4 a=-9 / a=4 a=4를 ㉠에 대입하면
y=4{x@-x-2}=4x@-4x-8 따라서 b=-4, c=-8이므로
a+2b-3c=4+2 K {-4}-3 K {-8}=20
3 f{x}=x@-2ax+b={x-a}@-a@+b f{x}의 최솟값은 -a@+b이므로
-a@+b=-3 yy ㉠
g{x}=-x@+4x+a=-{x-2}@+4+a g{x}의 최댓값은 4+a이므로
4+a=6 / a=2
a=2를 ㉠에 대입하면 b=1 / ab=2
4 f{x}=3x@-6x+k=3{x-1}@-3+k에서 그래프의 꼭 짓점의 좌표는 {1, -3+k}
이때 꼭짓점의 x좌표가 0<x<3에 속하므로 x=1일 때 최솟값이 -8이다.
즉, f{1}=-3+k=-8에서 k=-5
따라서 최댓값은 f{3}=9+k=4
5 y=-{x@-4x+1}@-4{x@-4x+1}+5에서
x@-4x+1=t라 하면 t={x-2}@-3 yy ㉠ 1<x<4에서 ㉠은 x=4일 때 최댓값이 1, x=2일 때 최 솟값이 -3이므로 t의 값의 범위는 -3<t<1
주어진 함수의 식을 x@-4x+1=t로 치환하면
y =-t@-4t+5=-{t+2}@+9 yy ㉡ 따라서 -3<t<1에서 ㉡은 t=-2일 때 최댓값이 9,
t=1일 때 최솟값이 0이므로 그 합은 9이다.
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6 3x+4y=5에서 y=-3
4x+ 54 yy ㉠
㉠을 x@+y@에 대입하면 x@+y@=x@+[- 34x+5
4 ]@= 2516x@-15 8 x+25
16
=25 16 [x-3
5 ]@+1
주어진 식은 x=5#일 때 최솟값이 1이다.
x=5#을 ㉠에 대입하면 y=-4# K 5#+4%=5$
/ a=5#, b=5$, c=1 / a+b-c=5@
7 y=15x-5x@=-5[x-3 2 ]@+ 45 4 이때 x>0이므로 물 로켓의 최고 높이는 45
4 `m이다.
8 단면의 세로의 길이가 x`cm이므로 가로의 길이는 {32-2x}`cm
단면의 넓이를 S`cm@라 하면 S=x{32-2x}=-2x@+32x
=-2{x-8}@+128
이때 0<x<16이므로 단면의 넓이의 최댓값은 128`cm@
이다.
9 직사각형의 가로의 길이가 12+2x, 세로의 길이가 12-x 이므로 직사각형의 넓이를 S라 하면
S ={12+2x}{12-x}=-2x@+12x+144
=-2{x-3}@+162
이때 0<x<12이므로 x=3일 때 넓이가 최대이다.
따라서 이때의 가로의 길이는 12+2 K 3=18이다.
1 ③ 2최댓값: 2, 최솟값: -2 3 8 4 20
p.110 실전 연습문제
1 f{x}=2x@+ax-3+a=2[x+ a4 ]
@- a@8+a-3
f{x}는 최솟값이 -a@
8+a-3이므로 g{a}=-a@
8+a-3=-1
8{a-4}@-1 따라서 g{a}는 a=4일 때 최댓값이 -1이다.
2 y=x@-2|x|-1{-2<x<3}에서 y=-x@+2x-1 {-2<x<0}
x@-2x-1 {0<x<3}
=-{x+1}@-2 {-2<x<0}
{x-1}@-2 {0<x<3}
따라서 주어진 함수의 그 래프는 오른쪽 그림과 같 으므로
x=3일 때, 최댓값 2 x=-1, x=1일 때, 최솟값 -2
3 y=-1
2{x@-2x+2}@+6{x@-2x+2}-k에서 x@-2x+2=t라 하면
t=x@-2x+2={x-1}@+1 yy ㉠ -1<x<2에서 ㉠은 x=-1일 때 최댓값이 5, x=1일 때 최솟값이 1이므로 t의 값의 범위는 1<t<5
주어진 식을 x@-2x+2=t로 치환하면
y =-2! t@+6t-k=-2!{t-6}@+18-k yy ㉡ 이때 꼭짓점의 t좌표가
1<t<5에 속하지 않으 므로 t=5일 때 최댓값이 20이다.
즉, 35
2 -k=20에서 k=-5
2
t=1일 때, 최솟값은 11 2 -k=8
4 오른쪽 그림과 같이 x축 위에 있는 직사각형의 한 꼭짓점의 좌표를 {a, 0}
이라 하면 x축 위의 다른 한 꼭짓점의 좌표는 {6-a, 0}이므로
직사각형의 가로의 길이는 2a-6이고, 세로의 길이는 -a@+6a이다.
직사각형의 둘레의 길이를 L이라 하면 L =2{2a-6}+2{-a@+6a}
=-2a@+16a-12
=-2{a-4}@+20
이때 3<a<6이므로 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값은 20이다.
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