1. ⑴ 6 ⑵ 3 ⑶ 3 ⑷ 2j13k ⑸ 5j2 ⑹ 2j5 p.176
1
p.177~181 유제 & 문제
1
유제 01 -10 또는 2
ABZ =1{6-3}@+{-4-a}@3 =1a@+8a+253=3j5 양변을 제곱하여 풀면
a@+8a+25=45, a@+8a-20=0
{a+10}{a-2}=0 / a=-10 또는 a=2 문제 01-1 12
ABZ=1{6-2}@+3{-1}@3=j17k BCZ=1{a-6}@+4@3=1a@-12a+523 ABZ=BCZ이므로 j17k=1a@-12a+523 양변을 제곱하여 풀면
17=a@-12a+52, a@-12a+35=0 {a-5}{a-7}=0 / a=5 또는 a=7 / 5+7=12
문제 01-2 a=1, 최솟값: 4j2
ABZ=1{a-5}@+3{-3-a}@3=12a@-4a+343
=12{a-1}@+323
따라서 ABZ의 길이는 a=1일 때, 최솟값 j32k=4j2를 갖는다.
유제 02 ⑴ CB=90 !인 직각삼각형 ⑵ BCZ=CAZ인 이등변삼각형
⑴ ABZ=1{1-4}@+{1+2}@3=j18k=3j2 BCZ=1{3-1}@+{3-1}@3=j8=2j2 CAZ=1{4-3}@+{-2-3}@3=j26k
이때 ABZ@+BCZ@=CXAZ@이므로 sABC는 CB=90 ! 인 직각삼각형이다.
⑵ ABZ=1{3+3}@+{1-5}@3=j52k=2j13k BCZ=1{4-3}@+{9-1}@3=j65k CXAZ=1{-3-4}@+{5-9}@3=j65k
이때 BCZ=CAZ이므로 sABC는 BCZ=CAZ인 이등 변삼각형이다.
문제 02-1 2
ABZ=1{-1-2}@+{a-8}@3 =1a@-16a+733 BCZ=1{5+1}@+{-1-a}@3 =1a@+2a+373 이때 ABZ=BCZ에서 ABZ@=BCZ@이므로 a@-16a+73=a@+2a+37
18a=36 / a=2
문제 02-2 {j3, -j3}
점 C가 제4사분면 위의 점이므로 C{a, b}
{a>0, b<0}라 하면
ABZ=1{-1-1}@+{-1-1}@3 =j8=2j2 BCZ=1{a+1}@+{b+1}@3
CXAZ=1{1-a}@+{1-b}@3
이때 정삼각형의 세 변의 길이는 모두 같으므로 ABZ=BCZ=CAZ
! ABZ=BCZ에서 ABZ@=BCZ@이므로 8={a+1}@+{b+1}@
/ a@+b@+2a+2b=6 yy ㉠
@ BCZ=CAZ에서 BCZ@=CAZ@이므로 {a+1}@+{b+1}@={1-a}@+{1-b}@
/ a=-b yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 b@+b@-2b+2b=6 b@=3 / b=-13 {? b<0}
b=-j3을 ㉡에 대입하면 a=j3
따라서 구하는 점 C의 좌표는 {j3, -j3}이다.
유제 03 4j26k 5
점 P가 x축 위의 점이므로 P{a, 0}이라 하면 APZ=BPZ에서 APZ@=BPZ@이므로
{a-4}@+1@={a-3}@+{-4}@
2a=-8 / a=-4 즉, P{-4, 0} yy ㉠ 한편 점 Q가 y축 위의 점이므로 Q{0, b}라 하면 AQZ=BQZ에서 AQZ@=BQZ@이므로
{-4}@+{b+1}@={-3}@+{b-4}@
10b=8 / b= 45
즉, Q[0, 45 ] yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의해
PQZ=r4@+[ 45 ]@y= 4j26k5
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개 념 편
문제 03-1 [2!, 2!]
점 C가 직선 y=x 위의 점이므 로 C{a, a}라 하면 ACZ=BCZ 에서
ACZ@=BCZ@이므로 {a+2}@+{a-1}@
={a-3}@+a@
8a=4 / a=2!
따라서 구하는 점 C의 좌표는 [2!, 2!]이다.
문제 03-2 [2(, 2!]
외심의 좌표를 P{a, b}라 하면 삼각형의 외심의 성질에 의해 점 P에서 세 꼭짓점 A{2, 3}, B{1, 0}, C{5, 4}에 이르는 거 리는 같다.
/ APZ=BPZ=CPZ SG APZ@=BPZ@=CPZ@
! APZ@=BPZ@에서
{a-2}@+{b-3}@={a-1}@+b@
/ a+3b=6 yy ㉠
@ BPZ@=CPZ@에서
{a-1}@+b@={a-5}@+{b-4}@
/ a+b=5 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2(, b=2!
따라서 구하는 외심 P의 좌표는 P[2(, 2!]이다.
유제 04 752
점 Q가 y축 위의 점이므로 Q{0, b}라 하면 AQZ @+BQZ @
={-6}@+{b-1}@+1@+{b-2}@
=2b@-6b+42=2[b- 32 ]
@+75 2
따라서 AQZ @+BQZ @의 값은 b= 32 일 때, 최솟값 75 2 를 갖 는다.
문제 04-1 {3, 3}
점 P가 직선 y=x 위의 점이므로 P{a, a}라 하면 APZ @+BPZ @
={a-1}@+{a-2}@+{a-3}@+{a-6}@
=4a@-24a+50=4{a-3}@+14
따라서 APZ @+BPZ @의 값은 a=3일 때 최소이고, 그때의 점 P의 좌표는 {3, 3}이다.
문제 04-2 P{2, 5}, 최솟값: 2
점 P가 직선 y=x+3 위의 점이므로 P{a, a+3}이라 하면
APZ @+BPZ @
={a-3}@+{a-2}@+{a-2}@+{a-1}@
=4a@-16a+18=4{a-2}@+2
따라서 APZ @+BPZ @의 값은 a=2일 때 최솟값 2를 갖고, 그때의 점 P의 좌표는 {2, 5}이다.
유제 05 풀이 참조
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 직선 BC를 x축으로 놓 고, BDZ=2CDZ인 점 D를 원점 O가 되도록 놓자.
세 점 A, B, C의 좌표를 A{a, b}, B{-2c, 0}, C{c, 0}으로 놓고,
AXBZ@, AXCZ@, AXDZ@, CDZ@을 구하면
AXBZ@={-2c-a}@+{-b}@=a@+4ac+4c@+b@
AXCZ@={c-a}@+{-b}@=a@-2ac+c@+b@
AXXDZ@=a@+b@
CDZ@=c@
/ AXBZ@+2AXCZ@=3{a@+b@+2c@} yy ㉠ AXXDZ@+2CDZ@=a@+b@+2c@ yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의해
AXBZ@+2AXCZ@=3{AXDZ@+2CDZ@}
문제 05-1 풀이 참조
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위 에 직선 BC를 x축으로 놓고, 점 B를 원점 O가 되도록 놓자.
두 점 A, C의 좌표를 A{a, b}, C{c, 0}으로 놓으면
D{a+c, b}
ACZ@, BXDZ@, ABZ@, BCZ@을 구하면
AXCZ@={c-a}@+{-b}@=a@-2ac+c@+b@
BXDZ@={a+c}@+b@=a@+2ac+c@+b@
AXBZ@=a@+b@, BCZ@=c@
/ AXCZ@+BXDZ@=2{a@+b@+c@} yy ㉠ AXBZ@+BCZ@=a@+b@+c@ yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의해
ACZ@+BXDZ@=2{AXBZ@+BCZ@}
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1 ABZ =1{1-a}@+{a+3}@3
=12a@+4a+103=12{a+1}@+83 따라서 a=-1일 때 ABZ의 길이는 최소이다.
2 ABZ=1a@+b@3
BCZ=1b@+3{a+b-b}@3=1a@+b@3 CAZ=1{a-b}@+3{a+b}@3=12 1a@+b@3
따라서 ABZ=BCZ이고 ABZ @+BCZ @=CAZ @이므로 sABC 는 CB=90 !인 직각이등변삼각형이다.
3 sOAB가 정삼각형이 되려면 세 변의 길이가 모두 같아 야 하므로 OXAZ=OBZ=ABZ
! OXAZ=OBZ에서 OXAZ@=OBZ@이므로 2@=x@+{j3}@, x@=1 / x=-1
@ OBZ=ABZ에서 OBZ@=ABZ@이므로
x@+{j3}@={x-2}@+{j3}@, 4x=4 / x=1 따라서 !, @를 동시에 만족하는 x의 값은 1이다.
4 점 P가 직선 y=-3x+2 위의 점이므로
P{a, -3a+2}라 하면 APZ=BPZ에서 APZ@=BPZ@이므로 {a-1}@+{-3a}@={a-4}@+{-3a-3}@
12a=-24 / a=-2, 즉 P{-2, 8}
5 삼각형의 외심의 성질에 의해 외심 P{1, 2}에서 세 꼭짓 점 A{a, 7}, B{-3, 5}, C{5, b}에 이르는 거리는 모 두 같으므로 APZ=BPZ=CPZ
! APZ=BPZ에서 APZ@=BPZ@이므로 {1-a}@+{2-7}@={1+3}@+{2-5}@
a@-2a+1=0, {a-1}@=0 / a=1
@ BPZ=CPZ에서 BPZ@=CPZ@이므로 {1+3}@+{2-5}@={1-5}@+{2-b}@
b@-4b-5=0, {b+1}{b-5}=0 / b=5`{? b>0}
따라서 !, @에 의해 ab=5이다.
6 점 P가 직선 y=x-1 위의 점이므로 P{a, a-1}이라 하면
APZ @+BPZ @={a-8}@+{a+6}@+{a-12}@+{a-6}@
=4a@-40a+280=4{a-5}@+180 1 ③ 2 CB=90 !인 직각이등변삼각형 3 ① 4 {-2, 8} 5 ⑤ 6 P{5, 4}, 최솟값: 180
7 ㈎ c ㈏ d ㈐ {a-c}@+b@ ㈑ {a-c}@+{b-d}@ 8 ④
기본 연습문제 p.182~183 따라서 APZ @+BPZ @의 값은 a=5일 때 최솟값 180을 갖
고, 그때의 점 P의 좌표는 {5, 4}이다.
7 오른쪽 그림과 같이 좌표 평면 위에 직선 BC를 x 축으로 놓고, 꼭짓점 B가 원점이 되도록 놓자.
두 점 A, C의 좌표를 A{0, d}, C{c, 0}으로 놓으면 점 D의 좌표는 D{ c , d }
또 P{a, b}로 놓고 APZ@, BPZ@, CPZ@, DPZ@을 각각 구 하면
APZ@=a@+{b-d}@, BPZ@=a@+b@
CPZ@= {a-c}@+b@ , DPZ@= {a-c}@+{b-d}@
/ APZ@+CPZ@ =a@+{b-d}@+ {a-c}@+b@
={a@+b@}+ {a-c}@+{b-d}@
=BPZ@+DPZ@
따라서 APZ@+CPZ@=BPZ@+DPZ@이 성립한다.
8 점 C{0, 4}이고, OAZ=OCZ=4이므로
A{4, 0} yy ㉠
또 위의 그림과 같이 점 E를 잡고, E{a, 0}이라 하면 점 D{21, 12}이므로 B{a, 12}
이때 BDZ=21-a, BEZ=12이고, BDZ=BEZ이므로 21-a=12 / a=9, 즉 B{9, 12} yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의해
ABZ=1{9-4}@+12@3=13
1 O{0, 0}, P{x, y}, Q{2, -1}이라 하면 1x@+y@3+1{x-2}@+{y+1}@3=OPZ+PQZ 이때 OPZ+PQZ>OQZ이고 OQZ=12@+{-1}@3 =j5 이므로 주어진 식의 최솟값은 j5이다.
1 j5 2 174 3 17 4 2시간 후, 5 km
p.184 실전 연습문제
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개 념 편
ABZ=1{10-3t}@+{4t-5}@3
=19t@-60t+100+16t@-40t+253
=125{t-2}@+253
따라서 t=2일 때, ABZ는 최솟값 j25k=5를 갖는다.
즉, 두 사람의 거리가 가장 가까워지는 것은 2시간 후이 고, 그때의 거리는 5 km이다.
02 선분의 내분점과 외분점
1. ⑴ B ⑵ D ⑶ 2, 1 ⑷ 1, 3 2. 풀이 참조
3. ⑴ P{2} ⑵ Q{-22} ⑶ M[2!]
4. ⑴ P[5, 3&] ⑵ Q[-2#, -15] ⑶ M[2(, 1]
내분점 P P7 2 K 3+3 K {-2}
2 + 3 8SG P{ 0 }
외분점 Q Q72 K 3 -3 K {-2}
2 - 3 8SG Q{ -12 } p.187
1
p.188~192 유제 & 문제
1
유제 01 12j5
선분 AB를 2 : 3으로 내분하는 점 P의 좌표는 [ 2K3+3K82+3 , 2K9+3K{-1}
2+3 ] / P{6, 3}
선분 AB를 2 : 3으로 외분하는 점 Q의 좌표는 [ 2K3-3K82-3 , 2K9-3K{-1}
2-3 ] / Q{18, -21}
/ PQZ=1{18-6}@+3{-21-3}@3=12j5 문제 01-1 {-8, 40}
ABZ를 1`:`2로 내분하는 점이 P{2, 0}이므로 1 K 4+2a
1+2 =2, b+2 K 4
1+2 =0 / a=1, b=-8 따라서 A{1, 4}, B{4, -8}이므로 ABZ를 3`:`4로 외분 하는 점 Q의 좌표는
[ 3 K 4-4 K 13-4 , 3 K {-8}-4 K 4 3-4 ] / {-8, 40}
2 AXBZ=1{2-1}@+{3-1}@3=j5
BCZ=1{3-2}@+{k-3}@3=1k@-6k+103 CAZ=1{1-3}@+{1-k}@3=1k@-2k+53 sABC가 이등변삼각형이므로
AXBZ=BCZ 또는 AXBZ=CAZ 또는 BCZ=CAZ 또는 AXBZ=BCZ=CAZ
! AXBZ=BCZ일 때 ABZ@=BCZ@이므로 5=k@-6k+10, k@-6k+5=0 {k-1}{k-5}=0
/ k=1 또는 k=5
이때 점 C{3, 5}이면 세 점 A, B, C는 일직선 위에
있으므로 k=1 yy ㉠
@ ABZ=CAZ일 때 ABZ@=CAZ@이므로 5=k@-2k+5, k@-2k=0, k{k-2}=0
/ k=0 또는 k=2
이때 k는 양수이므로 k=2 yy ㉡
# BCZ=CAZ일 때 BCZ@=CAZ@이므로 k@-6k+10=k@-2k+5
4k=5 / k=4% yy ㉢
$ ABZ=BCZ=CAZ일 때
㉠, ㉡, ㉢을 동시에 만족하는 k의 값은 없다.
따라서 !~$에 의해 모든 양수 k의 값의 합은 1+2+5
4=17 4
3 오른쪽 그림과 같이 sABC 를 좌표평면 위에 나타내면 점 P는 y축 위의 점이므로 P{0, a}라 할 수 있다.
(단, -2<a<4) / APZ@+BPZ@
={a-4}@+3@+a@
=2a@-8a+25=2{a-2}@+17
따라서 APZ@+BPZ@의 값은 a=2일 때, 최솟값 17을 갖는다.
4 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위 에 일직선 모양의 두 도로를 각각 x축, y축으로 놓고, 지점 O가 원 점이 되도록 놓으면 t시간 후 규 리와 주형이의 위치는 각각 두 점
A{-10+3t, 0} ◀ -10에서 출발, 오른쪽으로 3t만큼 이동
B{0, -5+4t} ◀ -5에서 출발, 위로 4t만큼 이동
로 나타낼 수 있다.
이때 t시간 후 두 사람 사이의 거리는 ABZ이므로
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문제 01-2 {3, 2}, {5, 6}
다음 그림과 같이 ABZ를 삼등분하는 두 점을 P, Q라 하 면 점 P는 ABZ를 1`:`2로 내분하는 점이고, 점 Q는 ABZ 를 2`:`1로 내분하는 점이다.
따라서 두 점 P, Q의 좌표는 [ 1 K 7+2 K 11+2 , 1 K 10+2 K {-2}
1+2 ] / P{3, 2}
[ 2 K 7+1 K 12+1 , 2 K 10+1 K {-2}
2+1 ] / Q{5, 6}
즉, ABZ를 삼등분하는 두 점의 좌표는 {3, 2}, {5, 6}이다.
유제 02 3@
{1-t}`:`t에서 1-t>0, t>0이므로
0<t<1 yy ㉠
두 점 A{-3, -2}, B{-6, 4}에 대하여 선분 AB를 {1-t}`:`t로 내분하는 점의 좌표를 {x, y}라 하면 x={1-t}K{-6}+tK{-3}
{1-t}+t =3t-6 y={1-t}K4+tK{-2}
{1-t}+t =-6t+4 / {3t-6, -6t+4}
이 점이 제2사분면 위에 있으므로 이 점의 x좌표는 음수, y좌표는 양수이어야 한다.
3t-6<0, -6t+4>0 / t<3@ yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 t의 값의 범위는 0<t<3@이므로
a=0, b=3@ / a+b=3@
문제 02-1 3
두 점 A{1, 3}, B{-2, -5}에 대하여 선분 AB를 k`:`2로 외분하는 점의 좌표는
[-2k-2K1k-2 , -5k-2K3 k-2 ] / [ -2k-2k-2 , -5k-6
k-2 ]
이 점이 직선 y=2x-5 위에 있으므로 -5k-6
k-2 =2 K -2k-2k-2 -5 -5k-6=2{-2k-2}-5{k-2}
4k=12 / k=3
문제 02-2 2`:`1
두 점 A{-2, 4}, B{3, -2}를 이은 선분 AB를 m`:`n으로 내분하는 점 P는
P[3m-2nm+n , -2m+4n m+n ]
점 P가 x축 위의 점이므로 점 P의 y좌표는 0이다. 즉, -2m+4n
m+n =0, m=2n / m`:`n=2`:`1 유제 03 {-9, 11}
3ABZ=2BCZ이므로 ABZ`:`BCZ=2`:`3 점 C는 ABZ의 연장선 위
에 있으므로 세 점 A, B, C의 위치는 오른쪽 그림과 같다.
방법 1 내분점 이용
C{a, b}라 하면 점 B는 ACZ를 2`:`3으로 내분하는 점 이므로
2a+3 K 6
2+3 =0, 2b+3 K 1 2+3 =5 / a=-9, b=11, 즉 C{-9, 11}
방법 2 외분점 이용 오른쪽 그림에서 ACZ`:`CBZ=5`:`3 따라서 점 C는 ABZ를 5`:`3으로 외분하는 점이므로 C[5 K 0-3 K 6
5-3 , 5 K 5-3 K 1
5-3 ] / C{-9, 11}
문제 03-1 125
ABZ=4 BCZ이므로 ABZ`:`BCZ=4`:`1 점 C는 ABZ의 연장선 위에 있으므로 세 점 A, B, C의 위치는 오른쪽 그림과 같다.
점 B는 ACZ를 4`:`1로 내분 하는 점이므로
a=4 K {-1}+1 K 3 4+1 =-1
5, b=4 K 2+1 K 5 4+1 =13
5 / a+b= 125
유제 04 {5, 3}
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 (ACZ의 중점)=(BDZ의 중점) C{a, b}라 하면 ACZ의 중점의 좌표는
[ 2+a2 , 4+b 2 ]
BDZ의 중점의 좌표는 [ 72, 7 2 ]
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개 념 편
따라서 ( ACZ의 중점)=( BDZ의 중점)이므로 2+a
2 = 7 2 ,
4+b 2 =
7 2 / a=5, b=3 즉, C{5, 3}
문제 04-1 B{-1, -2}, C{6, -4}
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 (ACZ의 중점)=(BDZ의 중점) C{a, b}라 하면 ACZ의 중점의 좌표가 {3, 0}이므로
0+a
2 =3, 4+b
2 =0 / a=6, b=-4, 즉 C{6, -4}
또 B{c, d}라 하면 BDZ의 중점의 좌표도 {3, 0}이므로 c+7
2 =3, d+2 2 =0 / c=-1, d=-2 즉, B{-1, -2}
문제 04-2 -4 또는 4
마름모의 성질에 의하여 두 대각 선은 서로 다른 것을 이등분하므 로 오른쪽 그림과 같은 사각형 ABCD에서 대각선 AC의 중점 과 대각선 BD의 중점이 일치한다.
ACZ의 중점의 좌표는 [ -2+b2 , 3+5
2 ] / [ b-22 , 4] BDZ의 중점의 좌표는 [ a+22 , 7+1
2 ] / [ a+2
2 , 4] ( ACZ의 중점)=( BDZ의 중점)이므로
b-2 2 =a+2
2 / b=a+4 yy ㉠ 또한 마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로
ABZ=ADZ, 즉 ABZ @=ADZ @이므로 {a+2}@+{7-3}@={2+2}@+{1-3}@
a@+4a+4+16=16+4 a@+4a=0, a{a+4}=0
/ a=-4 또는 a=0 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
a=-4, b=0 또는 a=0, b=4 / a+b=-4 또는 a+b=4
유제 05 [-2!, -2#]
APZ가 CA의 이등분선이므로
ABZ`:`ACZ=BPZ`:`CPZ yy ㉠ ABZ, ACZ의 길이를 구하면
ABZ =1{-7-5}@+5@3=13 ACZ =1{2-5}@+{-4}@3=5
㉠에 의해 BPZ`:`CPZ=13`:`5
따라서 점 P는 BCZ를 13`:`5로 내분하는 점이므로 P[13 K 2+5 K {-7}
13+5 , 13 K {-4}+5 K 5 13+5 ] / P[-2!, -2#]
문제 05-1 13`:`10 AXDZ가 CA의 이등분선이 므로
ABZ`:`ACZ=BDZ`:`CDZ yy ㉠
ABZ, ACZ의 길이를 구하면
ABZ=1{-8+3}@+{-14+2}@3 =13 ACZ=1{5+3}@+{4+2}@3=10 ㉠에 의해 BDZ`:`CDZ=13`:`10
따라서 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길 이의 비와 같으므로
sABD`:`sACD =BDZ`:`CDZ
=13`:`10
1. ⑴ G{4, 3} ⑵ G{2, 2}
p.193
2
p.194~195 유제 & 문제
2
유제 06 {-1, -4}
A{a, b}라 하면 세 점 A{a, b}, B{4, 2}, C{0, 5}를 꼭짓점으로 하는 sABC의 무게중심이 G{1, 1}이므로
a+4+0
3 =1, b+2+5 3 =1 / a=-1, b=-4 즉, A{-1, -4}
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유제 07 P{1, -1}, 최솟값: 98
sABC와 이 삼각형 내부의 임의의 점 P에 대하여 APZ@+BPZ@+CPZ@의 값이 최소가 되도록 하는 점 P는 sABC의 무게중심과 일치한다.
sABC의 무게중심의 좌표는 [ 2+4-33 , 5-7-1
3 ] SG {1, -1}
따라서 P{1, -1}일 때 APZ@+BPZ@+CPZ@의 값은 최소 이고, 이때의 최솟값을 구하면
APZ@+BPZ@+CPZ@
=9{1-2}@+{-1-5}@0+9{1-4}@+{-1+7}@0 +9{1+3}@+{-1+1}@0
=98
다른 풀이 이차식의 최솟값 이용 P{x, y}라 하면
APZ@+BPZ@+CPZ@
=9{x-2}@+{y-5}@0+9{x-4}@+{y+7}@0 +9{x+3}@+{y+1}@0
=3{x-1}@+3{y+1}@+98
이때 {x-1}@>0, {y+1}@>0이므로 APZ@+BPZ@+CPZ@
의 값은 x=1, y=-1일 때 최솟값 98을 갖고, 그때의 점 P의 좌표는 {1, -1}이다.
문제 07-1 {4, 2}
sOAB와 임의의 점 P에 대하여 OPZ@+APZ@+BPZ@의 값이 최소가 되도록 하는 점 P는 sOAB의 무게중심과 일치한다. sOAB의 무게중심의 좌표는
[ 0+7+53 , 0+1+5
3 ] SG {4, 2}
따라서 구하는 점 P의 좌표는 {4, 2}이다.
1 두 점 A{-3, 2}, B{6, 11}에 대하여 ABZ를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는
[ 2K6+1K{-3}
2+1 , 2K11+1K2
2+1 ] / P{3, 8}
두 점 P{3, 8}, B{6, 11}에 대하여 PBZ를 4`:`1로 외분 하는 점 Q의 좌표는
1{5, 10} 2 {11, -4} 3 ③ 4 2!
5{-3, -7} 6 a=1, b=5 또는 a=5, b=9 7 ⑤ 8{0, 1} 9 ③
기본 연습문제 p.196~197
문제 06-1 30
삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 G[ 3-4+x3 , 7-9+y
3 ] / G[ x-13 , y-2 3 ] 삼각형 GAB의 무게중심 H의 좌표는
H
[
x-13 +3-43 , y-23 +7-9
3
]
/ H[ x-49 , y-8 9 ] 이때 H{1, 1}이므로 x-4
9 =1, y-8 9 =1 / x=13, y=17, 즉 x+y=30
다른 풀이
G{m, n}이라 하면 H[ m-13 , n-2 3 ]
이때 H{1, 1}이므로 m=4, n=5 / G{4, 5}
따라서 G[ x-13 , y-2
3 ]이므로 x=13, y=17이다.
문제 06-2 {2, 1}
세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 각각 A{x1, y1}, B{x2, y2}, C{x3, y3}이라 하면 세 변 AB, BC, CA를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표가 각각 D{3, 5}, E{-1, 1}, F{4, -3}이므로
D[ 2x2+x12+1 , 2y2+y1 2+1 ]에서 2x2+x1
3 =3, 2y2+y1 3 =5
/ x1+2x2=9, y1+2y2=15 yy ㉠ E[ 2x3+x22+1 , 2y3+y2
2+1 ]에서 2x3+x2
3 =-1, 2y3+y2 3 =1
/ x2+2x3=-3, y2+2y3=3 yy ㉡ F[ 2x1+x32+1 , 2y1+y3
2+1 ]에서 2x1+x3
3 =4, 2y1+y3 3 =-3
/ 2x1+x3=12, 2y1+y3=-9 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 변끼리 더하면
3{x1+x2+x3}=18, 3{y1+y2+y3}=9 / x1+x2+x3=6, y1+y2+y3=3
따라서 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 [ x1+x2+x33 , y1+y2+y3
3 ] / {2, 1}
다른 풀이
sABC의 무게중심 G는 sDEF의 무게중심과 일치하 므로 sDEF의 무게중심의 좌표를 구하면
[ 3-1+43 , 5+1-3
3 ] / {2, 1}
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개 념 편
3a+2 K 2
3+2 =-1, 3b+2 K 3 3+2 =-3 / a=-3, b=-7, 즉 C{-3, -7}
6 마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로 ABZ=BCZ 즉, ABZ@=BCZ@이므로
{3-a}@+{5-1}@={7-3}@+{3-5}@
a@-6a+5=0, {a-1}{a-5}=0 / a=1 또는 a=5
! a=1일 때 @ a=5일 때
한편 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 (ACZ의 중점)=(BDZ의 중점)
BDZ의 중점의 좌표는 [ 3+b2 , 2]
! a=1일 때, ACZ의 중점의 좌표가 {4, 2}이므로 3+b
2 =4 / b=5
@ a=5일 때, ACZ의 중점의 좌표가 {6, 2}이므로 3+b
2 =6 / b=9 따라서 !, @에 의해 a=1, b=5 또는 a=5, b=9
7 sPQR의 무게중심 G{2, 2}는 sABC의 무게중심과 일치하므로
G[ 1+3+a3 , 1+1+b 3 ]에서 a+4
3 =2, b+2 3 =2 / a=2, b=4, 즉 ab=8 8 두 점 B, C의 좌표를
B{x1, y1}, C{x2, y2}라 하면 BCZ의 중점이 M{-1, -1}
이므로 x1+x2
2 =-1, y1+y2 2 =-1 / x1+x2=-2, y1+y2=-2
따라서 sABC의 무게중심 G의 좌표를 {x, y}라 하면 x=2+x1+x2
3 =2-2 3 =0 y=5+y1+y2
3 =5-2 3 =1 / G{0, 1}
[ 4K6-1K34-1 , 4K11-1K8
4-1 ] / Q{7, 12}
따라서 두 점 P{3, 8}, Q{7, 12}의 중점 M의 좌표는 [ 3+72 , 8+12
2 ] / M{5, 10}
2 두 점 A{2, a+1}, B{b+1, -1}에 대하여 ABZ를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표가 {0, 0}이므로
2{b+1}+1 K 2
2+1 =0, 2 K {-1}+1 K {a+1}
2+1 =0
/ a=1, b=-2
따라서 세 점 A, B, C의 좌표는 A{2, 2}, B{-1, -1}, C{3, -2}
이므로 BCZ를 3`:`2로 외분하는 점의 좌표는 [3 K 3-2 K {-1}
3-2 , 3 K {-2}-2 K {-1}
3-2 ]
/ {11, -4}
3 ABZ를 사등분하는 세 점 중에서 점 B에 가장 가까운 점을 P{4, 7}이라 하면 점 P는 ABZ를 3`:`1로 내분하는 점이다.
즉, P[ 3K6+1Ka3+1 , 3b+1K4 3+1 ]이므로 18+a
4 =4, 3b+4 4 =7 / a=-2, b=8, 즉 a+b=6
4 두 점 A{-2, 1}, B{3, 4}에 대하여 ABZ를
{3+k} : {3-k}로 내분하는 점 P의 좌표를 {x, y}라 하면
x={3+k} K 3+{3-k} K {-2}
{3+k}+{3-k} =5k+3 6 y={3+k} K 4+{3-k} K 1
{3+k}+{3-k} =k+5 2 / P[5k+36 , k+5
2 ]
이때 점 P가 직선 y=3x 위에 있으므로 k+5
2 =3 K 5k+3 6 k+5=5k+3, 4k=2 / k=2!
5 2ABZ=3BCZ이므로 ABZ`:`BCZ=3 : 2 점 C는 점 B의 방향으로
의 연장선 위에 있으므로 세 점 A, B, C의 위치 는 오른쪽 그림과 같다.
C{a, b}라 하면 점 B는 ACZ를 3`:`2로 내분하는 점이 므로
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