Ⅱ-3. 여러 가지 방정식
1. ⑴ x=-2 또는 x=-1-j13k 2
⑵ x=0 또는 x=-1 또는 x=3
2. ⑴ x=-1 또는 x=1-j3i 2 ⑵ x=-2 또는 x=-2i
⑴ x#+1=0에서 {x+1}{x@-x+1}=0 / x=-1 또는 x= 1-j3i
2
⑵ x$-16=0에서 {x-2}{x+2}{x@+4}=0 / x=-2 또는 x=-2i
p.112
1
p.113~118 유제 & 문제
1
유제 01 ⑴ x=-1 또는 x=-3-j15k ⑵ x=1 또는 x=-2(중근) 또는 x=3
⑴ P{x}=x#+7x@-6이라 하면 P{-1}=-1+7-6=0
인수정리에 의해 x+1은 P{x}의 인수이므로 조립제 법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
-1 1 7 0 -6 -1 -6 6 1 6 -6 0 ∴ P{x}={x+1}{x@+6x-6}
주어진 방정식을 풀면 {x+1}{x@+6x-6}=0 / x=-1 또는 x=-3-j15k
⑵ P{x}=x$-9x@-4x+12라 하면 P{1}=1-9-4+12=0 P{-2}=16-36+8+12=0
인수정리에 의해 x-1, x+2는 P{x}의 인수이므로 조립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
1 1 0 -9 -4 12 1 1 -8 -12 -2 1 1 -8 -12 0
-2 2 12 1 -1 -6 0
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문제 02-1 k>4!
P{x}=x#+{1-k}x@-k@이라 하면 P{k}=k#+{1-k}k@-k@=0
인수정리에 의해 x-k는 P{x}의 인수이므로 조립제법 을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
k 1 1-k 0 -k@
k k k@
1 1 k 0 / P{x}={x-k}{x@+x+k}
이때 k는 실수이므로 주어진 방정식이 허근을 가지려면 이차방정식 x@+x+k=0이 허근을 가져야 한다.
따라서 x@+x+k=0의 판별식 D<0이므로 D=1-4k<0 ∴ k>4!
문제 02-2 k<-2 또는 -2<k<0 또는 0<k<4! P{x}=x$+x#+{k-1}x@-x-k라 하면
P{1}=1+1+k-1-1-k=0 P{-1}=1-1+k-1+1-k=0
인수정리에 의해 x-1, x+1은 P{x}의 인수이므로 조 립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
1 1 1 k-1 -1 -k 1 2 k+1 k -1 1 2 k+1 k 0
-1 -1 -k 1 1 k 0
/ P{x}={x-1}{x+1}{x@+x+k}
이때 주어진 방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 이 차방정식 x@+x+k=0이 x=1, x=-1인 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
따라서 Q{x}=x@+x+k라 하면
! Q{1}=0이므로 1+1+k=0 ∴ k=-2
@ Q{-1}=0이므로 1-1+k=0 / k=0
# x@+x+k=0의 판별식 D>0이므로 D=1-4k>0 / k<4!
!, @, #에 의해 k의 값의 범위는 k<-2 또는 -2<k<0 또는 0<k<4!
유제 03 ⑴ x=-4 또는 x=1 또는 x=-3-j11ki 2 ⑵ x=-5 또는 x=-1 또는 x=-3-j6
⑴ {x@+3x+4}{x@+3x-3}=8에서 x@+3x=t로 치 환하여 인수분해하면
{t+4}{t-3}=8, t@+t-20=0 {t-4}{t+5}=0
t=x@+3x를 다시 대입하면 {x@+3x-4}{x@+3x+5}=0 {x+4}{x-1}{x@+3x+5}=0
/ x=-4 또는 x=1 또는 x= -3-j11ki 2
⑵ x{x+2}{x+4}{x+6}+15=0에서 두 일차식의 상수항의 합이 같도록 일차식을 두 개씩 짝 지어 전개 하면
9x{x+6}09{x+2}{x+4}0+15=0 {x@+6x}{x@+6x+8}+15=0 x@+6x=t로 치환하여 인수분해하면 t{t+8}+15=0, t@+8t+15=0 {t+5}{t+3}=0
t=x@+6x를 다시 대입하면 {x@+6x+5}{x@+6x+3}=0 {x+5}{x+1}{x@+6x+3}=0
/ x=-5 또는 x=-1 또는 x=-3-j6
문제 03-1 x=-4 또는 x=2 또는 x=-3-j17k {x@+x-8}{x@+7x-8}+5x@=0에서 x@-8=t로 치 환하여 인수분해하면
{t+x}{t+7x}+5x@=0, t@+8xt+12x@=0 {t+2x}{t+6x}=0
t=x@-8을 다시 대입하면 {x@+2x-8}{x@+6x-8}=0 {x+4}{x-2}{x@+6x-8}=0
/ x=-4 또는 x=2 또는 x=-3-j17k 문제 03-2 x=1 또는 x=6 또는 x= -9-j57k
2
{x+1}{x-2}{x-3}{x+6}-28x@=0에서 두 일차 식의 상수항의 곱이 같도록 일차식을 두 개씩 짝 지어 전 개하면
9{x+1}{x+6}09{x-2}{x-3}0-28x@=0 {x@+7x+6}{x@-5x+6}-28x@=0 x@+6=t로 치환하여 인수분해하면
{t+7x}{t-5x}-28x@=0, t@+2xt-63x@=0 {t-7x}{t+9x}=0
t=x@+6을 다시 대입하면 {x@-7x+6}{x@+9x+6}=0 {x-1}{x-6}{x@+9x+6}=0 / x=1 또는 x=6 또는 x= -9-j57k 2
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개 념 편
유제 04 ⑴ x=-13 또는 x=-i ⑵ x=-1-j2 또는 x=1-j2
⑴ x$-2x@-3=0에서 x@=t로 치환하면 t@-2t-3=0, {t-3}{t+1}=0 t=x@을 다시 대입하면
{x@-3}{x@+1}=0 ∴ x=-13 또는 x=-i
⑵ 주어진 식을 A@-B@=0 꼴로 변형하면 x$-2x@+1-4x@=0, {x@-1}@-{2x}@=0 {x@+2x-1}{x@-2x-1}=0
∴ x=-1-j2 또는 x=1-j2 문제 04-1 0
주어진 식을 A@-B@=0 꼴로 변형하면 x$+6x@+9-4x@=0, {x@+3}@-{2x}@=0 {x@+2x+3}{x@-2x+3}=0
∴ x=-1-j2i 또는 x=1-j2i 따라서 모든 근의 합은
{-1+j2i}+{-1-j2i}+{1+j2i}+{1-j2i}=0 문제 04-2 x=-1-i 또는 x=1-i
주어진 식을 A@-B@=0 꼴로 변형하면 x$+4x@+4-4x@=0, {x@+2}@-{2x}@=0 {x@+2x+2}{x@-2x+2}=0
/ x=-1-i 또는 x=1-i
유제 05 x= -3-2 j5 또는 x=-2-j3
x$+7x#+14x@+7x+1=0의 좌변에 x=0을 대입하면 0+7 K 0+14 K 0+7 K 0+1=0
SG x=0은 주어진 방정식의 해가 아니다.
x=0이므로 양변을 x@으로 나누면 x@+7x+14+x&+ 1x@=0 x@+1
x@+7[x+x!]+14=0 x@+1
x@=[x+x!]@-2이므로 [x+x!]@-2+7[x+x!]+14=0 [x+x!]@+7[x+x!]+12=0
x+x!=t로 치환하여 인수분해하면 t@+7t+12=0, {t+3}{t+4}=0 t=x+x!을 다시 대입하면
[x+x!+3][x+x!+4]=0 / x+x!+3=0 또는 x+x!+4=0 x=0이므로 각 방정식의 양변에 x를 곱하면 x@+3x+1=0 또는 x@+4x+1=0 / x= -3-j5
2 또는 x=-2-j3 문제 05-1 2
2x$-3x#+4x@-3x+2=0의 좌변에 x=0을 대입하면 2 K 0-3 K 0+4 K 0-3 K 0+2=0
x=0은 주어진 방정식의 해가 아니다.
x=0이므로 양변을 x@으로 나누면 2x@-3x+4-3
x+2 x@=0 2[x@+ 1 x@ ]-3[x+ 1 x ]+4=0 2[x+ 1 x ]@-3[x+ 1 x ]=0 x+1
x=t로 치환하여 인수분해하면 2t@-3t=0, t{2t-3}=0
t=x+1
x 을 다시 대입하면 [x+ 1 x ][2x+2
x-3]=0 ∴ x+1
x=0 또는 2x+2 x-3=0 x=0이므로 각 방정식의 양변에 x를 곱하면 x@+1=0 또는 2x@-3x+2=0
두 이차방정식의 근이 a, aC와 b, bC이므로 근과 계수의 관 계에 의해
aaC+bbC=1+1=2 문제 05-2 1
i가 사차방정식 x$-3x#+2x@+ax+b=0의 한 근이므 로 x=i를 대입하면
1+3i-2+ai+b=0 / b-1+{a+3}i=0
a, b는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의해 b-1=0, a+3=0
/ a=-3, b=1
a=-3, b=1을 주어진 방정식에 대입하면
x$-3x#+2x@-3x+1=0 yy ㉠
㉠의 좌변에 x=0을 대입하면 0-3 K 0+2 K 0-3 K 0+1=0 SG x=0은 ㉠의 해가 아니다.
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x=0이므로 ㉠의 양변을 x@으로 나누면 x@-3x+2-x#+ 1x@=0
x@+1
x@-3[x+x!]+2=0 [x+x!]@-3[x+x!]=0
x+x!=t로 치환하여 인수분해하면 t@-3t=0, t{t-3}=0
t=x+x!을 다시 대입하면 [x+x!][x+x!-3]=0 / x+x!=0 또는 x+x!-3=0
x=0이므로 각 방정식의 양변에 x를 곱하면 x@+1=0 또는 x@-3x+1=0
/ x=-i 또는 x= 3-j5 2
따라서 주어진 방정식의 모든 실근의 곱은 3+j5
2 K 3-j52 =1
유제 06 3
뚜껑 없는 상자의 부피가 420 cm#이므로 {20-2x}{16-2x}x=420
/ x#-18x@+80x-105=0 P{x}=x#-18x@+80x-105라 하면 P{3}=27-162+240-105=0
인수정리에 의해 x-3은 P{x}의 인수이므로 조립제법 을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
3 1 -18 80 -105 3 -45 105 1 -15 35 0 / P{x}={x-3}{x@-15x+35}
/ {x-3}{x@-15x+35}=0 이때 x는 정수이므로 x=3
문제 06-1 10 cm
정사각형인 밑면의 한 변의 길이를 x cm라 하면 꽃병의 부피가 500\4=2000{cm#}이므로
x K x K 2x=2000, x#-1000=0 {x-10}{x@+10x+100}=0 이때 x는 양의 실수이므로 x=10
따라서 꽃병의 밑면의 한 변의 길이는 10 cm이다.
문제 06-2 6 cm
처음 3개의 구의 반지름의 길이를 {x-1} cm, x cm, {x+1} cm라 하면 새로 만든 구의 반지름의 길이는 {x+2} cm이므로
3$p{x-1}#+3$px#+3$p{x+1}#=3$p{x+2}#‹
/ x#-3x@-3x-4=0 P{x}=x#-3x@-3x-4라 하면 P{4}=64-48-12-4=0
인수정리에 의해 x-4는 P{x}의 인수이므로 조립제법 을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
4 1 -3 -3 -4 4 4 4 1 1 1 0
∴ P{x}={x-4}{x@+x+1}
∴ {x-4}{x@+x+1}=0 이때 x는 x>1인 실수이므로 x=4
따라서 새로 만든 구의 반지름의 길이는 6 cm이다.
1. ⑴ -2, 6, 4 ⑵ -2#, -2%, -2!
2. x#-6x@+11x-6=0
x#-{1+2+3}x@+{1 K 2+2 K 3+3 K 1}x-1 K 2 K 3=0
∴ x#-6x@+11x-6=0
p.119
2
p.120~122 유제 & 문제
2
유제 07 ⑴ 5 ⑵ -5
삼차방정식 x#+x@+3x-2=0의 세 근이 a, b, c이므 로 근과 계수의 관계에 의해
a+b+c=-1, ab+bc+ca=3, abc=2
⑴ {a+1}{b+1}{c+1}
=abc+{ab+bc+ca}+{a+b+c}+1
=2+3+{-1}+1=5
⑵ a+b+c=-1이므로 {a+b}{b+c}{c+a}
={-1-c}{-1-a}{-1-b}
=-{a+1}{b+1}{c+1}=-5 (∵ ⑴)
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개 념 편
문제 07-1 ⑴2! ⑵ 8
삼차방정식 x#-2x@+x-2=0의 세 근이 a, b, c이므 로 근과 계수의 관계에 의해
a+b+c=2, ab+bc+ca=1, abc=2
⑴ 1 a +1
b +1
c =ab+bc+ca abc =2!
⑵ a@+b@+c@ ={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}
=2@-2 K 1=2 / a#+b#+c#
={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}+3abc
=2 K {2-1}+3 K 2=8
문제 07-2 -8
두 근의 비가 1 : 2이므로 한 근을 a{a=0}라 하면 다른 한 근은 2a이다.
따라서 삼차방정식 x#-7x@+14x+a=0의 세 근을 a, 2a, c라 하면 근과 계수의 관계에 의해
a+2a+c=7 / c=7-3a yy ㉠ 즉, 세 근이 a, 2a, 7-3a이므로
2a@+2a{7-3a}+a{7-3a}=14, a@-3a+2=0 {a-1}{a-2}=0 ∴ a=1 또는 a=2 세 근 a, 2a, 7-3a를 구하면
! a=1일 때 a=1, 2a=2, 7-3a=4
@ a=2일 때 a=2, 2a=4, 7-3a=1
!, @에 의해 삼차방정식의 세 근은 1, 2, 4이므로 1 K 2 K 4=-a / a=-8
유제 08 a=5, b=-26, 다른 두 근: -2-3i, 2 계수가 실수이므로 -2+3i가 근이면 -2-3i도 근이다.
삼차방정식 x#+2x@+ax+b=0의 나머지 한 근을 c라 하면 근과 계수의 관계에 의해 세 근의 합은 -2이므로 {-2+3i}+{-2-3i}+c=-2 ∴ c=2 즉, 주어진 삼차방정식의 세 근이 -2+3i, -2-3i, 2이 고 두 근끼리의 곱의 합은 a이므로
a ={-2+3i}{-2-3i}+2{-2-3i}+2{-2+3i}
=5
세 근의 곱은 -b이므로
-b={-2+3i}{-2-3i} K 2=26 ∴ b=-26
문제 08-1 16
계수가 실수이므로 2+j3i가 근이면 2-j3i도 근이다.
삼차방정식 x#-x@+px+q=0의 나머지 한 근을 c라 하면 근과 계수의 관계에 의해 세 근의 합은 1이므로 {2+j3i}+{2-j3i}+c=1 / c=-3
즉, 주어진 삼차방정식의 세 근이 2+j3i, 2-j3i, -3 이고 두 근끼리의 곱의 합은 p이므로
p={2+j3i}{2-j3i}-3{2-j3i}-3{2+j3i}=-5 세 근의 곱은 -q이므로
-q=-3{2+j3i}{2-j3i}=-21 / q=21 / p+q=16
문제 08-2 a=-4, b=2, 다른 두 근: 1-j3, 2 계수가 유리수이므로 1+j3이 근이면 1-j3도 근이다.
삼차방정식 x#+ax@+bx+4=0의 나머지 한 근을 c라 하면 근과 계수의 관계에 의해 세 근의 곱은 -4이므로 {1+j3}{1-j3} K c=-4 ∴ c=2
즉, 주어진 삼차방정식의 세 근이 1+j3, 1-j3, 2이고 세 근의 합은 -a이므로
-a={1+j3}+{1-j3}+2=4 ∴ a=-4 두 근끼리의 곱의 합은 b이므로
b={1+j3}{1-j3}+2{1-j3}+2{1+j3}=2 유제 09 3x#-x@+2x+1=0
삼차방정식 x#+2x@-x+3=0의 세 근이 a, b, c이므로 근과 계수의 관계에 의해
a+b+c=-2, ab+bc+ca=-1, abc=-3 세 근 1
a , 1 b , 1
c 의 합은 1
a +1 b +1
c =ab+bc+ca abc =1
3 세 근 1
a , 1 b , 1
c 에서 두 근끼리의 곱의 합은 ab +1 1
bc + 1
ca =a+b+c abc =2
3 세 근 1
a , 1 b , 1
c 의 곱은 1
abc =-1 3 따라서 구하는 삼차방정식은
3[x#- 1 3x@+2 3x+1
3 ]=0
∴ 3x#-x@+2x+1=0
문제 09-1 x#+x+3=0
삼차방정식 x#+x-3=0의 세 근이 a, b, c이므로 근 과 계수의 관계에 의해
a+b+c=0, ab+bc+ca=1, abc=3 a+b+c=0에서
a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b
즉, a+b, b+c, c+a를 세 근으로 하는 삼차방정식은 -c, -a, -b를 세 근으로 하는 삼차방정식과 같다.
세 근 -a, -b, -c의 합은 -{a+b+c}=0
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세 근 -a, -b, -c에서 두 근끼리의 곱의 합은 ab+bc+ca=1
세 근 -a, -b, -c의 곱은 -abc=-3 따라서 구하는 삼차방정식은 x#+x+3=0 문제 09-2 9
f{1}=f{2}=f{3}=3에서
f{1}-3=0, f{2}-3=0, f{3}-3=0 즉, 방정식 f{x}-3=0의 근은 1, 2, 3이다.
이때 f{x}의 최고차항의 계수가 1이면 f{x}-3=0의 최 고차항의 계수도 1이므로
f{x}-3= {x-1}{x-2}{x-3}
즉, f{x}={x-1}{x-2}{x-3}+3이므로 f{4}=3 K 2 K 1+3=9
1. ⑴ 1 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ -1 x#=1, x@+x+1=0이므로 ⑴ x!@={x#}$=1
⑵ x%+x$+x#=x#{x@+x+1}=0 ⑶ x!))+x%)+1 ={x#}## K x+{x#}!^ K x@+1
=x@+x+1=0 ⑷ x@
1+x = x@
-x@ =-1
p.123
3
p.124 유제 & 문제
3
유제 10 ⑴ 2 ⑵ -1
삼차방정식 x#-1=0에서 {x-1}{x@+x+1}=0 x는 x#-1=0의 한 허근이므로 x#=1, x@+x+1=0 x@+x+1=0의 한 허근이 x이므로 다른 한 근은 xZ이다.
/ x+xZ=-1, xxZ=1
⑴ {1+x!)))}{1+x!))!}{1+x!))@}
=91+{x#}### K x091+{x#}### K x@091+{x#}##$0 ={1+x}{1+x@}{1+1}
={-x@} K {-x} K 2=x# K 2=2
⑵ x 1-x + xX
1-xX =x{1-xX}+xX{1-x}
{1-x}{1-xX}
= x+xX-2xxX 1-{x+xX}+xxX
= -1-2 K 1 1+1+1 =-1
문제 10-1 -2
삼차방정식 x#-1=0에서 {x-1}{x@+x+1}=0 x는 x#-1=0의 한 허근이므로 x#=1, x@+x+1=0
∴ x!&
1+x!^+ x!^
1+x!&= {x#}% K x@
1+{x#}% K x+ {x#}% K x 1+{x#}% K x@
∴ + = x@
1+x+ x
1+x@= x@ -x@+ x
-x
∴ + =-1+{-1}=-2
문제 10-2 ②
삼차방정식 x#+1=0에서 {x+1}{x@-x+1}=0 x는 x#+1=0의 한 허근이므로 x#=-1, x@-x+1=0
① x@-x+1=0의 한 허근이 x이므로 다른 한 근은 xX 이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의해 xxX=1
② x@-x+1=0의 양변을 x로 나누면 x-1+ 1x=0 / x+1
x=1
③ x%-x$-1 =x# K x@-x# K x-1=-x@+x-1
=-{x@-x+1}=0
④ x!))+1
x!)! ={x#}## K x+1
{x#}## K x@ =-x+1 -x@ = -x@
-x@=1
⑤ xxX=1에서 xX=1
x= -x#x =-x@
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
기본 연습문제 p.125~126
1 5 2 2 x=1-j2 3④ 4 ① 5-4 6 1 3 7 3 8② 9 ③
1 P{x}=2x$-x#-6x@-x+2라 하면 P{-1}=2+1-6+1+2=0 P{2}=32-8-24-2+2=0
인수정리에 의해 x+1, x-2는 P{x}의 인수이므로 조 립제법을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
-1 2 -1 -6 -1 2 -2 3 3 -2 2 2 -3 -3 2 0
4 2 -2 2 1 -1 0
∴ P{x} ={x+1}{x-2}{2x@+x-1}
={x+1}{x-2}{2x-1}{x+1}
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개 념 편
즉, {x+1}@{x-2}{2x-1}=0에서 x=-1(중근) 또는 x=2 또는 x=1 2 따라서 양의 실수인 근의 합은 2+1
2=5 2
2 삼차방정식 x#-x@+ax-1=0의 한 근이 -1이므로 x=-1을 대입하면
-1-1-a-1=0 ∴ a=-3
따라서 주어진 방정식은 x#-x@-3x-1=0 P{x}=x#-x@-3x-1이라 하면
P{-1}=-1-1+3-1=0
인수정리에 의해 x+1은 P{x}의 인수이므로 조립제법 을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
-1 1 -1 -3 -1
-1 2 1
1 -2 -1 0 즉, P{x}={x+1}{x@-2x-1}
{x+1}{x@-2x-1}=0에서 -1이 아닌 다른 두 근은 x=1-j2
3 P{x}=x#-4x@-{k-5}x+k-2라 하면 P{1}=1-4-k+5+k-2=0
인수정리에 의해 x-1은 P{x}의 인수이므로 조립제법 을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
1 1 -4 -k+5 k-2 1 -3 -k+2 1 -3 -k+2 0 / P{x}={x-1}{x@-3x-k+2}
즉, P{x}=0에서
x=1 또는 x@-3x-k+2=0
이때 주어진 삼차방정식의 실근이 한 개이려면 이차방정 식 x@-3x-k+2=0이 x=1을 중근으로 가지거나 허근 을 가져야 한다.
! x=1을 중근으로 가지는 경우
x@-3x-k+2=0에 x=1을 대입하면 1-3-k+2=0 / k=0
그런데 x@-3x+2=0에서 {x-1}{x-2}=0이므로 중근을 갖지 않는다.
@ x@-3x-k+2=0이 허근을 가지는 경우 x@-3x-k+2=0의 판별식 D<0이므로 D=9-4{-k+2}=4k+1<0 / k<-4!
!, @에서 k의 값의 범위는 k<-4!
4 {x+1}{x+2}{x+3}{x+4}-24=0에서 두 일차식의 상수항의 합이 같도록 일차식을 두 개씩 짝 지어 전개하면 9{x+1}{x+4}09{x+2}{x+3}0-24=0
{x@+5x+4}{x@+5x+6}-24=0 x@+5x=t로 치환하여 인수분해하면
{t+4}{t+6}-24=0, t@+10t=0, t{t+10}=0 t=x@+5x를 다시 대입하면
{x@+5x}{x@+5x+10}=0 x{x+5}{x@+5x+10}=0
이때 주어진 방정식의 두 허근 a, b는 x@+5x+10=0 의 근이므로 근과 계수의 관계에 의해
a+b=-5, ab=10
∴ {a-b}@ ={a+b}@-4ab={-5}@-4 K 10=-15 5 x$-5x@+4=0에서 x@=t로 치환하면
t@-5t+4=0, {t-1}{t-4}=0
t=x@을 다시 대입하면 {x@-1}{x@-4}=0 {x+1}{x-1}{x+2}{x-2}=0
∴ x=-1 또는 x=1 또는 x=-2 또는 x=2
네 근 중 가장 큰 근은 x=2, 가장 작은 근은 x=-2이므 로 두 근의 곱은 2 K {-2}=-4
6 삼차방정식 x#+2x@+5x+3=0의 세 근이 a, b, c이 므로 근과 계수의 관계에 의해
a+b+c=-2, ab+bc+ca=5, abc=-3 / b+ca + c+a
b + a+b c =-2-a
a +-2-b
b +-2-c c =-2
a -2 b -2
c -3=-2[1 a +1
b +1 c ]-3 =-2 K ab+bc+ca
abc -3=-2 K 5-3-3=1 3 7 계수가 실수이므로 1+j2i가 근이면 1-j2i도 근이다.
삼차방정식 f{x}=0의 나머지 한 근을 c라 하면 f{0}=-3에서 세 근의 곱은 3이므로
{1+j2i}{1-j2i} K c=3 / c=1
즉, 삼차방정식 f{x}=0의 세 근이 1+j2i, 1-j2i, 1 이므로 세 근의 합은
{1+j2i}+{1-j2i}+1=3 두 근끼리의 곱의 합은
{1+j2i}{1-j2i}+{1-j2i}+{1+j2i}=5 f{x}=0의 삼차항의 계수가 1이므로
f{x}=x#-3x@+5x-3
∴ f{2}=8-12+10-3=3
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8 삼차방정식 x#-2x@+4x+3=0의 세 근이 a, b, c이므 로 근과 계수의 관계에 의해
a+b+c=2, ab+bc+ca=4, abc=-3
세 근 a-2, b-2, c-2에서 세 근의 합, 두 근끼리의 곱 의 합, 세 근의 곱을 차례로 구하면
{a-2}+{b-2}+{c-2} ={a+b+c}-6
=2-6=-4
{a-2}{b-2}+{b-2}{c-2}+{c-2}{a-2}
={ab+bc+ca}-4{a+b+c}+12 =4-4 K 2+12=8
{a-2}{b-2}{c-2}
=abc-2{ab+bc+ca}+4{a+b+c}-8 =-3-2 K 4+4 K 2-8=-11
따라서 구하는 삼차방정식은
a{x#+4x@+8x+11}=0`{a=0} 꼴이므로 ②이다.
9 삼차방정식 x#=1에서 {x-1}{x@+x+1}=0 x는 x#=1의 한 허근이므로 x#=1, x@+x+1=0 x@+x+1=0의 한 허근이 x이므로 다른 한 근은 xX이다.
/ x+xX=-1, xxX=1
① {1+x}# ={-x@}#=-x^=-{x#}@=-1
② x@ xX+xxX @=xxX{x+xX}=-1
③ 1 x + 1
x@= x+1 x@ = -x@
x@ =-1
④ x%))={x#}!^^ K x@=x@이므로 1 x%))= 1
x@= x# x@=x ∴ x%))+ 1
x%))=x@+x=-1
⑤ x+x@+x#+x$+x%+y+x!)!
=x+x@+x#{1+x+x@}+y+x(({1+x+x@}
=x+x@=-1
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
1 P{x}=2x#-5x@+{k+3}x-k라 하면 P{1}=2-5+k+3-k=0
인수정리에 의해 x-1은 P{x}의 인수이므로 조립제법 을 이용하여 P{x}를 인수분해하면
1 ① 2 ① 3 ⑤ 4 -10
p.127 실전 연습문제
1 2 -5 k+3 -k 2 -3 k 2 -3 k 0
∴ P{x}={x-1}{2x@-3x+k}
즉, {x-1}{2x@-3x+k}=0에서 x=1 또는 2x@-3x+k=0
2x@-3x+k=0의 두 근을 a, b라 하면 근과 계수의 관 계에 의해
a+b=2#, ab=2K yy ㉠
1, a, b는 직각삼각형의 세 변의 길이이므로 a>b라 하고 빗변의 길이가 1인 경우와 a인 경우를 나누어 생각한다.
! 빗변의 길이가 1인 경우 a@+b@=1, {a+b}@-2ab=1 [2#]@-2 K 2K=1 (? ㉠) ∴ k=4%
이때 이차방정식 2x@-3x+4%=0의 판별식 D는 D={-3}@-4 K 2 K 4%=-1<0
즉, a, b가 실수가 아니므로 직각삼각형의 변의 길이 가 될 수 없다.
@ 빗변의 길이가 a인 경우 a@=b@+1, {a+b}{a-b}=1 2#{a-b}=1 (? ㉠) / a-b=3@
a+b=2#, a-b=3@를 연립하여 풀면 a= 1312, b= 512
따라서 직각삼각형의 넓이는 2! K 1 K b=2! K 1 K 512=5
24
2 x$+2x#-x@+2x+1=0의 좌변에 x=0을 대입하면 0+2 K 0-0+2 K 0+1=0
SG x=0은 주어진 방정식의 해가 아니다.
x=0이므로 양변을 x@으로 나누면 x@+2x-1+x@+ 1x@=0
[x+x!]@+2[x+x!]-3=0
x+x!=t로 치환하여 인수분해 하면 t@+2t-3=0, {t-1}{t+3}=0 t=x+x!을 다시 대입하면 [x+x!-1][x+x!+3]=0
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개 념 편
/ x+x!-1=0 또는 x+x!+3=0 x=0이므로 각 방정식의 양변에 x를 곱하면 x@-x+1=0 또는 x@+3x+1=0 / x= 1-j3i2 또는 x=-3-j5
2
따라서 허근을 갖는 방정식은 x@-x+1=0이고, 이 방정 식의 한 허근이 a이므로 a@-a+1=0
양변을 a로 나누면 a-1+,!=0 / a+,!=1
3 삼차방정식 x#+x@+k#x+2k=0의 세 근이 a, b, c이므 로 근과 계수의 관계에 의해
a+b+c=-1, ab+bc+ca=k#, abc=-2k {a+b}{b+c}{c+a}=-4에서
{-1-c}{-1-a}{-1-b}=-4이므로 {1+a}{1+b}{1+c}=4
abc+{ab+bc+ca}+{a+b+c}+1=4 -2k+k#-1+1=4 / k#-2k-4=0 P{k}=k#-2k-4라 하면
P{2}=8-4-4=0
인수정리에 의해 k-2는 P{k}의 인수이므로 조립제법을 이용하여 P{k}를 인수분해하면
2 1 0 -2 -4 2 4 4 1 2 2 0 / P{k}={k-2}{k@+2k+2}
즉, {k-2}{k@+2k+2}=0에서 k는 실수이므로 k=2
4 삼차방정식 x#=1에서 {x-1}{x@+x+1}=0 x는 x#=1의 한 허근이므로 x#=1, x@+x+1=0
! n=3k(k는 자연수)일 때 xN={x#}K=1, x@N={xN}@=1 / f{n}= xN
1+x@N= 1 1+1=2!
@ n=3k+1(k는 음이 아닌 정수)일 때 xN=x#K"!={x#}K K x=x
x@N={xN}@=x@
/ f{n}= xN
1+x@N= x 1+x@= x
-x=-1
# n=3k+2`(k는 음이 아닌 정수)일 때 xN=x#K"@={x#}K K x@=x@
x@N={xN}@=x$=x# K x=x / f{n}= xN
1+x@N= x@
1+x= x@
-x@=-1
02 연립이차방정식
p.128
1
1. ⑴ -x=3
y=1 ⑵ -x=3 y=9
2. ⑴ y=2x-1 ⑵ x=0 또는 x=2 ⑶-x=0
y=-1 또는 -x=2 y=3
p.129~132 유제 & 문제
1
유제 01 ⑴-x=1
y=1 또는 -x=3 y=5 유제 01 ⑵ -x=1
y=-2 또는 -x=2 y=-1
⑴ ㉠에서 y=2x-1을 ㉡에 대입하면 3x@-{2x-1}@=2, x@-4x+3=0 {x-1}{x-3}=0 ∴ x=1 또는 x=3 이를 y=2x-1에 대입하면 y=1 또는 y=5 / -x=1
y=1 또는 -x=3 y=5
⑵ ㉠에서 y=x-3을 ㉡에 대입하면
x@+2x{x-3}+{x-3}@=1, x@-3x+2=0 {x-1}{x-2}=0 / x=1 또는 x=2 이를 y=x-3에 대입하면 y=-2 또는 y=-1 / -x=1
y=-2 또는 -x=2 y=-1
문제 01-1 6
㉠에서 x=2y+3을 ㉡에 대입하면 {2y+3}@+2y@=99, y@+2y-15=0 {y+5}{y-3}=0 / y=-5 또는 y=3 이를 x=2y+3에 대입하면 x=-7 또는 x=9 따라서 주어진 연립방정식의 해 중 양수인 것은 x=9, y=3이므로 |y-x|=|3-9|=6 따라서 주어진 식의 값은
f{1}+f{2}+f{3}+f{4}+y+f{19}
=9 f{1}+f{4}+y+f{19}0+9 f{2}+y+f{17}0 +9 f{3}+y+f{18}0
=f{1}\7+f{2}\6+f{3}\6
={-1}\7+{-1}\6+2!\6=-10
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