확률과 통계

확률과 통계

정답과 해설

개념과 유형이 하나로

정답과 해설

유 형 편

01

^{여러 가지 순열}

I-1. 순열과 조합

1 ⑴ 120 ⑵ 720 2 ⑴ 24 ⑵ 12 3 6

4 ⑴ 5 ⑵ 16 ⑶ 64 ⑷ 81

5 ⑴ 6 ⑵ 5

6 64 7 128 8 210

9 ⑴ 630 ⑵ 180 기초 문제 Training p.4

p.5~9 핵심 유형 Training

1 96 2 ② 3 720 4 480 5 ³⁰ 6 840 7 504 8 ② 9 720 10 ²³⁰⁴ 11 81 12 240 13 336 14 6 15 ⁶⁴⁸ 16 37 17 1875번째 18 102 19 ⁸⁸ 20 ② 21 232 22 150 23 360 24 ⁶⁰ 25 120 26 10080 27 420 28 ① 29 ② 30 10 31 40 32 44 33 53 34 ② 35 50 36 ④

1

같은 반 학생을 한 사람으로 생각하면 4명이 원탁에 둘러 앉는 경우의 수는 {4-1}?=3?=6

같은 반 회장, 부회장끼리 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우 의 수는 각각 2?=2

따라서 구하는 경우의 수는 6\2\2\2\2=96

2

여학생 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 {4-1}?=3?=6

남학생 3명이 여학생 사이사이의 4개의 자리에 앉는 경우 의 수는

4P3=24

따라서 구하는 경우의 수는 6\24=144

3

조부모님 중 한 분의 자리가 결정되면 다른 한 분의 자리 는 마주 보는 자리에 고정되므로 구하는 경우의 수는 7명 이 원탁에 둘러앉는 경우의 수와 같다.

따라서 구하는 경우의 수는 {7-1}?=6?=720

4

어른 4명과 어린이 5명 중에서 어른 3명과 어린이 3명을 뽑는 경우의 수는

4C3\5C3=40

어른 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 {3-1}?=2?=2

어린이 3명이 어른 사이사이의 3개의 자리에 앉는 경우의 수는

3P3=3?=6

따라서 구하는 경우의 수는 40\2\6=480

5

가운데 사각형을 색칠하는 경우의 수는 5

나머지 4개의 영역을 색칠하는 경우의 수는 가운데 사각 형에 칠한 색을 제외한 나머지 4가지 색을 원형으로 배열 하는 원순열의 수와 같으므로

{4-1}?=3?=6 따라서 구하는 경우의 수는 5\6=30

6

7가지 색 중에서 6가지 색을 택하는 경우의 수는 7C6=7C1=7

서로 다른 6가지 색으로 6개의 영역을 칠하는 경우의 수는 {6-1}?=5?=120

따라서 구하는 경우의 수는 7\120=840

유 형 편

7

정오각기둥의 두 밑면을 칠하는 경우의 수는 7C2=21

두 밑면에 칠한 색을 제외한 나머지 5가지 색으로 5개의 옆면을 칠하는 경우의 수는

{5-1}?=4?=24

따라서 구하는 경우의 수는 21\24=504

8

10명이 원형으로 둘러앉는 경우의 수는

{10-1}?=9?

이때 원형으로 둘러앉는 1가지 경우에 대하여 별 모양의 탁자에서는 다음과 같이 서로 다른 경우가 2가지씩 존재 한다.

1 10

2 9

3 8

6 5

4 7

9

110 8

2 7

5 4

3 6

따라서 구하는 경우의 수는 9?\2

9

6명이 원형으로 둘러앉는 경우의 수는

{6-1}?=5?=120

이때 원형으로 둘러앉는 1가지 경우에 대하여 반원 모양 의 탁자에서는 다음과 같이 서로 다른 경우가 6가지씩 존 재한다.

1 6

6 1

1

1 5

5 2

2

2 2

6

6 3

3 3

3

5 5

4 4

4

4

6 5

4 3 2

1 3

2 1 6

5 4

따라서 구하는 경우의 수는 120\6=720

10

4개국 남자 대표 4명이 정사각형 모양의 탁자의 각 변에 1명씩 앉는 경우의 수는

{4-1}?=3?=6

나머지 의자에 여자 대표 4명이 앉는 경우의 수는 4P4=4?=24

이때 각 변에 앉은 남녀가 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우 의 수는

2\2\2\2=16

따라서 구하는 경우의 수는 6\24\16=2304

11

서로 다른 3가지 맛이 중복이 가능하므로 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같다.

∴ 3T4=3$=81

12

6명 중 설악산에 투표하는 2명을 정하는 경우의 수는 6C2=15

나머지 4명이 지리산, 한라산 중 하나의 산에 투표하는 경 우의 수는 서로 다른 2개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

2T4=2$=16

따라서 구하는 경우의 수는 15\16=240

13

기호 ♡, ☆, ◎, ▲를 중복을 허용하므로 기호 2개를 사 용하여 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는

4T2=4@=16

기호 3개를 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 4T3=4#=64

기호 4개를 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 4T4=4$=256

따라서 구하는 서로 다른 신호의 개수는 16+64+256=336

14

깃발을 1번 들어 올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 3T1=3

깃발을 2번 들어 올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 3T2=3@

깃발을 3번 들어 올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 3T3=3#

같은 방법으로 깃발을 4번, 5번, 6번 들어 올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는 각각 3T4, 3T5, 3T6이다.

깃발을 5번 이하로 들어 올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는

3T1+3T2+3T3+3T4+3T5

=3+3@+3#+3$+3%=363<1000

깃발을 6번 이하로 들어 올려서 만들 수 있는 서로 다른 신호의 개수는

3T1+3T2+3T3+3T4+3T5+3T6

=3+3@+3#+3$+3%+3^=1092>1000 따라서 n의 최솟값은 6이다.

15

일의 자리에 올 수 있는 숫자는 3, 5, 7의 3가지이다.

천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에는 3, 4, 5, 6, 7, 8의 6개의 숫자 중에서 중복을 허용하여 3개를 택하여 나열하 면 되므로 그 경우의 수는

6T3=6#=216

따라서 구하는 홀수의 개수는 3\216=648

16

4개의 숫자에서 3개를 택하는 중복순열의 수는 4T3=4#=64

6을 제외한 나머지 3개의 숫자에서 3개를 택하는 중복순 열의 수는 3T3=3#=27

따라서 구하는 세 자리의 자연수의 개수는 64-27=37

17

한 자리의 자연수의 개수는 4

두 자리의 자연수의 개수는 4\5T1=4\5=20 세 자리의 자연수의 개수는 4\5T2=4\5@=100 네 자리의 자연수의 개수는 4\5T3=4\5#=500 다섯 자리의 자연수 중에서 만의 자리의 숫자가 1 또는 2 인 자연수의 개수는 2\5T4=2\5$=1250

∴ 4+20+100+500+1250=1874

따라서 30000보다 작은 자연수의 개수는 1874이므로 30000은 1875번째 수이다.

18

0부터 9까지의 10개의 숫자 중 3개의 숫자 3, 6, 9를 제 외한 나머지 숫자 7개에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 200 이하의 자연수의 개수는 다음과 같다.

한 자리의 자연수의 개수는 6

두 자리의 자연수의 개수는 6\7T1=6\7=42 백의 자리의 숫자가 1인 세 자리의 자연수의 개수는 7T2=7@=49

백의 자리의 숫자가 2인 세 자리의 자연수는 200뿐이므로 그 개수는 1

즉, 1부터 200까지의 자연수 중에서 3 또는 6 또는 9의 숫자가 들어가지 않은 수의 개수는

6+42+49+1=98

따라서 박수를 친 횟수는 200-98=102

19

X에서 Y로의 함수의 개수는 Y의 원소 a, b, c, d의 4개 에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

a=4T3=4#=64

X에서 Y로의 일대일함수의 개수는 Y의 원소 a, b, c, d 의 4개에서 서로 다른 3개를 택하여 X의 원소 2, 4, 6에 각각 대응시키는 순열의 수와 같으므로

b=4P3=24

∴ a+b=88

20

f{b}=h인 함수의 개수는 전체 함수의 개수에서 f{b}=h 인 함수의 개수를 뺀 것과 같다.

X에서 Y로의 함수의 개수는 5T3=5#=125

X에서 Y로의 함수 중에서 f{b}=h인 함수의 개수는 5T2=5@=25

따라서 구하는 함수의 개수는 125-25=100

다른 풀이

f{a}의 값이 될 수 있는 것은 5개, f{b}의 값이 될 수 있 는 것은 h를 제외한 4개, f{c}의 값이 될 수 있는 것은 5 개이므로 구하는 함수의 개수는

5\4\5=100

21

f{x1}=f{x2}인 서로 다른 x1, x2가 존재하면 함수 f 는 일대일함수가 아니다.

X에서 X로의 함수의 개수는 4T4=4$=256 X에서 X로의 일대일함수의 개수는 4P4=24 따라서 구하는 함수의 개수는

256-24=232

22

치역과 공역이 같은 함수의 개수는 전체 함수의 개수에서 치역과 공역이 다른 함수의 개수를 빼면 된다.

X에서 Y로의 함수의 개수는 3T5=3%=243

! 치역의 원소가 1개인 함수

치역이 910, 930, 950인 함수의 개수는 3

@ 치역의 원소가 2개인 함수

치역이 91, 30인 함수의 개수는 공역이 91, 30인 함수 의 개수에서 치역이 910, 930인 함수의 개수를 빼면 되

므로

2T5-2=2%-2=30

같은 방법으로 치역이 91, 50, 93, 50인 함수의 개수 도 각각 30이므로 치역의 원소가 2개인 함수의 개수 는 3\30=90

!, @에 의해 구하는 함수의 개수는 243-{3+90}=150

23

7개의 숫자 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 배열하는 경우의 수는

7?

3?\2?=420

이때 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는 6개의 숫자 1, 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로

6?

3?\2?=60

따라서 구하는 자연수의 개수는 420-60=360

24

가운데를 기준으로 한쪽에 빨간 공 1개, 파란 공 2개, 흰 공 3개를 일렬로 배열하면 반대쪽은 그 반대의 순서로 공 의 배열이 정해지므로 구하는 경우의 수는

6?

2?\3?=60

유 형 편

25

p와 i를 제외한 5개의 문자 a, s, s, o, n을 일렬로 배열 하는 경우의 수는

5?

2?=60

양 끝에 p와 i를 배열하는 경우의 수는 2?=2

따라서 구하는 경우의 수는 60\2=120

26

모음 i, u, i, o를 한 문자 X로 생각하여 7개의 문자 X, d, s, c, s, s, n을 일렬로 배열하는 경우의 수는

7?

3?=840

이때 모음끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 4?

2?=12

따라서 구하는 경우의 수는 840\12=10080

27

3, 4, 5, 6의 순서가 정해져 있으므로 3, 4, 5, 6을 모두 x 로 놓으면 1, 1, 2, 2, x, x, x, x의 8개의 숫자를 일렬로 배열한 후 나열된 4개의 x를 앞에서부터 순서대로 6, 5, 4, 3으로 바꾸면 된다.

따라서 구하는 자연수의 개수는 8?

2?\2?\4?=420

28

b, d와 a, e, f 의 순서가 각각 정해져 있으므로 b, d를 모 두 x로 놓고 a, e, f 를 모두 y로 놓으면 6개의 문자 y, x, c, x, y, y를 일렬로 배열하는 경우의 수는

6?

2?\3?=60

이때 두 개의 x 중 첫 번째 x는 b, 두 번째 x는 d로 바꾸고, 세 개의 y 중 맨 뒤에 있는 y는 f , 첫 번째, 두 번째 y는 a 와 e 또는 e와 a로 바꾸면 되므로 그 경우의 수는 2이다.

따라서 구하는 경우의 수는 60\2=120

29

5개의 함숫값의 곱이 9이므로 함숫값에 따라 다음 두 가 지 경우로 나눌 수 있다.

! 함숫값이 1, 1, 1, 1, 9인 경우 함수 f 의 개수는 5?

4?=5

@ 함숫값이 1, 1, 1, 3, 3인 경우 함수 f 의 개수는 5?

3?\2?=10

!, @에 의해 구하는 함수의 개수는 5+10=15

30

3의 배수이려면 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이어야 한다.

6개의 숫자 4, 4, 4, 5, 5, 6에서 4개를 택하여 그 합이 3 의 배수가 되는 것은 {4, 4, 4, 6}, {4, 4, 5, 5}의 2가지 가 있다.

! {4, 4, 4, 6}으로 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개 수는 4?

3?=4

@ {4, 4, 5, 5}로 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수 는 4?

2?\2?=6

따라서 구하는 자연수의 개수는 4+6=10

31

A 지점에서 P 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 5?

2?\3?=10

P 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 4?

3?=4

따라서 구하는 경우의 수는 10\4=40

32

! A 지점에서 Q 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 6?

3?\3?=20

A 지점에서 P 지점을 거쳐 Q 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 3?

2?\3?

2?=9

따라서 A 지점에서 P 지점을 거치지 않고 Q 지점까 지 최단 거리로 가는 경우의 수는 20-9=11

@ Q 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 4?

3?=4

!, @에 의해 구하는 경우의 수는 11\4=44

33

오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를 잡으면 A 지점에서 B 지점까 지 최단 거리로 갈 때, 반드시 P, Q, R 중 어느 한 지점을 지나고 P, Q, R를 동시에 지나는 경우는 없다.

! A ! P ! B로 가는 경우의 수는 4?

2?\2?\ 4?

2?\2?=36

@ A ! Q ! B로 가는 경우의 수는 4?

3?\4?

3?=16

# A ! R ! B로 가는 경우의 수는 1\1=1

!~#에 의해 구하는 경우의 수는 36+16+1=53

A

B

R Q P

34

오른쪽 그림과 같이 네 지점 P, ^A

P B

Q R

S Q, R, S를 잡으면 A 지점에서

B 지점까지 최단 거리로 갈 때, 반드시 P, Q, R, S 중 어느 한 지점을 지나고 P, Q, R, S를 동 시에 지나는 경우는 없다.

! A ! P ! B로 가는 경우의 수는 1\1=1

@ A ! Q ! B로 가는 경우의 수는 6?

3?\3?\ 4?

2?\2?=120

# A ! R ! B로 가는 경우의 수는 6?

4?\2?\4?

3?=60

$ A ! S ! B로 가는 경우의 수는 1\1=1

!~$에 의해 구하는 경우의 수는 1+120+60+1=182

35

오른쪽 그림과 같이 네 지점 ^A

P Q

R S

B 호수

호수

P, Q, R, S를 잡으면 A 지

점에서 B 지점까지 최단 거 리로 갈 때, 반드시 P, Q, R, S 중 어느 한 지점을 지나고

P, Q, R, S를 동시에 지나는 경우는 없다.

! A ! P ! B로 가는 경우의 수는 1\1=1

@ A ! Q ! B로 가는 경우의 수는 4?

3?\6?

5?=24

# A ! R ! B로 가는 경우의 수는 6?

5?\4?

3?=24

$ A ! S ! B로 가는 경우의 수는 1\1=1

!~$에 의해 구하는 경우의 수는 1+24+24+1=50

36

! 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 최단 거리로 가려면 가 로, 세로, 높이의 방향으로 각각 3번, 3번, 3번 이동해

야 하므로 그 경우의 수는

9?

3?\3?\3?=1680

@ 꼭짓점 A에서 모서리 CD를 거쳐 꼭짓점 B까지 최단

거리로 가는 경우의 수는

3?

2?\1\ 5?

3?\2?=30

!, @에 의해 구하는 경우의 수는 1680-30=1650

02

중복조합과 이항정리

1 ⑴ 35 ⑵ 56 ⑶ 1 ⑷ 3

2 ⑴ 9 ⑵ 6 ⑶ 3 ⑷ 6

3 84 4 28

5 ⑴ x^+6x%y+15x$y@+20x#y#+15x@y$+6xy%+y^

⑵ a%-10a$+40a#-80a@+80a-32

⑶ 16x$+32x#y+24x@y@+8xy#+y$

⑷ x#+3x+ 3x+1 x#

6 ⑴ 135 ⑵ 90 ⑶ 24 7

1 5 10 10 5 1

1 3 3 1

1 1

1 4 6 4 1

1 2 1

a%+5a$b+10a#b@+10a@b#+5ab$+b%

8 ⑴ 6 ⑵ 8

9 ⑴ 64 ⑵ 0 ⑶ 128 ⑷ 256 기초 문제 Training p.10

p.11~14 핵심 유형 Training

1 165 2 264 3 220 4 25 5 ⁹⁴ 6 20 7 78 8 34 9 126 10 ⑤ 11 17 12 1 13 5 14 ② 15 ¹⁷⁶ 16 35 17 2 18 -31 19 ③ 20 ④ 21 216 22 330 23 ① 24 ① 25 ④ 26 1024 27 ③ 28 ③ 29 30 30 ④

유 형 편

1

4명의 학생들에게 같은 종류의 과자 8개를 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

4H8=11C8=11C3=165

2

무기명으로 투표하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

3H5=7C5=7C2=21 ∴ a=21

기명으로 투표하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

3T5=3%=243 ∴ b=243

∴ a+b=264

3

먼저 4명의 학생에게 연필을 한 자루씩 나누어 주고 남은 9자루의 연필을 나누어 주면 된다.

이때 4명의 학생에게 9자루의 연필을 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 9개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

4H9=12C9=12C3=220

4

파란색 카드가 1장이므로 파란색 카드를 선택하지 않는 경우와 선택하는 경우로 나누어 생각한다.

! 파란색 카드를 선택하지 않는 경우 빨간색, 노란색, 초록색 카드에서 4장을 택하는 경우 의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의

수와 같으므로

3H4=6C4=6C2=15

@ 파란색 카드를 선택하는 경우

빨간색, 노란색, 초록색 카드에서 3장을 택하는 경우 의 수는 서로 다른 3개에서 3개를 택하는 중복조합의

수와 같으므로

3H3=5C3=5C2=10

!, @에 의해 구하는 경우의 수는 15+10=25

5

방정식 x+y+z+w=6의 음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 4개의 문자 x, y, z, w에서 6개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로

a=4H6=9C6=9C3=84

한편 x, y, z, w가 모두 양의 정수이면 x-1, y-1, z-1, w-1은 모두 음이 아닌 정수이다.

x-1=x ', y-1=y ', z-1=z ', w-1=w '이라 하면 x=x '+1, y=y '+1, z=z '+1, w=w '+1

이를 x+y+z+w=6에 대입하면

{x '+1}+{y '+1}+{z '+1}+{w '+1}=6

∴ x'+y'+z'+w'=2

(단, x ', y ', z ', w '은 음이 아닌 정수) 즉, b의 값은 서로 다른 4개의 문자 x ', y ', z ', w '에서 2 개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

b=4H2=5C2=10

∴ a+b=94

6

x, y, z가 음이 아닌 정수이므로 x+y+z=0 또는 x+y+z=1 또는 x+y+z=2 또는 x+y+z=3

! x+y+z=0의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H0=2C0=1

@ x+y+z=1의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H1=3C1=3

# x+y+z=2의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H2=4C2=6

$ x+y+z=3의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H3=5C3=5C2=10

!~$에 의해 구하는 순서쌍 {x, y, z}의 개수는 1+3+6+10=20

7

x-2=a, y-3=b, z-4=c라 하면 a>0, b>0, c>0

x=a+2, y=b+3, z=c+4를 x+y+z=20에 대입하면 {a+2}+{b+3}+{c+4}=20

∴ a+b+c=11 yy ㉠

따라서 구하는 순서쌍 {x, y, z}의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로

3H11=13C11=13C2=78

8

x의 값에 따라 두 가지 경우로 나누어 생각한다.

! x=0인 경우

y+z+w=6의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H6=8C6=8C2=28

@ x=1인 경우

y+z+w=2의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H2=4C2=6

!, @에 의해 구하는 정수해의 수는 28+6=34

12

[2x@+ ax ]$의 전개식의 일반항은 4Cr {2x@}$_R [a

x ]R=4Cr aR2$_R x*_@R xR x%항은 8-2r-r=5일 때이므로 r=1 이때 x%의 계수가 32이므로

4C1\a\2#=32 ∴ a=1

13

{1+x#}N의 전개식의 일반항은

nCr 1N_R{x#}R=nCr x#R x^항은 3r=6일 때이므로 r=2 이때 x^의 계수가 10이므로 nCr=nC2=10

n{n-1}

2 =10, n@-n-20=0

{n+4}{n-5}=0 ∴ n=5 (∵ n은 자연수)

14

[x- 3xN ]*의 전개식의 일반항은 8Cr x*_R[- 3xN ]R=8Cr {-3}R x*_R

xNR 상수항은 8-r=nr일 때이므로

r{n+1}=8 yy ㉠

이때 r는 0<r<8인 정수이고, n은 자연수이므로 ㉠을 만족하는 r, n의 순서쌍 {r, n}은

{4, 1}, {2, 3}, {1, 7}

따라서 구하는 자연수 n의 개수는 3이다.

15

{j5 k+x}%의 전개식의 일반항은 5Cr {j5 k}%_RxR

이때 계수 5Cr {j5 k}%_R이 정수가 되려면 r는 0<r<5인 정수이므로 5-r=0 또는 5-r=2 또는 5-r=4이어야 한다.

∴ r=5 또는 r=3 또는 r=1

즉, 계수가 정수인 항은 x, x#, x%이므로 x의 계수는 5C1 {j5 k}$=125

x#의 계수는 5C3 {j5 k}@=50 x%의 계수는 5C5 {j5 k})=1

따라서 계수가 정수인 모든 항의 계수의 합은 125+50+1=176

16

{1+x}&-10

x@ 의 전개식에서 x@의 계수는 {1+x}&의 전 개식에서 x$의 계수와 같다.

{1+x}&의 전개식의 일반항은 7Cr 1&_RxR=7Cr xR

따라서 x$항은 r=4일 때이므로 구하는 x@의 계수는 7C4=7C3=35

9

주어진 조건에 의해 f{1}<f{2}<f{3}<f{4}

즉, 조건을 만족하는 함수 f 의 개수는 중복을 허용하여 집합 Y의 원소 6개 중 4개를 뽑은 후 크기순으로 집합 X 의 원소에 대응시키는 중복조합의 수와 같으므로 6H4=9C4=126

10

조건 ㈎, ㈏에 의해 f{1}의 값이 될 ^{X Y} 1 2 3 4 5 6 1

3 5 7 9 11

수 있는 수는 1, 2의 2개

f{5}의 값이 될 수 있는 수는 2, 3, 4의 3개

f{9}, f{11}의 값이 될 수 있는 수

는 4, 5, 6이고, f{9}<f{11}이어야 하므로 4, 5, 6에서 2개를 뽑은 후 크기순으로 대응시키면 된다.

∴ 3H2=4C2=6

따라서 구하는 함수 f 의 개수는 2\3\6=36

11

f{x}=x+1을 만족하는 x의 값이 단 하나만 반드시 존 재하려면 f{2}=3, f{6}=7 또는 f{2}=3, f{6}=7이 어야 한다.

! f{2}=3, f{6}=7인 경우

f{2}=3, f{6}=7인 함수의 개수는 f{2}=3인 함수 의 개수에서 f{2}=3, f{6}=7인 함수의 개수를 빼 면 된다.

f{2}=3인 함수의 개수는 중복을 허용하여 집합 Y의 원소 4개 중 3개를 뽑은 후 크기순으로 집합 X의 원 소에 대응시키는 중복조합의 수와 같으므로

4H3=6C3=20

f{2}=3, f{6}=7이면 f{4}의 값이 될 수 있는 수는 3, 7의 2개이고, f{8}의 값이 될 수 있는 수는 7, 11,

15의 3개이므로 함수의 개수는

2\3=6

따라서 f{2}=3, f{6}=7인 함수 f 의 개수는 20-6=14

@ f{2}=3, f{6}=7인 경우 f{2}=3이므로 f{2}=f{4}=7

또 f{8}의 값이 될 수 있는 수는 7, 11, 15의 3개 따라서 f{2}=3, f{6}=7인 함수 f 의 개수는 1\3=3

!, @에 의해 구하는 함수 f 의 개수는 14+3=17

유 형 편

17

[x+ 1x ]$의 전개식의 일반항은 4Cr x$_R[1

x ]R=4Cr x$_R

xR yy ㉠

이때 {ax@+1}[x+ 1x ]$의 전개식에서 x@항은 ax@과 ㉠ 의 상수항, 1과 ㉠의 x@항이 곱해질 때 나타난다.

! ㉠의 상수항은 4-r=r, 즉 r=2일 때이므로 4C2=6

@ ㉠의 x@항은 4-r-r=2, 즉 r=1일 때이므로 4C1=4

!, @에 의해 x@항은 ax@\6+1\4x@

이때 x@의 계수가 16이므로 6a+4=16 ∴ a=2

18

{1-x}#의 전개식의 일반항은

3Cr 1#_R{-x}R=3Cr {-1}RxR {1+2x@}%의 전개식의 일반항은 5Cs 1%_S{2x@}S=5Cs 2Sx@S

따라서 {1-x}#{1+2x@}%의 전개식의 일반항은 3Cr {-1}RxR\5Cs 2Sx@S

=3Cr 5Cs {-1}R2SxR"@S`

x#항은 r+2s=3 (0<r<3, 0<s<5인 정수)일 때이므로 r=3, s=0인 경우 또는 r=1, s=1인 경우의 2가지에서 나타난다.

그러므로 구하는 x#의 계수는

3C3 5C0 {-1}#\2)+3C1 5C1 {-1}!\2!

=-1-30=-31 `

19

{1+x}%의 전개식의 일반항은 5Cr xR {1+x#}N의 전개식의 일반항은 nCs x#S

따라서 {1+x}%{1+x#}N의 전개식의 일반항은 5Cr xR\nCs x#S=5Cr nCs xR"#S

x$항은 r+3s=4(0<r<5, 0<s<n인 정수)일 때이므로 r=4, s=0인 경우 또는 r=1, s=1인 경우의 2가지에서 나타난다.

이때 x$의 계수가 35이므로 5C4 nC0+5C1 nC1=5+5n에서 5+5n=35 ∴ n=6

20

2C2+3C2+4C2+5C2+y+12C2

=3C3+3C2+4C2+5C2+y+12C2

=4C3+4C2+5C2+y+12C2

=5C3+5C2+y+12C2 ⋮

=12C3+12C2

=13C3=13C10

21

4C4 2C0 2C1 2C2

3C1

3C0 3C2 3C3

11C9 11C10 11C11 4C1

4C0 4C2 4C3

10C2 10C1

10C0 10C8 10C9 10C10 1C0 1C1

1

y

y 11C2 y 11C1 11C3 11C0

구하는 합을 S라 하면 위의 그림에서 1C1+2C1+2C2+S=11C2+11C3 1+2+1+S=55+165

∴ S=216

22

f{x-1}=x!)+x(+x*+y+x+1에서 x-1=t로 놓 으면 x=1+t이므로

f{t}={1+t}!)+{1+t}(+{1+t}*+y+{1+t}+1 이때 t^이 나오는 식은

{1+t}^, {1+t}&, {1+t}*, {1+t}(, {1+t}!)이고 각 식에서 t^의 계수를 각각 구하면

6C6, 7C6, 8C6, 9C6, 10C6

따라서 f{t}에서 t^의 계수 a6의 값은 a6 =6C6+7C6+8C6+9C6+10C6

=11C7=11C4=330

23

nC0+nC1+nC2+nC3+y+nCn=2N이고, nCn=1이므로 nC0+nC1+nC2+y+nCn-1=2N-1

300<nC0+nC1+nC2+y+nCn-1<3000에서 300<2N-1<3000, 301<2N<3001

이때 2*=256, 2(=512, 2!)=1024, 2!!=2048, 2!@=4096 이므로 부등식을 만족하는 자연수 n의 값은 9, 10, 11의 3개이다.

24

nC1+nC2+nC3+y+nCn=2N-1이므로 n의 값이 1, 2, 3, y, 100일 때, 주어진 식의 값을 구하면

1, 3, 7, 15, 31, 63, …, 2!))-1

즉, n이 짝수일 때 2N-1은 3의 배수가 된다.

따라서 구하는 n의 개수는 50이다.

25

17Cr=17C17-r이므로 17C0+17C1+17C2+y+17C8

=17C17+17C16+17C15+y+17C9 17C0+17C1+17C2+17C3+y+17C17=2!&이므로

17C0+17C1+17C2+y+17C8=1

2\2!&=2!^

01

확률의 뜻과 활용

Ⅱ-1. 확률의 뜻과 활용

1 ⑴91,2,3,4,5,60 

⑵910,920,930,940,950,960 ⑶91,2,3,60 2 ⑴92,3,4,6,8,9,100 ⑵960

⑶91,3,5,7,90 ⑷91,2,4,5,7,8,100 3 ㄱ,ㄴ

4 ⑴ 536  ⑵ 16 

5 ²₅

6 ⑴ 35  ⑵1 ⑶0

7 ₁₂⁵

8 ¹¹₂₀

9 ⁷₈

기초 문제 Training p.16

p.17~24 핵심 유형 Training

1 ⑤ 2 ③ 3 16 4 ④ 5 ④ 6 ¹¹₄₉ 7 ② 8 ₇¹ 9 ₁₀¹ 10 ₂₀⁷ 11 ₁₀³ 12 ₃₅¹ 13 ⑤ 14 ¹₅ 15 ④ 16 ③ 17 ⑤ 18 ② 19 ③ 20 ₂₁⁵ 21 ③ 22 ③ 23 1 24 ① 25 ¹₂ 26 ₁₂⁵ 27 ³₇ 28 ₂₅³ 29 C 30 6개 31 ⁵₈ 32 ^1-p₈ 33 ⁷₈ 34 ④ 35 ㄱ, ㄷ 36 ㄱ 37 ₁₀⁷ 38 ¹₆ 39 ₁₅⁷ 40 ¹¹₁₂ 41 0.8 42 ₁₀³ 43 ²₃ 44 ₁₆⁷ 45 ② 46 ④ 47 ③ 48 ¹¹₁₂ 49 ⑤ 50 ⁴₅ 51 ⁵⁷₆₄ 52 5 53 ③ 54 ⁵₉

26

원소의 개수가 1인 부분집합의 개수는 11C1 원소의 개수가 3인 부분집합의 개수는 11C3 원소의 개수가 5인 부분집합의 개수는 11C5 ⋮

원소의 개수가 11인 부분집합의 개수는 11C11

∴ 11C1+11C3+11C5+y+11C11 =2!!_!=2!)

=1024

27

30C0\9+30C1\9@+30C2\9#+y+30C30\9#!

=9{30C0+30C1\9!+30C2\9@+y+30C30\9#)}

=9{1+9}#)

=9\10#)

28

31!)) ={1+30}!))

=100C0+30 100C1+30@ 100C2+30# 100C3

+y+30!)) 100C100

=1+30\100+30@{100C2+30 100C3

+y+30(* 100C100}

=3001+900{100C2+30 100C3+y+30(* 100C100}

㉠

이때 ㉠은 900의 배수이므로 31!))을 900으로 나누었을 때의 나머지는 3001을 900으로 나누었을 때의 나머지와 같다.

따라서 구하는 나머지는 301이다.

29

11!% ={1+10}!%

=15C0+10 15C1+10@ 15C2+10# 15C3+y+10!% 15C15

=1+10\15+100\105

+10#{15C3+10 15C4+y+10!@ 15C15}

=10651+1000{15C3+10 15C4+y+10!@ 15C15}

㉠

이때 ㉠은 1000의 배수이므로 11!%의 백의 자리의 숫자, 십의 자리의 숫자, 일의 자리의 숫자는 각각 6, 5, 1이므로 a=6, b=5, c=1

∴ abc=30

30

집합 B의 원소의 개수를 k (0<k<10, k는`정수)라 하면 집합 B를 정하는 경우의 수는 10Ck

또 A[B이므로 집합 A를 정하는 경우의 수는 2K 따라서 두 집합 A, B를 정하는 경우의 수는 10Ck\2K이 므로 구하는 모든 경우의 수는

10C0\2)+10C1\2!+10C2\2@+y+10C10\2!)

={1+2}!)=3!)

유 형 편

1

표본공간을 S라 하면

S=91, 2, 3, y, 100, A=91, 3, 50, B=91, 3, 90

② A6B=91, 3, 5, 90

③ A5B=91, 30

④ AC5BC={A6B}C=92, 4, 6, 7, 8, 100이므로 n{AC5BC}=6

⑤ AC6BC={A5B}C=92, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 100이므 로 n{AC6BC}=8

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

2

A=91, 3, 5, 6, 8, 100, B=96, 8, 100, C=93, 50,

D=93, 60이므로

A5B=96, 8, 100, A5C=93, 50, B5C=Z, B5D=960, C5D=930

따라서 서로 배반사건인 것은 ③이다.

3

S=91, 2, 3, y, 120, A=93, 6, 9, 120, B=92, 3, 5, 7, 110

사건 A와 배반인 사건은 사건 AC의 부분집합이고, 사건 B와 배반인 사건은 사건 BC의 부분집합이므로 두 사건 A, B와 모두 배반인 사건은 AC5BC의 부분집합이다.

AC5BC={A6B}C=91, 4, 8, 100

따라서 AC5BC의 원소가 4개이므로 구하는 사건의 개수 는 2$=16

4

집합 A의 부분집합의 개수는 2%=32

집합 A의 부분집합 중 b, e를 반드시 원소로 갖는 집합의 개수는 2%_@=2#=8

따라서 구하는 확률은 8 32=1

4

5

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6\6=36

두 눈의 수의 합이 5 이하인 경우는 {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2}, {4, 1}의 10가지이다.

따라서 구하는 확률은 10

36=5 18

6

x+y=50을 만족하는 자연수 x, y의 순서쌍 {x, y}는 {1, 49}, {2, 48}, {3, 47}, y, {49, 1}의 49개이다.

이때 y=50-x이므로 xy>600에서 x{50-x}>600, x@-50x+600<0 {x-20}{x-30}<0 ∴ 20<x<30

x+y=50을 만족하는 순서쌍 {x, y} 중에서 20<x<30 을 만족하는 경우는 {20, 30}, {21, 29}, {22, 28}, y, {30, 20}의 11개이다.

따라서 구하는 확률은 11 49

7

7개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 7?

S, E를 한 묶음으로 생각하여 6개의 문자를 일렬로 배열 하는 경우의 수는 6?이고, 그 각각에 대하여 S, E가 자리 를 바꾸는 경우의 수는 2?

즉, S, E가 이웃하는 경우의 수는 6?\2?

따라서 구하는 확률은 6?\2?

7? =2 7

8

7명이 일렬로 줄을 서는 경우의 수는 7?

맨 앞과 맨 뒤에 남자가 서는 경우의 수는 3P2 나머지 5명이 일렬로 줄을 서는 경우의 수는 5?

즉, 일렬로 줄을 설 때 맨 앞과 맨 뒤에 남자가 서는 경우 의 수는 3P2\5?

따라서 구하는 확률은 3P2\5?

7? =1 7

9

안내문 6장을 일렬로 붙이는 경우의 수는 6?

교내, 교외 대회의 순서로 안내문을 번갈아 붙이는 경우 의 수는 3?\3?

교외, 교내 대회의 순서로 안내문을 번갈아 붙이는 경우 의 수는 3?\3?

즉, 교내와 교외 대회 안내문을 번갈아 붙이는 경우의 수 는 3?\3?+3?\3?

따라서 구하는 확률은 3?\3?+3?\3?

6? =1

10

10

5개의 숫자 3, 4, 5, 6, 7을 모두 사용하여 만들 수 있는 다섯 자리의 자연수의 개수는 5?=120

이때 64000보다 큰 자연수는 64 , 65 , 67 , 7 꼴이다.

! 64 , 65 , 67 꼴의 자연수의 개

수는 각각 3?이므로

3?\3=18

@ 7 꼴의 자연수의 개수는 4?=24

!, @에 의해 64000보다 큰 자연수의 개수는 18+24=42

따라서 구하는 확률은 42 120=7

20

11

6명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 {6-1}?=5?

제과제빵반 학생 3명을 한 사람으로 생각하여 4명이 원탁 에 둘러앉는 경우의 수는 {4-1}?=3?

그 각각에 대하여 제과제빵반 학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 3?

즉, 제과제빵반 학생끼리 이웃하여 앉는 경우의 수는 3?\3?

따라서 구하는 확률은 3?\3?

5? =3 10

12

8명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는

{8-1}?=7?

남자 4명이 먼저 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 {4-1}?=3?

남자 4명 사이사이의 4개의 자리에 여자 4명이 앉는 경우 의 수는 4?

즉, 남녀가 교대로 앉는 경우의 수는 3?\4?

따라서 구하는 확률은 3?\4?

7? =1 35

13

6명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 {6-1}?=5?

2학년 학생 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 {4-1}?=3?

2학년 학생 사이사이의 4개의 자리 중에서 2개의 자리에 1학년 학생 2명이 앉는 경우의 수는 4P2

즉, 1학년 학생끼리는 이웃하지 않게 앉는 경우의 수는 3?\4P2

따라서 구하는 확률은 3?\4P2 5? =3

5

14

6가지 색을 원에 모두 칠하는 경우의 수는

{6-1}?=5?

빨간색을 칠한 맞은편에 노란색을 칠하고 나머지 4가지 색을 4개의 영역에 칠하는 경우의 수는 4P4=4?

따라서 구하는 확률은 4?

5?=1 5

15

3개의 숫자 2, 6, 9에서 중복을 허용하여 5개를 뽑아 다섯 자리의 자연수를 만드는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

3T5=3%=243

이때 만든 다섯 자리의 자연수 중 홀수인 것은 9 꼴이므로 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복순열의 수 와 같다.

∴ 3T4=3$=81

따라서 구하는 확률은 81 243=1

3

16

집합 X에서 집합 Y로의 함수 f 의 개수는 4T4=4$=256 이때 일대일대응인 함수 f 의 개수는 4P4=4?=24 따라서 구하는 확률은 24

256=3 32

17

세 사람이 가위바위보를 한 번 할 때 모든 경우의 수는 3T3=3#=27

이기는 한 명을 정하는 경우의 수는 3이고, 그 각각에 대 하여 이기는 경우는 (가위, 보, 보), (바위, 가위, 가위), (보, 바위, 바위)의 3가지이므로 한 명이 이기는 경우의 수는 3\3=9

따라서 구하는 확률은 9 27=1

3

18

9개의 문자 H, A, P, P, I, N, E, S, S를 일렬로 배열 하는 경우의 수는 9?

2?\2?

모음 A, I, E를 한 묶음으로 생각하여 7개의 문자를 일렬 로 배열하는 경우의 수는 7?

2?\2?

그 각각에 대하여 A, I, E가 자리를 바꾸는 경우의 수는 3?

즉, 모음끼리 이웃하는 경우의 수는 7?

2?\2?\3?

따라서 구하는 확률은 7?

2?\2?\3?

9?

2?\2? = 1 12

19

집합 X에서 집합 Y로의 함수 f 의 개수는 2T3=2#=8 f{a}+f{b}+f{c}=11을 만족하는 함수 f 의 개수는 3, 4, 4를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 3?

2?=3 따라서 구하는 확률은 3

8

20

A 지점에서 출발하여 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우 의 수는 10?

6?\4?=210

A 지점에서 출발하여 P 지점을 거쳐 B 지점까지 최단 거 리로 가는 경우의 수는 5?

2?\3?\5?

4?=50 따라서 구하는 확률은 50

210=5 21

21

6장의 사진 중에서 2장을 택하는 경우의 수는 6C2=15 체험학습 보고서에 사진 B는 반드시 택하고 사진 D는 택 하지 않는 경우는 B는 미리 뽑아 놓고, 뽑아 놓은 B와 D 를 제외한 4장 중에서 1장을 택하면 되므로 그 경우의 수 는 4C1=4

따라서 구하는 확률은 4 15

유 형 편

22

9명의 회원 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는 9C3=84 남자 1명, 여자 2명을 뽑는 경우의 수는 4C1\5C2=40 따라서 구하는 확률은 40

84=10 21

23

독서 캠프에 참가한 남학생의 수를 x라 하면 여학생의 수 는 9-x이므로

xC1\9-xC1 9C2 =5

9 ,

x{9-x}

36 =5 9 x@-9x+20=0, {x-4}{x-5}=0

∴ x=4 또는 x=5

따라서 남학생이 4명, 여학생이 5명 또는 남학생이 5명, 여학생이 4명이므로 구하는 학생 수의 차는 1이다.

24

4명의 학생에게 같은 종류의 스티커 7장을 나누어 주는 경우의 수는

4H7=10C7=10C3=120

모든 학생이 적어도 한 장의 스티커를 받는 경우는 먼저 4 명의 학생에게 스티커를 한 장씩 나누어 주고 나머지 스 티커 3장을 중복을 허용하여 4명의 학생에게 나누어 주면 되므로 그 경우의 수는

4H3=6C3=20

따라서 구하는 확률은 20 120=1

6

25

6장의 카드 중에서 3장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 6C3=20

이때 세 수의 합이 홀수가 되는 경우는 다음과 같다.

! (홀수)+(홀수)+(홀수)인 경우 홀수가 적힌 3장의 카드 중에서 3장을 뽑는 경우의 수 는 3C3=1

@ (홀수)+(짝수)+(짝수)인 경우 홀수가 적힌 3장의 카드 중에서 1장, 짝수가 적힌 3장 의 카드 중에서 2장을 뽑는 경우의 수는 3C1\3C2=9

!, @에 의해 세 수의 합이 홀수인 경우의 수는 1+9=10

따라서 구하는 확률은 10 20=1

2

26

x, y, z가 음이 아닌 정수인 순서쌍 {x, y, z}의 개수는 3H7=9C7=9C2=36

한편 x, y, z가 양의 정수이면 x-1, y-1, z-1은 모두 음이 아닌 정수이다.

x-1=a, y-1=b, z-1=c라 하면 x+y+z=7에서 {a+1}+{b+1}+{c+1}=7

∴ a+b+c=4 (단, a, b, c는 음이 아닌 정수}

즉, x, y, z가 모두 양의 정수로만 이루어진 순서쌍 {x, y, z}의 개수는 3H4=6C4=6C2=15

따라서 구하는 확률은 15 36=5

12

27

8개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는 8C3=56

오른쪽 그림과 같이 원 위에 있는 임 의의 점 1개에 대하여 만들 수 있는 이 등변삼각형은 3개이고, 점은 모두 8개 이므로 이등변삼각형의 개수는 3\8=24 따라서 구하는 확률은 24

56=3 7

28

전체 나비의 수는 11+12+42+15+20=100

100마리의 나비 중 산호랑나비는 12마리이므로 구하는 확률은 12

100=3 25

29

세 선수가 각각 자유투를 한 번씩 던질 때, 성공할 확률은 각각 다음과 같다.

A: 65 120 =

13 24 , B:

104 200 =

13 25 , C:

84 150 =

14 25 13

25<13 24<14

25 이므로 자유투에 성공할 확률이 가장 큰 선 수는 C이다.

30

주머니에 들어 있는 파란 구슬의 개수를 n이라 하면 nC1\10-nC1

10C2 = 8 15 ,

n{10-n}

45 =8 15 n{10-n}=24, n@-10n+24=0 {n-4}{n-6}=0 ∴ n=4 또는 n=6

이때 파란 구슬은 노란 구슬보다 많으므로 주머니에 들어 있는 파란 구슬은 6개이다.

31

반지름의 길이가 4인 원의 넓이는 p\4@=16p 색칠한 부분의 넓이는

p\4@-p\3@+p\2@-p\1@=10p 따라서 구하는 확률은 10p

16p =5 8

32

점 P가 BCZ를 지름으로 하는 반원

위에 있을 때 sPBC는 직각삼각 형이 되므로 오른쪽 그림의 색칠한 부분에 점 P를 잡으면 sPBC는 예각삼각형이 된다.

따라서 구하는 확률은 (색칠한 부분의 넓이)

(fABCD의 넓이) = 1-1

2\p\[1 2 ]@

1\1 =1-p 8

A D

B C

1 P

33

이차방정식 x@+4ax+5a=0의 판별식을 D라 할 때, 이 이차방정식이 실근을 가지려면

D

4={2a}@-5a>0, 4a@-5a>0 a{4a-5}>0 ∴ a<0 또는 a>5

4 yy ㉠

이때 -4<a<6과 ㉠을 수직선 위에 나타내면

-4 0 4% 6 a

㉠ ㉠

∴ -4<a<0 또는 5

4<a<6 yy ㉡ 따라서 구하는 확률은

(㉡의 구간의 길이) (전체 구간의 길이)=

90-{-4}0+[6- 54 ] 6-{-4} =7

8

34

표본공간을 S라 하면 S=92, 4, 6, 8, 100

A=920, B=Z, C=92, 4, 6, 8, 100, D=Z이므로 P{A}=1

5, P{B}=0, P{C}=1, P{D}=0 따라서 확률이 0인 사건은 ㄴ, ㄹ이다.

35

ㄱ. P{Z}=0, P{S}=1이므로 P{Z}+P{S}=1 ㄴ. [반례] S=91, 2, 3, 4, 5, 60, A=91, 3, 50,

B=91, 2, 60이면 P{A}+P{B}=1이지만 A6B=91, 2, 3, 5, 60=S

ㄷ. 0<P{A}<1, 0<P{B}<1이므로 0<P{A}+P{B}<2

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

36

ㄱ. Z[{A5B}[S이므로 P{Z}<P{A5B}<P{S}

∴ 0<P{A5B}<1 ㄴ. [반례] P{A}=1

4 , P{B}=1

2 이면

P{A}+P{B}=3

4

∴ P{A}+P{B}<P{S}

ㄷ. [반례] 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 3의 배수가 나오는 사건을 A, 6의 약수가 나오는 사건을 B라 하 면 A=93, 60, B=91, 2, 3, 60이므로 P{A}+P{B}=1

3+2

3=1

이때 A5B=93, 60=Z이므로 두 사건 A와 B는 서로 배반사건이 아니다.

따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

37

P{AC}=2 5 이므로 P{A}=1-P{AC}=1-2

5=3 5 또 P{A5BC}= 15이므로

P{A5BC}=P{A}-P{A5B}에서 1

5=3

5-P{A5B}

∴ P{A5B}=2 5

∴ P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}

=11 10-2

5

= 7 10

38

P{BC}=1 2 이므로 P{B}=1-P{BC}=1-1

2=1 2 또 P{B5AC}=1

6 이므로

P{B5AC} =P{B}-P{A5B}에서 1

6=1

2-P{A5B} ∴ P{A5B}=1 3

∴ P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}

=2 3+1

2-1 3=5

6 AC5BC={A6B}C이므로

P{AC5BC} =P{{A6B}C}=1-P{A6B}

=1-5 6=1

6

39

AC5BC={A6B}C이므로

P{AC5BC}=P{{A6B}C}=1-P{A6B}=1 3

∴ P{A6B}=2 3

A, B가 서로 배반사건이므로 P{A6B}=P{A}+P{B}에서

2

3=P{A}+P{B}

∴ P{A}=2 3-P{B}

이때 1

5<P{A}< 14 이므로 1

5< 23-P{B}< 14

∴ 5

12<P{B}< 7 15 따라서 P{B}의 최댓값은 7

15 이다.

유 형 편

40

P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}

=1 4+1

3-P{A5B}

= 7

12-P{A5B}

이므로 P{A5B}가 최소일 때 P{A6B}는 최대이고 P{A5B}가 최대일 때 P{A6B}는 최소이다.

이때 P{A5B}<P{A}, P{A5B}<P{B}, P{A5B}>0이므로

P{A5B}< 14 , P{A5B}< 13 , P{A5B}>0 즉, 0<P{A5B}<1

4 이므로 1

3< 712-P{A5B}< 712

∴ 1

3<P{A6B}< 7 12 따라서 M= 7

12 , m=1 3 이므로 M+m=11

12

41

게임을 좋아하는 학생을 택하는 사건을 A, 웹툰을 좋아하 는 학생을 택하는 사건을 B라 하면

P{A}=0.6, P{B}=0.5, P{A5B}=0.3 따라서 구하는 확률은

P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}

=0.6+0.5-0.3

=0.8

42

두 주머니 A, B에서 각각 공을 한 개씩 꺼내는 모든 경우 의 수는

6\5=30

두 공에 적힌 수의 합이 11 이상인 사건을 A, 6의 배수인 사건을 B라 할 때, 두 공에 적힌 수를 순서쌍으로 나타내면 A=9{4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 5}, {6, 6}, {6, 7}0 B=9{1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {5, 7}, {6, 6}0 A5B=9{5, 7}, {6, 6}0

∴ P{A}=1

5 , P{B}=1

6 , P{A5B}= 1 15 따라서 구하는 확률은

P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}

=1 5+1

6-1

15

=3 10

43

A가 뽑히는 사건을 A, B가 뽑히는 사건을 B라 하면 P{A}=9C3

10C4 =2

5 , P{B}=9C3 10C4 =2

5 P{A5B}=8C2

10C4 = 2 15 따라서 구하는 확률은

P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}

=2 5+2

5-2 15=2

3

44

f{1}=2인 사건을 A, f{3}=1인 사건을 B라 하면 P{A}=4T2

4T3 =1

4 , P{B}=4T2 4T3 =1

4 P{A5B}= 4

4T3 = 1 16 따라서 구하는 확률은

P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}

=1 4+1

4-1 16=7

16

45

E가 맨 앞에 오는 사건을 A, E가 맨 뒤에 오는 사건을 B 라 하면

P{A}=4?

5?=1

5 , P{B}=4?

5?=1 5

A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은

P{A6B} =P{A}+P{B}

=1 5+1

5=2 5

46

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6\6=36

두 눈의 수의 합이 3인 사건을 A, 차가 3인 사건을 B라 할 때, 나오는 두 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면

A=9{1, 2}, {2, 1}0

B=9{1, 4}, {2, 5}, {3, 6}, {4, 1}, {5, 2}, {6, 3}0

∴ P{A}=2 36=1

18 , P{B}= 6 36=1

6 A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은

P{A6B} =P{A}+P{B}

=1 18+1

6=2 9

47

남학생이 여학생보다 많으려면 뽑은 6명의 학생 중 남학 생이 4명 또는 5명이어야 한다.

남학생이 4명인 사건을 A, 5명인 사건을 B라 하면 P{A}=5C4\3C2

8C6 =15

28 , P{B}=5C5\3C1 8C6 =3

28 A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은

P{A6B} =P{A}+P{B}

=15 28+3

28=9 14

48

두 눈의 수의 합이 10 이하인 사건을 A라 하면 AC은 두 눈의 수의 합이 10 초과인 사건이다.

나오는 두 눈의 수의 합이 10 초과인 경우를 순서쌍으로 나타내면 {5, 6}, {6, 5}, {6, 6}의 3가지이므로

P{AC}= 3 36=1

12 따라서 구하는 확률은

P{A} =1-P{AC}

=1-1 12=11

12

49

3명의 대표 중 적어도 한 명이 여학생인 사건을 A라 하면 AC은 3명이 모두 남학생인 사건이므로

P{AC}=5C3 8C3 = 5

28 따라서 구하는 확률은

P{A} =1-P{AC}

=1-5 28=23

28

50

적어도 한쪽 끝에 남학생을 세우는 사건을 A라 하면 AC 은 양쪽 끝에 모두 여학생을 세우는 사건이므로

P{AC}=3P2\4?

6? =1 5 따라서 구하는 확률은

P{A} =1-P{AC}

=1-1 5=4

5

51

두 문제 이상 맞히는 사건을 A라 하면 AC은 한 문제를 맞히거나 모두 틀리는 사건이다.

! 한 문제를 맞힐 확률은

6C1 2T6 = 3

32

@ 한 문제도 맞히지 못할 확률은

6C0 2T6 = 1

64

!, @에 의해 P{AC}= 3

32+1 64=7

64 따라서 구하는 확률은

P{A} =1-P{AC}

=1- 7 64=57

64

52

적어도 한 개가 당첨 제비인 사건을 A라 하면 AC은 두 개 모두 당첨 제비가 아닌 사건이므로

P{AC}=15-nC2 15C2 =

{15-n}{14-n}

210 이때 P{A}=4

7 이므로 P{AC}=1-P{A}=3

7 즉, {15-n}{14-n}

210 = 3 7이므로

{15-n}{14-n}=90, n@-29n+120=0 {n-5}{n-24}=0 ∴ n=5 (∵ n<15)

53

서로 다른 세 수를 택하는 경우의 수는 6P3=120

만들어진 삼각형이 정삼각형이 아닌 사건을 A라 하면 AC 은 만들어진 삼각형이 정삼각형인 사건이다.

정삼각형이 되는 경우는 {1, 3, 5} 또는 {2, 4, 6}을 붙인 꼭짓점을 연결하는 경우이므로 그 경우의 수는

3?+3?=12

∴ P{AC}= 12 120=1

10 따라서 구하는 확률은

P{A} =1-P{AC}

=1- 1 10=9

10

54

서로 다른 두 개의 주사위 A, B를 던질 때 나오는 모든 경우의 수는

6\6=36

f{a}f{b}=0을 만족하는 사건을 A라 하면 AC은 f{a}f{b}=0, 즉 f{a}=0이고 f{b}=0을 만족하는 사 건이다.

f{a}=a@-3a+2={a-1}{a-2}=0 f{b}=b@-3b+2={b-1}{b-2}=0

따라서 a, b의 값은 각각 3, 4, 5, 6 중 하나이어야 하므 로 f{a}=0이고 f{b}=0을 만족하는 a, b의 순서쌍 {a, b}의 개수는

4\4=16

∴ P{AC}= 1636= 4 9 따라서 구하는 확률은

P{A} =1-P{AC}

=1-4 9=5

9

유 형 편

01

조건부확률

Ⅱ-2. 조건부확률

1 ⑴ 12  ⑵ 16  ⑶ 13

2 ⑴ 136  ⑵ 19

3 ⑴ 38  ⑵ 37  ⑶종속

4 ⑴독립 ⑵종속

5 ⑴0.07 ⑵0.28 ⑶0.2 ⑷0.65 6 0.48

7 ⑴ 12  ⑵ 38

8 ²₉

9 ₁₂₅⁴⁸

기초 문제 Training p.26

p.27~32 핵심 유형 Training

1 ₁₅⁷ 2 ② 3 ₁₀³ 4 ¹₃ 5 ²₅ 6 ¹₃ 7 10 8 ¹₃ 9 ① 10 ¹¹ 11 ¹⁷₃₀ 12 ²₅ 13 4 14 ₁₄₄⁷ 15 ³₇ 16 ₁₇⁹ 17 ²₃ 18 ⑤ 19 독립 20 ¹² 21 ③ 22 ④ 23 ⑤ 24 ③ 25 ¹₆ 26 ④ 27 ₁₅⁴ 28 ⑤ 29 ₁₅⁸ 30 ¹₄ 31 25 32 ⁶³₆₄ 33 ⑤ 34 ④ 35 ② 36 ¹¹₇₂ 37 ₂₄₃⁸⁰

1

P{AC5BC}=P{{A6B}C}=1-P{A6B}=2 5 이므 로 P{A6B}=3

5

P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}이므로 3

5=1 3+1

2-P{A5B} ∴ P{A5B}= 730

∴ P{A|B}=P{A5B}

P{B} = 7 30

1 2

=7 15

2

P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}이므로 0.7=0.5+0.4-P{A5B}

∴ P{A5B}=0.2

∴ P{B|AC} =P{B5AC}

P{AC} =P{B}-P{A5B}

1-P{A}

=0.4-0.2 1-0.5 =0.2

0.5=0.4

3

P{AC}=1-P{A}=1-1

3=2 3 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 A5B=Z ∴ B[AC

따라서 B5AC=B이므로 P{B5AC}=P{B}= 1

5

∴ P{B|AC} =P{B5AC}

P{AC} = 1 5 2 3

=3 10

4

P{A|B}=P{A5B}

P{B} 에서 1

4=P{A5B}

1 3

∴ P{A5B}=1 3\1

4= 1 12

P{B|A}=P{A5B}

P{A} 에서 1

5= 1 12

P{A} ∴ P{A}=5 12

∴ P{A5BC} =P{A}-P{A5B}

= 5 12- 1

12=1 3

5

여학생을 뽑는 사건을 A, T 영화를 관람한 학생을 뽑는 사건을 B라 하면

P{A}=5

8 , P{A5B}= 14 따라서 구하는 확률은

P{B|A}=P{A5B}

P{A} = 1 4 5 8

=2 5

6

온라인 사이트 회원인 학생을 뽑는 사건을 A, 남학생을 뽑는 사건을 B라 하면

P{A}=27

50 , P{A5B}= 950 따라서 구하는 확률은

P{B|A}=P{A5B}

P{A} = 9 50 27 50

=1 3

7

여자 회원을 뽑는 사건을 A, 크로아티아를 선호하는 회원 을 뽑는 사건을 B라 하면 전체 동호회 회원 수는 20+x 이므로

P{A}=8+x

20+x , P{A5B}= x20+x

∴ P{B|A}=P{A5B}

P{A} = x 20+x

8+x 20+x

= x 8+x

이때 P{B|A}=5 9 이므로 x

8+x=5

9 , 9x=5{8+x}

4x=40 ∴ x=10

8

B 상자를 택하는 사건을 A, 흰 공을 꺼내는 사건을 B라 하면

P{A}=1

2 , P{B|A}=

2 3 따라서 구하는 확률은

P{A5B} =P{A}P{B|A}

=1 2\2

3=1 3

9

현우가 당첨권을 뽑는 사건을 A, 선재가 당첨권을 뽑는 사건을 B라 하면

P{A}=4

25 , P{B|A}=3 24=1

8 따라서 구하는 확률은

P{A5B} =P{A}P{B|A}

=4 25\1

8=1 50

10

첫 번째에 꺼낸 구슬이 파란 구슬인 사건을 A, 두 번째에 꺼낸 구슬이 노란 구슬인 사건을 B라 하면

P{A}= n

n+6 , P{B|A}= 6 n+5

따라서 첫 번째에 파란 구슬을 꺼내고 두 번째에 노란 구 슬을 꺼낼 확률은

P{A5B} =P{A}P{B|A}

= n n+6\ 6

n+5= 6n {n+6}{n+5}

이때 P{A5B}= 3 11 이므로 6n

{n+6}{n+5}= 3 11

{n+6}{n+5}=22n, n@-11n+30=0 {n-5}{n-6}=0 ∴ n=5 또는 n=6 따라서 모든 n의 값의 합은 11이다.

11

현서가 3점짜리 문제를 푸는 사건을 A, 정답을 맞히는 사 건을 B라 하자.

! 현서가 3점짜리 문제를 풀고, 정답을 맞히는 경우

P{A5B} =P{A}P{B|A}

=4 6\ 7

10=7 15

@ 현서가 4점짜리 문제를 풀고, 정답을 맞히는 경우 P{AC5B} =P{AC}P{B|AC}

=2 6\3

10= 1 10

!, @는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은

P{B} =P{A5B}+P{AC5B}

=7 15+1

10=17 30

12

서연이가 당첨 제비를 뽑는 사건을 A, 민영이가 당첨 제 비를 뽑는 사건을 B라 하자.

! 서연이가 당첨 제비를 뽑고, 민영이도 당첨 제비를 뽑

는 경우

P{A5B} =P{A}P{B|A}

=4 10\3

9= 2 15

@ 서연이가 당첨 제비를 뽑지 않고, 민영이가 당첨 제비

를 뽑는 경우

P{AC5B} =P{AC}P{B|AC}

=6 10\4

9=4 15

!, @는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은

P{B} =P{A5B}+P{AC5B}

=2 15+4

15=2 5

13

첫 번째에 불량품이 아닌 제품을 꺼내는 사건을 A, 두 번 째에 불량품이 아닌 제품을 꺼내는 사건을 B라 하자.

! 첫 번째에 불량품이 아닌 제품을 꺼내고, 두 번째에도

불량품이 아닌 제품을 꺼내는 경우

P{A5B} =P{A}P{B|A}

=15-n

15 \14-n 14

유 형 편

@ 첫 번째에 불량품을 꺼내고, 두 번째에 불량품이 아닌

제품을 꺼내는 경우

P{AC5B} =P{AC}P{B|AC}

=n

15\15-n 14

!, @는 서로 배반사건이므로 두 번째 꺼낸 제품이 불량 품이 아닐 확률은

P{B} =P{A5B}+P{AC5B}

={15-n}{14-n}

15\14 +n{15-n}

15\14

={15-n}{14-n+n}

15\14

=15-n 15 따라서 15-n

15 =11 15 이므로 n=4

14

현정이가 동전 1개를 던져서 앞면이 나오는 사건을 A, 수 민이가 주사위를 던져서 나오는 눈의 수의 합이 4인 사건 을 B라 하자.

! 현정이가 던진 동전이 앞면이 나오는 경우 P{A}=1

2

수민이가 서로 다른 2개의 주사위를 동시에 던져서 나 오는 눈의 수의 합이 4가 되는 경우를 순서쌍으로 나 타내면 {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}의 3가지이므로 P{B|A}=3

36=1

12

∴ P{A5B} =P{A}P{B|A}

=1 2\1

12=1 24

@ 현정이가 던진 동전이 뒷면이 나오는 경우 P{AC}=1

2

수민이가 서로 다른 3개의 주사위를 동시에 던져서 나 오는 눈의 수의 합이 4가 되는 경우를 순서쌍으로 나타 내면 {1, 1, 2}, {1, 2, 1}, {2, 1, 1}의 3가지이므로 P{B|AC}= 3

216=1

72

∴ P{AC5B} =P{AC}P{B|AC}

=1 2\1

72= 1 144

!, @는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은

P{B} =P{A5B}+P{AC5B}

= 1 24+ 1

144

= 7 144

15

비가 오는 사건을 A, 하루의 매출 목표를 달성하는 사건 을 B라 하면

P{A5B} =P{A}P{B|A}

=0.3\0.7=0.21

P{AC5B} =P{AC}P{B|AC}

={1-0.3}\0.4=0.28

∴ P{B} =P{A5B}+P{AC5B}

=0.21+0.28=0.49 따라서 구하는 확률은 P{A|B}=P{A5B}

P{B} =0.21 0.49=3

7

16

A 상자를 택하는 사건을 A, 노란 카드 1장, 빨간 카드 1 장을 꺼내는 사건을 B라 하면

P{A5B} =P{A}P{B|A}

=1

2\3C1\3C1 6C2 =3

10

P{AC5B} =P{AC}P{B|AC}

=1

2\2C1\4C1 6C2 = 4

15

∴ P{B} =P{A5B}+P{AC5B}

=3 10+ 4

15=17 30 따라서 구하는 확률은

P{A|B}=P{A5B}

P{B} = 3 10 17 30

=9 17

17

카드 A를 뽑는 사건을 A, 카드 B를 뽑는 사건을 B, 카 드 C를 뽑는 사건을 C, 보이는 면에 █가 그려져 있는 사 건을 D라 하면

P{A5D} =P{A}P{D|A}

=1 3\1=1

3

P{B5D} =P{B}P{D|B}

=1 3\1

2=1 6

P{C5D} =P{C}P{D|C}

=1 3\0=0

∴ P{D} =P{A5D}+P{B5D}+P{C5D}

=1 3+1

6+0=1 2 따라서 구하는 확률은

P{A|D}=P{A5D}

P{D} = 1 3 1 2

=2 3

18

동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하면 표본공간은

9HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT,

TTH, TTT0

이고

A=9HHH, HHT, HTH, HTT0, B=9HHH, HHT, HTH, THH0, C=9HHH, TTT0

∴ A5B=9HHH, HHT, HTH0, A5C=9HHH0, B5C=9HHH0

ㄱ. P{A}=1

2 , P{B}=1

2 , P{A5B}= 38 이므로

P{A5B}=P{A}P{B}

따라서 두 사건 A와 B는 서로 종속이다.

ㄴ. P{A}=1

2 , P{C}=1

4 , P{A5C}= 18 이므로

P{A5C}=P{A}P{C}

따라서 두 사건 A와 C는 서로 독립이다.

ㄷ. P{B}=1

2 , P{C}=1

4 , P{B5C}= 18 이므로

P{B5C}=P{B}P{C}

따라서 두 사건 B와 C는 서로 독립이다.

따라서 서로 독립인 사건은 ㄴ, ㄷ이다.

19

P{B}=1-P{BC}=1-1 3=2

3

P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}에서 4

5=2 5+2

3-P{A5B}

∴ P{A5B}= 4 15 이때 P{A}P{B}=2

5\2 3=4

15 이므로 P{A5B}=P{A}P{B}

따라서 두 사건 A와 B는 서로 독립이다.

20

A=91, 2, 40, Bn=9n-1, n0 (2<n<6인 자연수)이 므로

P{A}=3 6=1

2 , P{Bn}=2 6=1

3 두 사건 A, Bn이 서로 독립이기 위해서는 P{A5Bn}=P{A}P{Bn}= 12\1

3=1 6

∴ n{A5Bn}=1 yy ㉠

이때 B2=91, 20, B3=92, 30, B4=93, 40, B5=94, 50, B6=95, 60이므로

A5B2=91, 20, A5B3=920, A5B4=940, A5B5=940, A5B6=Z

따라서 구하는 n의 값은 3, 4, 5이므로 그 합은 12이다.

21

ㄱ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 P{A5B}=P{A}P{B}

∴ P{AC5B} =P{B}-P{A5B}

=P{B}-P{A}P{B}

=91-P{A}0P{B}

=P{AC}P{B}

따라서 두 사건 AC, B는 서로 독립이다.

ㄴ. 두 사건 A, B가 서로 배반사건이면 A5B=Y이므로 P{A|B}=P{A5B}

P{B} = 0 P{B}=0

ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 배반사건이면 P{A5B}=0 이때 P{A}=0, P{B}=0이므로

P{A5B}=P{A}P{B}

따라서 두 사건 A, B는 서로 독립이 아니다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

22

ㄱ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, B도 서

로 독립이므로

P{A|B}=P{A}, P{AC|B}=P{AC}

그런데 P{A}와 P{AC}이 항상 같지는 않으므로 P{A|B}=P{AC|B}는 항상 성립하지는 않는다.

ㄴ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 AC과 B, A와 BC도

서로 독립이므로

P{B|AC}=P{B}, P{BC|A}=P{BC}

∴ P{BC|A} =P{BC}=1-P{B}=1-P{B|AC}

ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면

P{A5B}=P{A}P{B}이므로

1-P{A6B} =1-9P{A}+P{B}-P{A5B}0

=1-P{A}-P{B}+P{A}P{B}

=91-P{A}0-P{B}91-P{A}0

=91-P{A}091-P{B}0

=P{AC}P{BC}

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

23

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P{A5B}=P{A}P{B}

또 P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}이고 P{A5B}= 1

2 P{A6B}에서 2P{A5B}=P{A6B}

이므로 2P{A5B}=P{A}+P{B}-P{A5B}

3P{A5B}=P{A}+P{B}

3P{A}P{B}=P{A}+P{B}

9

4 P{B}=3 4+P{B}

5

4 P{B}=3

4 ∴ P{B}=3 5

유 형 편

24

두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, B도 서로 독립이므로

P{AC5B} =P{AC}P{B}

=91-P{A}0P{B}

=91-P{A}0\1 4 P{A}

P{A}=x (0<x<1인 실수)라 하면 P{AC5B}= 1 16 에서

{1-x}\1 4x=1

16 4x@-4x+1=0

{2x-1}@=0 ∴ x=1 2

∴ P{A}=1 2

25

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P{A5B}=P{A}P{B}

1 4=1

3P{B} ∴ P{B}=3 4 두 사건 B, C가 서로 배반사건이므로 P{B6C}=P{B}+P{C}

11 12=3

4+P{C} ∴ P{C}=1 6

26

두 식물 A, B가 1년 동안 죽지 않는 사건을 각각 A, B 라 하면 두 사건 A, B는 서로 독립이므로

P{A5B}=P{A}P{B}=0.8\0.6=0.48 따라서 구하는 확률은

P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}

=0.8+0.6-0.48=0.92

27

민아와 현서가 영어 단어 시험에 통과하는 사건을 각각 A, B라 하면 두 사건 A, B는 서로 독립이다.

이때 두 사람 모두 시험에 통과하지 못할 확률은

P{AC5BC} =P{AC}P{BC}

=91-P{A}091-P{B}0

=2 5{1-p}

즉, 2

5{1-p}=2 15 이므로 1-p=1

3 ∴ p=2 3 따라서 구하는 확률은

P{AC5B} =P{AC}P{B}

=2 5\2

3=4 15

28

지율이와 재호가 이번 달에 독서록을 제출하는 사건을 각 각 A, B라 하면 두 사건 A, B는 서로 독립이다.

! 지율이만 독서록을 제출할 확률은

P{A5BC} =P{A}P{BC}

=1

2\[1- 34 ]=1 8

@ 재호만 독서록을 제출할 확률은

P{AC5B} =P{AC}P{B}

=[1- 12 ]\3 4=3

8

!, @에 의해 구하는 확률은 1

8+3 8=1

2

29

두 수의 합이 짝수이려면 두 수가 모두 짝수이거나 모두 홀수이어야 한다. 두 주머니 A, B에서 꺼낸 공에 적힌 수 가 짝수인 사건을 각각 A, B라 하면 두 사건 A, B는 서 로 독립이다.

! A, B에서 모두 짝수가 적힌 공을 꺼낼 확률은

P{A5B} =P{A}P{B}

=2 5\1

3=2 15

@ A, B에서 모두 홀수가 적힌 공을 꺼낼 확률은 P{AC5BC} =P{AC}P{BC}

=3 5\2

3=2 5

!, @에 의해 구하는 확률은 2

15+2 5= 8

15

30

세 스위치 A, B, C가 닫히는 사건을 각각 A, B, C라 하 면 전구에 불이 켜지는 사건은 A5{B6C}이다.

두 사건 B와 C는 서로 독립이므로

P{B6C} =P{B}+P{C}-P{B5C}

=P{B}+P{C}-P{B}P{C}

=1 4+1

3-1 4\1

3=1 2 또 두 사건 A와 B6C는 서로 독립이므로

P{A5{B6C}} =P{A}P{B6C}

=1 2\1

2=1 4

31

두 동아리 A, B에서 선택된 사람이 보육원에서 봉사활동 을 하는 사건을 각각 A, B라 하면 두 사건 A, B는 서로 독립이다.

! A, B에서 선택된 사람이 모두 보육원에서 봉사활동

을 할 확률을

P{A5B} =P{A}P{B}

= a

100\100-2a 100 = a

100 [1- 2a 100 ]

@ A, B에서 선택된 사람이 모두 요양원에서 봉사활동

을 할 확률은

P{AC5BC} =P{AC}P{BC}

=100-a 100 \2a

100

=2a 100 [1- a

100 ]

!, @에 의해 같은 장소에서 봉사활동을 할 확률은 a

100 [1- 2a 100 ]+2a

100 [1- a 100 ] 이때 a

100=x라 하면 x{1-2x}+2x{1-x}=1 2 에서 8x@-6x+1=0, {2x-1}{4x-1}=0

∴ x=1

4 (∵ 0<a<50) 따라서 a

100=1

4 이므로 a=25

32

페널티킥을 한 번 이상 성공하는 사건을 A라 하면 AC은 페널티킥을 한 번도 성공하지 못하는 사건이므로

P{AC}=3C0 [ 34 ])[

1 4 ]#= 1

64

∴ P{A} =1-P{AC}

=1- 1 64=63

64

33

앞면이 나온 횟수가 뒷면이 나온 횟수보다 크려면 앞면이 나온 횟수가 4 또는 5 또는 6이어야 한다.

! 앞면이 나온 횟수가 4일 확률은 6C4 [ 12 ]$[

1 2 ]@=15

64

@ 앞면이 나온 횟수가 5일 확률은

6C5 [ 12 ]%[

1 2 ]!=3

32

# 앞면이 나온 횟수가 6일 확률은

6C6 [1 2 ]^[

1 2 ])=1

64

!~#에 의해 구하는 확률은 15

64+3 32 +1

64=11 32

34

4명의 학생 중 적어도 두 명의 학생이 B 대학교를 택하는 사건을 A라 하면 AC은 네 학생 모두 B 대학교를 택하지 않거나 한 명만 B 대학교를 택하는 사건이다.

! 네 학생 모두 B 대학교를 택하지 않을 확률은 4C0 [1

3 ])[

2 3 ]$=16

81

@ 네 학생 중 한 명만 B 대학교를 택할 확률은 4C1 [1

3 ]![

2 3 ]#=32

81

!, @에 의해 P{AC}=16

81+32 81=16

27 따라서 구하는 확률은

P{A} =1-P{AC}

=1-16 27=11

27

35

5번째 경기에서 우승자가 되려면 네 번째 경기까지 3번 이긴 사람이 5번째 경기에서 이겨야 한다.

! 5번째 경기에서 태현이가 우승할 확률은 4C3 [2

3 ]#[

1 3 ]!\2

3=64 243

@ 5번째 경기에서 준호가 우승할 확률은 4C3 [1

3 ]#[

2 3 ]!\1

3= 8 243

!, @에 의해 구하는 확률은 64

243+ 8 243=8

27

36

동전의 뒷면이 3번 나오는 경우는 다음과 같다.

! 2가 적힌 공을 꺼내고 동전을 3번 던져서 3번 모두 뒷

면이 나올 확률은

1

3\3C3 [ 12 ]#[

1 2 ])=1

24

@ 3이 적힌 공을 꺼내고 동전을 4번 던져서 뒷면이 3번

나올 확률은

4

9\4C3 [ 12 ]#[

1 2 ]!=1

9

!, @에 의해 구하는 확률은 1

24+ 1 9= 11

72

37

주사위를 5번 던질 때 3의 배수의 눈이 나오는 횟수를 x, 그 외의 눈이 나오는 횟수를 y라 하면

x+y=5 yy ㉠

점 P가 이동하는 거리는 3x+2y이고, 주사위를 5번 던지 므로 10<3x+2y<15

이때 점 P가 꼭짓점 A로 다시 돌아오려면 3x+2y의 값 은 6의 배수이어야 하므로

3x+2y=12 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=3 따라서 구하는 확률은

5C2 [1 3 ]@[

2 3 ]#= 80

243

유 형 편

01

이산확률변수와 이항분포

Ⅲ-1. 확률분포

1 ㄴ, ㄹ

2 ⑴ 0, 1, 2

⑵ P{X=0}= 25 , P{X=1}= 8

15 , P{X=2}= 1 15

⑶ _{X 0 1 2 합계}

P{X=x} 2

5

8 15

1

15 1

3 ⑴ 3 ⑵ 1 ⑶ 1

4 ⑴ _{X 0 1 2 합계}

P{X=x} 9$ 9$ 9! 1

⑵ E{X}= 23 , V{X}=4

9 , r{X}= 23

5 ⑴ 평균: 7, 분산: 6, 표준편차: j6 k

⑵ 평균: 32 , 분산: 3

8 , 표준편차: j6 k 4

6 평균: 4, 분산: 13, 표준편차: j13 k

7 ⑴ B[20, 15 ]

⑵ 이항분포를 따르지 않는다.

8 ⑴ P{X=x}=5Cx [ 12 ]X[1

2 ]%_X {x=0, 1, 2, 3, 4, 5}

⑵ 532

9 ⑴ 평균: 120, 분산: 40, 표준편차: 2j10 k

⑵ 평균: 90, 분산: 36, 표준편차: 6 기초 문제 Training p.34

p.35~40 핵심 유형 Training

1 ② 2 ⁷₆ 3 ④ 4 ③ 5 ④ 6 ④ 7 ¹³₃₅ 8 ① 9 ④ 10 ³ 11 평균: 1

2, 분산: 7

12 12 ^{j33 k}₆ 13 ③ 14 ⁴₃ 15 ³₄ 16 ^{j6 k}₃ 17 ⁶³₈₀ 18 2600원 19 3회 20 10000원 21 3 22 52 23 ① 24 44 25 32 26 j11k 27 -4 28 7 29 ²⁸₃ 30 ³j3 k 31 224 32 ① 33 ① 34 ① 35 12 36 ⑤ 37 ⁶₇ 38 40 39 215 40 ⁷⁵₈ 41 10

1

확률의 총합은 1이므로

P{X=-2}+P{X=-1}+P{X=0}

+P{X=1}+P{X=2}=1

[k+ 16 ]+[k+ 112 ]+k+[k+ 112 ]+[k+ 16 ]=1 5k+1

2=1 ∴ k= 1 10

2

확률의 총합은 1이므로

P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}+y+P{X=6}=1 k

1\2+ k 2\3+ k

3\4+y+ k6\7=1 k-[1- 12 ]+[1

2-1 3 ]+[1

3-1

4 ]+y+[1 6-1

7 ]==1 k[1- 17 ]=1, 6

7k=1

∴ k=7 6

3

확률의 총합은 1이므로

P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

+P{X=4}+P{X=5}=1

k 30+2k

30+3k 30+4k

30+5k 30=1

∴ k=2

∴ P{X=x}=x

15 {x=1, 2, 3, 4, 5}

따라서 구하는 확률은 P{X<3}

=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

=1 15+2

15+ 3 15=2

5