굿비 고등 수학(상)_해설

다항식

01. 다항식의 연산

10~12쪽

03

⑴ A+B=(x¤ -3x+2)+(-x¤ +2x+y) =x¤ -x¤ -3x+2x+y+2 =-x+y+2 ⑵ 2A-3B=2(x¤ -3x+2)-3(-x¤ +2x+y) =2x¤ -6x+4+3x¤ -6x-3y =5x¤ -12x-3y+4 ⑶ 3A-(B-A)=4A-B =4(x¤ -3x+2)-(-x¤ +2x+y) =4x¤ -12x+8+x¤ -2x-y =5x¤ -14x-y+8

04

⑴ (2x¤ -3)(x¤ -x-2) =2x› -2x‹ -4x¤ -3x¤ +3x+6 =2x› -2x‹ -7x¤ +3x+6 ⑵ (x-2y-3)(3x+y-2) =3x¤ +xy-2x-6xy-2y¤ +4y-9x-3y+6 =3x¤ -5xy-2y¤ -11x+y+6

06

x+y=1, xy=-2이므로 ⑴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy

=1-2_(-2)=5 ⑵ x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y)

=1-3_(-2)_1=7

⑶ xfi +yfi =(x¤ +y¤ )(x‹ +y‹ )-x¤ y¤ (x+y) =5_7-(-2)¤ _1=31

07

⑴ ⑵따라서 Q=x¤ +x-2, R=-14이므로 ⑵ 2x‹ -x¤ -7x-8=(2x-3)(x¤ +x-2)-14 ⑵ ⑵따라서 Q=3x+1, R=-15x+6이므로 ⑵ 3x‹ -2x¤ -7x+9=(x¤ -x+3)(3x+1)-15x+6

08

A=(x-1)(x¤ -3x+2)-3 A=x‹ -3x¤ +2x-x¤ +3x-2-3 A=x‹ -4x¤ +5x-5

09

⑴ (x‹ +x¤ +x+1)÷(x-1) ⑴ ⑴ ∴ 몫 : x¤ +2x+3, 나머지 : 4 ⑵ (2x‹ -5x+3)÷(x+1) ⑶ ⑷ ∴ 몫 : 2x¤ -2x-3, 나머지 : 6`

Ⅰ

● ● ●개념확인● ● ● `01 ⑴ 4개 ⑵ y› ⑶ 3y ⑷ -2y¤ ⑸ 3`

`02 ⑴ P=a‹ -ba¤ +2b¤ a+3 ⑵ P=a‹ +3-a¤ b+2ab¤ `03 ⑴ -x+y+2 ⑵ 5x¤ -12x-3y+4 ⑶ 5x¤ -14x-y+8 `04 ⑴ 2x› -2x‹ -7x¤ +3x+6 ⑵ 3x¤ -5xy-2y¤ -11x+y+6 `05 ⑴ x¤ +4y¤ +4xy-2x-4y+1 ⑵ x‹ -3x¤ +3x-1 ⑶ x‹ +1 ⑷ x‹ +6x¤ +11x+6 ⑸ x‹ +y‹ -3xy+1 ⑹ x› +x¤ +1 `06 ⑴ 5 ⑵ 7 ⑶ 31 `07 ⑴ 2x‹ -x¤ -7x-8=(2x-3)(x¤ +x-2)-14 ` ⑵ 3x‹ -2x¤ -7x+9=(x¤ -x+3)(3x+1)-15x+6 08 x‹ -4x¤ +5x-5 09 ⑴ 몫：x¤ +2x+3, 나머지：4 ⑵ 몫：2x¤ -2x-3, 나머지：6 13~15쪽 ● ● ●_{핵심유형으로}개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 3x¤ +yx+3y¤ 1-1 ⑴ -x¤ +x+4 ⑵ 4x¤ -2x+1 ⑶ -3x¤ +2x 1-2 -24x¤ +32x+8 1-3-5 핵심유형 2 -6 2-1 -25 2-20 2-320 x¤ -x+3 3x‹+1 x¤ -x+3 3x‹ -2x¤ -17x+9 x¤ -x+3 3x‹ -3x¤ +19x x¤ -x+3 3x‹ -2x¤ -16x+9 x¤ -x+3 3x‹ -2x¤ -16x+3 x¤ -x+3 3x‹ -2x¤-15x+6 < ‘ ‘ ‘ ‘ 2x-3 2x¤ +3x¤-2 2x-3 2x‹ -3x¤ -7x-8 2x-3 2x‹ -3x¤ 2x-3 2x‹ -2x¤ -7x 2x-3 2x‹ -2x¤ -3x 2x-3 2x‹ -3x¤-4x-8 2x-3 2x‹ -3x¤-4x+6 2x-3 2x‹ -3x¤ -3x-14 < ‘ ‘ ‘ ‘

정답

및

해설

T H I N K M O R E A B O U T Y O U R F U T U R E 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 -1 1 2 2 -0 -2 -2 -5 -2 -3 3 3 6

3

01.다항식의 연산 핵심유형 3 ⑴ x› +4 ⑵ a¤ -b¤ -c¤ -2bc

⑶ x› -2x‹ -7x¤ +8x+12 3-1⑴ a‹ -6a¤ b+12ab¤ -8b‹

⑵ a¤ +b¤ +c¤ -2ab+2bc-2ca ⑶ 1-x° ⑷ x‹ -6x¤ +11x-6 ⑸ xfl -1 ⑹ a‹ -b‹ +6ab+8

3-2⑴ x› -3x¤ +9 ⑵ a¤ +b¤ -c¤ -d¤ -2ab+2cd ⑶ x› y› +x¤ y¤ +1 ⑷ x› +4x¤ y¤ +16y› 3-3⑴ x› -5x¤ +4 ⑵ a› +4a‹ -7a¤ -22a+24

핵심유형 4 ⑴ 1 ⑵—'5 ⑶ —3'5 ⑷ 18 ⑸ 123 4-1⑴ -9 ⑵ 17 ⑶ -33 4-2⑴ 3 ⑵ 7 ⑶ 18 ⑷ 47 핵심유형 5 5 5-1⑴ 6 ⑵ 10 핵심유형 6 ③ 6-1② 6-210 6-3② 핵심유형 7 ③ 7-1몫：x+1, 나머지：x+3 7-25 7-311 7-4⑴ 0 ⑵ 1 핵심유형

1

A-{B-(C+A)} =A-(B-C-A)=2A-B+C =2(x¤ +xy)-(xy-y¤ -1)+(x¤ +2y¤ -1) =2x¤ +2xy-xy+y¤ +1+x¤ +2y¤ -1 =3x¤ +yx+3y¤

1

-1 ⑴ A+B=x¤ +1-2x¤ +x+3=-x¤ +x+4 ⑵ 2A-B-C=2x¤ +2+2x¤ -x-3-x+2 =4x¤ -2x+1 ⑶ B-(A-C)=B-A+C =-2x¤ +x+3-x¤ -1+x-2 =-3x¤ +2x

1

-2 주어진 식을 간단히 한 후 대입한다. (준식)=2P-3Q+6P-5Q (준식)=8P-8Q=8(P-Q) (준식)=8 {-x¤ +3x-2-(2x¤ -x-3)} (준식)=8(-x¤ +3x-2-2x¤ +x+3) (준식)=8(-3x¤ +4x+1) (준식)=-24x¤ +32x+8

1

-3 2X+A=2B-A에서 2X=2B-2A ∴ X=B-A =x‹ -x¤ +3x+1-2x‹ +x-5 =-x‹ -x¤ +4x-4 따라서 a=-1, b=-4이므로 a+b=-5 핵심유형

2

(ax-2)(2x¤ +ax+3)에서 x항은 ax_3+(-2)_ax=ax 상수항은 (-2)_3=-6 ∴ a=-6

2

-1 (8x‹ -12x¤ +6x-1)(x+2)¤ =(8x‹ -12x¤ +6x-1)(x¤ +4x+4) 에서 x¤ 항은 (-12x¤ )_4+6x_4x+(-1)_x¤ =-25x¤ 이므로 x¤ 의 계수는 -25이다.

2

-2 (x+a)(x¤ -2x+2)의 상수항은 2a이므로 2a=4 ∴ a=2 x¤ 항은 x_(-2x)+a_x¤ =(a-2)x¤ 이므로 x¤ 의 계수는 a-2=2-2=0이다.

2

-3 (x¤ +ax+2)(x¤ +bx+3)에서 x‹ 항은 x¤ _bx+ax_x¤ =(a+b)x‹ 이므로 a+b=2 yy ㉠ x항은 ax_3+2_bx=(3a+2b)x이므로 3a+2b=2 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=4 ∴ a¤ +b¤ =(-2)¤ +4¤ =20 핵심유형

3

⑴ x¤ +2=A로 치환하면 ⑴ (준식)=(A+2x)(A-2x)=A¤ -(2x)¤ ⑴ (준식)=(x¤ +2)¤ -4x¤ ⑴ (준식)=x› +4x¤ +4-4x¤ ⑴ (준식)=x› +4 ⑵ b+c=A로 치환하면 ⑶ (준식)=(a-A)(a+A)=a¤ -A¤ =a¤ -(b+c)¤ =a¤ -b¤ -c¤ -2bc ⑶ (준식)={(x+1)(x-2)}{(x+2)(x-3)} =(x¤ -x-2)(x¤ -x-6) ⑵여기서 x¤ -x=A로 치환하면 ⑵ (준식)=(A-2)(A-6)=A¤ -8A+12 ⑵ (준식)=(x¤ -x)¤ -8(x¤ -x)+12 ⑵ (준식)=x› -2x‹ +x¤ -8x¤ +8x+12 ⑵ (준식)=x› -2x‹ -7x¤ +8x+12

3

-1 ⑴ (준식)=a‹ -3a¤ ¥2b+3a(2b)¤ -(2b)‹ ⑴ (준식)=a‹ -6a¤ b+12ab¤ -8b‹

⑵ (준식)=a¤ +(-b)¤ +(-c)¤ +2a(-b) +2(-b)(-c)+2(-c)a ⑵ (준식)=a¤ +b¤ +c¤ -2ab+2bc-2ca ⑶ (준식)=(1+x› )(1+x¤ )(1-x¤ ) ⑶ (준식)=(1+x› )(1-x› )=1-x°

⑷ (준식)=x‹ -(1+2+3)x¤ +(1¥2+2¥3+3¥1)x-1¥2¥3 ⑷ (준식)=x‹ -6x¤ +11x-6 ⑸ (준식)={(x+1)(x¤ -x+1)}{(x-1)(x¤ +x+1)} ⑸ (준식)=(x‹ +1)(x‹ -1)=xfl -1 ⑹ (준식)=(a-b+2){a¤ +(-b)¤ +2¤ -a(-b) -(-b)¥2-2¥a} ⑹ (준식)=a‹ +(-b)‹ +2‹ -3¥a(-b)¥2 ⑹ (준식)=a‹ -b‹ +6ab+8

3

-2 ⑴ x¤ +3=A로 치환하면 ⑴ (준식)=(A+3x)(A-3x) ⑴ (준식)=A¤ -9x¤ ⑴ (준식)=(x¤ +3)¤ -9x¤ ⑴ (준식)=x› +6x¤ +9-9x¤ ⑴ (준식)=x› -3x¤ +9 ⑵ (a-b+c-d)(a-b-c+d) ⑷={(a-b)+(c-d)}{(a-b)-(c-d)} ⑷=(a-b)¤ -(c-d)¤ ⑷=a¤ +b¤ -c¤ -d¤ -2ab+2cd ⑶ x¤ y¤ +1=A로 치환하면 ⑸ (준식)=(A+xy)(A-xy)=A¤ -x¤ y¤

⑸ (준식)=(x¤ y¤ +1)¤ -x¤ y¤ =x› y› +2x¤ y¤ +1-x¤ y¤ ⑸ (준식)=x› y› +x¤ y¤ +1

⑸[다른 해설]

⑸곱셈 공식을 이용하면

⑸ (준식)={(xy)¤ +xy¥1+1¤ }{(xy)¤ -xy¥1+1¤ } ⑸ (준식)=(xy)› +(xy)¤ +1 ⑸ (준식)=x› y› +x¤ y¤ +1 ⑷ x¤ +4y¤ =A로 치환하면 ⑹ (준식)=(A+2xy)(A-2xy) ⑹ (준식)=A¤ -4x¤ y¤ ⑹ (준식)=(x¤ +4y¤ )¤ -4x¤ y¤ ⑹ (준식)=x› +8x¤ y¤ +16y› -4x¤ y¤ ⑹ (준식)=x› +4x¤ y¤ +16y› ⑸[다른 해설] ⑸곱셈 공식을 이용하면 ⑸ (준식)={x¤ +x(2y)+(2y)¤ }{x¤ -x(2y)+(2y)¤ } ⑸ (준식)=x› +4x¤ y¤ +16y›

3

-3 ⑴ (x+1)(x+2)(x-1)(x-2) ={(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-2)} =(x¤ -1)(x¤ -4) =x› -5x¤ +4 ⑵ (a-1)(a-2)(a+3)(a+4) ⑵={(a-1)(a+3)}{(a-2)(a+4)} ⑵=(a¤ +2a-3)(a¤ +2a-8)

⑵a¤ +2a=A로 치환하면 ⑵ (준식)=(A-3)(A-8) ⑵ (준식)=A¤ -11A+24

⑵ (준식)=(a¤ +2a)¤ -11(a¤ +2a)+24 ⑵ (준식)=a› +4a‹ +4a¤ -11a¤ -22a+24 ⑵ (준식)=a› +4a‹ -7a¤ -22a+24

핵심유형

4

⑴ (x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy에서

⑴ 9=7+2xy ∴ xy=1 ⑵ (x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy ⑵ (x-y)¤=9-4¥1=5 ⑵ ∴ x-y=—'5

⑶ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)=3_(—'5)=—3'5 ⑷ x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y)

=27-3_1_3=18

⑸ xfi +yfi =(x‹ +y‹ )(x¤ +y¤ )-x¤ y¤ (x+y) =18_7-1_3=123

4

-1 x+y=-3, xy=2이므로

x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=9-2_2=5 ⑴ x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y) ⑴ x‹ +y‹=-27-3_2_(-3)=-9 ⑵ x› +y› =(x¤ +y¤ )¤ -2(xy)¤

⑵ x› +y›=25-2_2¤ ⑵ x› +y›=17

⑶ xfi +yfi =(x¤ +y¤ )(x‹ +y‹ )-x¤ y¤ (x+y) ⑶ xfi +yfi=5_(-9)-2¤ _(-3)=-33

4

-2 ⑴ x¤ -3x+1=0의 양변을 x로 나누면 ⑴ x-3+_{;[!;=0 ∴ x+;[!;=3} ⑵ x¤ + ={x+ }¤ -2=3¤ -2=7 ⑶ x‹ + ={x+ }‹ -3{x+ }=3‹ -3_3=18 ⑷ x› + ={x¤ + }¤ -2=7¤ -2=47 핵심유형

5

x-y=1+'2, y-z=1-'2`에서 두 식을 변끼리 더하면 x-z=2 ∴ z-x=-2 x¤ +y¤ +z¤ -xy-yz-zx =;2!;(2x¤ +2y¤ +2z¤ -2xy-2yz-2zx)

=;2!;(x¤ -2xy+y¤ +y¤ -2yz+z¤ +z¤ -2zx+x¤ ) =;2!;{(x-y)¤ +(y-z)¤ +(z-x)¤ } =;2!;{(1+'2)¤ +(1-'2)¤ +(-2)¤ } =;2!;(3+2'2+3-2'2+4) =5 1 1_x¤ 1 31_x› 1 1_x 1 1_x 1 31_x‹ 1 1_x 1 31_x¤

5

01.다항식의 연산

5

-1 a+b+c=4, ab+bc+ca=5, abc=2

⑴ a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca) =4¤ -2_5=6 ⑵ a‹ +b‹ +c‹ =(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)+3abc =4_(6-5)+3_2=10 핵심유형

6

(3+2)(3¤ +2¤ )(3› +2› )(3° +2° ) =(3-2)(3+2)(3¤ +2¤ )(3› +2› )(3° +2° ) =(3¤ -2¤ )(3¤ +2¤ )(3› +2› )(3° +2° ) =(3› -2› )(3› +2› )(3° +2° ) =(3° -2° )(3° +2° ) =3⁄ fl -2⁄ fl

6

-1 100=a로 놓으면 101_(10000-100+1)-99_(10000+100+1) =(a+1)(a¤ -a+1)-(a-1)(a¤ +a+1) =a‹ +1-(a‹ -1)=2

6

-2 a-b=('3+1)-('3-1)=2, ab=('3+1)('3-1)=2이므로 - = = - = =10

6

-3 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 a, b, c 라 하면 모든 모서리의 길이의 합은 4(a+b+c)=24 ∴ a+b+c=6 겉넓이는 2(ab+bc+ca)=20 ∴ ab+bc+ca=10

∴ a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca) =6¤ -2_10=16 따라서 대각선의 길이는 "√a¤ +b¤ +c¤ ='∂16=4 핵심유형

7

위의 나눗셈으로부터 x‹ -x¤ +2x-3 =(x¤ +x+1)(x-2)+3x-1 =3x-1 (∵ x¤ +x+1=0) 따라서 식을 간단히 나타낸 것은 ③이다.

7

-1 A=(x+2)(x¤ -2x+4)-5 =x‹ +3 2‹ +3¥2¥2 111113₂ (a-b)‹ +3ab(a-b) 1111111113_ab a‹ -b‹ 111_ab b¤ 1_a a¤ 1_b 따라서 구하는 몫은 x+1, 나머지는 x+3이다.

7

-2 위의 나눗셈에서 나머지가 0이어야 하므로 2a+b=0, a+1=0 ∴ a=-1, b=2 ∴ a¤ +b¤ =(-1)¤ +2¤ =5 [다른 해설] ax‹ +bx+1의 차수는 3이고 x¤ -x-1의 차수는 2이므로 ax‹ +bx+1을 x¤ -x-1로 나눈 몫은 일차식이어야 한다. 이때 최고차항의 계수가 a이고 상수항이 1이므로 ax‹ +bx+1=(x¤ -x-1)(ax-1)로 놓을 수 있다. 우변을 전개하면 좌변과 같아야 하므로

ax‹ -(a+1)x¤ +(-a+1)x+1=ax‹ +bx+1에서 -(a+1)=0 ∴ a=-1 -a+1=b ∴ b=2 ∴ a¤ +b¤ =(-1)¤ +2¤ =5

7

-3 f(x)=ax‹ +bx¤ +cx+d라 하면 조립제법에서 안의 수는 왼쪽부터 차례로 -2, 4, -6이 므로 a=1, b=-2-(-2)=0, c=3-4=-1, d=5-(-6)=11 ∴ a+b+c+d=1+0+(-1)+11=11

7

-4 ⑴ x='2-1에서 x+1='2 ⑵양변을 제곱하면 x¤ +2x+1=2 ⑵ ∴ x¤ +2x-1=0 ⑵ x› -x‹ -5x¤ +7x-1을 x¤ +2x-1로 나누면 ⑵위의 나눗셈으로부터 ⑵ x› -x‹ -5x¤ +7x-1 ⑵ =(x¤ +2x-1)(x¤ -3x+2)+1 ⑵ =1 (∵ x¤ +2x-1=0) x-2 x¤ +x+1< √x‹ - x¤ +2x-3 x¤ +x+1<x‹ + x¤ + x x¤ +x+1<x‹-2x¤ + x-3 x¤ +x+1<x‹-2x¤ -2x-2 x¤ +x+1<x‹ -2x¤ -3x-1 x¤ -x< √x+1 x¤ -x< √x‹ +0x¤ +0x+3 x¤ -x< √x‹ -0x¤ x¤ -x< √x‹ +0x¤ +0x+3 x¤ -x< √x‹ +0x¤ -0x+3 x¤ -x< √x‹ +0x¤ +0x+3 ax‹+a x¤ -x-1< √ax‹ +0x¤ +(a√+b)bx+(a+1) x¤ +x+1<ax‹ -ax¤ -(a+b)ax

x¤ +x+1< ax‹ -ax¤ +b(a+b)x+(a+1

x¤ +x+1< ax‹ -ax¤ -(a+b)ax-(a+a

x¤ +x+1< ax‹ -ax¤ -(2a+b)x+(a+1) x¤ -3x+2 x¤ +2x-1< √x› -x‹ -5x¤√+7x-1 x¤ +2x-1< √x› +2x‹ -x¤ x¤ +2x-1< √x›-3x‹ -4x¤ +7x x¤ +2x-1< √x›-3x‹ -6x¤ +3x x¤ +2x-1< √x› -3x‹ -2x¤ +4x-1 x¤ +2x-1< √x› -3x‹ -2x¤ +4x-2 x¤ +2x-1< √x› -3x‹ -2x¤ +4x-1

01

주어진 식을 먼저 간단히 하면

(3A+B)-(A+3B)=2A-2B=2(A-B) ∴ 2(A-B)=2{(x¤ +2xy-y¤ )-(x¤ -xy+2y¤ )}

=2(3xy-3y¤ ) =6xy-6y¤

02

A-3(X-B)=4A, A-3X+3B=4A -3X=3A-3B ∴ X=-A+B =-(x¤ +2xy-3y¤ )+(2x¤ -xy-y¤ ) =x¤ -3xy+2y¤

03

A ÁB=2A+B, A≠B=A-3B이므로 (P Á`Q)≠(P≠Q) =(2P+Q)≠(P-3Q) =2P+Q-3(P-3Q) =2P+Q-3P+9Q =-P+10Q =-(x¤ -x+1)+10(-x¤ +2x-3) =-x¤ +x-1-10x¤ +20x-30 =-11x¤ +21x-31

04

(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)(x+5)를 전개할 때, x› 항은 4개의 x와 상수 1개의 곱의 꼴로 나타나므로 x› 의 계수는 1-2+3-4+5=3

05

x¤ +x+1=A라 하면 (x‹ +x¤ +x+1)‹ =(x‹ +A)‹

=x· +3xfl A+3x‹ A¤ +A‹ 위의 식에서 x¤ 항은 A‹ 을 전개할 때에만 나오고 A‹ 은 (x¤ +x+1)‹ 과 같으므로 두 다항식 (x¤ +x+1)‹ , (x‹ +x¤ +x+1)‹ 의 전개식에서 x¤ 의 계수는 같다. 즉, a=b이므로 b-a=0

06

a=50이라 하면 (준식)=(a-1)¤-(a-2)(a+2)-(a+1)¤+(a+2)(a+3) =a¤ -2a+1-a¤ +4-a¤ -2a-1+a¤ +5a+6 =a+10=50+10=60

07

a+b=1, ab= =-1이므로 a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b) a‹ +b‹=1-3_(-1)_1=4

08

x¤ +xy+y¤ =13 yy ㉠ x¤ -xy+y¤ =7 yy ㉡

㉠+㉡에서 2(x¤ +y¤ )=20 ∴ x¤ +y¤ =10 ㉠-㉡에서 2xy=6 ∴ xy=3

이때 (x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy=10+6=16이므로 x+y=4 (∵ x>0, y>0)

한편 x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y) =4‹ -3_3_4=28

∴ xfi +yfi =(x¤ +y¤ )(x‹ +y‹ )-x¤ y¤ (x+y) =10_28-3¤ _4=244

09

a, b, c가 삼각형의 변의 길이이므로 a>0, b>0, c>0 a‹ +b‹ +c‹ =(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)+3abc 에서 a‹ +b‹ +c‹ =3abc이므로 (a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)=0 이때 a+b+c>0이므로 a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca=0 ;2!;{(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }=0 ∴ a=b=c 한편 a¤ +b¤ +c¤ =108에서 a=b=c이므로 3a¤ =108, a¤ =36 ∴ a=6 (∵ a>0) 따라서 주어진 삼각형은 한 변의 길이가 6인 정삼각형이므로 둘 레의 길이는 3_6=18이다.

10

A를 B로 나눈 몫은 Q, 나머지는 R이므로 A=BQ+R ㄱ. A-R=BQ이므로 A-R는 B로 나누어떨어진다. (참) ㄴ. A-B+R=BQ+R-B+R=B(Q-1)+2R이므로 ㄴ. A-B+R를 B로 나눈 나머지는 2R이다. (거짓) ㄷ. A=x‹ -1, B=x¤ -1이라 하면 ㄴ. Q=x ㄴ. 즉, A를 B로 나눈 나머지는 x-1, ㄴ. A를 Q로 나눈 나머지는 -1이므로 A를 Q로 나눈 나머지는 R가 아닐 수 있다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

11

1-5 4 x+1 x¤ +x+b< √x‹ +2x¤ + 0x√+ a x¤ +x+b< √x‹ + x¤ + bx x¤ +x+b< √x‹ + x¤ - bx+ a x¤ +x+b< √x‹ + x¤ + bx+ b x¤ +x+b< √x‹ +(-b-1)x+(a-b) x x¤ -1< √x‹ +0x-1 x¤ -1<x‹ - x x¤ -1<x‹ - x-1 16~17쪽 ● ● ●_{기출문제로내신대비하기}● ● ● 01 ② 02 ④ 03 -11x¤ +21x-31 04 ③ 05 ② 06 60 07 ④ 08 ⑤ 09 18 10 ① 11 a=1, b=0 12 1 13 18 14 8'5+24 15 x-1

7

02.항등식과 나머지정리 위의 나눗셈에서 나머지가 -x+1이어야 하므로 -b-1=-1, a-b=1 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=0

12

P(x¤ )=(x¤ )‹ -a=xfl -a 위의 나눗셈에서 P(x¤ )을 P(x)로 나눈 나머지는 2이므로 a¤ -a=2, a¤ -a-2=0

(a+1)(a-2)=0 ∴ a=-1 또는 a=2 ` 따라서 모든 상수 a의 값의 합은 -1+2=1이다.

13

A+B를 x¤ +x+1로 나눈 몫을 Q¡이라 하면 A+B=(x¤ +x+1)Q¡+9 yy ㉠ A-B를 x¤ +x+1로 나눈 몫을 Q™라 하면 A-B=(x¤ +x+1)Q™-3 yy ㉡ ㉠+㉡을 하면 2A=(x¤ +x+1)(Q¡+Q™)+6 A=;2!;(x¤ +x+1)(Q¡+Q™)+3 ∴ a=3 ㉠-㉡을 하면 2B=(x¤ +x+1)(Q¡-Q™)+12 B=;2!;(x¤ +x+1)(Q¡-Q™)+6 ∴ b=6 ∴ ab=3_6=18

14

x¤ -3x+1=0의 양변을 x로 나누면 x-3+;[!;=0에서 x+;[!;=3 yy ❶ 한편 x>1이므로 x>;[!;, 즉 x-;[!;>0 {x-;[!;}¤ ={x+;[!;}¤ -4=3¤ -4=5이므로 x-;[!;='5 yy ❷ ∴ x‹ +3x¤ +3+ -∴={x‹ - }+3{x¤ + }+3 ∴={x- }‹ +3{x- }+3[{x+ }¤ -2]+3 ∴=('5)‹ +3'5+3_(3¤ -2)+3 ∴=8'5+24 yy ❸ 1 x 1 x 1 x 1 x¤ 1 x‹ 1 x‹ 3 x¤

15

오른쪽 조립제법에 의하여 다항식 x‹ +x¤ -8x+10을 x-2로 나누었을 때의 몫 Q(x)는 Q(x)=x¤ +3x-2 yy ❶ 따라서 Q(x)를 x+4로 나누었을 때의 몫은 x-1 yy ❷ 채점 기준 배점 ❶ x+;[!;의 값 구하기 ❷ x-;[!;의 값 구하기 ❸ x‹ +3x¤ +3+_x¤3 -_x‹1 의 값 구하기 30 % 30 % 40 %

02. 항등식과 나머지정리

18~19쪽

03

⑴ x¤ +3=ax+bx(x-1)+c ⑴ x¤ +3=bx¤ +(a-b)x+c ⑴ ∴ b=1, a-b=0, c=3 ⑴ ∴ a=1, b=1, c=3 ⑴[다른 해설] ⑴주어진 등식에 ⑴x=0을 대입하면 3=c ⑴x=1을 대입하면 4=a+c ⑴x=-1을 대입하면 4=-a+2b+c ⑴ ∴ a=1, b=1, c=3 ⑵ x(x-1)(x+1)=x‹ +ax¤ +bx+c에서 ⑵ x‹ -x=x‹ +ax¤ +bx+c ⑵ ∴ a=0, b=-1, c=0 ⑴[다른 해설] ⑴주어진 등식에 ⑴x=0을 대입하면 0=c ⑴x=1을 대입하면 0=1+a+b+c ⑴x=-1을 대입하면 0=-1+a-b+c ⑴ ∴ a=0, b=-1, c=0 ● ● ●개념확인● ● ● 01 ㄷ, ㄹ 02 ⑴ a=-1, b=3 ⑵ a=-5, b=3, c=-4 03 ⑴ a=1, b=1, c=3 ⑵ a=0, b=-1, c=0 04 ⑴ a=-5, b=6 ⑵ a=-2, b=1 05 ⑴ 9 ⑵ -6 06 a=-2, b=11 -2 -4 -1 1 1 1 -1 -2 -3 -4 -1 -8 -6 -2 -4 -2 10 -4 -6 채점 기준 배점 ❶ 조립제법을 이용하여 Q(x) 구하기 ❷ 조립제법을 이용하여 Q(x)를 x+4로 나누었을 때의 몫 구하기 50 % 50 % x‹ +a x‹ -a< √xfl +0x‹ -a x‹ -a<xfl -ax‹ x‹ -a<xfl -ax‹ -a x‹ -a<xfl -ax‹ -a¤ x‹ -a<xfl -ax‹ -a¤ -a

04

⑴ 몫을 Q(x)라 하면 ⑴ x‹ -2x¤ +ax+b=(x¤ +x-2)Q(x) =(x+2)(x-1)Q(x) ⑴⁄x=-2를 대입하면 ⑴ ⁄ -2a+b=16 yy ㉠ ⑴¤x=1을 대입하면 ⑴ ⁄ a+b=1 yy ㉡ ⑴㉡-㉠에서 3a=-15 ⑴ ∴ a=-5, b=6 ⑵ 몫을 Q(x)라 하면 ⑵ x‹ -2x¤ +ax+b=(x¤ +x-2)Q(x)+3x-5 ⑵ x‹ -2x¤ +ax+b=(x+2)(x-1)Q(x)+3x-5 ⑵⁄x=-2를 대입하면 ⑵ ⁄ -2a+b=5 yy ㉠ ⑵¤x=1을 대입하면 ⑵ ⁄ a+b=-1 yy ㉡ ⑵㉡-㉠에서 3a=-6 ⑵ ∴ a=-2, b=1

05

⑴ 다항식 f(x)를 x+2로 나눌 때의 나머지는 나머지정리에 의하여 f(-2)이다. ⑵ ∴ f(-2)=2_(-2)‹ +3_(-2)¤ -8_(-2)-3 =9 ⑵ 다항식 f(x)를 2x-1로 나눌 때의 나머지는 나머지정리에 ⑵의하여 f{;2!;}이다. ⑵ ∴ f{;2!;}=2_{;2!;}‹+3_{;2!;}¤-8_;2!;-3 ⑵ ∴ f{;2!;}=-6

06

f(x)=x‹ +ax¤ -bx+12라 하면 f(x)가 x-1과 x+3을 인수로 가지므로 f(1)=0, f(-3)=0이다. f(1)=1+a-b+12=0 ∴ a-b=-13 yy ㉠ f(-3)=-27+9a+3b+12=0 ∴ 3a+b=5 yy ㉡ ㉠+㉡에서 4a=-8 ∴ a=-2, b=11 핵심유형

1

양변에 x=0을 대입하면 4=d yy ㉠ x=1을 대입하면 1+2+3+4=c+d ∴ c=6 (∵ ㉠) yy ㉡ x=2를 대입하면 8+8+6+4=2b+2c+d ∴ b=5 (∵ ㉠, ㉡) yy ㉢ x=-1을 대입하면 -1+2-3+4=-6a+2b-c+d ∴ a=1 (∵ ㉠, ㉡, ㉢)

1

-1 3ax+2kx+a-k+10=0에서 ⑴ (3a+2k)x+(a-k+10)=0이 x에 대한 항등식이므 로 항등식의 성질에 의하여 ⑴ 3a+2k=0, a-k+10=0 ⑴두 식을 연립하여 풀면 a=-4, k=6 ⑵ (2x-1)k+(3ax+a+10)=0이 k에 대한 항등식이 므로 항등식의 성질에 의하여 ⑴ 2x-1=0, 3ax+a+10=0 ⑴두 식을 연립하여 풀면 a=-4, x=;2!;

1

-2 3x¤ +6x-15=a(x-1)(x+1)+b(x+1)(x-2) +c(x-1)(x-2) ⁄x=1을 대입하면 ⁄ 3+6-15=-2b ∴ b=3 ¤x=-1을 대입하면 ⁄ 3-6-15=6c ∴ c=-3 ‹x=2를 대입하면 ⁄ 12+12-15=3a ∴ a=3 ⁄, ¤, ‹에 의하여 a=3, b=3, c=-3

1

-3 (k+2)a-(2k+1)b-3=0을 k에 대하여 정리하면 (a-2b)k+(2a-b-3)=0 이 등식이 k의 값에 관계없이 성립하므로 항등식의 성질에 의하여 a-2b=0, 2a-b-3=0 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=1 20~21쪽 ● ● ●_{핵심유형으로개념정복하기}● ● ● 핵심유형 1 a=1, b=5, c=6, d=4 1-1 ⑴ a=-4, k=6 ⑵ a=-4, x=;2!; 1-2 a=3, b=3, c=-3 1-3 a=2, b=1 핵심유형 2 1023 2-1 32 2-28 2-3⑤ 핵심유형 3 -5x+7 3-1 1 3-2-2 3-3x¤ +2x+3 3-43 핵심유형 4 10 4-1 -2 4-26 4-32

핵심유형

2

주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 1=aº 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 2⁄ ‚ =aº+a¡+a™+y+aª+a¡º ∴ a¡+a™+y+a¡º=2⁄ ‚ -aº=1024-1=1023

2-1

주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 (0+0+2)fi =a¡º+aª+y+a¡+aº ∴ aº+a¡+y+aª+a¡º=32

2

-2 주어진 식을 전개하면 (x‹ -4x¤ +3x+2)‹ (2x-1)fi =a¡¢x⁄ › +a¡£x⁄ ‹ +y+a¡x+aº

(단, aº, a¡, y, a¡£, a¡¢는 상수) 계수들의 총합 aº+a¡+y+a¡£+a¡¢는 주어진 식에 x=1 을 대입한 결과와 같으므로 (1-4+3+2)‹ (2-1)fi =8

2

-3 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면 2‹ ‚ +1=a£º+a™ª+a™•+y+a¡+aº yy ㉠ 양변에 x=0을 대입하면 1=a£º-a™ª+a™•-y-a¡+aº yy ㉡ ㉠-㉡을 하면 2‹ ‚ =2(a™ª+a™¶+a™∞+y+a£+a¡) ∴ a™ª+a™¶+y+a£+a¡=2¤ · 핵심유형

3

f(x)를 x-1로 나눈 나머지가 2이므로 f(1)=2 f(x)를 x-2로 나눈 나머지가 -3이므로 f(2)=-3 f(x)를 (x-1)(x-2)로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b yy ㉠ ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=a+b=2 yy ㉡ ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 f(2)=2a+b=-3 yy ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-5, b=7 따라서 구하는 나머지는 -5x+7이다.

3

-1 다항식 f(x)를 x+1로 나눈 나머지는 나머지정리에 의하여 f(-1)이다. ∴ `f(-1)=(-1)¤ ‚ ⁄ ° +(-1)¤ ‚ ⁄ ‡ +(-1)¤ ‚ ⁄ fl +y +(-1)¤ +(-1)⁄ +1 ∴ `f(-1)=1

3

-2 f(x)=x‹ +ax¤ -5x+3이라 하면 f(1)=f(-2) 1+a-5+3=-8+4a+10+3 -6=3a ∴ a=-2

3

-3 f(x)=x(x-1)(x+1)Q(x)+ax¤ +bx+c(a, b는 상수) 라 하면 주어진 조건에서

9

02.항등식과 나머지정리 f(1)=a+b+c=6, f(0)=c=3, f(-1)=a-b+c=2 c=3을 두 식에 대입해서 연립하여 풀면 a=1, b=2, c=3 따라서 구하는 나머지는 x¤ +2x+3이다.

3

-4 나머지정리에 의하여 f(-2)=3 f(2x+6)을 x+4로 나누었을 때의 나머지는 f(2¥(-4)+6)=f(-2)=3 핵심유형

4

`f(x)=x‹ +ax¤ +bx+6이라 하면 f(x)가 (x+2)(x-3)으로 나누어떨어지므로 f(x)는 x+2, x-3으로 각각 나누어떨어진다. 즉, 인수정리에 의하여 f(-2)=0, f(3)=0 f(-2)=-8+4a-2b+6=0에서 2a-b=1 yy ㉠ f(3)=27+9a+3b+6=0에서 3a+b=-11 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-5 ∴ ab=10

4

-1 f(x)=x‹ +2ax¤ -x-5a라 하면 f(x)가 x-2로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 f(2)=0 8+8a-2-5a=0, 3a=-6 ∴ a=-2

4

-2 f(x)=x‹ +ax¤ +bx-2라 하면 f(x)를 x-1로 나눈 나머지가 6이므로 f(1)=6에서 f(1)=1+a+b-2=6 ∴ a+b=7 yy ㉠ f(x)가 x+1로 나누어떨어지므로 f(-1)=0에서 f(-1)=-1+a-b-2=0 ∴ a-b=3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=2 ∴ f(x)=x‹ +5x¤ +2x-2 따라서 f(x)를 x+2로 나눈 나머지는 f(-2)=-8+20-4-2=6

4

-3 f(2-x)가 x-2로 나누어떨어지므로 f(2-2)=0 ∴ f(0)=0 xf(x)를 (x-1)(x+1)로 나눈 나머지가 x-1이므로 몫 을 Q(x)라 하면 xf(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+x-1 yy ㉠ ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=0 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 -f(-1)=-2 ∴ f(-1)=2 f(x)=ax¤ +bx+c(a, b, c는 상수)라 하면

f(0)=c=0이므로 f(x)=ax¤ +bx f(1)=a+b=0, f(-1)=a-b=2 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-1 ∴ f(x)=x¤ -x 따라서 f(x)를 x-2로 나눈 나머지는 f(2)=2¤ -2=2 ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=4, b=2 즉, ㉠은 x› -4x¤ -x+2=(x+1)(x-2)f(x)이므로 양변에 x=3을 대입하면 81-36-3+2=4f(3), 44=4f(3) ∴ f(3)=11

05

x¤ ‚ ⁄ ° +x+1을 x¤ -1로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면 x¤ ‚ ⁄ ° +x+1=(x¤ -1)Q(x)+ax+b yy ㉠ ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 3=a+b yy ㉡ ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 1=-a+b yy ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=2 따라서 구하는 나머지는 x+2이다.

06

다항식 f(x)를 x-2로 나눈 몫이 Q(x), 나머지가 3이므로 f(x)=(x-2)Q(x)+3 Q(x)를 x+1로 나눈 나머지가 -2이므로 나머지정리에 의하 여 Q(-1)=-2 따라서 다항식 f(x)를 x+1로 나눈 나머지는 나머지정리에 의 하여 f(-1)이므로 f(-1)=(-3)_Q(-1)+3 =(-3)_(-2)+3=9

07

f(x)를 x+1로 나눈 나머지가 5, x-1로 나눈 나머지가 13이 므로 f(-1)=5, f(1)=13 다항식 f(x)를 x¤ -1로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b(a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x¤ -1)Q(x)+ax+b =(x-1)(x+1)Q(x)+ax+b yy ㉠ ㉠의 양변에 x=-1, x=1을 각각 대입하면 f(-1)=-a+b=5, f(1)=a+b=13 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=9 따라서 R(x)=4x+9이므로 R(10)=4¥10+9=49

08

나머지정리에 의하여 f(-3)=6 xf(x+1)을 x+4로 나누었을 때의 나머지는 -4f(-4+1)=-4f(-3)=(-4)¥6=-24

09

다항식 f(x)를 (x-1)(x-2)¤ 으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax¤ +bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)(x-2)¤ Q(x)+ax¤ +bx+c yy ㉠ f(x)를 (x-2)¤ 으로 나누었을 때의 나머지가 5x+2이므로 ㉠ 에서 ax¤ +bx+c를 (x-2)¤ 으로 나누었을 때의 나머지도 5x+2이다. 즉, ax¤ +bx+c=a(x-2)¤ +5x+2 ∴ f(x)=(x-1)(x-2)¤ Q(x)+a(x-2)¤ +5x+2 yy ㉡ 22~23쪽 ● ● ●_{기출문제로}내신대비하기● ● ●

01

(k+1)x-(2k-1)y+3=0을 k에 대하여 정리하면 (x-2y)k+(x+y+3)=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 x-2y=0, x+y+3=0 이 두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=-1 ∴ xy=2

02

x¤ -4x+1=ax(x+1)+b(x+1)(x-1) +cx(x-1) yy ㉠ 등식 ㉠이 x에 대한 항등식이므로 ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 1=-b ∴ b=-1 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 6=2c ∴ c=3 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 -2=2a ∴ a=-1 ∴ a-b+c=3

03

(4x¤ +x-3)fi =a¡ºx⁄ ‚ +aªx· +y+a¡x+aº의 양변에 x=1을 대입하면 2fi =a¡º+aª+y+a¡+aº yy ㉠ x=-1을 대입하면 0=a¡º-aª+y-a¡+aº yy ㉡ ㉠-㉡에서 2fi =2(aª+a¶+a∞+a£+a¡) ∴ a¡+a£+a∞+a¶+aª=2› =16

04

x› -ax¤ -x+b=(x+1)(x-2)f(x) yy ㉠ 등식 ㉠이 x에 대한 항등식이므로 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 1-a+1+b=0 ∴ a-b=2 yy ㉡ ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 16-4a-2+b=0 ∴ 4a-b=14 yy ㉢ 01 ② 02 ④ 03 ④ 04 11 05 x+2 06 ⑤ 07 49 08 -24 09 x¤ +x+6 10 -15 11 ④ 12 ⑤ 13 -7 14 -9 15 x+2

11

02.항등식과 나머지정리 한편 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 8이므로 f(1)=a+7=8 ∴ a=1 따라서 구하는 나머지는 ㉡에서 (x-2)¤ +5x+2=x¤ +x+6

10

x‹ +x¤ +ax+b를 (x-1)¤ 으로 나누었을 때의 몫을 x+c (c는 상수)라 하면 x‹ +x¤ +ax+b=(x-1)¤ (x+c) =(x¤ -2x+1)(x+c) =x‹ +(c-2)x¤ +(1-2c)x+c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 1=c-2, a=1-2c, b=c ∴ a=-5, b=3, c=3 ∴ ab=-15

11

f(1)=0, g(1)=0이므로 주어진 보기 중에서 x=1일 때 식의 값이 0인 것을 찾으면 된다. 따라서 각 보기의 다항식에 x=1을 대입하면 ㄱ. f(1)-2g(1)=0 ㄴ. 3f(1)g(1)=0 ㄷ. `f(1)g(1)-g(1)=0 ㄹ. 1¥f(1)+1¤ ¥g(1)=0 ㅁ. f(1)+g(1)+1=1+0 따라서 x-1로 나누어떨어지는 것은 4개이다.

12

(x+1)f(x)=(x-1)g(x)에서 양변에 x=1을 대입하면 2f(1)=0 ∴ f(1)=0 양변에 x=-1을대입하면 0=-2g(-1) ∴g(-1)=0 즉, 인수정리에 의해 f(x)는 x-1로 나누어떨어지고, g(x)는 x+1로 나누어떨어진다. ㄱ. f(x)는 x-1로 나누어떨어진다. (참) ㄴ. h(x)=(x+1)f(x)+(x-1)g(x)라 하면 h(1)=2f(1)=0, h(-1)=-2g(-1)=0이므로 h(x)는 x-1, x+1로 모두 나누어떨어진다. 즉, h(x)는 x¤ -1로 나누어떨어진다. (참) ㄷ. k(x)=f(x)g(x)라 하면 k(1)=f(1)g(1)=0, k(-1)=f(-1)g(-1)=0 이므로 k(x)는 x-1, x+1로 모두 나누어떨어진다. 즉, k(x)는 x¤ -1로 나누어떨어진다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. [참고] f(x)=(x-1)q¡(x), g(x)=(x+1)q™(x)라 하면 ㄴ. (x+1)f(x)+(x-1)g(x) =(x+1)(x-1)q¡(x)+(x-1)(x+1)q™(x) =(x+1)(x-1){q¡(x)+q™(x)} =(x¤ -1){q¡(x)+q™(x)} ㄷ. f(x)g(x)=(x-1)q¡(x)(x+1)q™(x) =(x-1)(x+1)q¡(x)q™(x) =(x¤ -1)q¡(x)q™(x)

13

f(x+1)-f(x-2)의 차수가 1이므로 f(x)의 차수는 2이어야 한다. f(x)=ax¤ +bx+c(a, b, c는 상수)라 하면 f(x+1)-f(x-2) =a(x+1)¤ +b(x+1)+c-a(x-2)¤ -b(x-2)-c =6ax-3a+3b=6x+3 등식 6ax-3a+3b=6x+3이 x에 대한 항등식이므로 6a=6, -3a+3b=3 ∴ a=1, b=2

f(-3)=1_(-3)¤ +2_(-3)+c=-4 ∴ c=-7 따라서 f(x)=x¤ +2x-7을 x+2로 나눈 나머지는 나머지정 리에 의하여 f(-2)=(-2)¤ +2_(-2)-7=-7

14

f(x)=3x‹ +kx¤ -3x+18이라 하면 f(x)가 x-2를 인수로 가지므로 인수정리에 의하여 f(2)=0 yy ❶ 즉, f(2)=24+4k-6+18=0 ∴ k=-9 yy ❷

15

f(x)를 x¤ +2x-3으로 나눈 몫을 q¡(x)라 하면 f(x)=(x¤ +2x-3)q¡(x)+2x+5 =(x+3)(x-1)q¡(x)+2x+5 yy ㉠ f(x)를 x¤ -x-2로 나눈 몫을 q™(x)라 하면 f(x)=(x¤ -x-2)q™(x)+3x-2 =(x+1)(x-2)q™(x)+3x-2 yy ㉡ f(x)를 x¤ +x-6으로 나눈 몫을 q£(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x¤ +x-6)q£(x)+ax+b =(x+3)(x-2)q£(x)+ax+b yy ㉢yy ❶ ㉠, ㉢에 x=-3을 대입하면 f(-3)=-3a+b=-1 yy ㉣ ㉡, ㉢에 x=2를 대입하면 f(2)=2a+b=4 yy ㉤ ㉣, ㉤을 연립하여 풀면 a=1, b=2 yy ❷ 따라서 구하는 나머지는 x+2이다. yy ❸ 채점 기준 배점 ❶ 인수정리에 의해 f(2)=0임을 알아내기 ❷ k의 값 구하기 50 % 50 % 채점 기준 배점 ❶ f(x)=(이차식)_(몫)+(나머지)의 꼴로 나타내기 ❷ f(-3), f(2)를 이용하여 a, b의 값 구하기 ❸ f(x)를 x¤ +x-6으로 나눈 나머지 구하기 50 % 40 % 10 %

03. 인수분해

24~25쪽

● ● ●개념확인● ● ●

01 ⑴ (x+2)‹ ⑵ (2x-3y)‹

⑶ (x+2)(x¤ -2x+4) ⑷ (3x-y)(9x¤ +3xy+y¤ ) ⑸ (a+b-1)¤ ⑹ (a+b+1)(a¤ +b¤ -ab-a-b+1) 02 ⑴ (ax-b)(bx+a) ⑵ (1+a-b)(1-a+b)

⑶ (x¤ +y¤ )(x+y)(x-y)

⑷ (x+y)(x-y)(x¤ -xy+y¤ )(x¤ +xy+y¤ )

03 ⑴ (x-3)(x+1)(x-1)¤ ⑵ (x¤ +5x+2)(x¤ +5x+8) ⑶ (2x¤ +1)(x+2)(x-2) ⑷ (x¤ +x-1)(x¤ -x-1) 04 ⑴ (2a+1)(a-b) ⑵ (x+y)(x+y-1)

⑶ (ab-c)(ac-b) ⑷ (ax-1)(bx¤ +ax-1) 05 ⑴ (x-1)(x-2)(x+3) ⑵ (x-2)(x¤ -2x-2)

⑶ (x-1)(2x+1)(x+1) ⑷ (x-5)(2x-1)(2x+1)

01

⑸ a¤ +b¤ +2ab-2a-2b+1

=a¤ +b¤ +(-1)¤ +2ab+2b¥(-1)+2¥(-1)¥a =(a+b-1)¤

⑹ a‹ +b‹ -3ab+1=a‹ +b‹ +1‹ -3ab¥1

=(a+b+1)(a¤ +b¤ -ab-a-b+1)

02

⑴ abx¤ +(a¤ -b¤ )x-ab

⑴=(ax-b)(bx+a) ⑵ 1+2ab-a¤ -b¤ ⑵=1-(a¤ +b¤ -2ab) ⑵=1-(a-b)¤

⑵=(1+a-b)(1-a+b) ⑶ x› -y› =(x¤ +y¤ )(x¤ -y¤ )

=(x¤ +y¤ )(x+y)(x-y) ⑷ xfl -yfl

⑵=(x‹ +y‹ )(x‹ -y‹ )

⑵=(x+y)(x¤ -xy+y¤ )(x-y)(x¤ +xy+y¤ ) ⑵=(x+y)(x-y)(x¤ -xy+y¤ )(x¤ +xy+y¤ )

03

⑴ (x¤ -2x)¤ -2x¤ +4x-3 ⑴=(x¤ -2x)¤ -2(x¤ -2x)-3에서 ⑴x¤ -2x=X로 치환하면 ⑴ (준식)=X¤ -2X-3 ⑴ (준식)=(X-3)(X+1) ⑴ (준식)=(x¤ -2x-3)(x¤ -2x+1) ⑴ (준식)=(x-3)(x+1)(x-1)¤ ⑵ (x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)-8에서 ⑴x¤ +5x=X로 치환하면 ⑴ (준식)=(X+4)(X+6)-8 ⑴ (준식)=X¤ +10X+24-8 ⑴ (준식)=X¤ +10X+16 ⑴ (준식)=(X+2)(X+8) ⑴ (준식)=(x¤ +5x+2)(x¤ +5x+8) ⑶ x¤ =X로 치환하면 ⑴ 2x› -7x¤ -4 ⑴ =2X¤ -7X-4 ⑴ =(2X+1)(X-4) ⑴ =(2x¤ +1)(x¤ -4) ⑴ =(2x¤ +1)(x+2)(x-2) ⑷ x› -3x¤ +1 ⑴=x› -2x¤ +1-x¤ ⑴=(x¤ -1)¤ -x¤ ⑴=(x¤ +x-1)(x¤ -x-1)

04

⑴ 2a¤ -2ab+a-b ⑴=-(2a+1)b+2a¤ +a ⑴=-(2a+1)b+a(2a+1) ⑴=(2a+1)(a-b) ⑵ x¤ +(2y-1)x+y(y-1) ⑴=(x+y)(x+y-1) ⑶ a¤ bc+bc-ab¤ -ac¤ ⑴=bca¤ -(b¤ +c¤ )a+bc

⑴=(ba-c)(ca-b) ⑴=(ab-c)(ac-b) ⑷ abx‹ +(a¤ -b)x¤ -2ax+1 ⑴=(ax‹ -x¤ )b+a¤ x¤ -2ax+1 ⑴=x¤ (ax-1)b+(ax-1)¤ ⑴=(ax-1)(x¤ b+ax-1) ⑴=(ax-1)(bx¤ +ax-1)

05

⑴ x‹ -7x+6에 x=1을 대입하면 식의 값이 0이므로 ⑴주어진 식은 x-1로 나누어떨어진다. ⑴ ⑴ (준식)=(x-1)(x¤ +x-6) ⑴ (준식)=(x-1)(x-2)(x+3) ⑵ x‹ -4x¤ +2x+4에 x=2를 대입하면 식의 값이 0이므로 ⑴주어진 식은 x-2로 나누어떨어진다. ⑴ ⑴ (준식)=(x-2)(x¤ -2x-2) ⑶ 2x‹ +x¤ -2x-1에 x=1을 대입하면 식의 값이 0이므로 ⑴주어진 식은 x-1로 나누어떨어진다. a -b b 11111111⁄-a 11111111⁄ 1 y 1 1221111111⁄y-1 1221111111⁄ -6 -6 -0 1 1 1 1 1 0 1 1 -7 -1 -6 2 1 1 1 1 -4 -2 -2 -2 -4 -2 -4 -4 -0 b -c c 12211111⁄ -b 12211111⁄

13

03.인수분해 ⑴ ⑴ (준식)=(x-1)(2x¤ +3x+1) ⑴ (준식)=(x-1)(2x+1)(x+1) ⑷ 4x‹ -20x¤ -x+5에 x=5를 대입하면 식의 값이 0이므로 ⑴주어진 식은 x-5로 나누어떨어진다. ⑴ ⑴ (준식)=(x-5)(4x¤ -1) ⑴ (준식)=(x-5)(2x-1)(2x+1) -1 -1 -0 1 1 1 2 2 1 2 3 -2 -3 -1 5 4 4 -20 -20 -10 -1 -0 -1 -5 -5 -0 26~27쪽 ● ● ●_{핵심유형으로개념정복하기}● ● ● 핵심유형 1 ⑴ (x-6)(x+2)(x+4)(x-3) ⑵ (x+4)(x-3)(x¤ +x+4) 1-1⑴ -11 ⑵ (x¤ -2x-5)(x¤ -2x-6) 1-2④ 1-34 핵심유형 2 ⑴ (x¤ -2)(x+2)(x-2) ⑵ (x¤ +5y¤ )(x¤ -3y¤ ) ⑶ (x¤ +5x+1)(-x¤ +5x-1) ⑷ (x¤ y¤ +3xy-1)(x¤ y¤ -3xy-1)

2-1a=16, b=4 2-2④ 2-3③

핵심유형 3 ⑴ (a-x)(x+y)(x-2y)

⑵ (x-2y+1)(x+y+2)

⑶ (x-y)(x¤ +y¤ +z¤ +xy+yz+zx) 3-1⑴ (3x+4y-6)(x-y+1) ⑵ (y-z)(x-y)(x-z) 3-29700 3-3b=c인 이등변삼각형 핵심유형 4 ⑴ (x+1)(2x-1)(x-3) ⑵ (x+2)(x-3)(x+3)(x-4) 4-1⑴ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ⑵ (x-3)(2x-1)(x¤ +x+1) 4-2② 4-3a=1, b=-3, `f(x)=(x-1)¤ (x+1)(x+2) 핵심유형

1

⑴ x¤ -12=X로 치환하면 ⑴ (준식)=(X+2x)(X-5x)+6x¤ =X¤ -3xX-4x¤ =(X-4x)(X+x) =(x¤ -4x-12)(x¤ +x-12) =(x-6)(x+2)(x+4)(x-3) ⑵ (준식)=(x¤ +x)¤ -8(x¤ +x)-48에서 x¤ +x=X로 치환하면 ⑴ (준식)=X¤ -8X-48=(X-12)(X+4) =(x¤ +x-12)(x¤ +x+4) =(x+4)(x-3)(x¤ +x+4)

1

-1 ⑴ (x+1)(x+2)(x-3)(x-4)+6에서 ⑶x+1과 x-3의 곱은 (x+1)(x-3)=x¤ -2x-3 ⑶x+2와 x-4의 곱은 (x+2)(x-4)=x¤ -2x-8 ⑶따라서 a=-3, b=-8 또는 a=-8, b=-3이므로 ⑶ a+b=(-3)+(-8)=-11 ⑵ (x¤ +3x+2)(x¤ -7x+12)+6 ⑶=(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)+6 ⑶={(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}+6 ⑶=(x¤ -2x-3)(x¤ -2x-8)+6 ⑶x¤ -2x=X로 치환하면 ⑶ (준식)=(X-3)(X-8)+6 ⑶ (준식)=X¤ -11X+30 ⑶ (준식)=(X-5)(X-6) ⑶ (준식)=(x¤ -2x-5)(x¤ -2x-6)

1

-2 x¤ +6=X로 치환하면 (준식)=(X+3x)(X+9x)+8x¤ (준식)=X¤ +12xX+35x¤ (준식)=(X+5x)(X+7x) (준식)=(x¤ +5x+6)(x¤ +7x+6) (준식)=(x+2)(x+3)(x+1)(x+6) (준식)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+6) (준식)=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) 따라서 a+b+c+d=1+2+3+6=12이다.

1

-3 (x+1)(x+2)(x-2)(x-3)+k =(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)+k =(x¤ -x-2)(x¤ -x-6)+k 이때 x¤ -x=X로 치환하면 (준식)=(X-2)(X-6)+k (준식)=X¤ -8X+12+k (준식)=(X-4)¤ -4+k 이 식이 완전제곱식이 되려면 -4+k=0이어야 한다. ∴ k=4 핵심유형

2

⑴ x¤ =X로 치환하면 ⑴ x› -6x¤ +8=X¤ -6X+8 ⑴ x› -6x¤ +8=(X-2)(X-4) ⑴ x› -6x¤ +8=(x¤ -2)(x¤ -4) ⑴ x› -6x¤ +8=(x¤ -2)(x+2)(x-2) ⑵ x¤ =X, y¤ =Y로 치환하면

⑶ x› +2x¤ y¤ -15y› =X¤ +2XY-15Y¤ ⑶ x› +2x¤ y¤ -15y›=(X+5Y)(X-3Y) ⑶ x› +2x¤ y¤ -15y›=(x¤ +5y¤ )(x¤ -3y¤ )

⑶ 23x¤ -1-x› =25x¤ -1-2x¤ -x› =25x¤ -(1+2x¤ +x› ) =(5x)¤ -(x¤ +1)¤

=(5x+x¤ +1)(5x-x¤ -1) =(x¤ +5x+1)(-x¤ +5x-1) ⑷ x› y› -11x¤ y¤ +1=(x› y› -2x¤ y¤ +1)-9x¤ y¤ ⑷ x› y› -11x¤ y¤ +1=(x¤ y¤ -1)¤ -(3xy)¤

⑷ x› y› -11x¤ y¤ +1=(x¤ y¤ +3xy-1)(x¤ y¤ -3xy-1)

2

-1 x› -6x¤ y¤ +25y› =x› +10x¤ y¤ +25y› -16x¤ y¤

=(x¤ +5y¤ )¤ -(4xy)¤

=(x¤ +5y¤ +4xy)(x¤ +5y¤ -4xy) =(x¤ +4xy+5y¤ )(x¤ -4xy+5y¤ ) ∴ a=16, b=4

2

-2 5x¤ -x› -4=9x¤ -(x› +4x¤ +4) =(3x)¤ -(x¤ +2)¤ =(3x+x¤ +2)(3x-x¤ -2) =-(x¤ +3x+2)(x¤ -3x+2) =-(x+1)(x+2)(x-1)(x-2) 이때 (x-1)(x+1)=x¤ -1, (x-2)(x+2)=x¤ -4 이므로 5x¤ -x› -4의 인수가 아닌 것은 ④ x¤ +1이다.

2

-3 xfl +27=(x¤ )‹ +3‹ =(x¤ +3){(x¤ )¤ -3x¤ +9} 이때 (x¤ )¤ -3x¤ +9={(x¤ )¤ +6x¤ +9}-9x¤ =(x¤ +3)¤ -(3x)¤ =(x¤ +3x+3)(x¤ -3x+3) ∴ xfl +27=(x¤ +3)(x¤ +3x+3)(x¤ -3x+3) 따라서 세 이차식의 합은 (x¤ +3)+(x¤ +3x+3)+(x¤ -3x+3)=3x¤ +9

핵심유형

3

⑴ x는 3차, y는 2차, a는 1차이므로 a에 대하여 정리한다.

⑶ (준식)=(x¤ -xy-2y¤ )a-x‹ +x¤ y+2xy¤ ⑶ (준식)=(x¤ -xy-2y¤ )a-x(x¤ -xy-2y¤ ) ⑶ (준식)=(a-x)(x¤ -xy-2y¤ ) ⑶ (준식)=(a-x)(x+y)(x-2y) ⑵ x, y는 둘 다 2차이므로 한 문자에 대하여 정리한다. ⑶ (준식)=x¤ -(y-3)x-2y¤ -3y+2 ⑶ (준식)=x¤ -(y-3)x-(2y-1)(y+2) ⑶ (준식)={x-(2y-1)}{x+(y+2)} ⑶ (준식)=(x-2y+1)(x+y+2) ⑶ x, y는 3차, z는 2차이므로 z에 대하여 정리한다. ⑶ (준식)=(x-y)z¤ +(x¤ -y¤ )z+x‹ -y‹ ⑶ (준식)=(x-y)z¤ +(x-y)(x+y)z

+(x-y)(x¤ +xy+y¤ )

⑶ (준식)=(x-y){z¤ +(x+y)z+x¤ +xy+y¤ } ⑶ (준식)=(x-y)(x¤ +y¤ +z¤ +xy+yz+zx)

3

-1 ⑴ 3x¤ +xy-3x-4y¤ +10y-6 ⑶=3x¤ +(y-3)x-4y¤ +10y-6 ⑶=3x¤ +(y-3)x-2(2y-3)(y-1) ⑶={3x+2(2y-3)}{x-(y-1)} ⑶=(3x+4y-6)(x-y+1) ⑵ xy(x-y)+zx(z-x)+yz(y-z) ⑶=x¤ y-xy¤ +z¤ x-zx¤ +y¤ z-yz¤ ⑶=(y-z)x¤ -(y¤ -z¤ )x+yz(y-z)

⑶=(y-z){x¤ -(y+z)x+yz}=(y-z)(x-y)(x-z)

3

-2 a에 대하여 내림차순으로 정리하면 (준식)=a¤ +(-2b-1)a+b¤ +b-2 =a¤ +(-2b-1)a+(b+2)(b-1) =(a-b-2)(a-b+1) 이때 a=b+99에서 a-b=99이므로 (준식)=(99-2)(99+1)=9700 [다른 해설]

(준식)=(a¤ -2ab+b¤ )-(a-b)-2 =(a-b)¤ -(a-b)-2 이때 a-b=X라 하면 (준식)=X¤ -X-2=(X+1)(X-2) =(a-b+1)(a-b-2) 그런데 a=b+99에서 a-b=99이므로 (준식)=(99+1)(99-2)=9700

3

-3 ⑴ ab-b¤ +c¤ -ac=0에서 ⑶ a(b-c)-(b¤ -c¤ )=0 ⑶ a(b-c)-(b+c)(b-c)=0 ⑶ (a-b-c)(b-c)=0 ⑶ ∴ a-b-c=0 또는 b-c=0 ⑶그런데 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 ⑶ a<b+c ∴ b-c=0 ⑶즉, b=c인 이등변삼각형이다. 핵심유형

4

⑴ `f(x)=2x‹ -5x¤ -4x+3이라 하면 ⑶`f(-1)=-2-5+4+3=0이므로 ⑶조립제법을 이용하면 ⑴ ⑶ ∴ (준식)=(x+1)(2x¤ -7x+3) ⑶ ∴ (준식)=(x+1)(2x-1)(x-3) ⑵ f(x)=x› -2x‹ -17x¤ +18x+72라 하면 ⑶f(-2)=0이므로 조립제법에 의하여 3 2(2y-3) 1 12211111111⁄ -(y-1) 12211111111⁄ -1 2 2 -5 -2 -7 -4 -7 -3 -3 -3 -0 1 -(2y-1) 1 -(2y+2) 1 -y+3 ¤

15

03.인수분해 ⑶ (준식)=(x+2)(x‹ -4x¤ -9x+36) ⑶여기서 삼차식을 같은 방법으로 인수분해하면 ⑶ (준식)=(x+2)(x-3)(x¤ -x-12) ⑶ (준식)=(x+2)(x-3)(x+3)(x-4) ⑴

4

-1 ⑴ f(x)=x› -10x‹ +35x¤ -50x+24라 하면 ⑶f(1)=0, f(2)=0이므로 ⑴ ⑶ ∴ (준식)=(x-1)(x-2)(x¤ -7x+12) ⑶ ∴ (준식)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ⑵ f(x)=2x› -5x‹ -2x¤ -4x+3이라 하면 ⑶f(3)=0, f {;2!;}=0이므로 ⑴ ⑶ ∴ (준식)=(x-3){x-;2!;} (2x¤ +2x+2) ⑶ ∴ (준식)=(x-3)(2x-1)(x¤ +x+1)

4

-2 f(x)=2x› -7x‹ -5x¤ +28x-12라 하면 f(2)=0, f(-2)=0이므로 ∴ (준식)=(x-2)(x+2)(2x¤ -7x+3) ∴ (준식)=(x-2)(x+2)(2x-1)(x-3)

4

-3 다항식 f(x)가 x-1, x+2로 각각 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 f(1)=0, f(-2)=0 즉, f(1)=1+a+b-1+2=0에서 a+b=-2 yy ㉠ f(-2)=16-8a+4b+2+2=0에서 2a-b=50 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-3 -2 -3 1 1 1 -2 -2 -4 -3 -1 -17 -8 -9 -3 -12 -18 -18 -36 -36 -0 -72 -72 -0 ∴ f(x)=(x-1)(x+2)(x¤ -1) =(x-1)¤ (x+1)(x+2) 1 2 1 1 1 1 -10 -11 1-9 -12 1-7 -35 1-9 -26 -14 -12 -50 -26 -24 -24 -10 -24 -24 -10 3 ;2!; 2 2 2 -5 -6 -1 -1 -2 -2 -3 -1 -1 -2 -4 -3 -1 -1 -0 -3 -3 -0 -2 -2 2 2 2 -7 -4 -3 -4 -7 1-5 1-6 -11 -14 -3 -28 -22 -16 1-6 -10 -12 -12 -0 -1 -2 1 1 1 -1 -1 -2 -2 -0 -3 -2 -1 -0 -1 -1 -1 -2 -2 -0 -2 -2 -0 28~29쪽 ● ● ●_{기출문제로}내신대비하기● ● ● 01 ⑤ 02 ③, ⑤ 03 ② 04 ④ 05 245 06 ① 07 4x+2y-4 08 ① 09 a=b인 이등변삼각형 10 ④ 11 a=-3, b=11, `f(x)=(x-1)¤ (x+2)(x-3) 12 ② 13 ④ 14 25 15 -9

01

-2x› y-2x‹ y¤ +4x¤ y‹ =-2x¤ y(x¤ +xy-2y¤ ) =-2x¤ y(x-y)(x+2y) ④ xy-y¤ =y(x-y)는 인수이다. ⑤ x¤ -2xy=x(x-2y)는 인수가 아니다.

02

① x› +x¤ +1=x› +2x¤ +1-x¤ =(x¤ +1)¤ -x¤ =(x¤ -x+1)(x¤ +x+1) ② x‹ -y‹ +1=x‹ +(-y)‹ +1‹

=(x-y+1){x¤ +(-y)¤ +1¤ +xy-x+y} +3x¥(-y)

② x‹ -y‹ +1=(x-y+1)(x¤ +y¤ +1+xy-x+y)-3xy ②이므로 (좌변)+(우변) ③ x¤ +(2y+3)x+(y¤ +3y+2) =x¤ +(2y+3)x+(y+1)(y+2) =(x+y+1)(x+y+2) ④ x‹ +8=(x+2)(x¤ -2x+4)이므로 (좌변)+(우변) ⑤ (1-x¤ )(1-y¤ )-4xy

=x¤ y¤ -x¤ -y¤ +1-4xy

={(xy)¤ -2xy+1}-(x¤ +2xy+y¤ ) =(xy-1)¤ -(x+y)¤ =(xy+x+y-1)(xy-x-y-1) 따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ③, ⑤이다.

03

2018=a로 치환하면 = =a-1 =2018-1=2017 (a-1)(a¤ +a+1) a¤ +a+1 a‹ -1 a(a+1)+1

09

주어진 등식의 좌변에서 a의 차수는 3, b의 차수는 3, c의 차수 는 2이므로 c에 대하여 정리하면

a‹ -a¤ b+ab¤ +ac¤ -b‹ -bc¤ =(a-b)c¤ +a‹ -a¤ b+ab¤ -b‹ =(a-b)c¤ +a¤ (a-b)+b¤ (a-b) =(a-b)(c¤ +a¤ +b¤ )=0 ∴ a-b=0 또는 a¤ +b¤ +c¤ =0 그런데 a>0, b>0, c>0이므로 a¤ +b¤ +c¤ >0 ∴ a=b 따라서 주어진 삼각형은 a=b인 이등변삼각형이다.

10

f(x)=xfi +x› +x‹ +x¤ +x+1이라 하고 x=-1을 대입하면 f(-1)=-1+1-1+1-1+1=0 위의 조립제법으로부터 f(x)=(x+1)(x› +x¤ +1) 이때 x› +x¤ +1=(x› +2x¤ +1)-x¤ =(x¤ +1)¤ -x¤ =(x¤ +x+1)(x¤ -x+1) ∴ f(x)=(x+1)(x¤ +x+1)(x¤ -x+1) 따라서 f(x)의 인수가 아닌 것은 ④ x‹ -1이다 .

11

f(x)가 (x-1)¤ 을 인수로 가지므로 f(1)=0 즉, f(1)=1-3+a+b-6=0에서 b=8-a이므로 f(x)=x› -3x‹ +ax¤ +(8-a)x-6 위의 조립제법에서 a+3=0이어야 하므로 a=-3, b=11 ∴ f(x)=(x-1)¤ (x¤ -x-6)=(x-1)¤ (x+2)(x-3)

12

f(x)g(x)=M(x)라 하면 M(x)=x› -3x‹ -3x¤ +11x-6 M(1)=1-3-3+11-6=0, M(-2)=16+24-12-22-6=0이므로 M(x)=(x-1)(x+2)(x¤ -4x+3) =(x-1)¤ (x+2)(x-3) 즉, f(x), g(x)는 각각 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 한편 세 식 x-1, x+2, x-3에 x=2를 각각 대입하면

04

주어진 이차식이 x¤ -x-k (k>0)의 꼴이므로 두 양의 정수 a, b에 대하여 (x-a)(x+b)(a>b)의 꼴로 인수분해된다. 이때 (x-a)(x+b)=x¤ -(a-b)x-ab이므로 a-b=1, ab=k yy ㉠ 한편 주어진 식의 k의 값이 1…k…150이므로 1…ab…150 yy ㉡ a=2, b=1이면 ab=2 (성립함) a=3, b=2이면 ab=6 (성립함) ⋮ a=12, b=11이면 ab=132 (성립함) a=13, b=12이면 ab=156 (성립하지 않음) 따라서 ㉠, ㉡을 만족시키는 a, b의 값은 11개이므로 주어진 이 차식이 두 일차식의 곱으로 인수분해되는 것은 11개이다.

05

(준식)=11¤ +(13¤ -12¤ )+(15¤ -14¤ ) +(17¤ -16¤ )+(19¤ -18¤ ) (준식)=11¤ +(13-12)(13+12) (준식)=+(15-14)(15+14)+(17-16)(17+16) (준식)=+(19-18)(19+18) (준식)=11¤ +12+13+14+15+16+17+18+19 (준식)=121+80+(2+3+4+5+6+7+8+9) (준식)=121+80+44=245

06

(x¤ +2x)¤ -2x¤ -4x-3에서 x¤ +2x=X로 치환하면 (준식)=X¤ -2X-3=(X+1)(X-3) =(x¤ +2x+1)(x¤ +2x-3) =(x+1)¤ (x-1)(x+3) =(x-1)(x+1)¤ (x+3) 이므로 a=-1, b=1, c=1, d=3 ∴ ad-bc=(-1)_3-1_1=-4

07

3x¤ +4xy+y¤ -10x-4y+3을 y에 대하여 정리하면 y¤ +(4x-4)y+3x¤ -10x+3 =y¤ +(4x-4)y+(3x-1)(x-3) =(y+3x-1)(y+x-3) 이므로 두 일차식의 합은 (y+3x-1)+(y+x-3)=4x+2y-4

08

2x‹ -3x¤ +(2k+1)x+2가 2(x-a)(x-b)(x-c)로 인수분해된다고 하고 x¤ -x+k가 (x-b)(x-c)로 인수분해된다고 하면 2x‹ -3x¤ +(2k+1)x+2 =2(x-a)(x-b)(x-c) =(2x-2a)(x¤ -x+k) =2x‹ +(-2a-2)x¤ +(2a+2k)x-2ak 이때 계수를 비교하면

-3=-2a-2, 2k+1=2a+2k, 2=-2ak이므로 -3=-2a-2에서 a=;2!; 이것을 2=-2ak에 대입하면 2=-k ∴ k=-2 1 1 -1 1 0 1 -1 -1 -0 1 0 1 -1 -1 -0 -1 -1 -0 1 1 1 1 1 a -2 a-2 -1 a-3 8-a a-2 6 a-3 a+3 -6 -6 -0 -3 -1 -2 -1 -1 1 -2 1 1 1 -3 -1 -2 -2 -4 -3 -2 -5 -8 -3 11 -5 -6 -6 0 -6 -6 -0

17

03.대단원Ⅰ 마무리하기 1, 4, -1이므로 f(2)=-1이 되려면 f(x)=(x-1)(x-3)이어야 한다. ∴g(x)=(x-1)(x+2) ∴g(-1)=(-2)_1=-2

13

f(x)=ax› +cx‹ +bx-a라 하면 x+1이 f(x)의 인수이므로 위의 조립제법에서 -b-c=0 ∴ b=-c

∴ f(x)=(x+1){ax‹ +(c-a)x¤ +(a-c)x-a} 이때 Q(x)=ax‹ +(c-a)x¤ +(a-c)x-a라 하면

Q(1)=a+(c-a)+(a-c)-a=0 ∴ f(x)=(x+1)(x-1)(ax¤ +cx+a) 따라서 a, b, c의 값에 상관없이 f(x)는 x+1, x-1을 인수로 갖는다.

14

(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+a =(x¤ -x-2)(x¤ -x-12)+a yy ❶ x¤ -x=X로 치환하면 (준식)=(X-2)(X-12)+a (준식)=X¤ -14X+24+a yy ❷ 이 식이 완전제곱꼴이 되려면 24+a=49이다. ∴ a=25 yy ❸

15

f(-1)=f(1)=f(2)=3의 각 변에서 3을 빼면 f(-1)-3=f(1)-3=f(2)-3=0 이므로 다항식 f(x)-3은 인수정리에 의하여 x+1, x-1, x-2를 인수로 갖는다. yy ❶ 이때 f(x)는 삼차식이고 삼차항의 계수가 1이므로 f(x)-3은 다음과 같이 인수분해된다. f(x)-3=(x+1)(x-1)(x-2) ∴ f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)+3 yy ❷ 따라서 f(x)를 x+2로 나눈 나머지는 나머지정리에 의하여 f(-2)=(-1)_(-3)_(-4)+3=-9 yy ❸ a a c-a a c a-c c a -a a 0 1 채점 기준 배점 ❶ x¤ -x가 공통 부분이 되도록 묶어서 곱하기 ❷ x¤ -x=X로 치환하여 전개하기 ❸ 완전제곱꼴이 되도록 하는 a의 값 구하기 30 % 30 % 40 % a a -1 c -a c-a 0 a-c a-c b c-a b+c-a -a a-b-c -b-c 30~33쪽 ● ● ● _{대단원 마무리하기}● ● ●

01

두 다항식 A=3x¤ +xy+y¤ , B=x¤ +2y¤ 을 A-2B에 대입 하면

A-2B=(3x¤ +xy+y¤ )-2(x¤ +2y¤ ) =3x¤ +xy+y¤ -2x¤ -4y¤ =x¤ +xy-3y¤

02

한 모서리의 길이가 x-1인 정육면체의 부피 A는 A=(x-1)‹ 이고, 한 모서리의 길이가 x+1인 정육면체의 부 피 B는 B=(x+1)‹ 이므로 A+B=(x-1)‹ +(x+1)‹ =x‹ -3x¤ +3x-1+x‹ +3x¤ +3x+1 =2x‹ +6x

03

이웃하는 세 모서리의 길이를 각각 a, b, c라 하면 모든 모서리 의 길이의 합이 20이므로 4(a+b+c)=20 ∴ a+b+c=5 yy ㉠ 또한 AG”="√a¤ +b¤ +c¤ ='∂13이므로 a¤ +b¤ +c¤ =13 yy ㉡ 이때 직육면체의 겉넓이는 2(ab+bc+ca)이므로 곱셈 공식 (a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)에 ㉠, ㉡을 대입 하면 5¤ =13+2(ab+bc+ca) ∴ 2(ab+bc+ca)=25-13=12 [참고] 가로의 길이, 세로의 길이, 높이가 각 각 a, b, c인 직육면체의 대각선의 길 이를 l이라 하면 l="√a¤ +b¤ +c¤

04

호 BC 위의 점 P에 대하여 PQ”=x, PR”=y라 하면 직사각형 AQPR의 둘레의 길이는 10이므로 2(x+y)=10 x+y=5 yy ㉠ 점 P에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 하고 선분 BC의 중점을 M이라 하면 A Q B _M D R P C H 2 x-2 2-y x y a b c l 01 ① 02 ① 03 ② 04 ② 05 343 06 240 07 135 08 ② 09 10 10 ② 11 ④ 12 ③ 13 256 14 ① 15 ① 16 503 17 ① 18 ④ 19 36 20 ⑤ 21 ② 22 ⑤ 23 20 채점 기준 배점 ❶ 인수정리를 이용하여 f(x)-3의 인수 구하기 ❷ f(x) 구하기 ❸ f(x)를 x+2로 나눈 나머지 구하기 40 % 30 % 30 %

두 식을 연립하여 풀면 x=4, y=3 ∴ x+y=7

09

모든 실수 x에 대하여 주어진 등식 (x+1)› =x› +ax‹ +bx¤ +4x+1 이 성립하므로, x=1을 등식에 대입하면 2› =1+a+b+4+1 ∴ a+b=2› -1-4-1=10 [다른 해설] (x+1)¤ =x¤ +2x+1이므로 (x+1)› ={(x+1)¤ }¤ =(x¤ +2x+1)¤ =(x¤ )¤ +(2x)¤ +1¤ +2(2x‹ +2x+x¤ ) =x› +4x¤ +1+4x‹ +4x+2x¤ =x› +4x‹ +6x¤ +4x+1 =x› +ax‹ +bx¤ +4x+1 ∴ a=4, b=6 ∴ a+b=10

10

조건 ㈎에서 x‹ +3x¤ +4x+2를 이차다항식 f(x)로 나눈 나머 지g(x)는 일차 이하의 다항식이므로 조건 ㈏에서 x‹ +3x¤ +4x+2를 g(x)로 나눈 나머지 f(x)-x¤ -2x는 상 수이다. 이때 f(x)-x¤ -2x=a (a는 상수)라 하면 f(x)=x¤ +2x+a 위의 나눗셈에 의하여 g(x)=(2-a)x+2-a=(2-a)(x+1) 조건 ㈏에서 x‹ +3x¤ +4x+2를g(x)로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 x‹ +3x¤ +4x+2=(2-a)(x+1)Q(x)+a 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면 -1+3-4+2=a ∴ a=0 따라서g(x)=2(x+1)이므로 g(1)=4이다.

11

f(x)=x⁄ ⁄ +5x‡ -3x› +k라 하면 다항식 f(x)를 x-1로 나눈 나머지는 f(1)이므로 f(1)=1+5-3+k=10 ∴ k=7

12

다항식 P(x)를 x-5로 나눈 나머지가 10이고 x+3으로 나눈 나머지가 -6이므로 나머지정리에 의하여 P(5)=10, P(-3)=-6 yy ㉠ 다항식 P(x)를 (x-5)(x+3)으로 나눈 몫을 Q(x), PH”=2-y, MH”=x-2 직각삼각형 PMH에서 피타고라스 정리에 의하여 2¤ =(2-y)¤ +(x-2)¤ x¤ +y¤ -4(x+y)=-4 (x+y)¤ -2xy-4(x+y)=-4 25-2xy-20=-4 2xy=9 _{∴ xy=;2(;} 따라서 직사각형 AQPR의 넓이는 ;2(;이다.

05

x+;[!;=7이므로 x‹ + +3x+;[#;={x+;[!;}3 =7‹ =343

06

AC”=x, CB”=y라 하면 AB”=8이므로 x+y=8 두 정육면체의 부피의 합은 224이므로 x‹ +y‹ =224

이때 (x+y)‹ =x‹ +3x¤ y+3xy¤ +y‹ =(x‹ +y‹ )+3xy(x+y) 이므로 8‹ =224+3xy_8 ∴ xy=12 따라서 두 정육면체의 겉넓이의 합은 6(x¤ +y¤ )이므로

6(x¤ +y¤ )=6{(x+y)¤ -2xy} =6(8¤ -2_12)=240 [다른 해설] AC”=x라 하면 CB”=8-x이므로 두 정육면체의 부피의 합은 x‹ +(8-x)‹ =224 x‹ -x‹ +24x¤ -192x+512=224 24x¤ -192x+288=0 x¤ -8x+12=0, (x-2)(x-6)=0 ∴ x=2 또는 x=6 따라서 두 정육면체의 한 모서리의 길이는 각각 2, 6이므로 두 정육면체의 겉넓이의 합은 6_2¤ +6_6¤ =24+216=240

07

조건 ㈎에서 x, y, 2z 중 적어도 하나가 3이므로 x-3, y-3, 2z-3의 곱은 0이 된다. 즉, (x-3)(y-3)(2z-3)=0 (좌변)=(xy-3x-3y+9)(2z-3) =2xyz-6xz-6yz+18z-3xy+9x+9y-27 =2xyz-3(xy+2yz+2zx)+9(x+y+2z)-27 이때 조건 ㈏에서 3(x+y+2z)=xy+2yz+2zx이므로 (좌변)=2xyz-3{3(x+y+2z)}+9(x+y+2z)-27 =2xyz-27=0 따라서 xyz=;;™2¶;;이므로 10xyz=135이다 .

08

등식 (k+3)x-(3k+4)y+5k=0을 k에 대하여 정리하면 (x-3y+5)k+(3x-4y)=0 이 등식은 k에 대한 항등식이므로 x-3y+5=0, 3x-4y=0 1 x‹ x¤ +2x+a< √‹x+1 x¤ +2x+a< √x‹ +3x¤ +(4√-a4x+2 x¤ +2x+a< √x‹ +2x¤ +(4-aax x¤ +2x+a< √x‹ +2x¤ +(4-a)x+2

x¤ +2x+a< √x‹ +2x¤ +(4-a2x+a

19

03.대단원Ⅰ 마무리하기

[다른 해설]

조건 ㈎에 의하여 P(1)=0, P(5)=0이므로 삼차다항식 P(x)를 P(x)=a(x-1)(x-5)(x-k) `(a, k는 상수, a+0)라 하자. 위 식을 조건 ㈎에 대입하면 a(x-1)(x-3)(x-7)(x-k-2) =a(x-7)(x-1)(x-5)(x-k) 즉, (x-3)(x-k-2)=(x-5)(x-k)이므로 k=3 ∴ P(x)=a(x-1)(x-3)(x-5) 조건 ㈏에 의해 P(x)를 x¤ -4x+2로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 a(x-1)(x-3)(x-5)=(x¤ -4x+2)Q(x)+2x-10 ∴ a(x¤ -4x+3)(x-5)=(x¤ -4x+2)Q(x)+2x-10 yy ㉠ x¤ -4x+2=0의 해를 a라 하면 a¤ -4a+2=0이므로 ㉠에 x=a를 대입하면 a(a-5)=2a-10 ∴ a=2 따라서 P(x)=2(x-1)(x-3)(x-5)이므로 P(4)=2_3_1_(-1)=-6

16

x› -8x¤ +16=(x¤ -4)¤ ={(x+2)(x-2)}¤ =(x+2)¤ (x-2)¤ a>b이므로 a=2, b=-2이다. ∴ = =503

17

P(a)=0, P(b)=0이므로 인수정리에 의하여 P(x)=(x-a)(x-b) =x¤ -(a+b)x+ab =x¤ -4x-6 이때 일차항의 계수를 비교하면 a+b=4 ∴ P(a+b)=P(4)=4¤ -4¥4-6=-6

18

f(x)=2x¤ +5x+2, g(x)=(a-1)x+b에 대하여 f(x)-g(x)가 x+2를 인수로 가지므로 인수정리에 의하여 f(-2)-g(-2)=0 이때 f(-2)=8-10+2=0이므로 g(-2)=0 즉, g(-2)=(a-1)_(-2)+b=0 -2a+b+2=0 ∴ 2a-b-2=0

19

f(x)=x‹ +x¤ -2x, g(x)=2x‹ +(a-2)x¤ +(4-a)x-4라 하면 f(x)=x(x¤ +x-2)=x(x-1)(x+2)이고, g(1)=2+(a-2)+(4-a)-4=0이므로 g(x)=(x-1)(2x¤ +ax+4) 이때 f(x), g(x)를 동시에 나누어떨어지게 하는 이차식이 2012 2-(-2) 2012 a-b 나머지를 R(x)=ax+b(a, b는 상수)라 하면 P(x)=(x-5)(x+3)Q(x)+ax+b yy ㉡ ㉡의 양변에 x=5를 대입하면 P(5)=5a+b=10(∵ ㉠) yy ㉢ ㉡의 양변에 x=-3을 대입하면 P(-3)=-3a+b=-6(∵ ㉠) yy ㉣ ㉢, ㉣을 연립하여 풀면 a=2, b=0 따라서 R(x)=2x이므로 R(1)=2이다.

13

x› 을 x-1로 나눈 몫이 q(x), 나머지가 r¡이므로 x› =(x-1)q(x)+r¡ yy ㉠ q(x)를 x-4로 나눈 나머지가 r™이므로 몫을 q¡(x)라 하면 q(x)=(x-4)q¡(x)+r™ yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 x› =(x-1){(x-4)q¡(x)+r™}+r¡ yy ㉢ ㉢의 양변에 x=4를 대입하면 4› =3_r™+r¡ ∴ r¡+3r™=256 [다른 해설] 위의 조립제법으로부터 r¡=1, r™=85 ∴ r¡+3r™=1+3_85=256

14

f(x)를 (x-2)(x+1)로 나누었을 때 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면 조건 ㈐에 의하여 f(x)=(x-2)(x+1)(ax+b)+ax+b 조건 ㈎, ㈏에 의하여 f(2)=2a+b=7, f(-1)=-a+b=1 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=3 따라서 f(x)=(x-2)(x+1)(2x+3)+2x+3이므로 f(0)=(-2)_1_3+3=-3

15

조건 ㈎에서 (x-1)P(x-2)=(x-7)P(x)이므로 양변에 x=1을 대입하면 P(1)=0 양변에 x=7을 대입하면 P(5)=0 P(x)는 삼차다항식이므로 조건 ㈏에 의해 P(x)=(x¤ -4x+2)(ax+b)+2x-10 (a, b는 상수) 이라 하자. P(1)=0이므로 -a-b-8=0 ∴ a+b=-8 yy ㉠ P(5)=0이므로 35a+7b=0 ∴ 5a+b=0 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-10 따라서 P(x)=(x¤ -4x+2)(2x-10)+2x-10이므로 P(4)=2_(-2)+8-10=-6 0 1 1 20 21 0 1 1 84 85 0 1 1 1 4 1 1 1 0 1 1 4 5 1 2 2 a-2 2 a 4-a a 4 -4 4 0

존재하므로g(0)=0 또는 g(-2)=0이어야 한다. 그런데g(0)=-4+0이므로 g(-2)=0이어야 한다.

g(-2)=-3(8-2a+4)=0 ∴ a=6 ∴ a¤ =36

20

a‹ +c‹ +a¤ c+ac¤ -ab¤ -b¤ c =-(a+c)b¤ +(a‹ +c‹ +a¤ c+ac¤ ) =-(a+c)b¤ +(a+c)a¤ +(c+a)c¤ =(a+c)(a¤ +c¤ -b¤ )=0 ∴ a¤ +c¤ =b¤ (∵ a+c+0) 따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 b가 빗변인 직각삼각 형이다. [다른 해설] 좌변을 다음과 같이 인수분해할 수 있다. a‹ +c‹ +a¤ c+ac¤ -ab¤ -b¤ c

=(a+c)(a¤ -ac+c¤ )+ac(a+c)-b¤ (a+c) =(a+c)(a¤ +c¤ -b¤ )

21

2016=x라 하면 = = =x+1 x=2016을 대입하면 x+1=2016+1=2017

22

입체도형 P, Q, R, S, T의 부피가 각각 p, q, r, s, t이므로 p=a‹ , q=b‹ , r=a¤ , s=b¤ , t=ab(a-b)

p=q+r+s+t이므로

a‹ =b‹ +a¤ +b¤ +ab(a-b) a‹ -b‹ -a¤ -b¤ -ab(a-b)=0

(a-b)(a¤ +ab+b¤ )-(a¤ +b¤ )-ab(a-b)=0 (a-b)(a¤ +b¤ )-(a¤ +b¤ )=0 (a-b-1)(a¤ +b¤ )=0 a¤ +b¤ +0이므로 a-b-1=0 ∴ a-b=1

23

n› +n¤ -2가 (n-1)(n-2)의 배수이므로 n› +n¤ -2는 (n-1)(n-2)로 나누어떨어져야 한다 . n› +n¤ -2=(n-1)(n‹ +n¤ +2n+2) =(n-1){(n-2)(n¤ +3n+8)+18} =(n-1)(n-2)(n¤ +3n+8)+18(n-1) 이므로 n› +n¤ -2이 (n-1)(n-2)의 배수이려면 (x+1)(x¤ -x+1) x¤ -x+1 x‹ +1 x¤ -x+1 2016‹ +1 2016¤ -2016+1 18(n-1)이 (n-1)(n-2)의 배수이어야 한다. 즉, 18(n-1)=(n-1)(n-2)k (단, k는 자연수) 18=(n-2)k 이때 k가 최소일 때 n이 최대이므로 k=1일 때 n-2=18 ∴ n=20 1 1 2 6 8 0 2 2 16 18 -2 2 0 1 2 1 1 1 0 1 1 2 3

01

A¡=9+99+999 A™는 세 수 9, 99, 999에서 서로 다른 2개를 택하여 곱한 수의 총합이므로 A™=9_99+99_999+999_9 A£은 세 수 9, 99, 999에서 서로 다른 3개를 택하여 곱한 수의 총합이므로 A£=9_99_999 한편 (x+9)(x+99)(x+999)를 전개하면 (x+9)(x+99)(x+999) =x‹ +(9+99+999)x¤ =+(9_99+99_999+999_9)x+(9_99_999) =x‹ +A¡x¤ +A™x+A£ 위 식에 x=1을 대입하면 10_100_1000=1+A¡+A™+A£ ∴ A¡+A™+A£=1000000-1=999999 따라서 A¡+A™+A£=999999를 1000으로 나눈 나머지는 999이다. [참고] (x+a)(x+b)(x+c) =x‹ +(a+b+c)x¤ +(ab+bc+ca)x+abc

02

조건 ㈏에 의해 삼차다항식 f(x)를 f(x)=(x-1)¤ (ax+b)+ax+b yy ㉠ 라 하자. 조건 ㈎에서 f(1)=2이므로 ㉠에 x=1을 대입하면 2=a+b ∴ b=2-a yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 f(x)=(x-1)¤ (ax+2-a)+ax+2-a =(x-1)¤ {a(x-1)+2}+a(x-1)+2 f(x)=a(x-1)‹ +2(x-1)¤ +a(x-1)+2 즉, f(x)를 (x-1)‹ 으로 나눈 나머지는 R(x)=2(x-1)¤ +a(x-1)+2 이때 R(0)=R(3)이므로 2-a+2=8+2a+2 ∴ a=-2 따라서 R(x)=2(x-1)¤ -2(x-1)+2이므로 R(5)=2(5-1)¤ -2(5-1)+2=26 34쪽 ● ● ●1등급 만들기● ● ● 01 999 02 26

21

04.복소수

방정식과 부등식

04. 복소수

36~37쪽

Ⅱ

● ● ● _개념확인● ● ● 01 실수 : -2, 2+'3 허수 : 3-2i, 5i 02 ⑴ 2-3i ⑵ 3+'2i ⑶ 3 ⑷ i 03 ⑴ x=2, y=2 ⑵ x=2, y=-1

04 ⑴ 5-4i ⑵ -1-2i ⑶ 3-11i ⑷ ;1ª0;-;1¶0; i 05 ⑴ -i ⑵ i ⑶ -i ⑷ 0 06 ⑴ 3'2i ⑵ (3-2'3)i 07 ⑴ 4i ⑵ -4 ⑶ -2i ⑷ 2

01

a+bi (`a, b는 실수)의 꼴에서 b=0이면 실수, b+0이면 허수이 므로 -2, 2+'3은 실수이고 3-2i, 5i는 허수이다.

02

⑴ 2+”3i”=2-3i ⑵ √3-'≈2Ωi =3+'2i ⑶ 3Æ=3 ⑷ -ÚiÆ=i

03

⑴ x+(y-1)i=2+i에서 x, y-1이 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x=2, y-1=1 ∴ x=2, y=2

⑵ (2x+3y)+(x+y)i=1+i에서 2x+3y, x+y가 실수이 므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 2x+3y=1, x+y=1 두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-1

04

⑴ (2-3i)+(3-i)=2+3-(3+1)i=5-4i ⑵ (2-3i)-(3-i)=(2-3)+(-3+1)i=-1-2i ⑶ (2-3i)(3-i)=6-2i-9i-3=3-11i ⑷ = = _{=;1ª0;-;1¶0; i}

05

⑴ i⁄ ⁄ =i4_2+3_=-i

⑵ (-i)‡ =-i‡ =-i4_1+3=i ⑶ -ifi =-i4_1+1_=-i

⑷ 1+i+i¤ +i‹ =1+i+(-1)+(-i)=0

06

⑴ '∂-2+'∂-8='2i+'8i ⑴ '∂-2+'∂-8='2i+2'2i=3'2i ⑵ '∂-3+'∂-9-'ß-27 ⑴='3i+'9i-'2å7i ⑴='3i+3i-3'3i=(3-2'3)i 9-7i 9+1 (2-3i)(3+i) (3-i)(3+i) 2-3i 3-i 핵심유형

1

z가 실수가 되려면 허수부분이 0이어야 하므로 x¤ -1=0, (x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=1 즉, a=-1, b=1 또는 a=1, b=-1 z가 순허수가 되려면 실수부분이 0이어야 하므로 x¤ +2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 그런데 x=1이면 허수부분도 0이 되어 z=0으로 실수가 되므로 순허수가 되려면 x=-3이어야 한다. ∴ c=-3 ∴ a+b+c=1+(-1)+(-3)=-3

1

-1 z=(x+1)(x-2)+(x+1)(x-1)i가 순허수가 되려면 실수부분이 0이어야 하므로 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 그런데 x=-1이면 허수부분도 0이 되어 z=0으로 실수가 되므로 순허수가 되려면 x=2이어야 한다.

1

-2 (1+2i)x+(1-i)y=5-2i에서 (x+y)+(2x-y)i=5-2i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x+y=5, 2x-y=-2 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=4

1

-3 z=åz이므로 z는 실수이다. 38~39쪽 ● ● ●_{핵심유형으로}개념정복하기● ● ●

07

⑴ '2_'∂-8='2_'8i='1å6i=4i ⑵ '∂-2_'∂-8='2i'8i='1å6i¤ =-4 ⑶ = = ¥ _{='4¥(-i)=-2i} ⑷ = ='8_='4=2 '2 '8i '2i '∂-8 '∂-2 1 i '8 '2 '8 '2i '8 '∂-2 핵심유형 1 -3 1-12 1-2② 1-3-3, 0 핵심유형 2 ① 2-1⑴ 4+4i ⑵ 0 ⑶ -i ⑷ -1 2-2x=6, y=8 2-35 핵심유형 3 ⑴ 9+2i ⑵ 1 3-1② 3-21 3-33 핵심유형 4 ①

4-1⑴ -6i ⑵ -1 ⑶ -'3i ⑷ '3-'3i

즉, z=(x-1)+(x¤ +x-2)i에서 허수부분이 0이어야 하므로 x¤ +x-2=0, (x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1 따라서 구하는 복소수 z는 x=-2일 때 z=-3, x=1일 때 z=0이다.

핵심유형

2

z=a+bi (`a, b는 실수)라 하면 åz=a-bi이므로

3z+2åz=10-i에서 3(a+bi)+2(a-bi)=10-i 5a+bi=10-i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 5a=10, b=-1 ∴ a=2, b=-1 따라서 구하는 복소수 z는 2-i이다 .

2

-1 ⑴ (2+'3i)(2-'3i)+(1+2i)¤ =(4+3)+(-3+4i)=4+4i ⑵ + = = =0 ⑶ + + + + ⑵= + + + + = = =-i ⑷ [{ }¤]¤ ={ }¤ ={ }¤ = = =-1

2

-2 + =(2-i)(i+3)에서 =2i+6+1-3i =7-i (x+y)+(x-y)i=14-2i ∴ x+y=14, x-y=-2 두 식을 연립하여 풀면 x=6, y=8

2

-3 z=a+bi(`a, b는 실수)이므로 ∂z-zi=3-i에서 ƒa+bi-(a+bi)i=3-i ƒa+b+(b-a)i=3-i (a+b)-(b-a)i=3-i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a+b=3, b-a=1 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=2 ∴ a¤ +b¤ =5 핵심유형

3

⑴ x+1=-i의 양변을 제곱하여 정리하면 ⑵ x¤ +2x+1=-1 ∴ x¤ +2x=-2 ⑵ ∴ (준식)=x(x¤ +2x)+7=x_(-2)+7 =-2x+7=-2(-1-i)+7 =9+2i (x+y)+(x-y)i 2 (1+i)x+(1-i)y (1-i)(1+i) y 1+i x 1-i 1 -1 1 i¤ 1 i 2 2i '2 1+i i i ¤ 1 i 1 i 1 1 1 -i 1 -1 1 i 1 ifi 1 i› 1 i‹ 1 i¤ 1 i -2i+2i 2 (1-i)¤ +(1+i)¤ (1+i)(1-i) 1+i 1-i 1-i 1+i ⑵ 2x=1-'3i에서 2x-1=-'3i ⑵양변을 제곱하여 정리하면 ⑵ 4x¤ -4x+1=-3 ∴ x¤ -x+1=0 ⑵ ∴ (준식)=(x¤ -x+1)+1=0+1=1

3

-1 aÆ=-2-i, bÆ=1+2i이므로 aÆa+aÆb+abÆ+bbÆ =(a+b)aÆ+(a+b)bÆ =(a+b)(aÆ+bÆ) =(-2+i+1-2i)(-2-i+1+2i) =(-1-i)(-1+i) =(-1)¤ -i ¤ =2

3

-2 x=1-2i에서 x-1=-2i 양변을 제곱하여 정리하면 x¤ -2x+1=-4, x¤ -2x+5=0 ∴ x‹ -2x¤ +5x+1=x(x¤ -2x+5)+1 =x¥0+1=1

3

-3 = = a= 라 하면 2a-1=-i 양변을 제곱하여 정리하면

4a¤ -4a+1=-1, 4a¤ -4a+2=0 ∴ 2a¤ -2a+1=0

∴ f(a)=2a‹ -4a¤ +3a+2

∴ f(a)=a(2a¤ -2a+1)-2a¤ +2a+2 ∴ f(a)=a(2a¤ -2a+1)-(2a¤ -2a+1)+3 ∴ f(a)=3 (∵ 2a¤ -2a+1=0)

핵심유형

4

a<0에서 -a>0이므로

= =i

= = ¥ = =-i

4

-1 ⑴ '∂-2'∂-3'∂-6='2i'3i'6i='2'3'6i‹ ='ƒ2¥3¥6¥(-i)=-6i ⑵ '∂-2Æ-˚;2!;='2iÆ;2!; i='2Æ;2!; i¤ =-1 ⑶ 2'∂-3-'ƒ-27=2'3i-'∂27i =(2'3-3'3)i=-'3i ⑷ = _='3+ ⑷ ='3-'3i

4

-2 '∂x-2 =-æ≠x-2_x-3이므로 '∂x-3 '3 i '9i+3 '3i '∂-9+3 '∂-3 1 i 1 i 'ß-a 'ß-a 'ß-a 'ß-ai 'ß-a 'a 'ß-ai 'ß-a 'a 'ß-a 1-i 2 1-i 2 1-i (1+i)(1-i) 1 1+i