Ⅱ-4. 여러 가지 부등식
1. ⑴ x>6 ⑵ 1<x<4
⑶ -2<x<3 ⑷ x<2
⑴ ⑵
⑶ ⑷
p.142
1
p.143~147 유제 & 문제
1
유제 01 ⑴ x<1 ⑵ 2<x<5 ⑴ 3x-1<5를 풀면
3x<6 / x<2 yy ㉠ 5x-4<3x-2를 풀면
2x<2 / x<1 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 x<1 ⑵ 2x+7>5x-8을 풀면
-3x>-15 / x<5 yy ㉠ x+5<3x+1을 풀면
-2x<-4 / x>2 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 2<x<5
문제 01-1 ⑴ x>-5 ⑵ 7<x<9 ⑴ 5x-6{x-3}>3{1-x}-1을 풀면 -x+18>-3x+2, 2x>-16
/ x>-8 yy ㉠
0.2x<0.3x+1 2 을 풀면
2x<3x+5, -x<5 / x>-5 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 x>-5 ⑵ x+2
3 - x-3
4 >2를 풀면 4{x+2}-3{x-3}>24
x+17>24 / x>7 yy ㉠
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3x-2
5 <5를 풀면
3x-2<25, 3x<27 / x<9 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 7<x<9
문제 01-2 12 2-x
5 <x-2를 풀면
2-x<5x-10, -6x<-12 / x>2 yy ㉠ x-1<x+7
3 을 풀면
3x-3<x+7, 2x<10 / x<5 yy ㉡ 주어진 연립부등식의 해는 ㉠, ㉡
의 공통부분이므로 2<x<5 따라서 주어진 연립부등식을 만족
하는 정수 x는 3, 4, 5이므로 그 합은 3+4+5=12
유제 02 ⑴ 해는 없다. ⑵ x=-1 ⑶ 해는 없다. ⑷ 해는 없다.
⑴ 4x-1>x-7을 풀면
3x>-6 / x>-2 yy ㉠ 3x+4<-5를 풀면
3x<-9 / x<-3 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 연립부등식의 해는 없다.
⑵ 5x-1>6x를 풀면
-x>1 / x<-1 yy ㉠ 13x+1>2x-10을 풀면
11x>-11 / x>-1 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 x=-1
⑶ x-3<4x+3을 풀면
-3x<6 / x>-2 yy ㉠ 6x+7<x-3을 풀면
5x<-10 / x<-2 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 연립부등식의 해는 없다.
⑷ 8x+3<6x+1을 풀면
2x<-2 / x<-1 yy ㉠ 2x-5>1-x를 풀면
3x>6 / x>2 yy ㉡
따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의 공통부분이므로 연립부등식의
해는 없다.
문제 02-1 ⑴ 해는 없다. ⑵ x=1
⑴ 2{x+1}>5x-7을 풀면
-3x>-9 / x<3 yy ㉠ 0.7x+1>3.1을 풀면
7x+10>31, 7x>21 / x>3 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 연립부등식의 해는 없다.
⑵ x+3
2 >2x를 풀면
x+3>4x, -3x>-3 / x<1 yy ㉠ 0.3x+0.2> 1 2 을 풀면
3x+2>5, 3x>3 / x>1 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 x=1
유제 03 ⑴ -1<x<3 ⑵ 1<x<2 ⑴ 주어진 부등식은 --5<4{x-1}+3
4{x-1}+3<11 로 나타낼 수 있다.
-5<4{x-1}+3을 풀면
-4x<4 / x>-1 yy ㉠ 4{x-1}+3<11을 풀면
4x<12 / x<3 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 -1<x<3
다른 풀이
-5<4{x-1}+3<11의 각 변에서 3을 빼면 -8<4{x-1}<8
각 변을 4로 나누면 -2<x-1<2 각 변에 1을 더하면 -1<x<3
⑵ 주어진 부등식은 -2{x-4}+x<-x
-x<x-2 로 나타낼 수 있다.
2{x-4}+x<-x를 풀면
4x<8 / x<2 yy ㉠
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개 념 편
-x<x-2를 풀면
-2x<-2 / x>1 yy ㉡ 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡의
공통부분이므로 1<x<2
문제 03-1 5
주어진 부등식은 ( -9
-2x+3 2 <x
2+3 x
2+3<-x+9
로 나타낼 수 있다.
-2x+3
2 < x 2+3을 풀면
-2x+3<x+6, -3x<3 / x>-1 yy ㉠ 2X+3<-x+9를 풀면
x+6<-2x+18, 3x<12 / x<4 yy ㉡ 주어진 부등식의 해는 ㉠, ㉡의 공
통부분이므로 -1<x<4
따라서 주어진 부등식을 만족하는
정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3이므로 그 합은 -1+0+1+2+3=5
유제 04 7
5x+a>x-11을 풀면
4x>-a-11 / x>-a-11 4 -2{2+x}>x+a를 풀면 -3x>a+4 / x<-a+4
3 연립부등식의 해가 b<x<1이므로
-a-11
4 =b, -a+4 3 =1 / a=-7, b=-1 / ab=7
문제 04-1 6 3x-4<x+a
2 를 풀면
6x-8<x+a, 5x<a+8 / x<a+8 5 4x+b>3-2x를 풀면
6x>3-b / x>3-b 6
연립부등식의 해가 -1<x<1이므로 a+8
5 =1, 3-b 6 =-1
/ a=-3, b=9 / a+b=6
문제 04-2 a>2 x+1>2x+a
3 를 풀면
3x+3>2x+a / x>a-3 yy ㉠ 5x-2<3x-4를 풀면
2x<-2 / x<-1 yy ㉡ 연립부등식의 해가 존재하지 않으
려면 ㉠, ㉡의 공통부분이 없어야 하므로
a-3>-1 / a>2
유제 05 10 이상 20 이하
사과의 개수를 x라 하면 감의 개수는 30-x이므로 39000<1200x+1500{30-x}<42000
39000<45000-300x<42000 -6000<-300x<-3000 / 10<x<20
따라서 살 수 있는 사과의 개수는 10 이상 20 이하이다.
문제 05-1 -2
주어진 조건을 식으로 세우면 -x-2<-3
4x>3{x-1}
x-2<-3을 풀면 x<-1 yy ㉠ 4x>3{x-1}을 풀면 x>-3 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분은 -3<x<-1 따라서 정수 x의 값은 -2이다.
문제 05-2 7<x<12
사다리꼴의 넓이가 30 이상 40 미만이므로 30<1
2{x+8}\4<40 15<x+8<20 / 7<x<12
문제 05-3 30분 이상 45분 이하
서로 반대 방향으로 걷고 있으므로 둘 사이의 거리는 진 형이와 준영이가 각각 이동한 거리의 합과 같다.
출발한 지 x시간이 지났다고 하면 4<3x+5x<6
4<8x<6 / 1
2<x< 3 4 이때 1
2=30 60, 3
4=45
60이므로 구하는 시간은 30분 이상 45분 이하이다.
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1. ⑴ -3<x<3 ⑵ x<-3 또는 x>3 2. ⑴ -3<x<7 ⑵ x<-3 또는 x>7
⑴ 절댓값 기호 안의 식 x-2가 0이 되는 x의 값 x=2를 기준으로 구간을 나누어 풀면
! x<2일 때, |x-2|=-{x-2}이므로 -{x-2}<5 / x>-3
그런데 x<2이므로 -3<x<2 yy ㉠ @ x>2일 때, |x-2|=x-2이므로
x-2<5 / x<7
그런데 x>2이므로 2<x<7 yy ㉡ 구하는 해는 ㉠, ㉡을 합한 범위이므로 -3<x<7 ⑵ 절댓값 기호 안의 식 x-2가 0이 되는 x의 값 x=2를
기준으로 구간을 나누어 풀면
! x<2일 때, |x-2|=-{x-2}이므로
-{x-2}>5 / x<-3 yy ㉠ @ x>2일 때, |x-2|=x-2이므로
x-2>5 / x>7 yy ㉡ 구하는 해는 ㉠, ㉡을 합한 범위이므로
x<-3 또는 x>7
p.148
2
p.149~150 유제 & 문제
2
유제 06 ⑴ x>7
5 또는 x<1
유제 08 ⑵ -3 2<x<-1 2 또는 2<x<3
⑴ |6-5x|>1을 풀면 6-5x<-1 또는 6-5x>1 -5x<-7 또는 -5x>-5
/ x>7
5 또는 x<1
⑵ 5<|4x-3|<9를 연립부등식 꼴로 나타내면 -|4x-3|>5
|4x-3|<9 |4x-3|>5를 풀면 4x-3<-5 또는 4x-3>5 4x<-2 또는 4x>8
/ x<-2! 또는 x>2 yy ㉠ |4x-3|<9를 풀면
-9<4x-3<9, -6<4x<12
/ -2#<x<3 yy ㉡
구하는 해는 ㉠, ㉡ 의 공통부분이므로 -2#<x<-2!
또는 2<x<3
문제 06-1 9
|2x-k|<1을 풀면
-1<2x-k<1 / k-1 2 <x<
k+1 2 x의 최댓값은 k+1
2 , 최솟값은 k-1 2 이므로 k+1
2 K k-1
2 =20, k@=81 / k=9`{? k>0}
유제 07 ⑴ x<1 ⑵ -4<x<5
⑴ 절댓값 기호 안의 식 2x+3이 0이 되는 x의 값 x=-2#을 기준으로 구간을 나누어 풀면 ! x<-2#일 때
|2x+3|=-{2x+3}이므로
3x+2<-{2x+3}, 5x<-5 / x<-1 그런데 x<-2#이므로 x<-2# yy ㉠ @ x>-2#일 때
|2x+3|=2x+3이므로 3x+2<2x+3 / x<1
그런데 x>-2#이므로 -2#<x<1 yy ㉡ 구하는 해는 ㉠, ㉡을 합한 범위이므로 x<1
⑵ 절댓값 기호 안의 식 x+2, x-3이 0이 되는 x의 값 x=-2, x=3을 기준으로 구간을 나누어 풀면 ! x<-2일 때
|x+2|=-{x+2}, |x-3|=-{x-3}이므로 -{x+2}-{x-3}<9, -2x<8 / x>-4 그런데 x<-2이므로 -4<x<-2 yy ㉠ @ -2<x<3일 때
|x+2|=x+2, |x-3|=-{x-3}이므로 {x+2}-{x-3}<9, 0 K x<4 SG 해는 모든 실수 그런데 -2<x<3이므로 -2<x<3 yy ㉡ # x>3일 때
|x+2|=x+2, |x-3|=x-3이므로 {x+2}+{x-3}<9, 2x<10 / x<5 그런데 x>3이므로 3<x<5 yy ㉢ 구하는 해는 ㉠, ㉡, ㉢을 합한 범위이므로
-4<x<5
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개 념 편
문제 07-1 16
x=7, x=9를 기준으로 구간을 나누어 풀면
! x<7일 때
|7-x|=7-x, |x-9|=-{x-9}이므로 {7-x}-{x-9}<20, -2x<4 / x>-2 그런데 x<7이므로 -2<x<7 yy ㉠
@ 7<x<9일 때
|7-x|=-{7-x}, |x-9|=-{x-9}이므로 -{7-x}-{x-9}<20
0 K x<18 해는 모든 실수
그런데 7<x<9이므로 7<x<9 yy ㉡
# x>9일 때
|7-x|=-{7-x}, |x-9|=x-9이므로 -{7-x}+{x-9}<20, 2x<36 / x<18 그런데 x>9이므로 9<x<18 yy ㉢ 주어진 부등식의 해는 ㉠, ㉡, ㉢을 합한 범위이므로 -2<x<18
따라서 정수 x의 최댓값은 M=17, 최솟값은 m=-1이 므로 M+m=16
1 3{x-2}>-15를 풀면
3x>-9 / x>-3 yy ㉠ 4-x
2 <4-x를 풀면
4-x<8-2x / x<4 yy ㉡ 연립부등식의 해는 ㉠, ㉡의 공통부분이므로 -3<x<4 따라서 a=-3, b=4이므로 ab=-12
2 3{2x-3}>4x-3을 풀면
2x>6 / x>3 yy ㉠ 0.2x+0.7<0.1x+1을 풀면
2x+7<x+10 / x<3 yy ㉡ 구하는 해는 ㉠, ㉡의 공통부분이므로 x=3
3 -6<-x+4를 풀면 x<10 yy ㉠ -x+4<-2X+1을 풀면
2x-8>x-2 / x>6 yy ㉡
기본 연습문제 p.151~152
1 -12 2 ④ 3 30 4 5 5 3 6 ③ 7 12 km 8 ④ 9 3@
주어진 부등식의 해는 ㉠, ㉡의 공통부분이므로 6<x<10
따라서 주어진 부등식을 만족하는 자연수 x는 6, 7, 8, 9 이므로 그 합은 6+7+8+9=30
4 x+a>2x-3을 풀면 x<a+3
2x+4>2b를 풀면 2x>2b-4 / x>b-2 연립부등식의 해가 1<x<5이므로
a+3=5, b-2=1
/ a=2, b=3 / a+b=5
5 어떤 자연수를 x로 놓고 주어진 두 조건을 연립부등식으 로 나타내면
-5{x-1}>5 x-4<4-x
5{x-1}>5를 풀면 5x>10 / x>2 yy ㉠ x-4<4-x를 풀면 2x<8 / x<4 yy ㉡ 연립부등식의 해는 ㉠, ㉡의 공통부분이므로 2<x<4 따라서 주어진 두 조건을 모두 만족하는 자연수는 3이다.
6 5 %의 소금물 x g을 섞는다고 하면 {200+x} K 10
100 <200 K 20 100+x K 5
100<{200+x} K 15 100 2000+10x<4000+5x<3000+15x
2000+10x<4000+5x를 풀면
5x<2000 / x<400 yy ㉠ 4000+5x<3000+15x를 풀면
-10x<-1000 / x>100 yy ㉡ 부등식의 해는 ㉠, ㉡의 공통부분이므로
100<x<400
따라서 5 %의 소금물을 100 g 초과 400 g 이하만큼 섞어 야 한다.
7 올라간 거리를 x km라 하면 10
3< x 2+x
3<5, 20<5x<30 / 4<x<6 따라서 걸을 수 있는 총 거리는 최대 12 km이다.
8 |x-1|<2를 풀면
-2<x-1<2 / -1<x<3 yy ㉠ |2x+1|<5를 풀면
-5<2x+1<5, -6<2x<4
/ -3<x<2 yy ㉡
주어진 연립부등식의 해는 ㉠, ㉡의 공통부분이므로 -1<x<2
따라서 정수 x는 -1, 0, 1, 2의 4개이다.
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9 21{x-1}@3+|x+1|<6에서 2|x-1|+|x+1|<6
x=-1, x=1을 기준으로 구간을 나누어 풀면
! x<-1일 때
|x-1|=-{x-1}, |x+1|=-{x+1}이므로 -2{x-1}-{x+1}<6
-3x<5 / x>-3%
그런데 x<-1이므로 -3%<x<-1 yy ㉠
@ -1<x<1일 때
|x-1|=-{x-1}, |x+1|=x+1이므로 -2{x-1}+{x+1}<6
-x<3 / x>-3
그런데 -1<x<1이므로 -1<x<1 yy ㉡
# x>1일 때
|x-1|=x-1, |x+1|=x+1이므로 2{x-1}+{x+1}<6
3x<7 / x<3&
그런데 x>1이므로 1<x<3& yy ㉢ 주어진 부등식의 해는 ㉠, ㉡, ㉢을 합한 범위이므로 -3%<x<3&
따라서 실수 x의 최댓값은 3&, 최솟값은 -3%이므로 그 합은 3&+[-3%]=3@
1 -1 2⑤ 3 ④ 4 1
p.153 실전 연습문제
1 x+3<3a를 풀면
x<3a-3 yy ㉠
-3x+1<2x+16을 풀면
-5x<15 / x>-3 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분이 존재하지 않 아야 하므로
3a-3<-3 / a<0
따라서 정수 a의 최댓값은 -1이다.
2 x+2>a를 풀면
x>a-2 yy ㉠
7-x>2{x-1}을 풀면
-3x>-9 / x<3 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분에 속하는 정수가 3개이어야 하므로 0<a-2<1
/ 2<a<3
3 의자의 개수를 x라 하자.
한 의자에 7명씩 앉으면 학생이 5명 남으므로 학생 수는 {7x+5}명
한 의자에 8명씩 앉으면 의자가 5개 남으므로 {x-6}개 의 의자에는 8명씩 앉아 있고 한 의자에 1명에서 8명까지 의 학생이 앉아 있을 수 있다.
8{x-6}+1<7x+5<8{x-6}+8
8{x-6}+1<7x+5를 풀면 x<52 yy ㉠ 7x+5<8{x-6}+8을 풀면 x>45 yy ㉡ 부등식의 해는 ㉠, ㉡의 공통부분이므로 45<x<52 이때 학생 수는 {7x+5}명이므로
315<7x<364 / 320<7x+5<369 따라서 학생 수는 320명 이상 369명 이하이다.
4 |ax+1|<b의 해가 존재하므로 b>0
|ax+1|<b를 풀면
-b<ax+1<b / -b-1<ax<b-1 주어진 부등식의 해가 -1<x<5이므로 a=0이다.
따라서 a>0, a<0인 경우로 나누어 해를 구하면
! a>0일 때
주어진 부등식을 풀면 -b-1
a <x<b-1 a 부등식의 해가 -1<x<5이므로
-b-1
a =-1 / a-b=1 yy ㉠ b-1
a =5 / 5a-b=-1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2!, b=-2#
그런데 a>0, b>0이어야 하므로 조건에 맞지 않는다.
@ a<0일 때
주어진 부등식을 풀면 b-1
a <x<-b-1 a 부등식의 해가 -1<x<5이므로
b-1
a =-1 / a+b=1 yy ㉢ -b-1
a =5 / 5a+b=-1 yy ㉣ ㉢, ㉣을 연립하여 풀면 a=-2!, b=2#
이때 a<0, b>0이므로 조건을 만족한다.
!, @에 의해 a+b=-2!+2#=1
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개 념 편
02 이차부등식과 연립이차부등식
p.155
1
1. ⑴ -1<x<2 ⑵ -1<x<2
⑶ x<-1 또는 x>2 ⑷ x<-1 또는 x>2 2. ⑴ 해는 없다. ⑵ x=2
⑶ x=2인 모든 실수 ⑷ 해는 모든 실수 3. ⑴ 해는 없다. ⑵ 해는 없다.
⑶ 해는 모든 실수 ⑷ 해는 모든 실수
p.156~159 유제 & 문제
1
유제 01 ⑴ x<3 또는 x>4 ⑵ -1<x<7 ⑶ 해는 모든 실수 ⑷ x=3
2 ⑸ 해는 모든 실수 ⑹ 해는 없다.
⑴ 이차방정식 x@-7x+12=0의 판별식을 D라 하면 D={-7}@-4 K 12>0
x@-7x+12>0의 좌변을 인수 분해하면 {x-3}{x-4}>0 / x<3 또는 x>4
⑵ 부등식의 양변에 -1을 곱하면
x@-6x-7<0 yy ㉠
이차방정식 x@-6x-7=0의 판별식을 D라 하면 D
4={-3}@-{-7}>0 ㉠의 좌변을 인수분해하면 {x+1}{x-7}<0 / -1<x<7
⑶ 이차방정식 x@+8x+16=0의 판별식을 D라 하면 D
4 =4@-16=0
x@+8x+16>0의 좌변을 완전 제곱 꼴로 나타내면 {x+4}@>0
따라서 주어진 부등식의 해는 모든 실수이다.
⑷ 이차방정식 4x@-12x+9=0의 판별식을 D라 하면 D
4 ={-6}@-4 K 9=0
4x@-12x+9<0의 좌변을 완전 제곱 꼴로 나타내면
{2x-3}@<0
따라서 주어진 부등식의 해는 x=2#
⑸ 이차방정식 x@+4x+6=0의 판별식을 D라 하면 D
4 =2@-6<0
x@+4x+6>0의 좌변을 변형하 면 {x+2}@+2>0
따라서 주어진 부등식의 해는 모든 실수이다.
⑹ -2x@+8x-9>0의 양변에 -1을 곱하면
2x@-8x+9<0 yy ㉠
이차방정식 2x@-8x+9=0의 판별식을 D라 하면 D
4 ={-4}@-2 K 9<0 ㉠의 좌변을 변형하면 2{x-2}@+1<0
따라서 주어진 부등식의 해는 없다.
문제 01-1 3
이차방정식 x@-4x+2=0의 판별 식을 D라 하면
4D={-2}@-2>0
x@-4x+2<0의 좌변을 인수분해하면 9x-{2-j2}09x-{2+j2}0<0 / 2-j2<x<2+j2
따라서 정수 x는 1, 2, 3의 3개이다.
문제 01-2 해는 없다.
주어진 부등식을 정리하면 a@x@-2ax+1<0 yy ㉠ 이차방정식 a@x@-2ax+1=0의 판별식을 D라 하면 4D=a@-a@=0
㉠의 좌변을 완전제곱 꼴로 나타내면 {ax-1}@<0
따라서 주어진 부등식의 해는 없다.
유제 02 ⑴ x<-3 또는 x>5 ⑵ 0<x<2
⑴ x=1을 기준으로 구간을 나누어 풀면
! x<1일 때, |x-1|=-{x-1}이므로 x@-2x-3>-3{x-1}, x@+x-6>0 {x+3}{x-2}>0 / x<-3 또는 x>2 그런데 x<1이므로 x<-3 yy ㉠
@ x>1일 때, |x-1|=x-1이므로 x@-2x-3>3{x-1}, x@-5x>0 x{x-5}>0 / x<0 또는 x>5 그런데 x>1이므로 x>5 yy ㉡ 구하는 해는 ㉠, ㉡을 합한 범위이므로
x<-3 또는 x>5
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