굿비 고등 수학(하)_해설

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고등 수학



(하)

1

등급을 향한

수능 입문서

G O O D B E G I N G O O D B A S I C

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서브노트

정답 및 해설

해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지1

(2)

집합과 명제

01. 집합과 원소

10~11쪽

01

① 0≤N ③ '2≤Q ④ -6<Z ⑤ 0.3<Q

02

-6…2x<8에서 -3…x<4 x는 정수이므로 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ∴ {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

03

⑴ A={2, 3, 5, 7} ⇨ 유한집합 ⑵ B={1, 3, 5, 7, y} ⇨ 무한집합 ⑷ x¤ +1=0을 만족하는 실수 x는 존재하지 않으므로 D=0 공집합은 유한집합이다.

04

⑤ {3}은 A의 원소이므로 {3}<A

05

A=B이고 B={2, 3, 5, 7}이므로 A={2, 3, 5, 7} ∴ a=7

06

A의 원소의 개수가 4개이므로 ⑴ a를 포함하는 부분집합의 개수는 24-1 =23 =8(개) ⑵ a, b를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 24-2 =22 =4(개)

● ● ●개념확인● ● ● 01 ② 02 {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 03 ⑴ 유한집합 ⑵ 무한집합 ⑶ 유한집합 ⑷ 유한집합 04 ⑤ 05 7 06 ⑴ 8개 ⑵ 4개 핵심유형

1

② 6, 8, 10, y ④ 1, 2, 4, 5, 10, 20 ⑤ 인천, 대구, 부산, 광주, 대전, 울산 ‘아름답다’, ‘잘한다’는 기준이 분명하지 않으므로 ①, ③은 집합이 아니다.

1

-1 ④‘키가 큰 학생의 모임’은 집합이 아니지만‘키가 가장 큰 학생의 모임’은 대상이 분명하므로 집합이다.

1

-2‘가깝다’, ‘높다’는 그 범위가 명확하지 않으므로 ③, ⑤는 집합이 아니다.

1

-3 A={1, 2, 4, 8}이므로

1<A, 2<A, 4<A, 8<A

핵심유형

2

ㄱ. 무한집합 ㄷ. {102, 104, 106, y} ⇨ 무한집합 ㄹ. {11, 13, 17, 19, 23, 29} ⇨ 유한집합 따라서 유한집합인 것은 ㄴ, ㄹ이다.

2

-1 ① 원소가 1개 있으므로 공집합이 아니다. ② {1} ③ 집합이 아니다. ⑤ 1<x<2인 유리수 x는 무수히 많다.

2

-2 ②0 ⇨ 유한집합 ③ {100, 101, y, 999} ⇨ 유한집합 ④ {1, 2, 3, y, 10° -1} ⇨ 유한집합

2

-3 집합 A는 보다 작은 자연수의 집합이므로 A={1, 2, 3, y, ( -1)} 이때 n(A)=5이므로 A={1, 2, 3, 4, 5}=6 핵심유형

3

A={0, 1, 2, 3, 4}, B={0, 1, 2, 4} ∴ B,A

3

-1 ① 정수가 유리수에 포함되므로 B,A 12~13쪽 ● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 ①, ③ 1-1④, ⑤ 1-2③, ⑤ 1-3④ 핵심유형 2 ㄴ, ㄹ 2-12-2①, ⑤ 2-36 핵심유형 3 B,A 3-1①, ③ 3-22 3-3⑤ 핵심유형4 8개 4-1⑴ 8개 ⑵ 8개 ⑶ 16개 ⑷ 24개 4-232개 4-34개

정답

해설

T H I N K M O R E A B O U T Y O U R F U T U R E 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지2

(3)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c ③ 4의 배수가 2의 배수에 포함되므로 B,A ④ A=0, B={1, 2}이므로 A,B ⑤ A={1, 3, 5}, B={1, 2, 3, 4, 5}이므로 A,B

3

-2 A,B이므로 1은 B의 원소이다. ⁄ a+1=1인 경우, a=0이므로 A={0, 1}, B={2, 1, -3} ∴ A¯B

¤ a¤ -3=1인 경우, a¤ =4 ⇨ a=—2

a=2이면 A={1, 2}, B={2, 3, 1} ∴ A,B a=-2이면 A={1, -2}, B={2, -1, 1} ∴ A¯B ⁄, ¤에 의해 a=2

3

-3 ⑤ {3}은 A의 원소가 아니다. 핵심유형

4

n(A)=6인 집합 A의 부분집합 중 1, 2는 포함하고, 5는 포함하지 않는 집합의 개수는 26-2-1 =23 =8(개)

4

-1 ⑴ 25-2 =23 =8(개) ⑵ 25-2 =23 =8(개) ⑶ 25-1 =24 =16(개) ⑷ 짝수를 포함하지 않은 부분집합의 개수는 집합 {1, 3, 5} 의 부분집합의 개수와 같으므로 2‹ =8(개)이다. 전체 부분집합의 개수가 2fi =32(개)이므로 적어도 한 개 의 짝수를 원소로 갖는 부분집합의 개수는 32-8=24(개)

4

-2 A={1, 2, 3, y, 9, 10}에서 n(A)=10 집합 A의 부분집합 중 3, 6, 9는 포함하고 5, 10은 포함하 지 않는 집합의 개수는 210-3-2 =25 =32(개)

4

-3 {1, 3, 5},X,{1, 3, 5, 7, 9}이므로 집합 X의 개수는 B의 부분집합 중 1, 3, 5를 포함한 부분집합의 개수와 같 다. 따라서 구하는 집합 X의 개수는 25-3 =2¤ =4(개) 14~15쪽 ● ● ● 기출문제로내신대비하기● ● ● 01 ③, ⑤ 02 ③ 03 {-2, -1, 0, 1, 2} 04 ②, ③ 05 ⑤ 06 ④ 07 5 08 ④ 09 10개 10 ② 11 ⑤ 12 ①, ④ 13 ④ 14 10 15 15개

01

안경을 쓴 학생, 우리나라 중학생은 그 대상이 분명하므로 ③, ⑤는 집합이다.

02

A={8, 12, 16}

① 2≤A ④ 16<A ⑤ 20≤A

03

-1+(-1)=-2, 0+0=0, 1+1=2 -1+0=-1, 0+1=1 ∴ S={-2, -1, 0, 1, 2}

04

① {x|x는 짝수}는 무한집합이다. ② 3x=9를 만족하는 짝수 x는 존재하지 않으므로 공집합이다. ③ A={1, 3, 5, 15}이므로 n(A)=4 ④ {1000, 1001, y, 9999}:유한집합 ⑤ {x|x는 8보다 작은 짝수}={2, 4, 6}

05

A={-1, 0, 1}, B={-1, 1}, C={-1, 1}이므로 B=C,A

06

A,B이고 B,A이면 A=B

① A={1}, B=0 ② A={1, 2, 3, 6}, B={1, 2, 4, 8} ③ A={3, 6, 9, y}, B={0, 3, 6, 9, y} ④ A={2, 3}, B={2, 3} ⑤ A={1, 7, 49}, B={1, 49}

07

A=B이고, 2가 B의 원소이므로 2는 A의 원소도 된다. ∴ a=2 a=2이므로 A={1, 2, 3, 6}, B={1, b, 2, 6} ∴ b=3 ∴ a+b=2+3=5

08

④ {0, 1}은 A의 원소이므로 {0, 1}<A

09

{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5} 로 10개이다.

10

A={1, 2, 3, y, 9, 10}에서 n(A)=10 집합 A의 부분집합 중 1, 2, 3은 포함하고 4, 5는 포함하지 않 는 집합의 개수는 210-3-2 =25 =32(개)

11

집합 A의 모든 원소는 자연수이므로 xæ1, 12-xæ1 ∴ 1…x…11

a=1이면 11<A, a=2이면 10<A

a=3이면19<A, a=4이면 18<A a=5이면17<A, a=6이면 16<A

따라서 집합 A는 1과 11, 2와 10, 3과 9, 4와 8, 5와 7, 6을 원 소로 갖는다. 이때 조건 ㈎에서 3과 9는 반드시 포함해야 하므로 구하는 집합 A의 개수는 2fi =32(개)

(4)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c

12

① A,C, B,C일 때, A, B의 포함 관계는 알 수 없다. ④ 원소의 개수가 같다고, 집합이 같은 것은 아니다.

13

집합 P는 집합 A의 부분집합을 원소로 가지므로 n(P)=2‹ =8(개) [참고] P={0, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

14

A△B={3, 4, 5, 6, 7} yy ❶ A◎B={2, 4, 6, 8, 12} yy ❷ ∴ n(A△B)+n(A◎B)=5+5=10 yy ❸

15

A={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}에 대하여 X는 A의 진부분집합이고, {x|3…x…9인 소수}={3, 5, 7},X yy ❶ 따라서 집합 X는 A의 진부분집합 중에서 원소 3, 5, 7을 포함 하는 집합이므로 개수는 2› -1=15(개) yy ❷

02. 집합의 연산

16~17쪽

01

⑻ AÇ ={3, 6, 8, 9, 10} BÇ ={1, 4, 7, 10} 이므로 AÇ ;BÇ ={10} ⑼ A={1, 2, 4, 5, 7} BÇ ={1, 4, 7, 10} 이므로 A;BÇ ={1, 4, 7}

02

A-B=0이면 A,B이므로 항상 성립하는 것은 ④ A;B=A이다.

03

(A-B)Ç ;A=(A;BÇ )Ç `;A =(AÇ 'B);A =(AÇ ;A)'(A;B) =0'(A;B) =A;B

04

⑴ (A'B);(A'C) =A'(B;C) ={3, 4, 6, 7}'{4, 9} ={3, 4, 6, 7, 9} ⑵ AÇ ;BÇ =(A'B)Ç ={3, 4, 6, 7, 9}Ç ={1, 2, 5, 8} ⑶ (AÇ 'BÇ );(A'BÇ ) =(AÇ ;A)'BÇ =0'BÇ =BÇ ={1, 2, 3, 5, 6, 8} ⑷ (A'C);(AÇ 'CÇ ) =(A'C);(A;C)Ç =(A'C)-(A;C) ={3, 4, 6, 7, 8, 9}-{4} ={3, 6, 7, 8, 9}

05

⑴ n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =10+15-20=5 ⑵ n(A-B)=n(A)-n(A;B) =10-5=5 ⑶ n(B;AÇ )=n(B-A) =n(B)-n(A;B) =15-5=10 ⑹ n(AÇ 'BÇ )=n((A;B)Ç ) =n(U)-n(A;B) =25-5=20 ● ● ●개념확인● ● ● 01 ⑴ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⑵ {2, 5} 04⑶ {1, 4, 7} ⑷ {3, 6, 8, 9} 04⑸ {3, 6, 8, 9, 10} ⑹ {1, 4, 7, 10} 04⑺ {1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ⑻ {10} ⑼ {1, 4, 7} 02 ④

03 ㈎ AÇ 'B ㈏ A;B ㈐ 0 ㈑ A;B 04 ⑴ {3, 4, 6, 7, 9} ⑵ {1, 2, 5, 8} 04⑶ {1, 2, 3, 5, 6, 8} ⑷ {3, 6, 7, 8, 9} 05 ⑴ 5 ⑵ 5 ⑶ 10 ⑷ 10 ⑸ 5 ⑹ 20 드모르간의 법칙 분배법칙 } } 채점 기준 배점 ❶ A△B의 원소 구하기 ❷ A◎B의 원소 구하기 ❸ n(A△B)+n(A◎B)의 값 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ {3, 5, 7},X임을 알기 ❷ 집합 X의 개수 구하기 40 % 60 % 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지4

(5)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 즉, X는 B의 부분집합 중에서 원소 3을 포함하는 집합이므 로 개수는 2› =16(개)이다.

2

-2 (A'B);X=X이면 X,(A'B) (A;B)'X=X이면 (A;B),X 이므로 (A;B),X,(A'B) 즉, X는 A'B의 부분집합 중에서 원소 3, 4를 포함하는 집합이다. A'B={1, 2, 3, 4, 5, 6}이므로 집합 X의 개수는 2› =16(개)이다.

2

-3 Z={3, 4, 5, 6, 7}이고, B'C=C에서 B,C 집합 C는 Z의 부분집합 중에서 B의 원소 3, 4, 5를 포함 하는 집합이므로 2¤ =4(개)이다. 핵심유형

3

{(A-B);B}'B=A'B (A;BÇ ;B)'B=A'B 0'B=A'B B=A'B ∴ A,B

3

-1 {(A;B)'(A-B)}'B=B {(A;B)'(A;BÇ )}'B=B {A;(B'BÇ )}'B=B (A;U)'B=B A'B=B ∴ A,B

3

-2 {(A'B);(A;BÇ )};BÇ =0 {(A'B);A;BÇ };BÇ =0 (A;BÇ );BÇ =0 A;BÇ =0 ∴ A,B 따라서 옳은 것은 ① A;B=A이다.

3

-3 ㄱ. AÇ ;B=0이면 B-A=0이므로 B,A

ㄴ. AÇ 'BÇ =BÇ 이면 (A;B)Ç =BÇ 이므로 A;B=B ∴ B,A ㄷ. ㄱ에서 B-A=0이고 (B-A)Ç =0Ç =U ㄹ. 집합 B가 집합 A의 진부분집합인 경우 A-B+0이 므로 A-B=0가 항상 성립하지는 않는다. 따라서 항상 성립하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 핵심유형

4

n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=10이므로 n(A'B)=50-10=40 ∴ n(AÇ ;B)=n(B-A) =n(A'B)-n(A) =40-30=10 핵심유형

1

∴ A;B={3, 4}

1

-1 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A={1, 2, 4, 8}, B={2, 3, 5, 7} ① A-B={1, 4, 8} ∴ n(A-B)=3 ② AÇ ={3, 5, 6, 7, 9} ③ A;B={2} ∴ n(A;B)=1 ⑤ BÇ ={1, 4, 6, 8, 9}

1

-2 A;B={2, 6}이므로 a+4=6 ∴ a=2 ∴ B={-1, 2, 6, 8} ∴ A'B={-1, 2, 4, 6, 8}

1

-3 U={1, 2, 3, y, 10}이므로 A;B={6, 8} 따라서 A;B의 원소의 합은 14이다. 핵심유형

2

A;X=X이면 X,A B'X=X이면 B,X 이므로 B,X,A 즉 X는 A의 부분집합 중에서 원소 1, 2, 4를 포함하는 집 합이므로 개수는 2‹ =8(개)이다.

2

-1 (A;B)'X=X이면 (A;B),X B;X=X이면 X,B 이므로 (A;B),X,B U A B 2 4 5 3 7 10 1 9 U A B 1 2 5 3 4 18~19쪽 ● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 {3, 4} 1-11-2{-1, 2, 4, 6, 8} 1-3③ 핵심유형 2 8개 2-116개 2-216개 2-3③ 핵심유형 3 A,B 3-13-23-3ㄱ, ㄴ, ㄷ 핵심유형 4 10 4-127 4-215 4-316 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지5

(6)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c

4

-1 n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=5이므로 n(A'B)=40-5=35 ∴ n(B)=n(A'B)-n(A-B)=35-8=27

4

-2 n(A)=22, n(B-A)=13이므로 n(A'B)=n(A)+n(B-A) =22+13=35 ∴ n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç ) =50-35=15

4

-3 n(B;C)=0이므로 n(A;B;C)=0 ∴ n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C) -n(A;B)-n(B;C)-n(C;A) +n(A;B;C) =10+8+5-4-0-3+0 =16

05

U-(A-B)-(AÇ ;BÇ )=B ∴ B={1, 6, 8}

06

n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =50+72-91 =31 ∴ n(A-B)=n(A)-n(A;B) =50-31 =19

07

A;B=0, A;C=0이므로 ∴ n(A)=n(U)-n(B'C)-n((A'B'C)Ç ) =30-17-8 =5

08

④ AÇ 'BÇ =(A;B)Ç =U-(A;B)

09

③ {(A;B)Ç 'B}Ç =(AÇ 'BÇ 'B)Ç =(AÇ 'U)Ç =UÇ =0 ⑤ {(A;B)'(A-B)}'B =A'B

10

AÇ 'X=X이므로 AÇ ,X (A'B);X=X이므로 X,(A'B) ∴ AÇ ,X,(A'B) HjK {2, 4},X,{1, 2, 3, 4, 5} 따라서 집합 X의 개수는 U의 부분집합 중 원소 2, 4를 포함하 는 부분집합의 개수로 2‹ =8(개)이다.

11

A™;A£=A§, A™;A•=A•이므로 A˚,(A§;A•) ∴ A˚,A™¢ 따라서 k의 최솟값은 24이다. U A B C U A A-B AÇ B ' Ç B 20~21쪽 ● ● ●기출문제로내신대비하기● ● ● 01 ③ 02 ③ 03 ① 04 ③ 05 {1, 6, 8} 06 ② 07 ① 08 ④ 09 ③, ⑤ 10 8개 11 24 12 ② 13 17 14 23명 15 U

01

U={1, 2, 3, y, 10} A={1, 2, 4, 8}, B={2, 4, 6, 8}, C={2, 3, 5, 7} CÇ ={1, 4, 6, 8, 9, 10} ∴ A;B;CÇ ={4, 8} ∴ n(A;B;CÇ )=2

02

AÇ ;B=B-A

03

② ③ ④ ⑤

04

A,B이면 A;B=A ∴ (A;B)Ç =AÇ U A B C U A B C U A B C U A B C 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지6

(7)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c

12

⁄ k가 최대인 경우 야구를 좋아하는 학생이 모두 축구도 좋아하는 경우로 이때 의 k의 값은 20이다. ¤ k가 최소인 경우는 축구 또는 야구를 좋아하는 학생이 40명인 경우로 이때의 k 의 값은 20+26-40=6 따라서 a=20, b=6이므로 a+b=20+6=26

13

A△B=(A-B)'(B-A) ={1, 2, 3}'{5, 6} ={1, 2, 3, 5, 6} (A△B)△C={(A△B)-C}'{C-(A△B)} ={1, 3, 6}'{7} ={1, 3, 6, 7} 따라서 원소의 합은 17이다.

14

수학을 선택한 학생의 집합을 A, 영어를 선택한 학생의 집합을 B라 하면 n(U)=60, n(A)=45, n(B)=38 n((A'B)Ç )=7 이므로 n(A'B)=60-7=53 yy ❶ ∴ n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =45+38-53 =30 yy ❷ ∴ n(A-B)+n(B-A) =(45-30)+(38-30) =15+8=23 따라서 두 과목 중 한 과목만 선택한 학생 수는 23명이다. yy ❸

15

(A;B)'(A;BÇ ) =A;(B'BÇ ) =A;U=A yy ❶ (AÇ 'B);(AÇ 'BÇ ) =AÇ '(B;BÇ ) =AÇ '0=AÇ yy ❷ 따라서 주어진 식은 A'AÇ =U yy ❸ 채점 기준 배점 ❶ 한 과목 이상 선택한 학생 수 구하기 ❷ 두 과목 모두 선택한 학생 수 구하기 ❸ 한 과목만 선택한 학생 수 구하기 30 % 30 % 40 % 채점 기준 배점 ❶ (A;B)'(A;BÇ ) 간단히 하기 ❷ (AÇ 'B);(AÇ 'BÇ ) 간단히 하기 ❸ 주어진 식 간단히 하기 40 % 40 % 20 %

03. 명제와 조건`/`역과 대우

22~23쪽

01

⑶ x=-3이면 x+3=-3+3=0이므로 참이다. 참, 거짓을 판별할 수 있으므로 명제이다. ⑷ a¤ +1=0인 실수 a는 존재하지 않으므로 거짓이다. 참, 거짓을 판별할 수 있으므로 명제이다.

02

p, q의 진리집합을 P, Q라 하면 ⑴ ~p의 진리집합:PÇ ={x|xæ1} ⑵ ~q의 진리집합:QÇ ={x|x…0 또는 xæ3} ⑶ ~(p 또는 q)의 진리집합 (P'Q)Ç ={x|xæ3} ⑷ ~(p 그리고 q)의 진리집합 (P;Q)Ç ={x|x…0 또는 xæ1}

03

⑴ x=1이면 2x-1=2_1-1=1이므로 참이다. ⑵ x¤ +x=0 ⇨ x(x+1)=0에서 x=-1이어도 성립하므로 거짓이다. ⑶ x=0인 경우 x>-1이지만 x>1은 아니므로 거짓이다. ⑷ 마름모는 평행사변형이라 할 수 있으므로 참이다.

04

⑴ x=0인 경우 x¤ =0이다. 따라서 모든 실수 x에 대하여 성립 하지 않으므로 거짓이다. ⑵ x=0일 때 x¤ =0이다. 따라서 식을 만족하는 x의 값이 존재 하므로 참이다.

05

⑴ 명제‘x=0 또는 y=0이면 xy=0이다.’가 참이므로 대우도 참이다. ⑵ 명제‘x>2이면 x>4이다.’가 거짓이므로 대우도 거짓이다.

06

⑴ 명제‘12의 양의 약수가 아니면 4의 양의 약수가 아니다.’대우는‘4의 양의 약수이면 12의 양의 약수이다.’ ● ● ●개념확인● ● ● 01 ⑴ × ⑵ × ⑶02 ⑴ {x|xæ1} ⑵ {x|x…0 또는 xæ3} 02⑶ {x|xæ3} ⑷ {x|x…0 또는 xæ1} 03 ⑴ 가정:x=1, 결론:2x-1=1, 참 02⑵ 가정:x¤ +x=0, 결론:x=0, 거짓 02⑶ 가정:x>-1, 결론:x>1, 거짓 02⑷ 가정:마름모이다., 결론:평행사변형이다., 참 04 ⑴ 거짓 ⑵ 참 05 ⑴ 역:xy=0이면 x=0 또는 y=0이다. (참) 대우:xy+0이면 x+0이고 y+0이다. (참) 05⑵ 역:x>4이면 x>2이다. (참) 대우:x…4이면 x…2이다. (거짓) 06 풀이 참조 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지7

(8)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 4의 양의 약수 1, 2, 4가 모두 12의 양의 약수이므로 대우가 참이다. 따라서 주어진 명제도 참이다. ⑵ 명제‘xy+-1이면 x+-1 또는 y+1이다.’의 대우는 ‘x=-1이고 y=1이면 xy=-1이다.’ x=-1이고 y=1이면 xy=-1¥1=-1이므로 대우는 참 이다. 따라서 주어진 명제도 참이다. 핵심유형

1

① -2<x<3이면 -3<x<3이므로 참이다. ② x=0인 경우 x¤ <1이므로 거짓이다. ③ x=0이면 x¤ =0이므로 참이다. ④ x¤ <1이면 -1<x<1이므로 참이다. ⑤ 2, 6, 10, y은 2의 배수이지만 4의 배수가 아니므로 거 짓이다.

1

-1 ⑴ x‹ -x=0에서 x(x+1)(x-1)=0 ∴ x=0 또는 x=-1 또는 x=1 x¤ =1에서 x=-1또는 x=1 따라서x=0이면x‹ -x=0이지만x¤ +1이므로거짓이다. ⑵ A={1, 2}, B={2, 3}, C={2, 4}인 경우 A;B={2},C이지만 A¯C이므로 거짓이다.

⑶ xy>0이면 x>0, y>0 또는 x<0, y<0

x>0, y>0일 때 |x+y|=|x|+|y| x<0, y<0일 때 |x+y|=|x|+|y| 따라서 명제는 참이다. ⑷ x=1-'2, y=1+'2인 경우 x+y=(1-'2)+(1+'2)=2 xy=(1-'2)(1+'2)=-1

로 x+y, xy가 정수이지만 x, y는 정수가 아니므로 거 짓이다. 24~25쪽 ● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 ②, ⑤ 1-1⑴ 거짓, 반례:x=0 ⑵ 거짓, 반례:A={1, 2}, B={2, 3}, C={2, 4} ⑶ 참 ⑷ 거짓, 반례:x=1-'2, y=1+'2 1-21-3⑤ 핵심유형 2 ④ 2-12-22-3⑤ 핵심유형 3 ⑤ 3-13-23-30 핵심유형 4 ③ 4-1풀이 참조 4-24-3

1

-2 ① 모든 x에 대하여 x¤ <5이다. ② x¤ >5를 만족하는 x가 존재하지 않는다. ③ x=2인 경우 |2+1|=3이다. ④ x=0, y=1인 경우 x¤ +y¤ =1이다. ⑤ x=0, y=0인 경우만 x¤ +y¤ =0이다.

1

-3 ① xy=0이면 x=0또는 y=0 x¤ +y¤ =0이면 x=0, y=0 따라서 p2⁄q는 거짓이다. ② x=2는 소수이지만 x¤ =4로 짝수이므로 p2⁄q는 거짓이다. ③ x=-1이면 x¤ =1이지만 x+1이므로 p2⁄q는 거짓이다. ④ x=-1이면 |x|=1이지만 x+1이므로 p2⁄q는 거짓이다. ⑤ x=y이면 x‹ =y‹ 이므로 p2⁄q는 참이다. 핵심유형

2

‘~p 또는 q’를 만족하는 집합은 PÇ 'Q P={2, 3, 4}이므로 PÇ ={1, 5, 6} Q={4, 5} ∴ PÇ 'Q={1, 4, 5, 6}

2

-1 q2⁄`p가 참이므로 Q,P

2

-2 명제가 참이므로 {x|a-1…x…a+1},{x|-2<x…3} ∴ a-1>-2, a+1…3⇨ a>-1, a…2⇨ -1<a…2

2

-3 |x-a|<1에서 a-1<x<a+1 {x|0<x<1},{x|a-1<x<a+1}이어야 하므로 a-1…0, a+1æ1 ∴ 0…a…1 핵심유형

3

p2⁄~q가 참이므로 대우 q 2⁄~p도 반드시 참이다.

3

-1 역과 대우가 모두 참이면 명제와 역이 모두 참이다. 명제가 참인 것은 ㄱ, ㄷ이고 각각의 역을 살펴보면 ㄱ의 역:x¤ +xy+y¤ =0이면 x=y=0 (참) ㄷ의 역:xy=0이면 x¤ +y¤ =0 (거짓) 이므로 역과 대우가 모두 참인 명제는 ㄱ뿐이다.

3

-2 P-Q=R를 벤다이어그램으로 나타 내면 오른쪽 그림과 같다. 즉, R,P, R,QÇ 이므로 r2⁄p, r 2⁄~q는 항상 참이다. P R Q 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지8

(9)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c

3

-3 명제가 참이므로 대우도 참이다. 즉‘x-2=0이면 x¤ -2x+a=0이다.’가 참이므로 x=2를 x¤ -2x+a=0에 대입하면 2¤ -2¥2+a=0 ∴ a=0 핵심유형

4

p2⁄~q, ~r 2⁄q, ~s 2⁄~r가 참이므로 대우인 q2⁄~p, ~q 2⁄r, r 2⁄s도 참이다. 또한 p2⁄~q, ~q 2⁄r, r 2⁄s가 참이므로 p2⁄s도 참이고, 그 대우인 ~s 2⁄~p도 참이다.

4

-1 명제‘x+y>0이면 x, y 중 적어도 하나는 양수이다.’의 대우는 ‘실수 x, y에 대하여 x, y 둘 다 양수가 아니면 x+y…0이다.’ 즉, ‘x…0, y…0이면 x+y…0이다.’이므로 참이다. 따라서 주어진 명제도 참이다.

4

-2 P'Q=P이므로 Q,P ∴ q2⁄p는 참이다. Q;R=R이므로 R,Q ∴ r2⁄q는 참이다. ② r2⁄q, q 2⁄p가 참이므로 r 2⁄p도 참이다. ④ r2⁄q가 참이므로 그 대우인 ~q 2⁄~r도 참이다.

4

-3 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면 p2⁄q, ~r 2⁄~q가 참이므로 q 2⁄r도 참이다. 즉 P,Q, Q,R ∴ P,Q,R ① QÇ ,PÇ ⇨ P,Q (참) ② P,R (참) ③ (P'Q),R ⇨ Q,R (참) ④ (P;R),Q ⇨ P,Q (참) ⑤ (Q;R),P ⇨ Q,P (거짓) 따라서 참이라고 할 수 없는 것은 ⑤이다. R Q P 26~27쪽 ● ● ● 기출문제로내신대비하기● ● ● 01 ④ 02 ③ 03 ⑴ 1…x…3 또는 x>7 ⑵ △ABC는 이등변삼각형도 직각삼각형도 아니다. ⑶ 어떤 사람은 착한 생각을 하지 않는다. 04 ④ 05 ⑤ 06 역:직사각형이면 대각선의 길이가 같다. (참) 대우:직사각형이 아니면 대각선의 길이가 같지 않다. (거짓) 07 ⑤ 08 -3 09 ③ 10 ③ 11 ⑤ 12 ㈎ 홀수, ㈏ 홀수, ㈐ 홀수 13 ④ 14 3개 15 풀이 참조

01

ㄷ. x¤ -2x-3=0은 x의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하므로 명제가 아니다.

02

① 반례:x=-2 ② 반례:x=2 ④ 반례:x=0, y=2 ⑤ 반례:x, y가 모두 홀수

03

⑴ 조건에 해당하는 x의 범위를 수직선에 나타내면 ⑴ ⑴조건의 부정은 1…x…3 또는 x>7이다.

04

‘어떤 x에 대하여 p이다.’가 참이므로 조건 p의 진리집합은 공집 합이 아닌 U의 부분집합이다. 따라서 진리집합이 될 수 있는 집합의 개수는 2› -1=15(개)이다.

05

집합의 포함 관계에 의해 r2⁄p, r 2⁄~q ~p2⁄~r, q 2⁄~r 는 참인 명제이다.

06

대각선의 길이가 같아도 직사각형이 아닌 사각형이 있으므로 명 제는 거짓이다. 따라서 대우도 거짓이다.

07

xy는 유리수이지만, x, y는 유리수가 아닌 경우가 반례로 적당 하다.

08

x¤ -x-6…0에서 (x-3)(x+2)…0 ∴ -2…x…3 x+a…0에서 x…-a 명제가 참이 되려면 -aæ3 ∴ a…-3 따라서 a의 최댓값은 -3이다.

09

p2⁄~q의 역이 참이므로 ~q 2⁄p가 참이고, 대우 ~p2⁄q도 참이다.

10

p2⁄q, ~p 2⁄q, ~p 2⁄r가 참이므로 P,Q, PÇÇ ,Q, PÇ ,R 이때 P, PÇ 이 모두 Q의 부분집합이므로 Q는 전체집합이다. ㄱ. Q-RÇ =R ㄴ. P-R+0 ㄷ. Q-P=PÇ ,R ㄹ. R,Q

11

p2⁄q가 참이므로 그 대우인 ~q 2⁄~p도 참이다. ~p2⁄r가 참이므로 그 대우인 ~r 2⁄p도 참이다. 1 3 7 x 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지9

(10)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c ① ~r2⁄p, p 2⁄q가 참이므로 ~r 2⁄q도 참이다. ② ~s2⁄~r가 참이므로 그 대우인 r 2⁄s도 참이다. ③ ~s2⁄~r, ~r 2⁄p가 참이므로 ~s 2⁄p도 참이다. ④ ~q2⁄~p, ~p 2⁄r, r 2⁄s가 참이므로 ~q 2⁄s도 참 이다.

13

p:축구를 좋아한다. q:배구를 좋아한다. r:야구를 좋아한다. 라고 하면 ~p2⁄q, p 2⁄~r 가 참이므로 ~q2⁄p, r 2⁄~p, ~q 2⁄~r, r 2⁄q도 참이다. 보기의 명제를 p, q, r로 나타내면 다음과 같다. ① q2⁄p ② q 2⁄~p ③ r 2⁄p ④ r2⁄q ⑤ ~r 2⁄~q 따라서 참인 명제는 ④이다.

14

명제가 참이 되려면 P={x|a+2…x<2a+5}, Q={x|-5<x…6} 에서 P,Q이어야 한다. yy ❶ 따라서 a+2>-5, 2a+5…6이어야 하므로 a>-7, a…;2!; 이때 a>-3이므로 -3<a…;2!; yy ❷ 따라서 정수 a는 -2, -1, 0으로 3개이다. yy ❸

15

주어진 명제의 대우

‘x, y가 정수일 때, x, y가 모두 홀수이면 xy가 홀수이다.’

가 참임을 증명하면 된다. yy ❶ x=2k+1, y=2l+1 (k, l은 0 또는 자연수) 로 놓으면 xy=(2k+1)(2l+1)=4kl+2k+2l+1 =2(2kl+k+l)+1 따라서 xy도 홀수이므로 대우가 참이다. yy ❷ 따라서 주어진 명제도 참이다. yy ❸ a+2 2a+5 6 x -5 Q P

04. 충분조건과 필요조건`/`절대부등식

28~29쪽

01

⑴ x¤ =4이면 x=2 또는 x=-2이므로 pjjK q, q jj/jK p 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑵ x¤ =y¤ 이면 x=y 또는 x=-y이므로

pjj/jK q, q jjK p

따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.

⑶ xy>0이면 x>0, y>0 또는 x<0, y<0이므로

pjjK q, q jj/jK p 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑷ A-B=0이면 A,B이므로 pjjK q, q jj/jK p 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.

02

⑴ p는 r이기 위한 필요충분조건이면 pHjK r, 즉 P=R (×) ⑵ ~p는 ~r이기 위한 충분조건이면 ~pjjK ~r, 즉 PÇ ,RÇ HjK R,P ( ) ⑶ q는 p이기 위한 충분조건이면 qjjK p, 즉 Q,P (×) ⑷ ~q는 ~p이기 위한 필요충분조건이면 ~qHjK ~p, 즉 QÇ =PÇ HjK P=Q (×)

03

ㄱ. x>-2인 경우만 부등식이 성립한다. ㄴ. x=-1인 경우 부등식이 성립하지 않는다. ㅁ. x‹ -x¤ <x‹ 에서 -x¤ <0, x¤ >0 x=0인 경우 부등식이 성립하지 않는다.

04

등호는 |ab|=ab, 즉 abæ0일 때 성립한다. ● ● ●개념확인● ● ● 01 ⑴ S ⑵ N ⑶ S ⑷ S 02 ⑴ × ⑵ ⑶ × ⑷ × 03 ㄷ, ㄹ, ㅂ 04 ㈎ |ab|-ab, ㈏ abæ0 채점 기준 배점 ❶ P,Q임을 알기 ❷ a의 값의 범위 구하기 ❸ 정수 a의 개수 구하기 30 % 50 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 명제의 대우 구하기 ❷ 대우가 참임을 보이기 ❸ 명제가 참임을 말하기 30 % 50 % 20 % 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지10

(11)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c

핵심유형

1

① a¤ +b¤ =0이면 a=b=0이고,

ab=0이면 a=0 또는 b=0이므로

pjjK q, q jj/jK p

따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ② a¤ =b¤ 이면 a=b 또는 a=-b이므로

pjjK q, q jj/jK p

따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ③ a+b>0, ab>0이면 a>0, b>0이므로

pjjK q, q jjK p

따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.

④ 2a¤ -18=0이면 a¤ =9, 즉 a=3 또는 a=-3이므로

pjjK q, q jj/jK p 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑤ ∠A=60˘이어도 △ABC가 정삼각형이 되는 것은 아니 므로 pjj/jK q, q jjK p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.

1

-1 ⑴ 네 변의 길이가 모두 같으면 평행사변형이라 할 수 있지 만 평행사변형이라 하여 네 변의 길이가 같지는 않는다. 따라서 네 변의 길이가 모두 같은 사각형은 평행사변형이 기 위한 충분조건이다. ⑵ x¤ +y¤ …0이면 x=0, y=0 |x|+|y|…0이면 x=0, y=0 따라서 x¤ +y¤ …0은 |x|+|y|…0이기 위한 필요충분 조건이다.

⑶ A,(B;C)이면 A,C이지만 A,C이어도

A¯¯(B;C)일 수 있다. 따라서 A,(B;C)는 A,C이기 위한 충분조건이다. ⑷ |x-y|=|x|+|y|이면 xy…0 따라서 |x-y|=|x|+|y|는 xy<0이기 위한 필요조 건이다.

1

-2 x…-2는 x…a이기 위한 필요조건이므로 명제‘x…a이면 x…-2이다.’가 참이다. ∴ a…-2 30~31쪽 ● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 ⑤ 1-1⑴ 충분조건 ⑵ 필요충분조건 ⑶ 충분조건 ⑷ 필요조건 1-20 1-34 1-41-5ㄱ, ㄷ, ㄹ 1-6③ 핵심유형 2 ㈎ ;2!;b ㈏ a=0, b=0 2-1풀이 참조 2-22-3k<-;3!; 핵심유형 3 16 3-1⑴ 2'2 ⑵ 8 ⑶ 4 ⑷ 8 3-216 3-39 3-4최댓값:6, 최솟값:-6 x>b는 xæ2이기 위한 충분조건이므로 명제‘x>b이면 xæ2이다.’가 참이다. ∴ bæ2 따라서 a의 최댓값은 -2, b의 최솟값은 2이므로 합은 -2+2=0

1

-3 x¤ -ax+3+0이 x-1+0이기 위한 충분조건이므로 명제‘x¤ -ax+3+0이면 x-1+0이다.’가 참이고, 대우‘x-1=0이면 x¤ -ax+3=0이다.’도 참이다. x-1=0에서 x=1이므로 이것을 x¤ -ax+3=0에 대입 하면 성립한다. 1-a+3=0 ∴ a=4

1

-4 ㄱ. |a|+|b|=0이면 a=b=0 ab=0이면 a=0또는 b=0 이므로 pjjK q, q jj/jK p 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ㄴ. (a-b)(b-c)=0이면 a=b 또는 b=c이므로 pjj/jK q, q jjK p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다. ㄷ. a>b, b>c이면 a>c pjjK q, q jj/jK p 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ㄹ. |x-1|<2이면 -2<x-1<2, -1<x<3이므로 pHjK q 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.

1

-5 p는 q이기 위한 충분조건이므로 pjjK q q는 r이기 위한 필요조건이므로 qHjj r 즉, rjjK q, ~q jjK ~r ~s는 ~q이기 위한 충분조건이므로 ~sjjK ~q, q jjK s pjjK q, q jjK s이므로 pjjK s rjjK q, q jjK s이므로 rjjK s 보기의 문장을 기호로 나타내면 ㄱ. ~qjjK ~r ㄴ. pHjj r ㄷ. rjjK s ㄹ. sHjj p 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

1

-6 ~q는 p이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니면 ~qHjj p ∴ P,QÇ 따라서 항상 옳은 것은 ③ P;Q=0 핵심유형

2

{a-;2!;b}¤ +;4#;b¤ æ0에서 등호가 성립하려면 a-;2!;b=0, ;4#;b¤ =0 이때 b=0이므로 a=0 ∴ a=0, b=0 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지11

(12)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c ⑵ 2x>0, >0이므로산술평균과기하평균의 관계에의해 2x+ æ2æ–2x¥ =2'∂16=8 (단, 등호는 2x= 일 때 성립) 따라서 최솟값은 8이다. ⑶ (x+y){ + }=1+ + +1 =2+ + æ2+2æ– ¥ =2+2=4 (단, 등호는 = 일 때 성립) 따라서 최솟값은 4이다. ⑷ (2x+y){ + }=2+ + +2 =4+ + æ4+2æ– ¥ =4+2'4=8 (단, 등호는 = 일 때 성립) 따라서 최솟값은 8이다.

3

-2 x>0, 4y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 x+4yæ2'ƒx¥4y=4'∂xy (단, 등호는 x=4y일 때 성립) 이때 x+4y=16이므로 16æ4'∂xy 4æ'∂xy ∴ xy…16 따라서 xy의 최댓값은 16이다.

3

-3 3x+ =3(x-1)+ +3에서 3(x-1)>0, >0이므로 산술평균과 기하평균의 관 계에 의해 3(x-1)+ +3æ2æ3(–x-1)¥– +3 =2'9+3=9 (단, 등호는 x-1= 일 때 성립) 따라서 최솟값은 9이다.

3

-4 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여

(a¤ +b¤ )(x¤ +y¤ )æ(ax+by)¤

(단, 등호는 ay=bx일 때 성립) 1 444444444x-1 3 444444444x-1 3 444444444x-1 3 444444444x-1 3 444444444x-1 3 444444444x-1 y 4444x 4x 444444y y 4444x 4x 444444y y 4444x 4x 444444y y 4444x 4x 444444y 2 4444y 1 4444x y 4444x x 4444y y 4444x x 4444y y 4444x x 4444y y 4444x x 4444y 1 4444y 1 4444x 8 4444x 8 4444x 8 4444x 8 4444x

2

-1 a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca =;2!;(2a¤ +2b¤ +2c¤ -2ab-2bc-2ca) =;2!;{(a¤ -2ab+b¤ )+(b¤ -2bc+c¤ ) =+(a¤ -2ac+c¤ )} =;2!;{(a-b)¤ +(b-c)¤ +(a-c)¤ } 이때 (a-b)¤ æ0, (b-c)¤ æ0, (a-c)¤ æ0이므로 a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-caæ0 ∴ a¤ +b¤ +c¤ æab+bc+ca (단, 등호는 a=b=c일 때 성립)

2

-2 ㄴ. a>0, b<0인 경우 |a+b|<|a-b| ㄹ. a¤ -ab+b¤ æ0 (단, 등호는 a=b=0일 때 성립)

2

-3 kx¤ +(k+1)x+k<0에서 ⁄ k=0일 때, x<0이므로 모든 실수 x에 대하여 항상 성 립하지 않는다. ¤ k+0일 때, 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 k<0이 고, 이차방정식 kx¤ +(k+1)x+k=0의 판별식을 D라 할 때, D<0이어야 한다. 즉, ¤ (k+1)¤ -4k¤ <0 ¤ 3k¤ -2k-1>0, (3k+1)(k-1)>0 ¤ ∴ k<-;3!; 또는 k>1 ¤그런데 k<0이므로 k<-;3!; 핵심유형

3

산술평균과 기하평균의 관계에 의해 (x+3y){ + } =1+ + +9 =10+ + æ10+2æ– ¥ =10+2'9=16 (단, 등호는 = 일 때 성립) 따라서 최솟값은 16이다.

3

-1 ⑴ x>0, >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 x+ æ2æ–x¥ =2'2 (단, 등호는 x= 일 때 성립) 따라서 최솟값은 2'2이다. 2 4444x 2 4444x 2 4444x 2 4444x 3y 444444x 3x 444444y 3y 444444x 3x 444444y 3y 444444x 3x 444444y 3y 444444x 3x 444444y 3 4444y 1 4444x 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지12

(13)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 이때 a¤ +b¤ =4, x¤ +y¤ =9이므로 4¥9æ(ax+by)¤ ∴ -6…ax+by…6 따라서 ax+by의 최댓값은 6, 최솟값은 -6이다. ● ● ● 기출문제로내신대비하기● ● ● 01 ⑴ 충분 ⑵ 필요 02 ③ 03 필요충분조건 04 ③ 05 1 06 ② 07 ④ 08 ⑤ 09 ② 10 ① 11 -;4!; 12 ⑴ 4 ⑵ 9 13 ⑤ 14 aæ2 15 -1…a<2

01

⑴ xy=0HjK x=0 또는 y=0 따라서 x=0이고 y=0인 것은 x=0 또는 y=0이기 위한 충 분조건이다. ⑵ x¤ +3x+2=0HjK x=-1 또는 x=-2 따라서 x=-1 또는 x=-2는 x=-1이기 위한 필요조건 이다.

02

③ 12의 양의 약수:1, 2, 3, 4, 6, 12 6의 양의 약수:1, 2, 3, 6 {x|x는 12의 양의 약수}.{x|x는 6의 양의 약수} ∴ 필요조건

03

p:A;B=A HjK A,B q:A-B=0 HjK A,B 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.

04

|x|+|y|=0HjK x=0이고 y=0 ① xy=0HjK x=0 또는 y=0=0HjK x+0이고 y=0 ③ x¤ +y¤ =0HjK x=0이고 y=0 ④ x-y=0HjK x=y

⑤ |x|-|y|=0HjK x=y 또는 x=-y 따라서 |x|+|y|=0이기 위한 필요충분조건은 ③ x¤ +y¤ =0이다.

05

p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 p가 q이기 위한 충분조건이 되려면 P,Q이어야 한다. 즉, k…-1이고 k+4æ2 HjK k…-1이고 kæ-2 -1 2 k+4 k Q P y 4444x HjK -2…k…-1 따라서 k의 최댓값과 최솟값의 차는 -1-(-2)=1

06

ㄱ. 충분조건 ㄴ. 필요조건 ㄷ. 필요조건 ㄹ. 필요충분조건

07

Q-P=0이므로 Q,P ① P,Q ② P.QÇ ③ PÇ .Q ④ Q,P ⑤ QÇ =PÇ 따라서 옳은 것은 ④이다.

08

p, q의 진리집합을 P, Q라 하면 p가 ~q이기 위한 충분조건이므로 P,QÇ 즉 {x|-1<x<1},{x|a<x<2}이어야 하므로 a…-1

09

p2⁄~r가 참이므로 r 2⁄~p도 참이다 r¤2 q가참이므로q 2⁄r 2⁄~p에의해q 2⁄~p도참이다. q2⁄~p가 참이므로 p 2⁄~q도 참이다.

10

① x¤ +y¤ -2xy=(x-y)¤ æ0 (단, 등호는 x=y일 때 성립) ② x¤ +6x+10=(x+3)¤ +1>0 ③ 2x+3>2xHjK 3>0 ④ x¤ +y¤ +z¤ -xy-yz-zx =;2!;{(x-y)¤ +(y-z)¤ +(z-x)¤ }æ0 (단, 등호는 x=y=z일 때 성립) ⑤ (|x|+|y|)¤ -|x+y|¤ =2(|xy|-xy)æ0 (단, 등호는 xyæ0일 때 성립)

11

-x¤ +x+k…0 HjK x¤ -x-kæ0이 절대부등식이 되려면 이차방정식 x¤ -x-k=0의 판별식을 D라 할 때, D…0이어 야 한다. 즉 (-1)¤ -4¥1¥(-k)…0 1+4k…0 ∴ k…-;4!; 따라서 k의 최댓값은 -;4!;이다.

12

⑴ 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 + æ2æ– ¥ =2'4=4 ⑴ (단, 등호는 = 일 때 성립) ⑴따라서 최솟값은 4이다. ⑵ (a+b){ + }=1+ + +4 =5+ +4444b a 4a 444444b b 4444a 4a 444444b 4 4444b 1 4444a a 4444442b 8b 444444a a 4444442b 8b 444444a a 4444442b 8b 444444a 32~33쪽 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지13

(14)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 이때 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 + æ2æ– ¥ =4 (단, 등호는 = 일 때 성립) 따라서 (a+b){ + }æ5+4=9이므로 최솟값은 9이다.

13

코시-슈바르츠의 부등식 (x¤ +y¤ )(2¤ +3¤ )æ(2x+3y)¤ (단, 등호는 2y=3x일 때 성립) 에서 13¥13æ(2x+3y)¤ ∴ -13…2x+3y…13 따라서 M=13, m=-13이므로 M-m=13-(-13)=26

14

p는 q이기 위한 충분조건이고, p는 r이기 위한 필요조건이므로 p, q, r의 진리집합을 P, Q, R라 하면 P,Q, R,P 즉 R,P,Q yy ❶ 따라서 aæ2이고, -a…-2이어야 하므로 yy ❷ aæ2 yy ❸

15

⁄ a+1=0일 경우 (a+1)x¤ -2(a+1)x+3>0 ⇨ 3>0 이므로 항상 부등식이 성립한다. yy ❶ ¤ a+1+0일 경우 주어진 부등식이 항상 성립하려면 a+1>0, D<0

즉, a+1>0, (a+1)¤ -3(a+1)<0

즉, (a+1)(a+1-3)<0 즉, (a+1)(a-2)<0 즉, ∴ -1<a<2 yy ❷ ⁄, ¤에 의해 실수 a의 값의 범위는 -1…a<2 yy ❸ -2 1 2 a x -a P P R Q 4 4444b 1 4444a b 4444a 4a 444444b b 4444a 4a 444444b b 4444a 4a 444444b 채점 기준 배점 ❶ P, Q, R 사이의 포함 관계 알기 ❷ 조건을 만족하는 식 세우기 ❸ a의 값의 범위 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ a+1=0일 경우, 식의 성립 여부 확인하기 ❷ a+1+0일 경우, a의 값의 범위 구하기 ❸ a의 값의 범위 구하기 30 % 50 % 20 % 34~37쪽 01 5 02 8 03 8 04 ⑤ 05 17 06 128 07 ⑤ 08 25 09 ④ 10 ④ 11 ② 12 16 13 ③ 14 ② 15 ③ 16 81 17 ① 18 ⑤ 19 ⑤ 20 23 21 ④ 22 ⑤

01

BÇ ={1, 3, 5, 7}이므로 A'BÇ ={1, 2, 3}'{1, 3, 5, 7}={1, 2, 3, 5, 7} ∴ n(A'BÇ )=5

02

{1, 2, 3} ;A=0을 만족시키는 집합 A는 전체집합 U의 부분 집합 중 원소 1, 2, 3을 포함하지 않는 부분집합이므로 그 개수는 26-3 =8(개)

03

A={1, 2}, BÇ ={1, 2, 6, 7, 8}에 대하여 X'A=X이므로 A,X X;BÇ =X이므로 X,BÇ 즉, A,X,BÇ HjK {1, 2},X,{1, 2, 6, 7, 8} 따라서 집합 X는 집합 {1, 2, 6, 7, 8}의 부분집합 중 원소 1, 2 를 모두 포함하는 부분집합이므로 그 개수는 25-2=8(개)

04

두 집합 A, BC 이 서로소, 즉 A;BC=0이면 A, B의 관계는 A,B ㄱ. A-B=0 (참) ㄴ. A;B=A이므로 (A;B)C =AC (참) ㄷ. (AC'B);A=(AC;A)'(B;A) =0'A=A (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

05

A={x|x<-2또는 x>3}이므로 조건 ㈎와 ㈏를 만족하는 B 의 범위를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. ∴ B={x|x¤ +ax+b…0}={x|-5…x…3} ∴ a=2, b=-15 ∴ a-b=17

06

조건 ㈎ A'X=X에서 A,X이므로 집합 A의 두 원소 1과

2는 집합 X의 원소이다. 또 조건 ㈏ (B-A);X={5, 7}에서 {3, 5, 7};X={5, 7} 이므로 5, 7은 집합 X의 원소이고 3은 X의 원소가 아니다. -5-2 3 x B A A U A B BC ● ● ●대단원 마무리하기● ● ● 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지14

(15)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 그러므로1, 2, 5, 7은 반드시 집합 X에 속해야 하고 3은 속하 지 않아야 한다. 따라서 전체집합 U의 부분집합 중 조건을 만족하는 집합 X의 개수는 212-4-1 =27 =128(개)

07

ㄱ. S={2, 3, 4}의 원소 중 소수는 2, 3이므로 N(S)=2이다. (참) ㄴ. 전체집합 U의 원소 중 소수는 2, 3, 5, 7이므로 N(S)의 최댓값은 4이다. (참) ㄷ. N(S)=1인 집합 S는 소수가 하나만 포함된 집합이다. ㄷ. 소수가 하나만 포함된 집합 S의 개수는 ㄷ. 소수가 없는 집합 {1, 4, 6, 8, 9, 10}의 부분집합에 4개의 소수 중 하나씩만을 포함시킨 집합의 개수와 같다. ㄷ. 따라서 N(S)=1인 집합 S의 개수는 2fl _4=2° (개)이다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

08

전체 학생의 집합을 U, 놀이 기구 A를 이용한 학생의 집합을 A, 놀이 기구 B를 이용한 학생의 집합을 B라 하면 n(U)=30, n(A)=23, n(B)=16 ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =23+16-n(A;B) =39-n(A;B) 이때 n(A)…n(A'B)…n(U)이므로 23…n(A'B)…30 23…39-n(A;B)…30 ∴ 9…n(A;B)…16 따라서 n(A;B)의 최댓값 M=16, 최솟값 m=9이므로 M+m=16+9=25 [참고] 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여n(A;B)가 최대가 되는 경우는 A,B 또는 B,A일 때이다. A,B이면 A;B=A B,A이면 A;B=B ¤n(A;B)가 최소가 되는 경우는 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)이므로 n(A'B)가 최대일 때, 즉 A'B=U일 때이다.

09

모든 양의 실수 x에 대하여 x-a+4>0 HjK x>a-4 이려면 a-4…0이어야 한다. 즉, a…4 따라서 자연수 a는 1, 2, 3, 4로 4개이다.

10

보기의 명제를 진리집합 사이의 포함 관계로 나타내면 다음과 같다. ① p2⁄ q ⇨ P,Q ② r2⁄ ~p ⇨ R,PC ③ p2⁄ ~q ⇨ P,QC ④ r2⁄ (p 또는 q) ⇨ R,(P'Q) ⑤ (p이고 r)2⁄ q ⇨ (P;R),Q 따라서 벤다이어그램에 의해 항상 참인 것은 ④이다.

11

조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면 p:|x|>4에서 P={x|x<-4 또는 x>4} q:x¤ -9…0 HjK -3…x…3에서 Q={x|-3…x…3} r : x…3에서 R={x|x…3} 세 집합 P, Q, R의 포함 관계를 살펴보면 다음과 같다. ㄱ. Q,R이므로 q3⁄ r (참) ㄴ. P;Q=0이므로 P,QÇ ∴ p3⁄ ~q (참) ㄷ. P;R+0이므로 R¯PÇ 즉, r3⁄ ~p는 거짓이다. 따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다.

12

조건 p의 진리집합은 P={2, 3, 5, 7}이고, 명제 ~ p2⁄ q가 참이기 위해서는 PC,Q이어야 한다. 즉, PC={1, 4, 6, 8, 9, 10}이므로 {1, 4, 6, 8, 9, 10},Q,U 따라서 이를 만족하는 집합 Q의 개수는 210-6 =24 =16(개)

13

(P'Q);R=0 HjK (P'Q),RC HjK P,RC, Q,RC HjK R,PC , R,QC 한편 제시된 명제를 진리집합의 포함 관계로 나타내면 ① P,R ② Q,R ③ P,RC ④ RC,P ⑤ RC,Q 따라서 항상 참인 것은 ③이다.

14

두 조건 aæ'3, a¤ æ3을 각각 p, q라 하면 주어진 문장은 ‘p ⁄q’이다. 명제‘p ⁄q’의 대우는‘~q ⁄~p’이고 ~p:a<'3, ~q:a¤ <3이므로 ‘a¤ <3이면 a<'3이다.’

15

참인 세 명제 pjjK q, ~p jjK q, ~p jjK r를 진리집합 P, Q, R의 포함 관계로 각각 나타내면 P,Q, PC, Q, PC, R 이때 Q는 P, PC 을 모두 포함하므로 전체집합 U이다. ㄱ. Q-RC=U-RC =R (참) ㄴ. R+U이면 PC,R HjK RC,P이므로 ㄴ. P-R=P;RC =RC+ 0 (거짓) ㄷ. Q-P=U-P=PC,R (참) 3 -3 -4 P Q R P 4 x 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.16 4:51 PM 페이지15

(16)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

16

주어진 명제의 부정은 ‘모든 실수 x에 대하여 x¤ -18x+kæ0’ 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 x¤ -18x+kæ0이 성립하려면 이차방정식 x¤ -18x+k=0의 판별식을 D라 할 때 =9¤ -k…0, kæ81 따라서 k의 최솟값은 81이다.

17

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 p가 q이기 위한 필요조건이 되려면 qjjK p이므로 Q,P 조건 q에서 x-3=0 ∴ x=3 즉, Q={3}이므로 3<P이어야 한다. 3¤ +2_3-a=0 ∴ a=15

18

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|(x-1)(x-4)=0}={1, 4} Q={x|1<2x…a}=[x|;2!;<x…;2A;] 이때 p가 q이기 위한 충분조건이 되려면 P,Q이어야 한다. 즉, ;2A;æ4이어야 하므로 aæ8 따라서 자연수 a의 최솟값은 8이다.

19

조건 p:|a|+|b|=0 HjK a=b=0

조건 q:a¤ -2ab+b¤ =0 HjK (a-b)¤ =0 HjK a=b

조건 r:|a+b|=|a-b| HjK |a+b|¤ =|a-b|¤ HjK ab=0 HjK a=0 또는 b=0 ㄱ. p는 q이기 위한 충분조건이다. (참) ㄴ. ~p:a+0 또는 b+0 ㄴ. ~r:a+0이고 b+0 ㄴ. 이므로 ~p는 ~r이기 위한 필요조건이다. (참) ㄷ. q이고 r이면 a=b=0이므로 q이고 r는 p이기 위한 필요충분조건이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

20

주어진 식을 변형하면 x¤ + =(x¤ -9)+ +9 이때 x¤ -9>0, >0이므로 산술평균과 기하평균의 관 계에 의하여 49 11552x¤ -9 49 11552x¤ -9 49 11552x¤ -9 D 4 (x¤ -9)+ +9 æ2æ≠(x¤ ≠-9)≠_ +9 =2_7+9=23 ={단, 등호는 x¤ -9= , 즉 x=4일 때 성립} 따라서 x¤ + 의 최솟값은 23이다.

21

a¤ +b¤ æ2"√a¤ b¤ , 즉

a¤ +b¤ æ2|ab| (단, 등호는 a¤ =b¤ 일 때 성립)

이고, a¤ +b¤ =31이므로 |ab|…;;£2¡;; HjK -;;£2¡;;…ab…;;£2¡;; ∴ (ab의 최댓값)=;;£2¡;; 또 c¤ +d¤ æ2"√c¤ d¤ , 즉 c¤ +d¤ æ2|cd| (단, 등호는 c¤ =d¤ 일 때 성립) 이고, c¤ +d¤ =27이므로 |cd|…;;™2¶;; HjK -;;™2¶;;…cd…;;™2¶;; ∴ (cd의 최댓값)=;;™2¶;; 따라서 ab+cd의 최댓값은 ;;£2¡;;+;;™2¶;;=29

22

ㄱ. |a|=|a+b+(-b)| ㄱ. | …|a+b|+|-b|=|a+b|+|b| ㄱ. | ∴ |a+b|æ|a|-|b| ㄱ. | ∴(단, 등호는 ab…0, |a|æ|b|일 때 성립) (참) ㄴ. aæbæ0인 a, b에 대하여 ㄱ. | ('ƒa-b )¤ -('a-'b)¤ ㄱ. | =a-b-(a-2'a'b+b) ㄱ. | =2'a'b-2b ㄱ. | =2'b('a-'b)æ0 (∵ aæbæ0) ㄱ. | 'ƒa-bæ'a-'b (참) (단, 등호는 a=b 또는 b=0일 때, 성립) ㄷ. a, b, c가 양수이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 ㄱ. + + ㄱ. =;aB;+;aC;+;bC;+;bA;+;cA;+;cB; ㄱ. ={;aB;+;bA;}+{;aC;+;cA;}+{;bC;+;cB;} ㄱ. æ2æ≠;aB;¥;bA;+2æ≠;aC;¥;cA;+2æ≠;bC;¥;cB; ㄱ. ∴(단, 등호는 a=b=c일 때 성립) ㄱ. =2+2+2=6(참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. a+b c c+a b b+c a 49 11552x¤ -9 49 11552x¤ -9 49 11552x¤ -9 49 11552x¤ -9 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지16

(17)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 38쪽 01 336 02 80

01

조건 ㈎`에서 n(P;A)=2이므로 집합 A에 속한 4개의 원소 1, 2, 3, 4 중 오직 2개만 집합 P에 속한다. 조건 ㈏`에서 P-B=0이므로 P,B 즉, 집합 P에 5, 6, 7, 8이 원소로 들어갈 수 있다. 이때 조건 ㈐에서 집합 P의 모든 원소의 합은 28이고, P;A의 원소의 합의 최댓값은 3+4=7, 최솟값은 1+2=3이 므로 5, 6, 7, 8 중 P에 속하는 원소들의 합은 28-7=21이상 28-3=25 이하 이다. 6+7+8=21로 6, 7, 8만이 조건을 만족하므로 P={3, 4, 6, 7, 8} 따라서 P-A={6, 7, 8}의 모든 원소의 곱은 6_7_8=336

02

나무토막 A의 부피가 47이므로 3xy-1=47 ∴ xy=16 나무토막 A의 겉넓이는 처음 직육면체의 겉넓이와 같으므로 2(xy+3x+3y)=2xy+6(x+y) =32+6(x+y)(∵ xy=16) x>1, y>1이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 x+yæ2'∂xy=2'∂16=8 (단, 등호는 x=y=4일 때 성립) 따라서 x+y의 최솟값이 8이므로 나무토막 A의 겉넓이의 최솟 값은 32+6¥8=80 이다. ● ● ●1등급 만들기● ● ●

함수

05. 대응과 함수

40~42쪽

01

① X의 원소 c에 대응하는 Y의 원소가 없다. ③ X의 원소 a에 대응하는 Y의 원소가 2개이다. ⑤ X의 원소 c에 대응하는 Y의 원소가 2개이다. 따라서 함수인 것은 ②, ④이다.

02

⑴ f(2)=4 ⑵ f(0)=0, f(1)=1 ⑶ 함수 f:X1⁄ Y에서 집합 X는 정의역, 집합 Y는 공역 이고 치역은 함숫값 전체의 집합이므로 {0, 1, 4}이다.

03

ㄱ. f(-1)=0, g(-1)=2 ∴ f(-1)+g(-1) ∴ f+g ㄴ. f(0)=0, g(0)=1 ∴ f(0)+g(0) ∴ f+g ㄷ. f(-1)=g(-1)=2, f(0)=g(0)=1, f(1)=g(1)=2 ∴ f=g 따라서 두 함수 f와 g가 서로 같은 것끼리 짝지은 것은 ㄷ이다.

04

f (x)=(x의 양의 약수의 개수)이므로 f (1)=1, f (2)=2, f (3)=2 따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 치역은 {1, 2}이다.

05

좌표평면에서 함수의 그래프는 정의역의 임의의 원소 k에 대하 여 직선 x=k와 항상 한 점에서 만난다. ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ. 따라서 함수의 그래프인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

06

① f(-1)=f(1)=2, f(-2)=f(2)=1이므로 일대일대응 이 아니다. y x O y x O y x O y x O y x O 1 1 2 3 2

● ● ●개념확인● ● ● 01 ②, ④ 02 ⑴ 4 ⑵ 0, 1 ⑶ 정의역:X, 공역:Y, 치역:{0, 1, 4} 03 ㄷ 04 풀이 참조 05 ㄱ, ㄷ 06 ②, ③ 07 일대일대응:ㄹ, ㅁ, 항등함수:ㄹ, 상수함수:ㄷ 해(01-17)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:27 PM 페이지17

(18)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 핵심유형

1

X에서 Y로의 대응 관계를 그림으로 나타내면 다음과 같다. ①, ② ③ ①, ④ ⑤ 따라서 X에서 Y로의 함수인 것은 ①, ②이다.

1

-1 X에서 Y로의 대응 관계를 그림으로 나타내면 다음과 같다. ㄱ. x2⁄1+(-1)x ㄴ. x2⁄x¤ -1 ㄱ. ㄴ. 0 f 1 2 3 X 1 3 4 2 Y 0 f 1 2 3 X 1 3 4 2 Y -1 -2 0 1 2 0 2 1 f X Y -1 -2 0 1 2 0 2 1 f X Y -1 -2 0 1 2 0 2 1 f X Y -1 -2 f 0 1 2 X 0 2 1 Y ㄷ. x2⁄(x의양의약수의개수) ㄷ. 따라서 X에서 Y로의 함수인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

1

-2 f(1), f(4)의 값은 공역인 집합 X={1, 2, 3, 4}`의 원소 이다. 따라서 f(1)+f(4)의 값이 최소일 때는 f(1), f(4)가 각 각 1일 때이므로 m=1+1=2 최대일 때는 f(1), f(4)가 각각 4일 때이므로 M=4+4=8 ∴ m+M=2+8=10 핵심유형

2

함숫값을 구하면 f(-1)=2¥(-1)+1=-1 f(1)=2¥1+1=3 f(2)=2¥2+1=5 f(a)=2¥a+1=2a+1 이므로 함수 f의 치역은 {-1, 3, 5, 2a+1}이다. 이때 {-1, 3, 5, 2a+1}={-1, 5, 7, b}이므로 2a+1=7, b=3 ∴ a=3, b=3 ∴ a+b=3+3=6

2

-1 정의역이 {-1, 0, 1, 2, 3}이므로 함숫값을 구하면 f(-1)=(-1-1)¤ =4 f(0)=(0-1)¤ =1 f(1)=(1-1)¤ =0 f(2)=(2-1)¤ =1 f(3)=(3-1)¤ =4 따라서 함수 f의 치역은 {0, 1, 4}이므로 치역의 모든 원소 의 합은 0+1+4=5

2

-2 함수 f(x)=ax-b(a>0)에서 f(-2)=-2a-b=-7 yy`㉠ f(2)=2a-b=5 yy`㉡ ㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 a=3, b=1 ∴ a¤ +b¤ =3¤ +1¤ =10 0 f 1 2 3 X 1 3 4 2 Y 43 ~45쪽 ● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 ①, ② 1-11-210 핵심유형 2 ② 2-15 2-22-31 핵심유형 3 {-4}, {1}, {-4, 1} 3-13-28 3-34 핵심유형 4 ㄱ, ㄹ 4-1ㄱ, ㄷ 4-25 핵심유형 5 a=1, b=2 또는 a=-1, b=2 5-15-20, 1 5-37개 5-42 핵심유형 6 ⑴ 256개 ⑵ 4개 ⑶ 24개 6-16개 6-22개 ④ 모든 x의 값에 y=1이 대응되므로 일대일대응이 아니다. ⑤ f(0)이 존재하지 않으므로 함수가 아니다. 따라서 일대일대응인 것은 ②, ③이다.

07

일대일대응의 그래프는 직선 y=k (k는 공역의 임의의 원소)와 오직 한 점에서 만난다. ∴ 일대일대응:ㄹ, ㅁ 항등함수:ㄹ 상수함수:ㄷ 해(18-43)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:28 PM 페이지18

(19)

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c

2

-3 ⁄ x<1일 때, x¤ æ0이므로 f(x)=x¤ +2æ2 ¤이때 f(a)=3, f(b)=6이라 하면 ¤ a<1, b<1 yy`㉠ ¤f(a)=a¤ +2=3에서 a¤ =1 ¤ ∴ a=-1 (∵ ㉠) ¤f(b)=b¤ +2=6에서 b¤ =4 ¤ ∴ b=-2 (∵ ㉠) ¤ xæ1일 때, x¤ æ1이므로 -x¤ …-1 ¤ ∴ f(x)=-x¤ +1…0 ¤이때 f(c)=-8, f(d)=0이라 하면 ¤ cæ1, dæ1 yy`㉡ ¤f(c)=-c¤ +1=-8에서 c¤ =9 ¤ ∴ c=3 (∵ ㉡) ¤f(d)=-d¤ +1=0에서 d¤ =1 ¤ ∴ d=1 (∵ ㉡) ⁄, ¤`에서 함수 f의 정의역은 {-2, -1, 1, 3}이므로 정의역의 모든 원소의 합은 -2-1+1+3=1 핵심유형

3

x¤ +4x+1=x+5에서 x¤ +3x-4=0, (x+4)(x-1)=0 ∴ x=-4 또는 x=1 따라서 구하는 집합 X는 공집합이 아닌 {-4, 1}의 부분집 합이어야 하므로 {-4}, {1}, {-4, 1}

3

-1 x=1을 대입하면 g(0)=f(3)=9+6+6=21

3

-2 f(-1)=g(-1)에서 1+2+3=-a+b ∴ -a+b=6 yy`㉠ f(4)=g(4)에서 16-8+3=4a+b ∴ 4a+b=11 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=7 ∴ a+b=1+7=8

3

-3 f(-3)=g(-3)=0, f(0)=g(0)=0이므로 f(a)=g(a)이어야 한다.

f(a)=a‹ -9a, g(a)=a¤ +3a이므로

a‹ -9a=a¤ +3a a‹ -a¤ -12a=0 a(a+3)(a-4)=0

∴ a=0 또는 a=-3 또는 a=4

이때 집합 X의 원소가 3개이려면 a+-3, a+0이므로 a=4이다. 핵심유형

4

좌표평면에서 함수의 그래프는 정의역의 임의의 원소 k에 대하여 직선 x=k와 항상 한 점에서 만난다. ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ. 따라서 함수의 그래프인 것은 ㄱ, ㄹ이다.

4

-1 -2…x…2에서 임의의 원소 x에 대하여 점 (x, 0)을 지나 고 x축에 수직인 직선이 그래프와 항상 한 점에서 만나면 함수의 그래프이고, 만나지 않거나 두 점 이상에서 만나면 함수의 그래프가 아니다. ㄱ. ㄴ. ㄷ. 위의 그림에서 ㄴ은 -2…x…2인 x에 대하여 점 (x, 0) 을 지나면서 x축에 수직인 직선이 그래프와 두 점에서 만나 므로 함수의 그래프가 아니다. 따라서 함수의 그래프인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

4

-2 (2, 1)<(G¡;G™)이므로 (2, 1)<G¡이고 (2, 1)<G™이다. (2, 1)<G¡에서 f(2)=2a+3=1 ∴ a=-1 (2, 1)<G™에서 g(2)=2-;2!;b=1 ∴ b=2 따라서 f(x)=-x+3, g(x)=x-1이므로 f(a)+g(b)=f(-1)+g(2) f(a)-g(b)=(1+3)+(2-1)=5 핵심유형

5

함수 y=ax+b가 일대일대응이 되려면 ⁄ a>0일 때, y=ax+b의 그래프가 두 점 (-1, 1), (1, 3)을 지나야 한다. ⁄ 즉, 1=-a+b, 3=a+b를 연립하여 풀면a=1, b=2 y x O -1 1 3 1 (ⅰ) (ⅱ) y x O -2 2 y x O -2 2 y x O -2 2 y x O y x O y x O y x O 해(18-43)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:28 PM 페이지19

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G o o d b e g i n , G o o d B a s i c ¤ a<0일 때, y=ax+b의 그래프가 두 점 (-1, 3), (1, 1)을 지나야 한다. ⁄ 즉, 3=-a+b, 1=a+b를 연립하여 풀면a=-1, b=2 ⁄, ¤에 의하여 a=1, b=2또는 a=-1, b=2

5

-1 각 함수의 그래프를 그려 보면 다음과 같다. ① y=x¤ -2x (xæ1) ② y=|x-1| ① ② ③ y=-'2x ④ y= (x+0) ③ ④ ⑤ X={0, 1, '2}, Y={0, 1, 2}f (x)=x¤ ② f(0)=f(2)=1이므로 일대일함수가 아니다.

5

-2 f:A 1⁄ A가 일대일대응이 되어야 하므로 a=a¤ 이고 aæ0이어야 한다. ∴ a=0 또는 a=1

5

-3 f(x)가 항등함수가 되려면 f(x)=x를 만족해야 한다. x‹ -x¤ -x=x, x‹ -x¤ -2x=0 x(x+1)(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=-1 또는 x=2 이때 집합 X가 될 수 있는 것은 집합 {-1, 0, 2}의 공집합 이 아닌 부분집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 2‹ -1=7(개)

5

-4 함수 g는 항등함수이므로 g(0)=0, g(1)=1, g(2)=2 f(0)=g(1)=h(2)에서 f(0)=h(2)=1 f(1)-2f(0)=f(2)에서 f(1)-2=f(2) 이때 함수 f는 일대일대응이므로 f(1)=2, f(2)=0 또한 함수 h는 상수함수이므로 h(0)=h(1)=h(2)=1 ∴ f(1)g(1)h(1)=2¥1¥1=2 y y=x@ x a a@ O y x O 1 1 2 ´2 y x O y x O ´2 1 -1 x y x O 1 2 1 y x O -1 1 핵심유형

6

⑴ 정의역의 원소 1은 공역의 원소 a, b, c, d의 네 개 중 한 곳에 대응되면 되고, 동시에 2, 3, 4도 역시 a, b, c, d의 네 개 중 한 곳에 대응되면 된다. 즉, 정의역의 각 원소 1, 2, 3, 4가 동시에 각각 네 곳에 대응될 수 있다. 따라서 함 수의 총 개수는 4_4_4_4=256(개) ⑵ 치역의 원소가 1개인 함수는 상수함수이다. 집합 A의 모든 원소가 a에만 대응되는 것이 1가지이고, b, c, d도 마찬가지이다. ∴ 4개 ⑶ 먼저 집합 A의 원소 1은 집합 B의 원소인 a, b, c, d의 네 곳에 대응될 수 있고, 2는 1이 대응되지 않은 세 곳에, 3은 1, 2가 대응되지 않은 두 곳에, 4는 마지막 남은 한 곳에 대응되면 된다. (예를 들면 1이 a에 대응되면 2는 b, c, d 중 한 곳 에 대응되면 된다. 오른쪽 그림은 이렇게 작성된 일대일대응의 한 예 이다.) 따라서 구하는 일대일대응의 개수는 4_3_2_1=24(개)

6

-1 정의역의 원소 1, 2, 3이 a와 b에 적당히 나누어 대응되면 치역과 공역은 같게 된다. ⁄ ¤ ‹ › fi fl 따라서 치역과 공역이 같은 함수의 개수는 6개이다.

6

-2 f (x)+x를 만족시키는 일대일대응은 다음과 같다. 따라서 구하는 일대일대응 f는 2개이다. -1 1 0 -1 1 0 f X X -1 1 0 -1 1 0 f X X 1 3 2 a b X Y 1 3 2 a b X Y 1 3 2 a b X Y 1 3 2 a b X Y 1 3 2 a b X Y 1 3 2 a b X Y a f b c d X 1 3 4 2 Y 해(18-43)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:28 PM 페이지20

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G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 46~47쪽 ● ● ● 기출문제로내신대비하기● ● ● 01 ㄱ, ㄷ 02 -3 03 ② 04 11 05 3 06 ④ 07 ① 08 ② 09 ③ 10 ① 11 ⑤ 12 14개 13 40 14 {5, 7, 13, 15} 15 b>3

01

좌표평면에서 함수의 그래프는 정의역의 임의의 원소 k에 대하 여 직선 x=k와 항상 한 점에서 만난다. ㄴ. ㄹ. 따라서 함수의 그래프인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

02

X의 각 원소의 함숫값은 f(-1)=-a-(a+2)+4=-2a+2 f(0)=4 f(1)=-a+(a+2)+4=6 함수 f가 X에서 Y로의 함수이므로 f(-1)의 값은 2, 4, 6 중 하나이면 된다. ⁄ f(-1)=2일 때, -2a+2=2 ∴ a=0 ¤ f(-1)=4일 때, -2a+2=4 ∴ a=-1 ‹ f(-1)=6일 때, -2a+2=6 ∴ a=-2 ⁄, ¤, ‹에서 모든 a의 값의 합은 -3이다.

03

x=2에서의 함숫값이 1개이어야 하므로 2+1=2a-1 ∴ a=2 '5>2, '5-1<2이므로 f('5)='5+1 f('5-1)=2('5-1)-1=2'5-3 ∴ f('5)-f('5-1)='5+1-(2'5-3) =4-'5

04

g(5)=g(2x+3)에서 5=2x+3 ∴ x=1 g(2x+3)=f(x-2)에서 x=1을 대입하면 g(5)=f(-1)=(-1)¤ -3_(-1)+7=11

05

x=1, y=0일 때 f (1)¥f(0)=f(1)+f(1) ∴ f(0)=2 x=y=1일 때 f (1)¥f(1)=f(2)+f(0) ∴ f(2)=-1 ∴ 2f(0)+f(2)=2_2-1=3

06

음이 아닌 정수 k에 대하여 ⁄ x=5k일 때, x¤ =(5k)¤ =25k¤ 이므로 y x O y x O ∴ f(x)=0 ¤ x=5k+1일 때, x¤ =(5k+1)¤ =25k¤ +10k+1이므로 ∴ f(x)=1 ‹ x=5k+2일 때, x¤ =(5k+2)¤ =25k¤ +20k+4이므로 ∴ f(x)=4 › x=5k+3일 때, x¤ =(5k+3)¤ =25k¤ +30k+9이므로 ∴ f(x)=4 fi x=5k+4일 때, x¤ =(5k+4)¤ =25k¤ +40k+16이므로 ∴ f(x)=1 따라서 함수 f의 치역은 {0, 1, 4}이다.

07

⁄ a>0일 때, x의 값이 증가함에 따라 f(x)의 값도 증가하므로 f(-2)=-2, f(1)=1 -2a+b=-2, a+b=1 ⁄두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=0 이때 f(x)=x의 그래프가 원점을 지나므로 조건을 만족하지 않는다. ¤ a<0일 때, x의 값이 증가함에 따라 f(x)의 값은 감소하므로 f(-2)=1, f(1)=-2 -2a+b=1, a+b=-2 ⁄두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-1 이때 f(x)=-x-1의 그래프가 원점을 지나지 않으므로 조 건을 만족한다. ⁄, ¤에서 a=-1, b=-1이므로 a+b=-2

08

정의역의 각 원소에 대하여 함숫값이 같아야 서로 같은 함수이 다. ② f(1)=1, g(1)=-1 ∴ f(1)+g(1) 따라서 f+g인 것은 ②이다.

09

두 함수 f(x)=3x+b, g(x)=x¤ -x+1이 서로 같은 함수이 므로 정의역 {1, a}의 모든 원소 x에 대하여 f(x)=g(x)를 만 족해야 한다. ⁄ f(1)=g(1)에서 3+b=1-1+1 ∴ b=-2

¤ f(a)=g(a)에서 3a-2=a¤ -a+1 a¤ -4a+3=0, (a-3)(a-1)=0 ∴ a=3 (∵ a+1) ⁄, ¤에서 a=3, b=-2이므로 a+b=1

10

② (반례) x¡=-1, x™=3이면 x¡+x™이지만 f(x¡)=|-1-1|=2, f(x™)=|3-1|=2에서 f(x¡)=f(x™)이므로 f(x)=|x-1|은일대일대응이아니다. ③ (반례) x¡=-1, x™=1이면 x¡+x™이지만 f(x¡)=(-1)¤ +1=2, f(x™)=1¤ +1=2에서 f(x¡)=f(x™)이므로 f(x)=x¤ +1은 일대일대응이 아니다. 해(18-43)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:28 PM 페이지21

수치

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