4 2003년 한국 수학올림피아드 1차시험
2003년 한국 수학올림피아드 1차시험
중등부
1. a와 b는 모두 1 이상 100 이하의 정수이다. 이 때, 두 수의 합 a + b 를 3으로 나누면 나 머지가 2이고, 두 수의 곱 ab를 3으로 나누면 나머지가 1인 정수의 순서쌍 (a, b)는 모 두 몇 개인가?
2. 21000을 100으로 나눈 나머지는 얼마인가?
3. 양의 정수 m, n에 대하여 m2+ 2n2 을 8로 나누었을 때 나타날 수 있는 나머지를 모 두 구하여라.
4. 정11각형의 꼭지점에 시계방향으로 1, 2, 3, . . . , 11 로 번호가 붙여져 있고 토끼는 이 도형 위를 다음의 규칙에 따라 이동한다고 하자.
꼭지점 k에서는 시계방향으로 다음 k2번째 꼭지점으로 이동한다. (예를 들 어 꼭지점 3에서는 꼭지점 1로, 또, 꼭지점 4에서는 꼭지점 9로 이동한다.) 이 규칙을 2003회 적용하여 꼭지점 2에 토끼가 도착하게 되는 출발점은 모두 몇 개인 가?
5. x, a, b, c, d는 유리수이다.
1 x +√
2 + x√ 3 +√
6= a + b√ 2 + c√
3 + d√ 6 일 때 a의 값은?
6. 함수 f (x)는 임의의 실수 x에 대하여
f (1 + x) + xf (1 − x) = x2+ x 를 만족시킨다. f (−6)의 값을 구하여라.
7. 직선 y = x 와 포물선 y = x2 으로 둘러싸인 영역 안에 정사각형이 있다. 이 정사각형 의 한 변은 y = x 위에 있고, 두 꼭지점은 y = x2 위에 있다. 이 정사각형의 넓이는 얼 마인가?
8. a, d = 0 인 네 자리 자연수 abcd가 있다. 이것의 각 자리수의 순서를 바꾸어 얻은 네 자리 자연수 dcba를 생각하자.
√abcd − dcba
의 값이 자연수가 될 때, 이 식의 최대값은 얼마인가?
9. 대한중학교의 학생수는 500명이고 동아리의 수는 20개이다. 이제 학생들에게 1부터 500까지의 고유번호를 부여하고 20개의 동아리를 C1, C2, . . . , C20으로 나타낼 때, 동 아리 Ci에 속한 학생수는 (i + 10)이라고 한다. 고유번호가 j인 학생이 속한 동아리의 수를 dj라고 할 때, 다음 값은 얼마인가? (단, 한 학생이 여러 개의 동아리에 동시에 가입할 수도 있고, 또는 아무 동아리에도 가입하지 않을 수도 있다.)
d1+ d2+ · · · + d500
10. 다섯 쌍의 부부가 모임에 참가하였다. 사회자가 그 중 다섯 명을 뽑아 선물을 준다. 이 때, 선물을 하나도 받지 못한 부부가 오직 한 쌍일 경우의 수는 몇 개인가?
11. 가로, 세로가 각각 420 cm, 370 cm 인 직사각형 모양의 벽 ABCD에 한 변의 길이가 10 cm인 정사각형 모양의 타일을 꽉 차게 붙였다. 이 때, 대각선 AC가 지나가는 타일 의 수는 몇 개인가?
12. 7을 두 개 이상의 자연수의 합으로 표현하는 방법의 수는 몇 개인가? (단, 더하는 순 서가 다르면 다른 표현으로 본다. 예를 들어, 2 + 2 + 3, 2 + 3 + 2, 3 + 2 + 2 는 모두 다 른 것으로 본다.)
13. 반지름의 길이가 3 cm인 공을 내부에 포함하는 볼록한 다면체의 부피는 V cm3이고 겉넓이는 A cm2이다. 다음 중 일어날 수 없는 경우는? (단, 공이 다면체의 면에 접하 는 경우도 공이 다면체에 포함되는 것으로 본다.)
(1) V < A (2) V = A (3) A < V < 2A (4) V = 3A (5) 3A < V 14. 직육면체 ABCD-EF GH의 내부의 한 점 P 에 대하여 P C = 4, P F = 5, P G = 6,
P H = 7 이라 할 때, 선분 P A의 길이는?
[그림]
15. 정팔각형 ABCDEF GH의 대각선 AD, DG 위에 점 M , N 을 각각 잡을 때 AM : M D = DN : N G = a : (1 − a) 라고 하자. 점 M , N 과 꼭지점 C가 일직선 위에 있을 때 a2의 값은 얼마인가? (단, 0 < a < 1)
16. 정수 a, b, c가
a + 2b + 3c = 35, ab + bc + ca = 61 을 만족시킬 때, a의 최대값을 구하여라.
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17. 오각형의 각 변에 아래 그림과 같이 점을 찍어 나간다. 19단계에서 점은 모두 몇 개인 가?
[오각수 그림]
18. 중학생 진희는 집에서 최단 경로를 따라 약속 장소인 극장으로 가다가, 약속 장소가 서점으로 바뀌었다는 연락을 어떤 사거리에서 받고, 곧바로 최단 경로를 따라 서점으 로 갔다. 진희가 집에서 서점에 가기까지 택하였을 수 있는 모든 경로의 수는 몇 개인 가?
[집(0.5,1), 서점(5.5,1), 극장(5.5,5)의 좌표에 있는 그림]
19. 선분 AB를 지름으로 갖는 원 O가 주어져 있다. 지름 AB 위의 한 점 F 에서 수선을 그어 원 O와 만나는 한 점을 G라 하자. 선분 F G 위의 한 점 C를 잡아 직선 AC와 원 호 GB의 교점을 E라고 하고, 점 E에서 선분 F G에 내린 수선의 발을 D라고 하자. 이 때, ∠ACD = 2∠ADC 이고 AD = DE 라면, ∠CAD의 크기는 얼마인가?
20. 내각이 모두 120◦보다 작은 삼각형 ABC의 내부의 점 P 가 AP · BC = BP · CA = CP · AB
를 만족한다고 하자. ∠BAC = 50◦일 때, ∠BP C의 크기는 얼마인가?
고등부
1. (중등부 4번과 동일)
2. 합하는 순서를 무시하고 20을 2의 지수 형태의 자연수의 합으로 표시하는 가지수는 얼마인가? (예를 들어, 22= 21+ 21= 21+ 20+ 20= 20+ 20+ 20+ 20이므로 4를 위 의 형태의 합으로 표시하는 가지수는 4가 된다.)
3. 함수 f : [1, ∞) → [0, ∞) 가 다음 조건을 만족시킬 때, f (2294 )의 값은 얼마인가?
(a) f (2) = 2 이고,
(b) 임의의 양수 x, y에 대하여 다음이 성립한다.
{f (x + y + 1)}2= {f (x + 1)}2+ {f (y + 1)}2
4. 조건 x4− 2y2= 1 을 만족시키는 정수의 순서쌍 (x, y)의 개수는 모두 몇 개인가?
5. 실수 x, y, z가 조건
4(x + y + z) = x2+ y2+ z2
을 만족시킨다. 식 xy + yz + zx 의 최대값을 a, 최소값을 b라 할 때, 10a + b 의 값은 얼마인가?
6. x의 5차 다항식
Q(x) = a − x(x − 1)(x − a)x2− ax + a2
a3 (0 < a < 1)
에 대하여 폐구간 [0, a]에 있는 Q(x) = x 의 근의 개수는 몇 개인가? 만약 중근이 있 으면 한 개로 간주한다.
7. 음이 아닌 정수 n에 대하여
f (0) = 0, f (n) = f n
2 + n − 2 n 2
을 만족시키는 함수 f (n)이 있다. 0 n 2003 일 때, f (n)의 최대값은 얼마인가?
(실수 x에 대하여 [x]는 x를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)
8. 조건 (a − 2)2+ b2≤ 4 와 (x + 1)2+ y2≤ 1 를 각각 만족시키는 실수의 순서쌍 (a, b), (x, y)에 대하여 ax + by 의 최대값을 M , 최소값을 m이라 할 때 m2+ M2 의 값은 얼 마인가?
9. 친구 3명을 매일 한 명씩 6일 동안 초대하는데 어떤 친구도 3번 넘게 초대하지 않을 경우의 수는 얼마인가? (단, 한 번도 초대하지 않은 친구가 있을 수도 있다.)
10. 내각의 크기가 모두 같으면서 변의 길이가 각각 4, 5, 6, 7, 12, 13인 육각형에 대하여, 이 육각형을 한 변의 길이가 1인 정삼각형으로 채울 경우 모두 몇 개의 정삼각형이 필 요한가?
11. f ◦ f ◦ f 가 항등함수인 함수 f : {1, 2, . . . , 10} → {1, 2, . . . , 10} 의 개수는 몇 개인가?
12. 어느 탁구대회에 6개의 팀이 참가하여 리그전을 벌일 예정이다. (리그전에서는 각 팀 이 다른 모든 팀과 정확하게 한 번씩 시합을 한다.) 각 팀이 하루에 한 번, 한 경기장 에서 동시에 경기를 하게 하여 5일을 소요할 예정일 때, 가능한 경기일정표는 모두 몇 개인가? (단, 경기일정표에는 코트를 표시하지 않는다.)
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13. (중등부 15번과 동일)
14. 주어진 원 O의 반원 위에 순서대로 놓인 서로 다른 점 S, A1, A2, A3, A4와 이 원과 만 나지 않는 직선 l이 있다. 각각의 직선 SA1, SA2, SA3, SA4와 l이 만나는 점 B1, B2, B3, B4를 잡았더니 B1B2= B2B3= B3B4 이 되었다.
[그림]
다음 식의 분모가 0이 아닐 때, 이 식의 값은 얼마인가?
SA1· SB1− SA4· SB4
SA2· SB2− SA3· SB3
15. AB : BC = 1 :√
3 인 직사각형 ABCD의 내부에 점 P 가 있다. AP = 2, BP =√ 2, CP = 2 일 때 직사각형 ABCD의 넓이는?
16. 조건 n2= m4+ 2m3+ 2m2+ 2m + 2 를 만족시키는 정수의 순서쌍 (m, n)의 집합을 A = { (mi, ni) | i = 1, 2, . . . , k } 라 할 때
k
i=1
(m2i + n2i) 의 값은 얼마인가?
17. 양수 a, b, c에 대하여 식
a
7a + b+ b
7b + c+ c 7c + a 이 취할 수 있는 값의 범위를 구하여라.
18. (중등부 18번과 동일) 19. (중등부 19번과 동일)
20. 정삼각형 ABC의 변 AB, BC, CA 위에 각각 점 D, E, F 를 DB = 1
4AB, BE = 1
2BC, CF = 3 4CA
되도록 잡는다. 세 점 A, D, F 를 지나는 원과 세 점 B, D, E를 지나는 원의 교점을 G라고 할 때, 점 G는 ABC의 내부에 존재한다. ABC의 넓이가 3200일 때, 세 개 의 사각형 ADGF , DBEG, ECF G 중에서 넓이가 가장 작은 것의 넓이를 구하여라.
2004년 한국 수학올림피아드 1차시험
중등부
1. 자연수 a, k에 대하여 {ak}는 다음 성질을 만족시키는 정수라 정의하자.
a 10k −1
2< {a}k≤ a 10k +1
2
a k = 10k· {a}k 라 할 때, a1 2 = 2000 을 만족시키는 자연수 a의 개수는 얼마인 가?
2. 10000을 연속되는 두 개 이상의 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 경우의 수는 얼마인 가? (단, 더하는 순서는 무시한다.)
3. 실수 a, b, c가 임의의 실수 x, y, z에 대하여 다음 부등식을 만족시킬 때, 3a + 2b − c 의 최대값은 얼마인가?
x2+ 4xy + 4y2+ axz + byz + cz2 0
4. a + b = 1 을 만족시키는 양수 a, b에 대하여 1
1 + a+ a
1 + b 의 최소값은 얼마인가?
5. 일렬로 배열된 20개의 의자에 8개의 구별되지 않는 공을 얹어 놓으려고 한다. 이웃하 는 공 사이에 홀수 개의 빈 의자가 있도록 얹어 놓는 방법의 수를 구하여라.
6. 동전을 20번 던졌을 때, 뒷면이 6번 나오고 앞면이 연속해서 5번 이상 나오지 않는 경 우의 수는 얼마인가?
7. ∠A = 72◦ 인 삼각형 ABC의 내부의 점 M 에 대하여 ∠BM C = 148◦이다. 점 M 에서 세 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F 라 할 때, ∠F DE의 크기는 얼 마인가?
8. 어떤 볼록다면체의 각 면이 삼각형, 사각형, 오각형, 또는 육각형이라 하자. 이 다면 체에 삼각형 면이 두 개, 사각형 면이 한 개 있을 때, 다음 중 옳은 것은 어느 것인가?
(1) 오각형 면은 세 개, 육각형 면은 두 개 있을 수 있다.
(2) 오각형 면은 두 개, 육각형 면은 세 개 있을 수 있다.
(3) 오각형 면은 네 개, 육각형 면은 한 개 있을 수 있다.
(4) 오각형 면은 두 개, 육각형 면은 두 개 있을 수 있다.
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(5) 오각형 면은 한 개, 육각형 면은 네 개 있을 수 있다.
9. 다음 그림과 같이 가로와 세로의 간격이 1이 되도록 점들이 배열되어 있을 때, 이 중 의 세 점을 꼭지점으로 하는 삼각형의 개수는 얼마인가?
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10. 다음 그림과 같이 세 변의 길이가 각각 5, 6, 7인 삼각형 ABC의 외부에 세 개의 정사 각형을 그리면 세 개의 빗금친 삼각형을 얻는다. 그림에서 세 선분 AP , BQ, CR은 각 각 빗금친 삼각형의 중선이다. 이 세 중선의 길이의 합은 얼마인가?
11. 1 n 100 인 자연수 n에 대하여 (n − 1)!이 n으로 나누어 떨어지는 자연수 n의 개 수를 구하여라. (단, 0! = 1, n! = 1 · 2 · 3 · · · n 이다.)
12. 1보다 큰 정수 a, b가 a9a= b2b 를 만족시킬 때, 2a + b 의 최소값을 구하여라.
13. 다음 방정식을 만족시키는 자연수 m, n이 무수히 많을 때, 정수 a의 값을 구하여라.
m2− n2− 6n − 14 m + n + 2 = a 14. 다음 수에 가장 가까운 정수를 구하여라.
√ 13 +√
15 +√ 17 +√
19 +√ 21 +√
23
15. 방정식 [x] +2004
[x] = x2+2004
x2 의 1이 아닌 해를 a라 할 때, a2의 값을 구하여라. (단, [x]는 x를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)
16. 다음을 만족시키는 함수 f (x)에 대하여, f (−9)의 값을 기약분수 n
m으로 나타낼 때, 10m + n 의 값을 구하여라.
f (3) = 1, (x2− x + 1)f (x2) = f (x)
17. 다음 두 조건을 만족시키는 자연수 n의 개수를 구하여라.
(가) n은 20보다 큰 소수로 나누어 떨어지지 않는다.
(나) n은 어떤 소수의 제곱으로도 나누어 떨어지지 않는다.
18. 원탁에 둘러 앉아있는 12명 중에서 4명의 위원을 뽑으려고 한다. 인접하여 앉아있는 사람은 선출될 수는 없다고 할 때, 위원을 뽑는 방법의 수를 구하여라.
19. 한 변의 길이가 13인 정사각형 ABCD에서 BP = 6 인 점 P 를 변 AB 위에 잡는다. 점 P 에서 변 BC에 평행한 직선을 긋고 이 직선 위에 QP = 6 이 되도록 점 Q를 사각형 ABCD의 외부에 잡는다. 직선 QD와 직선 P C의 교점을 R이라 할 때 삼각형 P QR의 외접원의 반지름의 길이의 제곱은 얼마인가?
20. 평면도, 정면도, 우측면도가 다음과 같은 입체의 부피를 구하여라. (단, 굵게 표시된 점들의 가로와 세로의 간격은 3이고, 점선은 가려서 보이지 않는 모서리를 나타낸다.)
고등부
1. (중등부 2번과 동일함)
2. p4− 5p2+ 9 가 소수가 되는 소수 p의 개수는 얼마인가?
3. 자연수 m, n이 식 2m2+ 2n2= 137(m − n) 을 만족시킬 때, m + n의 값은 얼마인가?
4. 다음 식을 만족시키는 a, b에 대하여 sin2(a + b)의 값을 기약분수 n
m으로 나타낼 때, 10m + n의 값을 구하여라.
sin a + sin b =
√2
2 , cos a + cos b =
√6 2
12 2004년 한국 수학올림피아드 1차시험
5. 부등식√ a +√
b ≤ c 를 만족시키는 모든 실수 a, b (단, 0 ≤ a, b, ≤ 1) 에 대하여, 다음 연립방정식이 실수 해를 갖도록 하는 실수 c의 최대값은 얼마인가?
a = (1 − x)y b = (1 − y)x
6. AB = BC 인 예각 이등변삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 3이다. 점 A와 외접원의 중심 O를 잇는 직선과 변 BC와의 교점 P 에 대하여 AP = 214 일 때, 선분 AB의 길이의 제곱은 얼마인가?
7. 회원이 7명인 어느 동아리의 구성원을 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7로 나타내기로 하자. 이 동아 리에는 3명씩으로 구성된 네 개의 위원회 A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {3, 4, 5}, D = {1, 2, 4} 가 있다. 각 위원회에 한 명씩을 추가하여 4명으로 구성할 때, 새로 구성 된 어느 두 위원회의 구성원도 완전히 일치하지는 않도록 추가하는 방법의 수는 얼마 인가? (단, 같은 사람을 두 개 이상의 위원회에 추가할 수도 있다.)
8. 1, 2, 3, 4를 사용하여 만든 9자리의 자연수 중에서 다음 조건을 만족시키는 것의 수는 얼마인가?
(가) 최고 자리 수는 1이다.
(나) 같은 숫자가 연속하여 나타나지 않는다.
(다) 일의 자리 수는 1이 아니다.
9. 다음 조건을 만족시키는 자연수 m의 최소값은 얼마인가?
모든 사람이 각각 m명 이상을 알고 있는 30명의 사람 중에는 모두 서로 아 는 4명의 그룹이 항상 있다. (단, A가 B를 알면 B도 A를 알고 있다.)
10. 지름이 AB인 원에서 ∠CAB = 22◦ 인 현 AC를 긋자. 주어진 원에 점 B에서 내접 하고, 현 AC에도 접하는 작은 원을 그린다. 작은 원과 직선 AC의 접점 P 에서 선분 AB에 그은 수선의 발을 M 이라 할 때, ∠CM B의 크기는 얼마인가?
11. 음이 아닌 정수 n에 대하여 f (n) = 2004n 이라 하자. f (0), f2(0), f3(0), . . . 을 11로 나눈 나머지들로 아루어진 집합을 S라 하자. 이 때, 집합 S의 모든 원소의 합을 구하 여라. (단, fk는 f 를 k번 합성한 함수이다.)
12. 내접하는 원이 그려져 있는 정사각형의 가로와 세로를 각각 50등분하여 2500개의 작 은 정사각형으로 나누었다. 원주의 일부가 그려져 있는 작은 정사각형의 개수를 구하 여라.
13. 양수 a, b에 대하여 식 a2+ b + 9
a + b + 1 의 최소값을 기약분수 n
m으로 나타낼 때, 10m + n 의 값을 구하여라.
14. 함수 f (x) = sin x 와 다음과 같이 정의된 주기가 2π인 함수 g(x)에 대하여, 방정식 (f ◦ g)(x) = x
2π 의 실근의 개수를 구하여라.
g(x) =
2x, 0 x π 4π − 2x, π < x 2π
15. 상수함수가 아닌 함수 f (x)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 실수 x에 대하여 (x6− x5+ x3− x + 1)f (x4) = f (x) 이다.
(나) 실수 x와 y에 대하여 f (x + y) = f (x)f (y)
(2xy − 1)f (x)f (y) + f (x) + f (y) 이다.
함수 f (x)의 최대값을 기약분수 n
m으로 나타낼 때 10m + n 의 값을 구하여라.
16. 다음 조건을 만족시키는 수열 {an}에 대하여 a2002+ a2003+ a2004의 값을 구하여라.
(가) a1= a2= a3= a4= 1, a5= 2,
(나) an+5= an+ an+1+ an+2+ an+3+ an+4
anan+1an+2an+3an+4− 1 (n ≥ 1)
17. 다음 방정식을 만족시키는 2004보다 크지 않은 자연수의 쌍 (x, y)의 개수를 구하여 라. (단, [t]는 t를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)
x2
y + y2
x = x2+ y2 xy + xy 18. (중등부 19번과 동일함)
19. 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정삼각형 ABC의 변 AB와 BC 각각의 연장선에 간 격이 1인 점들이 찍혀 있다. 선분 B1C3의 수직이등분선과 선분 B3C1의 수직이등분
14 2004년 한국 수학올림피아드 1차시험
선의 교점을 P 라고 할 때, 선분 BP 의 길이를 구하여라.
20. 다음을 만족시키는 사각형 ABCD가 있다.
AB = 5, BC = 6, CD = 7, cos ∠B = 1
5, cos ∠C = −3 7
그림과 같이 이 사각형의 외부에 정사각형을 그리면 네 개의 빗금친 삼각형을 얻는 다. 그림에서 네 선분 AP , BQ, CR, DS는 각각 빗금친 삼각형의 중선이다. 이 네 중 선의 길이의 합을 구하여라.
2005년 한국 수학올림피아드 1차시험
중등부
1. 삼각형 ABC에서 세 변 BC, CA, AB의 중점을 각각 K, L, M 이라 하자. AB2+BC2+ CA2= 200 일 때, AK2+ BL2+ CM2 의 값은?
2. 세 자리 양의 정수 n의 각 자리의 숫자의 합을 S(n)이라 하자. S(n) ≤ 5 이고, n이 S(n)의 배수가 되는 n의 개수는?
3. 정숙이가 정팔각형의 변을 따라 움직이는 로보트를 만들었다. 이 로보트는 정팔각형 의 한 변을 지나가는 데 1분이 걸리며, 각 꼭지점에서는 가던 방향으로 계속 가거나 반대 방향으로 방향을 바꿀 수 있다고 한다. 이 로보트가 한 꼭지점 A에서 출발하여 8분 동안 계속 움직여 꼭지점 A의 반대편 꼭지점에 도달할 수 있는 경우의 수는?
4. 조건 2 ≤ x ≤ 4, x ≤ y, 3 ≤ y ≤ 5 를 만족시키는 실수 x, y에 대하여, 2+xyx+y 의 최대값 은?
5. 다음 중, 정수 x, y, z에 대하여 x2+ y2+ 5z2 꼴로 쓸 수 없는 정수는?
(1) 2003 (2) 2004 (3) 2005 (4) 2020 (5) 2046
6. 삼각형 ABC에서 ∠A = 30◦, AB = AC 이다. 점 A에서 변 BC에 그은 수선과 점 B에 서 변 AC에 그은 수선의 교점을 P , 삼각형 ABP 의 외접원과 변 AC의 교점 중 A가 아닌 점을 Q라고 할 때, ∠P QC의 크기는?
7. 정수 106015− 101203− 1015+ 10k 이 2005의 배수가 되도록 하는 최소의 양의 정수 k는?
8. 현선이는 해돋이 구경을 가서 해의 사진을 찍었다. 다녀와서 1 mm 마다 눈금이 그어 진 2006 mm × 2006 mm 크기의 모눈종이에 지름 2005 mm 인 원 모양의 해의 사진을 인화하였다. 해의 중심이 모눈종이의 중심과 일치한다고 할 때, 해의 둘레가 지나가 는 모눈종이의 (1 mm × 1 mm 크기의) 정사각형의 개수는?
9. 함수 f : R → R 가 f (x) + f (1 − x) = 7 과 x + f (x3) = 12f (x) 를 만족시킬 때, f (19)의 값은? (단, R은 실수 전체의 집합이다.)
10. 사각형 ABCD에서 ∠A = 90◦, ∠B = 75◦, ∠C = 90◦, ∠D = 105◦ 이다. 두 대각선 AC와 BD의 교점 X가 ∠BXA = 105◦ 를 만족시킬 때, 선분의 길이의 비 BX : XD 는?
16 2005년 한국 수학올림피아드 1차시험
11. 실수 x에 대하여, x2+x216+1 의 최소값을 구하여라.
12. 정수 k에 대하여, 방정식 x3 = 14 + k 의 실근에 가장 가까운 정수를 ak라 할 때, a1+ a2+ a3+ a4를 구하여라.
13. 양의 정수 a, b에 대하여, y = (x − a)2의 그래프와 y = b2− x2의 그래프의 두 교점과 두 그래프의 y-축과의 교점들을 꼭지점으로 하는 사각형의 넓이가 12√
7 일 때, a + b 의 값을 구하여라. (단, a < b 이다.)
14. 18x + 19y = 2005 를 만족시키는 양의 정수쌍 (x, y)의 개수를 구하여라.
15. 여러 사람이 모인 자리에서 서로 아는 사람끼리만 한 번씩 악수를 하였다고 하자. 각 사람마다 악수한 횟수가 모두 같고 전체 악수의 횟수가 2005번일 때, 모인 사람의 수 가 될 수 있는 가장 작은 수를 구하여라.
16. 볼록사각형 ABCD에서 AB = AC = AD, ∠CAB = 90◦이다. 두 대각선 AC와 BD의 교점 M 에 대하여 AM = 2, M C = 1 이라 할 때, 13BD2을 구하여라.
17. 양의 정수 d에 대하여, d가 4a2+ 9b2과 ab의 최대공약수가 되도록 하는 서로 소인 양 의 정수 a, b가 존재한다고 한다. 이러한 d의 개수를 구하여라.
18. 양의 정수 전체의 집합에서 정의된 함수 f 를 생각하자. f (1) = 5 이고, 임의의 양의 정수 n에 대하여 f (n + 1)(f (n) − 4) = f (n) − 6 이다. f (2005) = qp 로 표현할 때, p를 31로 나눈 나머지를 구하여라. (단, p와 q는 서로 소인 양의 정수이다.)
19. ∠A = 90◦ 인 직각삼각형 ABC와 변 AB 위의 세 점 X1, X2, X3에 대하여 ∠ACX1=
∠X1CX2 = ∠X2CX3 = ∠X3CB 이고, BX3 = 2AX1 이다. 삼각형 ABC의 가장 작 은 각의 크기를 a◦라 할 때, 7a의 값을 구하여라.
20. 정육각형 모양의 같은 크기의 타일이 빈틈 없이 깔려 있는 어떤 목욕탕의 바닥에서, 가장자리로부터 여러 개의 타일을 뜯어내었다. 남아 있는 타일들이 이루는 도형을 살 펴 보았더니, 바깥 변의 개수가 34개였다. 두 개의 타일이 만나는 꼭지점은 14개이고, 세 개의 타일이 만나는 꼭지점은 8개라고 한다. 이 때, 남아 있는 타일의 개수를 구하 여라. (단, 붙어 있는 타일들은 변을 공유하면서 붙어 있다고 가정한다.)
고등부
1. 세 변의 길이가 각각 15, 20, 25인 삼각형 ABC의 내접원이 삼각형 ABC와 점 X, Y , Z에서 접한다. 삼각형 XY Z의 넓이는?
2. 볼록n각형의 모든 변과 모든 대각선을 빨간색 또는 파란색으로 칠하였더니 빨간색 선분의 개수와 파란색 선분의 개수가 같았다. 다음 중 n이 될 수 있는 두 수로 이루어 진 것은?
(1) 2005, 2006 (2) 2006, 2007 (3) 2007, 2008 (4) 2008, 2009 (5) 2009, 2010
3. 200보다 작은 서로 다른 여섯 개의 소수가 작은 것부터 차례로 등차수열을 이룬다고 할 때, 이 수열의 공차는?
4. 모든 양의 실수 x에 대하여, 2+x12 ≥2y+xy−x 를 만족시키는 y의 최대값은?
5. 방정식 x(x − x ) = 1 의 해를 작은 것부터 차례로 x1, x2, x3, . . . 라 할 때, (2x1− 1)2+ (2x2− 2)2+ · · · + (2x10− 10)2의 값은? (단, x 는 x를 넘지 않는 가장 큰 정수 를 나타낸다.)
6. 함수 f : R → R 을 생각하자. f (5) = 0 이고, 임의의 실수 x, y (단, y = 0) 에 대하여 f (x + y)f (x − y) = 2|y|f (x2−y2y2+25) 일 때, f (1)f (25)의 값은? (단, R은 실수 전체의 집합이다.)
7. 방정식 n(m2+ n2− 1) − m(m2+ n2+ 47) = 0 을 만족시키는 양의 정수쌍 (m, n)의 집합을 A = { (mi, ni) | i = 1, 2, . . . , k } 라 할 때 m1+ m2+ · · · + mk 의 값은?
8. 다음 중, 정수 n에 대하여 n2− 2n + 4 꼴의 배수를 가질 수 없는 소수는?
(1) 29 (2) 31 (3) 37 (4) 43 (5) 61
9. ∠A = 90◦, ∠B = 60◦, ∠C = 30◦ 인 삼각형 ABC의 내부에 있는 점 P 가 ∠P AB =
∠P BC = ∠P CA 를 만족시킬 때, sin2∠P AB 의 값은?
10. 원을 6개의 합동인 부채꼴로 나누어 각 부채꼴을 빨강, 파랑, 노랑, 초록 4개의 색 중 하나의 색으로 칠하기로 하자. 같은 색을 여러 번 사용할 수는 있지만, 이웃한 부채꼴 은 다른 색으로 칠하여야 한다. 원을 칠하는 서로 다른 방법의 수를 구하여라. (단, 원 을 회전시켜 같아지는 칠하기는 같은 것으로 간주한다.)
11. 256 이하의 양의 정수 중, 2진법으로 표현했을 때 1이 홀수 번 나타나는 것들의 총합 을 나누는 가장 큰 홀수를 구하여라.
12. 서로 다른 세 개의 복소수 a와 b와 c에 대하여, a3 = 20a2+ b2+ c2− a − 340, b3 = 20b2+ c2+ a2− b − 340, c3= 20c2+ a2+ b2− c − 340 일 때, abc의 값을 구하여라.
18 2005년 한국 수학올림피아드 1차시험
13. 직사각형 ABCD의 내부의 점 P 에 대하여, ∠AP D = 110◦, ∠BP C = 70◦, ∠P CB = 30◦ 이다. ∠P AD의 크기를 구하여라.
14. 양의 정수 n에 대하여, 2n 자리수 a = (a1a2· · · anan+1· · · a2n)(10) 을 생각하자. 이 수 에 대하여, 2n 자리수 b를 b = (an+1an+2· · · a2na1· · · an)(10) 이라 정의하면 3a = 4b 를 만족시킨다고 한다. 이러한 성질을 만족시키는 양의 정수 a 가운데 두 번째로 작 은 것을 A라 할 때, 7A의 각 자리의 숫자의 합을 구하여라. (단, a = (· · · )(10) 은 a의 10진법 표현을 나타낸다.)
15. 좌표평면의 점 (a, b)에서 점 (a + 1, b)로 이동하는 방법을 x-스텝, 점 (a, b)에서 점 (a, b + 1)로 이동하는 방법을 y-스텝, 점 (a, b)에서 점 (a + 1, b + 1)로 이동하는 방법을 d-스텝이라 하자. 이 세 가지 스텝만을 이용하여 점 (0, 0)에서 점 (4, 4)로 이동하는 가 능한 모든 경로들에서 사용된 d-스텝들의 총 횟수를 구하여라.
16. 2005 이하의 양의 정수 n 중에서 2n2+ 3n + 1 과 3n2+ 2n + 3 이 서로 소가 되도록 하 는 것들의 개수를 구하여라.
17. 이차방정식 (bc − 1)x2+ (a − b + c − abc)x + ab − 1 = 0 이 정수근을 갖도록 하는 한 자리의 양의 정수 a, b, c에 대하여 100a + 10b + c 의 최대값을 구하여라.
18. 중심의 O이고 반지름의 길이가 16√
2 인 원과 중심이 O1이고 반지름의 길이가 8√ 2 인 원이 두 점에서 만난다. 두 원의 공통접선 이 원 O와 점 A에서 접하고 원 O1과 점 B에서 접한다. 두 원의 교점 중에서 공통접선 에서 더 멀리 떨어져 있는 점에서 의 원 O1의 접선이 A를 지난다고 할 때, 선분 OO1의 길이를 구하여라.
19. 1번부터 2005번까지 번호가 매겨진 2005개의 카드를 1번 카드가 맨 위, 그 아래 2번 카드, 그 아래 3번 카드, . . . , 2005번 카드가 맨 아래에 오도록 쌓은 카드 더미가 있다.
이제, 2005번 카드부터 시작하여 카드 더미의 맨 아래의 카드는 버리고, 다음 카드는 카드 더미의 맨 위로 보내고, 다시 맨 아래의 카드는 버리고, 다음 카드는 카드 더미 맨 위로 보내는 식의 작업을 계속하기로 하자. 마지막에 남는 카드의 번호를 구하여 라.
20. 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD에서 점 X (= C) 는 변 BC 위의 점이고 점 Y (=
C) 는 변 CD 위의 점이라 하자. 삼각형 XCY 의 둘레의 길이가 2이고, ∠DAY = 10◦ 이다. ∠Y XC의 크기를 구하여라.
1987년 한국 수학올림피아드
1. a, b, c가 0이 아닌 실수일 때 a + b − c
c = a − b + c
b =−a + b + c a 이면, a + b + c = 0 또는 a = b = c 임을 증명하여라.
2. 음이 아닌 정수 n에 대하여 집합
An= { (x, y) | |x| + |y| ≤ n, x, y는 정수 } 의 원소의 개수를 f (n)이라고 할 때, 다음을 구하여라.
(1) f (n) − f (n − 1) (단, n ≥ 1) (2) f (n)
3. 두 양의 정수 p, q가 모두 소수이고 그 차가 2일 때, p, q를 쌍둥이 소수라고 한다. pq +4 가 소수가 되는 쌍동이 소수 p, q를 모두 구하여라.
4. f1(x) = (x − 2)2, f2(x) = (f1(x) − 2)2, . . . , fn(x) = (fn−1(x) − 2)2, . . . 일 때, fn(x)의 상수항 an과 일차항의 계수 bn을 구하여라.
5. 1987! = 1 · 2 · 3 · · · 1987 을 a × 10n 인 꼴로 나타낼 때, n을 구하여라. (단, a는 1의 자리 숫자가 0이 아닌 자연수이다.)
6. ∠C = 90◦ 인 직각삼각형 ABC의 빗변 AB의 중점을 M , 꼭지점 C에서 빗변 AB에 내린 수선의 발을 H라고 할 때, 선분 CH, CM 은 ∠C를 삼등분한다. 이 때, CHM :
ABC 를 구하여라.
7. 아래 그림과 같이 반지름의 길이가 2r인 반원 O에 반지름의 길이가 r인 원 O 이 내접 하고 있다. 원 O 에 외접하고 반원 O에 내접하는 원 O 의 반지름의 길이를 구하여라.
8. x3+ 2x − 1 = 0 의 근을 α라고 할 때, (α2+ α + 1)P (α) = 1 을 만족시키는 차수가 최 소인 다항식 P (x)를 구하여라.
10 1988년 한국 수학올림피아드
9. 함수 f : R → R (단, R은 실수 전체의 집합) 이 임의의 두 실수 x, y에 대하여 f (x + y)f (x − y) ≤ {f (x)}2− {f (y)}2
을 만족시킬 때, 다음을 증명하여라.
(1) f (−x) = −f (x)
(2) f (x + y)f (x − y) = {f (x)}2− {f (y)}2
10. n이 n ≥ 3 인 자연수일 때, 다음 부등식을 증명하여라.
nn+1> (n + 1)n
11. 세 변의 길이가 각각 자연수인 직각삼각형에 내접하는 원의 반지름의 길이는 자연수 임을 증명하여라.
12. ABC 에서 AC 위에 점 D를 AD : DC = 2 : 1 되게 잡고, 변 AB 위에 점 E, 변 BC 위에 점 F 를 BE : BF = 2 : 1 되게 잡자. 선분 BD와 선분 EF 의 교점을 G라 할 때, EG : GF 를 삼각형의 세 변의 길이를 이용해 나타내어라.
1988년 한국 수학올림피아드
1. 두 자연수 a = 11, 111, 111 과 b = 11, 111, · · · , 111 1이 1988개
의 최대공약수를 구하여라.
2. n은 홀수이고 a1, a2, . . . , an 은 1에서 n까지의 서로 다른 자연수라 할 때 (a1− 1)(a2− 2) · · · (an− n)
은 짝수임을 증명하여라.
3. 삼각형 ABC에서
sin A + sin B + sin C = 1 + cos A + cos B + cos C 가 성립하면 이 삼각형은 직각삼각형임을 증명하여라.
4. 한 변의 길이가 1인 정삼각형 안에 아홉 개의 점을 임의로 잡았을 때 그들 중 적어도 세 점은 면적이 18 이하인 삼각형의 꼭지점이 됨을 밝혀라. (단, 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않다고 한다.)
5. 다음 등식이 성립함을 증명하여라.
nC1
1 1−nC2
1
2+ · · · + (−1)n−1nCn
1
n = 1 +1 2+1
3+ · · · + 1 n [힌트]
n
k=0
(−1)knCk
1
k + 1 = 1
n + 1 을 이용할 수도 있다.
6. 좌표평면 위에 아래 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD가 있다. 점 P 가 점 A(0, 1)을 출발하여 점 (a, 0)으로 직선운동을 시작하였다. 점 P 가 사각형의 어느 한 변에 도달하면 정반사(입사각과 반사각이 같음)를 하여 운동을 계속한다고 할 때 점 P 가 네 꼭지점 A, B, C, D 중 어느 하나에 도달할 수 있는 a의 값을 모두 구하여 라. (단, 0 < a < 1 이다.)
7. 원 O의 둘레 위에 점 A, B를 잡고, OAB가 정삼각형이 되도록 하였다. 원의 임의 의 지름 XY 를 잡고 두 직선 XA, Y B의 교점을 P 라 할 때, 지름 XY 가 움직이면 점 P 는 어떤 도형 위를 움직이는가?
8. n과 d는 1보다 큰 자연수이다. 다항식
f (x) = (x − α1)(x − α2) · · · (x − αn) (단, αi는 복소수) 가 ωd= 1 인 모든 복소수 ω에 대하여
f (ωx) = f (x)
를 만족시킨다. 이 때, α1+ α2+ · · · + αn 의 값을 구하여라.
12 1989년 한국 수학올림피아드
9. n이 자연수이고 α가 실수일 때 [α] + α +1
n + · · · + α +n − 1
n = [nα]
가 성립함을 증명하여라. (단, [x]는 x를 넘지 않는 최대의 정수값을 나타낸다.) 10. 수열 a0, a1, a2, . . . , an, . . . 이 m ≥ 2 인 모든 자연수 m에 대하여
1 1 1 0
m
=
am am−1
am−1 am−2
인 관계식을 만족시킨다. 이 때, 음이 아닌 모든 정수 n에 대하여 a5n+1 ≥ 10n 이 성 립함을 증명하여라.
11. a, b, c 세 문자만을 사용하여 단어를 만들려고 한다. 문자 a와 문자 b는 같은 것끼리 인접하여 배열할 수 없다고 할 때, 문자의 개수가 n인 모든 단어의 개수를 구하여라.
12. CB = a, CA = b, AB = c, ∠C = 90◦ 인 직각삼각형 ABC에서, 꼭지점 C에서 빗변 AB에 내린 수선의 발을 H라 한다. ABC, CAH, BCH의 내접원의 중심을 각 각 O, O1, O2라 하고 내접원의 반지름의 길이를 각각 r, r1, r2라 한다. CH = h 라 할 때 다음 물음에 답하여라.
(1) r + r1+ r2= h 임을 증명하여라.
(2) OO1O2의 넓이를 r과 c로 나타내어라.
1989년 한국 수학올림피아드
1. 원탁에 10명의 손님자리가 명찰과 함께 놓여있다. 10명의 손님이 명찰을 확인하지 않 고 아무렇게나 않았더니 제자리에 앉은 손님이 한 사람도 없었다. 이 때, 명찰이 놓인 원탁을 적당히 회전시키면 적어도 2명의 손님이 제자리에 앉게 됨을 증명하여라.
2. 각 C가 직각인 직각삼각형 ABC의 변 AC 위에 점 P 가 있다. 삼각형 P AB, P BC의 내접원이 합동(같은 크기의 원)일 때 선분 P C의 길이 x를 변 BC, CA, AB의 길이 a, b, c로 나타내어라.
3.
∞
n=1
∞
m=1
1
m2n + mn2+ mn = 2 임을 증명하여라.
4. n명의 선수가 리그제(모든 선수와 한 번씩 경기를 함)로 씨름 경기를 하였다. 비기는 경우는 없다고 할 때 다음 물음에 답하여라.
(1) 경기가 모두 끝난 후 앞사람이 바로 뒷사람을 이긴 순서로 한 줄로 정렬할 수 있 음을 밝혀라.
(2) k번째 선수가 이긴 경기의 수를 wk, 진 경기의 수를 lk라 하면
n
k=1
wk2=
n
k=1
l2k 임 을 증명하여라.
5. n을 10진법으로 나타낸 양의 정수라 한다. n의 각 자리수들의 곱이 n2− 10n − 22 인 모든 n을 구하여라.
6. 양의 정수 n, 실수 a, b에 대해
n
i=0
xi= a,
n
i=0
x2i = b 를 만족시키는 x0의 범위를 구하 여라. (단, x0, x1, . . . , xn 은 실수이다.)
7. 점 P 를 평면 위의 한 점이라고 한다. 평면 위에 유한 개의 선분이 아무렇게나 그려져 있으며, 그 선분들의 길이의 합이 1989이다. 이 때, 어떠한 선분과도 만나지 않으며, 점 P 로부터의 거리가 704보다 작은 직선이 존재함을 증명하여라.
8. 함수 f : N → N (N은 자연수 전체의 집합) 이 다음 조건 (i), (ii), (iii)을 만족시키고 있다.
(i) f 는 단조증가 함수.
(ii) 모든 m, n ∈ N 에 대하여 f (mn) = f (m)f (n).
(iii) m = n 이고 mn= nm이면 f (m) = n 이거나 f (n) = m.
이 때 f (30)을 구하여라.
9. a, b가 완전제곱수가 아닌 정수일 때, x2− ay2− bz2+ abw2 = 0 이 전부는 0이 아닌 정수해 (x0, y0, z0, w0)을 가질 때 x2− ay2− bz2= 0 도 전부는 0이 아닌 정수해를 가 짐을 증명하여라.
10. ABC에서 BC = a, CA = b, AB = c 이다. 변 BC 위에 점 P 를 잡을 때 b2BP + c2CP = a(AP2+ BP · CP )
임을 증명하여라.
1990년 한국 수학올림피아드
1.
n
k=1
k 가
n
k=1
k 로 나누어지는 n을 구하여라. (단, 는 곱의 기호이다.)
14 1990년 한국 수학올림피아드
2. n개의 집합 A1, A2, . . . , An 은 각각 30개의 원소를 가지고 있으며, 이들 중 임의의 서 로 다른 두 집합 Ai, Aj는 단 한 개의 공통원소를 갖고,
A1∩ A2∩ · · · ∩ An= φ(공집합) 이라 한다. 이 때 n < 872 임을 밝혀라.
3. 여러 가지 크기의 정사각형 모양의 카드들을 바닥에 늘어놓았다. 이 카드들로 덮인 부분의 전체 면적을 S라 하자. 이들 카드 중에서 제일 큰 카드 A1을 고르고 A1과 서 로 겹쳐있지 않은 카드 중에서 가장 큰 카드 A2를 고른다. 다음에 A1, A2와 겹쳐있 지 않은 카드 중에서 제일 큰 카드 A3을 고른다. 이와 같은 방법으로 끝까지 계속하 여 n개의 카드 A1, A2, . . . , An을 골랐다면 이들 카드들의 면적의 합은 131S보다 큼을 밝혀라.
4. 1 ≤ k ≤ 90 인 자연수 k에 대하여
f (k) =
2k (1 ≤ k ≤ 45 일 때) 2k − 91 (46 ≤ k ≤ 90 일 때)
으로 정의하면 f : {1, 2, . . . , 90} → {1, 2, . . . , 90} 은 전단사함수가 된다. 이 때 f 를 n번 합성한 함수 fn이 항등함수가 되는 최소의 양의 정수 n을 구하여라.
5. 각 변의 길이가 자연수이고 내접원의 반지름의 길이가 1인 삼각형의 각 변의 길이를 구하여라.
6. 각 자리수에 9를 포함하지 않는 모든 자연수의 역수의 합은 28보다 작음을 밝혀라.
7. 집합 X = {1990, 1990 + 1, 1990 + 2, . . . , 1990 + n} 를 두 개의 부분집합 A, B로 나누 어 A ∩ B = φ, A ∪ B = X 가 되게 한다. 이 때 A, B에 속하는 원소들의 합을 같게 할 수 있는 양의 정수 n의 값을 정하여라.
8. 좌표평면의 원점을 출발한 점이 이 평면 위에서 운동을 한다. x축을 따라서 움직일 때는 운동방향으로 2 m/sec 의 속력으로 움직이고 x축과 다른 방향으로 움직일 때는 1 m/sec 의 속력으로 움직인다. 이 점이 원점을 출발하여 1초 동안에 도달할 수 있는 최대의 영역을 좌표평면 위에 도시하고 이 영역의 넓이를 구하여라.
9. 세 변의 길이가 서로 다른 삼각형 ABC에서 무게중심, 내심 및 수심을 각각 G, K, H라 한다. ∠GKH > 90◦임을 증명하여라.
10. ai> 0 (i = 1, 2, . . . , n) 일 때 a1
a2+ a3+ · · · + an
+ a2
a1+ a3+ · · · + an
+
· · · + ai
a1+ a2+ · · · + ai−1+ ai+1+ · · · + an
+
· · · + an
a1+ a2+ · · · + an−1
≥ n n − 1 임을 증명하여라.
1991년 한국 수학올림피아드
1991년에는 KMO가 없었고, 대신 KMO 겨울학교 입교대상자 시험이 있었다.
1. 정수계수의 1990차 다항식 f (x)에 대하여 방정식 {f (x)}2= 1 의 서로 다른 정수해의 개수는 1992개 이하임을 보여라.
2. 유리수 전체의 집합 Q의 공집합이 아닌 부분집합 S가 다음 조건을 만족시키고 있다.
(i) 0 ∈ S.
(ii) s1, s2∈ S 이면 s1
s2
∈ S 이다.
(iii) 0 = q ∈ S 인 유리수 q가 존재하여 Q − S = { qs | s ∈ S } 이 성립한다.
이 때 x ∈ S 이면 x = y + z 인 y, z가 S에 존재함을 보여라.
3. AB = AC 인 이등변삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 D라 한다. ∠ABC의 삼등분 선이 AD와 만나는 점을 A로부터 차례대로 M , N 이라 하고, CN 의 연장과 AB의 교 점을 E라 하면 EM//BN 임을 증명하여라.
4. 임의로 주어진 자연수 k에 대하여 집합
Nk= { (x1, x2, . . . , xk) | x1, x2, . . . , xk ∈ N }
을 생각하자. (단, 여기서 N은 자연수 전체의 집합이다.) Nk의 원소 x = (x1, x2, . . . , xk), y = (y1, y2, . . . , yk) 에 대하여 xi ≤ yi (i = 1, 2, . . . , k) 일 때 x ≤ y 라고 정의한다.
X를 Nk의 임의의 부분집합이라고 하고, x ∈ X 에 대하여 m(x)를 X의 원소로서 x보 다 작거나 같은 원소의 개수라고 할 때 집합 M (X) = { x ∈ X | m(x) = 1 } 이 유한집 합임을 보여라.
16 1992년 한국 수학올림피아드
5. (1)
n
m=k
m
k = n + 1
k + 1 임을 증명하여라.
(2) 1 1991
1991 0 − 1
1990 1990
1 + 1 1989
1989
2 − · · · + (−1)m 1991 − m
1991 − m
m + · · · − 1
996 996
995 = 1
1991 임을 증명하여라.
1992년 한국 수학올림피아드
1.
n
k=0
(−1)k n k
1
k + 1 의 값을 구하여라.
2. 21992− 1 은 2248 보다 큰 여섯 개의 정수의 곱으로 나타낼 수 있음을 보여라.
3. 정수 수열 {un}이 다음의 조건을 만족시킨다.
u1= 1, u3n−1= 0, u3n = un, u3n+1 = un+ 1 (n ≥ 1) (1) u1992를 구하여라.
(2) n이 자연수이고 m = (3n+ 1)3일 때, um을 구하여라.
(3) 1 ≤ n ≤ 3M (M 은 자연수) 인 n에 대하여, un= 0 인 n의 개수를 구하여라.
4. 공간에 있는 n개의 점을 모두 빨간색 혹은 파란색 선분으로 연결하였다고 할 때, 자 신으로부터 그어져 나간 빨간색 선분의 개수가 같은 두 점이 존재함을 보여라. 단, n ≥ 2 이고 어떤 세 점도 같은 직선 위에 있지 않다고 한다.
5. ∠C = 90◦ 인 직각삼각형 ABC에 대하여 반직선−→
AC 상에 ∠CP B = ∠CBA 가 되도 록 점 P 를 잡고, 반직선 −→
CB 상에 ∠CQB = ∠CAB 가 되도록 점 Q를 잡는다. 또한, 반직선 −→
AC,−→
BC 상에 각각 점 R, S를 ∠ABR = ∠BAS = 90◦ 가 되도록 잡는다. 이 때 CP · CQ
AR · BS 가 최대가 되는 직각삼각형 ABC의 모양을 결정하고 그 값을 구하여라.
6. a0= 2, b0= 3a0, a1= 2b0, b1= 3a1, . . . , an= 2bn−1, bn= 3an, . . . 으로 정의된 수열 {an}, {bn}에 대하여 13an+ 23bn 은 항상 24의 배수임을 보여라.
7. 양수 a0, b0, c0에 대하여 an, bn, cn (n = 0, 1, 2, . . . ) 를 다음과 같이 정의한다.
an+1 =an+ bn+ cn
3 , bn+1= anbn+ bncn+ cnan
an+ bn+ cn
, cn+1 = 3anbncn
anbn+ bncn+ cnan
(1) 각각의 n ≥ 1 에 대하여 an, bn, cn의 대소관계를 밝혀라.
(2) 수열 {an}, {bn}, {cn}은 같은 극한값으로 수렴함을 보이고 그 값을 구하여라.
8. (2 +√
3 )5 를 넘지 않는 최대의 정수를 구하여라.
9. (n7− 7) 이 19의 배수가 되도록 하는 자연수 n의 최소값을 구하여라.
10. 삼각형 ABC의 각 B 안의 방접원을 O, 원 O와 변 BA의 연장선과의 접점을 P , 점 P 를 지나는 원 O의 지름의 다른 끝점을 Q라고 한다. 변 AB의 중점을 M , 점 M 에 관 한 점 P 의 대칭점을 R (즉, P M = M R) 이라 할 때, 세 점 Q, C, R은 같은 직선 위에 있음을 보여라.
1993년 한국 수학올림피아드
1. 길이가 1인 막대를 이어서 만든 정육면체들을 붙여서 가로, 세로, 높이가 각각 l, m, n인 직육면체를 만들었다.
다음 물음에 답하여라.
(1) 이들 구조물 속에 직육면체는 몇 개 있는가? (정육면체 포함)
(2) 위 그림의 꼭지점 A에서 B까지 막대를 따라서 최단 거리로 갈 수 있는 방법의 수 S를 구하여라. (내부도 통과)
(3) l = m = n 일 때 (2)에서 구한 S는 3의 배수임을 보여라.
2. a, b, c, d는 자연수이고 r = 1−a b−c
d라 할 때, a+c ≤ 1993 이고 r > 0 이면 r > 1 19933 임을 보여라.
3. 22n+ 5 가 소수가 될 모든 음이 아닌 정수 n을 구하여라.
4. 음이 아닌 임의의 정수 m, n에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 f (m, n)을 구 하여라.
18 1993년 한국 수학올림피아드
(i) 2f (m, n) = 2 + f (m + 1, n − 1) + f (m − 1, n + 1) (m ≥ 1, n ≥ 1) (ii) f (m, 0) = f (0, n) = 0 (m ≥ 0, n ≥ 0)
5. 정사각형 ABCD 안에 임의의 한 점 P 를 잡고, 네 점 A, B, C, D에서 직선 BP , CP , DP , AP 에 그은 수선을 각각 1, 2, 3, 4라 한다. 네 직선 1, 2, 3, 4는 한 점에서 만남을 증명하여라.
6. 가로, 세로의 길이가 m, n (m, n은 양의 정수) 인 직사각형 ABCD가 있다. 꼭지점 A에서 두 변에 대하여 45◦인 방향으로 발사된 빛이 변에서 정반사하여 진행하다가 꼭 지점에 도달하면 멈춘다고 한다. 변에서 반사하는 횟수를 f (m, n)이라 할 때 다음 물 음에 답하여라.
(1) m, n이 서로 소일 때 f (m, n)을 구하여라.
(2) m m = n
n 이면 f (m , n ) = f (m, n) 임을 밝혀라.
7. 양의 정수 x, y, z에 대하여 f (x, y, z) = 1 + 2 + 3 + · · · + (x + y − 2) − z 라 한다.
f (a, b, c) = f (c, b, a) = 1993 을 만족시키는 양의 정수 a, b, c, d의 모든 짝을 구하여라.
8. 0 ≤ x ≤ 1 인 실수 x 중에서, 3진법의 소수로 나타내었을 때, 각 자리의 수가 0 또는 2만으로 된 전체의 집합을 K라 하자.
S = { x + y | x, y ∈ K } 라 하면
S = { z | 0 ≤ z ≤ 2 } 임을 보여라.
9. 임의의 삼각형에서 둘레의 길이를 L, 세 중선의 길이의 합을 M 이라 할 때 M N >3
4 임 을 증명하여라.
10. C0, C1, C2, . . . 들을 다음과 같이 정의된 평면 상의 원들의 수열이라 하자.
(i) C0은 원 x2+ y2= 1 이다.
(ii) n = 0, 1, 2, . . . 에 대하여 원 Cn+1은 y ≥ 0 인 평면 위에 있고, 원 Cn과 외접하고 쌍곡선 x2− y2= 1 과 두 점에서 접한다. rn을 원 Cn의 반지름이라 할 때, rn은 정수임을 보이고, rn을 구하여라.
1994년 한국 수학올림피아드
1. 평면 위의 유한 개의 점 중 임의의 세 점을 택하여 이들을 꼭지점으로 하는 삼각형을 만들면 그 넓이는 항상 1 이하이다. 이 때, 이 유한 개의 점은 모두 넓이가 4보다 크지 않은 삼각형의 내부 또는 경계에 놓여 있음을 보여라.
2. 주어진 양의 정수 m에 대하여 m, n이 서로 소이고 (x2+ y2)m= (xy)n
을 만족시키는 자연수들의 쌍 (n, x, y)를 모두 구하여라. (단, n, x, y를 m의 함수로 나타내어라.)
3. 원에 내접하고 있는 삼각형 ABC가 있다. 호 BC, CA, AB의 중점을 각각 P , Q, R이 라 하고 선분 AP , BQ, CR이 변 BC, CA, AB와 만나는 점을 각각 L, M , N 이라 하 자. 이 때
AL P L+BM
QM +CN RN ≥ 9 임을 보여라. 또 등호가 성립하는 것은 어떤 경우인가?
4. 어떤 자연수 n에 대하여 λ1+ λ2+ · · · + λk = n 이고, λ1≥ λ2 ≥ · · · ≥ λk ≥ 1 을 만 족시키는 자연수열 (λ1, λ2, . . . , λk)를 n의 분할이라 하고, 각각의 λi를 부분이라고 한 다. 예를 들면 (4, 3, 1)은 세 부분이 모두 다른 8의 한 분할이다. 자연수 m에 대하여 n > 1
2m(m + 1) 일 때, m 부분이 모두 다른 n의 분할의 총수는 m 이하의 부분을 갖 는 n −1
2m(m + 1) 의 분할의 총수와 같음을 보여라.
5. 주어진 원 둘레 위에 임의로 세 점을 잡았을 때, 이 세 점이 반원주 위에 있을 확률을 구하여라.
6. n > 1 인 모든 자연수 n은 2 또는 3 이외의 인수를 갖지 않고, 어느 두 수도 서로 약수 또는 배수가 아닌 수들의 유한 개의 합으로 나타낼 수 있음을 보여라. 즉, i = j 일 때 음이 아닌 정수 αi, αj, βi, βj에 대하여 (αi− αj)(βi− βj) < 0 이고 n =
N
i=1
2αi3βi 이 다.
7. 0을 제외한 모든 실수에서 정의되고, 실수값을 취하는 함수 f 가 1
xf (−x) + f 1
x = x, x = 0 을 만족시킨다. 이러한 f (x)를 모두 구하여라.
20 1995년 한국 수학올림피아드
8. 반지름의 길이가 각각 r1, r2 (r1< r2) 인 두 원 O1, O2가 두 점 A, B에서 서로 만나 고 있다. 원 O1위에 임의의 점 P 를 잡고, 직선 P A, P B와 원 O2와의 교점을 각각 Q, R이라 할 때 다음 물음에 답하여라.
(1) QR = y, ∠AP B = θ 라 할 때, y를 r1, r2, θ로 나타내어라.
(2) 두 원 O1, O2가 직교하기 위한 필요충분조건은 y = 2r2 임을 보여라.
1995년 한국 수학올림피아드
1. 어느 학생이 하루 용돈으로 1,000원 또는 2,000원을 쓰는데 20일 동안 쓴 총 금액이 30,000원을 넘지 않았다. 그렇다면 연속한 며칠 동안에 쓴 용돈의 합이 꼭 7,000원이 되는 기간이 적어도 세 번 존재함을 보여라.
2. 방정식 x2− 2y2= 1 의 정수해가 무한히 많이 존재함을 보여라.
3. 정삼각형 ABC의 내부의 한 점 P 에 대하여 AP = 1, BP =√
3, CP = 2 라고 한다.
이 정삼각형의 한 변의 길이를 구하여라.
4. 자연수 n (n ≥ 3) 이 주어져 있다. 두 자연수 s, n의 최대공약수를 gcd(s, n), 세 자연 수 s, t, n의 최대공약수를 gcd(s, t, n)이라 할 때, n = pq (단, p, q는 서로 다른 소수) 에 대하여 다음 등식을 증명하여라.
n
s=1
{gcd(s, n)}2=
n
s=1 n
t=1
gcd(s, t, n)
5. n, k를 주어진 자연수라 한다. 집합 {1, 2, . . . , n}의 부분집합 X1, X2, . . . , Xk 중에서 X1∩ X2∩ X3∩ · · · ∩ Xk = φ(공집합) 을 만족하는 순서쌍 (X1, X2, . . . , Xk)의 개수를 구하여라.
6. 자연수 n에 대하여 p = 4n+ 1 이라 한다. p가 32·4n−1+ 1 의 약수이면 p는 소수임을 보여라.
7. 한 변의 길이가 2인 정n각형이 있다. n개의 꼭지점을 반시계 방향으로 A1, A2, . . . , An이 라 하고, 선분 AiAi+1 (i = 1, 2, . . . , n) 의 중점을 Mi라 하자. 단, An+1 = A1 이다.
Mn+1= M1 이라고 할 때, 선분 AiMi+1 (i = 1, 2, . . . , n) 들로 둘러싸인 작은 정n각형 과 본래의 정n각형 사이의 넓이를 Sn이라 하면
Sn< 16π
9 (n ≥ 4) 임을 증명하여라.
8. 반지름의 길이가 각각 r, R (r < R) 인 두 개의 구 S1, S2가 외접하고 두 구는 하나의 원뿔에 내접하고 있다. S1, S2의 중심을 각각 O1, O2라 할 때 다음 물음에 답하여라.
(1) 두 구 S1, S2에 외접하고 원뿔에 내접하는 구 S의 반지름의 길이 x와 S의 중심 O에서 직선 O1O2에 그은 수선의 길이 y를 r, R의 식으로 나타내어라.
(2) (1)에서 구한 S와 같은 구 n개를 이웃끼리 외접하면서 두 구 S1, S2와 원뿔 사이 에 꼭 끼워 넣을 수 있는 n의 값을 모두 구하여라.
1996년 한국 수학올림피아드
1. 단위 원의 내부 또는 둘레 위에서 임의로 4개의 점을 잡으면 항상 거리가√
2 이하인 두 점이 있음을 보여라.
2. 자연수 전체의 집합을 N 이라 할 때, 함수 f : N → N 가 두 조건 (i) 모든 n ∈ N 에 대해서 f (n + f (n)) = f (n)
(ii) 어떤 주어진 자연수 n0에 대해서 f (n0) = 1
을 만족시키면 f 는 항등적으로 f (n) = 1 (n ∈ N ) 임을 보여라.
3. 주어진 자연수 n에 대해서 a = [√
n ] 라 할 때
n
k=1
[√ k ]
을 n과 a의 식으로 나타내어라. 단, [x]는 x를 넘지 않는 최대의 정수이다.
4. 주어진 ∠XOY 의 내부에 각의 두 변에 접하는 원 C가 주어져 있다. 이 원의 중심 C를 지나고 각의 두 변에 접하는 원을 C1이라 하고, 원 C1의 C를 지나는 지름의 다른 한 끝점을 A, 이 지름과 원 C와의 교점을 B라 한다. 이 때, A를 중심, 선분 AB를 반지 름으로 하는 원은 ∠XOY 의 변에 접함을 증명하여라.
5. 방정식 x2+ y2+ z2− 2xyz = 0 을 만족시키는 정수 x, y, z를 모두 구하여라.
6. 다음 조건을 만족시키는 두 개의 수열(중복가능) {ai}, {bi} (i = 1, 2, . . . , k) 가 존재 할 k의 최소값을 구하여라.
(i) 모든 i = 1, 2, . . . , k 에 대하여 ai, bi는 집합 S = {1996n| n = 0, 1, 2, . . . } 의 원소 이다.
22 1997년 한국 수학올림피아드
(ii) 모든 i = 1, 2, . . . , k 에 대하여 ai= bi
(iii) 모든 i = 1, 2, . . . , k − 1 에 대하여 ai ≤ ai+1, bi≤ bi+1
(iv)
k
i=1
ai=
k
i=1
bi
7. 자연수 n에 대하여
1 + a1
√2+ a2
(√
2 )2+ · · · + an
(√ 2 )n
인 꼴로 표시되는 실수 전체의 집합을 An이라 하자. 단, j = 1, 2, . . . , n 에 대하여 aj = 1 또는 aj = −1 이다. 집합 An의 원소의 개수 N 을 구하고, 또 An의 서로 다른 두 원소의 곱의 총합을 구하여라.
8. AB = AC 인 예각삼각형 ABC에서, 각 A의 이등분선과 변 BC와의 교점을 V , A에 서 변 BC에 내린 수선의 발을 D라 한다. 세 점 A, V , D를 지나는 원이 변 CA, AB와 만나는 점을 각각 E, F 라 하면 세 직선 AD, BE, CF 는 한 점에서 만남을 증명하여 라.
1997년 한국 수학올림피아드
중등부
1. 임의의 자연수 n에 대하여, 두 수 (1 · 2 · · · n) + 1 과 (1 · 2 · · · n · (n + 1)) + 1 은 서로 소 임을 증명하여라.
2. 이차방정식 x2− 1154x + 1 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때, √4 α +√4
β의 값을 구하여 라.
3. 선분 CD는 원 K의 지름이다. 선분 AB는 선분 CD에 평행인 현이고, 점 E는 원 K 위의 점으로서 선분 AE는 선분 CB와 평행이다. 점 F 는 선분 AB와 선분 DE와의 교 점이고, 점 G는 직선 CD 위의 점으로서 선분 F G는 선분 CB에 평행이다. 이 때, 직 선 GA가 점 A에서 원 K에 접함을 증명하여라.
4. √ x +√
y =√
1998 을 만족하는 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)를 모두 구하여라.
5. 모든 실수 x에 대하여 2f (x) + 3f (1 − x) = x2을 만족하는 함수 f (x)를 구하여라.
6. 각 꼭지점마다 정확히 세 개의 모서리가 연결되어 있고 사각형 면은 한 개, 나머지 면 은 모두 삼각형 또는 육각형인 볼록다면체가 존재하지 않음을 증명하여라.
7. 임의의 자연수 n에 대하여, n + 1이 3의 배수이면 n의 양의 약수들의 합도 3의 배수 임을 증명하여라.
8. [(2 +√
3 )6]의 값을 구하여라. 실수 x에 대하여 [x]는 x를 넘지 않는 최대의 정수이다.
고등부
1. 자연수 n을 양의 홀수들의 합으로 표시하는 방법의 수를 f (n) 이라고 하자. (합하는 순서가 다르면 다른 방법으로 간주한다. 예를 들면, 1 + 3 + 1 과 3 + 1 + 1 은 서로 다 른 방법이다.) 3보다 큰 임의의 홀수인 소수 p에 대하여, p는 f (p)의 약수임을 증명하 여라.
2. 자연수 n에 대하여,
an=
[n/2]
k=0
n−kCk −1 4
4
라 할 때, a1997을 구하여라. 실수 x에 대하여 [x]는 x를 넘지 않는 최대의 정수이다.
3. 볼록육각형 ABCDEF 에서 AB = BC, CD = DE, EF = F A 일 때, BC
BE +DE DA+F A
F C ≥ 3 2 임을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 찾아라.
4. 임의의 홀수인 소수 p와 자연수 a, b에 대하여, 1 + 1
23 + 1
33 + · · · + 1
(p − 1)3 =a b 일 때, a는 p의 배수임을 증명하여라.
5. 임의의 삼각형 ABC의 꼭지점 A, B, C에 대한 대변의 길이를 각각 a, b, c라 하고 꼭 지점 A, B, C에서 각각의 대변에 내린 중선의 길이를 각각 x, y, z라 하자. 삼각형 ABC의 넓이를 T 라 할 때,
a2 x +b2
y +c2
z ≥ 4 √ 3T 임을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 찾아라.
6. 모든 실수 x, y에 대하여,
(i) x100+ y100≤ p(x, y) ≤ 101(x100+ y100)
24 1998년 한국 수학올림피아드
(ii) (x − y)p(x, y) = (x − 1)p(x, 1) + (1 − y)p(1, y) 를 만족하는 x, y에 관한 다항식 p(x, y)를 모두 구하여라.
7. 삼각형 ABC의 외부의 점 X, Y , Z에 대하여, ∠BAZ = ∠CAY , ∠CBX = ∠ABZ,
∠ACY = ∠BCX 일 때, 직선 AX, BY , CZ는 한 점에서 만남을 증명하여라.
8. 임의의 서로 다른 네 개의 자연수 x, y, z, w에 대하여 x2, y2, z2, w2이 등차수열을 이 룰 수 없음을 증명하여라.
1998년 한국 수학올림피아드
중등부
1. 등식 x3+ 2y3+ 4z3= 9 를 만족시키는 정수 x, y, z가 존재하지 않음을 보여라.
2. 여섯 대의 컴퓨터와 세 대의 프린터 사이를 다음의 [조건]이 만족되도록 선으로 연결 하려고 할 때, 필요한 선의 수 k의 최소값을 구하여라.
[조건] 여섯 대의 컴퓨터 중에서 어느 세 대를 택해도 동시에 프린터를 사용 할 수 있다. 단, 선은 컴퓨터와 프린터 사이만 연결할 수 있다고 한다.
3. 삼각형 ABC의 외심을 O, 수심을 H, 변 AC의 중점을 D라고 하자. 직선 BO가 삼각 형 ABC의 외접원과 만나는 또 다른 점을 E라 할 때, 세 점 H, D, E가 동일 직선 위 에 있음을 보여라.
4. 평면상에 어떤 두 직선도 서로 평행하지 않고 어떤 세 직선도 한 점에서 만나지 않는 n개의 직선이 평면을 여러 개의 영역으로 분할하고 있다고 할 때, 이 영역들 중에서 넓이가 유한한 영역의 개수를 구하여라. 단, n 3 이다.
5. 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정2n각형의 모든 변과 대각선의 길이의 제곱의 합을 구하여라. 단, n 2 이다.
6. a b c > 0 인 실수 a, b, c에 대하여 다음의 부등식을 증명하여라.
a b +b
c +c a
a + b
c + a+b + c
a + b+c + a b + c
7. 예각삼각형 ABC의 외심을 O라고 하자. 각 A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D, 점 D에서 변 BC에 수직인 직선이 직선 AO와 만나는 점을 E라고 할 때, 삼각형 ADE가 이등변삼각형임을 보여라. 단, 각 B와 각 C는 서로 다르다.
8. 집합 T 를 2k× 3l(k, l은 음이 아닌 정수) 꼴의 자연수 전체의 집합이라고 하자. 이 때, 그 합이 다시 집합 T 의 원소가 되는 1998개의 서로 다른 T 의 원소가 존재함을 보여 라.
고등부
1. 주어진 자연수 n, k, a에 대하여, 다항식 f (x) = (1 + x)n1 + (1 + x)n2 + · · · + (1 + x)nk 의 xa의 계수의 최대값을 구하여라. 단 n1, n2, . . . , nk는 n1+ n2+ · · · + nk= n 을 만 족하는 자연수이다.
2. 모든 자연수 m, n에 대하여 다음의 부등식이 성립함을 보여라.
1 n + 1
1
m + 1
m + 1
1
n 1
3. 볼록사각형 ABCD에 정삼각형 ABM , CDP 를 사각형의 내부와 겹치지 않도록 바깥 쪽으로 그리고, 정삼각형 BCN , DAQ를 사각형의 내부와 겹치도록 안쪽으로 그리자.
네 점 M , N , P , Q 중 어떤 세 점도 동일 직선 위에 있지 않다면 사각형 M N P Q가 평 행사변형임을 보여라.
4. 좌표평면에서 한 동점이 오른쪽 또는 위로 1씩 갈 수 있다고 할 때 이 동점이 점 (0,0)에 서 출발하여 (1,1), (2,2), . . . , (n, n)의 어느 점도 거치지 않고 점 (n + 1, n + 1)에 이르 는 최단경로의 개수를 구하여라.
5. (i, j)-성분 aij가 다음과 같이 정의된 행렬 A = (aij) 를 생각하자. (단, 1 i, j 1999)
aij=
1 (i j) 0 (i < j)
이 때 A의 성분 중에서 1998개의 1을 뽑되 어느 두 개도 같은 행 또는 같은 열에 있지 않도록 뽑는 방법의 수를 구하여라.
6. abc 1 인 임의의 양의 실수 a, b, c에 대하여 다음의 두 부등식이 성립함을 보여라.
1
(a + b4+ c4)+ 1
(a4+ b + c4)+ 1
(a4+ b4+ c) 1 7. 삼각형 ABC의 내심을 I라고 할 때, 부등식
IA2+ IB2+ IC2 (AB2+ BC2+ CA2) 3
이 성립함을 보이고, 등호가 성립하는 경우를 찾아라.
26 1999년 한국 수학올림피아드
8. 방정식 x3+ y3= 7z3 의 정수해 (x, y, z)가 무한히 많음을 보여라. 단, x, y, z의 최대 공약수는 1이다.
1999년 한국 수학올림피아드
중등부
1. 볼록사각형 ABCD의 내부에 OA = OB, OC = OD, 그리고 ∠AOB = 90◦ =
∠COD를 만족시키는 점 O가 있다고 하자. 선분 AC를 한 변으로 하고 점 B의 반 대쪽에 있는 정사각형과 선분 BD를 한 변으로 하고 점 C의 반대쪽에 있는 정사각형 의 공통부분이 정사각형일 때, 사각형 ABCD가 원에 내접함을 증명하라.
2. 세 개의 정수에 대하여, 이 수들의 합, 제곱의 합, 세제곱의 합을 각각 A, B, C라고 하자. 9A B + 60, C 360일 때, A, B, C의 값을 구하라.
3. 1 a < b 100이고
a + b
a = b + a b
인 자연수의 정수쌍 (a, b)의 개수를 구하라. 단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수 를 나타낸다.
4. 평면에서 반지름의 길이가 1인 원 C와 한 변의 길이가 a인 정사각형 R이 있다. 원 C는 고정되어 있고 정사각형 R이 평행이동하면서 그 중심이 원 C의 내부와 원주상 을 움직일 때, 정사각형 R이 움직여서 생기는 영역의 넓이를 구하라.
5. 예각삼각형 ABC의 외심을 O, 직선 CO와 변 AB가 만나는 점을 P , 직선 BO와 변 AC가 만나는 점을 Q라고 하자. 이 때, BP = P Q = QC일 필요충분조건은 ∠A = 60◦임을 증명하라.
6. 자연수 m에 대하여, m을 나누는 가장 작은 소수를 p(m)이라고 하자. p(m)4 > m를 만족시키는 자연수 m이 가질 수 있는 약수의 최대 개수를 구하라.
7. ∠BA0C = 14◦인 두 반직선 A0B, A0C 위에 다음과 같이 점 A1, A2, · · · 를 찍는다.
(ⅰ)먼저 점 A1을 반직선 A0B 위에 임의로 찍는다. 단, A0= A1
(ⅱ) n 2에 대하여 점 An−1이 반직선 A0B 위에 있으면 점 An을 반직선 A0C 위에, 그리고 점 An−1이 반직선 A0C 위에 있으면 점 An을 반직선 A0B 위에 An−2An−1=
An−1An이 되도록 찍는다. A0, A1, · · · , An이 모두 서로 다르다고 할 때, 점 An을 찍 을 수 있는 n의 최대값을 구하라.
8. 집합 S = {1, 2, · · · , n}에 대하여
[조건] 모든 i, j = 1, 2, · · · , m에 대하여 Ai∪ Aj= S
를 만족시키는 S의 서로 다른 부분집합 A1, A2, · · · , Am이 존재할 자연수 m의 최대 값을 구하라.
고등부
1. 방정식 xy = 2x− 1의 정수해를 모두 구하라.
2. 방정식 (a +√
b)13+ (a −√
b)13 = 1을 만족시키는 자연수의 순서쌍 (a, b)를 모두 구하 라.
3. 예각삼각형 ABC의 꼭지점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 D, 직선 AD가 삼각형 ABC의 외접원 O와 만나는 A가 아닌 점을 E, 점 E에서 직선 AC에 내린 수선의 발 을 F 라고 할 때, 삼각형 ADF 의 외접원의 넓이와 삼각형 CEF 의 외접원의 넓이의 합 은 원 O의 넓이와 같음을 증명하라. 단, ∠B = ∠C이다.
4. 한 모서리의 길이가 1인 정육면체를 단위정육면체라고 한다. 자연수 l, m, n에 대하 여 lmn개의 단위 정육면체를 쌓아서 세 모서리의 길이가 각각 l, m, n인 정육면체를 만들었다고 할 때, 이 직육면체의 한 대각선이 내부를 통과하는 단위 정육면체의 개 수를 구하라.
5. 소수 p가 어떤 정수 a에 대하여 a2+ 2의 약수일 때, p 또는 2p가 x2+ 2y2꼴이 됨을 증 명하라. 단, x, y는 정수이다.
6. 사면체 ABCD의 모서리 AB, CD, AC, BD, AD, BC의 중점을 차례로 K, L, M, N, O, P 라 고 하자. AB = CD, AC = BD, AD = BC일 때,
AB KL
2+ AC M N
2+ AD OP
2 6
이 성립함을 증명하라.
7. 정삼각형 ABC의 변 AC를 한 변으로 하는 정사각형 ACDE가 점 B의 반대쪽에 있 다. 점 X가 정사각형 ACDE의 내접원 O위를 움직일 때 삼각형 BCX의 외심 Y 의 자 취의 양 끝점을 각각 P, Q하고 하자. 이 때, OP = OQ임을 증명하라.
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8. 자연수 n이 음 아닌 정수 s, t에 대하여 4s(8t + 7)꼴이 아니면 n은 세 개의 정수의 합 으로 쓸 수 있다. 이 사실을 이용하여 다음을 증명하라. 홀수인 두 자연수 a, b에 대 하여
b2
4 < a < b2 3
이면 a = x2+y2+z2+w2, b = x+y+z+w를 동시에 만족시키는 자연수 x, y, z, w가 존재한다.
2000년 한국 수학올림피아드
중등부
1. 임의의 자연수 a에 대해, a3+ 1 과 a7+ 1 의 최대공약수는 a + 1 임을 증명하여라.
2. 일요일부터 토요일까지의 연속된 7일 중에서 같은 달에 속해 있는 날들을 한 주간이 라고 부르자. 예를 들어 어느 달의 말일이 일요일이면 그 달의 마지막 주간은 그 말일 하루로 이루어진다. 1월 1일부터 같은 해의 12월 31일까지를 한 해라고 할 때, 한 해 에 들어있는 주간의 최대값과 최소값을 구하여라.
3. 예각 삼각형 ABC가 원 O에 내접한다. 점 A에서 BC에 내린 수선의 발을 P 라 하고, AP 의 연장선이 원 O와 만나는 점을 D라 하자. AB와 AC의 중점을 각각 M , N 이라 하고, M P 의 연장선이 CD와 만나는 점을 Q, N P 의 연장선이 BD와 만나는 점을 R이 라 하자. 이 때, 세 직선 AD, BQ, CR이 한 점에서 만날 필요충분조건은 AB = AC 임을 보여라.
4. 1 ≤ a, b ≤ 2 를 만족하는 실수 a, b에 대해 다음 부등식이 성립함을 보여라.
2(a + b)2≤ 9ab
5. 2000자리의 수 a는 최고자리의 수가 2이고, a = 2( )99 · · · 99( )( ) 와 같이 가운데 1996개 자리의 수는 9이고, 또한 a는 10의 배수가 아니다. 처음 두 자리와 마지막 두 자리의 숫자를 두 자리의 수로 보아 그 두 수의 합이 99이다. a를 나타내는 숫자를 거 꾸로 배열한 수를 b라 할 때 곱 ab가 완전제곱수가 되는 자연수 a를 모두 구하여라.
6. x, y, z를 xyz ≥ x + y + z 를 만족하는 양의 실수라 하자. 이 때 다음 부등식이 성립함 을 보여라.
2x2+ yz + 2y2+ zx + 2z2+ xy ≥ 9
