239
⑴ AB”="√{-2-(-3)}¤ +{√-4-(-2)}¤
='5
⑵ AB”=øπ{(1+'3)-2}¤ +π{1-(-'3)}¤
='8=2'2
답 ⑴'5 ⑵ 2'2
240
AB”=BC”이므로
"√(2-3)¤ +{√a-(-2)}¤ ="√(6-2)¤ +(1-a)¤
양변을 제곱하여 정리하면 a¤ +4a+5=a¤ -2a+17
6a=12이므∴ a=2 답 2
241
AB”=2'3이므로
"√(1-a)¤ +(√2-a-3)¤ =2'3
양변을 제곱하면 (1-a)¤ +(-a-1)¤ =12 a¤ =5이므∴ a=—'5
따라서 구하는 a의 값의 합은'5+(-'5)=0 답 0
242
P(a, 0)이라 하면 AP”=BP”에서 AP”¤ =BP”¤ 이므로 (a-1)¤ +(0-4)¤ ={a-(-2)}¤ +(0-3)¤
a¤ -2a+17=a¤ +4a+13 -6a=-4정리∴ a=;3@;
∴ P{;3@;, 0}
Q(0, b)라 하면 AQ”=BQ”에서 AQ” ¤ =BQ” ¤ 이므로 (0-1)¤ +(b-4)¤ ={0-(-2)}¤ +(b-3)¤
b¤ -8b+17=b¤ -6b+13 -2b=-4정리∴ b=2
∴ Q(0, 2)
답 P{;3@;, 0}, Q(0, 2)
246
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 AP” ¤ +BP” ¤
=(x+3)¤ +(y-2)¤ +(x-4)¤ +(y-5)¤
=2x¤ -2x+2y¤ -14y+54
=2{x-;2!;}¤ +2{y-;2&;}¤ +29
이므로 AP”¤ +BP”¤ 은 x=;2!;, y=;2&;일 때 최솟값 29 를 갖는다.
따라서 구하는 점 P의 좌표는 {;2!;, ;2&;}이다.
답 P{;2!;, ;2&;}
247
AP”¤ +BP”¤ +CP”¤
=(a+2)¤ +(b-5)¤ +(a-3)¤ +(b-8)¤
+(a-5)¤ +(b-2)¤
=3a¤ -12a+3b¤ -30b+131
=3(a-2)¤ +3(b-5)¤ +44
이므로 AP”¤ +BP”¤ +CP”¤ 은 a=2, b=5일 때 최솟 값 44를 갖는다.
즉 점 P(2, 5)에서 m=44
∴ a+b+m=51 답 51
참고집AP”¤ +BP”¤ +CP”¤ 의 값이 최소가 되도록 하는 점 P의 좌표는 삼각형 ABC의 무게중심과 일치한다.
P{ , }, 즉 P(2, 5)
248
△ABC의 외심의 좌표를 P(x, y)라 하면 점 P에 서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같으므로
P’A”= PB”=PC”
P’A”=PB” 에서 P’A” ¤ =PB” ¤ 이므로 (x+2)¤ +(y-3)¤ =(x-4)¤ +(y-5)¤
x¤ +4x+4+y¤ -6y+9
=x¤ -8x+16+y¤ -10y+25
∴ 3x+y=7 yy㉠㉠㉠
5+8+2 13114553 -2+3+5
131145513
243
점 P(a, b)가 직선 y=-x+2 위에 있으므로
b=-a+2 yy㉠직선
점 P(a, -a+2)가 두 점 A(2, 3), B(1, 4)에서 같은 거리에 있으므로 AP”=BP”에서 AP”¤ =BP”¤
(a-2)¤ +(-a+2-3)¤ =(a-1)¤ +(-a+2-4)¤
a¤ -4a+4+a¤ +2a+1=a¤ -2a+1+a¤ +4a+4 -4a=0므로∴ a=0
a=0을 ㉠에 대입하면 b=2
∴ ab=0 답 0
244
△ABC의 세 변의 길이를 각각 구하면 AB”="√1¤ +(-2-1)¤ ='ß10
BC”="√(3-1)¤ +(2+2)¤ ='ß20 CA”="√(-3√)¤ +√(1-√2)¤ ='ß10 AB” ¤ =10, BC” ¤ =20, CA” ¤ =10이므로 BC” ¤ =AB” ¤ +CA” ¤
따라서 △ABC는 ∠A=90˘인 직각삼각형이므로 그 넓이는
;2!;_AB”_CA”=;2!;_'ß10_'ß10=5 답 5
245
점 A와 y축에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(-1, 9)
AP”=A’'P”이므로 AP”+BP”=A’'P”+BP”
æA’'B”
="√(5+1)¤ +(1-9)¤
=10
따라서 AP”+BP”의 최솟값은 10이다. 답 10
O x
y
A(1, 9) A'(-1, 9)
P B(5, 1)
확인 체 크
=3, =-1
에서 12+b=6+3b, 2a-5b=-2-b 2b=6, a-2b=-1
∴ a=5, b=3
따라서 점 Q는 두 점 A(1, -5), B(6, 5)에 대하여 선분 AB를 3：2로 외분하는 점이므로 점 Q의 좌표는
{ , }
∴ Q(16, 25) 답 Q(16, 25)
252
2AC”=3BC”를 비례식으로 나타내면 AC”：BC”=3：2
즉 오른쪽 그림에서 점 C는 AB”를 3：2로 외분하는 점이다.
따라서 점 C의 좌표는
{ , }
∴ C(11, 22) 답 C(11, 22)
253
선분 AB를 (1-t)：t로 내분하는 점의 좌표는
{ , }
∴ (1-3t, 5t-1)
이 점이 제 1 사분면 위의 점이므로 1-3t>0, 5t-1>0
∴;5!;<t<;3!; yy㉠㉠㉠
한편 (1-t)：t에서 1-t>0, t>0
∴ 0<t<1 yy㉡㉠㉠
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
;5!;<t<;3!;
따라서 a=;5!;, b=;3!;이므로
:¡:a`+:¡:b`=5+3=8 답 8 (1-t)¥(-1)+t¥4 1122211111(1-t)+t (1-t)¥1+t¥(-2)
1122211111(1-t)+t
3¥6-2¥(-2) 11211113-2 3¥3-2¥(-1)
11211113-2
B(3, 6) C
A(-1, -2) 2 3
3¥5-2¥(-5) 1123144145253-2 3¥6-2¥1
11231443-2
2¥a+b¥(-5) 1123112152+b 2¥6+b¥1
11231252+b P’A”= P’C” 에서 P’A” ¤ =PC” ¤ 이므로
(x+2)¤ +(y-3)¤ =(x-1)¤ +(y+6)¤
x¤ +4x+4+y¤ -6y+9
=x¤ -2x+1+y¤ +12y+36
∴ x-3y=4 yy㉡㉠㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=;2%;, y=-;2!;
따라서 △ABC의 외심 P의 좌표는 {;2%;, -;2!;}이다.
이때 외접원의 반지름의 길이 r는 r=P’A”=PB”= P’C”이므로
r=P’A”=æ≠{-≠2-;≠2%;}2 ≠+{3≠+;2!–;}2 = 답 외심의 좌표：{;2%;, -;2!;}
답 외접원의 반지름의 길이：
249
점 M이 BC”의 중점이므로 중선 정리에 의하여 AB” ¤ +AC” ¤ =2(AM” ¤ +BM” ¤ )
9¤ +7¤ =2(AM” ¤ +4¤ ), AM” ¤ =49
∴ AM” =7 답 7
250
선분 AB를 2：1로 내분하는 점 P의 좌표는
{ , }
∴ P(3, 0)
선분 AB를 3：2로 외분하는 점 Q의 좌표는
{ , }
∴ Q(17, -14)
따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는 { , }중점∴ (10, -7)
답 (10, -7)
251
선분 AB를 2：b로 내분하는 점 P의 좌표가 (3, -1) 이므로
0+(-14) 1111232 11233+172
3¥(-2)-2¥4 11211113-2 3¥5-2¥(-1)
11211113-2
2¥(-2)+1¥4 11211112+1 2¥5+1¥(-1)
11211112+1
'∂13ß0 11252 '∂130 1122
, ,
이므로 △DEF의 무게중심의 x좌표는
=
즉 △DEF의 무게중심의 x좌표는 △ABC의 무게 중심의 x좌표와 일치한다.
같은 방법으로 △DEF의 무게중심의 y좌표를 구하 면 △ABC의 무게중심의 y좌표와 일치한다.
따라서 △DEF의 무게중심은 △ABC의 무게중심 과 일치한다.
256
△ABC의 무게중심의 좌표는
{ , }=(1, 1)이므로
=1에서 a=-1
=1에서 b=-4
∴ a=-1, b=-4 답 a=-1, b=-4
257
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하 므로 (B’D’의 중점의 좌표)=(A’C’의 중점의 좌표) 꼭짓점 D의 좌표를 (x, y)라 하면
{ , }={ , }
=-;2!;에서 x=-3
=;2#;에서 y=2
∴ D(-3, 2) 답 D(-3, 2)
258
마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하 므로
1121+y2 1122+x2
1120+32 11223-1+02 1121+y2
1122+x2 112b+73 112a+43
b+2+5 112123 a+4+0
112123 x¡+x™+x£
11211423
mx¡+nx£
112114m+n mx£+nx™
112114m+n mx™+nx¡
112114m+n
254
AD”는 ∠A의 이등분선이 므로
AB”：AC”=BD”：DC”
AB”="√(-4)¤ +(1√-9)¤
=4'5
AC”="√(6-4)¤ +(√5-9)¤ =2'5
∴ BD”：DC”=AB”：AC”=4'5：2'5=2：1 따라서 점 D는 BC”를 2：1로 내분하는 점이므로 점 D의 좌표는
{ , }∴∴∴ D {4, :¡3¡:}
∴ a+b=4+:¡3¡:=:™3£: 답 :™3£:
255
세 변 AB, BC, CA의 중점을 각각 D, E, F라 하면
△ABC의 무게중심은 △DEF의 무게중심과 일치 한다.
따라서 △ABC의 무게중심의 좌표는 { , }∴∴∴ (2, 2)
답 (2, 2) 참고집원래의 삼각형의 무게중심과 삼각형의 세 변 을 일정한 비율로 내분하여 만든 삼각형의 무게중심 은 일치한다.
다음 그림과 같이 △ABC의 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 각각 A(x¡, y¡), B(x™, y™), C(x£, y£)이라 하자.
이때 변 AB, BC, CA를 각각 m：n(m>0, n>0) 으로 내분하는 점을 각각 D, E, F라 하고, 이 세 점 의 x좌표를 각각 구하면
A(x¡, y¡)
C(x£, y£)
B(x™, y™) O x
G y
m m
n n m n
D E
F
4-3+5 112123 -2+1+7
1121123
2¥5+1¥1 1122212+1 2¥6+1¥0
1122212+1
A(4, 9)
C(6, 5) D
B(0, 1)
+ +
1111111111111111123 mx¡+nx£
112114m+n mx£+nx™
112114m+n mx™+nx¡
112114m+n
확인 체 크 따라서 기울기가 이고 점 (2'3, -1)을 지나는
직선의 방정식은 y+1= (x-2'3)
∴ y= x-3 답 y= x-3
262
두 점 (a, 4), (-2, a)를 지나는 직선의 기울기가 4
이므로 =4
a-4=-8-4a∴∴∴ a=-;5$;
따라서 기울기가 4이고 점{-;5$;, 4}를 지나는 직선 의 방정식은
y-4=4{x+;5$;}짓점∴ y=4x+:£5§:
답 y=4x+:£5§:
263
두 점 (2, 1), (3, 4)를 지나는 직선의 기울기는
=3
이므로 이 직선에 평행한 직선의 기울기는 3이다.
따라서 기울기가 3이고 점 (-1, 2)를 지나는 직선의 방정식은
y-2=3(x+1)이므∴ y=3x+5
답 y=3x+5
264
세 점 A(-2, 3), B(1, 2), C(a, 8)이 한 직선 위 에 있으므로
(직선 AB의 기울기)=(직선 BC의 기울기)
=
-;3!;= 6 ∴∴∴ a=-17 답 -17
121a-1 1128-2a-1 112122-3
1-(-2) 1124-13-2
1211-2-aa-4
12'33 12'33
12'33
12'33 (AC”의 중점의 좌표)=(BD”의 중점의 좌표)
{ , }={ , }
= 이므
∴ b=a+4 yy㉠㉠㉠
또 마름모의 정의에 의하여 AD”=DC”이므로
"√(2+2)¤ +(1-3)¤ ="√(-2-a)¤ +(3-ç7)¤
양변을 제곱하여 정리하면 a¤ +4a=0, a(a+4)=0
∴ a=0 또는 a=-4 yy㉡㉠㉠
㉡을 ㉠에 대입하면
a=0, b=4 또는 a=-4, b=0 그런데 a<0이므로 a=-4, b=0
∴ a+b=-4 답 -4
259
⑴ y-2=-3(x+1)∴∴∴ y=-3x-1
⑵ y-3= (x+2) ∴ y=-;5&; x+;5!;
⑶;2{;+;3};=1∴∴∴ y=-;2#; x+3
⑷ x=-3
⑸ y=3 답 풀이 참조
260
선분 AB를 1：2로 내분하는 점의 좌표는 { , }∴∴∴ (1, 2) 따라서 점 (1, 2)를 지나고 기울기가 -3인 직선의 방정식은
y-2=-3(x-1)
∴ y=-3x+5 답 y=-3x+5
261
x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 30˘이므로 (기울기)=tan 30˘= '3
123 1¥4+2¥1 1123144551+2 1¥5+2¥(-1)
1123144135551+2 1123123-(-2)-4-3 112b-22 1122+a2
1125+32 112b-22 1121+72
1122+a2
269
⑴ ax+by+c=0에서 a=0이므로 y=-;bC;
bc<0에서;bC;<0에에∴ -;bC;>0 따라서 x축에 평행하고 y 절편이 양수인 직선의 개 형은 오른쪽 그림과 같으 므로 이 직선은 제`1, 2`사 분면을 지난다.
⑵ ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;이므로 기울기：-;bA;, y절편：-;bC;
ab<0, bc<0에서 ;bA;<0, ;bC;<0에에
∴ -;bA;>0, -;bC;>0 따라서 기울기가 양수, y 절편이 양수인 직선의 개 형은 오른쪽 그림과 같으 므로 이 직선은 제`1, 2, 3`
사분면을 지난다.
⑶ ax+by+c=0에서 c=0이므로 y=-;bA;x ab<0에서;bA;<0짓짓∴ -;bA;>0
따라서 기울기가 양수이고 원점을 지나는 직선의 개 형은 오른쪽 그림과 같으 므로 이 직선은 제`1, 3`사 분면을 지난다.
답 ⑴ 제`1, 2`사분면 ⑵ 제`1, 2, 3`사분면
⑶ 제`1, 3`사분면
270
ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;이므로 기울기：-;bA;, y절편：-;bC;
ab>0, bc<0에서 ;bA;>0, ;bC;<0므로
O x y
O x y O x
y
265
직선 ;5{;+;2};=1의 x절편은 5, y절편은 2이므로 오른쪽 그림에서 삼각형의 넓이는
;2!;_5_2=5 답 5
266
직선 ax+4y=2a(a>0)에 y=0을 대입하면 x절편은 2, x=0을 대입하면 y절편은;2A;
오른쪽 그림의 삼각형의 넓이가 8이 므로
;2!;_2_;2A;=8에에∴ a=16 답 16
267
직선 y=ax는 원점 O를 지나므로 △OAB의 넓이를 이등분하려면 AB”의 중점을 지나야 한다.
AB”의 중점의 좌표는
{ , }
∴ (6, -1)
따라서 직선 y=ax는 점 (6, -1)을 지나므로 -1=6a에에∴ a=-;6!; 답 -;6!;
268
직사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 직사각형의 두 대각선의 교점을 지난다.
따라서 직선 kx-4y+3=0이 ABCD의 두 대각 선의 교점{ , }, 즉 (3, 3)을 지나야 하 므로
3k-12+3=0
∴ k=3 답 3
1122+42 1121+52 1214-62 1214+82
O 2 x y a 2
x
O 5
2 y
확인 체 크
⑷ 두 직선이 한 점에서 만나므로 +
a¤ -a-2+-2, a¤ -a+0, a(a-1)+0
∴ a+0, a+1인 모든 실수
답 ⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ -4
⑷ a+0, a+1인 모든 실수
273
직선 ax-3y=5가 직선 x-6y=3에 평행하므로
;1A;=;6#;+;3%;이므∴ a=;2!;
직선 3x+2y+5=0이 직선 2x-by+1=0에 수직 이므로
3¥2+2¥(-b)=0이므∴ b=3
∴ a+b=;2!;+3=;2&; 답 ;2&;
274
직선 AB의 기울기는 =-1이므로 AB”
에 수직인 직선의 기울기는 1이다.
또 AB”의 수직이등분선은 AB”의 중점
{ , }, 즉 (2, -1)을 지나므로 AB”의 수직이등분선의 방정식은
y+1=1¥(x-2)의의∴ y=x-3
답 y=x-3
275
점 A에서 변 BC에 내 린 수선의 발을 D라 하 면 직선 BC의 기울기는
=-;3!;이므로 직선 AD의 기울기는 3이다.
따라서 직선 AD의 방정식은 y+1=3(x-3)
∴ y=3x-10 yy㉠㉠㉠
122336-42-8 O x
E D C(2, 6)
B(8, 4)
A(3, -1) y
122332-42 122123-1+52
12212235-(-1)-4-2 12115555-(a-2)1
124444a+12
∴ -;bA;<0, -;bC;>0
따라서 직선 ax+by+c=0의 기울기가 음수이고 y절편이 양수이므로 직선의 개형은 ③과 같다.
답 ③
271
직선 2x+3y-12=0의 기울기는 -;3@;이므로 수직 인 직선의 기울기는;2#; 이다.
따라서 기울기가;2#; 이고 점 (3, -2)를 지나는 직선 의 방정식은
y+2=;2#;(x-3)므로∴ y=;2#;x-:¡2£:
답 y=;2#;x-:¡2£:
272
⑴ 두 직선이 평행하므로
= +
⁄ = 에서
a¤ -a-2=-2, a¤ -a=0
a(a-1)=0에서∴ a=0 또는 a=1
¤ + 에서 a+1
⁄, ¤에서 a=0
⑵ 두 직선이 일치하므로
= =
⁄ = 에서
a¤ -a-2=-2, a¤ -a=0
a(a-1)=0에서∴ a=0 또는 a=1
¤ = 에서 a=1
⁄, ¤에서 a=1
⑶ 두 직선이 수직이므로 (a+1)¥2+1¥{-(a-2)}=0
∴ a=-4
1255-1-1 12115555-(a-2)1
12115555-(a-2)1 124444a+12
1255-1-1 12115555-(a-2)1 124444a+12
1255-1-1 12115555-(a-2)1
12111-(a-2)1 124444a+12
1255-1-1 12115555-(a-2)1 124444a+12
이 식은 k에 대한 항등식이므로 -x+y-3=0, 2x-y=0 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=6
∴ P(3, 6) 답 P(3, 6)
278
두 직선 3x+2y=-1, 2x-y+10=0의 교점을 지 나는 직선의 방정식은
(3x+2y+1)+k(2x-y+10)=0(k는 실수) yy㉠㉠㉠
이 직선이 원점을 지나므로 1+10k=0㉠㉠∴ k=-;1¡0;
k=-;1¡0;을 ㉠에 대입하면
(3x+2y+1)-;1¡0;(2x-y+10)=0
∴ 4x+3y=0 답 4x+3y=0
다른풀이집두 직선의 교점을 두 식을 연립하여 구하면 x=-3, y=4㉠㉠∴ 교점：(-3, 4)
따라서 두 점 (-3, 4), (0, 0)을 지나는 직선의 방 정식은
y=-;3$;x에서∴ 4x+3y=0
279
y=-;2#;x-;2!; 을 일반형으로 고치면 3x+2y+1=0
두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 (3x+2y+1)+k(2x-y+10)=0(k는 실수)
∴ (3+2k)x+(2-k)y+1+10k=0 y ㉠㉠㉠
직선 ㉠이 직선 x+3y-3=0에 수직이므로 (3+2k)¥1+(2-k)¥3=0㉠㉠∴ k=9 k=9를 ㉠에 대입하면
21x-7y+91=0㉠㉠∴ 3x-y+13=0
답 3x-y+13=0
280
mx+y-m+1=0을 m에 대하여 정리하면
(x-1)m+y+1=0 yy㉠㉠㉠
또 점 B에서 변 AC에 내린 수선의 발을 E라 하면 직선 AC의 기울기는 =-7이므로 직선 BE의 기울기는 ;7!;이다.
따라서 직선 BE의 방정식은 y-4=;7!;(x-8)
∴ y=;7!;x+:™7º: yy㉡㉠㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=;2(;, y=;2&;
따라서 구하는 세 수선의 교점의 좌표는{;2(;, ;2&;}이다.
답 {;2(;, ;2&;}
276
2x+y+1=0 yy㉠㉠㉠
x-y+2=0 yy㉡㉠㉠
ax-y=0 yy㉢㉠㉠
⁄두 직선 ㉠, ㉡은 평행하지 않으므로 세 직선이 모두 평행하지는 않다.
¤두 직선 ㉠, ㉢이 평행한 경우
⁄;2A;= +;1);㉠㉠∴ a=-2
⁄두 직선 ㉡, ㉢이 평행한 경우
⁄;1A;=;1!;+;2);㉠㉠∴ a=1
‹세 직선이 한 점에서 만나는 경우
⁄㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=-1, y=1이므로 직 선 ㉢이 두 직선 ㉠, ㉡의 교점 (-1, 1)을 지나 야 한다.
⁄즉 -a-1=0∴∴∴ a=-1
⁄, ¤, ‹에서 모든 a의 값의 합은
-2+1+(-1)=-2 답 -2
277
(2k-1)x-(k-1)y-3=0을 k에 대하여 정리하면 (-x+y-3)+(2x-y)k=0
122-11
6-(-1) 12233122-3
확인 체 크 만약 주어진 문제가‘두 점 A, B를 이은 선분 AB와
만나도록’하는 실수 m의 값의 범위를 구하는 문제라면 -;5!;…m…;2!;이 된다.
282
2x+5y=0, x+3y=1을 연립하여 풀면 x=-5, y=2
따라서 점 (-5, 2)와 직선 3x+2y-2=0 사이의 거리는
= ='1ß3
답 '1ß3
283
점 (1, a)와 직선 3x+y-5=0 사이의 거리가 '∂10 이므로
='∂10
|a-2|=10, a-2=—10
∴ a=12 또는 a=-8 답 -8또는 12
284
두 직선 x-y+1=0, x-2y+3=0의 교점을 지나 는 직선의 방정식은
(x-y+1)+k(x-2y+3)=0(k는 실수)
∴ (k+1)x-(2k+1)y+3k+1=0점yy㉠ 직선 ㉠에서 원점에 이르는 거리가 1이므로
=1
|3k+1|="√5k¤ +6k+2 양변을 제곱하면
9k¤ +6k+1=5k¤ +6k+2 4k¤ =1∴∴∴ k=—;2!;
⁄k=;2!;을 ㉠에 대입하면
;2#;x-2y+;2%;=0∴∴∴ 3x-4y+5=0
|3k+1|
122331111111
"√(k+1)¤ +√(2k+1)¤
|3+a-5|
1223311
"√3¤ +1¤
122313 '∂13
|3¥(-5)+2¥2-2|
12233111111
"√3¤ +2¤
이므로 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 점 (1, -1) 을 지난다.
오른쪽 그림과 같이 직선
㉠이 직선 x+y+1=0과 제`3사분면에서 만나도록 직선 ㉠`을 움직여 보면
⁄직선 ㉠이 점 (-1, 0) 을 지날 때,
⁄-2m+1=0㉠㉠∴ m=;2!;
¤직선 ㉠이 점 (0, -1)을 지날 때,
⁄-m=0㉠㉠∴ m=0
⁄, ¤에서 구하는 m의 값의 범위는
0<m<;2!; 답 0<m<;2!;
281
y=mx+2에서 xm+2-y=0 yy㉠㉠㉠
이므로 이 직선은 m의 값 에 관계없이 점 (0, 2)를 지난다.
오른쪽 그림과 같이 직선
㉠이 두 점 A, B 사이를 지나도록 직선 ㉠을 움직여 보면
⁄직선 ㉠이 점 A(5, 1)을 지날 때,
⁄5m+2-1=0㉠㉠∴ m=-;5!;
¤직선 ㉠이 점 B(2, 3)을 지날 때,
⁄2m+2-3=0㉠㉠∴ m=;2!;
⁄, ¤에서 구하는 m의 값의 범위는
-;5!;<m<;2!; 답 -;5!;<m<;2!;
주의집주어진 직선이‘두 점 A, B 사이를 지나도록’
하는 실수 m의 값의 범위는 -;5!;…m…;2!;이 아닌 -;5!;<m<;2!;로 답해야 한다.
왜냐하면‘두 점 A, B를 각각 만나는 경우’를 제외해 야 하므로 m+-;5!;, m+;2!;이기 때문이다.
O B
A 5 2 2 3
1 ⁄
¤
x y
x O
1
-1 -1
y
x+y+1=0
¤
⁄
287
두 직선 2x-y+2=0, 2x-y-3=0이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는 직선 2x-y+2=0 위의 한 점 (0, 2)에서 직선 2x-y-3=0에 이르는 거리와 같다.
따라서 구하는 거리는
='5 답 '5
288
두 직선 x+y-3=0, x+y+m=0이 평행하므로 직선 x+y-3=0 위의 한 점 (0, 3)에서 직선 x+y+m=0에 이르는 거리가 4'2이다. 즉
=4'2
|3+m|=8, 3+m=—8
∴ m=5 또는 m=-11
이때 m>0이므로 m=5 답 5
289
각의 이등분선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선 x+2y+3=0,
2x-y-5=0에 이르는 거리는 같으므로
=
|x+2y+3|=|2x-y-5|
x+2y+3=—(2x-y-5)
∴ x-3y-8=0 또는 3x+y-2=0
답 x-3y-8=0또는 3x+y-2=0
290
⑴ (x-2)¤ +(y-1)¤ =3
⑵ 원의 반지름의 길이를 r라 하면 (x-1)¤ +(y+2)¤ =r¤
이 원이 점 (4, 2)를 지나므로 (4-1)¤ +(2+2)¤ =r¤나므∴ r¤ =25
∴ (x-1)¤ +(y+2)¤ =25
⑶ 구하는 원의 방정식을 x¤ +y¤ +Ax+By+C=0
|2x-y-5|
12121212
"√2¤ +(-1)¤
|x+2y+3|
1212121
"√1¤ +2¤
|0+3+m|
1212121
"√1¤ +1¤
|-2-3|
12121122
"√2¤ +(-1)¤
¤k=-;2!;을 ㉠에 대입하면
;2!;x-;2!;=0∴∴∴ x=1
⁄, ¤에서 구하는 직선의 방정식은 3x-4y+5=0또는 x=1
답 3x-4y+5=0또는 x=1
285
2x+y-5+k(x-2y)=0에서
(2+k)x+(1-2k)y-5=0 yy㉠㉠㉠
원점과 직선 ㉠ 사이의 거리 f(k)는
`f(k)= =
이때 `f(k)의 값이 최대가 되려면 분모 "√5k¤ +5가 최솟값을 가져야 한다.
임의의 실수 k에 대하여 k¤ æ0이므로 k=0일 때 분 모는 최솟값'5를 갖는다.
따라서 `f(k)의 최댓값은 ='5 답 '5
286
밑변 AB의 길이는
AB”="√(3-1)¤ +√(-1-2)¤ ='∂13 직선 AB의 방정식은
y-2= (x-1)
∴ 3x+2y-7=0
△ABC의 높이 h는 점 C(a, 4)와 직선 AB 사이의 거리이므로
h= =
△ABC의 넓이가 8이므로
;2!;¥AB”¥h=;2!;¥'∂13¥ =8
|3a+1|=16, 3a+1=—16
∴ a=5 또는 a=-:¡3¶:
따라서 정수 a의 값은 5이다. 답 5
|3a+1|
12121
"√13
|3a+1|
12121
"√13
|3a+8-7|
121111
"√3¤ +2¤
1211-1-23-1
C(a, 4)
B(3, -1) A(1, 2)
h
125 '5
12233135
"√5k¤ +5 1223311111123|-5|
"√(2+k)¤ +√(1-2k)¤
확인 체 크
292
x¤ +y¤ +2x-4y-15+k=0에서 (x+1)¤ +(y-2)¤ =20-k
이 원의 반지름의 길이가 5이므로'∂20ß-k =5 양변을 제곱하면 20-k=25∴∴
∴ k=-5 답 -5
293
x¤ +y¤ -2(a+1)x+2ay+3a¤ -2=0에서 {x¤ -2(a+1)x+(a+1)¤ }-(a+1)¤
+(y¤ +2ay+a¤ )-a¤ +3a¤ -2=0 {x-(a+1)}¤ +(y+a)¤ =-a¤ +2a+3 이 방정식이 원을 나타내려면 -a¤ +2a+3>0 a¤ -2a-3<0, (a+1)(a-3)<0
∴ -1<a<3
따라서 정수 a의 최솟값은 0이다. 답 0
294
⑴ AB”의 중점이 원의 중심이므로 중심의 좌표는
{ , }=(2, 4)
AB”가 원의 지름이므로 원의 반지름의 길이는
;2!;AB”=;2!;"√(-1-√5)¤ √+(7√-1≈)¤
=;2!;¥6'2=3'2 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-2)¤ +(y-4)¤ =18
⑵ AB”의 중점이 원의 중심이므로 중심의 좌표는 { , }=(2, -1)
AB”가 원의 지름이므로 원의 반지름의 길이는
;2!;AB”=;2!;"√(5+1)¤ +(1+3)¤
=;2!;¥2'∂13='∂13 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-2)¤ +(y+1)¤ =13
답 ⑴ (x-2)¤ +(y-4)¤ =18
⑵ (x-2)¤ +(y+1)¤ =13 12123-3+12
1121-1+52
1211+72 5+(-1)
112112 으로 놓으면 세 점 (0, 0), (3, 1), (-1, 2)를 지
나므로
(0, 0)˙k C=0 yy㉠㉠㉠
(3, 1)˙k 3A+B+C=-10 yy㉡㉠㉠
(-1, 2)˙k -A+2B+C=-5 yy ㉢㉠㉠
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 A=-:¡7∞:, B=-:™7∞:, C=0 따라서 구하는 원의 방정식은 x¤ +y¤ -:¡7∞:x-:™7∞:y=0
∴ 7x¤ +7y¤ -15x-25y=0
⑷ 구하는 원의 방정식을 x¤ +y¤ +Ax+By+C=0
으로 놓으면 세 점 (-4, 6), (-7, 3), (-1, 3) 을 지나므로
(-4, 6)˙k -4A+6B+C=-52 y ㉠㉠㉠
(-7, 3)˙k -7A+3B+C=-58 y ㉡㉠㉠
(-1, 3)˙k -A+3B+C=-10 y㉢㉠㉠
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 A=8, B=-6, C=16
∴ x¤ +y¤ +8x-6y+16=0
답 풀이 참조
291
⑴ x¤ +y¤ +2x-4y-11=0에서
(x¤ +2x+1)-1+(y¤ -4y+4)-4-11=0 (x+1)¤ +(y-2)¤ =4¤
∴ 중심：(-1, 2), 반지름의 길이：4
⑵ 4x¤ +4y¤ -4x-12y+1=0의 양변을 4로 나누면 x¤ +y¤ -x-3y+;4!;=0
[x¤ -x+{;2!;}2 ]-{;2!;}2
+[y¤ -3y+{;2#;}2 ]-{;2#;}2 +;4!;=0
∴{x-;2!;}2 +{y-;2#;}2 ={;2#;}2
∴ 중심：{;2!;, ;2#;}, 반지름의 길이：;2#;
답 풀이 참조