01
⑴ A+B=3x¤ +2x-4 yy㉠㉠㉠
⑴A-2B=6x¤ -7x+8 yy㉡㉠㉠
⑴㉠-㉡을 하면
⑴3B=-3x¤ +9x-12
⑴∴ B=-x¤ +3x-4
⑴㉠에서
⑴A=-B+(3x¤ +2x-4)
=-(-x¤ +3x-4)+3x¤ +2x-4
=4x¤ -x
⑴∴ 2(-A+B)-{B-(A-2B)}
=-2A+2B-(B-A+2B)
=-A-B
=-(4x¤ -x)-(-x¤ +3x-4)
=-3x¤ -2x+4
⑵ A-3(X-B)=7A에서
⑴A-3X+3B=7A
⑴3X=-6A+3B
⑴∴ X=-2A+B
=-2(3x¤ -2xy-y¤ )+(x¤ +3xy-2y¤ )
=-6x¤ +4xy+2y¤ +x¤ +3xy-2y¤
=-5x¤ +7xy
답 ⑴ -3x¤ -2x+4 ⑵ -5x¤ +7xy
02
(ax+1)x¤ =bx‹ +x¤ =2x‹ +x¤이므로 a=b=2
(2x+1)c=dx+e=8x+4이므로 c=4, d=8, e=4
∴ a+b+c+d+e
=2+2+4+8+4=20
답 20
0 3
⑴;[!;+;]!;=4에서 =4
⑴xy=1이므로 x+y=4
⑴∴ (x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy
=4¤ -4¥1
=12
⑵ x¤ -x-1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면
⑴x-1-;[!;=0에서∴ x-;[!;=1
⑴∴ x‹ - ={x-;[!;}3 +3{x-;[!;}
=1‹ +3¥1
=4
⑶ x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y)에서
⑴4=1‹ -3xy¥1에서∴ xy=-1
⑴∴ x¤ -xy+y¤ =(x+y)¤ -3xy
=1¤ -3¥(-1)
=4
⑷{x+;[!;}2 =x¤ +2¥x¥;[!;+ =3+2=5
⑴∴ x+;[!;='5 (∵ x>0)
⑴∴ x‹ + ={x+;[!;}3 -3{x+;[!;}
=('5)‹ -3¥'5
=5'5-3'5
=2'5
답 ⑴ 12 ⑵ 4 ⑶ 4 ⑷ 2'5 다른풀이집⑶ x‹ +y‹ =(x+y)(x¤ -xy+y¤ )에서 x‹ +y‹ =4, x+y=1이므로
x¤ -xy+y¤ =4
0 4
(x¤ +2x-4)fi (2x-3)› 을 전개하면 a¡¢x⁄ › +a¡£x⁄ ‹ +a¡™x⁄ ¤ +y+a¡x+aº 의 꼴이므로 계수들의 총합은
13x‹1
13x¤1 13x‹1
112x+yxy
aº+a¡+y+a¡™+a¡£+a¡¢
이것은 주어진 다항식에 x=1을 대입했을 때의 값이 므로
(1+2-4)fi (2-3)› =(-1)_1=-1
답 -1
0 5
9_11_(10¤ +1)_(10› +1)
=(10-1)(10+1)(10¤ +1)(10› +1)
=(10¤ -1)(10¤ +1)(10› +1)
=(10› -1)(10› +1)
=10° -1 답 ④
0 6
(7x‹ +12x¤ -3x+4)(xfi -4x‹ +2x-1) 의 전개식에서 xfi 항은
12x¤ ¥(-4x‹ )+4¥xfi =-48xfi +4xfi =-44xfi 따라서 xfi 의 계수는 -44이다. 답 -44
0 7
a+b=(1+'2 -'3 )+(1-'2 +'3 )=2 ab=(1+'2 -'3 )(1-'2 +'3 ) ab={1+('2 -'3 )}{1-('2 -'3 )}
ab=1-('2 -'3 )¤
ab=-4+2'6
∴ a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)
∴ a¤ +b¤=2‹ -3¥(-4+2'6 )¥2
∴ a¤ +b¤=32-12'6
답 32-12'6
0 8
(a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)에서 5¤ =13+2(ab+bc+ca)
∴ ab+bc+ca=6 (ab+bc+ca)¤
=a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ +2(ab¤ c+abc¤ +a¤ bc)
=a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ +2abc(a+b+c)에서 6¤ =a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ +2¥(-4)¥5
∴ a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ =76 답 76
09
⑴ x-y='3 yy㉠㉠㉠
x-z=2 yy㉡㉠㉠
㉡-㉠을 하면 y-z=2-'3
∴ x¤ +y¤ +z¤ -xy-yz-zx
=;2!;{(x-y)¤ +(y-z)¤ +(z-x)¤ }
=;2!;{('3 )¤ +(2-'3 )¤ +(-2)¤ }
=7-2'3
⑵ x+y+z=2에서
x+y=2-z, y+z=2-x, z+x=2-y
∴ (x+y)(y+z)(z+x)
=(2-z)(2-x)(2-y)
=2‹ -2¤ (x+y+z)+2(xy+yz+zx)-xyz
=8-4¥2+2¥3-6=0
⑶ x+y+z=1에서
x+y=1-z, y+z=1-x, z+x=1-y
∴ y¤ z+yz¤ +z¤ x+zx¤ +x¤ y+xy¤
=yz(y+z)+zx(z+x)+xy(x+y)
=yz(1-x)+zx(1-y)+xy(1-z)
=xy+yz+zx-3xyz
=2-3¥3=-7
답 ⑴ 7-2'3⑵⑵ 0⑵⑶ -7
10
⑴ (a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)에서 5¤ =21+2(ab+bc+ca)
∴ ab+bc+ca=2 이때 a+b+c=5에서
a+b=5-c, b+c=5-a, c+a=5-b
∴ (a+b)(b+c)(c+a)
∴=(5-c)(5-a)(5-b)
∴=5‹ -5¤ (a+b+c)+5(ab+bc+ca)-abc
∴=125-25¥5+5¥2-(-8)=18
⑵ x‹ +y‹ +z‹ -3xyz
=(x+y+z)(x¤ +y¤ +z¤ -xy-yz-zx)
=(x+y+z){(x+y+z)¤ -3(xy+yz+zx)}
연 습문 제・ 심화 문 제 에서 25-3xyz=1¥{1¤ -3¥(-5)}
∴ xyz=3
⑶ (x+y+z)¤ =x¤ +y¤ +z¤ +2(xy+yz+zx)에서 6¤ =18+2(xy+yz+zx)
∴ xy+yz+zx=9
;[!;+;]!;+;z!;=;4(;에서 =;4(;
=;4(;∴∴∴ xyz=4
∴ x‹ +y‹ +z‹
=(x+y+z)(x¤ +y¤ +z¤ -xy-yz-zx)+3xyz
=6(18-9)+3¥4=66
답 ⑴ 18 ⑵ 3 ⑶ 66
11
⑴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab에서 5=1¤ -2ab ∴ ab=-2
∴ a› +b› =(a¤ )¤ +(b¤ )¤
=(a¤ +b¤ )¤ -2(ab)¤
=5¤ -2¥(-2)¤
=17
a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)
=1‹ -3¥(-2)¥1=7이므로 afi +bfi =(a¤ +b¤ )(a‹ +b‹ )-a¤ b¤ (a+b)
=5¥7-(-2)¤ ¥1
=31
⑵ x¤ +3x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면 x+3+;[!;=0 ∴ x+;[!;=-3
∴ xfi +
={x¤ + }{x‹ + }-{x+;[!;}
=[{x+;[!;}¤ -2][{x+;[!;}‹ -3{x+;[!;}]
-{x+;[!;}
={(-3)¤ -2}{(-3)‹ -3¥(-3)}-(-3)
=-123
답 ⑴ a› +b› =17, afi +bfi =31 ⑵ -123 13x‹1
13x¤1 13xfi1 11xyz9
xy+yz+zx 1111125xyz
12
상자의 가로와 세로의 길이, 높이를 각각 a, b, c 라 하면 모든 모서리의 길이의 합이 28이므로
4(a+b+c)=28
∴ a+b+c=7
또 상자의 겉넓이가 24이므로 2(ab+bc+ca)=24
∴ ab+bc+ca=12
∴ a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)
=7¤ -2¥12
=25
상자의 대각선의 길이는"a√¤ +b¤ √+c¤ 이므로
'2ß5=5 답 5
13
⑴ (5+3)(5¤ +3¤ )(5› +3› )(5° +3° )
=;2!;(5-3)(5+3)(5¤ +3¤ )(5› +3› )(5° +3° )
=;2!;(5¤ -3¤ )(5¤ +3¤ )(5› +3› )(5° +3° )
=;2!;(5› -3› )(5› +3› )(5° +3° )
=;2!;(5° -3° )(5° +3° )
=;2!;(5⁄ fl -3⁄ fl )
⑵ x¤ +3x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면 x+3+;[!;=0 ∴ x+;[!;=-3
x¤ + ={x+;[!;}¤ -2=(-3)¤ -2=7 x‹ + ={x+;[!;}‹ -3{x+;[!;}
=(-3)‹ -3¥(-3)=-18
∴ x‹ -2x¤ -3x+5-;[#;- +
={x‹ + }-2{x¤ + }-3{x+;[!;}+5
=-18-2¥7-3¥(-3)+5
=-18
답 ⑴;2!;(5⁄ fl -3⁄ fl ) ⑵ -18 13x¤1
13x‹1
13x‹1 13x¤2 13x‹1
13x¤1
14
⑴ 주어진 등식의 좌변을 전개한 후 x에 대한 내림 차순으로 정리하면
x‹ +(a-2)x¤ +(b-2a)x-2b
=x‹ +cx¤ -5x+6
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a-2=c, b-2a=-5, -2b=6
∴ a=1, b=-3, c=-1
⑵ ax(x-1)+b(x-1)(x+1)+cx(x+1)
=x¤ +1의
양변에 x=0을 대입하면 -b=1 양변에 x=1을 대입하면 2c=2 양변에 x=-1을 대입하면 2a=2
∴ a=1, b=-1, c=1
⑶ x¤ -x-2=a(x-b)¤ +c(x-b) yy ㉠ 의 양변에 x=b를 대입하면
b¤ -b-2=0, (b-2)(b+1)=0
∴ b=2 (∵ b>0)
b=2를 ㉠에 대입하여 전개하면 x¤ -x-2=a(x-2)¤ +c(x-2)
=ax¤ -(4a-c)x+4a-2c 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 a=1, 4a-c=1, 4a-2c=-2
∴ a=1, c=3
답 ⑴ a=1, b=-3, c=-1
⑵ a=1, b=-1, c=1
⑶ a=1, b=2, c=3
15
직접 나눗셈을 하면 x¤ -x+1<x¤ +2x+1
x¤ -x+1<√x› + x‹ + √ ax++bb x› - x‹ +2x¤
1111115555511333331125 x› 2x‹ -2x¤ +(-2)ax++bb x› 2x‹ -2x¤ +(-2)2x 1111115555511333331125 x› 2x‹ -2x¤ +(a-2)x++bb x› 2x‹ -2x¤ - x++b1 1111115555511333331125 x› 2x‹ -2x¤ +(a-1)x+b-1
나누어떨어지므로 (a-1)x+b-1=0
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a-1=0, b-1=0
∴ a=1, b=1 답 ④
16
주어진 등식을 x, y에 대하여 정리하면 (a+b-c+2)x+(b-2c)y+c-2=0 이 등식은 x, y에 대한 항등식이므로 a+b-c+2=0, b-2c=0, c-2=0
∴ a=-4, b=4, c=2
∴ a+b+c=2 답 2
17
x+y=1에서 y=1-x
이를 axy+bx+cy+2=0에 대입하면 ax(1-x)+bx+c(1-x)+2=0
∴ ax¤ +(-a-b+c)x-c-2=0 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a=0, -a-b+c=0, -c-2=0
∴ a=0, b=-2, c=-2
∴ a-b-c=4 답 4
18
x‹ +ax¤ -2x+1을 x¤ +x+2로 나누었을 때의 몫이 x-1이므로 나머지를 px+q(p, q는 상수)라 하면 x‹ +ax¤ -2x+1=(x¤ +x+2)(x-1)+px+q
=x‹ +(p+1)x-2+q 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 a=0, p+1=-2, -2+q=1
∴ a=0, p=-3, q=3
따라서 a=0이고 나머지는 -3x+3이다.
답 a=0, 나머지：-3x+3
다항식의 나눗셈에 대한 등식 A=BQ+R에서 (R의 차수)<(B의 차수)
즉 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 항상 작다.
따라서 나누는 식이 이차식일 때, 나머지는 px+q(p, q는 상수)로 놓을 수 있다.
KEY Point
연 습문 제・ 심화 문 제
19
x¤ +(k-3)x+(k+2)m+n+2=0이 x=1을 근 으로 가지므로
1+(k-3)+(k+2)m+n+2=0 이 식을 k에 대하여 정리하면 (1+m)k+(2m+n)=0 이 식은 k에 대한 항등식이므로
1+m=0, 2m+n=0식식∴ m=-1, n=2
∴ m+n=1 답 1
20
가 x, y의 값에 관계없이 일정한 값 k를 갖는다고 하면
=k
4x+ay+b=k(x+y+1)
∴ (4-k)x+(a-k)y+b-k=0 이 등식은 x, y에 대한 항등식이므로 4-k=0, a-k=0, b-k=0
∴ k=4, a=4, b=4 답 a=4, b=4
21
f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가;2!;이므로 나머지정리에 의하여 f(1)=;2!;
(x¤ -3x+4)f(x-2)를 x-3으로 나누었을 때의 몫 을 Q(x), 나머지를 R라 하면
(x¤ -3x+4)f(x-2)=(x-3)Q(x)+R 양변에 x=3을 대입하면
R=(3¤ -3¥3+4)f(1)=4¥;2!;=2 답 2
22
2x‹ -x¤ -2x+3을 x-;2!;로 나누면
;2!; 2 -1 -2 -3
;2; 2 -1 -0 -1
;2; 2 -0 -2 -2 4x+ay+b
111113x+y+1 4x+ay+b 111113x+y+1
∴ a=;2!;, b=-2, c=2
∴ a+b+c=;2!; 답 ;2!;
23
f(x)를 x¤ -1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=(x¤ -1)Q(x)+2
f(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+2
∴ f(1)=2
g(x)를 x¤ -3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면
g(x)=(x¤ -3x+2)Q'(x)+2x+1 g(x)=(x-2)(x-1)Q'(x)+2x+1
∴ g(1)=3
f(x)+g(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는
f(1)+g(1)=2+3=5 답 5
24
⑴ 1 1 0 0 0 0 0
⑴ 1 1 1 1 1 1 1
⑴1 1 1 1 1 1 1 ⁄ f
⑴ 1 1 1 2 3 4
⑴1 1 2 3 4 5 ⁄ e
⑴ 1 1 1 3 6
⑴1 1 3 6 10 ⁄ d
⑴ 1 1 1 4
⑴1 1 4 10 ⁄ c
⑴ 1 1 1
⑴ 1 1 5 ⁄ b
⑴ ∑
⑴ a
⑴∴ a=1, b=5, c=10, d=10, e=5, f=1
⑵ x-1=y라 하면 x=y+1
⑴이것을 주어진 식에 대입하면
⑴a(y+1)‹ +b(y+1)¤ +c(y+1)+d
⑴=3y‹ -2y¤ -4
⑴-1 3 -2 0 -4
⑴ -1 3 -3 5 -5
⑴-1 3 -5 5 -9 ⁄ d
⑴ -1 3 -3 8
⑴-1 3 -8 13 ⁄ c
⑴ -1 3 -3
⑴ -1f3 -11 ⁄ b
⑴ -1Ï∑
⑴ a
⑴∴ a=3, b=-11, c=13, d=-9
답 ⑴ a=1, b=5, c=10, d=10, e=5, f=1
⑵ a=3, b=-11, c=13, d=-9
25
f(x)=x‹ +ax¤ -7x+b로 놓으면 f(x)가 x-1, x+2를 인수로 가지므로
f (1)=0, f (-2)=0 f(1)=0에서 1+a-7+b=0
∴ a+b=6 yy㉠㉠㉠
f(-2)=0에서 -8+4a+14+b=0
∴ 4a+b=-6 yy㉡㉠㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=10
∴ f(x)=x‹ -4x¤ -7x+10
∴ x‹ -4x¤ -7x+10=(x-1)(x+2)(x-c) 양변에 x=0을 대입하면
10=2c서서∴ c=5
∴ a+b+c=-4+10+5=11
답 11 다른풀이집a, b의 값을 구한 후 조립제법을 이용하여 인수분해해도 c 의 값을 구할 수 있다.
-1 1 -4 0-7 -10 -1 1 -1 0-3 -10 -2 1 -3 -10 -00 -2 1 -2 -10
-1f1 -5 -00
∴ x‹ -4x¤ -7x+10=(x-1)(x+2)(x-5)
26
f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫은 Q(x) 이고 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면
f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b
f(1)=1에서 a+b=1 yy㉠㉠㉠
f(2)=2에서 2a+b=2 yy㉡㉠㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=0
∴ f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+x
따라서 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는
f(3)=2Q(3)+3 답 ⑤
27
x¤ ‚ ⁄ ‹ +1을 x¤ -1로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머 지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면
x¤ ‚ ⁄ ‹ +1=(x¤ -1)Q(x)+ax+b
=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b 양변에 x=1을 대입하면
2=a+b yy㉠㉠㉠
양변에 x=-1을 대입하면
0=-a+b yy㉡㉠㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=1
따라서 구하는 나머지는 x+1이다. 답 ④
28
f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x), (x-1)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면
f(x)=(x-1)(x-2)Q¡(x)+2x+1 f(x)=(x-1)(x-3)Q™(x)+6x-3
∴ f(1)=3, f(2)=5, f(3)=15
f(x)를 (x-1)(x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax¤ +bx+c(a, b, c는 상수) 라 하면
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax¤ +bx+c
f(1)=3에서 a+b+c=3 yy㉠㉠㉠
f(2)=5에서 4a+2b+c=5 yy㉡㉠㉠
f(3)=15에서 9a+3b+c=15 yy㉢㉠㉠
연 습문 제・ 심화 문 제
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=4, b=-10, c=9
따라서 나머지는 4x¤ -10x+9이다.
답 4x¤ -10x+9
29
f(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지 가 12이므로
f(x)=(x+1)Q(x)+12 yy㉠㉠㉠
Q(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 Q(-2)이므로 ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면 f(-2)=(-2+1)Q(-2)+12 yy㉡㉠㉠
또 f (x)를 x+2 로 나누었을 때의 나머지가 -3이 므로
f(-2)=-3 이것을 ㉡에 대입하면 -3=-Q(-2)+12
∴ Q(-2)=15 답 15
30
f(x)를 (x-1)¤ (x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax¤ +bx+c(a, b, c는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)¤ (x-2)Q(x)+ax¤ +bx+c y㉠ f(x)를 (x-1)¤ 으로 나누었을 때의 나머지가 x+1 이므로 ㉠에서 ax¤ +bx+c를 (x-1)¤ 으로 나누었 을 때의 나머지도 x+1이다.
즉 ax¤ +bx+c=a(x-1)¤ +x+1이므로 f(x)=(x-1)¤ (x-2)Q(x)+a(x-1)¤ +x+1
yy㉡ 한편 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 f(2)=a+3=4 ∴ a=1
따라서 구하는 나머지는 ㉡에서 (x-1)¤ +x+1=x¤ -x+2
답 x¤ -x+2
31
f(a)=0, f(b)=0이므로 인수정리에 의하여 f(x) 는 x-a, x-b를 인수로 갖는다.
이때 f(x)는 x¤ 의 계수가 1인 이차식이므로 f(x)=(x-a)(x-b)=x¤ -(a+b)x+ab
∴ x¤ -7x-10=x¤ -(a+b)x+ab 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 a+b=7
∴ f(a+b)=f(7)=49-49-10=-10
답 -10
32
f(x)를 (x-1)¤ 으로 나누었을 때의 몫을 x+q(q는 상수)라 하면
f(x)=(x-1)¤ (x+q)
∴ f(1)=0, f(0)=q yy㉠㉠㉠
또 f(x¤ -1)을 f(x)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 -6x+8이므로
f(x¤ -1)=f(x)Q(x)-6x+8 양변에 x=1을 대입하면
f(0)=f(1)Q(1)+2 yy㉡㉠㉠
㉠을 ㉡에 대입하면
q=0_Q(1)+2하면∴ q=2
∴ f(x)=(x-1)¤ (x+2)
∴ f(3)=2¤ ¥5=20 답 20
33
f(1-x)를 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(1-x)=(x-1)Q(x)-4 yy㉠㉠㉠
xf(x)를 (x+1)(x-4)로 나누었을 때의 몫을 Q'(x) 라 하면
xf(x)=(x+1)(x-4)Q'(x)
∴ f(-1)=0, f(4)=0
따라서 f(x)는 x+1, x-4를 인수로 가지므로 f(x)=a(x+1)(x-4) yy㉡㉠㉠
라 하면 ㉠에서 f(0)=-4이므로 ㉡에서 -4=-4a∴∴∴ a=1
∴ f(x)=(x+1)(x-4)
따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 f(-2)=(-2+1)(-2-4)=6
답 6
34
xfl ‚ -x‹ ⁄ +ax‹ +1을 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 4이므로
xfl ‚ -x‹ ⁄ +ax‹ +1=(x-1)Q(x)+4
양변에 x=1을 대입하면 a+1=4하하∴ a=3 즉 xfl ‚ -x‹ ⁄ +3x‹ +1=(x-1)Q(x)+4
yy㉠㉠㉠
Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(-1) 이므로 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면
0=-2Q(-1)+4하하∴ Q(-1)=2 답 2
35
f(x)+g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 10 이므로
f(2)+g(2)=10
{ f(x)}¤ +{ g(x)}¤ 을 x-2로 나누었을 때의 나머지가 58이므로
{ f(2)}¤ +{ g(2)}¤ =58
f(x)g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(2)g(2)이므로
{ f(2)}¤ +{ g(2)}¤ ={ f(2)+g(2)}¤ -2f(2)g(2)에서 58=10¤ -2f(2)g(2)
∴ f(2)g(2)=21 답 21
36
x-y-z=1 yy㉠㉠㉠
x-2y-3z=0 yy㉡㉠㉠
㉠_2-㉡을 하면 x+z=2하하∴ x=-z+2
㉠-㉡을 하면 y+2z=1하하∴ y=-2z+1 이것을 axy+byz+czx=12에 대입하면 a(-z+2)(-2z+1)+b(-2z+1)z
+cz(-z+2)=12 (2a-2b-c)z¤ +(b-5a+2c)z+2a-12=0 이 등식이 z에 대한 항등식이므로
2a-2b-c=0, b-5a+2c=0, 2a-12=0 세 식을 연립하여 풀면 a=6, b=-2, c=16
∴ a+b+c=20 답 20
37
⑴ 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면
⑴1=aº+a¡+a™+a£+a¢+a∞+a§ yy㉠
⑴∴ aº+a¡+a™+a£+a¢+a∞+a§=1
⑵ 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면
⑴-27=aº-a¡+a™-a£+a¢-a∞+a§ yy㉡
⑴㉠+㉡을 하면
⑴-26=2(aº+a™+a¢+a§)
⑴∴ aº+a™+a¢+a§=-13
답 ⑴ 1 ⑵ -13
38
f(1)=f(2)=f(3)=5에서
f(1)-5=0, f(2)-5=0, f(3)-5=0
이므로 f(x)-5는 x-1, x-2, x-3을 인수로 갖 는다.
이때 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차식이므로 f(x)-5=(x-1)(x-2)(x-3)
∴ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+5
따라서 f(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 f(4)=(4-1)(4-2)(4-3)+5=11
답 11
39
x« (x¤ +ax+b)를 (x-3)¤ 으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 3« (x-3)이므로
x« (x¤ +ax+b)
=(x-3)¤ Q(x)+3« (x-3) yy㉠㉠㉠
양변에 x=3을 대입하면 3« (9+3a+b)=0 3« +0이므로 9+3a+b=0
∴ b=-3a-9 yy㉡㉠㉠
복잡한 항등식에서의 계수의 합
{f(x)}« =aº+a¡x+a™x¤ +y+a«x« 의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하여 두 식을 더하거나 빼서 계수 의 합을 구한다.
KEY Point
연 습문 제・ 심화 문 제 (x¤ +3x-6)(x¤ +3x+4)+16
=(X-6)(X+4)+16
=X¤ -2X-8
=(X-4)(X+2)
=(x¤ +3x-4)(x¤ +3x+2)
=(x+4)(x-1)(x+1)(x+2)
따라서 인수가 아닌 것은 ①이다. 답 ①
42
x(x+1)(x+2)(x+3)-8
={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-8
=(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)-8
=X(X+2)-8어진¤ x¤ +3x=X로 치환
=X¤ +2X-8=(X+4)(X-2)
=(x¤ +3x+4)(x¤ +3x-2)
∴ a=4, b=-2 또는 a=-2, b=4
∴ a+b=2 답 2
43
x› +5x‹ -2x¤ -24x=x(x‹ +5x¤ -2x-24)에서 f(x)=x‹ +5x¤ -2x-24로 놓으면
f(2)=8+20-4-24=0
이므로 f(x)는 x-2를 인수로 갖는다.
따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 2 1 5 4-2 -24
3 3 2 -14 -24 3 1 7 -12 -20
∴ f (x)=(x-2)(x¤ +7x+12)
∴ f (x)=(x-2)(x+3)(x+4)
∴ x› +5x‹ -2x¤ -24x
∴=x(x-2)(x+3)(x+4)
따라서 인수가 아닌 것은 ⑤이다. 답 ⑤
44
x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x¤ -xy-2y¤ +4x-5y+3
=x¤ -(y-4)x-(2y¤ +5y-3)
=x¤ -(y-4)x-(2y-1)(y+3)
={x-(2y-1)}{x+(y+3)}
∴ x¤ +ax+b=x¤ +ax-3a-9
=(x¤ -9)+a(x-3)
=(x-3)(x+3+a)
㉠에서
x« (x-3)(x+3+a)
=(x-3)¤ Q(x)+3« (x-3)
=(x-3){(x-3)Q(x)+3« } 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 x« (x+3+a)=(x-3)Q(x)+3«
양변에 x=3을 대입하면 3« (6+a)=3«
3« +0이므로 6+a=1면면∴ a=-5
㉡에서 b=6 답 ④
40
삼차식 f(x)를 x¤ +x+1로 나누었을 때의 몫은 일 차식이므로
f(x)=(x¤ +x+1)(ax+b)(a, b는 상수, a+0) 로 놓으면 f(0)=4이므로 b=4
∴ f(x)=(x¤ +x+1)(ax+4) yy㉠㉠㉠
또 f(x)+12를 x¤ +2로 나누었을 때의 몫은 일차식 이므로
f(x)+12=(x¤ +2)(ax+c)(c는 상수) 로 놓으면 f(0)=4이므로
4+12=2c ∴ c=8
∴ f(x)+12=(x¤ +2)(ax+8)
∴ f(x)=(x¤ +2)(ax+8)-12 yy㉡㉠㉠
㉠, ㉡에서
(x¤ +x+1)(ax+4)=(x¤ +2)(ax+8)-12
∴ ax‹ +(a+4)x¤ +(a+4)x+4
=ax‹ +8x¤ +2ax+4 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 a+4=8, a+4=2a ∴ a=4
따라서 f(x)=(x¤ +x+1)(4x+4)이므로
f(1)=3¥8=24 답 24
41
x¤ +3x=X로 치환하면
∴ -a+b-2=0, a+8=0
∴ a=-8, b=-6
∴ a+b=-14 답 -14
48
⑴;3@; 3 7 19 -10 2 2 16 -10 3 9 15 -10
∴ 3x‹ +7x¤ +9x-10={x-;3@;}(3x¤ +9x+15)
=(3x-2)(x¤ +3x+5)
∴ f(x)=x¤ +3x+5
⑵ a+b+c=0이므로 a‹ +b‹ +c‹ -3abc
=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)
=0
∴ a‹ +b‹ +c‹ =3abc
∴ = =;2!;
⑶ =
=
=x› -3
=(2-'3 )¤ -3
=4-4'3+3-3
=4-4'3
답 ⑴ x¤ +3x+5 ⑵;2!; ⑶ 4-4'3
49
⑴ 8x‹ -27y‹ -18xy-1
=(2x)‹ +(-3y)‹ +(-1)‹
-3¥2x¥(-3y)¥(-1)
={2x+(-3y)+(-1)}
_{(2x)¤ +(-3y)¤ +(-1)¤ -2x¥(-3y) -(-3y)¥(-1)-(-1)¥2x}
=(2x-3y-1)(4x¤ +6xy+9y¤ +2x-3y+1) (x-1)(x› -3)
11111125x-1 x› (x-1)-3(x-1) 111111111x-1 xfi -x› -3x+3
11111125x-1 1123abc6abc a‹ +b‹ +c‹
1111246abc
=(x-2y+1)(x+y+3)
∴ a=-2, b=1
∴ a+b=-1 답 -1
45
f(x)가 x-1, x+1을 인수로 가지므로 인수정리에 의하여 f(1)=0, f(-1)=0
∴ `f(1)=a+b+6=0 yy㉠㉠㉠
∴ `f(-1)=a-b+8=0 yy㉡㉠㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=1
∴ f(x)=x› -x‹ -7x¤ +x+6
조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
∴ f(x)=(x-1)(x+1)(x¤ -x-6)
=(x-1)(x+1)(x-3)(x+2) 답 a=-7, b=1
답 f(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+2)
46
[a, b, b]+4 [c, a, b]
=(a-b)(a-b)+4(c-a)(c-b)
=a¤ +b¤ +4c¤ +2ab-4bc-4ca
=a¤ +b¤ +(-2c)¤ +2ab+2b¥(-2c)+2¥(-2c)¥a
=(a+b-2c)¤
답 (a+b-2c)¤
47
xfi +x‹ +ax+b가 (x+1)¤ 으로 나누어떨어지므로 조립제법을 이용하면
-1 1 -0 1 -0 aa b -1 1 -1 1 -2 a2 -a-2 -1 1 -1 2 -2 a+2 -a+b-2 -1 1 -1 2 -4 a6
-1 1 -2 4 -6 a+8 -1 1 -1 -7 -1 -6 -1 1 -1 -0 -7 -6 -1 1 -0 -7 -6 -0 -1 1 -1 -1 -6 -1f1 -1 -6 -0
연 습문 제・ 심화 문 제
⑵ -(2x-3)‹ =(3-2x)‹ 이고
(x-1)+(x-2)+(3-2x)=0이므로 (x-1)‹ +(x-2)‹ -(2x-3)‹
=3(x-1)(x-2)(3-2x)
⑶ (a-b-1)+(b-c-2)+(c-a+3)=0이므로 (a-b-1)‹ +(b-c-2)‹ +(c-a+3)‹
=3(a-b-1)(b-c-2)(c-a+3)
답 풀이 참조
50
(분자)
=(b-a)c¤ +(c-b)a¤ +(a-c)b¤
=bc¤ -ac¤ +a¤ c-a¤ b+ab¤ -b¤ c
=(c-b)a¤ -(c¤ -b¤ )a+bc¤ -b¤ c
=(c-b)a¤ -(c+b)(c-b)a+bc(c-b)
=(c-b){a¤ -(c+b)a+bc}
=(c-b)(a-b)(a-c)
=(a-b)(b-c)(c-a)
∴ (주어진 식)= =1
답 1
51
⑴ 2004=x로 놓으면
⑴ =
=
=x+1=2004+1=2005
⑵ (분자)=2fi ‚ -2› fi +2fi -1
=2› fi (2fi -1)+(2fi -1)
=(2fi -1)(2› fi +1)
⑴∴ (주어진 식)=
⑴ ∴ (주어진 식)=2fi -1=31 (2fi -1)(2› fi +1) 15112112252› fi +1
(x+1)(x¤ -x+1) 1511211211x¤ -x+1 (x+1){x¤ -(x-1)}
15112112115(x-1)x+1 2005(2004¤ -2003)
151121121132003_2004+1
(a-b)(b-c)(c-a) 151121121123(a-b)(b-c)(c-a)
⑶ 100=x로 놓으면
⑴'ƒ100_102_104ƒ_106+16
⑴="√x(x+2)(x+4)(x√+6)+16
⑴="√{x(x+6)}{(x+2)(√x+4)}+16
⑴="√(x¤ +6x)(x¤ +6x+√8)+16
⑴="√X(X+8)+16 어진¤ x¤ +6x=X로 치환
⑴="√X¤ +8X+16="√(X+4)¤
⑴=X+4=x¤ +6x+4
⑴=10000+600+4=10604
답 ⑴ 2005 ⑵ 31 ⑶ 10604
52
(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc
=abc+ca¤ +a¤ b+b¤ c+abc+ab¤ +bc¤ +c¤ a +abc-abc
=(b+c)a¤ +(b¤ +2bc+c¤ )a+b¤ c+bc¤
=(b+c)a¤ +(b+c)¤ a+bc(b+c)
=(b+c){a¤ +(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)
=12
이때 a+b=2, b+c=3이므로 3¥2¥(a+c)=12
∴ a+c=2 답 2
53
ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c-a)=0에서 a¤ b+ab¤ -b¤ c-bc¤ -c¤ a+ca¤ =0 (b+c)a¤ +(b¤ -c¤ )a-b¤ c-bc¤ =0 (b+c)a¤ +(b+c)(b-c)a-bc(b+c)=0 (b+c){a¤ +(b-c)a-bc}=0
∴ (b+c)(a+b)(a-c)=0
a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 b+c>0, a+b>0
∴ a-c=0삼각∴ a=c
따라서 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 a=c인 이등변삼각형이다.
답 a=c인 이등변삼각형 a‹ +b‹ +c‹ -3abc
=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca) 이때 a+b+c=0이면 a‹ +b‹ +c‹ =3abc KEY Point
54
a‹ +b‹ +c‹ =3abc에서 a‹ +b‹ +c‹ -3abc=0
(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)=0 이때 a>0, b>0, c>0이므로 a+b+c+0
∴ a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca=0
;2!;{(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }=0
∴ a-b=0, b-c=0, c-a=0
∴ a=b=c
∴ a+b+c-:Åcı:-:ıaÇ;;-:ÇbÅ:
∴=a+a+a-a-a-a
∴=0 답 0
55
z에 대하여 내림차순으로 정리하면 x‹ +x¤ y-xz¤ +xy¤ +y‹ -yz¤
=(-x-y)z¤ +x‹ +x¤ y+xy¤ +y‹
=-(x+y)z¤ +x¤ (x+y)+y¤ (x+y)
=(x+y)(x¤ +y¤ -z¤ )=0 그런데 x+y+0이므로 x¤ +y¤ -z¤ =0, 즉 x¤ +y¤ =z¤
따라서 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 빗변의 길이가 z인 직각삼각형이다.
답 빗변의 길이가 z인 직각삼각형
56
2010=x로 놓으면
=
(분자)=f(x)=x› -2x¤ -3x-2로 놓으면 f(-1)=0이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인 수분해하면
-1 1 -0 -2 -3 -2 -1 3 -1 -1 -1 -2 -1 1 -1 -1 -2 -0
x› -2x¤ -3x-2 151121121x‹ -x¤ -(x+2)
2010› -2_2010¤ -3_2010-2 15112112111111232010‹ -2010¤ -2012
∴ (분자)=(x+1)(x‹ -x¤ -x-2)
∴ (주어진 식)=
=x+1
=2010+1
=2011 답 ③
57
a‹ +b‹ +c‹ -3abc
=(a+b)‹ -3ab(a+b)+c‹ -3abc
=(a+b)‹ +c‹ -3ab(a+b+c)
={(a+b)+c}{(a+b)¤ -(a+b)c+c¤ }
-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a¤ +2ab+b¤ -ac-bc+c¤ -3ab)
=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)
답 풀이 참조
58
(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+k
={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+k
=(x¤ -8x+7)(x¤ -8x+15)+k
=(X+7)(X+15)+k어진¤ x¤ -8x=X로 치환
=X¤ +22X+105+k yy㉠㉠㉠
주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱꼴로 인수 분해되면 ㉠이 X에 대한 일차식의 완전제곱꼴로 인 수분해되어야 하므로
105+k=11¤에서∴ k=16
답 16
59
⑴ x에 대한 내림차순으로 정리하면 x¤ -2xy+y¤ +kx-4y-5
=x¤ +(-2y+k)x+y¤ -4y-5
=x¤ +(-2y+k)x+(y-5)(y+1) (x+1)(x‹ -x¤ -x-2) 1511211211132x‹ -x¤ -x-2
x¤ +ax+b가 완전제곱식이 될 조건은
˙˙kk b={;2!;a}¤ KEY Point
연 습문 제・ 심화 문 제 이 식이 x, y에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분
해되려면
-(y-5)-(y+1)=-2y+k
∴ k=4
⑵ x에 대한 내림차순으로 정리하면 x¤ -y¤ +3x-7y+k
=x¤ +3x-(y¤ +7y-k) yy㉠㉠㉠
y¤ +7y-k=(y+a)(y+b) (a>b)로 놓으면 a+b=7, ab=-k
이고 ㉠은
x¤ +3x-(y+a)(y+b)
이 식이 x, y에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분 해되려면
(y+a)-(y+b)=3∴∴∴ a-b=3 a+b=7, a-b=3에서 a=5, b=2
∴ k=-ab=-10
답 ⑴ 4 ⑵ -10
60
a‹ +b‹ +c‹ -3abc
=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)
=;2!;(a+b+c){(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }
=0
이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b+c>0
∴ (a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ =0
∴ a=b=c
따라서 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 정삼각 형이다.
정삼각형의 둘레의 길이가 18이므로 a+b+c=3a=18길이∴ a=6
∴ (삼각형의 넓이)= ¥6¤ =9'3
답 9'3 12'34
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는˙˙kk 112233'34 a¤
KEY Point