범위 부등식 직선의 방정식 : -
1.
1)부등식
≤ 의 해가 ≤ ≤ 일 때,의 값은?
① ② ③
④ ⑤
2.
2)그림과 같이 AB , BC , ∠B 인 ∆ABC에 내접하는 직사각형 BDEF의 넓이가 보다 크고 보다 작다고 한다. BF 라고 할 때 자연수, 는? ( ,단BF BD 이다.)
① ② ③
④ ⑤
3.
3 )세 이차함수 , , 와 일차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, ≤ ≤ 에서 부등식
≤ 을 만족하는 모든 정수 의 값의 합은?
① ② ③
④ ⑤
4.
4)양수 에 대해 ≤ 를 만족하는
자연수 의 개수를 라고 정의할 때,
⋯ 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
5.
5 )양수 에 대하여 이차함수
의 그래프와 직선
가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P, Q라 하자 실수.
의 값에 관계없이 OP
OQ
은 일정한 값 를 갖는다.
의 값은? (단, O는 원점이다.)
① ②
③
④
⑤
6.
6)그림과 같이 이차함수 와 직선 의 그래프가 만나는 두 점을 각각 A, B라 하자.
이차함수 그래프 위의 점 P 에 대하여
AP BP 일 때 모든, 의 값의 합은?
① ② ③
④ ⑤
7.
7) 에 대한 방정식 을 만족시키는 정수 를 좌표평면 위의 점 로 나타낼 때 이 점들을, 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이는?
① ② ③
④
⑤
8.
8)좌표평면에서 두 점 A , B 과 직선 위를 움직이는 점 C 가 있다 두 선분. AC, BC를 로 내분하는 점을 각각 P Q라 할 때 삼각형, CPQ의 무게중심을
9.
9 )그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 모양의 종이를 점 O가 원점에 두 점, A, C가 각각 축, 축 위에 있도록 좌표평면 위에 놓았다 점. D는 선분 OC의 중점이고 선분 AD를 접는 선으로 하여 종이를 접었더니 점 O는 O′으로 옮겨졌다 점. O′의 좌표가 일 때 직선, O′A의 방정식은
이다. 의 값은? ( , , 은 상수이고 종이의단 , 두께는 고려하지 않는다.)
①
②
③
④
⑤
10.
10)그림과 같이 일차함수 의 그래프와 이차함수 의 그래프로 둘러싸인 도형이 있다 곡선. 위에 두 점 A B를 잡고 직선, 위에 두 점 C D를 잡아 이 도형 위에 정사각형 ABCD를 그린다 이 정사각형. ABCD의 넓이가
일 때, 의 값은? (단, 는 유리수이다.)11.
1 1)점 A
을 한 꼭짓점으로 하고 선분 BC의 중점 M의 좌표가
인 정삼각형 ABC가 있다 직선. AB와 직선 AC의 기울기의 곱은?① ② ③
④ ⑤
12.
1 2)점 A 과 직선 위의 서로 다른 두 점 B C가 AB AC를 만족시킨다 선분. BC의 중점 M이축 위에 있을 때, 의 값들의 합은?
①
②
③
④
⑤
13.
1 3)상수 , 에 대하여 두 직선 , 와 절편이 양수인 직선 의 교점을 각각 A, B라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이는
이다. 일 때, 의 값은?
단
( , O는 원점이다.)
①
②
③
④
⑤
14.
14)직선 이 축과 만나는 점을 A라 하고 직선 이 축 및 직선 과 만나는 점을 각각 B, C라 하자. AB AC일 때 점, C의 좌표는
이다.
의 값은? ( , 이고 , 는 서로소인 자연수)단
① ② ③
④ ⑤
15.
15)좌표평면에서 점 A 과 축 위의 점 P 에 대하여 점 P 를 지나고 직선 AP에 수직인 직선을 이라 할 때,보기 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은 단
[ ] ? ( , 는 이 아닌
실수이다.)
.
ㄱ 일 때 직선, 위의 점 중에서 좌표 및 좌표가 모두 이하의 자연수인 점의 개수는 개다.
.
ㄴ , , 가 모두 이하의 자연수일 때 점, 을 지나는 서로 다른 직선 은 개이다.
직선 .
ㄷ 위의 모든 점 에 대하여 부등식
≤ 이 성립하도록 하는 실수 의 최솟값은
이다.
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ㄱ ㄷ.
④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
주관식
16.
1 6)변 AD의 길이가 변 AB의 길이보다 만큼 긴 직사각형 ABCD가 있다 다음 그림과 같이 변. AD의 내분점을 P, 변 AD의 내분점을 P라 하고 변, DC의 내분점을 Q, 변 DC의 내분점을 Q라 하자 삼각형. BCP의 넓이 , 사각형 PQQP의 넓이 에 대하여 ≤ ≤ 를 만족시킬 때 변, AD의 길이의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
\
17.
1 7)이차함수 의 그래프와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점 A B와 원점 O에 대하여 삼각형 OAB의 넓이를 S라 할 때, S의 값을 구하시오.18.
18)그림과 같이 가로의 길이가 세로의 길이가, 인 직사각형 ABCD가 있다 선분. DC의 중점을 M이라 하고, 대각선 AC 위의 임의의 한 점 P에서 세 직선 BC DC AM에 내린 수선의 발을 각각 Q R S라 하자 점. P가 PQ PS를 만족시킬 때 선분, PR의 길이는 이다 이때. , 의 값을
구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
19.
19)이차방정식 이 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 의 최댓값을 구하시오.가
( ) , , 는 이하의 자연수이다.
나 주어진 이차방정식 두 근을
( ) , 라 할 때, ,
이다.
빠른정답
1) ① 2) ④ 3) ④ 4) ③ 5) ② 6) ⑤ 7) ② 8) ③ 9) ② 10) ⑤ 11) ⑤ 12) ② 13) ② 14) ② 15) ③ 16) 17) 18) 19)
정답 및 풀이
1) ①
≤ 이므로 ≤ ≤ 이다.
i ≥ 일 때
≤ ≤ 이므로
≤ 이고 ≤ 이다.
즉, ≥ 이고
≤ 이므로 주어진 부등식의 해는 ≤ ≤ 이다.
이때 ≥ 이므로 이다.
ii 일 때
≤ ≤ 이므로
≤ 이고 ≤ 이다.
즉 ≥ 이고
≤ 이므로 주어진 부등식의 해는 ≤ ≤ 이다.
이때 이므로 ≤ 이다.
또는 ≤ 이므로 부등식의 해는
≤ ≤ 가 되어 이고 이다.
그러므로 이다.
2) ④
라고 하면 이다.
삼각형 에서 이므로
∴
이고
에서
이므로
따라서 직사각형 의 넓이는
이고조건에 의해
≥ , ≥ , ≥ , ≥ 일 때의
값의 범위를 각각 구하자.
≥ 에서 ≤ 또는 ≥
≥ 에서 ≤ ≤
≥ 에서 ≥
≥ 에서 ≤ 또는 ≥ 각각을 그래프에 나타내면 다음과 같다.
i , , , 중 이상인 다항식이
개일 때
위 그림에서 경계를 제외하고 개가 겹치는 부분을 찾으면 된다.
∴ , ≤ ≤ , ≤ ≤
ii , , , 중 이상인 다항식이
개일 때
위 그림에서 경계선을 제외하고 개만 포함되는 부분이 없으므로 조건을 만족하는 값은 존재하지 않는다.
i , ii 에서 값의 범위는
, ≤ ≤ , ≤ ≤ 이다.
따라서 정수 값의 합은 이다.
4) ③
≤
≥
,
이라 하고
이를 그래프로 나타내면 다음과 같다.
5) ②
점 P 점, Q 라고 하자.
방정식
에서
의 두 근이 , 이다.
따라서 , 이다.
OP
(∵ )OQ
(∵ )OP
OQ
이므로
이다.
실수 의 값에 관계없이
이 일정한 값
를 가지므로
라고 하면
등식
은에 대한 항등식이다.
양변을 제곱하면 ,
에서
, 이다.
이므로 에서
이다.
에서 , 이므로
이다.
따라서
, 이다.
이므로
이다.
∴
6) ⑤
함수 의 그래프와 직선 의 교점의 좌표는
점 P 의 좌표를 P 라고 하자.
AP BP 이므로
이다.
또한 점 P는 함수 의 그래프 위의 점이므로
이다.
이므로 대입하면
따라서 모든 값의 합은 이다.
7) ②
가 정수이면 도 정수이다.
네 점 A , B , C , D
을 꼭짓점으로 하는 사각형은 직사각형이다.
AB
BC
∴□ABCD
×
8) ③ P
, Q
이므로삼각형 CPQ의 무게중심 G의 좌표는
G
G
∴ CG
따라서 위의 식을 정리하면
이다.
또한 점 C 는 직선 위의 점이므로
∴
9) ②
O ′ 의 좌표를
라 하면D
사이의 거리가 이므로
A 사이의 거리는 이므로
이고 두 식을 빼면
에서 ≠이므로
,
O ′
A 의 기울기는
∴
10) ⑤
아래 그림과 같이 A , B 이라 하자.
에서
점 M에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라고 하자.
AM
삼각형 AMH에서 ∠AMH 이므로
AM MH 이다. ∴ MH
직선 AB와 직선 AC는 모두 점 M에서 거리가
인 직선이다.직선 AB 또는 직선 AC의 기울기를 라고 하면 이 직선은 점 A를 지나므로
라고 할 수 있다.점 M
과 직선
사이의 거리는
이므로값의 곱은 이다.
따라서 직선 AB와 직선 AC의 기울기의 곱은 이다.
12) ②
삼각형 ABC 는 이등변삼각형이므로 직선 AM은 선분 BC의 수직이등분선이다.
직선 AM의 기울기가
이므로 직선 AM의 방정식은
이다.
점 M의 좌표는 두 직선
과 의 절편이므로
두 직선 과 의 교점은 A
,두 직선 과 의 교점은 B
이다.밑면을 선분 OA로 하는 삼각형 OAB에서
OA
이고점 B와 직선 사이의 거리는
이다.]
∴ ∆OAB
×
×
이므로
이다.
따라서
이므로
이다.
또는
이므로
이다.
14) ②
직선 의 절편을 D라 하면 A , D
직선 에 평행하고 점 D를 지나는 직선의
절편을 E라 하자.
직선 의 절편을 F라 하면 F
∆ODE ∆OFB이므로
OD OF OE OB
OB, OB
B
직선 의 절편이 이므로
,
점 C는 두 직선 , 의 교점이므로
, 두 식을 연립하면
,
∴
15) ③
직선 AP의 기울기는
이므로
수직인 직선 의 기울기는 이고 점, P 를 지난다.
직선 의 방정식은 이다.
.
ㄱ 일 때,
, , , , 의
개다. ∴참 .
ㄴ 일 때, 위의 점
일 때, 위의 점
⋯
일 때, 위의 점
일 때, 위의 점 중 주어진 조건을 만족하는 점 가 존재하지 않는다.
직선 은 개다. ∴거짓 ㄷ ≤ .
≤
≥ 이 모든 실수 에 대하여 성립하려면 이고
의 판별식 ≤ 이어야 한다.
≤ , ≥
∴ ≥
실수 의 최솟값은 이다. ∴참 따라서 보기에서 옳은 것은 ㄱ ㄷ, 이다.
16)
AB , AD 라 하자.
×
≤
≤
≤ ≤
≥ 을 풀면 ≥
≥
≤ 또는 ≥
≤ 를 풀면 ≤
≤
≤ ≤
따라서 ≤ ≤ 이므로 ≤ ≤ 이고 변 AD의 길이의 최댓값과 최솟값의 합은
이다.
17)
방정식 의 두 근은 두 그래프의 교점의 좌표이다.
즉, 의 근을 라 하면
, 이다.
두 점 A, B의 좌표를 A , B 라 하자 삼각형. OAB에서
AB
이고 점 O에서 직선 까지의 거리는
이므로삼각형 OAB의 넓이는
×
×
이고 이다.18)
그림을 점 B를 원점으로 하는 좌표평면으로
즉, 이다.
PS은 점 P 에서 직선 AM 까지의 거리이므로
PS
이다.
직선 AC는 기울기가
이고 절편이 이므로
이고 점 P는 이 직선 위의 점이므로
이다 따라서. 이다.
에 를 대입하면
이므로 이다.
따라서 이거나 이므로
이거나
이다.
이때 이므로
,
이다.
따라서 PR
이다. ∴
19)
나 에 의해
( )
일 때, 의 값이 최대이다.
라 하면
, , , 이다.
,
,
,
,
따라서 의 최댓값은 이다.
