Ⅴ 도형의 닮음과

Ⅴ _{도형의 닮음과}

피타고라스 정리

1.

2.

현미경을 사용하면 작은 세포를 적당한 크기로 확대하여 관 찰할 수 있고, 인물이나 풍경을 찍은 사진은 실물과 똑같은 모습 을 담을 수 있다. 이와 같은 닮음의 원리는 거대한 비행기나 선 박과 미세하고 복잡한 컴퓨터 칩의 연구와 설계에도 이용된다.

이 단원에서는 닮음의 뜻과 성질, 피타고라스 정리를 알아 본다.

우리 생활 주변에서 확대 또는 축소를 이용한 예를 찾아보자.

· 삼각비 (중3)

· 원의 성질 (중3)

· 도형의 닮음

· 피타고라스 정리

· 기본 도형

· 작도와 합동

· 평면도형의 성질

· 입체도형의 성질

광고 기획자 - 230쪽 사진을 확대하거나 축소하여 공익 광고를 만들어 보자.

직업 체험

생생

이 단원의 학습한 내용

내용

학습할 내용

준비 학습

다음 식에서 x의 값을 구하시오.

⑴ 2：5=x：10

⑵ 3：7=2：x

⑶ ;4(;= x12

⑷ :¡6¡:=;x@;

1

각각 구하시오.

l

m x

65æ 30æ y

2

1

점검하면서 드는 생각이나 느낌을 표현해 보자.

2

시작하기 전에

아래 그림에서 1ABC71PQR일 때, 다음을 구하시오.

A

B C

3`cm

P

Q 60æ R

⑴ PQ’의 길이

⑵ 3B의 크기

3

⑴ a€+b€

⑵ c€-a€

4

이전에 배운 숨어 있는 학습 요소를 떠 올려 봅

시다 .

수학

1 ^{도형의 닮음}

하루 만의 세계 여행

미니어처 테마파크는 사진에서나 볼 수 있었던 유명 건축물들이 모두 한곳에 모여 있어 하루 만에 세계 여행이 가능한 장소이다.

미니어처 테마파크에는 크기만 다를 뿐 실제 모습과 유사하게 만들어진 모형 건축물이 전시되어 있다. 예를 들어, 중국의 만리 장성, 이탈리아의 피사의 사탑, 인도의 타지마할 등과 같은 유명 건축물들을 이곳에서 만날 수 있다.

모형 건축물을 이용하여 실제 건축물의 높이를 어떻게 구할까? 197쪽 모형 건축물을 이용하여 실제 건축물의 높이를 어떻게 구할까?

사회 공학 경제 안전 환경 기술

문화 역사

1. 도형의 닮음

191

•도형의 닮음의 의미와 닮은 도형의 성질을 이해한다.

닮음의 뜻과 성질

1

생각 열기

정보

다음 ㈎~㈐의 사진은 컴퓨터 프로그램을 이용하여 원본 사진을 화살표 방향으로 확대하거나 축소하 여 만든 것이다. 원본 사진과 크기는 다르지만 모양이 같은 것을 모두 찾아보자.

닮은 도형이란 무엇일까?

한 평면도형 또는 입체도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하여 다른 한 도 형과 모양과 크기가 같을 때, 이들 두 도형은 서로 닮음인 관계에 있다 또는 서로 닮았다고 한다. 또, 서로 닮음인 관계에 있는 두 도형을 닮은 도형이라고 한다.

오른쪽 그림에서 삼각형 ABC를 2배로 확대 하면 삼각형 A'B'C'과 합동이므로 두 삼각형 은 닮은 도형이다.

A

B C

A'

B' C'

참고 닮음을 나타내는 기호 6는 닮음을 뜻하는 라틴어 Similis(영어의 Similar)의 첫 글자 S를 옆으로 뉘어서 쓴 것이다.

삼각형 ABC와 삼각형 A'B'C'이 닮은 도형일 때, 이것을 기호로 1ABC61A'B'C'

과 같이 나타낸다. 이때, 꼭짓점의 기호는 대응하는 순서대로 쓴다.

이때, 닮은 두 삼각형 ABC와 A'B'C'에서

점 A와 점 A', 점 B와 점 B', 점 C와 점 C'을 각각 대응하는 꼭짓점 AB’와 A'B'’, BC’와 B'C'’, CA’와 C'A'’을 각각 대응하는 변

3A와 3A', 3B와 3B', 3C와 3C'을 각각 대응하는 각 이라고 한다.

그리스의 논리적 기하학 의 시조로 닮음을 이용 하여 피라미드의 높이를 구했다.

탈레스 ^(Thales, B.C. 624?~B.C. 546?)

<원본 사진> ㈎ ㈏ ㈐

다음 각 도형이 항상 닮은 도형인지 말하시오.

⑴ 두 정삼각형 ⑵ 두 이등변삼각형

⑶ 두 직사각형 ⑷ 두 원

⑸ 두 정육면체 ⑹ 두 원뿔

1

배우고 익히는 수학

오른쪽 그림에서 닮은 도형을 모두 찾아 기호로 나타내시오.

2

B C

N

L

M D

E F

G H

I J

K

수학

글쓰기

와글 ^와글 와글 ^와글

다음 보기와 같이 모양은 같지만 크기가 다른 물건들을 우리 주변에서 찾아 발표해 보자.

창의·융합 의사소통

상황

식

에펠 탑 모형은 에펠 탑을 본떠 만들어 모양은 같지만 크기는 에펠 탑보다 작다.

보기

♬무엇이 무엇이 닮았을까? 1. 도형의 닮음

193

탐구 활동

오른쪽 그림에서 삼각형 A'B'C'은 삼각형 ABC 를 2배로 확대한 것이므로

1ABC61A'B'C' 이다.

이때, 닮은 두 삼각형 ABC와 A'B'C'에서

AB’：A'B'’=1：2, BC’：B'C'’=1：2, CA’：C'A'’=1：2 이므로 대응하는 변의 길이의 비가 1：2로 일정하다. 또,

3A=3A', 3B=3B', 3C=3C' 이므로 대응하는 각의 크기는 서로 같다.

또, 대응하는 변의 길이의 비가 모두 일정하고, 대응하는 각의 크기가 서로 같은 두 평면도형은 닮은 도형이다.

닮은 두 도형에서 대응하는 변의 길이의 비를 닮음비라고 한다. 예를 들어, 위의 두 삼각형 ABC와 삼각형 A'B'C'의 닮음비는 1：2이다.

닮은 평면도형에는 어떤 성질이 있을까?

준비물 자, 각도기

A

B C

A'

B' C'

일반적으로 닮은 두 평면도형에서는 다음이 성립한다.

닮은 평면도형의 성질

1 대응하는 변의 길이의 비는 일정하다.

2 대응하는 각의 크기는 서로 같다.

➊ 자를 사용하여 AB’：DE’, BC’：EF’, AC’：DF’의 값을 각각 구해 보자.

➋ 각도기를 사용하여 3A와 3D, 3B와 3E, 3C와 3F의 크기를 비교해 보자.

A

B C

A

B C

D

E F

D

E F

⑴

25`cm

30`cm

20`cm

16`cm

⑵

20`cm

20`cm

16`cm

16`cm

⑶

18`cm

24`cm

15`cm

20`cm 오른쪽 그림에서 2ABCD62A'B'C'D'일 때, 다음을

구하시오.

⑴ 3D'의 크기

⑵ 2ABCD와 2A'B'C'D'의 닮음비

⑶ AD’의 길이 예 제 1

풀이 ⑴ 3D와 3D'이 대응하는 각이므로 3D'=3D=76^

⑵ BC’와 B'C'’이 대응하는 변이므로 닮음비는 BC’：B'C'’=4：6=2：3

⑶ AD’와 A'D'’이 대응하는 변이므로 AD’：9=2：3

AD’=6 (cm)  ⑴ 76^ ⑵ 2：3 ⑶ 6 cm A

B

D C

A'

B'

D'

C' 76æ

4`cm

6`cm 9`cm

수영이와 친구들은 환경 잡지를 만들기 위해 다음 직사각형 모양의 사진의 크기를 줄이려고 한다. 각각 의 사진을 왜곡하거나 자르지 않고 아래에 주어진 크기로 줄일 수 있는지 말하시오.

창의·융합

2

의사소통

배우고 익히는 수학

오른쪽 그림에서 1ABC61DEF일 때, 다음을 구하시오.

⑴ 3B의 크기

⑵ 1ABC와 1DEF의 닮음비

⑶ EF’의 길이

1

A

B C

D

E F

6`cm

8`cm 65æ

9`cm

합동인 두 도형의 닮음비는? ： 1. 도형의 닮음

195

닮은 두 입체도형에서도 대응하는 모서리의 길이의 비를 닮음비라고 한다. 예를 들 어, 위의 두 사면체 ABCD와 A'B'C'D'의 닮음비는 3：2이다.

일반적으로 닮은 두 입체도형에서는 다음이 성립한다.

닮은 입체도형의 성질

1 대응하는 면은 닮은 도형이다.

2 대응하는 모서리의 길이의 비는 일정하다.

닮은 입체도형에는 어떤 성질이 있을까?

닮은 두 입체도형의 성질을 알아보자.

오른쪽 그림의 사면체 A'B'C'D'은 사면체 ABCD를 ;3@;배로 축소한 것이므로 서로 닮음인 관 계에 있다. 즉, 두 사면체는 닮은 도형이다.

이때, 두 사면체에서 대응하는 면은 닮은 도형 이므로

1ABC61A'B'C', 1ABD61A'B'D' 1ACD61A'C'D', 1BCD61B'C'D' 이다.

또, 대응하는 모서리의 길이의 비는 다음과 같이 일정함을 알 수 있다.

AB’：A'B'’ =BC’：B'C'’=AC’：A'C'’=AD’：A'D'’

=CD’：C'D'’=BD’：B'D'’=3：2

오른쪽 그림의 두 삼각기둥은 닮은 도형이다. AB’와 A'B'’이 대응하는 모서리일 때, AD’의 길이를 구하시오.

예 제 2

풀이 두 삼각기둥의 닮음비는 EF’：E'F'’=6：8=3：4

AD’와 A'D'’이 대응하는 모서리이므로 AD’：12=3：4, 4AD’=36

AD’=9 (cm)

 9 cm

D F

E

A C

B

D' F'

E'

A' C'

B'

6`cm 8`cm

12`cm

9`cm 6`cm

A

B D

C

A'

B' D'

C'

배운 내용을 이해했나요?

오른쪽 그림의 두 직육면체는 닮은 도형이다. 사각형 ABCD와 사각형 A'B'C'D'이 대응하는 면일 때, 다 음을 구하시오.

⑴ 면 BFGC에 대응하는 면

⑵ 두 직육면체의 닮음비

⑶ DH’의 길이

⑷ A'D'’의 길이

1

배우고 익히는 수학

E F G

H A B C

D

E'

F' G'

H' A'

B' C'

D' 4`cm

8`cm 12`cm

15`cm

오른쪽 그림의 두 원뿔은 닮은 도형이다. 작은 원뿔의 밑면의 둘레의 길이가 6p cm일 때, 큰 원뿔의 높이를 구하시오.

2

6`cm

4`cm

어느 미니어처 테마파크에는 다양한 비율로 축소하여 만든 여러 나라 의 유명 건축물 모형이 전시되어 있다. 우리나라의 건축물인 경복궁 의 근정전, 숭례문, 첨성대 모형도 이곳에서 볼 수 있다. 이 테 마파크에 있는 실제 크기의 ;7@;배로 축소하여 만든 첨성대 모 형의 높이는 약 2.6 m라고 한다.

다음 순서에 따라 첨성대의 실제 높이는 대략 몇 m인 지 구해 보자.

⑴ 첨성대와 그 모형의 닮음비를 구해 보자.

⑵ 첨성대의 실제 높이는 대략 몇 m인지 구해 보자.

문제 해결 추론

모형 건축물을 이용하여 실제 건축물의 높이를 어떻게 구할까?

191쪽 모형 건축물을 이용하여 실제 건축물의 높이를 어떻게 구할까?

1. 도형의 닮음

197

•삼각형의 닮음 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 닮음인지 판별할 수 있다.

삼각형의 닮음 조건

2

삼각형의 닮음 조건은 무엇일까?

생각 열기

생각 열기에서 1DEF와 합동인 삼각형을 작도하면 그 삼각형은 1ABC와 닮은 도형 임을 알 수 있다. 또, 삼각형을 작도할 때, 세 변의 길이와 세 각의 크기를 모두 알 필요 는 없다. 그러므로 두 삼각형이 닮은 도형임을 알고자 할 때에도 대응하는 세 변의 길 이의 비와 대응하는 세 각의 크기를 모두 비교할 필요는 없다.

1ABC를 2배로 확대하여 1DEF를 그리면 세 변의 길이가 각각 6cm, 8cm, 4cm가 돼.

또, 대응하는 각의 크기도

모두 같아.

그럼 1DEF와 합동인 삼각형을 작도하면 1ABC와 무조건 닮음이겠네.

A

B C

D

E F

4`cm

3`cm 2`cm 6`cm 8`cm

4`cm

이제 어떤 조건을 만족시키면 두 삼각형이 서로 닮은 도형이 되는지 알아보자.

1 오른쪽 그림과 같이 1A'B'C'이 1ABC의 세 변의 길이를 각각 두 배로 한 삼각형일 때, 1A'B'C'은 1DEF와 세 변의 길이가 각각 같 으므로

1A'B'C'71DEF(SSS 합동) 이다. 따라서 1ABC61A'B'C'이다.

A

B C

D

E F

a c

2c

2a 2b

A'

B' C'

2c

2a b 2b

2

2 오른쪽 그림과 같이 1A'B'C'이 1ABC의 두 변의 길이를 각각 두 배로 하고 그 끼인각의 크기 가 같은 삼각형일 때, 1A'B'C'은 1DEF와 두 변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같으 므로

1A'B'C'71DEF(SAS 합동) 이다. 따라서 1ABC61A'B'C'이다.

A

B C

D

E F

a c

2c

2a A'

B' C'

2c

2a

2b b

2

참고 삼각형의 닮음 조건을 변(Side)과 각(Angle)을 사용하여 간단히 1은 SSS 닮음, 2는 SAS 닮음, 3은 AA 닮음으로 나타내기도 한다.

보기 오른쪽 그림의 두 삼각형에서 3A=3E, 3C=3D

이다. 따라서 대응하는 두 각의 크기가 각각 같으므로

1ABC61EFD 이다.

A

B

C D

E 55æ F

55æ

25æ

100æ 3 오른쪽 그림과 같이 1A'B'C'이 1ABC의 한

변의 길이를 두 배로 하고 그 양 끝 각의 크기가 같은 삼각형일 때, 1A'B'C'은 1DEF와 한 변 의 길이가 같고 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으 므로

1A'B'C'71DEF(ASA 합동) 이다. 따라서 1ABC61A'B'C'이다.

2a A

B C

D

E F

a c

A'

B' C'

2c

2a

2b b

2

일반적으로 다음의 세 조건 중 하나가 성립하면 1ABC61A'B'C'

이다. 이 조건들을 삼각형의 닮음 조건이라고 한다.

삼각형의 닮음 조건

1 대응하는 세 변의 길이의 비가 같을 때, 즉

a：a'=b：b'=c：c' ^A

B C

A'

B' C'

a a'

b b'

c c'

A

B C

A'

B' C'

2 대응하는 두 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때, 즉

a：a'=c：c', 3B=3B'

3 대응하는 두 각의 크기가 각각 같을 때, 즉 3B=3B', 3C=3C'

A

B C

A'

B' C'

a a'

c c'

1. 도형의 닮음

199

다음 삼각형 중에서 서로 닮음인 것을 모두 찾고, 이때 이용한 삼각형의 닮음 조건을 말하시오.

⑴

75æ 12`cm

8`cm

⑵ _10`cm

6`cm 8`cm

⑶

75æ 4`cm 6`cm

⑷

105æ40æ

⑸

4`cm

3`cm 5`cm ⑹

40æ 35æ

1

배우고 익히는 수학

오른쪽 그림에서 다음이 성립할 때, 안에 알맞은 것을 써넣고, 이때 이용한 삼각형의 닮음 조건을 말하시오.

1ABC6

3

D C

12`cm

8`cm

6`cm 4`cm

3`cm 오른쪽 그림과 같이 두 삼각형 ABC와 DEF가 있

다. 다음 각 경우에 대하여 1ABC61DEF가 되는지 말하시오.

2

B C

D

E 60æ F 50æ

10`cm 6`cm

㉠ 3C=60^, 3E=50^ ㉡ AB’=10 cm, DF’=6 cm

㉢ AB’=15 cm, DE’=9 cm ㉣ AC’=5 cm, DF’=3 cm

㉤ 3A=70^, 3D=70^ ㉥ 3E=70^, AB’=6 cm

수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

가상 공간 속의 우주인 3명이 우주 공간에 흩어진 부품을 가지고 우주 정거장으로 돌아가려고 한다. 우주 인이 닮은 삼각형 모양의 부품만 가지고 갈 때, 각각의 우주인이 우주 정거장으로 가는 경로를 선으로 그려 보자.

문제 해결

다음 그림에서 x의 값을 구하시오.

⑴ _A

B C D

12`cm

7`cm 9`cm

x`cm 8`cm

⑵ _A

B C

D

12`cm

9`cm x`cm

4

다음 그림에서 x의 값을 구하시오.

⑴ _A

B C

D

8`cm

x`cm 4`cm

⑵ _A

B2`cmD x`cm C 4`cm

5

45æ8`cm 6`cm

배운 내용을 이해했나요?

8`cm

12`cm 7`cm

6`cm 4`cm

3.5`cm 70æ 70æ 65æ

45æ

12`cm 18`cm

10.5`cm 45æ

2`cm 1.5`cm

70æ 45æ 9`cm

45æ 4`cm 3`cm

1. 도형의 닮음

201

관 하찰 여 설 명 기하

•평행선 사이의 선분의 길이의 비를 구할 수 있다.

삼각형과 평행선

3

삼각형에서 평행선 사이의 선분의 길이의 비는 어떻게 될까?

탐구 활동

준비물 자, 줄이 있는 공책

일정한 간격으로 줄이 있는 공책의 줄 위에 점 A를 표시하고 다음과 같은 활동을 해 보자.

➊ <그림 1>에서 선분 AB가 공책의 줄에 의해 나누어지는 5개의 선분은 모두 길이가 같은 지 확인해 보자. 마찬가지로 선분 AC에 대해서도 알아보자.

➋ AD’：AB’=AE’：AC’가 성립하는지 알아보자.

삼각형의 한 변과 평행한 직선에 의하여 생기는 선분의 길이의 비를 알아보자.

다음 그림과 같이 1ABC에서 변 BC에 평행한 직선을 그어 두 변 AB, AC 또는 그 연장선과 만나는 점을 각각 D, E라고 하자.

A

B

D E

C

A

B

D E

C

A

B C

D E

먼저, BC’8DE’이면 1ABC와 1ADE에서 3BAC=3DAE, 3ABC=3ADE 이므로 대응하는 두 각의 크기가 각각 같다. 따라서

1ABC61ADE

이다. 이때, 닮음인 두 삼각형의 대응하는 변의 길이의 비가 같으므로 AB’：AD’=AC’：AE’=BC’：DE’

이다.

또, AB’：AD’=AC’：AE’이면 BC’8DE’임이 알려져 있다.

A

B C

A

E

B C D

<그림 1> <그림 2>

㉮ <그림 1>과 같이 같은 줄 위 에 두 점 B, C를 표시하고, 선분 AB와 선분 AC를 긋 는다.

㉯ <그림 2>와 같이 같은 줄 위 에 있는 두 점 D, E를 표시 한다.

다음 그림에서 DE’8BC’일 때, x, y의 값을 각각 구하시오.

⑴ _A

B C

D E

x y

18 12

15 14

⑵ _A

B C

D E

x

4

6

9 y 12

⑶

A

B

D E

C 5

8

14 4 y

x

1

배우고 익히는 수학

희연이가 오른쪽 그림과 같이 자기 그림자의 끝이 나무 그림자의 끝과 일치하도록 섰을 때, 나무의 높이는 몇 m 인지 구하시오.

2

3.2`m 4.8`m

160`cm

오늘 수업의 물음표와 느낌표는?

오른쪽 그림의 1ABC에서 두 점 D, E가 각각 두 변 AB, AC의 중점일 때, 다음을 구하시오.

⑴ 3ADE의 크기

⑵ DE’의 길이

3

B D

C E 65æ

16`cm 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비⑴

1ABC에서 한 직선이 두 변 AB, AC 또는 그 연장선과 만나는 점을 각각 D, E라고 할 때, 1 BC’8DE’이면 AB’：AD’=AC’：AE’=BC’：DE’

2 AB’：AD’=AC’：AE’이면 BC’8DE’

A

B

D E

C

A

B

D E

C

A

B C

D E

이상을 정리하면 다음과 같다.

1. 도형의 닮음

203

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비⑵

1ABC에서 한 직선이 두 변 AB, AC 또는 그 연장선과 만나는 점을 각각 D, E라고 할 때, 1 BC’8DE’이면 AD’：DB’=AE’：EC’

2 AD’：DB’=AE’：EC’이면 BC’8DE’

A

B

D E

C

D E

A

B C A

B D

C E 이상을 정리하면 다음과 같다.

삼각형에서 평행선 사이의 선분의 또 다른 길이의 비는 어떻게 될까?

삼각형의 한 변과 평행한 직선에 의하여 생기는 선분의 또 다른 길이의 비를 알아보자.

다음 그림과 같이 1ABC에서 변 BC에 평행한 직선을 그어 두 변 AB, AC 또는 그 연장선과 만나는 점을 각각 D, E라고 하자. 또, 점 E를 지나고 변 AB와 평행한 직선 이 변 BC 또는 그 연장선과 만나는 점을 F라고 하자.

A

B

D E

C

D E

A

B C F F

A

B D

C F

E 1ADE와 1EFC에서

3DAE=3FEC, 3DEA=3FCE 이므로 대응하는 두 각의 크기가 각각 같다. 따라서

1ADE61EFC

이다. 이때, 닮음인 두 삼각형의 대응하는 변의 길이의 비가 같으므로 AD’：EF’=AE’：EC’

이다.

또, 2DBFE는 평행사변형이고 EF’=DB’이므로 AD’：DB’=AE’：EC’

이다.

거꾸로 AD’：DB’=AE’：EC’이면 BC’8DE’임이 알려져 있다.

다음 그림에서 BC’8DE’일 때, x의 값을 구하시오.

⑴ _A

B C

10 4 x

8

D E

⑵

B C

x

9 8

3

A

D E

⑶

16 x 14

8 A D

C B

E

1

배우고 익히는 수학

오른쪽 그림에서 AC’8DE’이고 BE’：CE’=3：2일 때, AD’의 길이를 구하시오.

2

B C

D

E 12`cm

오른쪽 그림에서 서로 평행한 선분을 찾아 기호로 나타내시오.

3

4 4 3

4 3 4

3 B

A

F E

H G

D C O

보기

수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비를 살펴볼 수 있는 물건을 주변에서 찾아보고, 보기와 같이 삼각형 모양과 평행선을 표시해 보자.

창의·융합

오늘 배운 내용을 친구에게 설명해 볼까요? 1. 도형의 닮음

205

생각 열기

➊ AB’：BC’를 구해 보자.

➋ 자를 사용하여 A'B'’과 B'C'’의 길이를 각각 재어 A'B'’：B'C'’을 구 하고, 위 ➊의 결과와 비교해 보자.

다음 그림과 같이 평행한 세 직선 l, m, n이 다른 두 직선 p, q와 만나서 생기는 네 선분 AB, BC, DE, EF의 길이 사이의 관계를 알아보자.

l

n m

p q A B

C G

D E

F H

l

n m

p q

A B

C

G D

E

F H

점 A를 지나고 직선 q와 평행한 직선이 직선 m, n과 만나는 점을 각각 G, H라고 하면 1ACH에서 BG’8CH’이므로

AB’：BC’=AG’：GH’

이다. 또, 사각형 AGED와 사각형 GHFE는 모두 평행사변형이므로 AG’=DE’, GH’=EF’

이다. 따라서 AB’：BC’=DE’：EF’가 성립한다.

평행선 사이의 선분의 길이의 비

평행한 세 직선이 다른 두 직선과 만나서 생기는 선분의 길이의 비는 같다.

즉, 다음 그림에서 l8m8n이면 a：b=c：d

l m

n a

d c

b

l m

n a

d b

c 이상을 정리하면 다음과 같다.

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' B' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A' A'

C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C' C

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C CC B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B BB

평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비에는 어떤 성질이 있을까?

준비물 자

수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

다음 예와 같이 문제를 해결하고 독도에 자생하는 한반도 고유종 이 무엇인지 찾아 그 고유종을 조사해 보자.

문제 해결 창의·융합

다음 그림에서 l8m8n일 때, x의 값을 구하시오.

⑴ l m

n

9 6 x 8

⑵

l

m

n 6

12 8

x

1

배우고 익히는 수학

배운 내용을 이해했나요?

⑴

A

E D

B C

6`cm

10`cm 8`cm 12`cm `cm

△로부터 아래로 4글자

⑵ _l

m n

10`cm

5`cm

18`cm `cm

◯로부터 아래로 5글자

1 갈 2 매 3 기 4 섬 5 수 6 목

7 섬 8 기 9 린 10 초 11 금 12 섬 13 섬 14 물 15 초 16 롱 17 꽃 18 괴 19 옥 20 장 21 미 22 꽃 23 토 24 불 25 수 26 참 27 매 28 개 29 불 30 나 31 리 32 오 33 벌 34 쇠 35 뿔 36 무 A

B C

6`cm 14`cm

5`cm 6`cm 5`cm

D E

`cm

로부터 오른쪽으로 4글자

예

불 30 나 뿔 36 무 BC’8DE’이므로

5：10=：14 10_=70, =7

는 7이므로 ‘섬’부터 오른쪽으로 4글자인 고유종은 섬기린초이다.

•섬기린초: 바닷가 산기슭 바위 틈에서 자라며 7월에 개화한다.

( 자료: 국립생물자원관,

https://species.nibr.go.kr, 2016년 / 국립생태원, http://www.nie.re.kr, 2015년)

오른쪽 그림에서 k8l8m8n일 때, x, y의 값을 각각 구하시오.

2

l m

n x

y 9

10 6 6

1. 도형의 닮음

207

관 하찰 여 설 명 기하

탐구 활동

•삼각형의 무게중심의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.

삼각형의 무게중심

4

삼각형의 무게중심이란 무엇일까?

준비물 두꺼운 종이,

가위, 자, 연필

㉮ 꼭짓점 A와 변 BC의 중점 D를 잇는다.

㉯ 꼭짓점 B와 변 AC의 중점 E를 잇고, ㉮에서 그은 선분과의 교점을 G라고 한다.

A

B D C

F G E

➊ <그림 1>과 같이 선분 AD와 선분 BE가 자의 모서리에 일치하도록 삼각형을 자 위에 올려놓고, 삼 각형이 평형을 이루는지 관찰해 보자.

➋ <그림 2>와 같이 연필 끝으로 점 G를 받쳐 보고, 삼각형이 평형을 이루는지 관찰해 보자.

➌ 변 AB의 중점 F에 대하여 선분 CF를 그리고 점 G를 지나는지 확인해 보자.

A

B D C

G E A

D C

B G E

A

D C

B G E

<그림 1> <그림 2>

이제 삼각형의 무게중심의 성질을 알아보자.

오른쪽 그림과 같이 두 중선 AD, BE의 교점을 G라고 하면 삼각형 CAB에서 평행선과 선분의 길이의 비에 의하여

ED’8AB’, ED’=;2!; AB’

이다. 따라서 1GAB61GDE이고 그 닮음비는 2：1이므로 AG’：GD’=BG’：GE’=2：1

이다.

삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 그 삼각형의 중선이라고 한다. 따라서 한 삼각형에는 세 개의 중선이 있다.

탐구 활동에서 세 중선은 한 점에서 만나고, 연필 끝으로 그 점을 받 쳐 보면 삼각형이 평형을 이루는 것을 관찰할 수 있다. 이와 같이 삼각 형의 세 중선이 만나는 점을 삼각형의 무게중심이라고 한다.

A

B D C

G E

오른쪽 그림에서 점 G가 1ABC의 무게중심일 때, 다음 선분의 길이를 구 하시오.

⑴ DC’ ⑵ AG’ ⑶ GD’

1

배우고 익히는 수학

A

B C

G D

21`cm

26`cm

다음 그림에서 점 G가 1ABC의 무게중심일 때, x, y의 값을 각각 구하시오.

⑴ _A

B D C

G y`cm

3`cm x`cm 5`cm

⑵ _A

B C

G E

y`cm x`cm 18`cm

D 15`cm

2

마찬가지로 오른쪽 그림에서 CG’：GF’=2：1이다.

따라서 삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 꼭짓점으로부 터 각각 2：1로 나눈다.

A

B C

F E

G

삼각형의 무게중심

삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나고 이 점(무게중심)은 각각 의 중선의 길이를 꼭짓점으로부터 2：1로 나눈다. 즉,

AG’：GD’=BG’：GE’=CG’：GF’=2：1 이상을 정리하면 다음과 같다.

A

B D C

F G E

오른쪽 그림에서 점 G가 1ABC의 무게중심이고 1ABC의 넓이가 36 cm€일 때, 1GDC의 넓이를 구하시오.

3

B G C

D F E

♬심 심 심 자로 끝나는 말은 외심, 내심, 심. 1. 도형의 닮음

209

교과 역량 더하기

집중!

오른쪽 그림과 같은 정사각형 모양의 종이 ABCD를 EF’를 접는 선으 로 하여 꼭짓점 A가 BC’의 중점 M에 오도록 접었을 때, CH’의 길이를 구해 보자.

닮음과 닮음비

1

문제 해결

32`cm A

B

D

C H

F

E

M 12`cm

다음 두 학생의 대화를 읽고 영헌이가 말하는 경우를 그림으로 그려 보자.

진주 영헌

평행한 세 개의 직선이 다른 두 직선과

만나서 생기는 선분의 길이의 비는 같아.

그럼 거꾸로 서로 다른 세 개의 직선이 다른 두 직선과

만나서 생기는 선분의 길이의 비가 같으면 세 개의 직선은

평행할까?

평행하지 않는 경우도 있어.

평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비

2

추론 의사소통

➊ 문제 이해 구하려고 하는 것은 무엇인가?

➋ 계획 수립 닮은 두 직각삼각형을 찾는다.

➌ 계획 실행 닮음을 이용하여 문제를 해결한다.

➍ 반성 구한 답이 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

➊ 아래와 같이 색종이를 정삼각형 모양으로 접어 자신의 소원을 적는다.

➋ 위의 ➊에서 만든 정삼각형 모양의 색종이를 반 친구들과 함께 전지에 아래 그림처럼 구성하여 붙인다.

➌ 완성한 작품을 전시한다.

준비물 색종이, 전지, 풀 만드는 방법

문제 해결 추론 창의 융합 의사소통 정보 처리 태도 및 실천

부분이 전체를 닮은 도형

3

창의·융합 태도 및 실천

다음과 같이 삼각형을 이용하여 부분이 전체를 닮은 삼각형 모양의 도형을 만들어 보자.

아래는 각각 삼각형과 사각형을 이용하여 만든 부분이 전체를 닮은 도형이다.

집중! 교과 역량 더하기

211

다음 그림에서 서로 닮음인 삼각형을 찾아 기호로 나타내고, 이때 이용한 삼각형의 닮음 조건을 말하시오.

⑴ _A

B C

2`cm 4`cm

3`cm

D

E

⑵ _A

B C

6`cm 3`cm

9`cm D

2

다음 그림에서 x의 값을 구하시오.

⑴ BC’8DE’일 때 ⑵ l8m8n일 때

A

D E

B 12`cm C

8`cm 4`cm

x`cm

10`cm

12`cm x`cm

8`cm l

m n

3

도형의 닮음 다음과 같이 배운 내용을 정리해 보자.

중단원 마무리

스스로 쓱쓱 ^{중단원 마무리} 스스로 쓱쓱

오른쪽 그림에서 2ABCD62EFGH일 때, 다음을 구하시 오.

⑴ 3G의 크기

⑵ 2ABCD와 2EFGH의 닮음비

⑶ AD’의 길이

기

1

초 A

B

D C

E

F

H

15`cm G 10`cm

65æ9`cm100æ 105æ

1 2 3 4 5 6 7 8 195쪽 1 200쪽 1, 3 203쪽 1

207쪽 1 201쪽 4 201쪽 5 203쪽 209쪽 2 209쪽 3 복습이 필요한 문항은 아래 교과서 쪽에서 찾아 확인해 봅시다.

문항 번호 되돌아보기

1.^{도형의 닮음}

오른쪽 그림에서 AD’8EF’8BC’일 때, EF’의 길이를 구하시오.

6

B

D

E F

C 10`cm

12`cm

18`cm 5`cm

오른쪽 그림에서 점 G는 3C=90^인 직각삼각형 ABC의 무게중심이고, GD’=3 cm일 때, AB’의 길이를 구하시오.

7

B C

D G 3`cm 오른쪽 그림에서 x, y의 값을 각각 구하시오.

5

B C

13`cm

12`cm

5`cm y`cm Dx`cm

오른쪽 그림에서 두 점 G, G'은 각각 1ABC, 1GBC의 무게중심이고 1GBG'=9 cm€일 때, 1ABC의 넓이를 구하시오.

밑줄 친 부분의 수를 바꾸어 문제를 만들고 친구와 바꾸어 풀어 보자.

8

발전 A

B D C

G' G 오른쪽 그림에서

3CAB=3DBC, 3ACB=3BDC 일 때, AB’의 길이를 구하시오.

4

기본

A

D

B 15`cm C 25`cm

중단원 마무리

213

직접 해 보는 수학 교실 로 해 보는

놀이 수학 놀

팽이는 축을 중심으로 어느 쪽으로도 기울어지지 않고 평형을 이룰 때 오래 돈다. 삼각형 팽이를 만들 때, 축의 위치는 어떻게 찾을 수 있을까?

다음 과정에 따라 삼각형 팽이를 만들어 보자.

무게중심을 이용한

삼각형 팽이 만들기

준비물 하드보드지, 팽이 심, 실, 바늘, 집게, 사인펜, 가위 준비

활동 위의 과정에 따라 만든 팽이를 돌려 보고, 팽이가 기울어지지 않고 잘 돌아 가는 까닭을 모둠별로 토론해 보자.

➊ 하드보드지를 삼각형 모양으로 잘라 낸다.

➋ <그림 1>과 같이 삼각형의 한 곳에 실을 고정하고 삼각형과 실을 자 연스럽게 늘어뜨려 실이 지나는 선을 삼각형에 그린다.

➌ <그림 2>와 같이 삼각형의 다른 곳에 실을 고정하고 위의 ➋와 같은 방법으로 또 다른 선을 하나 그려 교점을 찾는다.

➍ 삼각형의 무게중심을 그려 보고 위의 ➌에서 찾은 교점과 무게중심 이 일치하는지 확인한다.

➎ 사인펜을 이용하여 팽이를 꾸민다.

➏ 무게중심에 구멍을 뚫고 팽이 심을 꽂아 팽이를 완성한다.

<그림 1>

<그림 2>

2 ^{피타고라스 정리}

건축물에서 찾을 수 있는 직각

오늘날처럼 각도를 재는 편리한 기구가 없었던 옛날에도 우리 조상들은 직각을 만드는 방법을 알고 있었다.

한국 전통 양식으로 한옥을 지을 때, 기둥을 세우거나 지붕의 뼈 대를 만드는 과정에서 직각을 만드는 이 방법을 적용하였다.

(자료: “수학동아”, 2010년, 1월)

우리 조상들은 건축물을 만들 때, 직각을 어떻게 만들었을까?

우리 조상들은 건축물을 만들 때, 직각을 어떻게 만들었을까? 221쪽

문화 사회 공학 경제 안전 환경

역사 기술

2. 피타고라스 정리

215

관 하찰 여 설 명 기하

•피타고라스 정리를 이해하고 설명할 수 있다.

피타고라스 정리

1

탐구 활동

P R Q

P R Q

P Q R

<그림 1> <그림 2> <그림 3>

피타고라스 정리란 무엇일까?

오른쪽 그림에서 모눈 한 눈금의 길이를 1이라고 하면 BC’를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 16, CA’를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 9, AB’를 한 변으로 하 는 정사각형의 넓이는 25이므로

BC’ €=16, CA’ €=9, AB’ €=25 이다.

이때, 16+9=25이므로 BC’ €+CA’ €=AB’ € 임을 알 수 있다.

A

B C

➊ 다음 표를 완성해 보자.

P의 넓이 Q의 넓이 R의 넓이

<그림 1>

<그림 2>

<그림 3>

➋ 두 정사각형 P와 Q의 넓이의 합과 정사각형 R의 넓이 사이에는 어떤 관계가 있는지 추측해 보자.

이제 오른쪽 그림과 같이 3C가 직각인 직각삼각형 ABC 에서

a€+b€=c€

이 항상 성립함을 알아보자.

C

A B

a

c b

꼭짓점 C에서 대변에 내린 수선의 발을 D라 하고, AD’=p, BD’=q라고 하자.

1ABC와 1ACD에서

3ACB=3ADC=90^, 3A는 공통 이므로 대응하는 두 각의 크기가 각각 같다. 따라서

1ABC61ACD

이다. 이때, 닮은 도형의 성질에 의하여

AC’：AD’=AB’：AC’, AC’ €=AD’_AB’

즉, b€=pc yy①

같은 방법으로 1ABC61CBD이므로 BC’ €=BD’_BA’

즉, a€=qc yy② 이때, p+q=c이므로 ①, ②에서

a€+b€=pc+qc=(p+q)c=c€

이다.

따라서 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같음을 알 수 있다.

C

A D B

a

c b

p q

분배법칙 (p+q)c=pc+qc

피타고라스 정리

직각삼각형 ABC에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b라 하고, 빗변의 길이를 c라고 하면

a€+b€=c€

C

A B

a

c b 이와 같은 성질을 피타고라스 정리라고 한다.

3`cm

4`cm A

B C

보기 오른쪽 그림의 직각삼각형 ABC에서 AB’ €=3€+4€=9+16=25=5€

이므로 AB’=5이다.

피타고라스 수, 피타고라스 정리 등을 연구하였다.

피타고라스

(Pythagoras, B.C. 569?~B.C.

475?)

2. 피타고라스 정리

217

다음 직각삼각형에서 x의 값을 구하시오.

⑴

5`cm

12`cm

x`cm ⑵

6`cm

x`cm 10`cm

1

배우고 익히는 수학

다음은 두 직각삼각형을 붙여 놓은 것이다. 이때, x와 y의 값을 각각 구하시오.

⑴

25

10

7

x

y ⑵

8 9

y

x

12

2

오른쪽 직각삼각형의 넓이를 구하시오.

3

24`cm x`cm

오른쪽 그림은 직각삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그린 것이다. 정사각형 P와 Q의 넓이가 각각 49 cm€, 16 cm€일 때, 정 사각형 R의 넓이를 구하시오.

4

P

Q R

활동

2

a b

b a

a b

b a

c c

피타고라스 정리에 대한 느낌을 한 줄로 말하면?

수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

다음 활동을 통하여 피타고라스 정리를 확인해 보자.

3

2

c c c

c

4

3

이가 c인 정사각형을 만든다. ^c

c c

c

1

종이, 자, 각도기, 컴퍼스, 가위

준비물

a b

확인

위의 활동 을 이용하여 피타고라스 정리가 성립함을 설명해 보자.

추론 의사소통

2. 피타고라스 정리

219

관 하찰 여 설 명 기하

탐구 활동

➊ 각 삼각형에서 세 변의 길이의 제곱 사이의 관계를 말해 보자.

➋ 위의 활동에서 만든 두 삼각형은 어떤 삼각형인지 말해 보자.

직각삼각형임을 어떻게 알 수 있을까?

㉮ 종이띠를 다음과 같은 길이로 잘라서 삼각형을 만든다.

(6 cm, 8 cm, 10 cm), (5 cm, 12 cm, 13 cm)

6`cm 8`cm 10`cm

㉯ 위의 ㉮에서 만든 두 삼각형에서 가장 큰 각의 크기를 각도기를 사용하여 각각 측정한다.

준비물 종이띠, 자, 가위,

각도기

삼각형의 세 변의 길이 사이에 어떤 관계가 있을 때, 그 삼각형이 직각삼각형이 되는 지 알아보자.

직각을 낀 두 변의 길이가 각각 5, 12인 직각삼각형에서 5€+12€=13€

이므로 이 직각삼각형의 빗변의 길이는 13이다. 즉, 이 직각삼각 형의 세 변의 길이는 각각 5, 12, 13이다.

한편, 세 변의 길이가 각각 5, 12, 13인 삼각형은 위의 삼각형과 합동이므로 직각삼각형이 된다.

5 12

12

13 5

일반적으로 다음이 성립함이 알려져 있다.

직각삼각형이 될 조건

세 변의 길이가 각각 a, b, c인 삼각형 ABC에서 a€+b€=c€

이면 이 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.

A

B a C

c b

추론 문제 해결

우리 조상들은 건축물을 만들 때, 직각을 어떻게 만들었을까?

215쪽 우리 조상들은 건축물을 만들 때, 직각을 어떻게 만들었을까?

세 변의 길이의 비가 3：4：5인 삼각형은 직각삼각형임을 설명해 보자.

의사소통

2

세 변의 길이가 각각 다음과 같은 삼각형 중에서 직각삼각형인 것을 모두 찾으시오.

⑴ 3, 6, 7 ⑵ 7, 24, 25

⑶ 2, 4, 5 ⑷ 10, 24, 26

1

배우고 익히는 수학

오른쪽 그림과 같은 2ABCD에 대하여 다음 물음에 답하시오.

⑴ BD’의 길이를 구하시오.

⑵ 1BCD는 어떤 삼각형인가?

⑶ 2ABCD의 넓이를 구하시오.

3

13 5

9 15

A

C

B D

보기 1 세 변의 길이가 각각 8, 15, 17인 삼각형은 8€+15€=17€이므로 이 삼각 형은 직각삼각형이다.

2 세 변의 길이가 각각 2, 3, 4인 삼각형은 2€+3€+4€이므로 이 삼각형은 직각삼각형이 아니다.

3

4 2

8

15 17

우리 조상들은 직각을 만들 때, 구고현의 정리를 이용하였다.

‘구(句)를 3, 고(股)를 4라고 할 때, 현(弦)은 5가 된다’라는 구고 현의 정리는 고대 중국의 수학책 “주비산경(周 算經)” 제1편에 실 려 있다. 우리 조상들은 이 구고현의 정리를

이용하여 건축물을 수직으로 세우거나 직 접 측정할 수 없는 거리를 계산하였다.

( 자료: “인터넷 과학신문 사이언스타임즈”, 2006년 11월 9일)

배운 내용을 이해했나요? 2. 피타고라스 정리

221

오른쪽 그림과 같은 직육면체의 꼭짓점 F에서 겉면을 따라 모서리 CG를 거쳐 꼭짓점 D까지 가는 최단 거리를 구해 보자.

피타고라스 정리와 최단 거리

1

문제 해결

교과 역량 더하기

집중!

➊ 문제 이해 구하려고 하는 것은 무엇인가?

➋ 계획 수립 전개도를 이용하여 최단 거리가 되는 선분을 찾는다.

➌ 계획 실행 피타고라스 정리를 이용하여 최단 거리를 구한다.

➍ 반성 구한 답이 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

6

9 8

A D

B C

E H

F G

오른쪽 그림과 같이 네 집 A, B, C, D를 선으로 연결하면 직사각 형이 된다. 공원에서 A, B, C까지의 거리가 각각 8 km, 7 km, 1 km일 때, 공원에서 D까지의 거리를 구해 보자.

직사각형 속에 숨어 있는 피타고라스 정리

추론

2

A D

8`km

7`km

B 1`kmCC

➊ 수학자 피타고라스에 대한 정보와 피타고라스 정리의 설명 방법을 조사해 온다.

➋ A4 용지에 아래를 포함하여 피타고라스 정리에 대한 내용을 자유롭게 적고 꾸민다.

➌ 자신이 정리한 피타고라스 정리에 대한 내용을 발표한다.

준비물 A4 용지, 자, 색연필, 사인펜 만드는 방법

피타고라스 정리와 관련된 내용을 자유롭게 정리해 보자.

피타고라스 정리 정리하기

3

의사소통 태도 및 실천

문제 해결 추론 창의 융합 의사소통 정보 처리 태도 및 실천

수학자 피타고라스에 대한 소개 피타고라스 정리

피타고라스 정리에 대한 여러 가지 설명 방법 직각삼각형이 될 조건

피타고라스 정리에 대한 문제 만들기

활동 후 느낀 점

집중! 교과 역량 더하기

223

다음 그림에서 x의 값을 구하시오.

⑴

16`cm

12`cm x`cm

⑵ _48`cm

50`cm x`cm

기

1

초

세 변의 길이가 각각 다음과 같은 삼각형 중에서 직각삼각형인 것을 모두 찾으시오.

⑴ 6, 9, 12 ⑵ 9, 12, 15

⑶ 9, 40, 41 ⑷ 10, 13, 15

3

피타고라스 정리 다음과 같이 배운 내용을 정리해 보자.

중단원 마무리

스스로 쓱쓱 ^{중단원 마무리} 스스로 쓱쓱

오른쪽 그림에서 x, y의 값을 각각 구하시오.

2

6`cm x`cm

y`cm

오른쪽 그림에서 4개의 직각삼각형은 모두 합동이고, AB’=20, AE’=16일 때, 2EFGH의 둘레의 길이를 구하시오.

4

기본

20

16 A

B

D

C G

H E

F

2.^{피타고라스 정리}

1 2 3 4 5 6 7 8

218쪽 1 218쪽 2 221쪽 1 218쪽 1 218쪽 3 218쪽 1 218쪽 2, 4 218쪽 1, 2 복습이 필요한 문항은 아래 교과서 쪽에서 찾아 확인해 봅시다.

문항 번호 되돌아보기

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 25 cm인 원 O에서 AB’=14 cm일 때, 1OAB의 넓이를 구하시오.

5

25`cm 14`cm B O

A

오른쪽 그림과 같은 2ABCD에서 AC’-BD’이고 AB’, BC’, CD’를 한 변 으로 하는 정사각형의 넓이가 각각 4 cm€, 9 cm€, 25 cm€일 때, AD’를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 구하시오.

밑줄 친 부분의 수를 바꾸어 문제를 만들고 친구와 바꾸어 풀어 보자.

7

발전

C O

A

B D

오른쪽 그림과 같이 폭이 1 km로 일정한 강의 양쪽에 두 마을 A, B가 있다. 강을 가로지르는 다리인 CD’는 두 마을을 잇는 경로 A → C → D → B의 거리가 최소가 되는 지점에 있다고 한다. 이 최단 거리를 구하시오.

8

C D

12`km

10`km

A

B

A

B

E E 오른쪽 그림과 같은 2ABCD에서 CD’의 길이를 구하시오.

6

24`cm 19`cm

12`cm A

B

D

C

중단원 마무리

225

페르마가 남긴 숙제

직각삼각형에서 빗변의 길이를 c, 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b라고 하면 피타고라스 정리에 의하여 a€+b€=c€이다. 이 식을 만족시키는 세 자연수 a, b, c는

3, 4, 5 5, 12, 13 7, 24, 25 … 등과 같이 무수히 많이 있다.

피타고라스 정리에서 제곱을 세제곱으로 바꾼 식 a‹+b‹=c‹을 만족시키는 자연수들이 있을지 생각해 본 적이 있는가?

17세기 프랑스의 수학자 페르마(Fermat, P., 1601~1665)는 실제로 그런 문제를 생각했는데, 3 이상의 자연수 n에 대하여 aⁿ+bⁿ=cⁿ을 만족 시키는 자연수 a, b, c는 없다는 결론을 내리고 디 오판토스(Diophantos, 200?~284?)의 저서

“산수론(算數論)”의 복사본 여백에 오른쪽과 같은 기록만 남겼다.

그동안 페르마의 마지막 주장을 증명하였다는 수학자들은 많이 있었지 만 그들의 증명은 모두 결함이 있어 인정받지 못하였다. 1994년에 이르러 와일스(Wiles, A. J., 1953~)가 완전한 증명을 제시함으로써 페르마의 주 장은 결국 참으로 밝혀졌다.

페르마가 남긴 숙제는 350년이 흐른 후에야 완전히 해결된 것이다. 그런데 페르마는 증명을 정말 알고 있었을까?

(자료: Eves, H.(이우영•신항균 역), “수학사” / Flood, R.•Wilson, R.(이윤혜 역), “위대한 수학자의 수학의 즐거움”)

수학 충전소

역사와 수학 _사이

만 그들의 증명은 모두 결함이 있어 인정받지 못하였다.

와일스

장은 결국 참으로 밝혀졌다.

정말 알고 있었을까?

”의 복사본 여백에 오른쪽과 같은 기록만 남겼다.

그동안 페르마의 마지막 주장을 증명하였다는 수학자들은 많이 있었지 만 그들의 증명은 모두 결함이 있어 인정받지 못하였다. 1994년에 이르러

~)가 완전한 증명을 제시함으로써 페르마의 주

페르마 ▶

▲ 와일스

다음 중 항상 닮은 도형인 것을 모두 고르면?

(정답 2개)

① 두 이등변삼각형 ② 두 직사각형

③ 두 원 ④ 두 삼각기둥

⑤ 두 구

1

대단원 마무리

실력 쑥쑥 실력 쑥쑥 실력 쑥쑥 실력

다음 그림에서 2ABCD62EFGH일 때, 보기 중 옳은 것을 모두 고르시오.

60æ 70æ

6`cm 4`cm

8`cm A

B C

D

H E

G

F

㉠ 3F=90^

㉡ 닮음비는 3：2이다.

㉢ GH’=2 cm

㉣ AD’에 대응하는 변은 EH’이다.

㉤ 점 C에 대응하는 점은 점 E이다.

보기

2

다음 그림에서 두 직육면체는 서로 닮은 도형이 다. 2ABCD와 2A'B'C'D'이 대응하는 면일 때, F'G'’+C'G'’의 길이를 구하시오.

F GE H A B C

D

6 6

3

C'

F' G' H' A'

B' E' D'

8

3

다음 그림에서 서로 닮은 삼각형을 찾아 기호로 나타내고, 이때 이용한 삼각형의 닮음 조건을 말 하시오.

4`cm 7`cm

8`cm

5`cm 14`cm

B C

E A D 5`cm

5

다음 중 오른쪽 그림의 1ABC와 닮음인 것을 모두 고르면? (정답 2개)

4

A B

C 12`cm 6`cm

58æ

① _D

E F

6`cm 3`cm

② _G

H I

32æ

③ _J

K 58æ L 6`cm

3`cm

④ _M

N5`cm 3`cmO 6`cm

⑤ _P

Q 5`cm R 3`cm

오른쪽 그림에서 1ABC61AED 일 때, 1ABC와 1AED의 닮음비 는?

① 2：1 ② 3：1 ③ 3：2

④ 1：3 ⑤ 4：3

6

B C

3`cm 2`cm

1`cmD 4`cm

E

대단원 마무리

227

대단원 마무리 대단원 마무리

실력 쑥쑥 쑥쑥

오른쪽 그림에서 AD’8BE’, AB’8DC’

일 때, 1ACD의 둘 레의 길이는?

① 24 cm ② 26 cm ③ 28 cm

④ 30 cm ⑤ 32 cm

7

7`cm

8`cm 10`cm A

B

D

E 2`cmC

다음 그림에서 l8m8n일 때, 2x+y의 값을 구 하시오.

8`cm y`cm

6`cm x`cm

10`cm 12`cm l

n m

9

오른쪽 그림에서 2ABCD는 평행사변 형이고 점 F는 OC’의 중점이다. DF’의 연장

선이 BC’와 만나는 점을 E라고 할 때, FD’：FE’

를 구하시오.

11

B

D O

F

E C

오른쪽 그림은 직각삼각 형 ABC의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형을 각각 그린 것이다. 이때, 색칠한 부분의 넓이는?

① 169 cm€

② 196 cm€ ③ 225 cm€

④ 256 cm€ ⑤ 289 cm€

12

B C

A

12`cm 9`cm

오른쪽 그림과 같은 1ABC에서

AD’：DB’=AE’：EC’

일 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고르 시오.

8

6`cm

14`cm A

B D

C E

㉠ 1ADE61ABC ㉡ BC’8DE’

㉢ DE’：BC’=3：4 ㉣ DE’=6 cm

보기

오른쪽 그림에서 점 G 가 1ABC의 무게중심 일 때, 다음 중 비가 나 머지 넷과 다른 하나는?

① AG’：GD’ ② BC’：EF’

③ 1ABG：1GBD ④ 1ABC：1ABE

⑤ 1ABC：1GCA

10

B G C

D

F E

Ⅴ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리

나의 단원 일기

이 단원을 배우면서 가장 흥미로웠던 부분은 무엇인 지 써 보자.

내 생각 내 표현

이 단원을 배우고 나서 나의 점수를 항목별로 1~5점 까지 표시하고 선으로 연결해 보자.

스스로 평가하기

이 단원을 배우면서 이해하는 데 시간이 가장 많이 걸 렸던 부분은 무엇인지 써 보자.

협력, 소통

자기 주도 학습

창의력 사고력

흥미, 자신감 1

2 3 4 5

다음 그림과 같이 직각삼각형 ABC의 세 변을 각 각 지름으로 하는 반원을 그렸다. AB’=8 cm, AC’=6 cm일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하시오.

A

B C

8`cm 6`cm

16

오른쪽 그림에서 AD’8BC’8MN’

이고 AM’=BM’, DN’=CN’일 때, PQ’의 길이를 구하 시오.

15

B

D

P Q

C

M N

16`cm 10`cm

서술형 문제

[14~16] 다음 문제의 풀이 과정을 자세히 써 보자.

오른쪽 그림과 같은 3A=90^인 직각삼각 형 ABC에서 점 M은 BC’의 중점이다. 점 A

에서 BC’에 내린 수선의 발을 D라 하고, 점 D에 서 AM’에 내린 수선의 발을 E라고 할 때, DE’의 길이를 구하시오.

14

B C

A

ME D

18`cm 8`cm 오른쪽 그림에서

1AED71BCE이 고, 세 점 A, E, B가 한 직선 위에 있을 때, CD’를 지름으로 하는 반원의 넓이를 구하시오.

13

D A

C

E B

5

12

대단원 마무리

229

직업 체험

생생

직업 체험

생생

수행 과제를 통하여

광고 기획자에 도전해 보자.

광고 기획자

광고 기획자는 광고 계약에서부터 광고 전략 수립, 광고 제작, 광 고 완성까지의 업무를 한다. 관련 직업으로는 매체 담당자, 광고 마 케터, 카피라이터 등이 있다.

광고 기획자는 상품의 판매 자료나 시장 조사 자료, 제품 정보 등 을 입수하여 소비자의 성향을 분석하고 광고 회사의 제작 팀, 매체 팀과 회의를 통해 사회 환경 및 광고 환경의 변화를 고려한 광고 제 작 방향을 정한다. 또, 광고주의 의견을 수렴하고 각종 아이디어를 수집하며 화면의 구성 및 광고 제작 일정을 계획한다.

(자료: 워크넷, http://www.work.go.kr, 2015년)

모둠별로 확대하거나 축소한 사진을 이용하여 공익 광고를 완성하고 발표해 보자.

❶ 광고할 주제를 정한다.

❷ 위의 ❶에서 정한 주제에 따라 광고 스토리보드¹를 작성한다.

❸ 주제에 맞게 연출하여 사진을 촬영하거나 잡지나 인터넷 등에서 적절한 사진을 선 택한다.

❹ 위 ❸의 사진을 확대하거나 축소한 후 스토리보드에 맞게 광고를 완성한다.

1 스토리보드: 스토리(story) 내용을 보는 사람이 이해할 수 있도록 그림으로 그려 정리한 판(board)

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일회용품

사용 줄이기

모둠원 광고 만들기에서 한 일 느낀 점

수행

수행

생생 직업 체험

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