2020 만렙AM 중2-2 답지 정답

전체 글

(1)

001

40ù

x=;2!;_(180ù-100ù)=40ù

003

96ù

C=

B=42ù이므로

x=180ù-(42ù+42ù)=96ù

015

x=3, y=90 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 x=DCÓ=3, y=90

018

x=90, y=62 ADÓ는 꼭짓점 A와 밑변의 중점 D를 이은 선분이므로 x=90,

CAD=

BAD=28ù 따라서 semoADC에서 y=180-(28+90)=62

004

140ù, 40ù

005

150ù

ABC=;2!;_(180ù-120ù)=30ù

x=180ù-30ù=150ù

017

x=5, y=20 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 x=;2!; BCÓ=;2!;_10=5

ADC=90ù이고

C=

B=70ù이므로 semoADC에서 y=180-(90+70)=20

016

x=16, y=40 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 x=2DCÓ=2_8=16

ADB=90ù이므로 semoABD에서 y=180-(50+90)=40

002

80ù

C=

B=50ù이므로

x=180ù-(50ù+50ù)=80ù

007

40ù, 70ù, 70ù

008

66ù semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

B=;2!;_(180ù-48ù)=66ù 따라서 semoCDB에서

x=

B=66ù

009

50ù semoDBC에서 BCÓ=DCÓ이므로

B=

BDC=65ù 따라서 semoABC에서

x=180ù-(65ù+65ù)=50ù

010

36ù semoCDB에서 CBÓ=CDÓ이므로

B=

CDB=72ù 따라서 semoABC에서

x=180ù-(72ù+72ù)=36ù

삼각형의 성질

8~19쪽

011

52ù semoBCD에서 BCÓ=BDÓ이므로

C=;2!;_(180ù-52ù)=64ù

즉, semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ABC=

C=64ù

x=180ù-(64ù+64ù)=52ù

013

24ù

semoBCD에서 BCÓ=BDÓ이므로

BDC=

BCD=68ù

DBC=180ù-(68ù+68ù)=44ù

semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ABC=

C=68ù

x=68ù-44ù=24ù

014

30ù

semoCDB에서 CBÓ=CDÓ이므로

B=

CDB=180ù-110ù=70ù

BCD=180ù-(70ù+70ù)=40ù

semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ACB=

B=70ù

x=70ù-40ù=30ù

019

30ù, 30ù, 60ù, 60ù, 60ù, 60ù, 60ù

020

68ù

semoDBC에서 DBÓ=DCÓ이므로

DCB=

B=28ù

ADC=28ù+28ù=56ù

semoADC에서 ACÓ=DCÓ이므로

A=

ADC=56ù

x=180ù-(56ù+56ù)=68ù

021

35ù

semoADC에서 ACÓ=DCÓ이므로

ADC=

A=70ù

BDC=180ù-70ù=110ù 따라서 semoDBC에서 DBÓ=DCÓ이므로

x=;2!;_(180ù-110ù)=35ù

012

46ù, 46ù, 67ù, 67ù, 46ù, 21ù

006

130ù

x =

B+

C=

C+

C=65ù+65ù=130ù 다른 풀이

B=

C=65ù이므로

BAC=180ù-(65ù+65ù)=50ù

x=180ù-50ù=130ù 참고 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다. a a+b b

(2)

025

75ù semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ABC=;2!;_(180ù-40ù)=70ù

ABD=;2!;

ABC=;2!;_70ù=35ù 따라서 semoABD에서

x=40ù+35ù=75ù

026

40ù, 70ù, 35ù, 110ù, 55ù, 35ù, 55ù, 20ù

027

18ù semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ABC=

ACB=;2!;_(180ù-36ù)=72ù

DBC=;2!;

ABC=;2!;_72ù=36ù

ACE=180ù-

ACB=180ù-72ù=108ù

DCE=;2!;

ACE=;2!;_108ù=54ù 따라서 semoDBC에서

x+36ù=54ù ∴

x=18ù

028

26ù

semoABC에서

ABC=

ACB=;2!;_(180ù-52ù)=64ù

DBC=;2!;

ABC=;2!;_64ù=32ù

ACE=180ù-

ACB=180ù-64ù=116ù

DCE=;2!;

ACE=;2!;_116ù=58ù 따라서 semoDBC에서

x+32ù=58ù ∴

x=26ù

029

8

B=

C=65ù이므로 semoABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.x=ACÓ=8

030

6

A=

B이므로 semoABC는 ACÓ=BCÓ인 이등변삼각형이다. 즉, 3x-5=x+7에서 2x=12 ∴ x=6

031

5

C=180ù-(35ù+110ù)=35ù이므로 semoABC는 ABÓ=CBÓ인 이등변삼각형이다.x=ABÓ=5

032

7

A=180ù-(45ù+90ù)=45ù이므로 semoABC는 ACÓ=BCÓ인 이등변삼각형이다.x=BCÓ=7

033

9

ACB=180ù-115ù=65ù이므로 semoABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.x=ABÓ=9

039

5 semoADC에서

ADB=35ù+35ù=70ù 따라서 semoADC와 semoABD는 이등변삼각형이므로 x=ADÓ=ABÓ=5

038

6

semoABD와 semoDBC는 이등변삼각형이므로 x=DBÓ=ABÓ=6

034

4

A+27ù=54ù에서

A=27ù이므로 semoABC는 ABÓ=CBÓ인 이등변삼각형이다.x=ABÓ=4

035

20

B=

C이므로 semoABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다. 이등변삼각형의 꼭짓점과 밑변의 중점을 이은 선분은 꼭지각의 이등 분선이므로

CAD=

BAD=20ù ∴ x=20

036

7

B=

C이므로 semoABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.x=;2!; BCÓ=;2!;_14=7

037

3

semoDBC와 semoADC는 이등변삼각형이므로 x=DCÓ=ACÓ=3

040

8 semoADC에서

BDC=50ù+50ù=100ù이므로 semoDBC에서

DCB=180ù-(100ù+40ù)=40ù 따라서 semoADC와 semoDBC는 이등변삼각형이므로 x=DCÓ=ADÓ=8

023

52ù, 26ù, 26ù, 78ù

022

36ù 오른쪽 그림의 semoABD에서 ADÓ=BDÓ이므로 B C D x 2x 2x 2x x A

ABD=

x

BDC=

x+

x=2

x semoBCD에서 BCÓ=BDÓ이므로

C=

BDC=2

x

semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ABC=

C=2

x

즉, semoABC에서

x+2

x+2

x=180ù이므로 5

x=180ù ∴

x=36ù

024

96ù

semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ACB=

B=64ù

DCB=;2!;

ACB=;2!;_64ù=32ù

(3)

046

9 오른쪽 그림의 semoABC에서 Y $ # "  % ± ± ± ± ABÓ=ACÓ이므로

BCA=

B=72ù

A=180ù-(72ù+72ù)=36ù,

DCA=;2!;

BCA=;2!;_72ù=36ù 즉, semoDCA는 DCÓ=DAÓ인 이등변삼각형이다. semoDCA에서

BDC=36ù+36ù=72ù 즉, semoBCD는 BCÓ=DCÓ인 이등변삼각형이다.x=DCÓ=BCÓ=9

050

CBD,

CBD, ABÓ, 이등변, 4

051

7 ACÓ

BDÓ이므로

ACB=

CBD(엇각)

ABC=

CBD(접은 각) ∴

ACB=

ABC

따라서 semoABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 x=ABÓ=7

052

8

ADÓ

BCÓ이므로

BCA=

CAD(엇각)

BAC=

CAD(접은 각) ∴

BCA=

BAC 따라서 semoABC는 ABÓ=CBÓ인 이등변삼각형이므로 x=ABÓ=8

063

8 semoABCªsemoFDE(RHA 합동)이므로 x=BCÓ=8

062

5 semoABCªsemoEDF(RHS 합동)이므로 x=BCÓ=5

053

답 " # $ % & ' , RHA

054

답 " # $ % & ' , RHS

055

답 " # $ % & ' , RHS

056

답 " # $ % & ' , RHA

064

37 semoABCªsemoEDF(RHS 합동)이므로

E=

A=180ù-(90ù+53ù)=37ù ∴ x=37

041

Z semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ABC=

C=;2!;_(180ù-36ù)=72ù

ABD=;2!;

ABC=;2!;_72ù=36ù 따라서 semoABD는 ADÓ=BDÓ인 이등변삼각형이다.

042

Z semoABD에서

BDC=

A+

ABD=36ù+36ù=72ù

043

_

ADB=180ù-

BDC=180ù-72ù=108ù 2

C=2_72ù=144ù

ADB+2

C

044

Z

BDC=

C=72ù이므로 semoDBC는 BCÓ=BDÓ인 이등변삼각형이다.

045

10 오른쪽 그림의 semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 Y ± # $ " %  ± ± ±

ABC=

C=;2!;_(180ù-36ù)=72ù

ABD=;2!;

ABC=;2!;_72ù=36ù 즉, semoABD는 ADÓ=BDÓ인 이등변삼각형이다. semoABD에서

BDC=36ù+36ù=72ù 즉, semoDBC는 BCÓ=BDÓ인 이등변삼각형이다.x=BDÓ=BCÓ=10

047

ACB,

ABC,

DCB,

DCB, DCÓ, 이등변

048

5 semoDBC는 DBÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로 x=DBÓ=5

049

110

semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ABC=;2!;_(180ù-40ù)=70ù

DBC=;2!;

ABC=;2!;_70ù=35ù semoDBC는 DBÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로 x=180-(35+35)=110

057

Z RHS 합동

058

Z SAS 합동

060

Z ASA 합동

061

Z RHA 합동

059

_ 1

(4)

088

3, 10, 3, 15

077

PBO, POÓ,

BOP, RHA, PBÓ

078

PBO, POÓ, PBÓ, RHS,

BOP

079

3

AOP=

BOP이므로 각의 이등분선의 성질에 의해 x=PAÓ=3

081

70 PAÓ=PBÓ이므로 각의 이등분선의 성질에 의해

BOP=

AOP=20ù ∴ x=180-(90+20)=70

083

5

EBD=

CBD이므로 각의 이등분선의 성질에 의해 x=DCÓ=5

082

27 PAÓ=PBÓ이므로 각의 이등분선의 성질에 의해

BOP=

AOP=180ù-(90ù+63ù)=27ù ∴ x=27

084

4

ABD=

EBD이므로 각의 이등분선의 성질에 의해 DEÓ=DAÓ=4 semoDEC에서

CDE=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로 semoDEC는 CEÓ=DEÓ인 이등변삼각형이다. x=DEÓ=4

080

30 PAÓ=PBÓ이므로 각의 이등분선의 성질에 의해 x=30

085

38 DEÓ=DCÓ이므로 각의 이등분선의 성질에 의해

ABC=2

ABD=2_26ù=52ù 따라서 semoABC에서 x=180-(90+52)=38

087

62 semoABC에서

ABC=180ù-(90ù+34ù)=56ù DAÓ=DEÓ이므로 각의 이등분선의 성질에 의해

ABD=;2!;

ABC=;2!;_56ù=28ù 따라서 semoABD에서 x=180-(90+28)=62

086

21 semoABC에서

ABC=180ù-(90ù+48ù)=42ù 이때 DEÓ=DCÓ이므로 각의 이등분선의 성질에 의해

DBC=;2!;

ABC=;2!;_42ù=21ù ∴ x=21

069

2 semoADBªsemoCEA(RHA 합동)이므로 x=2

070

9 semoADBªsemoBEC(RHA 합동)이므로 x=DBÓ+BEÓ=ECÓ+ADÓ=6+3=9

071

10 semoADBªsemoCEA(RHA 합동)이므로 AEÓ=BDÓ=5x=DAÓ=DEÓ-AEÓ=15-5=10

072

24 cmÛ` semoADBªsemoBEC(RHA 합동)이므로 BEÓ=ADÓ=8 cm, CEÓ=BDÓ=14-8=6(cm)semoBEC=;2!;_8_6=24(cmÛ`)

074

25ù

semoAEDªsemoACD(RHS 합동)이므로

ADE=

ADC=65ù 따라서 semoAED에서

x=180ù-(90ù+65ù)=25ù

073

ACD, ADÓ, ACÓ, RHS

075

42ù semoBEDªsemoBCD(RHS 합동)이므로

EBD=

CBD=24ù 따라서 semoABC에서

x=180ù-(90ù+24ù+24ù)=42ù

076

30ù semoABC에서

BAC=180ù-(90ù+30ù)=60ù semoABDªsemoAED(RHS 합동)이므로

BAD=;2!;

BAC=;2!;_60ù=30ù

089

7 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ACÓ에 내린 수선 의 발을 E라 하면 각의 이등분선의 성질에 의해 DEÓ=DBÓ=2semoADC=;2!;_7_2=7 A C E 2 D B 2 7

068

CEA, CAÓ,

EAC,

EAC, RHA

067

7 semoAMC과 semoBMD에서

C=

D=90ù, AÕMÓ=BÕMÓ,

AMC=

BMD(맞꼭지각) 따라서 semoAMCªsemoBMD(RHA 합동)이므로 x=MDÓ=7

066

4 semoACM과 semoBDM에서

C=

D=90ù, AÕMÓ=BÕMÓ,

AMC=

BMD(맞꼭지각) 따라서 semoACMªsemoBDM(RHA 합동)이므로 x=ACÓ=4

065

semoABCªsemoHIG(RHS 합동) semoDEFªsemoMON(RHA 합동) 참고 직각삼각형에서 한 예각의 크기 를 알면 다른 예각의 크기도 알 수 있다. 60ù M N O 6 30ù 60ù D E F 6

(5)

7

semoDBC에서

ADC=25ù+25ù=50ù 따라서 semoDBC와 semoADC는 이등변삼각형이므로 ∴ ACÓ=DCÓ=DBÓ=6 cm

8

ㄱ, ㄴ. 알 수 없다.

ㄷ. ADÓ

BCÓ이므로

FIE=

IED(엇각)

FEI=

IED(접은 각) ∴

FIE=

FEI

즉, semoFIE는 FEÓ=FIÓ인 이등변삼각형이므로 FIÓ=FEÓ=3 cm

ㄹ.

FED=2

FEI=2

FIE 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

9

④ 직각삼각형의 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같으 므로 RHS 합동이다.

10

semoABEªsemoDEC(RHA 합동)이므로 AEÓ=DCÓ=9 cm, EDÓ=BAÓ=5 cm ∴ ADÓ=AEÓ+EDÓ=9+5=14(cm) ∴ (사다리꼴 ABCD의 넓이)=;2!;_(5+9)_14=98(cmÛ`)

4

semoDBC에서 DBÓ=DCÓ이므로

B=;2!;_(180ù-130ù)=25ù

semoADC에서 ACÓ=DCÓ이므로

A=

ADC=180ù-130ù=50ù 따라서 semoABC에서

x=

A+

B=50ù+25ù=75ù

6

A=

B이므로 semoABC는 ACÓ=BCÓ인 이등변삼각형이다. ∴ ACÓ=;2!;_(14-6)=4(cm)

5

semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ABC=

ACB=;2!;_(180ù-44ù)=68ù

DBC=;2!;

ABC=;2!;_68ù=34ù

ACE=180ù-

ACB=180ù-68ù=112ù이므로

DCE=;2!;

ACE=;2!;_112ù=56ù 따라서 semoDBC에서

x+34ù=56ù ∴

x=22ù

14

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내린 수 " # $ & %  DN 선의 발을 E라 하면 semoABD=;2!;_12_DEÓ=18(cmÛ`) ∴ DEÓ=3(cm) 이때

EAD=

CAD이므로 각의 이등분선의 성질에 의해 CDÓ=DEÓ=3 cm`

11

semoABC에서 ACÓ=BCÓ이므로

ABC=;2!;_(180ù-90ù)=45ù semoBEDªsemoBEC(RHS 합동)이므로

DBE=;2!;

ABC=;2!;_45ù=22.5ù 따라서 semoBED에서

x=180ù-(90ù+22.5ù)=67.5ù

13

semoAOP와 semoBOP에서

PAO=

PBO=90ù, OPÓ는 공통, PAÓ=PBÓ 즉, semoAOPªsemoBOP(RHS 합동)(⑤)이므로

OAÓ=OBÓ(①),

AOP=

BOP(②),

OPA=

OPB(④) 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

12

semoDBM과 semoECM에서

BDM=

CEM=90ù, BÕMÓ=CÕMÓ, DÕMÓ=EÕMÓsemoDBMªsemoECM(RHS 합동) 따라서

B=

C이므로 semoABC에서

B=;2!;_(180ù-70ù)=55ù

1

ACB=180ù-118ù=62ù

B=

ACB=62ù이므로

x=180ù-(62ù+62ù)=56ù 156ù 215ù 3②, ⑤ 475ù 522ù 64 cm 76 cm 8 ㄷ, ㄹ 910 98 cmÛ` 11 67.5ù 12 55ù 1314 3 cm 20~21쪽

하기

필수 문제로

마무리

090

32 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 E라 하면 각의 이등분선의 성 질에 의해 DEÓ=DBÓ=4semoADC=;2!;_16_4=32 A C E D B 4 16 4

2

semoABD에서 ADÓ=BDÓ이므로

ABD=

A=;2!;_(180ù-80ù)=50ù semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ABC=;2!;_(180ù-50ù)=65ù

x=

ABC-

ABD=65ù-50ù=15ù

3

②, ⑤ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분 하므로 BDÓ=CDÓ, ADÓ

BCÓ ④

BAC=25ù+25ù=50ù이므로

C=;2!;_(180ù-50ù)=65ù 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다. 1

(6)

016

35ù

x+25ù+30ù=90ù ∴

x=35ù

017

20ù

x+30ù+40ù=90ù ∴

x=20ù

018

40ù 35ù+

x+15ù=90ù ∴

x=40ù

019

32ù 25ù+

x+33ù=90ù ∴

x=32ù

020

30ù 24ù+36ù+

x=90ù ∴

x=30ù

021

25ù 21ù+

x+44ù=90ù ∴

x=25ù

022

110ù

x=2_55ù=110ù

023

56ù

x=;2!;_112ù=56ù

024

20ù

BOC=2_70ù=140ù 따라서 semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

x=;2!;_(180ù-140ù)=20ù

025

75ù semoOCA에서 OAÓ=OCÓ이므로

AOC=180ù-(15ù+15ù)=150ù

x=;2!;_150ù=75ù

015

10p cm 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 (semoABC의 외접원의 반지름의 길이)=;2!; BCÓ=;2!;_10=5(cm) ∴ (semoABC의 외접원의 둘레의 길이)=2p_5=10p(cm)

007

4 x=;2!; ACÓ=;2!;_8=4

008

5

009

35 semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 x=;2!;_(180-110)=35

010

130 semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 x=180-(25+25)=130

011

116 semoOCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 x=180-(32+32)=116

006

6

003

Z

005

Z semoOAF와 semoOCF에서

OFA=

OFC=90ù, OAÓ=OCÓ, OFÓ는 공통 semoOAFªsemoOCF(RHS 합동)

002

Á

004

Á

012

x=9, y=35 점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 semoOBC는 OBÓ=OCÓ인 이등변삼각형이다.x=9, y=35

013

x=7, y=80

점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ

x=;2!; BCÓ=;2!;_14=7

semoOAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

OAB=

B=40ù 따라서 semoOAB에서 y=40+40=80

001

Z

삼각형의 외심과 내심

24~35쪽

014

x=8, y=56

점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ

x=2 OBÓ=2_4=8

semoOAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

OBA=

OAB=yù 따라서 semoOAB에서 y+y=112 ∴ y=56

(7)

026

120ù

semoOCA에서 OAÓ=OCÓ이므로

OAC=

OCA=32ù

x=2_(28ù+32ù)=120ù 다른 풀이 28ù+

OBC+32ù=90ù이므로

OBC=30ù 따라서 semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

x=180ù-(30ù+30ù)=120ù

030

Á

031

Z

032

Á

033

Z

034

Z semoIAD와 semoIAF에서

IDA=

IFA=90ù, IAÓ는 공통,

IAD=

IAF ∴ semoIADªsemoIAF(RHA 합동)

035

Á

036

3

027

28ù

semoOAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

OAB=

OBA=30ù

116ù=2_(30ù+

x) ∴

x=28ù 다른 풀이 semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

OBC=;2!;_(180ù-116ù)=32ù 30ù+32ù+

x=90ù ∴

x=28ù

028

80ù 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 Y ± ± ± ± " # $ 0 semoOAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

OAB=

OBA=15ù semoOCA에서 OAÓ=OCÓ이므로

OAC=

OCA=25ù

x=2_(15ù+25ù)=80ù 다른 풀이 15ù+

OBC+25ù=90ù이므로

OBC=50ù 따라서 semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

x=180ù-(50ù+50ù)=80ù

029

25ù 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면 Y Y ± ± ± " # $ 0 semoOCA에서 OAÓ=OCÓ이므로

OCA=

OAC=

x semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

OCB=

OBC=30ù 110ù=2_(

x+30ù) ∴

x=25ù 다른 풀이 semoOAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

OAB=;2!;_(180ù-110ù)=35ù 35ù+30ù+

x=90ù ∴

x=25ù

047

25ù

x+25ù+40ù=90ù ∴

x=25ù

048

30ù 28ù+32ù+

x=90ù ∴

x=30ù

049

37ù 26ù+

x+27ù=90ù ∴

x=37ù

043

40ù, 40ù, 25ù

045

21ù

IBC=

IBA=

x,

ICB=

ICA=34ù이므로 semoIBC에서

x=180ù-(125ù+34ù)=21ù

046

33ù

ICA=

ICB=

x,

IAC=

IAB=27ù이므로 semoICA에서

x=180ù-(120ù+27ù)=33ù

041

34ù

x=;2!;

BAC=;2!;_68ù=34ù

042

84ù

x=2

IBC=2_42ù=84ù

037

4

038

6

039

32ù

x=

IBC=32ù

040

28ù

x=

IAB=28ù

044

35ù

IBA=

IBC=31ù이므로 semoIAB에서

x=180ù-(114ù+31ù)=35ù

(8)

051

35ù

ICB=;2!;

ACB=;2!;_60ù=30ù이므로

x+25ù+30ù=90ù ∴

x=35ù

050

20ù

IBC=;2!;

ABC=;2!;_80ù=40ù이므로 30ù+40ù+

x=90ù ∴

x=20ù

058

∠x=129ù, ∠y=23ù

x=90ù+;2!;_78ù=129ù

ICA=

ICB=

y이므로

semoICA에서

y=180ù-(129ù+28ù)=23ù

060

∠x=40ù, ∠y=45ù

110ù=90ù+;2!;

x ∴

x=40ù

IAB=

IAC=25ù,

IBA=

IBC=

y이므로

semoIAB에서

y=180ù-(110ù+25ù)=45ù

059

∠x=124ù, ∠y=68ù

IBC=

IBA=30ù,

ICB=

ICA=26ù이므로 semoIBC에서

x=180ù-(30ù+26ù)=124ù 124ù=90ù+;2!;

y ∴

y=68ù

052

23ù

IAC=;2!;

BAC=;2!;_72ù=36ù이므로 36ù+

x+31ù=90ù ∴

x=23ù

053

117ù

x=90ù+;2!;_54ù=117ù

054

123ù

x =90ù+;2!;

BAC=90ù+

IAB=90ù+33ù=123ù

055

70ù 125ù=90ù+;2!;

x ∴

x=70ù

056

32ù 122ù=90ù+;2!;

ACB이므로 122ù=90ù+

x ∴

x=32ù

057

∠x=118ù, ∠y=37ù

x=90ù+;2!;_56ù=118ù semoIBC에서

y=180ù-(118ù+25ù)=37ù

065

1 semoABC=;2!;_4_3=6 semoABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 ;2!;_r_(5+4+3)=6, 6r=6 ∴ r=1 따라서 semoABC의 내접원의 반지름의 길이는 1이다.

066

3 semoABC=;2!;_15_8=60 semoABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 ;2!;_r_(8+15+17)=60, 20r=60 ∴ r=3 따라서 semoABC의 내접원의 반지름의 길이는 3이다.

067

40 cmÛ` semoABC=;2!;_16_12=96(cmÛ`) semoABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 ;2!;_r_(12+20+16)=96, 24r=96 ∴ r=4semoIBC=;2!;_20_4=40(cmÛ`)

063

40 ;2!;_3_(semoABC의 둘레의 길이)=60 ∴ (semoABC의 둘레의 길이)=40

068

8 BEÓ=BDÓ=3이므로 x=CEÓ=BCÓ-BEÓ=11-3=8

069

7 AFÓ=ADÓ=5이므로 x=CFÓ=ACÓ-AFÓ=12-5=7

064

;2#; semoABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 semoABC=;2!;_r_(5+6+5)=12 8r=12 ∴ r=;2#; 따라서 semoABC의 내접원의 반지름의 길이는 ;2#;이다.

061

22 semoABC=;2!;_2_(9+8+5)=22

062

84 semoABC=;2!;_4_(14+15+13)=84

(9)

070

8 AFÓ=ADÓ=3이므로 % &   ' * " # $     CEÓ=CFÓ=8-3=5 ADÓ=3이므로 BEÓ=BDÓ=6-3=3x=BEÓ+CEÓ=3+5=8

071

11 CFÓ=4이므로   % & '    * " # $  ADÓ=AFÓ=9-4=5 CEÓ=CFÓ=4이므로 BDÓ=BEÓ=10-4=6x=ADÓ+BDÓ=5+6=11

072

5-x, 5-x, 2

084

∠x=72ù, ∠y=126ù

점 O가 semoABC의 외심이므로 144ù=2

x ∴

x=72ù

점 I가 semoABC의 내심이므로

y=90ù+;2!;_72ù=126ù

083

∠x=48ù, ∠y=114ù

점 O가 semoABC의 외심이므로 96ù=2

x ∴

x=48ù

점 I가 semoABC의 내심이므로

y=90ù+;2!;_48ù=114ù

085

∠x=44ù, ∠y=88ù

점 I가 semoABC의 내심이므로 112ù=90ù+;2!;

x ∴

x=44ù

점 O가 semoABC의 외심이므로

y=2_44ù=88ù

075

9 DIÓ=DBÓ=4, EIÓ=ECÓ=5이므로 x=DIÓ+EIÓ=4+5=9

076

5 DIÓ=DBÓ=3, EIÓ=ECÓ=2이므로 x=DIÓ+EIÓ=3+2=5

077

4 EIÓ=ECÓ=6이므로 x=DIÓ=DEÓ-EIÓ=10-6=4

078

6 DIÓ=DBÓ=9이므로 x=EIÓ=DEÓ-DIÓ=15-9=6

079

18 (semoADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DIÓ+EIÓ+AEÓ =ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ =ABÓ+ACÓ=10+8=18

080

25 (semoADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DIÓ+EIÓ+AEÓ =ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ =ABÓ+ACÓ=12+13=25

081

11 (semoADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DIÓ+EIÓ+AEÓ =ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ =ABÓ+ACÓ=5+6=11

082

8 cm 오른쪽 그림과 같이 BIÓ, CIÓ를 그으면 A B C E I D semoDBI와 semoEIC가 이등변삼각형이므로 DBÓ=DIÓ, EIÓ=ECÓ ∴ (semoADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DIÓ+EIÓ+AEÓ =ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ =ABÓ+ACÓ=2ABÓ=16(cm) ∴ ABÓ=8(cm)

073

6 BEÓ=BDÓ=x이므로 Y Y Y Y Y Y % & ' * " # $ AFÓ=ADÓ=9-x, CFÓ=CEÓ=15-x ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 12=(9-x)+(15-x) 2x=12 ∴ x=6

074

4 CFÓ=CEÓ=x이므로 A F D E C B 11-x x 13-x I x 11-x 13-x BDÓ=BEÓ=11-x, ADÓ=AFÓ=13-x ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로 16=(13-x)+(11-x) 2x=8 ∴ x=4

086

답 ➊ 80ù, OCÓ, 80ù, 50ù 40ù, 70ù, 35ù 50ù, 35ù, 15ù

087

18ù 점 O가 semoABC의 외심이므로

BOC=2

A=2_36ù=72ù semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

OBC=;2!;_(180ù-72ù)=54ù semoABC에서

ABC=;2!;_(180ù-36ù)=72ù이고 점 I가 semoABC의 내심이므로

IBC=;2!;

ABC=;2!;_72ù=36ù

x=

OBC-

IBC=54ù-36ù=18ù

(10)

2

AOC`:`

BOC=1`:`2이므로

BOC=;3@;_180ù=120ù 점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 semoOBC는 OCÓ=OCÓ인 이등변삼각형이다.

B=;2!;_(180ù-120ù)=30ù

3

x+38ù+22ù=90ù ∴

x=30ù

13

② 둔각삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 있다. ③ 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 만나는 점은 외심이다.

6

IBC=

IBA=24ù,

ICB=

ICA=33ù이므로 semoIBC에서

BIC=180ù-(24ù+33ù)=123ù

4

오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면 A B 50ù C O 50ù 80ù 40ù semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

OCB=

OBC=50ù

BOC=180ù-(50ù+50ù)=80ù 점 O가 semoABC의 외심이므로

BAC=;2!;

BOC=;2!;_80ù=40ù semoABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

ABC=;2!;_(180ù-40ù)=70ù

ABO =

ABC-

OBC

=70ù-50ù=20ù

5

ㄴ. 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다.

ㅁ. 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다. 따라서 점 I가 삼각형의 내심인 것은 ㄴ, ㅁ이다.

1

ADÓ=BDÓ=7 cm, BEÓ=CEÓ=8 cm, CFÓ=AFÓ=6 cm ∴ (semoABC의 둘레의 길이) =2_(7+8+6)=42(cm) 142 cm 230ù 330ù 420ù 5ㄴ, ㅁ 6123ù 7 25ù 8 18ù 9 180ù 10 (24-4p) cmÛ` 11 4 cm 12 14 cm 13 ②, ③ 14 128ù 15 120ù 36~37쪽

하기

필수 문제로

마무리

7

IAB=

IAC=;2!;_70ù=35ù이므로 35ù+

x+30ù=90ù ∴

x=25ù

8

108ù=90ù+;2!;

ACB이므로 108ù=90ù+

x ∴

x=18ù

9

IAB=

IAC=40ù이므로 semoIAB에서

x=180ù-(40ù+20ù)=120ù 120ù=90ù+;2!;

y이므로

y=60ù

x+

y=120ù+60ù=180ù

10

semoABC=;2!;_8_6=24(cmÛ`) semoABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 ;2!;_r_(10+8+6)=24, 12r=24 ∴ r=2 ∴ (색칠한 부분의 넓이) =semoABC-(semoABC의 내접원의 넓이) =24-p_2Û` =24-4p(cmÛ`)

11

ADÓ=x cm라 하면 Y Y Y Y Y Y % & ' " # $ * AFÓ=ADÓ=x cm이므로 BEÓ=BDÓ=10-x(cm), CEÓ=CFÓ=7-x(cm) BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로 9=(10-x)+(7-x), 2x=8 ∴ x=4 따라서 ADÓ의 길이는 4 cm이다.

15

semoABC의 외심과 내심이 일치하므로

BOC=

BIC에서 2

A=90ù+;2!;

A

;2#;

A=90ù ∴

A=60ù

x=2

A=2_60ù=120ù 다른 풀이 외심과 내심이 일치하므로 semoABC는 정삼각형이다. 따라서

A=60ù이므로

x=2

A=2_60ù=120ù

14

점 I가 semoABC의 내심이므로 122ù=90ù+;2!;

A ∴

A=64ù 따라서 점 O가 semoABC의 외심이므로

BOC=2

A=2_64ù=128ù

12

(semoADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DIÓ+EIÓ+AEÓ =ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ =ABÓ+ACÓ =6+8=14(cm)

(11)

001

∠x=56ù, ∠y=40ù

ABÓ

DCÓ이므로

x=

BAC=56ù(엇각),

y=

BDC=40ù(엇각)

002

∠x=35ù, ∠y=25ù

ABÓ

DCÓ이므로

x=

ACD=35ù(엇각) ADÓ

BCÓ이므로

y=

DAC=25ù(엇각)

003

∠x=60ù, ∠y=40ù

ABÓ

DCÓ이므로

x=

ACD=60ù(엇각) ADÓ

BCÓ이므로

y=

ACB=40ù(엇각)

004

100ù

ADÓ

BCÓ이므로

ACB=

DAC=50ù(엇각) 따라서 semoOBC에서

x=180ù-(30ù+50ù)=100ù

005

102ù

ADÓ

BCÓ이므로

DAC=

ACB=33ù(엇각) 따라서 semoODA에서

x=180ù-(33ù+45ù)=102ù

006

104ù ABÓ

DCÓ이므로

ABD=

BDC=34ù(엇각) 따라서 semoOAB에서

x=70ù+34ù=104ù

007

x=8, y=6 x=BCÓ=8, y=ABÓ=6

008

x=3, y=2 ADÓ=BCÓ이므로 4x-3=9, 4x=12 ∴ x=3 ABÓ=DCÓ이므로 2y+1=5, 2y=4 ∴ y=2

009

x=70, y=110

D=

B=70ù ∴ x=70

B+

C=180ù이므로 70+y=180 ∴ y=110

평행사변형

01

a+b, ab a+b=(1+i)+(1-i)=2 곱셈공식을 변형하여 a2+b2의 값을 구하면 ab=(1+i)(1-i)=1+i2=2 4a-(-1+2i)=(7a+2)-2(5-i) 따라서 x=3 이다. 다른 풀이 a+b, ab의 값을 구하면 a+b=(1+i)+(1-i)=2 ab=(1+i)(1-i)=1+i2=2

02

답 a+b, ab a+b, ab의 값을 구하면 a2+b2=(a+b)2-2ab=0 4a-(-1+2i)=(7a+2)-2(5-i) z=2+(7+i)-2(5-i) 따라서 곱셈공식을 변형하여 a2+b2의 값을 구하면 4a-(-1+2i)=(7a+2)-2(5-i) 이므로 따라서 x=3 이다.

03

a+b, ab a+b=(1+i)+(1-i)=2 ab=(1+i)(1-i)=1+i2=2 따라서 a=1 이다. y 1 2 3 4 5 6 7 x 4 67 589 3 5 6 2 0은 양수도 음수도 아니다. 0은 양수도 음수도 아니다. 0은 양수도 음수도 아니다.

079

a+b, ab a+b, ab의 값을 구하면 ab=(1+i)(1-i)=1+i2=2 곱셈공식을 변형하여 a2+b2의 값을 구하면 a2+b2=(a+b)2-2ab=0 따라서 x=3 이다.

080

a+b, ab a+b, ab의 값을 구하면 4a-(-1+2i)=(7a+2)-2(5-i) 따라서 x=3 이다.

081

a+b, ab ab=(1+i)(1-i)=1+i2=2이므로 따라서 a=1 이다.

유리수와 순환소수

074

a+b, ab

a+b, ab의 값을 구하면 a+b=(1+i)+(1-i)=2 ab=(1+i)(1-i)=1+i2=2 곱셈공식을 변형하여 a2+b2의 값을 구하면 a2+b2=(a+b)2-2ab=0 따라서 x=3 이다. 다른 풀이 a+b, ab의 값을 구하면 a+b=(1+i)+(1-i)=2 ab=(1+i)(1-i)=1+i2=2 곱셈공식을 변형하여 a2+b2의 값을 구하면 a2+b2=(a+b)2-2ab=0 따라서 x=3 이다.

075

ax+bx+c

조립제법을 이용하여 다항식 a+b, ab의 값을 구하면 4a-(-1+2i)=(7a+2)-2(5-i) z=2+(7+i)-2(5-i) 따라서 곱셈공식을 변형하여 a2+b2의 값을 구하면 4a-(-1+2i)=(7a+2)-2(5-i) 이므로 따라서 a=1 이다.

076

1+3i a+b, ab의 값을 구하면 a+b=(1+i)+(1-i)=2 ab=(1+i)(1-i)=1+i2=2 곱셈공식을 변형하여 a2+b2의 값을 구하면 a2+b2=(a+b)2-2ab=0 따라서 x=3 이다.

077

k=7+6i

a+b, ab의 값을 구하면 a+b=(1+i)+(1-i)=2 ab=(1+i)(1-i)=1+i2=2 곱셈공식을 변형하여 a2+b2의 값을 구하면 a2+b2=(a+b)2-2ab=0 따라서 x=3 이다.

078

k=7+6i

a+b, ab의 값을 구하면 a+b=(1+i)+(1-i)=2 ab=(1+i)(1-i)=1+i2=2 곱셈공식을 변형하여 a2+b2의 값을 구하면 Ⅰ. 유리수와 순환소수 30~32쪽 30~32쪽

최종 점검

하기

핵심 유형 40~49쪽

010

x=8, y=114 x=ABÓ=8

C+

D=180ù이므로 36+30+y=180 ∴ y=114

011

x=40, y=75

ADÓ

BCÓ이므로

DAC=

ACB=40ù(엇각) ∴ x=40 semoABC에서

B=180ù-(65ù+40ù)=75ù이므로

D=

B=75ù ∴ y=75

다른 풀이 y의 값 구하기

BAD+

D=180ù이므로 65+40+y=180 ∴ y=75

012

x=4, y=6

015

DAE,

BAE, BAÓ, 6, 6, 6

017

6

ADÓ

BCÓ이므로

CED=

ADE(엇각) ∴

CDE=

CED 즉, semoCDE는 CDÓ=CEÓ인 이등변삼각형이다.

이때 BCÓ=ADÓ=8 cm이므로 x=CEÓ=8-2=6

018

semoCEB, CBÓ, 10, 7, 3

ABÓ

ECÓ이므로

BEC=

ABE(엇각) ∴

EBC=

BEC 즉, semoCEB는 CEÓ=CBÓ인 이등변삼각형이므로 CEÓ=CBÓ=10 cm 이때 DCÓ=ABÓ=7 cm이므로 x=10-7=3

019

5

ABÓ

DEÓ이므로

DEA=

BAE(엇각) ∴

DAE=

DEA 즉, semoDAE는 DAÓ=DEÓ인 이등변삼각형이므로 DEÓ=DAÓ=13 cm 이때 DCÓ=ABÓ=8 cm이므로 x=13-8=5

020

ASA, BAÓ, 6, 6, 6, 12

014

70ù

DAE=

BEA=55ù(엇각)이므로

BAD=2_55ù=110ù

A+

D=180ù이므로

D=180ù-110ù=70ù

다른 풀이

DAE=

BEA(엇각)이므로

BAE=

BEA=55ù

B=180ù-(55ù+55ù)=70ù

D=

B=70ù

013

x=7, y=10 OAÓ=OCÓ이므로 x=;2!; ACÓ=;2!;_14=7 OBÓ=ODÓ이므로 y=2 OBÓ=2_5=10

016

2

ADÓ

BCÓ이므로

BEA=

DAE(엇각) ∴

BAE=

BEA 즉, semoBEA는 BEÓ=BAÓ인 이등변삼각형이므로 BEÓ=BAÓ=4 cm

이때 BCÓ=ADÓ=6 cm이므로 x=6-4=2

021

10

semoABE와 semoDFE에서

AEÓ=DEÓ,

BAE=

FDE(엇각),

AEB=

DEF(맞꼭지각) 즉, semoABEªsemoDFE(ASA 합동)이므로 DFÓ=ABÓ=5 cm 이때 DCÓ=ABÓ=5 cm이므로 x=5+5=10

022

8

semoABE와 semoFCE에서

BEÓ=CEÓ,

ABE=

FCE(엇각),

AEB=

FEC(맞꼭지각) 즉, semoABEªsemoFCE(ASA 합동)이므로 FCÓ=ABÓ=x cm 이때 DCÓ=ABÓ=x cm이므로 16=x+x ∴ x=8

(12)

023

2, 120ù

024

108ù

x=180ù_;5#;=108ù

025

45ù

x=

B=180ù_;4!;=45ù

026

80ù

x=

C=180ù_;9$;=80ù

033

DCÓ, BCÓ

034

DCÓ, ADÓ

035

C,

B

036

OCÓ, ODÓ

037

DCÓ, DCÓ

038

x=38, y=46 ADÓ

BCÓ, ABÓ

DCÓ이어야 하므로

x=

ACB=38ù(엇각) ∴ x=38

y=

ABD=46ù(엇각) ∴ y=46

039

x=5, y=4 ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이어야 하므로 x+1=6 ∴ x=5 3y-2=10 ∴ y=4

040

x=110, y=70

A=

C,

B=

D이어야 하므로

A=

C=110ù ∴ x=110

A+

B=180ù에서

B=180ù-110ù=70ù ∴ y=70

041

x=4, y=5 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이어야 하므로 x=OAÓ=4, y=OBÓ=5

042

x=70, y=8 ABÓ

DCÓ, ABÓ=DCÓ이어야 하므로

ACD=

BAC=70ù(엇각) ∴ x=70 y=DCÓ=8

043

Z, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

048

답 ㄷ, ㅁ

046

Z, 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.

053

OCÓ, DOÓ, OFÓ

049

FCÓ, FCÓ

050

답 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

044

Á OAÓ+OCÓ, OBÓ+ODÓ이므로 평행사변형이 아니다. "  DN  DN  DN DN # % 0 $

045

Á

A+

C, 즉 대각의 크기가 같지 않으므로 평행사변형이 아니다. " # % $ ± ± ±

027

Z

029

_

030

_

031

Z semoAOP와 semoCOQ에서

AOÓ=COÓ,

OAP=

OCQ(엇각),

AOP=

COQ(맞꼭지각) ∴ semoAOPªsemoCOQ(ASA 합동)

028

Z

ADÓ

BCÓ이므로

OAP=

OCQ(엇각)

032

Z semoAOPªsemoCOQ(ASA 합동)이므로 POÓ=QOÓ

051

14 AECF는 평행사변형이므로 (  AECF의 둘레의 길이)=2_(2+5)=14

052

44 EBFD는 평행사변형이므로 (  EBFD의 둘레의 길이)=2_(6+16)=44

047

Á ABÓ

DCÓ 또는 ADÓ=BCÓ인지 알 수 없다. " # % $  DN  DN

(13)

054

답 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.

058

답 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

057

EDF,

DFC,

DFC,

DFB

055

50ù AECF는 평행사변형이므로

x+130ù=180ù ∴

x=50ù

056

145ù EBFD는 평행사변형이므로

DBF=

EDB=20ù(엇각) 즉, 15ù+20ù+

x=180ù ∴

x=145ù

059

12

CFD=

ADF(엇각)이므로

CDF=

CFD 즉, semoCDF는 CDÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로 CFÓ=CDÓ=5 ∴ BFÓ=BCÓ-CFÓ=8-5=3 이때  EBFD는 평행사변형이므로 EBFD=3_4=12

060

108

DFC=

FCB(엇각)이므로

DFC=

DCF 즉, semoDFC는 DFÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로 DFÓ=DCÓ=20 ∴ AFÓ=ADÓ-DFÓ=BCÓ-DFÓ=26-20=6 이때  AECF는 평행사변형이므로 AECF=6_18=108

066

Á

 AECF에서 AEÓ

CFÓ, AEÓ=CFÓ

따라서  AECF는 평행사변형이므로 AEÓ=FCÓ, AFÓ=ECÓ

063

Z

 EBFD에서 EDÓ

BFÓ, EDÓ=BFÓ

따라서  EBFD는 평행사변형이므로 BEÓ=FDÓ

061

Z ADÓ

BCÓ이므로 EDÓ

BFÓ

062

Z ADÓ=BCÓ이므로 EDÓ=ADÓ-AEÓ=BCÓ-CFÓ=BFÓ

068

10 cmÛ` semoABO=;4!;  ABCD=;4!;_40=10(cmÛ`)

067

12 cmÛ` semoBCD=;2!;  ABCD=;2!;_24=12(cmÛ`)

069

26 cmÛ` ABCD=2semoACD=2_13=26(cmÛ`)

070

8 cmÛ`

semoCDO=;4!;  ABCD=;4!;_2semoABC=;4!;_2_16=8(cmÛ`)

071

 DN™  DN™  DN™  DN™ DN™ " % 1 # $  DN™  DN™  DN™ 

072

30 cmÛ` semoPAB+semoPCD=(4+8)+(6+12)=30(cmÛ`)

064

Z

AEF=

CFE=90ù이므로 AEÓ

CFÓ

065

Z

semoABE와 semoCDF에서

AEB=

CFD=90ù, ABÓ=CDÓ,

ABE=

CDF(엇각) 따라서 semoABEªsemoCDF(RHA 합동)이므로 AEÓ=CFÓ

073

30 cmÛ` semoPBC+semoPDA=(8+12)+(4+6)=30(cmÛ`)

074

35 cmÛ` semoPAB+semoPCD=;2!;  ABCD=;2!;_70=35(cmÛ`)

075

35 cmÛ` semoPBC+semoPDA=;2!;  ABCD=;2!;_70=35(cmÛ`)

076

15 cmÛ` semoPAB+semoPCD=;2!;  ABCD이므로 20+semoPCD=;2!;_70 ∴ semoPCD=15(cmÛ`)

077

19 cmÛ` semoPBC+semoPDA=;2!;  ABCD이므로 semoPBC+16=;2!;_70 ∴ semoPBC=19(cmÛ`)

078

7 cmÛ` semoPAB+semoPCD=semoPBC+semoPDA이므로 semoPAB+7=6+8 ∴ semoPAB=7(cmÛ`)

(14)

079

9 cmÛ` semoPAB+semoPCD=semoPBC+semoPDA이므로 6+12=semoPBC+9 ∴ semoPBC=9(cmÛ`)

080

4, 20, 20, 10

081

24 cmÛ` ABCD=8_6=48(cmÛ`)이므로 semoPAB+semoPCD=;2!;  ABCD =;2!;_48=24(cmÛ`)

2

① 대변의 길이가 같으므로 ABÓ=CDÓ ③ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 OAÓ=OCÓ ⑤ ADÓ

BCÓ이므로

ADB=

CBD(엇각) 따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.

1

ADÓ

BCÓ이므로

DAC=

ACB=35ù(엇각)

따라서 semoODA에서 35ù+

ADB=65ù ∴

ADB=30ù 130ù 2②, ④ 35 cm 4x=70ù, ∠y=60ù 518 cm` 672ù 717 cm 825 cmÛ` 9 x=3, y=4 101112 20 cmÛ` 13 20 cmÛ` 14 16 cmÛ` 15 18 cmÛ` 50~51쪽

하기

필수 문제로

마무리

4

C+

D=180ù이므로 110ù+

x=180ù ∴

x=70ù

B=

D=70ù이므로 semoABE에서

y=180ù-(70ù+50ù)=60ù 다른 풀이 y의 값 구하기

ADÓ

BCÓ이므로

DAE=

AEB=50ù(엇각)

BAD+

D=180ù이므로

y+50ù+70ù=180ù ∴

y=60ù

5

semoABE와 semoDFE에서

AEÓ=DEÓ,

BAE=

FDE(엇각),

AEB=

DEF(맞꼭지각) 즉, semoABEªsemoDFE(ASA 합동)이므로 DFÓ=ABÓ=9 cm 이때 DCÓ=ABÓ=9 cm이므로 CFÓ=9+9=18(cm)

3

DCÓ=ABÓ=6 cm이고 ADÓ=BCÓ이므로 2_6+2BCÓ=22, 2BCÓ=10 ∴ BCÓ=5(cm)

7

AOÓ=;2!; ACÓ=;2!;_10=5(cm) BOÓ=;2!; BDÓ=;2!;_12=6(cm) 따라서 semoOAB의 둘레의 길이는 ABÓ+BOÓ+OAÓ=6+6+5=17(cm)

6

D=180ù_;5@;=72ù ∴

B=

D=72ù

9

ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이어야 하므로 3x+1=2x+4 ∴ x=3 4y=6y-8 ∴ y=4

8

semoOBQ와 semoODP에서

OQB=

OPD=90ù(엇각), OBÓ=ODÓ,

BOQ=

DOP(맞꼭지각)이므로 semoOBQªsemoODP(RHA 합동) ∴ semoOBQ=semoODP=;2!;_10_5=25(cmÛ`)

10

C=120ù,

D=60ù인지 알 수 없다. ② ABÓ=DCÓ 또는 ADÓ

BCÓ인지 알 수 없다. ③ ABÓ+DCÓ, ADÓ+BCÓ이므로 평행사변형이 아니다. ④ OAÓ+OCÓ, OBÓ+ODÓ이므로 평행사변형이 아니다. ⑤

DAC=

BCA=40ù이므로 ADÓ

BCÓ

즉, 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. 따라서  ABCD가 평행사변형이 되도록 하는 조건은 ⑤이다.

11

 ABCD는 평행사변형이므로 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ(①)

∴ OEÓ=;2!; OAÓ=;2!; OCÓ=OFÓ(②)

즉,  EBFD는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사

변형이다.

∴ BFÓ=EDÓ(③),

EBF=

EDF(⑤) EBÓ

DFÓ이므로

EBD=

FDB(엇각) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

12

 ABCD=4semoOAB=4_5=20(cmÛ`)

14

semoPAB+semoPCD=semoPBC+semoPDA이므로 10+18=12+semoPDA ∴ semoPDA=16(cmÛ`)

13

semoAOE와 semoCOF에서

OAÓ=OCÓ,

AOE=

COF(맞꼭지각),

OAE=

OCF(엇각) 이므로 semoAOEªsemoCOF(ASA 합동) ∴ (색칠한 부분의 넓이) =semoAOE+semoOBF =semoCOF+semoOBF =semoOBC=;4!;  ABCD =;4!;_80=20(cmÛ`)

15

 ABCD=12_8=96(cmÛ`)이고 semoPAB+semoPCD=;2!;  ABCD이므로 30+semoPCD=;2!;_96 ∴ semoPCD=18(cmÛ`)

(15)

005

25ù

semoAOD에서 OAÓ=ODÓ이므로

x=

OAD=25ù

003

6

2x=x+6 ∴ x=6

004

3

5x-8=x+4, 4x=12 ∴ x=3

006

50ù

semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

x=

OCB=90ù-40ù=50ù

007

74ù

semoAOD에서 OAÓ=ODÓ이므로

OAD=

ODA=37ù

x=

OAD+

ODA=37ù+37ù=74ù

008

43ù

semoOBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

OCB=

OBC=43ù 따라서 ADÓ

BCÓ이므로

x=

ACB=43ù(엇각)

009

24 cm AOÓ=BOÓ=;2!; ACÓ=;;Á2°;;(cm)이므로 (semoABO의 둘레의 길이)=AOÓ+BOÓ+ABÓ=;;Á2°;;+;;Á2°;;+9=24(cm)

010

90ù

011

B, D

012

BDÓ

013

_

001

10

002

14 x=ACÓ=2 OAÓ=2_7=14

여러 가지 사각형

54~69쪽

014

_

015

Z

OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이므로 OAÓ=OBÓ이면 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ ∴ ACÓ=BDÓ 따라서 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다.

016

4

020

60

AOB=90ù이므로 semoABO에서 x=180-(30+90)=60

021

35

ADÓ

BCÓ이므로

BCA=

CAD=55ù(엇각)

BOC=90ù이므로 semoBCO에서 x=180-(55+90)=35

022

답 ➊ CDÓ, 140ù, 20ù 20ù, 70ù, 70ù

023

55ù semoCDB에서 CBÓ=CDÓ이므로

CDB=;2!;_(180ù-110ù)=35ù semoFED에서

DFE=180ù-(90ù+35ù)=55ù

x=

DFE=55ù(맞꼭지각)

024

64ù semoCDB에서 CBÓ=CDÓ이므로

CBD=;2!;_(180ù-128ù)=26ù semoBEF에서

BFE=180ù-(90ù+26ù)=64ù

x=

BFE=64ù(맞꼭지각)

025

9

017

25

semoABD에서 ABÓ=ADÓ이므로

ADB=xùx=;2!;_(180-130)=25

019

8

x=;2!; BDÓ=;2!;_16=8

018

100

ABÓ

DCÓ이므로

ABD=

BDC=40ù(엇각) semoABD에서 ABÓ=ADÓ이므로

ADB=

ABD=40ùx=180-(40+40)=100

026

90ù

027

65ù

AOB=90ù이어야 하므로

BAO=180ù-(90ù+25ù)=65ù

028

Z

029

_

A=

C,

B=

D이므로

B=

C이면

A=

B=

C=

D=90ù 따라서 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다.

030

_ 두 대각선의 길이가 같으면 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다.

031

Z

(16)

040

60ù semoABEªsemoBCF(SAS 합동)이므로

AEB=

BFC=

x 따라서

AEB+120ù=180ù에서

x=180ù-120ù=60ù

034

x=10, y=90 x=BDÓ=2ODÓ=2_5=10

033

x=2, y=90

035

x=45, y=75

ADE=45ù이므로 semoAED에서 y=30+45=75

036

답 ➊ CDÓ, 45ù, semoCED, SAS, DAE, 20ù

45ù, 20ù, 65ù

037

75ù

semoAEDªsemoCED(SAS 합동)이므로

DAE=

DCE=30ù 이때

ADE=;2!;_90ù=45ù이므로

semoAED에서

x=30ù+45ù=75ù

041

35ù

semoABEªsemoBCF(SAS 합동)이므로

BAE=

CBF=

x

따라서 semoABE에서

BAE+

ABE=125ù이므로

x+90ù=125ù ∴

x=35ù

038

25ù

semoABEªsemoCBE(SAS 합동)이므로

BCE=

BAE=

x

이때

EBC=;2!;_90ù=45ù이므로 semoCBE에서 45ù+

x=70ù ∴

x=25ù

042

Z

043

_

045

_

049

_

046

_

044

Z

AOB=90ù이면 ACÓ

BDÓ이므로 직사각형 ABCD는 정사각형

이 된다.

032

x=6, y=90

039

답 ➊ BCÓ, 90ù, CFÓ, semoBCF, SAS, AEB 180ù, 65ù

047

Z

A=

C,

B=

D이므로

A=

B이면

A=

B=

C=

D=90ù

따라서 마름모 ABCD는 정사각형이 된다.

048

Z

OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이므로 OAÓ=ODÓ이면 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ ∴ ACÓ=BDÓ 따라서 마름모 ABCD는 정사각형이 된다.

050

Z

ABÓ=BCÓ이면 마름모가 되고, ACÓ=BDÓ이면 직사각형이 되므로 ABÓ=BCÓ, ACÓ=BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 정사각형이 된다.

051

Z

ACÓ=BDÓ이면 직사각형이 되고, ACÓ

BDÓ이면 마름모가 되므로 ACÓ=BDÓ, ACÓ

BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 정사각형이 된다.

057

9

058

10 x=BDÓ=6+4=10

056

70

059

45

A+

B=180ù이므로 135ù+

B=180ù ∴

B=45ù 따라서

C=

B=45ù이므로 x=45

060

25ù, 60ù, 60ù, 25ù, 35ù

055

_

OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ이면 ACÓ=BDÓ이므로 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다.

061

42ù ADÓ

BCÓ이므로

DBC=

ADB=

x(엇각)

ABC=

C=72ù이므로

x =

ABC-

ABD=72ù-30ù=42ù

052

_

ABÓ=ADÓ,

AOD=90ù이면 평행사변형 ABCD는 마름모가 된다.

053

_

A=90ù, ACÓ=BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다.

054

Z

A=

B이면 직사각형이 되고, ACÓ

BDÓ이면 마름모가 되므로

(17)

062

80ù

semoABD에서 ABÓ=ADÓ이므로

ABD=

ADB=40ù ADÓ

BCÓ이므로

DBC=

ADB=40ù(엇각)

x=

ABC=

ABD+

DBC=40ù+40ù=80ù

063

1 EFÓ=ADÓ=4 semoABEªsemoDCF(RHA 합동)이므로 CFÓ=BEÓ=xx=;2!;_(6-4)=1

067

14 오른쪽 그림과 같이 ABÓ와 평행한 DEÓ를 ±     " % # ± ± $ ± & 그으면  ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=6 ABCD는 등변사다리꼴이므로

C=

B=60ù

ABÓ

DEÓ이므로

DEC=

B=60ù(동위각) 즉, semoDEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=8x=6+8=14

064

2 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 내린 수 Y Y "  % ' #  & $ 선의 발을 F라 하면 FEÓ=ADÓ=7 semoABFªsemoDCE(RHA 합동)이므로 BFÓ=CEÓ=xx=;2!;_(11-7)=2

065

14 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 내린 수 "  % # & ' $    선의 발을 F라 하면 FEÓ=ADÓ=8 semoABFªsemoDCE(RHA 합동)이므로 BFÓ=CEÓ=3x=3+8+3=14

066

12 ABCD는 등변사다리꼴이므로

C=

B=60ù ABÓ

DEÓ이므로

DEC=

B=60ù(동위각) semoDEC에서

EDC=180ù-(60ù+60ù)=60ù 따라서 semoDEC는 정삼각형이므로 x=DCÓ=ABÓ=12

068

4 오른쪽 그림과 같이 ABÓ와 평행한 DEÓ를 ± Y Y   " % # ± $ ± ± ± & 그으면  ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=x

A+

B=180ù이므로

069

COF, COÓ,

FCO, ASA

070

CFÓ, CFÓ, 수직이등분, 마름모

071

8 AFCE가 마름모이므로 x=AFÓ=8

077

답 ①-ㄷ, ②-ㄴ, ③-ㄱ, ④-ㄱ, ⑤-ㄴ

078

답 직사각형

079

답 마름모

080

답 직사각형

081

답 마름모

082

답 정사각형 ACÓ=BDÓ이면 직사각형이 되고,

AOB=90ù이면 마름모가 되므로

ACÓ=BDÓ,

AOB=90ù이면 평행사변형 ABCD는 정사각형이 된다.

073

180ù, 180ù, 90ù, 90ù

074

90ù, 90ù, 90ù, 직사각형

076

6 PQRS가 직사각형이고 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 QSÓ=PRÓ=6

075

90ù PQRS가 직사각형이므로

DSP=

RSP=90ù

083

답 정사각형 ABÓ=BCÓ이면 마름모가 되고,

A=

B이면 직사각형이 되므로 ABÓ=BCÓ,

A=

B이면 평행사변형 ABCD는 정사각형이 된다.

072

9 ADÓ=BCÓ=12이므로 EDÓ=ADÓ-AEÓ=12-3=9 EBFD가 마름모이므로 x=EDÓ=9

084

Z

085

Á 120ù+

B=180ù ∴

B=60ù ABCD는 등변사다리꼴이므로

C=

B=60ù ABÓ

DEÓ이므로

DEC=

B=60ù(동위각) 즉, semoDEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=5

(18)

088

Z

089

Z

099

semoDBC

100

semoABD

101

semoDOC semoABO =semoABC-semoOBC =semoDBC-semoOBC=semoDOC

090

답 풀이 참조 사각형의 종류 평행사변형 직사각형 마름모 정사각형 등변사다리꼴 ⑴ Z Z Z Z __ Z _ Z Z ⑶ _ _ Z Z _

091

답 , 평행사변형

092

답 , 직사각형

093

답 , 마름모

094

답 , 평행사변형

095

답 마름모

096

96 PQRS는 마름모이므로  PQRS=;2!;_16_12=96

098

12 PQRS는 정사각형이므로 (  PQRS의 둘레의 길이)=4_3=12

097

답 정사각형

113

3, 1, ;4#;, 45

110

6 cmÛ` semoACE =semoACD = ABCD-semoABC=16-10=6(cmÛ`)

111

30 cmÛ`

semoABC = ABCD-semoACD

= ABCD-semoACE=50-20=30(cmÛ`)

112

24 cmÛ` ABCD =semoABD+semoDBC =semoDEB+semoDBC =semoDEC=;2!;_(3+5)_6=24(cmÛ`)

102

4 cmÛ`` semoDOC =semoDBC-semoOBC =semoABC-semoOBC=10-6=4(cmÛ`)

103

3 cmÛ`` semoAOD =semoABD-semoABO =semoACD-semoABO=9-6=3(cmÛ`)

109

30 cmÛ` ABCD =semoABC+semoACD =semoABC+semoACE=20+10=30(cmÛ`)

104

25 cmÛ`` semoDOC =semoDBC-semoOBC =semoABC-semoOBC=15-9=6(cmÛ`) ∴  ABCD =semoABC+semoAOD+semoDOC =15+4+6=25(cmÛ`)

108

semoFCE semoAFD =semoACD-semoACF =semoACE-semoACF=semoFCE

105

semoACE

106

semoDCE

107

semoACE, semoABE

114

36 cmÛ` semoABD`:`semoADC=BDÓ`:`DCÓ=2`:`3이므로 semoADC=;5#;semoABC=;5#;_60=36(cmÛ`)

086

Z

087

Á

(19)

116

12 cmÛ` semoABD`:`semoADC=BDÓ`:`DCÓ=1`:`4이므로 semoADC=;5$;semoABC=;5$;_60=48(cmÛ`) semoAEC`:`semoEDC=AEÓ`:`EDÓ=3`:`1이므로 semoEDC=;4!;semoADC=;4!;_48=12(cmÛ`)

118

16 cmÛ` semoACD=semoABD=28 cmÛ` semoAOD`:`semoDOC=AOÓ`:`OCÓ=3`:`4이므로 semoDOC=;7$;semoACD=;7$;_28=16(cmÛ`)

119

45 cmÛ` semoABO=semoDOC=15 cmÛ` semoABO`:`semoOBC=AOÓ`:`OCÓ=1`:`3이므로 semoOBC=3semoABO=3_15=45(cmÛ`)

115

답 ➊1, 1, ;2!;, 30 2, 1, ;3@;, 20

117

답 ➊ ACD, 36 2, 1, ;3@;, 24

2

①, ② OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이므로 OBÓ=OCÓ이면

OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ ∴ ACÓ=BDÓ 즉, 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. ③

A=

C,

B=

D이므로

A=

B이면

A=

B=

C=

D=90ù 즉, 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. ④

AOD=90ù, 즉 두 대각선이 수직이면 평행사변형 ABCD는 마름모가 된다.

⑤ semoOAB에서

OAB=

OBA이면 OAÓ=OBÓ 이때 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이므로

OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ ∴ ACÓ=BDÓ 즉, 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. 따라서 직사각형이 되는 조건이 아닌 것은 ④이다.

1

ODÓ=;2!; BDÓ=;2!; ACÓ=;2!;_20=10(cm) ∴ x=10

semoABC에서

BAC=180ù-(90ù+35ù)=55ù semoOAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

ABO=

BAO=55ùy=55x+y=10+55=65 165 2335 4x=40, y=5 532 cmÛ` 675ù 7③, ⑤ 8946 cm 1011 ②, ④ 12 ㄴ, ㄷ, ㅂ 13 18 cm 14 15 cmÛ` 15 10 cmÛ` 70~71쪽

하기

필수 문제로

마무리

3

x=ODÓ=5 semoAOD에서

AOD=90ù이므로

DAO=180ù-(60ù+90ù)=30ù ∴ y=30x+y=5+30=35

4

ABÓ

DCÓ이므로

ACD=

BAC=50ù(엇각) semoDOC에서

DOC=180ù-(40ù+50ù)=90ù ∴ ACÓ

BDÓ

즉,  ABCD는 마름모이다.

semoBCD에서 BCÓ=CDÓ이므로

DBC=

BDC=40ù ∴ x=40 또 ADÓ=ABÓ=5 cm이므로 y=5

5

ACÓ

BDÓ이고 ACÓ=BDÓ=8 cm이므로 ABCD=;2!;_8_8=32(cmÛ`) 다른 풀이 semoOABªsemoOBCªsemoOCDªsemoODA이므로  ABCD=4semoOAB=4_{;2!;_4_4}=32(cmÛ`)

8

② semoABC와 semoDCB에서 ABÓ=DCÓ(①),

ABC=

DCB(③), BCÓ는 공통 ∴ semoABCªsemoDCB(SAS 합동)

즉,

ACB=

DBC이므로 semoOBC에서 OBÓ=OCÓ

BAC=

ABC인지는 알 수 없다.

⑤ semoABD와 semoDCA에서

BAD=180ù-

ABC=180ù-

DCB=

CDA, ADÓ는 공통, ABÓ=DCÓ ∴ semoABDªsemoDCA(SAS 합동) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

6

semoPBC가 정삼각형이므로

PCB=60ù

DCP=

DCB-

PCB=90ù-60ù=30ù 또 DCÓ=BCÓ=PCÓ에서 semoPCD는 이등변삼각형이므로

x=;2!;_(180ù-30ù)=75ù

7

A=

C,

B=

D이므로

A=

B이면

A=

B=

C=

D=90ù 따라서  ABCD는 직사각형이다. ② 두 대각선이 서로 수직인 평행사변형이므로  ABCD는 마름모 이다. ③ 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형이므로  ABCD는 직사각 형이다. ④ 이웃하는 두 변의 길이가 같고 두 대각선이 서로 수직인 평행사 변형이므로  ABCD는 마름모이다. ⑤ 한 내각의 크기가 90ù이고 두 대각선이 서로 수직인 평행사변형 이므로  ABCD는 정사각형이다. 따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다.

수치

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참조

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