정답과 풀이

(1)

정답과 풀이

확률과 통계

(2)

05

서로 다른 n개의 공을 서로 다른 세 상자에 나누어 담는 경우의 수는

£Pn=3ⁿ

729=3ß`이므로 n=6

따라서 서로 다른 6개의 공을 서로 다른 두 상자 D, E에 나누어 담는 경우의 수는

ªP¤=2ß`=64 64

06

f(1), f(2), f(3)의 값은 집합 X의 원소 중 한 원소를 각각 택하 면 되므로 f(1), f(2), f(3)의 값을 정하는 경우의 수는

¤P£=6Ü`=216

또 f(4), f(5), f(6)의 값은 집합 X의 원소 중 서로 다른 세 원소 를 택하면 되므로 f(4), f(5), f(6)의 값을 정하는 경우의 수는

¤C£=20

따라서 m=216_20=4320이므로 10 =m 4320

10 =432 432

07

B가 1개, A가 3개, N이 2개이므로 구하는 문자열의 개수는

3!_2! =60 6! ②

08

숫자 2, 2, 2, 3, 3이 적힌 카드를 일렬로 배열하는 경우의 수는 3!_2! =105!

이때 배열된 다섯 장의 카드 앞뒤와 사이의 6곳에 숫자 1이 적힌 카드 두 장과 숫자 1이 적힌 카드 한 장이 놓일 자리를 정하는 경 우의 수는

6_5=30

따라서 구하는 경우의 수는

10_30=300 ③

09

홀수가 적힌 네 장의 카드를 같은 카드 A, A, A, A로 생각하고, 짝수가 적힌 세 장의 카드를 같은 카드 B, B, B로 생각하자.

7장의 카드 A, A, A, A, B, B, B를 일렬로 배열한 후 A가 적힌 카드를 왼쪽부터 1, 3, 5, 7로 바꾸고, B가 적힌 카드를 왼쪽부터 6, 4, 2로 바꾸면 된다.

4!_3! =35 7! 35

pp.8~12

순열과 조합

01

특정한 4개국의 정상을 묶어서 하나로 생각하여 5개국의 정상이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는

(5-1)!=4!

특정한 4개국의 정상이 자리를 바꾸는 경우의 수는 4!

4!_4!=576 ②

02

우선 남학생 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3!

남학생 4명 사이의 네 자리에 여학생 4명이 앉는 경우의 수는 4!

3!_4!=6_24=144 ④

03

빨간색 접시의 자리가 정해지면 파란색 접시의 자리도 정해지므로 빨간색 접시와 파란색 접시를 같은 것으로 볼 수 있다.

즉 구하는 경우의 수는 서로 다른 5개의 접시를 원형으로 배열하 는 원순열의 수와 같다.

(5-1)!=4!=24 ④

04

집합 A에서 집합 B로의 함수 f의 개수는 집합 B의 원소 3개에 서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

£P°=3Þ`=243 ⑤

두 집합 X={1, 2, 3, y, n}, Y={1, 2, 3, y, m}에 대하여 X에 서 Y로의 함수의 개수는

_mPn=mⁿ

경우의 수

I

01

^②

02

^④

03

^④

04

^⑤

05

⁶⁴

06

⁴³²

07

^②

08

^③

09

³⁵

10

^③

11

³⁰

12

⁵⁶⁰

13

^④

14

¹⁵

15

^②

(3)

1

순열과 조합

• 3

10

구하는 경우의 수는 서로 다른 3개 중에서 10개를 택하는 중복조 합의 수와 같으므로

3H10=12C10=12C2=66 ③

11

f(1)의 값은 1 또는 2이므로

f(1)의 값을 정하는 경우의 수는 2 yy

^❶

또 f(3), f(4)의 값은 2, 3, 4, 5, 6 중에서 택하면 되므로

f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 5개 중에서 중복을 허용하 여 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

°Hª=¤Cª=15 yy

^❷

따라서 구하는 함수 f 의 개수는

2_15=30 yy

^❸

30

❶

f(1)의 값을 정하는 경우의 수를 구한 경우 20%

❷

f(3), f(4)의 값을 정하는 경우의 수를 구한 경우 50%

❸ 함수의 개수를 구한 경우 30%

채점 기준 배점 비율

12

부등식 2É|x|É|y|É|z|É|w|É5를 만족시키는 자연수 |x|,

|y|, |z|, |w|의 모든 순서쌍 (|x|, |y|, |z|, |w|)의 개수는 자연수 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합 의 수와 같으므로 ¢H¢=¦C¢=¦C£=35

이때 x, y, z, w는 음의 정수와 양의 정수의 값을 가질 수 있으므 로 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 순서쌍 (|x|, |y|, |z|, |w|) 의 개수의 2Ý`배와 같다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는

35_2Ý`=35_16=560 560

13

(x+y+z+w)Ý`의 전개식의 각 항은 x^ay^bz^cw^d (단, a+b+c+d=4)

의 꼴이므로 네 문자 x, y, z, w에서 중복을 허용하여 4개를 택하 여 곱하는 것과 같다.

따라서 서로 다른 항의 개수는 서로 다른 4개에서 중복을 허용하 여 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

¢H¢=¦C¢=¦C£=35 ④

14

사과, 감, 배를 선택한 개수를 각각 x, y, z라 하면 x+y+z=7이고, x¾1, y¾1, z¾1이어야 한다.

x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1이라 할 때, 구하는 경우의 수는 방정식 x'+y'+z'=4를 만족시키는 음이 아닌 정수해 (x', y', z')의 개수와 같다.

따라서 음이 아닌 정수해 (x', y', z')의 개수는 x', y', z' 중에서 4개 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H¢=¤C¢=¤Cª=15 15

15

(a+b+c+d+e)¡`의 전개식의 각 항은 모두 8차항이다.

a는 포함하지 않으므로 (b+c+d+e)⁸의 전개식에서 d와 e를 포 함하는 서로 다른 항의 개수를 구하면 된다.

d와 e를 하나씩 미리 포함시키면 구하는 항의 개수는

(b+c+d+e)⁶의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하는 것과 같다.

따라서 구하는 항의 개수는 서로 다른 4개에서 6개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로

¢H¤=»C¤=»C£=84 ②

(a+b+c)ⁿ의 전개식에서 각 항은 n차항으로 a^xb^yc^z의 꼴이다.

따라서 각 항은 a, b, c의 세 문자 중에서 중복을 허락하여 n개를 택 하여 곱을 만드는 것과 같으므로 서로 다른 항의 개수는 3Hn이다.

내신&수능 대비실력 문제

01

¹²

02

^③

03

^③

04

^⑤

05

^②

06

⁵⁴

07

^⑤

08

^⑤

09

²⁶

10

³⁸⁴

11

¹⁰²

12

¹¹²

pp.13~14

01

각 고등학교의 남학생 4명이 원탁의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6

여학생이 같은 학교 남학생의 오른쪽에 앉는 경우와 왼쪽에 앉는 경우가 있으므로 구하는 경우의 수는

6_2=12 12

02

6명을 원형으로 배열하는 경우의 수는 (6-1)!=120

이때 주어진 정사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가 지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 3가지씩 존 재한다.

1

순열과 조합

(4)

1 2

3 6

5 4

6 1

2 5

4 3

5 6

1 4

3 2

120_3=360 ③

정삼각형 모양의 탁자에 6명이 앉는 방법의 수는 원형으로 배열하 는 한가지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 2가지씩 존재한다

2

1 4

3

6 5

1

6 3

2

5 4

03

오른쪽 그림과 같이 9개의 영역을 각각 a, b, c, d, e, f, g, h, i라 하자.

a에 색을 칠하는 경우의 수는 »CÁ

b, c, d, e에 색을 칠하는 경우의 수는 서로 다른 8개 중에서 4개를 택하여 원형으로 배 열하는 원순열의 수와 같으므로

¥C¢_3!, 즉 ⁸P4

4

f, g, h, i에 나머지 4개의 색을 칠하는 경우의 수는 4!

»CÁ_⁸P4

4 _4!=9_8_7_6_5 4 _4!

=9_2_7!

=18_7!

이므로

n=18 ③

04

모든 함수 f : X 1Ú X의 개수는

¢P¢=4Ý`=256

한편 6=1_1_2_3이므로 f(0)f(1)f(2)f(3)=6을 만족시키는 함수의 개수는

4!2! =12

따라서 구하는 f(0)f(1)f(2)f(3)+6을 만족시키는 함수 f의 개 수는 모든 함수 f의 개수에서 f(0)f(1)f(2)f(3)=6을 만족시키 는 함수의 개수를 빼면 되므로

256-12=244 ⑤

a c

e f

i

g

h b

d

05

남자 2명을 3개의 팀 A, B, C에 배정하는 경우의 수는

£Pª=3Û`=9

한편 여자 4명을 2명, 1명, 1명으로 나누는 경우의 수는

¢Cª_ªCÁ_ÁCÁ_ 12! =6

이때 3개의 팀 A, B, C로 구분하는 경우의 수는 3!=6

즉 여자 4명을 3개의 팀 A, B, C에 배정하는 경우의 수는 6_6=36

9_36=324 ②

06

Ú A가 적힌 카드가 첫 번째에 놓이는 경우

A, B, B, C, C가 적힌 카드 5장을 일렬로 배열하는 경우의 수 와 같으므로 구하는 경우의 수는

1!_2!_2! =30 5!

Û A가 적힌 카드가 마지막에 놓이는 경우

A, B, B, C, C가 적힌 카드 5장을 일렬로 배열하는 경우의 수 와 같으므로 구하는 경우의 수는

1!_2!_2! =305!

Ü A가 적힌 카드가 첫 번째와 마지막에 놓이는 경우

B, B, C, C가 적힌 카드 4장을 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는

2!_2! =6 4!

Ú, Û, Ü에 의하여 구하는 경우의 수는

30+30-6=54 54

다른풀이

A, A, B, B, C, C가 적힌 6장의 카드를 일렬로 배열하는 경우의 수는

2!_2!_2! =906!

첫 번째와 마지막을 제외한 4자리 중에서 A가 적힌 카드 2장이 놓 일 자리를 정하고, 나머지 자리에 B, B, C, C가 적힌 카드를 배열 하는 경우의 수는

¢Cª_ 4!

2!_2! =6_6=36 따라서 구하는 경우의 수는 90-36=54

(5)

1

순열과 조합

• 5

07

Ú A가 3번, B가 1번, C가 2번 나오는 경우 3!_2! =606!

Û C가 3번, D가 1번, A가 2번 나오는 경우 3!_2! =606!

Ú, Û에 의하여 구하는 경우의 수는

60+60=120 ⑤

08

Ú A ☐ A ☐ …와 같이 배열되는 경우

B가 적힌 카드 4장과 C가 적힌 카드 2장을 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로

4!_2! =156!

Û ☐ A ☐ A…와 같이 배열되는 경우

B가 적힌 카드 4장과 C가 적힌 카드 2장을 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로

4!_2! =156!

Ú, Û에 의하여 구하는 경우의 수는

15+15=30 ⑤

09

A P Q

R S

Hª

HÁ B

①

②

③

④

⑤

Ú A Ú Hª Ú ① Ú ③ Ú B로 이동하는 경우 1_1_1_ 5!4! =5

Û A Ú Hª Ú ② Ú B로 이동하는 경우 1_1_ 4!3! =4

Ü A Ú ④ Ú ① Ú ② Ú B로 이동하는 경우 3!2! _1_1_4!

3! =12

Ý A Ú ⑤ Ú ② Ú HÁ Ú B로 이동하는 경우 5!4! _1_1_1=5

Ú∼Ý에 의하여 구하는 경우의 수는

5+4+12+5=26 26

10

만의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3이 올 수 있으므로 그 경우의 수

는 3이다. yy

^❶

천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에는 각각 0, 1, 2, 3이 모두 올 수 있으므로 그 경우의 수는

¢P£=4Ü`

일의 자리에는 0, 2가 올 수 있으므로 그 경우의 수는 2이다.

yy

^❷

3_4Ü`_2=384 yy

^❸

384

❶ 만의 자리에 올 수를 정하는 경우의 수를 구한 경우

30%

❷ 나머지 자리에 올 수를 정하는 경우의 수를 구한 경우

40%

❸ 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한 경우 30%

11

Ú 같은 숫자가 2종류인 경우 ① 같은 숫자가 4개, 2개인 경우

같은 숫자를 정하는 경우의 수는 °Cª이고, 그 개수가 서로 다르므로 °Cª_2=20

6개의 숫자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 6!

4!_2! =15

이 경우 여섯 자리의 자연수의 개수는

20_15=300 yy

^❶

② 같은 숫자가 3개, 2개이고, 다른 숫자가 1개인 경우

같은 숫자를 정하는 경우의 수는 °Cª이고, 그 개수가 서로 다르므로 °Cª_2=20

이고, 다른 숫자 1개를 선택하는 방법의 수는 £CÁ=3 6개의 숫자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 6!

3!_2! =60

20_3_60=3600 yy

^❷

③ 같은 숫자가 2개, 2개이고, 다른 숫자가 2개인 경우 같은 숫자를 정하는 경우의 수는 °Cª이므로 °Cª=10 이고, 다른 숫자 2개를 선택하는 방법의 수는 £Cª=3 6개의 숫자를 일렬로 배열하는 경우의 수는

6!

2!_2! =180

10_3_180=5400 yy

^❸

Û 같은 숫자가 3종류인 경우(같은 숫자가 2개, 2개, 2개인 경우) 같은 숫자를 정하는 경우의 수는 °C£이므로 °C£=10

(6)

6개의 숫자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 2!_2!_2! =906!

이 경우 여섯 자리의 자연수의 개수는 10_90=900 yy

^❹

Ú, Û에서 k=300+3600+5400+900=10200

따라서 k100 =10200

100 =102 yy

^❺

102

❶ 같은 숫자가 4개, 2개 포함된 경우의 수를 구한 경우

20%

❷ 같은 숫자가 3개, 2개, 1개 포함된 경우의 수를 구한 경우

20%

❸ 같은 숫자가 2개, 2개, 1개, 1개 포함된 경우의 수를 구한

경우

^20%

❹ 같은 숫자가 2개, 2개, 2개 포함된 경우의 수를 구한 경우 20%

❺ 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한 경우 20%

12

그림의 P지점을 출발하여 Q지점 까지 도로를 따라 최단거리로 이 동하는 경우를 생각하자. P지점에 서 → 방향으로 출발하여 방향을 바꾸는 횟수가 홀수이면 ↑ 방향으

로 Q지점에 도착하게 되고, P지점에서 → 방향으로 출발하여 방향 을 바꾸는 횟수가 짝수이면 → 방향으로 Q지점에 도착하게 된다.

또 P지점에서 ↑ 방향으로 출발하여 방향을 바꾸는 횟수가 홀수 이면 → 방향으로 Q지점에 도착하게 되고, P지점에서 ↑방향으로 출발하여 방향을 바꾸는 횟수가 짝수이면 ↑ 방향으로 Q지점에 도 착하게 된다.

즉 A지점을 출발하여 P지점과 Q지점을 차례로 지나 B지점까지 도로를 따라 최단거리로 이동하는 경우는 방향을 바꾸는 횟수가 항상 홀수이므로 이동하는 경우의 수는

1_ 8!

5!_3! _1=56 yy

^❶

같은 방법으로 A지점을 출발하여 R지점과 S지점을 차례로 지나 B지점까지 도로를 따라 최단거리로 이동하는 경우는 방향을 바꾸 는 횟수가 항상 홀수이므로 이동하는 경우의 수는

1_ 8!

5!_3! _1=56 yy

^❷

따라서 구하는 경우의 수는 56+56=112 yy

^❸

112

❶ → 방향으로 출발하여 방향을 바꾸는 횟수가 홀수인 경

우의 수를 구한 경우 40%

❷ ↑ 방향으로 출발하여 방향을 바꾸는 횟수가 홀수인 경

우의 수를 구한 경우 40%

❸ 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한 경우 20%

01

{2xÛ`+;[!;}⁵의 전개식의 일반항은

°Cr_(2x²)^5-r_{;[!;}^r=°Cr_2^5-r_x^10-3r

(r=0, 1, 2, y, 5, 2â`=xâ`=1) 10-3r=1에서 r=3

따라서 x의 계수는

°C£_2Û`=10_4=40 ④

02

31¹¹=(1+30)¹¹

=11C¼+11CÁ_30+11Cª_30Û`+y+11C11_30¹¹

(30⁰=1⁰=1) 이때 11Cª_30Û`+y+11C11_30¹¹은 300으로 나누어 떨어지므로 상수 q에 대하여 11Cª_30Û`+y+11C11_30¹¹=300q로 나타낼 수 있다.

따라서 31¹¹=1+330+300q=31+300(q+1)이므로

구하는 나머지는 31이다. ④

03

(1+x)ⁿ의 전개식에서 일반항은

nCr x^r(r=0, 1, 2, y, n, xâ`=1)

이므로 xÞ`의 계수는 r=5일 때, nC5(n¾5)이다. yy

^❶

(1+x)+(1+x)Û`+(1+x)Ü`+y+(1+x)¡`의 전개식에서 xÞ`의 계수는 5C5+6C5+7C5+8C5 yy

^❷

이때 5C5=6C6=1이고

nCr+nCr+1=n+1Cr+1(n은 자연수, r=0, 1, y, n)이므로

5C5+6C5+7C5+8C5 =6C6+6C5+7C5+8C5

=7C6+7C5+8C5

=8C6+8C5

=9C6=9C3=84 yy

^❸

84

❶

(1+x)ⁿ의 전개식에서 xÞ`의 이항계수를 구한 경우 30%

❷

(1+x)+(1+x)²+y+(1+x)⁸의 전개식에서 xÞ`의

이항계수를 구한 경우 30%

❸

5C5+6C5+7C5+8C5의 값을 구한 경우

40%

I ^{경우의 수}

pp.17~18

이항정리

01

^④

02

^④

03

⁸⁴

04

^②

05

^③

06

^②

A

S B Q

R P

(7)

2

이항정리

• 7

다른풀이

주어진 식은 첫째항이 1+x, 공비가 1+x인 등비수열의 첫째항부 터 제 n 항까지의 합이다.

(1+x)+(1+x)Û`+(1+x)Ü`+y+(1+x)¡`

=(1+x){(1+x)¡`-1}

(1+x)-1 =(1+x)á`-(1+x) x

즉 xÞ`의 계수는 (1+x)á`의 전개식에서 xß`의 계수와 같다.

따라서 구하는 xÞ`의 계수는

»C¤=»C£=84

04

11C¼+11Cª+11C¢+11C¤+11C¥+11CÁ¼=2^11-1이므로

11C¼+11Cª+11C¢+11C¤+11C¥+11CÁ¼=2¹⁰ ②

05

nC0+nC1+nC2+y+nCn=2ⁿ이므로

nC1+nC2+nC3+y+nCn=2ⁿ-1

따라서 주어진 부등식은 2ⁿ-1<1000, 즉 2ⁿ<1001이다.

그런데 2⁹=512, 2¹⁰=1024이므로 주어진 부등식을 만족시키는

자연수 n의 최댓값은 9이다. ③

06

nC0+nC1+nC2+y+nCn=2ⁿ이므로

nC1+nC2+nC3+y+nCn-1 =2ⁿ-(nC0+nCn)

=2ⁿ-2 yy ㉠

㉠의 값이 3의 배수가 되려면 2ⁿ을 3으로 나눈 나머지가 2이어야 한다.

2³, 2⁵, y, 2⁹⁹을 3으로 나눈 나머지가 2이므로 구하는 자연수 n의

개수는 49이다. ②

01

^④

02

^⑤

03

^③

04

^②

05

^②

06

^④

07

^③

08

⁸

09

^-92

10

⁴⁹⁵

pp.19~20

01

('3a+Ü`'2b)ß`의 전개식의 일반항은

¤Cr('3a)ß`^-r(Ü`'2b)^r=¤Cr('3)^6-r(Ü`'2)^ra^6-rb^r

(단, r=0, 1, 2, y, 6, ('3)â`=(Ü`'2)â`=aâ`=bâ`=1) 이때 계수가 유리수가 되려면 6-r는 짝수이고, r는 3의 배수이어 야 하므로 r=0 또는 r=6이어야 한다.

따라서 구하는 계수의 합은

¤C¼('3)ß`(Ü`'2)⁰+¤C¤('3)⁰(Ü`'2)ß`=27+4=31 ④

02

(1+x)¡`=¥C¼+¥CÁ_x+¥Cª_xÛ`+y+¥C¥_x¡`

이므로 위 식에 x=-3을 대입하면 {(1+(-3)}¡`

=¥C¼+¥CÁ_(-3)+¥Cª_(-3)Û`+y+¥C¥_(-3)¡`

=¥C¼-¥CÁ_3+¥Cª_3Û`-y+¥C¥_3¡`

따라서

¥C¼-3_¥CÁ+3Û`_¥Cª-y-3à`_¥C¦+3¡`_¥C¥

={(1+(-3)}¡`=(-2)¡`=256 ⑤

03

{2x+;[!;}ⁿ의 전개식의 일반항은

nCr(2x)^n-r{;[!;}^r=nCr2^n-rx^n-2r

(단, r=0, 1, 2, y, n, 2⁰=x⁰=1) n-2r=2-n에서 r=n-1이므로

an =nCn-1_2=nCÁ_2=2n 따라서

aÁ+aª+a£+y+a10 =2+4+6+y+20

=2(1+2+3+y+10)

=2_55=110 ③

04

{x+;[!;}⁸의 전개식에서 일반항은

8Crx^8-r{;[!;}^r=8Crx^8-2r (r=0, 1, 2, y, 8, x⁰=1) Ú 상수항은 8-2r=0, 즉 r=4일 때이므로 8C4=70

Û ;[!;항은 8-2r=-1이고 이 식을 만족하는 r의 값은 존재하지 않는다.

Ü 1xÛ`항은 8-2r=-2, 즉 r=5일 때이므로 1

xÛ`항의 계수는

8C5=8C3=56 Ú, Û, Ü에 의하여

(1+x+xÛ`){x+;[!;}⁸의 전개식에서 상수항은

70+56=126 ②

(1+x+xÛ`)에서 xÛ`항과 {x+;[!;}⁸의 전개식에서 1`

xÛ`항을 곱하면 상수항이 되므로 {x+;[!;}⁸의 전개식에서 1`

xÛ`항의 계수를 구한다.

2

이항정리

(8)

05

Á°C¼-Á°CÁ+Á°Cª-Á°C£+y-Á°CÁ°=0이므로 Á°C£-Á°C¢+Á°C°-y-Á°C14+Á°CÁ°

=Á°C¼-Á°CÁ+Á°Cª

=1-15+105=91 ②

06

Á¼C¼+Á¼CÁ+Á¼Cª+y+Á¼CÁ¼=2¹⁰이므로 Á¼C5+2(10C6+10C7+10C8+10C9+10C10)=2¹⁰

;2!;_Á¼C°+Á¼C¤+Á¼C¦+Á¼C¥+Á¼C»+Á¼CÁ¼=2á`

즉 Á¼C¤+Á¼C¦+Á¼C¥+Á¼C»+Á¼CÁ¼=2á`-;2!;_Á¼C°

따라서 a=;2!;_Á¼C°=;2!;_252=126 ④

07

nCk_kÛ`=nCk_k(k-1)+nCk_k

= n!

k!_(n-k)!_k(k-1)+ n!

k!_(n-k)!_k

=n(n-1)_n-2Ck-2+n_n-1Ck-1

(*)=n(n-1)_(^n-2C¼+n-2CÁ+n-2Cª+y+n-2Cn-2) +n_(n-1C¼+n-1CÁ+n-1Cª+y+n-1Cn-1)

=n(n-1) 2^n-2+n_2^n-1

=n_2^n-2(n-1+2)

= n(n+1)2^n-2

따라서 f(n)=2^n-2, g(n)=n(n+1)2^n-2이므로 g(n)f(n)=n(n+1)2^n-2

2^n-2 =n(n+1) 즉 g(5)

f(5)+ g(7)

f(7)=5(5+1)+7(7+1)=30+56=86 ③

08

(1+x)Ü`에서 xÜ`의 계수는 £C£

(1+x)Ý`에서 xÜ`의 계수는 ¢C£

(1+x)Þ`에서 xÜ`의 계수는 °C£

y

(1+x)¹⁵에서 xÜ`의 계수는 Á°C£

이므로 (1+x)+(1+x)Û`+y+(1+x)¹⁵의 전개식에서 xÜ`의 계 수는

£C£+¢C£+°C£+y+Á°C£

=¢C¢+¢C£+°C£+y+Á°C£

=°C¢+°C£+y+Á°C£

y

=Á°C¢+Á°C£

=Á¤C¢

따라서 Á¤C¢=Á¤CÁª이므로

|aÁ-aª|=|4-12|=8 8

09

(2+x)ß`의 전개식의 일반항은

¤Cr2^6-rx^r (r=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, xâ`=2â`=1) yy ㉠ yy

^❶

이때 (x-3)Û`(2+x)ß`=(xÛ`-6x+9)(2+x)ß`의 전개식에서 xÞ`항 은 xÛ`과 ㉠의 xÜ`항, -6x와 ㉠의 xÝ`항, 9와 ㉠의 xÞ`항이 곱해질 때

나타난다. yy

^❷

㉠에서

xÜ`항의 계수는 ¤C£_2Ü`=20_8=160 xÝ`항의 계수는 ¤C¢_2Û`=15_4=60 xÞ`항의 계수는 ¤C°_2Ú`=6_2=12 따라서

(x-3)Û`(2+x)ß`의 전개식에서 xÞ`항의 계수는

1_160+(-6)_60+9_12=-92 yy

^❸

-92

❶

(2+x)ß`의 전개식에서 일반항을 구한 경우 30%

❷

(x-3)Û`(2+x)ß`의 전개식에서 xÞ`항이 만들어지는 경우

를 구한 경우 30%

❸

xÞ`의 계수를 구한 경우

40%

10

파스칼의 삼각형에서

f(n) =2C2+3C2+4C2+y+nC2

=(3C3+3C2)+4C2+y+nC2

=(4C3+4C2)+5C2+y+nC2

y

=nC3+nC2

=n+1C3 yy

^❶

따라서

f(2)+ f(3)+ f(4)+y+ f(10)

=£C£+¢C£+°C£+y+11C£

=4C4+¢C£+°C£+y+11C£

=°C4+°C£+y+11C£

y

=11C4+11C3

=ÁªC¢=495 yy

^❷

495

❶ 파스칼의 삼각형을 이용하여

f(n)을 간단히 나타낸 경우 50%

❷ 파스칼의 삼각형을 이용하여

f(2)+f(3)+f(4)+y+f(10)의 값을 구한 경우

^50%

(9)

3

확률의 뜻과 활용

• 9

01

A={2, 4, 6}, B={1, 3, 5}, C={3, 6}에서 A;B=∅, B;C={3}, A;C={6}

따라서 서로 배반사건인 것끼리 짝지은 것은 ㄱ이다. ①

02

주사위 한 개를 4번 던지는 시행에서 짝수의 눈이 나오면 E, 홀수 의 눈이 나오면 O로 나타낸다고 하자. 예를 들어 첫 번째와 두 번째 던진 주사위에서 짝수의 눈이 나오고, 세 번째와 네 번째 던진 주사 위에서 홀수의 눈이 나오는 사건을 {EEOO}로 나타낸다.

사건 A;B는 짝수의 눈과 홀수의 눈이 각각 2번씩 나오고, 첫 번 째 던진 주사위의 눈이 짝수의 눈이 나오는 사건이므로

A;B={EEOO, EOEO, EOOE}

따라서 사건 A;B의 원소의 개수는 3이다. 3

03

A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

B={3, 6, 9, 12, 15, 18}

두 사건 A, B와 모두 서로 배반인 사건을 X라 하면 A;X=∅, B;X=∅이므로

(A'B);X=∅에서 X,(A'B)^C

A'B={2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

이므로 (A'B)^C={1, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

따라서 구하는 사건 X의 개수는 집합 (A'B)^C의 공집합이 아닌 부분집합의 개수와 같으므로 2⁷-1=127 127

04

9개의 공 중에서 3개의 공을 동시에 꺼낼 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 »C£=84

이때 검은 공 5개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 °Cª, 흰 공 4개 중에서 1개를 꺼내는 경우의 수는 ¢CÁ이다.

즉 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때 검은 공 2개와 흰 공 1개를 꺼내는 경우의 수는 °Cª_¢CÁ=10_4=40

따라서 구하는 확률은 ;8$4);=;2!1); ③

05

등식 x+y+z=7을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 £H¦=»C¦=»Cª=36

등식 (x-y)(y-z)(z-x)=0에서 x-y=0 또는 y-z=0 또는 z-x=0, 즉 x=y 또는 y=z 또는 z=x

이때 x=y=z를 만족시키는 경우는 없으므로 x=y인 경우의 순서쌍은

(0, 0, 7), (1, 1, 5), (2, 2, 3), (3, 3, 1) y=z인 경우의 순서쌍은

(7, 0, 0), (5, 1, 1), (3, 2, 2), (1, 3, 3) z=x인 경우의 순서쌍은

(0, 7, 0), (1, 5, 1), (2, 3, 2), (3, 1, 3)

즉 (x-y)(y-z)(z-x)=0을 만족시키는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 4+4+4=12

따라서 구하는 확률은 ;3!6@;=;3!; ②

06

만들 수 있는 모든 삼각형의 개수는 12C£=220

두 점을 연결한 선분이 원의 지름인 경우의 수는 6이고, 이때 각 경우의 원의 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 10개씩 있으므로 직각삼각형의 개수는 6_10=60

따라서 구하는 확률은 ;2¤2¼0;=;1£1; ⑤

07

P(A;B)=P(A)+P(B)-P(A'B)

=;5@;+;3!;-;5#;=;1ª5; ③

08

전체 경우의 수는 6_6=36

나온 두 눈의 수의 합이 10 이상인 사건을 A, 두 눈의 수의 합이 5의 배수인 사건을 B라 하면

Ú 나온 두 눈의 수의 합이 5의 배수인 경우

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4) 이므로 P(A)=;3¦6;

Û 나온 두 눈의 수의 합이 10 이상인 경우 (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 이므로 P(B)=;3¤6;

이때 P(A;B)=;3£6;이므로 구하는 확률은 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

=;3¦6;+;3¤6;-;3£6;=;3!6);=;1°8; ⑤

3 pp.24~28

확률의 뜻과 활용

II 확률

01

^①

02

³

03

¹²⁷

04

^③

05

^②

06

^⑤

07

^③

08

^⑤

09

^⑤

10

^②

11

³⁴

12

^④

13

^⑤

14

²⁵

15

^①

(10)

09

10장의 카드를 일렬로 배열하는 경우의 수는 2!_2!_3!_3! 10!

양쪽 끝에 모두 A가 적인 카드가 놓이는 사건을 E, 양쪽 끝에 모두 흰색 카드가 놓이는 사건을 F라 하자.

Ú 양쪽 끝에 A가 적힌 카드가 놓이는 경우

① 양쪽 끝에 흰색 또는 검은색 카드가 놓이는 경우의 수는 8!_2

2!_3!_3!

② 한쪽 끝은 흰색, 다른 쪽 끝은 검은색 카드가 놓이는 경우의 수는 8!_2

3!_3!

따라서 P(E)=

2!_3!_3! +8!_2 8!_2 3!_3!

2!_2!_3!_3! 10!

=;1ª5;

Û 양쪽 끝에 모두 흰색 카드가 놓이는 경우 ① 양쪽 끝에 흰색 A 카드가 놓이는 경우의 수는 8!

2!_3!_3!

② 양쪽 끝에 흰색 B 카드가 놓이는 경우의 수는 8!

2!_2!_3!

③ 한쪽 끝은 흰색 A, 다른 쪽 끝은 흰색 B 카드가 놓이는 경우 의 수는

8!_2 2!_2!_3!

따라서

P(F)=

2!_3!_3! +8! 8!

2!_2!_3! + 8!_2 2!_2!_3!

2!_2!_3!_3! 10!

=;9@;

이때 양쪽 끝에 흰색 A 카드가 놓이는 경우가 겹치므로

P(E;F)=

2!_3!_3! 8!

2!_2!_3!_3! 10!

=;4Á5;

따라서 구하는 확률은

P(E'F)=P(E)+P(F)-P(E;F)

=;1ª5;+;9@;-;4Á5;=;3!; ⑤

다른풀이

서로 다른 10장의 카드로 생각하자.

서로 다른 10장의 카드를 일렬로 배열하는 경우의 수는 10!

양쪽 끝에 모두 A가 적힌 카드가 놓이는 사건을 E, 양쪽 끝에 모 두 흰색 카드가 놓이는 사건을 F라 하자.

A가 적힌 카드가 4장 있으므로 P(E)= 4_3_8!10! =;1ª5;

흰색 카드가 5장 있으므로 P(F)= 5_4_8!10! =;9@;

이때 A가 적힌 흰색 카드가 2장 있으므로 P(E;F)= 2_1_8!10! =;4Á5;

P(E'F)=P(E)+P(F)-P(E;F)

=;1ª5;+;9@;-;4Á5;=;3!;

10장의 카드를 일렬로 배열하는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열 을 이용하여 10!

2!_2!_3!_3!로 놓고 풀면 양쪽 끝에 모두 A가 적힌 카드가 놓이는 경우의 수도 같은 것이 있는 순열을 이용하여 구해야 하므로 매우 복잡해진다.

이럴 경우 다른 풀이와 같이 10장의 카드를 서로 다른 카드로 생각 하여 풀면 간단하게 풀 수 있다.

10

Ú 정팔면체를 던져 나온 수가 1인 경우 숫자 1이 적힌 공을 꺼내야 하므로

;8!;_²C1

8C1=;8!;_;8@;=;3Á2;

Û 정팔면체를 던져 나온 수가 2인 경우

숫자 0과 숫자 1이 적힌 공을 한 개씩 꺼내야 하므로

;8!;_²C1_2C1

8C2 =;8!;_;2¢8;=;5Á6;

Ü 정팔면체를 던져 나온 수가 3인 경우

숫자 0이 적힌 공 두 개와 숫자 1이 적힌 공 한 개를 꺼내야 하 므로

;8!;_²C2_2C1

8C3 =;8!;_;5ª6;=;22!4;

Ú, Û, Ü에 의하여 구하는 확률은

;3Á2;+;5Á6;+;22!4;=;2Á2ª4;=;5£6; ②

0+0+1+1=2이므로 정팔면체를 던져 나온 수가 4 이상이면 꺼 낸 공에 적힌 숫자의 합은 2 이상이다.

11

6개의 숫자 중에서 서로 다른 3개의 숫자를 택하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 5_5_4=100 yy

^❶

Ú 일의 자리 숫자가 0인 경우

세 자리 자연수의 개수는 0을 제외한 5개의 숫자 중에서 2개의 숫자를 택하여 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로

°Pª=5_4=20

(11)

3 • 11

이 경우의 확률은 ;1ª0¼0;=;5!; yy

^❷

Û 일의 자리 숫자가 5인 경우

백의 자리에는 0이 올 수 없으므로 백의 자리 숫자가 될 수 있 는 것은 1, 2, 3, 4, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리 와 일의 자리 숫자를 제외한 4개이므로 일의 자리 숫자가 5인 세 자리 자연수의 개수는 4_4=16

이 경우의 확률은 ;1Á0¤0;=;2¢5; yy

^❸

Ú, Û에 의하여 구하는 확률은 ;5!;+;2¢5;=;2»5;

따라서 p=25, q=9이므로

p+q=25+9=34 yy

^❹

34

❶ 세 자리 자연수의 개수를 구한 경우

20%

❷ 일의 자리 숫자가 0인 세 자리 자연수의 개수를 구한 경우

30%

❸ 일의 자리 숫자가 5인 세 자리 자연수의 개수를 구한 경우 30%

❹

p+q의 값을 구한 경우

20%

12

갑이 먼저 2개의 공을 꺼낸 후 주머니에는 빨간 공 2개, 파란 공 2개, 검은 공 2개가 남아 있다. 을이 2개의 공을 임의로 꺼내는 경우의 수는 ¤Cª=15

Ú 을이 문자 B가 적힌 공 2개를 꺼내는 경우의 수는 £Cª=3이므로 이 경우의 확률은 ;1£5;=;5!;

Û 을이 문자 A가 적힌 공 1개와 문자 B가 적힌 공 1개를 꺼내는 경우의 수는 £CÁ_£CÁ=9이므로

이 경우의 확률은 ;1»5;=;5#;

Ú, Û에 의하여 구하는 확률은 ;5!;+;5#;=;5$; ④

13

일어나는 모든 경우의 수는 6_6=36

서로 같은 눈이 나오는 사건을 A라 하면 서로 다른 눈이 나오는 사건은 A^C이다.

서로 같은 눈이 나오는 경우는

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) 이므로 P(A)=;3¤6;=;6!;

따라서 P(A^C)=1-P(A)=1-;6!;=;6%; ⑤

14

8장의 카드 중에서 임의로 2장의 카드를 동시에 뽑는 경우의 수는

¥Cª=28

두 수의 곱이 홀수인 경우는 홀수와 홀수를 곱하는 경우뿐이므로 1이 적힌 카드 2장과 3이 적힌 카드 2장 중에서 2장을 동시에 뽑 는 경우의 수는 ¢Cª=6

2장의 카드에 적힌 두 수의 곱이 홀수일 확률은 ;2¤8;=;1£4;

이므로 구하는 확률은 1-;1£4;=;1!4!;

따라서 p=14, q=11이므로 p+q=14+11=25 25

15

★표시가 되어 있지 않은 공의 개수가 10-k이므로

★표시가 되어 있는 공을 하나도 꺼내지 않을 확률은

10-kC2

10C2 =(10-k)(9-k) 90

따라서 ★표시가 되어 있는 공을 적어도 한 개 꺼낼 확률은 1-(10-k)(9-k)

90

즉 1-(10-k)(9-k)

90 =;1!5#;에서 (10-k)(9-k) 90 =;1ª5;

(10-k)(9-k)=12, k²-19k+78=0 (k-6)(k-13)=0이므로 k=6 또는 k=13

따라서 1ÉkÉ10이므로 k=6 ①

01

^③

02

^①

03

^②

04

²²

05

;2°1;

06

^④

07

^⑤

08

^④

09

^③

10

317

11

74

pp.29~30

01

한 개의 주사위를 차례로 두 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6_6=36

두 번째에 나오는 눈의 수가 첫 번째에 나오는 눈의 수보다 큰 경 우를 순서쌍으로 나타내면

(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)

의 15가지이다.

따라서 구하는 확률은 ;3!6%;=;1°2; ③

02

조건

㈏

에서 함수 f 는 일대일함수이고 함수 f 가 일대일함수인 경

(12)

우의 수는 공역의 원소 6개 중에서 서로 다른 3개를 택하는 순열의 수와 같으므로 6P3=120

선택된 함수 f 가 f(a)<f(b)<f(c)를 만족시키는 경우의 수는 공역의 원소 6개 중에서 서로 다른 3개를 택하는 조합의 수와 같으 므로 6C3=20

따라서 구하는 확률은 ;1ª2¼0;=;6!; ①

03

10명의 학생이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (10-1)!=9!

Ú 남학생끼리 서로 이웃하지 않게 앉는 경우

여학생 6명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (6-1)!=5!

여학생과 여학생 사이의 6개의 자리 중에서 4개의 자리에 남학 생 4명이 앉는 방법의 수는 6P4=360

따라서 pÁ= 5!_3609! =;4°2;

Û 남학생끼리 모두 이웃하여 앉는 경우

남학생 4명을 한 묶음으로 생각하여 7명이 원탁에 둘러앉는 방 법의 수는 (7-1)!=6!

남학생끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 4!

따라서 pª= 6!_4!

9! =;2Á1;

Ú, Û에 의하여 pÁ+pª=;4°2;+;2Á1;=;4¦2;=;6!; ②

04

갑이 ‘승’일 사건을 A, 을이 ‘승’일 사건을 B라 하자.

P(A)=;5!;_⁴C2

4C2+;5!;_³C2

4C2+;5!;_²C2 4C2=;3!;

마찬가지 방법으로 P(B)=;3!;

한편 갑과 을이 모두 ‘승’인 경우는 남아 있는 한 장의 카드에 적힌 숫자가 1일 때이므로 P(A;B)=;5!;

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)=;3!;+;3!;-;5!;=;1¦5;

이므로 p+q=15+7=22 22

05

7장의 카드를 일렬로 배열하는 경우의 수는 7!

Ú 1이 적힌 카드와 2가 적힌 카드가 1, 2의 순서로 이웃하는 경우 1이 적힌 카드와 2가 적힌 카드를 한 장으로 생각하고, 4, 5, 6, 7이 적힌 카드와 함께 일렬로 배열하는 경우의 수는 5! 3이 적힌 카드를 1이 적힌 카드를 제외한 나머지 카드 사이에 넣는 경우의 수는 5

즉 7장의 카드를 일렬로 배열하는 경우의 수는 5!_5

Û 1이 적힌 카드와 2가 적힌 카드가 2, 1의 순서로 이웃하는 경우 Ú의 경우와 마찬가지로 7장의 카드를 일렬로 배열하는 경우 의 수는 5!_5

Ú, Û에 의하여 구하는 확률은 5!_57! +5!_5

7! =;2°1; ;2°1;

06

세 자리 자연수의 개수는 10_9_8

세 자리 자연수가 3의 배수이려면 각 자리의 수의 합이 3의 배수이 어야 한다.

Ú 세 수의 합이 6인 경우

6=1+2+3=1+1+4이므로 세 자리 자연수의 개수는 (ªCÁ_ªCÁ_£CÁ)_3!+(ªCª_£CÁ)_3!=15_3!

이 경우의 확률은 15_3!

10_9_8 Û 세 수의 합이 9인 경우

9=1+4+4=2+3+4=3+3+3이므로 세 자리 자연수의 개수는

(ªCÁ_£Cª)_3!+(ªCÁ_£CÁ_£CÁ)_3!+£C£_3!=25_3!

이 경우의 확률은 25_3!10_9_8 Ü 세 수의 합이 12인 경우

12=4+4+4이므로 세 자리 자연수의 개수는 £C£_3!=1_3!

이 경우의 확률은 1_3!10_9_8

Ú, Û, Ü에 의하여 세 자리 자연수가 3의 배수일 확률은 15_3!

10_9_8 + 25_3!

10_9_8 + 1_3!

10_9_8 = 41_3!

10_9_8 =;1¢2Á0;

④

07

a, b, c, d가 모두 서로 다른 수이므로 a, b, c, d를 정하는 경우의 수는 6P4=360

한편 ad=bc를 만족시키는 경우는 6_1=3_2, 6_2=4_3 뿐이므로 ad=bc를 만족시키는 경우의 수는 8+8=16 즉 ad=bc일 확률은 ;3Á6¤0;=;4ª5;

따라서 구하는 확률은 1-;4ª5;=;4$5#; ⑤

08

Ú 9가 가장 큰 수이므로 9가 적힌 카드는 꺼낸 3장의 카드에 항상 포함된다. 즉 p1=1이다.

Û 9장의 카드를 3장씩 3묶음으로 나누는 경우의 수는

9C3_6C3_3C3_ 13! =84_20_1_;6!;=280

8이 적힌 카드가 9가 적힌 카드와 같은 묶음에 포함되는 경우의

(13)

3 • 13

수는 7C1_6C3_3C3_ 12! =7_20_1_;2!;=70

이므로 꺼낸 3장의 카드에 8이 적힌 카드가 포함되지 않을 확률 은 ;2¦8¼0;=;4!;

따라서 꺼낸 3장의 카드에 8이 적힌 카드가 포함될 확률은 p2=1-;4!;=;4#;

Ú, Û에 의하여 p1+p2=1+;4#;=;4&; ④

09

일어나는 모든 경우의 수는 3Ý`

Ú 1명이 이기는 경우

1명을 택하는 경우의 수는 ¢CÁ=4

이기는 사람이 낼 수 있는 것은 가위, 바위, 보 중 하나이므로 이 경우의 확률은 4_3

3Ý` =;2¢7;

Û 2명이 이기는 경우

2명을 택하는 경우의 수는 ¢Cª=6

3Ý` =;9@;

Ü 3명이 이기는 경우

3명을 택하는 경우의 수는 ¢C£=¢CÁ=4

3Ý` =;2¢7;

Ú, Û, Ü에 의하여 이기는 사람이 정해질 확률은

;2¢7;+;9@;+;2¢7;=;2!7$;

따라서 이기는 사람이 정해지지 않을 확률은 1-;2!7$;=;2!7#; ③

10

a_b_c_d가 10의 배수이려면 a, b, c, d 중 5와 짝수가 각각 적어도 한 개씩 포함되어야 한다.

Ú a, b, c, d 중 5가 1개 포함된 경우 a, b, c, d 중 5를 정하는 경우의 수는 ¢CÁ

나머지 세 수 중 짝수가 적어도 한 개는 포함되어야 하므로 1, 2, 3, 4, 6 중에서 홀수만으로 정해지지 않으면 된다.

이 경우의 확률은

¢CÁ_;6!;_{;6%;}³-¢CÁ_;6!;_{;6@;}³=;3!6#; yy

^❶

Û a, b, c, d 중에 5가 2개 포함된 경우

a, b, c, d 중에 5를 정하는 경우의 수는 ¢Cª

나머지 두 수는 중 짝수가 적어도 한 개는 포함되어야 하므로 1, 2, 3, 4, 6 중에서 홀수만으로 정해지지 않으면 된다.

이 경우의 확률은

¢Cª_{;6!;}²_{;6%;}²-¢Cª_{;6!;}²_{;6@;}²=;7¦2; yy

^❷

Ü a, b, c, d 중에 5가 3개 포함된 경우

a, b, c, d 중에 5를 정하는 경우의 수는 ¢C£

나머지 한 수는 1, 2, 3, 4, 6 중에서 짝수이어야 하므로 이 경우의 확률은

¢C£_{;6!;}³_;6#;=;10!8; yy

^❸

Ú, Û, Ü에 의하여 구하는 확률은 ;3!6#;+;7¦2;+;10!8;=;2!1)6!;

따라서 p=216, q=101이므로 p+q=216+101=317 yy

^❹

317

❶ 5가 1개 포함된 경우의 확률을 구한 경우

30%

❷ 5가 2개 포함된 경우의 확률을 구한 경우

30%

❸ 5가 3개 포함된 경우의 확률을 구한 경우 30%

❹ 확률의 덧셈정리를 이용하여 확률을 구한 후 p+q의 값

을 구한 경우

^10%

11

만들 수 있는 모든 삼각형의 개수는 ÁªC£=220 yy

^❶

삼각형의 내부에 점 O가 있지 않은 경우는 직각삼각형인 경우와 둔각삼각형인 경우이다.

Ú 직각삼각형인 경우

지름의 개수는 6이고, 한 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형의 개수가 10이므로 모든 직각삼각형의 개수는 6_10=60 이 경우의 확률은 ;2¤2¼0;=;1£1; yy

^❷

Û 둔각삼각형인 경우

정십이각형의 이웃한 두 변을 변으로 하는 둔각삼각형의 개수 는 12이고, 정십이각형의 한 변을 변으로 하는 둔각삼각형의 개 수는 6_12이므로 모든 둔각삼각형의 개수는 12+6_12=84 이 경우의 확률은 ;2¥2¢0;=;5@5!; yy

^❸

Ú, Û에 의하여 삼각형의 내부에 점 O가 있지 않을 확률은

;1£1;+;5@5!;=;5!5%;+;5@5!;=;5#5^; yy

^❹

따라서 삼각형의 내부에 점 O가 있을 확률은 1-;5#5^;=;5!5(;

이므로 p+q=55+19=74 yy

^❺

74

❶ 만들 수 있는 모든 삼각형의 개수를 구한 경우

10%

❷ 직각삼각형인 경우의 확률을 구한 경우

30%

❸ 둔각삼각형인 경우의 확률을 구한 경우

30%

❹ 삼각형의 내부에 점 O가 있지 않을 확률을 구한 경우 15%

❺ 삼각형의 내부에 점 O가 있을 확률을 구한 후 p+q의

값을 구한 경우

^15%

(14)

01

통학 거리가 3 km 이상인 학생은 120명이고 이 중에서 대중교통 으로 통학하는 학생은 90명이므로 이 학교에서 임의로 선택된 학 생의 통학 거리가 3 km 이상일 때, 그 학생이 대중교통으로 통학 할 확률은

;1»2¼0;=;4#;

따라서 p=4, q=3이므로 4p+q=16+3=19 19

02

P(A|B)= P(A;B)P(B) =;5!;에서 P(A;B)=;5!;P(B)

P(A^C;B^C)=1-P(A'B)=;1Á0;에서 P(A'B)=;1»0;

이때 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로

;1»0;=;4!;+P(B)-;5!;P(B)에서 ;5$;P(B)=;2!0#;

따라서 P(B)=;2!0#;_;4%;=;1!6#; ④

03

Ú 갑과 을이 흰 공을 꺼내는 경우

;9%;_;8$;=;1°8;

Û 갑과 을이 검은 공을 꺼내는 경우

;9$;_;8#;=;1£8;

Ú, Û에 의하여 구하는 확률은

;1°8;+;1£8;=;9$; ;9$;

04

지각을 한 날을 , 지각을 하지 않은 날을 ×로 나타내면 일 다 음날 일 확률은 0,  다음날 ×일 확률은 1, × 다음날 일 확 률은 ;5!;, × 다음날 ×일 확률은 ;5$;이다.

II ^확률 pp.34~38

조건부확률

01

19

02

^④

03

;9$;

04

;1ª2Á5;

05

^①

06

340

07

^②

08

;6@4%;

09

^③

10

^①

11

⁴⁴⁸

12

;6@4%;

즉 이번 주 월요일이 일 때, 이번 주 금요일도 인 각 경우의 확 률은 다음 표와 같이 두 가지 경우가 있다.

월 화 수 목 금 확률

 × × ×  1_;5$;_;5$;_;5!;=;1Á2¤5;

 ×  ×  1_;5!;_1_;5!;=;2Á5;

;1Á2¤5;+;2Á5;=;1ª2Á5; ;1ª2Á5;

05

두 사건 B와 C가 서로 독립이므로 B^C과 C도 독립이다.

P(C;B^C) =P(C)P(B^C)

=P(C){1-P(B)}

=P(C)_;5#;=;1£0;

이므로 P(C)=;2!;

이때 두 사건 A, C가 배반사건이므로

P(A'C)=P(A)+P(C)=;5!;+;2!;=;1¦0; ①

06

P(A)= 70+100n = 170n ,

P(B)= 100+(n-240)n = n-140n , P(A;B)= 100

n

이때 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)

를 만족시켜야 한다.

따라서 100n =170

n _n-140 n 에서

100n=170_(n-140)이므로 n=340 340

07

갑과 을이 활을 쏘아 9점 이상을 받는 사건을 각각 A, B라 하면 P(A)=;5$;, P(B)=;6%;

이때 P(A^C)=1-;5$;=;5!;, P(B^C)=1-;6%;=;6!;이고, 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 A^C, B^C도 서로 독립이다.

P(A^C;B^C)=P(A^C)P(B^C)=;5!;_;6!;=;3Á0; ②

(15)

4

조건부확률

• 15

08

처음에 빨간 구슬을 꺼내는 사건을 A, 두 번째에 빨간 구슬을 꺼 내는 사건을 B라 하면 두 사건 A, B는 서로 독립이다.

P(A;B)=P(A)P(B)=;8%;_;8%;=;6@4%; ;6@4%;

09

첫 번째 꺼낸 공이 흰 공이고, 두 번째 꺼낸 공이 검은 공일 확률은 n+2 _2 n

n+2 = 2n (n+2)Û`

첫 번째 꺼낸 공이 검은 공이고, 두 번째 꺼낸 공이 흰 공일 확률은 n+2 _n 2

n+2 = 2n (n+2)Û`

즉 꺼낸 두 공의 색이 다를 확률은 2n

(n+2)Û`+ 2n

(n+2)Û`= 4n (n+2)Û`

이때 4n

(n+2)Û`=;9$;에서 nÛ`-5n+4=0 (n-1)(n-4)=0, 즉 n=1 또는 n=4

따라서 모든 자연수 n의 값의 합은 5이다. ③

10

주사위를 한 번 던질 때 3의 배수의 눈이 나올 확률은

;6@;=;3!;

따라서 구하는 확률은 5C4{;3!;}⁴{;3@;}¹=;2Á4¼3; ①

11

주사위를 한번 던질 때 6의 약수의 눈이 나올 확률은

;6$;=;3@;

Ú a=2, b=4인 경우

£Cª{;3@;}²{;3!;}_¢C¢{;3@;}⁴= 192 3à`

Û a=3, b=3인 경우

£C£{;3@;}³_¢C£{;3@;}³{;3!;}= 2563à`

Ú, Û에 의하여 구하는 확률은 192 3à` + 256

3à` = 448 3à`

따라서 m=448 448

12

동전 4개를 동시에 던져서 앞면이 나온 동전의 개수와 뒷면이 나 온 동전의 개수가 모두 2일 확률은

¢Cª{;2!;}²{;2!;}²=;8#; yy

^❶

이므로

f(1)=;8#;

f(2)=;8%;_;8#;

f(3)={;8%;}²_;8#;

y

f(n)={;8%;}^n-1_;8#; yy

^❷

따라서 f(7)

f(5)={;8%;}⁶_;8#;

{;8%;}⁴_;8#;={;8%;}²=;6@4%; yy

^❸

;6@4%;

❶ 동전 4개를 던져서 앞면이 나온 동전의 개수와 뒷면이

나온 동전의 개수가 모두 2일 확률을 구한 경우 40%

❷

f(n)을 n에 대한 식으로 나타낸 경우 40%

❸

f(7)

f(5)의 값을 구한 경우

20%

01

^④

02

³¹

03

^⑤

04

^③

05

^④

06

^②

07

^③

08

^⑤

09

^①

10

⁴¹

11

¹³¹

pp.39~40

01

약수의 개수가 홀수인 수는 제곱수이므로 모든 경우를 순서쌍으로 나타내면 다음과 같다.

ab=1인 경우 (a, b)=(1, 1)

ab=4인 경우 (a, b)=(1, 4), (2, 2), (4, 1)`

ab=9인 경우 (a, b)=(3, 3)`

ab=16인 경우 (a, b)=(4, 4)`

ab=25인 경우 (a, b)=(5, 5)`

ab=36인 경우 (a, b)=(6, 6)`

따라서 ab의 약수의 개수가 홀수인 경우의 수는 8이다.

또한 ab의 약수의 개수가 3인 경우는 ab가 소수의 제곱수일 때이 므로 그 경우의 수는 5이다.

ab의 약수의 개수가 홀수인 사건을 A, ab의 약수의 개수가 3인 사건을 B라 하면

P(A)=;3¥6;=;9@;, P(A;B)=;3°6;

P(B|A)=P(A;B) P(A) =;3°6;

;9@; =;8%; ④

4

조건부확률

(16)

02

전체 중 비율을 구하면

30대 이상의 남성：;1¤0¼0;_;1°0¼0;=;1£0¼0;

30대 미만의 남성：;1¤0¼0;_;1°0¼0;=;1£0¼0;

30대 이상의 여성：;1¢0¼0;_;1¢0¼0;=;1Á0¤0;

30대 미만의 여성：;1¢0¼0;_;1¤0¼0;=;1ª0¢0;

임의로 뽑은 사람이 30대 이상일 사건을 A, 여성일 사건을 B라 하면 구하는 확률은

P(B|A)=P(A;B)

P(A) = ;1Á0¤0;

;1£0¼0;+;1Á0¤0;=;4!6^;=;2¥3;

따라서 p=23, q=8이므로 p+q=31 31

03

조건

㈎

에서 P(A;B)=P(A)P(B)이므로 P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=;2!;+;5#;-;2!;_;5#;=;5$;

조건

㈏

에서 C,A이므로 P(C;(A'B))=P(C)=;3!;

따라서

P(C|A'B)=P(C;(A'B))

P(A'B) = P(C) P(A'B)

=;3!;

;5$;=;1°2; ⑤

04

상자 A를 택하는 사건을 A, 상자 B를 택하는 사건을 B라 하고, 흰 공과 검은 공을 각각 한 개씩 꺼내는 사건을 E라 하자.

P(E|A)=P(A;E) P(A) 에서

P(A;E) =P(A)P(E|A)=;2!;_⁴C1_3C1 7C2 =;7@;

P(E|B)=P(B;E) P(B) 에서

P(B;E) =P(B)P(E|B)=;2!;_⁴C1_4C1 8C2 =;7@;

이므로 P(E)=P(A;E)+P(B;E)=;7$;

P(A|E)=P(A;E) P(E) =;7@;

;7$;=;2!; ③

05

ㄱ. A2;A3+∅이므로 두 사건 A2와 A3은 서로 배반사건이 아니 다. (거짓)

ㄴ. P(A2)=;1¤2;=;2!;, P(A³)=;1¢2;=;3!;이고, P(A2;A3)=P(A6)=;1ª2;=;6!;이므로 P(A2;A3)=P(A2)P(A3)

즉 두 사건 A2와 A3은 서로 독립이다. (참) ㄷ. P(A6;A3)=P(A6)이므로

P(A6|A3)=P(A6;A£)

P(A£) =P(A6) P(A£)=;6!;

;3!;=;2!; (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④

06

A

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

Ú B팀이 대진표의 ①, ②, ③, ④에 배정되는 경우 B팀이 대진표의 ①, ②, ③, ④에 배정될 확률은

;6$;=;3@;

이때 B팀은 두 번의 경기에서 모두 이겨야 하고, A팀은 한 번 의 경기에서 이겨야 하므로 그 확률은

;3@;_{;2!;}²_;2!;=;1Á2;

Û B팀이 대진표의 ⑤, ⑥에 배정되는 경우 B팀이 대진표의 ⑤, ⑥에 배정될 확률은

;6@;=;3!;

이때 B팀은 한 번의 경기에서 이겨야 하므로 그 확률은

;3!;_;2!;=;6!;

Ú, Û에 의하여 구하는 확률은

;1Á2;+;6!;=;4!; ②

07

첫 번째 시행에서 빨간색 카드와 파란색 카드를 한 장씩 뽑을 확률은

6C1_3C1

9C2 =;3!6*;=;2!;

두 번째 시행에서 빨간색 카드와 파란색 카드를 한 장씩 뽑을 확률은

5C1_2C1 7C2 =;2!1);

(17)

4

조건부확률

• 17

세 번째 시행에서 빨간색 카드를 2장 뽑을 확률은

4C2

5C2=;1¤0;=;5#;

;2!;_;2!1);_;5#;=;7!; ③

08

맞힌 문제의 수를 x라 하면 틀린 문제의 수는 (10-x)이므로 얻은 점수는

3x+(10-x)=2x+10 2x+10=22에서 x=6

각 문제에 임의로 답할 때 문제를 맞힐 확률과 틀릴 확률은 모두

;2!;이므로 얻은 점수가 22점일 확률은

10C6{;2!;}⁶`{;2!;}⁴=10C4{;2!;}¹⁰

= 10_9_8_74_3_2 _;10Á24;

=;5!1)2%; ⑤

09

A팀이 우승하는 사건을 E, A팀이 5번째 경기에서 우승하는 사건 을 F라 하자.

A팀이 3번째 경기에서 우승할 확률은

£C£{;2!;}³=;8!;

£Cª{;2!;}²{;2!;}_;2!;=;1£6;

¢Cª{;2!;}²{;2!;}²_;2!;=;1£6;

따라서 P(E)=;8!;+;1£6;+;1£6;=;2!;, P(E;F)=;1£6;이므로 P(F|E)=P(E;F)

P(E) =;1£6;

;2!; =;8#; ①

10

승준이가 자격증을 취득하는 사건을 E, B급 자격증을 취득한 사 건을 F라 하자.

승준이가 A급 자격증을 취득하려면 A급 1차 시험과 A급 2차 시 험에 차례대로 합격해야 하므로 승준이가 A급 자격증을 취득할 확률은

;5@;_;5!;=;2ª5; yy

^❶

승준이가 B급 자격증을 취득하려면 A급 1차 시험에 불합격하고

B급 1차 시험과 B급 2차 시험에 차례대로 합격해야 하므로 승준 이가 B급 자격증을 취득할 확률은

{1-;5@;}_;5$;_;5#;=;1£2¤5; yy

^❷

이때 P(E)=;2ª5;+;1£2¤5;=;1¢2¤5;, P(E;F)=;1£2¤5;이므로 P(F|E)=P(E;F)

P(E) =;1£2¤5;

;1¢2¤5;=;2!3*;

따라서 p=23, q=18이므로 p+q=23+18=41 yy

^❸

41

❶ 승준이가 A급 자격증을 취득할 확률을 구한 경우

30%

❷ 승준이가 B급 자격증을 취득할 확률을 구한 경우

40%

❸ 조건부확률을 이용하여 조건을 만족시키는 확률을 구한

경우

^30%

11

갑이 한 번의 가위바위보 게임에서 이기거나 비기거나 질 확률이 모 두 같으므로 각각의 확률은 모두 ;3!;이다.

갑이 이긴 횟수를 a, 진 횟수를 b, 비긴 횟수를 c라 할 때 7번의 게 임 후 받은 공의 개수가 7이므로

a+b+c=7, 2a+c=7

즉 a=b이어야 한다. yy

^❶

Ú a=b=0, c=7인 경우의 확률은 {;3!;}⁷

Û a=b=1, c=5인 경우의 확률은 7!5! _{;3!;}

7=42_{;3!;}⁷ Ü a=b=2, c=3인 경우의 확률은

2!_2!_3! _{;3!;}7!

7=210_{;3!;}⁷ Ý a=b=3, c=1인 경우의 확률은

3!_3! _{;3!;}7!

7=140_{;3!;}⁷ yy

^❷

Ú∼Ý에 의하여 구하는 확률은

(1+42+210+140)_{;3!;}⁷=393_{;3!;}⁷=131_{;3!;}⁶

따라서 m=131 yy

^❸

131

❶ 이긴 횟수, 비긴 횟수, 진 횟수 사이의 관계식을 구한 경우

30%

❷ 게임을 7번 한 후 갑이 받은 공의 개수가 7일 확률을 구

한 경우 60%

❸ 정수 m의 값을 구한 경우 10%

(18)

01

숫자가 적히지 않은 면을 H, 숫자가 적힌 면을 T로 나타내면 다 음과 같은 표를 만들 수 있다.

동전 X

100 100 500

H H H 0

H T H 100

T H H 100

T T H 200

H H T 500

H T T 600

T H T 600

T T T 700

따라서 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 100, 200, 500, 600,

700이다. ⑤

02

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3이고 각각의 확률변수 X가 나오는 경우를 나열하면 다음 표와 같다.

X 뽑힌 2장의 카드에 적혀 있는 두 수 1 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 2 (1, 3), (2, 4)

3 (1, 4)

4장의 카드에서 2장을 뽑을 경우의 수는 4C2=6이므로 P(X=1)=;6#;=;2!;, P(X=2)=;6@;=;3!;, P(X=3)=;6!;

따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 1 2 3 합계

P(X=x) ;2!; ;3!; ;6!; 1

풀이 참조

03

확률의 총합은 1이므로

;6!;+;6!;+a+;3!;=1에서 a=;3!; ;3!;

04

⑴ 확률의 총합이 1이므로

;3!;+;4!;+a+;6!;=1에서 a=;4!;

⑵ P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=;4!;+;6!;=;1°2;

⑶ P(XÉ3)=1-P(X=4)=1-;6!;=;6%;

⑴ ;4!; ⑵ ;1°2; ⑶ ;6%;

05

P(1ÉXÉ3)-P(2ÉXÉ4)

=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

-{P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)}

=P(X=1)-P(X=4) 에서

P(X=1)-P(X=4)=;6!; yy ㉠ P(X=1)=2P(X=4)이므로 ㉠에 대입하면

2P(X=4)-P(X=4)=P(X=4)=;6!; ②

06

확률변수 X가 가질 수 있는 값이 0, 1, 2이고, 그 각각의 확률은 P(X=0)= ⁸C2

10C2=;4@5*;, P(X=1)=⁸C1_2C1

10C2 =;4!5^;, P(X=2)= ²C2

10C2=;4Á5;

이므로 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 0 1 2 합계

P(X=x) ;4@5*; ;4!5^; ;4Á5; 1

E(X)=0_;4@5*;+1_;4!5^;+2_;4Á5;=;5@;

따라서 p=5, q=2이므로 p+q=7 7

07

확률의 총합은 1이므로

a+;4!;+;8!;+b=1, a+b=;8%; yy ㉠

pp.44~50

이산확률변수와 확률분포

III 통계

01

^⑤

02

^{풀이 참조}

03

;3!;

04

^⑴;4!; ⑵ ;1°2; ⑶ ;6%;

05

^②

06

7

07

3

08

^④

09

^③

10

⁵

11

⁸⁰

12

^②

13

⁵

14

;2!7^;

15

;3!;

16

²⁵

17

¹⁰⁰

18

평균 : 40, 분산 : 8

19

20