수리 영역(가형)

2008학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(가형)

제 2 교시

^{성명 수험번호 2}

1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━◦ 먼저 수험생이 선택한 과목의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험 생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표 시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하 시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

^{  ×  }



의 값은? [2점]

① 



② 



③ 



④ 

⑤ 

2.

^log   log_

의 값은? [2점]

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

3. lim

→ ∞^ ^

^{ } ^{ }

의 값은? [2점]

①  

②  

③  



④ 



⑤ 



4.

^{단위행렬 }의 실수배가 아닌 이차정사각행렬 에 대하여

 ^^{를 만족하는} 의 역행렬이  일 때,    의 값은? (단, 는 영행렬이고 와 는 상수이다.) [3점]

①  



②  



③ 

④ 



⑤ 



2 ^{수리 영역(가형)}

5.

이상의 자연수 에 대하여 



^{ }^



^{ }^

이 유리수가 되도록 하는 의 개수는? [3점]

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

6.

^{집합 }



^ _ _ _ _ _



^{, }      에 대하여 함수  →가 일대일 대응이다.

이때, _ × _ × _  _ × _ × _을 만족하는 함수 의 개수는? [3점]

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

7.

자연수 전체의 집합  을 정의역으로 하는 함수  가 다음 두 조건을 만족한다.

Ⅰ.   

Ⅱ. ∈, ∈ 에 대하여     가 성립한다.

수열



^



^{이 } , _ _  (     ⋯ )을 만족할 때, _의 값은? [3점]

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

8.

함수    ^{  } ^{ }^ ^ ^{  }   의 최솟값은? [3 점]

①  

②  

③ 

④ 

⑤ 

3

수리 영역(가형)

9.

^{이차정사각행렬 , }에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 는 단위행렬, 는 영행렬, ^{ }는 의 역행렬이다.) [4점]

보 기

ㄱ. ^^이면  ^또는  ^이다.

ㄴ.  ^이면 ^^이다.

ㄷ. ^^이면



^



^{ }^이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10.

위치기반서비스(LBS)란 휴대폰 속에 기지국이나 위성항법장치 (GPS)와 연결되는 칩을 부착해 위치와 관련된 각종 정보를 제공하는 서비스를 일컫는다.

위치기반서비스 이용자 수가 매월 전월보다 %씩 증가한다고 하자. 현재 이용자 수가 만 명이라고 할 때, 개월 후 이용자 수는? (단, log   , log   로 계산한다.) [3점]

①  명

②  명

③  명

④  명

⑤  명

11.

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육면체를 여러 개 붙여서 만든 입체가 지면에 고정되어 있다. 표는 이 입체를 방향, 방향, 방향

에서 바라보았을 때 보이는 모양과 그 때의 한 변의 길이가 인 정사각형의 개수를 각각 _, _, _로 나타낸 것이다.

방향

방향

방향

바라본 방향

보이는 모양

정사각형의 개수

방향 _ 

방향 _ 

방향 _ 

이때, 행렬 의   성분을 _라 하고

_  _× _ (  , , ,   , , ) 으로 정의하면 위 그림에 대응하는 행렬은







^{     }



^이다.

이와 같이 정의된 행렬







^{   }



에 해당하는 입체는? [3점]

①

방향

방향

방향

② 방향

방향

방향

③ 방향

방향

방향

④

방향

방향

방향

⑤

방향

방향

4 ^{수리 영역(가형)}

12.

^무한수열



^



^,



^



에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

보 기

ㄱ. 무한수열



^



^,



^



이 수렴하면 무한수열



^_



^{은 수렴}

한다.

ㄴ. 무한수열



^





^,



^





이 수렴하면 무한수열



^ _



^은

수렴한다.

ㄷ. 모든 자연수 에 대하여 _ , _ _이면

lim

→∞

_  이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13.

표는 어떤 프로그램을 이용하여 A_ 일 때, A_ 

× A_  에 의해서 A_ 을 구하고,

A_ 

× A_  에 의해서 A_ 을 구하고,

이와 같은 방법으로 A_, A_, A_, ⋯ 을 구한 결과의 일부를 나타낸 것이다. A_, A_, A_, ⋯, A_, ⋯ 의 값은 어떤 일정한 수  에 한없이 가까워진다. 이때,  의 값은? (단, 표에 제시된 값은 소수점 이하 번째 자리에서 반올림한 것이다.) [3점]

 

× A_ 

A

_ 

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

14.

그림과 같이 사각형 ABCD의 두 대각선의 교점을 O라 하자.

네 선분 AO, BO, CO, DO의 길이가 각각 , , ,  일 때, 이를 성분으로 하는 행렬



^{ } 



의 역행렬이 존재하는 사각형은? [4점]

A

B

D

C O



 



① A

B

D

C

 O

 



② A

B C

 D



③ A

B

D

C

 

 

④ A

B

D

C



 

⑤ A

B C

D

 



15.

      일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 와 는 실수이다.) [4점]

보 기 ㄱ.   log_   

ㄴ. 

log  log

ㄷ. log_



^





^{ log}



^





① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

5

수리 영역(가형)

16.

반지름의 길이가  km인 원형의 자동차 트랙을 각각 일정한 속력 으로 주행하는 두 대의 자동차가 있다. 두 자동차는 같은 지점에서 동시에 출발하여 서로 반대 방향으로 주행하면 분 후에 처음으로 만나고, 같은 방향으로 주행하면 시간 분 후에 처음으로 만난다.

두 자동차의 속력  km/시,  km/시의 값을 구하는 식을 행렬로 나타내면



^



^{ }

 

^{ } 



^



^{이다. 이때,}     의 값은?

(단, 자동차의 크기와 트랙의 폭은 고려하지 않는다.) [4점]

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

17.

^다음은



  



 ^_C_의 값을 구하는 과정이다.

  





 ^_C_ _C__C__C_⋯_C_이므로

  ^_C__C__C_^ ⋯_C_^을 이용하 면

   ^



  



 ^_C_   (가)   이다.

한편,   ^



_{  }^



^_{×    }

 (나)  ^ 이므로

  





 ^_C_의 값은 (나) 이다.

(가), (나)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? (단,  ^  이다.) [3점]

(가) (나)

①



  



 ^_C_{  } ^

②



  



 ^_C_{  }  ^

③



  



 ^{ }_C_{  } ^

④



  



 ^{ }_C_{  }  ^

⑤



^{    C }

18.

다음은 모든 자연수  에 대하여

_^⋅ ^⋅ ⋯^   일 때, 부등식 

   

 _ 

  ^

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

(ⅰ)    일 때,

  _^  이므로 성립한다.

(ⅱ)   일 때, 

  

 _ 

  ^

이 성립한다고 가정하면



 

^    _{  } 

 ^

^  

이다.

한편, ^      ^(가) 이므로 

  

^      (나) 이다.

     ,      이므로 ^      (다) 이고, 

  ^

^      

  ^ 이다.

그러므로     일 때에도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

(가) ~ (다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]

(가) (나) (다)

①    

    



  

②    

    



  

③    

    



  

④    

    



  

⑤    

    



  

6 ^{수리 영역(가형)}

19.

한 변의 길이가 인 정삼각형에 내접원을 그리고, 정삼각형의 두 변과 내접원에 접하는 세 원을 그린다. 이 세 원의 중심을 잇는 정삼각형을 그린다. 새로 얻은 정삼각형을 A_, 그 넓이를 _이라 하자([그림 ] 참조). A_에 밑줄 친 과정을 시행하여 두 번째 얻은 정삼각형을 A_, 그 넓이를 _라 하자([그림 ] 참조). A_에 밑줄 친 과정을 시행하여 세 번째 얻은 정삼각형을 A_, 그 넓이를

_라 하자([그림 ] 참조). 이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 정삼각형을 A_, 그 넓이를 _^{이라 할 때,}



  

∞

_^{의 값은? [4점]}

A_



[그림 ]

A_

[그림 ]

A_

[그림 ]

① 

^

② 

^

③ 

^

④ 

^

⑤ 

^

20.

이차함수    ^log_   log_  

 이 임의의 실수  에 대하여  ＞ 를 만족할 때, 점   가 존재하는 영역을 어두운 부분으로 바르게 나타낸 것은? (단, ,  는 이 아닌 양수이고 경계는 포함하지 않는다.) [4점]

①    ^





O 

②    ^





O 

③    ^





O 

④    ^





O 

⑤    ^





 O

21.

자연수 에 대하여 집합

_    log_^  는 정수  _    log_   는 정수 

일 때, 집합 _∪_∪_  _∪_∪_ 의 모든 원소의 합은?

[3점]

①  

②  

③ 

④ 

⑤ 

7

수리 영역(가형)

단답형

22.

^등식  P__P_  을 만족하는 자연수  의 값을 구하시오.

[3점]

23.

서로 다른 세 수 , ,  이 이 순서로 등비수열을 이루고,

, ,  가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, ^ ^의 값을 구하시오. [3점]

24.

^{   }



^{  }





^의 전개식에서 의 계수를 구하시오. [3점]

25.

^{행렬 }



 ^{  }



^{에 대하여}

^^^^^ 일 때, 상수 의 값을 구하시오. [3 점]

26.

그림과 같은 규칙으로 위에서부터 차례로 숫자를 써내려간다.

예를 들어 은 위에서 번째, 왼쪽에서 번째에 위치하고 있다.

은 위에서 번째, 왼쪽에서 번째에 위치한다고 할 때,

  의 값을 구하시오. [4점]

8 ^{수리 영역(가형)}

27.

^무한급수



^

_

 



^



^

_

 





^



^

_

 





^{ ⋯ }



^

_

   

  



^{ ⋯}

이 수렴할 때,

lim

 → ∞_   

_   

의 값을 구하시오. [4점]

28.

^{그림에서 A}은 원점 O, 직선   위의 한 점과 두 함수   ^과

  log_의 그래프가 좌표축과 만나는 두 점을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형이다. A_, A_, A_는 두 함수   ^,   log_의 그래프 위의 각각의 한 점,   위의 두 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형 이다. A_과 A_, A_와 A_, A_와 A_는 각각 한 개의 꼭짓점만을 공유한다. 이 때, A_의 넓이를 구하시오. [4점]

  ^

  log_

  





O

A_

A_ A_ A_

29.

남학생  명과 여학생  명이 있다. 명 모두를 개조로 나누어 A , B 두 구역에 청소를 배정하려고 한다. 각 조에는 적어도 명을 배정하고,  명의 여학생은 같은 조에 포함되도록 하는 방법의 수를

가지라 할 때, 의 값을 구하시오. [4점]

30.

^{상용로그 log}의 지표 과 가수 가 방정식 ^     의 두 근일 때,



  

 





_

^

 





의 값을 구하시오. (단,  는 상수이고,

   는  를 넘지 않는 최대의 정수이다.) [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인